Ordet "konformitet" brukes ganske ofte på russisk det betyr et forhold mellom noe, som uttrykker konsistens, likhet i en eller annen henseende (; Ordbok Ozhegova).
I livet hører du ofte: «Denne læreboken tilsvarer dette programmet, men denne læreboken samsvarer ikke (men kan tilsvare et annet program); Dette eplet tilsvarer den høyeste karakteren, men dette er bare den første.» Vi sier at denne besvarelsen på eksamen tilsvarer en «utmerket» karakter, mens denne besvarelsen tilsvarer en «god» karakter. Vi sier at denne personen passer (i betydningen passform) klær i størrelse 46. I samsvar med instruksjonene bør du gjøre dette og ikke annet. Det er samsvar mellom tallet solskinnsdager per år og avling.
Hvis du prøver å analysere disse eksemplene, vil du legge merke til det i alle tilfeller vi snakker om om to klasser av objekter, og mellom objekter fra samme klasse det er etablert av visse regler noen forbindelse med objekter av en annen klasse. For eksempel, når det gjelder klær som passer til en viss størrelse, er en klasse av objekter mennesker, og den andre klassen av objekter er noen heltall, spiller rollen som klesstørrelser. Vi kan sette regelen for å etablere samsvar, for eksempel ved å bruke en naturlig algoritme - prøve på en spesifikk farge eller bestemme dens egnethet "med øyet".
Vi vil vurdere korrespondanser der klassene av objekter som korrespondansen er etablert mellom og regelen for etablering av korrespondansen er fullstendig definert. Tallrike eksempler på slike korrespondanser ble studert på skolen. Først av alt er dette selvfølgelig funksjoner. Enhver funksjon er et eksempel på korrespondanse. Faktisk, vurder for eksempel funksjonen på = X+ 3. Hvis det ikke er spesifikt sagt om definisjonsdomenet til funksjonen, anses det at hver numerisk verdi av argumentet X tilsvarer numerisk verdi på, som finnes etter regelen: til X du må legge til 3. I dette tilfellet etableres korrespondanse mellom settene R Og R reelle tall.
Merk at det å etablere forbindelser mellom to sett X Og Y assosiert med hensynet til par av gjenstander dannet fra elementer i settet X og de tilsvarende elementene i settet Y.
Definisjon. Samsvar mellom settene X Og Y kall en hvilken som helst ikke-tom delmengde av et kartesisk produkt X ´ Y.
En haug med X kalt avgangsområde fyrstikker, sett Y – ankomstområde samsvar.
Korrespondanser mellom sett er vanligvis betegnet med store bokstaver latinske alfabetet, for eksempel, R, S, T. Hvis R– noe korrespondanse mellom settene X Og Y, da, i henhold til definisjonen av korrespondanse, RÍ X´ Y Og R≠ Æ. Tidskorrespondanse mellom settene X Og Y er hver delmengde av det kartesiske produktet X ´ Y, dvs. er et sett med ordnede par, så er metodene for å spesifisere samsvar i hovedsak de samme som metodene for å spesifisere sett. Altså, matching R mellom settene X Og Y du kan stille inn:
a) liste opp alle par av elementer ( x, y) Î R;
b) indikerer karakteristisk egenskap, som alle parene har ( x, y) settene R og ingen par som ikke er dets element besitter det.
EKSEMPLER.
1) Samsvar R mellom settene X= (20, 25) og Y= (4, 5, 6) spesifiseres ved å angi den karakteristiske egenskapen: " X flere på»,
X Î X, på Î Y. Så mange R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) Samsvar R mellom settene X= (2, 4, 6, 8) og
Y= (1, 3, 5) gitt av et sett med par R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Hvis R– korrespondanse mellom to numeriske sett X Og Y, da, viser alle par med tall som samsvarer R på koordinatplan, får vi en figur som kalles en korrespondansegraf R. Omvendt betraktes enhver delmengde av punkter på koordinatplanet som en graf av en viss korrespondanse mellom numeriske sett X Og Y.
Matchende graf
For å visuelt vise samsvar mellom endelige sett, brukes grafer i tillegg til grafer. (Fra gresk ord"grapho" - jeg skriver, sammenligner: graf, telegraf).
Å konstruere en korrespondansegraf mellom sett X Og Y elementene i hvert av settene er avbildet som punkter på flyet, deretter tegnes piler fra X Î X Til på Î Y, hvis par ( x, y) tilhører denne korrespondansen. Resultatet er en tegning bestående av prikker og piler.
EKSEMPEL Korrespondanse R mellom settene X= (2, 3, 4, 5) og Y= (4, 9) er gitt ved å liste parene R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
På samme måte kan du skrive 4 R 4, 3R 9. Og generelt, hvis et par
(x, y) Î R, så sier de at elementet X Î X samsvarer med element på Î Y og skriv ned xRу. Element 2 О X kalt det omvendte bildet av elementet
4 Î Y underlagt overholdelse R og er betegnet 4 R-1 2. På samme måte kan du skrive 4 R -1 4, 9R -1 3.
valg 1
№
En korrespondanse mellom settene X og Y er en hvilken som helst _________________________________ ________________________________________________________________ X x Y .
№2. I figurene er samsvar mellom sett spesifisert ved hjelp av grafer. Angi en samsvarsgraf der matchdefinisjonsdomenet ikke sammenfaller med samsvarsopprinnelsessettet.
№
1
) graf, 2) graf, 3) opplisting av par, 4) karakteristisk egenskap
EN 
) b) EN<
b
№4. Hvilken figur viser inverse korrespondansegrafer?
EN 
) b) c) d)
№5. Mellom settene M = (A, B, C, D, D) og N = (1, 2, 3, 4, 5) er det gitt en korrespondanse Q: "element m går i det russiske alfabetet under nummeret n " Spesifiser sanne utsagn:
Settene M og N er like store.
Definisjonsdomenet for korrespondansen Q sammenfaller med dets verdisett.
№6. (Praktisk oppgave). Mellom settene A = (1, 2, 3, 4, 5) og B = (2, 4, 6, 8,10) er en korrespondanse T spesifisert: " EN mindre b på 2"
List opp T-matchende par
Sett korrespondansen T -1, den inverse av den gitte, liste opp parene
Konstruer korrespondansegrafer mellom T og T -1 i samme koordinatsystem
Test om emnet "Korrespondanser mellom sett"
Alternativ 2
№1. Fyll inn de manglende ordene i setningen:
Korrespondansen mellom settene X og Y er et sett av ____________________________, hvor den første komponenten er __________________ til settet X, og den andre er ____________________.
№2. I figurene er samsvar mellom sett spesifisert ved hjelp av grafer. Gi en matchgraf der settet med matchverdier samsvarer med settet med kampankomster.
№3. Match navnet på samsvarsmetoden og bildet.
1), opplisting av par 2) karakteristisk egenskap, 3) graf, 4) graf
a) b) EN<
b
c) P = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)
№4. Hvilken figur viser en en-til-en korrespondansegraf?
EN ) b) c) d)
№5. Mellom settene A = ( 1, 2, 3, 4, ) og B = ( 2, 4, 6, 8, 9) er en korrespondanse Q spesifisert: " EN mindre b 3 ganger." Vennligst oppgi de riktige påstandene:
Korrespondansen er en-til-en.
Korrespondanse" b mer EN 3 ganger" er det motsatte av dette.
Det matchende domenet til Q faller ikke sammen med opprinnelsessettet.
№6. (Praktisk oppgave). Mellom settene M = (1, 2, 3, 4, 5) og N = (1, 2, 4, 6, 8,10) er det gitt en korrespondanse T: m 2 = n
List opp de matchende parene av T.
List opp korrespondanseparene T -1 invers til den gitte, konstruer grafen.
Konstruer korrespondansegrafer mellom T og T -1 i samme koordinatsystem.
Test om emnet "Korrespondanser mellom sett"
Svartabell.
Valg 1.
Alternativ 2.
Delsett; Kartesisk produkt av sett
Bestilte par; tilhører; sett Y
1d, 2a, 3c, 4b
1c, 2b, 3d, 4a
a, b
b,c
Vurderingskriterium:
№1-2 poeng
№2 – 1 poeng
№3 – 1 poeng
№4 – 1 poeng
№5 – 3 poeng
№6 – 4 poeng
Totalt 12 poeng.
Merker:
12-11 poeng – 5
10 – 9 poeng – 4
8 – 6 poeng – 3
Mindre enn 6 poeng – 2
valg 1
№1. Fyll inn de manglende ordene i setningen:
En relasjon på settet X er en hvilken som helst _________________________________ ________________________________________________________________ X x X.
№2. På settet A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) gitt ulike relasjoner:
Spesifiser kolonnene:
№
ekvivalensforhold.
ordreforhold
parallellisme forhold på settet av rette linjer i planet
№
EN ) b) c) d)
№5. Sammenlign relasjonene som er definert på et sett med hus og deres egenskaper:
"har samme antall etasjer"
"har flere leiligheter"
"skal bygges 2 år tidligere"
Refleksivitet
Symmetri
Antisymmetri
Transitivitet
№X ikke eldre på", definert på et sett med barn. Er dette forholdet av orden?
Olga 7 år gammel
Nikolai 8 år
Valentin 9 år gammel
Anatoly 8 år gammel
Svetlana 7 år gammel
Peter 7 år gammel
Test om emnet "Relasjoner mellom sett"
Alternativ 2
№1. Fyll inn de manglende ordene i setningen:
En relasjon på en mengde X er en mengde ______________________________, hvis komponenter ____________ til mengden X.
№2. Ulike relasjoner er gitt på settet (2, 3, 5, 7, 9):
Spesifiser kolonnene:
№
3. Bruk grafen til å finne ut hvilke av relasjonene som er:
ordreforhold
relasjon "mindre enn eller lik" på settet N
№4. Hvilken figur viser grafen over sammenhenger mellom mengder?
EN ) b) c) d)
№5. Sammenlign relasjonene som er definert på settet med elever i klassen og deres egenskaper:
"bor i samme gate"
"vær 1 år eldre"
"bo nærmere skolen"
Refleksivitet
Symmetri
Antisymmetri
Transitivitet
№6. (Praktisk oppgave). Konstruer en relasjonsgraf " X har samme kjønn som på", definert på et sett med barn. Er denne relasjonen en ekvivalensrelasjon?
Olga
Nikolai
Valentine
Anatoly
Svetlana
Peter
Test om emnet "Relasjoner mellom sett"
Svartabell.
Valg 1.
Alternativ 2.
Delsett; Kartesisk produkt av et sett (kartesisk firkant)
Bestilte par; tilhøre; sett X
1a, 2a, 3a, b, 4b, 5a, 6b, 7b
1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c
1a, 2b, 3a, d
la, b, 2c
a – 1, 2, 4; b – 3, 4; klokken 3
a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4
Vurderingskriterium:
№1-2 poeng
№2 – 7 poeng
№3 – 3 poeng
№4 – 1 poeng
№5 – 3 poeng
№6 – 2 poeng
Totalt 18 poeng.
Merker:
18-17 poeng – 5
16 – 13 poeng – 4
12 – 9 poeng – 3
Mindre enn 9 poeng – 2
Den nære forbindelsen mellom elementer i et system bestemmes av fysisk, eller rettere sagt, naturlige relasjoner mellom dem, eller andre grunnleggende egenskaper ved systemet, for eksempel økonomiske, sosiale, som karakteriserer utviklingen av det menneskelige samfunn.
Dybden av slike forbindelser avhenger av systemets nivå i hierarkiet av systemer knyttet til fagområde eksistensen av emnet som studeres komplekst objekt. Forbindelser inkluderer både generelle relasjoner mellom elementene i naturen og samfunnet som utgjør systemet, og private knyttet til et visst begrenset spekter av dets elementer. I forbindelse med ovenstående kalles disse forbindelsene enten generelle lover natur (fundamental) eller privat, knyttet til et begrenset sett med fenomener (empiriske lover) eller til trender som viser seg i form av noen repetisjoner i massefenomener og ringte regelmessigheter.
Grunnleggende sammenhenger kalles lover. Juss er en filosofisk kategori som har egenskapene til universalitet i forhold til alle naturlige gjenstander, fenomener, hendelser. I denne forbindelse er definisjonen av loven som følger: en lov er et viktig, stabilt, repeterende forhold mellom ethvert fenomen.
Loven uttrykker en viss sammenheng mellom systemene i seg selv, bestanddeler assosiasjoner av objekter og fenomener, så vel som innenfor selve objektene og fenomenene.
Ikke enhver forbindelse er lov. Det kan være nødvendig og tilfeldig, Loven er en nødvendig forbindelse. Det uttrykker den essensielle forbindelsen mellom ting som sameksisterer i rommet (materielle formasjoner, i generell forstand).
Alt nevnt ovenfor gjelder lover om funksjon(eksistens naturlige omgivelser eller kunstig skapt av mennesker). Det er også utviklingslover, som uttrykker trenden, retningen eller rekkefølgen av hendelser i tid. Alle naturlover- er ikke laget av menneskelige hender, de eksisterer objektivt i verden og uttrykker tings forhold, og reflekteres også i menneskelig bevissthet.
Som allerede nevnt er lover delt inn etter graden av generalitet. Universelle lover er filosofiske lover. De grunnleggende naturlovene, i sin alminnelighet, er også delt inn i to store klasser. Til mer generelle, studert av en rekke, eller til og med en absolutt rekke vitenskaper (disse inkluderer for eksempel lovene om bevaring av energi og informasjon, etc.). Og mindre generelle lover, som strekker seg til begrensede områder, studert av spesifikke vitenskaper (fysikk, kjemi, biologi).
Empiriske lover studeres av spesielle vitenskaper, som inkluderer alle tekniske vitenskaper. Som et eksempel kan vi ta disiplinen med materialers styrke. Den studerer fag og systemer der alle grunnleggende lover og empiriske lover gjelder, basert på eksperimentelle data som kun er relatert til fagene i disiplinen. mekaniske kropper, som følger Hookes lov: deformasjonen av en kropp er direkte proporsjonal med kraften som virker på kroppen (og omvendt).
I tekniske vitenskaper det er seksjoner som er basert på mer spesifikke empiriske sammenhenger, akseptert som aksiomer.
Noen lover uttrykker en streng kvantitativ avhengighet og er faste matematiske formler, mens andre ennå ikke kan formaliseres, noe som indikerer den obligatoriske karakteren av en type hendelse på grunn av forekomsten av en annen, for eksempel.
Noen lover - fast bestemt, det vil si - det vil si at de er etablert på grunnlag av kausalitet - etterforskningsforbindelser eksakte kvantitative forhold, andre - statistisk, som fastslår sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe under visse forhold.
I naturen fungerer lover som en spontan kraft. Men med kjennskap til lovene kan de brukes målrettet i praktiske aktiviteter(som kraften til damptrykket i dampmotorer, som kraften til komprimert gass i forbrenningsmotorer).
Sosialhistoriske lover er ikke mye forskjellig fra naturlovene, men de opererer mellom tenkende mennesker. Kunnskap om disse lovene hjelper bedre organiseringøkonomi og samfunn.
Dermed er studiet av naturens og samfunnets lover menneskehetens primære oppgave. Kun kunnskap om lovene og utvikling av tiltak for riktig bruk kan gi den utviklende og voksende menneskeheten mat og miljøet av kunstig skapte forhold der den kan eksistere.
Hastigheten på å løse nye problemer som oppstår avhenger av hvor mye reserve vitenskapelig kunnskap folk spart opp til for øyeblikket og hvordan den ble behandlet og forstått. Forståelse av vitenskapelig kunnskap fører til formuleringen vitenskapelig problem, hvis løsning kan føre til fullføring av teorien om dette spekteret av spørsmål og bruk av strengere konklusjoner i praktiske spørsmål. Vitenskapelig problem- ikke bare en filosofisk kategori i den beskrevne forstand, men også en praktisk, som avhenger av hvordan teoretisk vitenskap, så vel som dens praktiske implementering i folks liv.
Fra denne forklarende delen av betydningen av et vitenskapelig problem for fullstendigheten av en teori, følger også dens definisjon: et vitenskapelig problem er en motstridende situasjon som opptrer i form av motsatte posisjoner i forklaringen av ethvert fenomen, objekt, prosess og krav. en tilstrekkelig enkelt teori for å løse det.
En viktig forutsetning for en vellykket løsning er dens riktig plassering. Se motsetningene i det mottatte empirisk kunnskap, å ta hensyn til dem og reise spørsmålet om å eliminere denne motsetningen betyr å begynne løsningen av et vitenskapelig problem og vitenskapens fremgang mot fremskritt. Det er ikke uten grunn at i vitenskapen blir mennesker som er i stand til å formulere problemer aktet enda mer enn forskere som spesifikt har løst det formulerte problemet. Formulering av feil problemer fører til stor stagnasjon i vitenskapen.
Kategorien «vitenskapelig problem» er direkte relatert til kategorien "hypotese". Hypoteser brukes først og fremst til å teoretisk eliminere motsetningene i et vitenskapelig problem. Slike hypoteser (antakelser), hvis de lykkes, blir til og med grunnleggende teorier (Newtons antagelse om tiltrekningskraften mellom to fysiske kropper).
Hypoteser brukes også i tekniske vitenskaper, hvor de er av en spesiell karakter og representerer en beskrivelse av metoden for samhandling av faktorer som bestemmer oppførselen til objektet som studeres og dets elementer. I dette tilfellet kalles hypotesen arbeidshypotese, som, som i vitenskapelig problem, kan bevises eller avvises på grunnlag av eksperimentelle data.
Derfor er en hypotese en antagelse om et sannsynlig (mulig) endringsmønster i et fenomen, objekt, hendelse som ikke er bevist, men virker sannsynlig.
Nytten av hypotesen er at den mobiliserer forskere til å formulere problemer eksperimentelt arbeid for å bevise riktigheten av den oppgitte hypotesen. Og hvis et annet resultat oppnås, vil det akkumulerte materialet tillate oss å korrigere hypotesen og planlegge videre vitenskapelig forskningsarbeid.
I en mer generell formulering består modellering som metode for vitenskapelig metodikk i overgangen fra uformelt meningsfulle ideer om objektet som studeres til bruk av matematiske modeller.
Det teoretiske nivået på modeller innhentet på grunnlag av aksiomer, regler for utledning av teoremer og korrespondanseregler økes ytterligere på grunnlag av hypotisk-deduktive bestemmelser med formulering av konsekvenser oppnådd ved å analysere de fremsatte hypotesene. Det matematiske apparatet som brukes i dette tilfellet er bare et middel for å skaffe ny kunnskap og på ingen måte endelig mål metodisk analyse.
For kompilering matematisk modell bruken av den følger, hvis formål er å innhente informasjon som manglet før opprettelsen, dvs. den resulterende modellen må være heuristisk. Det er denne handlingen som gjør metodikken til eksperimentell vitenskap, som tillater verifisering av konklusjonene i praksis.
Modellen og dens egenskaper.
Formalisering eksisterende kunnskap om systemet som studeres (av kompilatoren av modellen) lager en modell for å oppnå de nødvendige egenskapene til systemet: konsistens; fullstendighet; uavhengighet av aksiomsystemet; innhold. Et godt eksempel oppfyllelsen av disse egenskapene er teoriene om ikke-euklidiske geometrier til Lobachevsky, Gauss, Bolyai på 1800-tallet. Italieneren Beltrami viste at det finnes ekte kropper, på overflaten som lovene til Lobachevsky-geometrien er oppfylt.
Ved begynnelsen av den teoretiske forståelsen av menneskelig kunnskap gikk utviklingen av teorier alltid fra spesielle tilfeller til det generelle. For tiden har metoder for modellering av objekter dukket opp basert på strukturering av en matematisk modell. Kjeden for utvikling av slik kunnskap går til omvendt rekkefølge. Først vises en aksiomatisk matematisk beskrivelse av hendelsen (objektet) som studeres, og på grunnlag av den formuleres den. konseptuell modell– paradigme. Sammen med dette endres også prinsippene for etterlevelse. naturlige prosesser Og teoretiske opplegg(modeller). I stedet for et enkelt sammentreff av beregningsresultatene i henhold til modellen med eksperimentelle data fra eksperimenter, vurderer vi komparative egenskaper deres matematiske algoritmer oppnå resultater i andre (indirekte) parametere. Disse prinsippene inkluderer for eksempel prinsippene enkelhet og skjønnhet vitenskapelige teorier . Dessuten introduseres modellen i dette tilfellet med et nytt matematisk apparat sammen med tolkning, dvs. Utgangspunktet i den er en matematisk formalisme som er i stand til å forklare på matematikkspråket en viss essens som viser seg i erfaring. Det er dette trinnet som gjør empirisk verifisering vanskelig, siden ikke bare beskrivelsesligningen, men også tolkningen av den må verifiseres av erfaring.
Angitt matematisk apparat i dette tilfellet inneholder den ikke-konstruktive elementer som i ettertid kan føre til misforhold mellom teori og erfaring. Det skal bemerkes at dette nettopp er spesifisiteten til moderne Vitenskapelig forskning. På den annen side truer denne egenskapen ved moderne vitenskapelig forskning muligheten for å forkaste det foreslåtte lovende apparatet. For å forhindre at dette skjer, er det nødvendig å ta opp denne siden av saken separat - eliminere avvik på grunnlag av eksperimentet (et eksempel kan være kvantefysikken og elektrodynamikk).
Gammelt system klassisk fysikk tolkninger vitenskapelige fakta omgjort til en trinnvis "skaping" av en omtrentlig matematisk utformet teori reell prosess til den originale modellen. Spørsmålet oppstår, hva som presser forskere til en slik handlingsalgoritme, dvs. Hva er motivasjonen for denne måten å danne et teoretisk bilde på? Til dette gir vitenskapens metodikk et meget bestemt svar: sannhetens egenverdi; nyhetsverdi.
Alt det ovennevnte oppnås ved å bruke følgende forskningsprinsipper: a) forbud mot plagiering; b) tillatelse av kritisk revisjon av begrunnelsen Vitenskapelig forskning; c) likhet for alle (inkludert genier) i møte med sannheten; d) forbud mot forfalskning og bedrageri
Et eksempel på dette er Einstein-Lorentz-forbindelsen. Den første i henhold til den da uoffisielle vurderingen var mindre autoritativ på den tiden, men dens elementer i relativitetsteorien ble til grunnleggende teori. .
Til tross for de mange arbeidene med matematisk modellering, har det dukket opp noen problemer med å formulere det eksakte konseptet matematisk modellering. De (modeller) og innholdet deres er for mangfoldig. Generelt er det klart at det kreves noe mer av modellen enn en sammenligning med virkeligheten: Modellen må nødvendigvis gi informasjon om egenskapene til de simulerte objektene og fenomenene. Derfor bør en akseptabel definisjon av en modell være en som ikke inkluderer spesielle usikkerheter. For eksempel: en modell av et gitt objekt er et annet objekt som sammenlignes med originalen, modellert og visse egenskaper som reflekterer (lagrer) de valgte egenskapene til objektet på en gitt måte.
Modellen skal gjenspeile alt kjent (noen ganger noen kjente egenskaper) om et objekt og forutsi eller form ny informasjon om ham i alle nye eksistensforhold. Hensikten med modelleringen er Dermed - funksjon representasjon (beskrivelse) hvis det er en forklaring på fenomenene som modellen vurderer. Det er i dette tilfellet at modellen fungerer som en teori. Og til tross for dette er den skarpe motsetningen mellom de matematiske (formelle) og materielle sidene av modellen som helhet uholdbar. Tar vi hensyn til den spesifikke siden av dannelsen av modellen, kan vi oppsummere at matematikk fungerer som det viktigste middelet utvikle meningsfulle ideer om fenomenet som studeres gjennom hele studiet.
Tema 8. Relasjoner og korrespondanser
Konseptet med et binært forhold mellom elementer i et sett
I hverdagen snakker vi hele tiden om forholdet mellom to objekter. For eksempel jobber x for ledelse, x er en far, x og y er venner - dette er relasjoner mellom mennesker. Tall flere tall m, et tall er delelig med y, tall og y når de er delt på 3 gir den samme resten - dette er relasjonene mellom tall.
Enhver matematisk teori omhandler et sett med noen objekter eller elementer. Å bygge matematisk teori Vi trenger ikke bare selve elementene, men også relasjonene mellom dem. For tall gir begrepet sammenheng mening: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
Alle disse relasjonene angår to objekter. Det er derfor de kalles binære relasjoner.
Når vi vurderer visse relasjoner, har vi alltid å gjøre med ordnede par dannet fra elementene i et gitt sett. For eksempel, for relasjonen "tallet x er 4 større enn tallet y", som anses på settet X = (2, 6, 10, 14), vil disse bli ordnet par (6,2), (10) , 6), (14, 10). De er en undergruppe av det kartesiske produktet X X .
Definisjon. En binær relasjon mellom elementer i et sett X eller en relasjon på et sett X er en hvilken som helst delmengde av det kartesiske produktet X X.
Binære relasjoner er vanligvis betegnet med store bokstaver Latinsk alfabet: P, T, S, R, Q, etc. Så hvis P er en relasjon på en mengde X, så P X X. Settet med alle første elementer av par fra P kalles definisjonsdomenet til relasjonen P. Settet med verdier av relasjonen P er settet av alle andre elementer av par fra P.
I mange tilfeller er det praktisk å bruke grafisk bilde binær relasjon.
Elementer i settet X er representert med punkter, og piler forbinder de tilsvarende elementene slik at hvis (x,y)P(xPy) oppstår, så tegnes pilen fra punkter til punkter. Den resulterende tegningen kalles en relasjonsgraf P, og punktene som representerer elementene i settet X
toppunktene i grafen.
For eksempel er grafen for relasjonen P: "tall - deler av tall", definert på settet X = (5, 10, 20, 30,40), vist i fig. 54.
Piler i en graf hvis begynnelse og slutt er det samme punktet kalles løkker. Hvis på relasjonsgrafen P endre retningene til alle pilene til
motsatt, så vil en ny relasjon fås, som kalles invers for P. Den er betegnet P -1. Merk at xPy yP -1 x.
Metoder for å spesifisere binære relasjoner, deres egenskaper
Siden forholdet R mellom elementene i settet X er et sett hvis elementer er ordnede par, kan det spesifiseres på samme måte som ethvert sett.
Oftest er relasjonen R på settet X spesifisert ved å bruke den karakteristiske egenskapen til par av elementer som er i relasjonen R. Denne egenskapen er formulert som en setning med to variabler. For eksempel, blant relasjonene på settet X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) kan følgende vurderes: "nummer mindre antall y er 2 ganger", "tall er en divisor av tallu", etc.
En relasjon R på et sett X kan også defineres ved å liste opp alle par av elementer hentet fra settet X og forbundet med forhold R.
For eksempel, hvis vi skriver ned et sett med par (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,
4), deretter på settet | X = (1, 2, 3, 4) vi vil sette noen |
holdning | |
R = ((x, y)| x X, y | X, x< y} . |
Den samme relasjonen R kan spesifiseres ved hjelp av en graf (fig.). La oss fremheve de viktigste egenskapene binære relasjoner.
Definisjon 1. En relasjon R på en mengde X kalles refleksiv hvis hvert element fra mengden X er i denne relasjonen med seg selv.
Kort sagt denne definisjonen kan skrives som følger: R er refleksiv på X xRx for enhver x X.
Selvfølgelig, hvis en relasjon R på et sett X er refleksiv, så er det en løkke ved hvert toppunkt av relasjonsgrafen. Det motsatte utsagnet er også sant.
Eksempler på refleksive relasjoner er relasjonene: "å være lik på settet av alle trekanter i planet", "x ≤ y".
Legg merke til at det er relasjoner som ikke har egenskapen refleksivitet, for eksempel forholdet vinkelrett på linjer.
Definisjon 2. En relasjon R på en mengde X kalles symmetrisk hvis for noen elementer i X følgende betingelse er oppfylt: hvis x og y er i relasjon R, så er y også i denne relasjonen.
Kort sagt: R er symmetrisk på X xRy yRx.
En symmetrisk relasjonsgraf har egenskapen: hvis det er en pil som forbinder et par elementer, så er det nødvendigvis en andre som forbinder de samme elementene, men går i motsatt retning. Det motsatte er også sant.
Eksempler på symmetriske relasjoner er relasjonene: "å være gjensidig vinkelrett på settet av alle rette linjer i planet", "å være likt på settet av alle rektangler i planet".
Definisjon 3. Hvis det for ingen elementer og y fra mengden X kan skje at både xRy og yRx er tilstede samtidig, så kalles relasjonen R på mengden X asymmetrisk. Et eksempel på et asymmetrisk forhold: "å være far" (hvis ih - til en far, så kan du ikke være far).
Definisjon 4. Relasjonen R på mengden X kalles antisym-
For eksempel er forholdet "mindre enn" på settet med heltall antisymmetrisk.
En antisymmetrisk relasjonsgraf har en spesiell funksjon: hvis to toppunkter på grafen er forbundet med en pil, er det bare én pil. Det motsatte utsagnet er også sant. Egenskapen til asymmetri er en kombinasjon av egenskapen til antisymmetri og mangel på refleksivitet.
Definisjon 5. En relasjon R på en mengde X kalles transitiv hvis for noen elementer x, y, z X er følgende betingelse oppfylt: hvis x er i relasjonen R og y er i relasjonen R cz, så er elementet x i relasjonen R med elementet z.
Kort sagt: R er transitiv på X xRy og yRz xRz.
For eksempel er forholdet "en linje x er parallell med en linje," definert på settet med linjer i et plan, transitiv.
Den transitive relasjonsgrafen har en spesiell funksjon: med hvert par av piler som går fra x til ky og oty til z, inneholder den også en pil som går fra x til z. Det motsatte er også sant.
Merk at det er relasjoner som ikke har egenskapen transitivitet. For eksempel er forholdet "å stå ved siden av hverandre på en hylle" ikke transitivt.
Ekvivalensforhold
La X være et sett med mennesker. På dette settet definerer vi en binær relasjon R ved å bruke loven: aRb, hvis a og b ble født i samme år.
Det er lett å verifisere at relasjonen R har egenskapene refleksivitet, symmetri og transitivitet. Relasjonen R sies å være en ekvivalensrelasjon.
Definisjon 1. En binær relasjon R på en mengde X kalles en ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv.
La oss gå tilbake til relasjonen R, definert på et sett av mennesker ved loven: aRb, hvis a og b ble født i samme år.
Sammen med hver person a, vurder settet med personer K a som ble født i samme år sa. To sett K a og K b har heller ikke felles elementer, eller helt sammenfallende.
Settet med sett Ka representerer en oppdeling av settet av alle mennesker i klasser, siden det av konstruksjonen følger at to betingelser er oppfylt: hver person er inkludert i en klasse og hver person er inkludert i bare en klasse. Merk at hver klasse består av personer født samme år.
Dermed genererer ekvivalensrelasjonen R en partisjon av settet X i klasser (ekvivalensklasser). Det motsatte er også sant.
Teorem. Hver ekvivalensrelasjon på settet X tilsvarer en partisjon av settet X i klasser (ekvivalensklasser). Hver partisjon av sett tilsvarer en ekvivalensrelasjon på settet X.
Vi aksepterer dette teoremet uten bevis.
Det følger av teoremet at hver klasse oppnådd som et resultat av å dele et sett i klasser bestemmes av en hvilken som helst (en) av dens representanter, noe som gjør det mulig, i stedet for å studere alle elementene i et gitt sett, å studere bare samlingen individuelle representanter hver klasse.
Ordreforhold
Vi bruker hele tiden ordrerelasjoner i Hverdagen. Definisjon 1. Hver antisymmetrisk og transitiv relasjon R på
noen mengder X kalles en ordensrelasjon.
Et sett X som det er gitt en ordrerelasjon på, kalles bestilt.
La oss ta settet X = (2, 4, 10, 24). Den er ordnet etter relasjonen "x er større" (fig. 63).
La oss nå se på en annen relasjon av rekkefølgen "x deler
y" (fig. 64).
Resultatet av denne anmeldelsen kan virke merkelig. Relasjonene "x er større" og "x deler" ordner mengden X på forskjellige måter. X-større relasjonen lar deg sammenligne to vilkårlige tall fra
sett X. Når det gjelder relasjonen «x deler», har den ikke en slik egenskap. Så paret med tall 10 og 24 er ikke knyttet til dette forholdet.
Definisjon 2. En ordensrelasjon R på et sett X kalles en relasjon lineær rekkefølge, hvis den har følgende egenskap: for alle elementer u
settet X er enten xRy eller yRx.
Et sett X som det er gitt en lineær ordensrelasjon på, kalles lineært ordnet.
Lineært ordnede sett har en rekke egenskaper. La a, b, c være elementer i mengden X som den lineære ordensrelasjonen R er spesifisert på. Hvis aRb og bRc, så sier vi at element b ligger mellom elementene a og .
Et lineært ordnet sett X kalles diskret hvis det mellom to av elementene bare ligger et begrenset sett med elementer.
Hvis for noen to ulike elementer lineært ordnet sett X er det et element av mengden som ligger mellom dem, da kalles mengden X tett.
Konseptet med korrespondanse mellom sett. Metoder for å spesifisere korrespondanser
La to sett X og Y gis. Hvis for hvert element x X er spesifisert til elementet Y som det matches med, så sies det å etableres en korrespondanse mellom settene X og Y.
Med andre ord, korrespondansen mellom elementene i settene X og Y er en hvilken som helst delmengde G av det kartesiske produktet X og Y av disse settene: G X Y .
Siden et samsvar er et sett, kan det spesifiseres på samme måte som ethvert sett: ved å liste opp alle parene (x, y), der
Når mengdene X og Y er endelige, kan samsvaret mellom elementene spesifiseres i en tabell der elementene i mengden X er skrevet i venstre kolonne, og elementene i mengden Y er skrevet i den øverste raden. Par av elementer som samsvarer med G vil være i skjæringspunktet mellom de tilsvarende kolonnene og radene.
Korrespondansen mellom to endelige sett kan også vises ved hjelp av en graf. Settene X og Y vises som ovaler, elementene i settene X og Y er angitt med prikker, og de tilsvarende elementene er forbundet med piler slik at hvis (x,y) G oppstår, så tegnes pilen fra punkter til poeng.
For eksempel, grafen vist i fig. 16, setter korrespondansen "Skriver x skrev verket."
Når mengdene og Y er numeriske, er det mulig å konstruere en korrespondansegraf av G på koordinatplanet.
Korrespondanse er det motsatte av den gitte. En-til-en korrespondanser
La R være korrespondansen "Tallet er fem ganger mindre enn tallet" mellom elementene i settene X = (1, 2, 4, 5, 6) og
Y = (10, 5, 20, 13, 25).
Grafen for denne korrespondansen vil være som i fig. 23. Hvis du endrer retningen på pilene i denne grafen til
det motsatte, så får vi en graf (fig. 22) av den nye korrespondansen "Tallet y er fem ganger større enn tallet x", betraktet
mellom sett Y og X.
Denne korrespondansen kalles invers korrespondanse
korrespondanse til R, og er betegnet med R -1. | ||
Definisjon. La | R - samsvar | |
elementer i settene X og Y. Samsvar R-1 | ||
elementer i settene Y og X kalles inversen av den gitte, |
||
når (y, x) R -1 hvis og bare hvis (x, | y) R. |
|
Korrespondansene R og R -1 kalles gjensidig invers. | ||
Hvis settene X og Y er numeriske, så er grafen | ||
korrespondanse R -1, inversen av korrespondanse R, består av | ||
poeng, symmetriske punkter R korrespondansegrafikk | ||
i forhold til halveringslinjen til den første og | tredje | |
koordinatvinkler.
La oss forestille oss en situasjon: i auditoriet er det en tilskuer på hvert sete og det er et sted for hver tilskuer. I dette tilfellet sier de at mellom settet
seter i auditoriet og mengden av tilskuere har etablert en en-til-en korrespondanse.
Definisjon. La to sett X og Y gis. Korrespondansen mellom elementene i sett X og Y, der hvert element i sett X tilsvarer et enkelt element i sett Y, og hvert element i sett Y tilsvarer bare ett element fra sett X, kalles en-til-en.
La oss se på eksempler på en-til-en-korrespondanser. Eksempel 1. På hver skole, hver klasse
tilsvarer et kult magasin. Denne korrespondansen er en-til-en.
Eksempel 2. Gitt trekant ABC (Fig. 25).A 1 C 1 midtlinje i trekanten. La X være settet med punkter på segmentet A 1 C 1, Y settet med punkter på AC.
Vi kobler et vilkårlig punkt x av segmentet A 1 C 1 til toppunktet B i trekanten med et rett linjestykke og
La oss fortsette den til den skjærer med AC ved spiss. La oss matche punktene med punktet konstruert på denne måten. I dette tilfellet vil det etableres en en-til-en-korrespondanse mellom settene X og Y.
Definisjon. Settene X og Y kalles ekvivalente, eller like kraftige, hvis det kan etableres en-til-en-korrespondanse mellom dem på en eller annen måte. Ekvivalensen av to sett er angitt som følger: X ~ Y.
Maktbegrepet er en generalisering av kvantitetsbegrepet. Dette er en utvidelse av begrepet kvantitet til uendelige mengder.
For å bygge en matematisk teori trenger du ikke bare selve elementene, men også relasjonene mellom dem. For tall gir begrepet likhet mening: a = b. Hvis tallene a og b er forskjellige, ikke sant? b, da er det mulig enten a > b, eller a
To rette plan kan være vinkelrette, parallelle eller krysse i en viss vinkel.
Alle disse relasjonene angår to objekter. Det er derfor de kalles binære relasjoner.
For å studere relasjonene mellom objekter i matematikk ble teorien om binære relasjoner laget.
Når vi vurderer visse relasjoner, har vi alltid å gjøre med ordnede par dannet fra elementene i et gitt sett. For eksempel, for relasjonen "større med 4", som vurderes på settet X = (2, 6, 10, 14), vil disse bli bestilte par (2, 6), (6, 10), (10, 14), og for relasjoner "delt" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).
Det kan bemerkes at settet med par som definerer relasjonene "større enn med 4", "delelig", er delmengder av det kartesiske produktet
X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).
Definisjon 1. En binær relasjon mellom elementer i en mengde X eller en relasjon på en mengde X er en hvilken som helst delmengde av det kartesiske produktet X ´ X.
Binære relasjoner er vanligvis angitt med store bokstaver i det latinske alfabetet: P, T, S, R, Q, etc. Så hvis P er en relasjon på mengden X, så P Ì X ´ X. Ofte brukes forskjellige spesialsymboler å skrive relasjoner, for eksempel , =, >, ~, ½½, ^ osv. Settet med alle første elementer av par fra P kalles definisjonsdomenet til relasjonen P. Settet med verdier av relasjonen P er settet med alle andre elementer av par fra P.
For klarhetens skyld er binære relasjoner avbildet grafisk ved hjelp av en spesiell graftegning. Elementer i settet X er representert med prikker. Hvis (x, y) Î Р(хРу) holder, tegnes en pil fra punkt x til punkt y. En slik tegning kalles en relasjonsgraf P, og punktene som representerer elementene i settet X er toppunktene til grafen. piler som kanter på grafen.
Eksempel. La relasjonen P: "tallet x er en divisor av tallet y" gitt på settet
X = (5, 10, 20, 30, 40), vist i figur 25.
Piler i en graf hvis begynnelse og slutt er det samme punktet kalles løkker. Hvis du endrer retningen til alle pilene på relasjonsgrafen P til det motsatte, får du en ny relasjon, som kalles inversen for P. Den er betegnet P–1. Merk at xРу Û уР–1х.
Metoder for å spesifisere binære relasjoner.
Siden forholdet R mellom elementene i settet X er et sett hvis elementer er ordnede par, kan det spesifiseres på samme måte som ethvert sett.
1. Oftest spesifiseres relasjonen R på mengden X ved å bruke den karakteristiske egenskapen til elementpar som er i relasjonen R. Denne egenskapen er formulert i form av en setning med to variabler.
For eksempel, blant relasjonene på settet X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), kan vi vurdere følgende: "tallet x er 2 ganger mindre enn tallet y", "tallet x er en divisor tall y", "tallet x er større enn tallet y" og andre.
2. Relasjonen R på mengden X kan også defineres ved å liste opp alle par av elementer i mengden X relatert til relasjonen R.
For eksempel, hvis vi skriver ned et sett med par (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), så på sett X = (1, 2, 3, 4) vil vi definere en relasjon R. Den samme relasjonen R kan også gis
3. ved hjelp av en graf (fig. 26).
Egenskaper til binære relasjoner.
Definisjon 2. En relasjon R på en mengde X kalles refleksiv hvis hvert element fra mengden X er i denne relasjonen med seg selv.
Kort sagt: R er refleksiv på X Û xRx for enhver x О X.
eller, hva er det samme: ved hvert toppunkt av relasjonsgrafen er det en løkke. Det motsatte er også sant: hvis ikke hvert toppunkt i en relasjonsgraf har en løkke, så er det en refleksiv relasjon.
Eksempel. Refleksive relasjoner: "å være lik på settet av alle trekanter på planet", "? og £ på settet med alle reelle tall."
Merk at det er relasjoner som ikke har egenskapen refleksivitet (gi et eksempel "x er større enn y")
Definisjon 3. En binær relasjon R på en mengde X kalles antirefleksiv på X hvis for hver x fra X (x, x) Ï R, dvs. for hver x av X er betingelsen xRx ikke oppfylt.
Hvis en relasjon R er anti-refleksiv, har ingen toppunkt på grafen en løkke. Omvendt: hvis ingen toppunkt i grafen har en løkke, representerer grafen en anti-refleksiv relasjon.
Eksempler på antirefleksive relasjoner: «å være eldre», «å være mindre», «å være datter» osv.
Definisjon 4. En relasjon R på en mengde X kalles symmetrisk hvis, for noen elementer x, 
Î X betingelsen er oppfylt: hvis x og y er i en relasjon R, er y og x også i denne relasjonen.
Kort sagt: R er symmetrisk på X Û xRу Û yRx.
En symmetrisk relasjonsgraf har egenskapen: hvis det er en pil som forbinder et par elementer, så er det nødvendigvis en andre som forbinder de samme elementene, men går i motsatt retning. Det motsatte er også sant.
Eksempler på symmetriske relasjoner er relasjonene: "å være gjensidig vinkelrett på settet av alle rette linjer i planet", "å være likt på settet av alle rektangler i planet".
Definisjon 5. Hvis det for ingen elementer x og y fra mengden X kan skje at både xRy og yRx forekommer samtidig, så kalles relasjonen R på mengden X asymmetrisk.
Et eksempel på en asymmetrisk relasjon: "å være far" (hvis x er far til y, kan ikke y være far til x).
Definisjon 6. En relasjon R på en mengde X kalles antisymmetrisk hvis for ulike elementer x, y О X Fra det faktum at element x er i relasjon R med element y, følger det at element y ikke er i relasjon R med element x.
Kort sagt: R er antisymmetrisk på X Û xRу og x? y? .
For eksempel er forholdet "mindre enn" på settet med heltall antisymmetrisk.
En antisymmetrisk relasjonsgraf har en spesiell funksjon: hvis to toppunkter på grafen er forbundet med en pil, er det bare én pil. Det motsatte utsagnet er også sant.
Merk at det er relasjoner som verken har egenskapen til symmetri eller egenskapen til antisymmetri.
Definisjon 7. En relasjon R på en mengde X kalles transitiv hvis for noen elementer x, y, z О X følgende betingelse er oppfylt: hvis x er i relasjonen R med y og y er i relasjonen R med z, så er elementet x er i relasjonen R med elementet z.
Kort sagt: R er transitiv på X Û xRу og уRz? xRz.
For eksempel er relasjonen "linje x er parallell med linje y," definert på settet med linjer i et plan, transitiv.
Den transitive relasjonsgrafen har den særegenheten at for hvert par med piler som går fra x til y og fra y til z, inneholder den også en pil som går fra x til z. Det motsatte er også sant.
Merk at det er relasjoner som ikke har egenskapen transitivitet. For eksempel er forholdet "å stå ved siden av hverandre på en hylle" ikke transitivt.
Alle generelle egenskaper relasjoner kan deles inn i tre grupper:
refleksivitet (hvert forhold er refleksivt eller antirefleksivt),
symmetri (forholdet er alltid enten symmetrisk, asymmetrisk eller antisymmetrisk),
transitivitet (hver relasjon er transitiv eller ikke-transitiv). Forhold som har et visst sett eiendommer gis spesielle navn.