Først av alt må vi forstå konseptet med en vektor i seg selv. For å introdusere definisjonen geometrisk vektor La oss huske hva et segment er. La oss introdusere følgende definisjon.
Definisjon 1
Et segment er en del av en linje som har to grenser i form av punkter.
Et segment kan ha 2 retninger. For å betegne retningen vil vi kalle en av grensene til segmentet for begynnelsen, og den andre grensen for slutten. Retningen er angitt fra begynnelsen til slutten av segmentet.
Definisjon 2
En vektor eller rettet segment vil være et segment der det er kjent hvilken av grensene til segmentet som anses som begynnelsen og hvilken som er slutten.
Betegnelse: Med to bokstaver: $\overline(AB)$ – (der $A$ er begynnelsen, og $B$ er slutten).
Med en liten bokstav: $\overline(a)$ (fig. 1).
La oss nå introdusere begrepet vektorlengder direkte.
Definisjon 3
Lengden på vektoren $\overline(a)$ vil være lengden på segmentet $a$.
Notasjon: $|\overline(a)|$
Begrepet vektorlengde er for eksempel assosiert med et slikt konsept som likheten mellom to vektorer.
Definisjon 4
Vi vil kalle to vektorer like hvis de tilfredsstiller to betingelser: 1. De er kodireksjonelle; 1. Lengdene deres er like (fig. 2).
For å definere vektorer, skriv inn et koordinatsystem og bestemme koordinatene for vektoren i det angitte systemet. Som vi vet, kan enhver vektor dekomponeres i formen $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, der $m$ og $n$ er reelle tall, og $\overline(i)$ og $\overline(j)$ er enhetsvektorer på henholdsvis $Ox$- og $Oy$-aksen.
Definisjon 5
Vi vil kalle ekspansjonskoeffisientene til vektoren $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinatene til denne vektoren i det introduserte koordinatsystemet. Matematisk:
$\overline(c)=(m,n)$
Hvordan finne lengden på en vektor?
For å utlede en formel for å beregne lengden på en vilkårlig vektor gitt dens koordinater, vurder følgende problem:
Eksempel 1
Gitt: vektor $\overline(α)$ med koordinater $(x,y)$. Finn: lengden på denne vektoren.
La oss introdusere et kartesisk koordinatsystem $xOy$ på flyet. La oss sette til side $\overline(OA)=\overline(a)$ fra opprinnelsen til det introduserte koordinatsystemet. La oss konstruere projeksjoner $OA_1$ og $OA_2$ av den konstruerte vektoren på henholdsvis $Ox$ og $Oy$ aksene (fig. 3).
Vektoren $\overline(OA)$ vi har konstruert vil være radiusvektoren for punkt $A$, derfor vil den ha koordinater $(x,y)$, som betyr
$=x$, $[OA_2]=y$
Nå kan vi enkelt finne den nødvendige lengden ved å bruke Pythagoras setning, får vi
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Svar: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Konklusjon: For å finne lengden på en vektor hvis koordinater er gitt, er det nødvendig å finne roten til kvadratet av summen av disse koordinatene.
Eksempel på oppgaver
Eksempel 2
Finn avstanden mellom punktene $X$ og $Y$, som har følgende koordinater: henholdsvis $(-1.5)$ og $(7.3)$.
Hvilke som helst to punkter kan lett assosieres med konseptet med en vektor. Tenk for eksempel på vektoren $\overline(XY)$. Som vi allerede vet, kan koordinatene til en slik vektor finnes ved å trekke de tilsvarende koordinatene til startpunktet ($X$) fra koordinatene til sluttpunktet ($Y$). Det skjønner vi
Yandex.RTB R-A-339285-1Lengden på vektoren a → vil bli betegnet med a → . Denne notasjonen ligner modulen til et tall, så lengden til en vektor kalles også modulen til en vektor.
For å finne lengden på en vektor på et plan fra dens koordinater, er det nødvendig å vurdere et rektangulært kartesisk koordinatsystem O x y. La noen vektor a → med koordinater a x spesifiseres i den; ja. La oss introdusere en formel for å finne lengden (modulen) til vektoren a → gjennom koordinatene a x og a y.
La oss plotte vektoren OA → = a → fra origo. La oss bestemme de tilsvarende projeksjonene av punkt A på koordinatakser som A x og A y . Tenk nå på et rektangel O A x A A y med diagonal OA .
Fra Pythagoras setning følger likheten O A 2 = O A x 2 + O A y 2, hvorav O A = O A x 2 + O A y 2. Fra allerede kjent definisjon vektorkoordinater i rektangulære Kartesisk system koordinater finner vi at O A x 2 = a x 2 og O A y 2 = a y 2, og ved konstruksjon er lengden av OA lik lengden på vektoren OA →, som betyr OA → = OA x 2 + O A y 2.
Av dette viser det seg at formel for å finne lengden på en vektor a → = a x ; a y har tilsvarende form: a → = a x 2 + a y 2 .
Hvis vektoren a → er gitt som en utvidelse i koordinatvektorer a → = a x · i → + a y · j →, så kan lengden beregnes ved å bruke samme formel a → = a x 2 + a y 2, i i dette tilfellet koeffisientene a x og a y fungerer som koordinater for vektoren a → in gitt system koordinater
Eksempel 1
Regn ut lengden på vektoren a → = 7 ; e gitt inn rektangulært system koordinater
Løsning
For å finne lengden på en vektor, bruker vi formelen for å finne lengden på en vektor fra koordinatene a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Svar: a → = 49 + e.
Formel for å finne lengden til en vektor a → = a x ; et y; a z fra koordinatene i det kartesiske koordinatsystemet Oxyz i rommet, er utledet på samme måte som formelen for tilfellet på et plan (se figuren nedenfor)
I dette tilfellet er OA 2 = OA x 2 + OA y 2 + OA z 2 (siden OA er en diagonal rektangulært parallellepipedum), derav OA = OA x 2 + OA y 2 + OA z 2. Fra definisjonen av vektorkoordinater kan vi skrive følgende likheter O A x = a x ; O A y = a y ; OAz = az; , og lengden OA er lik lengden på vektoren som vi leter etter, derfor OA → = OA x 2 + O A y 2 + OA z 2 .
Det følger at lengden av vektoren a → = a x ; et y; a z er lik a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Eksempel 2
Regn ut lengden på vektoren a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , hvor i → , j → , k → er enhetsvektorene til det rektangulære koordinatsystemet.
Løsning
Vektornedbrytningen a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → er gitt, dens koordinater er a → = 4, - 3, 5. Ved å bruke formelen ovenfor får vi a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.
Svar: a → = 5 2.
Lengden på en vektor gjennom koordinatene til dens start- og sluttpunkt
Formler ble utledet ovenfor som lar deg finne lengden på en vektor fra dens koordinater. Vi vurderte saker på flyet og inn tredimensjonalt rom. La oss bruke dem til å finne koordinatene til en vektor fra koordinatene til dens start- og sluttpunkt.
Så gitt poengene med gitte koordinater A (a x ; a y) og B (b x ; b y), derfor har vektoren A B → koordinater (b x - a x ; b y - a y) som betyr at lengden kan bestemmes av formelen: A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2
Og hvis punkter med gitte koordinater A (a x ; a y ; a z) og B (b x ; b y ; b z) er gitt i tredimensjonalt rom, kan lengden på vektoren A B → beregnes ved hjelp av formelen
A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2
Eksempel 3
Finn lengden på vektoren A B → hvis i det rektangulære koordinatsystemet A 1, 3, B - 3, 1.
Løsning
Ved å bruke formelen for å finne lengden på en vektor fra koordinatene til start- og endepunktene på planet, får vi A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .
Den andre løsningen innebærer å bruke disse formlene etter tur: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -
Svar: A B → = 20 - 2 3.
Eksempel 4
Bestem ved hvilke verdier lengden på vektoren AB → er lik 30 hvis A (0, 1, 2); B (5, 2, X 2).
Løsning
Først, la oss skrive ned lengden på vektoren A B → ved hjelp av formelen: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2
Deretter likestiller vi det resulterende uttrykket til 30, herfra finner vi den nødvendige λ:
26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 og λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Svar: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.
Finne lengden på en vektor ved hjelp av cosinussetningen
Akk, i problemer er ikke alltid koordinatene til vektoren kjent, så vi vil vurdere andre måter å finne lengden på vektoren på.
La lengdene til to vektorer A B → , A C → og vinkelen mellom dem (eller cosinus til vinkelen) gis, og du må finne lengden på vektoren B C → eller C B → . I dette tilfellet bør du bruke cosinussetningen i trekanten △ A B C og beregne lengden på siden B C, som er lik ønsket lengde på vektoren.
La oss vurdere denne saken ved å bruke følgende eksempel.
Eksempel 5
Lengdene til vektorene A B → og A C → er henholdsvis 3 og 7, og vinkelen mellom dem er π 3. Regn ut lengden på vektoren B C → .
Løsning
Lengden på vektoren B C → er i dette tilfellet lik lengden på siden B C til trekanten △ A B C . Lengdene på sidene A B og A C i trekanten er kjent fra betingelsen (de er lik lengdene til de tilsvarende vektorene), vinkelen mellom dem er også kjent, så vi kan bruke cosinussetningen: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Dermed B C → = 37 .
Svar: B C → = 37.
Så for å finne lengden på en vektor fra koordinater, er det følgende formler a → = a x 2 + a y 2 eller a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , fra koordinatene til start- og sluttpunktene til vektoren A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 eller A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, i noen tilfeller bør cosinussetningen brukes .
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Vektorer. Handlinger med vektorer. I denne artikkelen vil vi snakke om hva en vektor er, hvordan man finner lengden og hvordan man multipliserer en vektor med et tall, samt hvordan man finner summen, differansen og skalært produkt to vektorer.
Som vanlig, litt av den mest nødvendige teorien.
En vektor er et rettet segment, det vil si et segment som har en begynnelse og en slutt:
Her er punkt A begynnelsen av vektoren, og punkt B er slutten.
En vektor har to parametere: lengde og retning.
Lengden på en vektor er lengden på segmentet som forbinder begynnelsen og slutten av vektoren. Vektorlengden er angitt
To vektorer sies å være like hvis de har samme lengde og co-regissert.
De to vektorene kalles co-regissert, hvis de ligger på parallelle linjer og er rettet i samme retning: vektorer og codirectional:
To vektorer kalles motsatt rettet hvis de ligger på parallelle linjer og er rettet i motsatte retninger: vektorer og , samt og er rettet i motsatte retninger:
Vektorer som ligger på parallelle linjer kalles kollineære: vektorer, og er kollineære.
Produkt av en vektor et tall kalles en vektor codirectional til vektoren hvis title="k>0">, и направленный в !} motsatt side, hvis , og hvis lengde er lik lengden på vektoren multiplisert med:
Til legg til to vektorer og du må koble begynnelsen av vektoren til slutten av vektoren. Sumvektoren forbinder begynnelsen av vektoren til slutten av vektoren:
Denne vektoraddisjonsregelen kalles trekantregel.
For å legge til to vektorer ved å parallellogramregel, må du utsette vektorene fra ett punkt og bygge dem opp til et parallellogram. Sumvektoren forbinder startpunktet til vektorene med motsatt vinkel parallellogram:
Forskjellen på to vektorer bestemmes gjennom summen: forskjellen av vektorer og kalles en slik vektor, som i sum med vektoren vil gi vektoren:
Det følger av dette regel for å finne forskjellen mellom to vektorer: for å subtrahere en vektor fra en vektor, må du plotte disse vektorene fra ett punkt. Differansevektoren forbinder slutten av vektoren til slutten av vektoren (det vil si slutten av subtrahenden til slutten av minuenden):
Å finne vinkel mellom vektor og vektor, må du plotte disse vektorene fra ett punkt. Vinkelen som dannes av strålene som vektorene ligger på kalles vinkelen mellom vektorene:
Skalarproduktet av to vektorer er tallet lik produktet lengdene til disse vektorene med cosinus til vinkelen mellom dem:
Jeg foreslår at du løser problemer fra Åpne bank oppgaver for , og sjekk deretter løsningen med VIDEO TUTORIALS:
1 . Oppgave 4 (nr. 27709)
To sider av et rektangel ABCD er lik 6 og 8. Finn lengden på forskjellen mellom vektorene og .
2. Oppgave 4 (nr. 27710)
To sider av et rektangel ABCD er lik 6 og 8. Finn skalarproduktet av vektorene og . (tegner fra forrige oppgave).
3. Oppgave 4 (nr. 27711)
To sider av et rektangel ABCD O. Finn lengden på summen av vektorene og .
4. Oppgave 4 (nr. 27712)
To sider av et rektangel ABCD er lik 6 og 8. Diagonalene skjærer hverandre i punktet O. Finn lengden på forskjellen mellom vektorene og . (tegner fra forrige oppgave).
5 . Oppgave 4 (nr. 27713)
Diagonaler av en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren.
6. Oppgave 4 (nr. 27714)
Diagonaler av en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren +.
7. Oppgave 4 (nr. 27715)
Diagonaler av en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren - .(tegning fra forrige oppgave).
8. Oppgave 4 (nr. 27716)
Diagonaler av en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren - .
9. Oppgave 4 (nr. 27717)
Diagonaler av en rombe ABCD skjære i et punkt O og er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren + .
10. Oppgave 4 (nr. 27718)
Diagonaler av en rombe ABCD skjære i et punkt O og er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren - .(tegning fra forrige oppgave).
11. Oppgave 4 (nr. 27719)
Diagonaler av en rombe ABCD skjære i et punkt O og er lik 12 og 16. Finn skalarproduktet av vektorene og (tegning fra forrige oppgave).
12 . Oppgave 4 (nr. 27720)
ABC er like Finn lengden på vektoren +.
1. 3 . Oppgave 4 (nr. 27721)
Fester vanlig trekant ABC er lik 3. Finn lengden på vektoren - (tegning fra forrige oppgave).
14. Oppgave 4 (nr. 27722)
Sidene av en vanlig trekant ABC er lik 3. Finn skalarproduktet av vektorene og . (tegner fra forrige oppgave).
Nettleseren din støttes sannsynligvis ikke. For å bruke treneren " Unified State Exam Hour", prøv å laste ned
Firefox
Først av alt må vi forstå konseptet med en vektor i seg selv. For å introdusere definisjonen av en geometrisk vektor, la oss huske hva et segment er. La oss introdusere følgende definisjon.
Definisjon 1
Et segment er en del av en linje som har to grenser i form av punkter.
Et segment kan ha 2 retninger. For å betegne retningen vil vi kalle en av grensene til segmentet for begynnelsen, og den andre grensen for slutten. Retningen er angitt fra begynnelsen til slutten av segmentet.
Definisjon 2
En vektor eller rettet segment vil være et segment der det er kjent hvilken av grensene til segmentet som anses som begynnelsen og hvilken som er slutten.
Betegnelse: Med to bokstaver: $\overline(AB)$ – (der $A$ er begynnelsen, og $B$ er slutten).
Med en liten bokstav: $\overline(a)$ (fig. 1).
La oss nå introdusere begrepet vektorlengder direkte.
Definisjon 3
Lengden på vektoren $\overline(a)$ vil være lengden på segmentet $a$.
Notasjon: $|\overline(a)|$
Begrepet vektorlengde er for eksempel assosiert med et slikt konsept som likheten mellom to vektorer.
Definisjon 4
Vi vil kalle to vektorer like hvis de tilfredsstiller to betingelser: 1. De er kodireksjonelle; 1. Lengdene deres er like (fig. 2).
For å definere vektorer, skriv inn et koordinatsystem og bestemme koordinatene for vektoren i det angitte systemet. Som vi vet, kan enhver vektor dekomponeres i formen $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, der $m$ og $n$ er reelle tall, og $\overline (i )$ og $\overline(j)$ er enhetsvektorer på henholdsvis $Ox$- og $Oy$-aksen.
Definisjon 5
Vi vil kalle ekspansjonskoeffisientene til vektoren $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ koordinatene til denne vektoren i det introduserte koordinatsystemet. Matematisk:
$\overline(c)=(m,n)$
Hvordan finne lengden på en vektor?
For å utlede en formel for å beregne lengden på en vilkårlig vektor gitt dens koordinater, vurder følgende problem:
Eksempel 1
Gitt: vektor $\overline(α)$ med koordinater $(x,y)$. Finn: lengden på denne vektoren.
La oss introdusere et kartesisk koordinatsystem $xOy$ på flyet. La oss sette til side $\overline(OA)=\overline(a)$ fra opprinnelsen til det introduserte koordinatsystemet. La oss konstruere projeksjoner $OA_1$ og $OA_2$ av den konstruerte vektoren på henholdsvis $Ox$ og $Oy$ aksene (fig. 3).
Vektoren $\overline(OA)$ vi har konstruert vil være radiusvektoren for punkt $A$, derfor vil den ha koordinater $(x,y)$, som betyr
$=x$, $[OA_2]=y$
Nå kan vi enkelt finne den nødvendige lengden ved å bruke Pythagoras setning, får vi
$|\overline(α)|^2=^2+^2$
$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$
$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$
Svar: $\sqrt(x^2+y^2)$.
Konklusjon: For å finne lengden på en vektor hvis koordinater er gitt, er det nødvendig å finne roten til kvadratet av summen av disse koordinatene.
Eksempel på oppgaver
Eksempel 2
Finn avstanden mellom punktene $X$ og $Y$, som har følgende koordinater: henholdsvis $(-1.5)$ og $(7.3)$.
Hvilke som helst to punkter kan lett assosieres med konseptet med en vektor. Tenk for eksempel på vektoren $\overline(XY)$. Som vi allerede vet, kan koordinatene til en slik vektor finnes ved å trekke de tilsvarende koordinatene til startpunktet ($X$) fra koordinatene til sluttpunktet ($Y$). Det skjønner vi
Siden skoletiden har vi visst hva det er vektor er et segment som har en retning og er preget av numerisk verdi bestilte poengpar. Tallet som er lik lengden på segmentet som fungerer som grunnlag er definert som vektorlengde . For å definere det vil vi bruke koordinatsystem. Vi tar også hensyn til en annen egenskap - retningen til segmentet . For å finne lengden på en vektor kan du bruke to metoder. Det enkleste er å ta en linjal og måle hva den skal bli. Eller du kan bruke formelen. Vi vil nå vurdere dette alternativet.
Nødvendig:
— koordinatsystem (x, y);
— vektor;
- kunnskap om algebra og geometri.
Bruksanvisning:
- Formel for å bestemme lengden på et rettet segment la oss skrive ned på følgende måte r²= x²+y². Tar kvadratroten av r² og det resulterende tallet vil være resultatet. For å finne lengden på en vektor, utfører vi følgende trinn. Vi angir startpunktet for koordinatene (x1;y1), endepunkt (x2;y2). Vi finner x Og y ved forskjellen mellom koordinatene til slutten og begynnelsen av det dirigerte segmentet. Med andre ord, antallet (X) bestemmes av følgende formel x=x2-x1, og nummeret (y) hhv y=y2-y1.
- Finn kvadratet av summen av koordinatene ved å bruke formelen x²+y². Vi trekker ut kvadratroten av det resulterende tallet, som vil være lengden på vektoren (r). Løsningen på problemet vil bli forenklet hvis de første dataene til koordinatene til det rettede segmentet er umiddelbart kjent. Alt du trenger å gjøre er å koble dataene til formelen.
- Merk følgende! Vektoren er kanskje ikke på koordinatplanet, men i rommet, i så fall vil en verdi til legges til formelen, og den vil ha neste visning: r²= x²+y²+ z², Hvor - (z) en ekstra akse som hjelper til med å bestemme størrelsen på et rettet segment i rommet.