La punktene M 1, M 2, M 3 ligge på samme linje. De sier at punktet M deler segmentet M 1 M 2 i forhold λ(λ≠-1) hvis .
La koordinatene til punktene M 1 og M 2 være kjent i forhold til et eller annet koordinatsystem: M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), deretter koordinatene til punkt M(x, y, z ) i forhold til det samme koordinatsystemet finnes ved å bruke formlene:
Hvis punktet M er i midten av segmentet M 1 M 2, da 
, det vil si λ=1 og formler (*) vil ha formen:
(**)
For å løse, bruk følgende kalkulator:
- Punkter er spesifisert av to koordinater: A(x 1,y 1), B(x 2,y 2).
- Punkter er spesifisert av tre koordinater: A(x 1,y 1,z 1), B(x 2,y 2,z 2).
Eksempel nr. 1. En trekant er definert av koordinatene til toppunktene A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). Finn koordinatene til D(x, y, z) – skjæringspunktene til medianene.
Løsning. La oss betegne med M(x 0 , y 0 , z 0) midten av BC, deretter i henhold til formler (**)
og M(7/2, ½, 4). Punkt D deler medianen AM i forholdet λ=2. Ved å bruke formler (*) finner vi .
Eksempel nr. 2. Segmentet AB er delt med punkt C(4,1) i forholdet λ=1/4, regnet fra punkt A. Finn koordinatene til A hvis B(8,5).
Løsning. Ved å bruke formler (*) får vi: 
, hvorfra vi finner x=3, y=0.
Eksempel nr. 3. Segmentet AB er delt inn i tre like deler av punktene C(3, -1) og D(1,4). Finn koordinatene til endene av segmentet.
Løsning. La oss betegne A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Punkt C er midten av segment AD, og ved å bruke formler (**) finner vi derfor: 
hvorfra x 1 = 5, y 1 = -6. Koordinatene til punkt B finnes på samme måte: x 2 = -1, y 2 = 9.
Hvis punktet M(x;y) ligger på en linje som går gjennom to gitte punkter M 1 (x 1; y 1), M 2 (x 2; y 2), og forholdet λ = M 1 M/MM 2 er gitt, hvor punktet M deler segmentet M 1 M 2, deretter koordinatene til punktet M
bestemt av formler
x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)
Hvis punktet M er midtpunktet til segmentet M 1 M 2, bestemmes dets koordinater av formlene
x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2
86. Gitt ender A(3; -5) og 6(-1; 1) av en homogen stav. Bestem koordinatene til tyngdepunktet.
87. Tyngdepunktet til en homogen stang er ved punktet M(1; 4), en av endene er i punktet P(-2; 2). Bestem koordinatene til punktet Q i den andre enden av denne stangen
88. Gitt toppunktene til en trekant A(1; -3), 6(3; -5) og C(-5; 7). Bestem midtpunktene på sidene.
89. Gitt to punkter A(3; - 1) og B(2; 1). Definere:
1) koordinater til punkt M, symmetriske til punkt A i forhold til punkt B;
2) koordinater til punkt N, symmetriske til punkt B i forhold til punkt A.
90. Punktene M(2; -1), N(-1; 4) og P(-2; 2) er midtpunktene på sidene i trekanten. Bestem dens toppunkter.
91. Gitt tre hjørner av et parallellogram A(3; -5), B(5; -3), C(- 1; 3). Bestem det fjerde toppunktet D, motsatt av B.
92. Gitt to tilstøtende hjørner av et parallellogram A(-3; 5), B(1; 7) og skjæringspunktet for diagonalene M(1; 1). Identifiser to andre hjørner.
93. Gitt tre hjørner A(2; 3), 6(4; -1) og C(0; 5) av parallellogram ABCD. Finn dens fjerde toppunkt D.
94. Gitt toppunktene til en trekant A(1; 4), B(3; -9), C(-5; 2). Bestem lengden på medianen trukket fra toppunktet B.
95. Segmentet avgrenset av punktene A (1;-3) og B(4; 3) er delt inn i tre like deler. Bestem koordinatene til delingspunktene.
96. Gitt toppunktene til en trekant A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Finn skjæringspunktet med siden AC til halveringslinjen for dens indre vinkel ved toppunktet B.
97. Gitt toppunktene til en trekant A(3; -5), B(-3; 3) og C(-1; -2). Bestem lengden på halveringslinjen til dens indre vinkel ved toppunktet A.
98. Gitt toppunktene til en trekant A(- 1; -1), B(3; 5), C(-4; 1). Finn skjæringspunktet med fortsettelsen av siden BC til halveringslinjen til dens ytre vinkel ved toppunktet A.
99. Gitt toppunktene til en trekant A(3; -5), B(1; - 3), C(2; -2). Bestem lengden på halveringslinjen til dens ytre vinkel ved toppunktet B.
100. Gitt tre punkter A(1; -1), B(3; 3) og C(4; 5), liggende på samme linje. Bestem forholdet λ der hver av dem deler segmentet avgrenset av de to andre.
101. Bestem koordinatene til endene A og B av segmentet, som er delt inn i tre like deler av punktene P(2; 2) og Q (1; 5).
102. Den rette linjen går gjennom punktene M 1 (-12; -13) og M 2 (- 2; -5). Finn et punkt på denne linjen hvis abscisse er 3.
103. Den rette linjen går gjennom punktene M(2; -3) og N(-6; 5). På denne linjen finner du et punkt hvis ordinat er -5.
104. Den rette linjen går gjennom punktene A(7; -3) og B(23;. -6). Finn skjæringspunktet for denne linjen med abscisseaksen.
105. En rett linje går gjennom punktene A(5; 2) og B(-4; -7). Finn skjæringspunktet for denne linjen med ordinataksen.
106. Gitt toppunktene til en firkant A(-3; 12), B(3; -4), C(5; -4) og D(5; 8). Bestem forholdet der diagonalen AC deler diagonalen BD.
107. Gitt toppunktene til en firkant A(-2; 14), B(4; -2), C(6; -2) og D(6; 10). Bestem skjæringspunktet for diagonalene AC og BD.
108. Oppgitt er toppunktene til en homogen trekantet plate A(x 1 ; y 1), B(x 2 ; y 2) og C(x 3 ; y 3). Bestem koordinatene til tyngdepunktet,
Merk. Tyngdepunktet er i skjæringspunktet mellom medianene.
109. Punktet M for skjæringspunktet mellom medianene til trekanten ligger på abscisseaksen, dets to toppunkter er punktene A(2; -3) og B(-5; 1), det tredje toppunktet C ligger på ordinataksen . Bestem koordinatene til punktene M og C.
110. Oppgitt er toppunktene til en homogen trekantet plate A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) og C(x 3; y 3). Hvis du kobler midtpunktene på sidene, dannes en ny homogen trekantet plate. Bevis at tyngdepunktene til begge platene er sammenfallende.
Merk. Bruk resultatet av oppgave 108.
111. En homogen plate har formen av en firkant med en side lik 12, der det lages et firkantet snitt, de rette linjene i snittet går gjennom midten av firkanten, aksene
koordinatene er rettet langs kantene på platen (fig. 4). Bestem tyngdepunktet til denne platen.
112. En homogen plate har formen av et rektangel med sider lik a og b, der en rektangulær utskjæring er laget; skjærelinjene går gjennom midten, koordinataksene er rettet langs kantene på platen (fig. 5). Bestem tyngdepunktet til denne platen.
113. En homogen plate har formen av en firkant med en side lik 2a, hvorfra en trekant er kuttet; skjærelinjen forbinder midtpunktene til to tilstøtende sider, koordinataksene er rettet langs kantene på platen (fig. 6). Bestem tyngdepunktet til platen.
114. I de følgende punktene A(x 1; y 1), B(x 2; y 2) og C(x 3; y 3) er massene m, n og p konsentrert. Bestem koordinatene til tyngdepunktet til dette systemet med tre masser.
115. Punktene A (4; 2), B (7; -2) og C (1; 6) er toppunktene i en trekant laget av jevn tråd. Bestem tyngdepunktet til denne trekanten.
La et rettet segment AB gis; de sier at det er poenget
M på denne linjen deler segmentet AB i et forhold lik X, der er et vilkårlig reelt tall, hvis
Når punktet M ligger mellom punktene A og B (dvs. inne i segmentet
AB), så er vektorene AM og MB rettet i samme retning (fig. 2) og forholdet (1) er positivt.
Når punktet M ligger utenfor segmentet
AB, så er vektorene AM og MB rettet i motsatte retninger (fig. 3) og forholdet (1) er negativt.
La oss se hvordan relasjon (1) endres når punktet M går gjennom hele linjen. Når punkt M faller sammen med punkt A, er forholdet (1) lik null; hvis så punktet M går gjennom segmentet AB i retning fra A til B, øker forholdet (1) kontinuerlig, og blir vilkårlig stort når punktet M nærmer seg B. Når , så mister brøk (1) sin betydning, siden dens nevner blir til en nullvektor. Med ytterligere bevegelse av punktet langs en rett linje i samme retning (i fig. 3, a til høyre for B), blir relasjonen (1) negativ, og hvis Z er tilstrekkelig nær B, har dette forholdet en vilkårlig stor absolutt verdi.
Siden , da (i kraft av proposisjon 8 i § 4) har vi
Når punktet M, som hele tiden beveger seg i samme retning (i vår Fig. 3, a fra venstre til høyre), går rett til uendelig, så har brøken en tendens til null (siden telleren forblir konstant, og nevneren øker ubegrenset). , derfor har forholdet , - en tendens til -1.
La nå M gå til "venstre" av de to halvlinjene der punkt A deler linjen (dvs. inn i halvlinjen som ikke inneholder segmentet AB). Hvis i dette tilfellet punkt M er plassert langt nok fra punkt A, så er igjen vilkårlig liten, og derfor, i formelen, skiller forholdet seg vilkårlig lite fra -1. Når punkt M nærmer seg punkt A fra venstre (fig. 3, b), synker forholdet (I), mens det forblir negativt, kontinuerlig i absolutt verdi og blir til slutt lik null når punkt M går tilbake til punkt A.
Merk at M-posisjonen på linjen ikke er lik -1. Faktisk er forholdet negativt bare når punktet M ligger utenfor segmentet AB. Men i dette tilfellet er segmentene AM og MB aldri like, dvs.
La nå et koordinatsystem etableres på den rette linjen og O være opprinnelsen til dette systemet. La oss betegne koordinaten til punkt A gjennom punkt B med , og variabelpunktet M ved . Deretter
Når det er betingelser for å dele et segment i et visst forhold, er det nødvendig å kunne bestemme koordinatene til punktet som fungerer som separator. La oss utlede en formel for å finne disse koordinatene ved å plassere problemet på et plan.
Startdata: et rektangulært koordinatsystem O x y og to ikke-sammenfallende punkter som ligger på det med gitte koordinater A (x A, y A) og B (x B, y B) er gitt. Og også et punkt C er gitt, som deler segmentet A B i forhold til λ (noe positivt reelt tall). Det er nødvendig å bestemme koordinatene til punkt C: x C og y C.
Før vi begynner å løse problemet, la oss avsløre litt betydningen av den gitte tilstanden: "punkt C som deler segmentet A B i forhold til λ". For det første indikerer dette uttrykket at punkt C ligger på segmentet A B (dvs. mellom punktene A og B). For det andre er det klart at i henhold til den gitte betingelsen er forholdet mellom lengdene til segmentene A C og C B lik λ. De. likheten er sann:
I dette tilfellet er punkt A begynnelsen av segmentet, punkt B er slutten av segmentet. Hvis det var gitt at punkt C deler segment BA A i et gitt forhold, ville likheten vært sann: .
Vel, et helt åpenbart faktum er at hvis λ = 1, så er punkt C midtpunktet av segmentet A B.
La oss løse problemet ved hjelp av vektorer. La oss vilkårlig vise punktene A, B og punkt C på segmentet A B i et bestemt rektangulært koordinatsystem La oss konstruere radiusvektorer for disse punktene, samt vektorene A C → og C B →. I henhold til betingelsene for oppgaven deler punkt C segmentet A B i forhold til λ.
Koordinatene til radiusvektoren til punktet er lik koordinatene til punktet, da er likhetene sanne: O A → = (x A, y A) og O B → = (x B, y B).
La oss bestemme koordinatene til vektoren: de vil være lik koordinatene til punkt C, som kreves for å bli funnet i henhold til betingelsene for problemet.
Ved å bruke vektoraddisjonsoperasjonen skriver vi likhetene: O C → = OA → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →
Etter betingelsene for oppgaven deler punkt C segmentet A B i forhold til λ, dvs. likheten A C = λ · C B er sann.
Vektorene A C → og C B → ligger på samme rette linje og er codirectional. λ > 0 i henhold til betingelsene for problemet, så, i henhold til operasjonen med å multiplisere en vektor med et tall, får vi: A C → = λ · C B → .
La oss transformere uttrykket ved å erstatte det: C B → = O B → - O C → .
A C → = λ · (OB → - OC →) .
Vi omskriver likheten O C → = O A → + A C → som O C → = OA → + λ · (O B → - O C →).
Ved å bruke egenskapene til operasjoner på vektorer, fra den siste likheten følger det: O C → = 1 1 + λ · (OA → + λ · O B →) .
Nå må vi bare beregne koordinatene til vektoren O C → = 1 1 + λ · OA → + λ · O B → direkte.
La oss utføre de nødvendige handlingene på vektorene OA → og O B →.
OA → = (x A, y A) og OB → = (x B, y B), deretter OA → + λ · O B → = (x A + λ · x B, y A + λ · y B).
Således, O C → = 1 1 + λ · (OA → + λ · OB →) = (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ).
For å oppsummere: koordinatene til punkt C som deler segmentet A B i et gitt forhold λ, bestemmes av formlene: x C = x A + λ · x B 1 + λ og y C = y A + λ · y B 1 + λ .
Bestemme koordinatene til et punkt som deler et segment i et gitt forhold i rommet
Startdata: rektangulært koordinatsystem O x y z, punkter med gitte koordinater A (x A, y A, z A) og B (x B, y B, z B).
Punkt C deler segmentet A B i forhold til λ. Det er nødvendig å bestemme koordinatene til punkt C.
Ved å bruke samme resonnement som i tilfellet ovenfor på flyet, kommer vi til likheten:
O C → = 1 1 + λ (O A → + λ O B →)
Vektorer og er radiusvektorer for punktene A og B, som betyr:
OA → = (x A , y A , z A) og OB → = (x B , y B , z B) , derfor
O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)
Punkt C, som deler segmentet A B i rommet i et gitt forhold λ, har koordinater: (x A + λ · x B 1 + λ, y A + λ · y B 1 + λ, z A + λ · z B 1 + λ)
La oss se på teorien ved å bruke spesifikke eksempler.
Eksempel 1
Innledende data: punkt C deler segmentet A B i forholdet fem til tre. Koordinatene til punktene A og B er gitt av A (11, 1, 0), B (- 9, 2, - 4).
Løsning
I henhold til betingelsene for problemet, λ = 5 3. La oss bruke formlene ovenfor og få:
x A + λ x B 1 + λ = 11 + 5 3 (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2
y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8
z A + λ z B 1 + λ = 0 + 5 3 (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2
Svar: C (- 3 2, 13 8, - 5 2)
Eksempel 2
Innledende data: det er nødvendig å bestemme koordinatene til tyngdepunktet til trekanten A B C.
Koordinatene til hjørnene er gitt: A (2, 3, 1), B (4, 1, - 2), C (- 5, - 4, 8)
Løsning
Det er kjent at tyngdepunktet til en hvilken som helst trekant er skjæringspunktet mellom medianene (la dette være punktet M). Hver av medianene er delt med punktet M i forholdet 2 til 1, regnet fra toppunktet. Basert på dette vil vi finne svaret på spørsmålet som stilles.
La oss anta at A D er medianen til trekanten A B C. Punkt M er skjæringspunktet mellom medianene, har koordinater M (x M, y M, z M) og er trekantens tyngdepunkt. M, som skjæringspunktet mellom medianene, deler segmentet A D i forholdet 2 til 1, dvs. λ = 2.
La oss finne koordinatene til punkt D. Siden A D er medianen, så er punkt D midten av segmentet B C. Deretter, ved å bruke formelen for å finne koordinatene til midten av segmentet, får vi:
x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3
La oss beregne koordinatene til punkt M:
x M = x A + λ x D 1 + λ = 2 + 2 (- 1 2) 1 + 2 = 1 3
y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0
z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3
Svar: (1 3, 0, 7 3)
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Beregning av koordinatene til et bestemt punkt C, som deler et gitt segment AB i et visst forhold, kan utføres ved å bruke formlene:
xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ),
hvor (xA; yA) og (xB; yB) er koordinatene til endene til et gitt segment AB; tall λ = AC/CB – forholdet der segmentet AB er delt med punktet C, som har koordinater (xC; yC).
Hvis segmentet AB er delt med punktet C i to, har tallet λ = 1 og formlene for xC og yC formen:
xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2.
Det må tas i betraktning at i oppgavene er λ forholdet mellom lengdene til segmentene, og derfor er tallene som inngår i dette forholdet ikke lengdene til selve segmentene i en gitt måleenhet. For eksempel AC = 12 cm, CB = 16 cm: λ = AC/CB = 12 cm / 16 cm = 3/4.
1. Søk etter koordinatene til midten av et bestemt segment ved å bruke de gitte koordinatene til endene
Eksempel 1.
Punktene A(-2; 3) og B(6; -9) er endene av segmentet AB. Finn punkt C, som er midtpunktet til segment AB.
Løsning.
Problemstillingen sier at xA = -2; xB = 6; yA = 3 og yB = -9. Vi må finne C(xC; yC).
Ved å bruke formlene xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, får vi:
xC = (-2 + 6)/2 = 2, yC = (3 + (-9))/2 = -3.
Dermed har punkt C, som er midten av segment AB, koordinater (-2; 3) (Figur 1).
2. Beregning av koordinatene til enden av et visst segment, å kjenne koordinatene til midten og den andre enden
Eksempel 2.
Den ene enden av segmentet AB er punkt A, med koordinater (-3; -5), og midtpunktet er punkt C(3; -2). Beregn koordinatene til den andre enden av segmentet - punkt B.
Løsning.
I henhold til betingelsene for oppgaven blir det klart at xA = -3; yA = -5; xC = 3 og yC = -2.
Ved å erstatte disse verdiene i formlene xC = (xA + xB)/2, yC = (yA + yB)/2, får vi:
3 = (-3 + xB)/2 og
2 = (-5 + uV)/2.
Etter å ha løst den første ligningen for xB og den andre for yB, finner vi: xB = 9 og yB = 1, det viser seg at ønsket punkt B vil spesifiseres med koordinater (9; 1) (Fig. 2).
3. Beregning av koordinatene til toppunktene til en trekant fra de gitte koordinatene til midtpunktene til sidene
Eksempel 3.
Midtpunktene på sidene til trekanten ABC er punktene D(1; 3), E(-1; -2) og F(4; -1). Finn koordinatene til toppunktene A, B og C i denne trekanten.
Løsning.
La punkt D være midtpunktet på siden AB, punkt E midtpunktet til BC, og punkt F midtpunktet på siden AC (Fig. 3). Du må finne punktene A, B og C.
Vi betegner hjørnene til trekanten med A(xA; yA), B(xB; yB) og C(xC; yC) og kjenner koordinatene til punktene D, E og F, ved å bruke formlene xC = (xA + xB) /2, yC = (yA + уВ)/2 får vi:
(1 = (xA + xB)/2, 
(-1 = (xB + xC)/2,
(4 = (xA + xC)/2,
(3 = (уА + уВ)/2,
(-2 = (уВ + уС)/2,
(-1 = (yA + yC)/2.
La oss redusere likningene til hele deres form:
(xA + xB = 2,
(xB + xC = -2,
(xA + xC = 8,
(уА + уВ = 6,
(уВ + уС = -4,
(yA + yC = -2.
Etter å ha løst systemene får vi:
xA = 6; xB = -4; xC = 2.
yA = 4; уВ = 2; уС = -6.
Punktene A(6; 4), B(-4; 2) og C(2; -6) er de nødvendige toppunktene i trekanten.
4. Beregning av koordinatene til punktene som deler et segment i et visst forhold, i henhold til de gitte koordinatene til endene av dette segmentet
Eksempel 4.
Segment AB er delt med punkt C i forholdet 3:5 (teller fra punkt A til punkt B). Endene av segmentet AB er punktene A(2; 3) og B(10; 11). Finn punkt C.
Løsning.
Problemstillingen sier at xA = 2; xB = 10; yA = 3; уВ = 11; λ = AC/SV = 3/5. Finn C(xC; yC) (Fig. 4).
ved å bruke formlene xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) får vi:
xC = (2 + 3/5 10) / (1 + 3/5) = 5 og yC = (3 + 3/5 11) / (1 + 3/5) = 6. Dermed har vi C( 5; 6).
La oss sjekke: AC = 3√2, NE = 5√2, λ = AC/SV = 3√2/5√2 = 3/5.
Kommentar. Betingelsene for oppgaven indikerer at inndelingen av segmentet utføres i et gitt forhold fra punkt A til punkt B. Hvis dette ikke var spesifisert, ville problemet ha to løsninger. Andre løsning: dele segmentet fra punkt B til punkt A. 
Eksempel 5.
Et visst segment AB er delt i forholdet 2: 3: 5 (teller fra punkt A til punkt B), endene er punkter med koordinatene A (-11; 1) og B (9; 11). Finn delingspunktene til dette segmentet.
Løsning.
La oss betegne divisjonspunktene til segmentet fra A til B med C og D. Problemstillingen sier at
xA = -11; xB = 9; yA = 1; yB = 11. Finn C(xC; yC) og D(xD; yD), hvis AC: CD: DB = 2: 3: 5.
Punkt C deler segmentet AB i forholdet λ = AC/CB = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.
Ved å bruke formlene xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) får vi:
xC = (-11 + ¼ 9) / (1 + 1/4) = -7 og yC = (1 + ¼ 11) / (1 + 1/4) = 3.
Dermed C(-7; 3).
Punkt D er midtpunktet til segment AB. Ved å bruke formlene xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2, finner vi:
xD = (-11 + 9)/2 = -1, yD = (1 + 11)/2 = 6. Dette betyr at D har koordinater (-1; 6).
5. Beregning av koordinatene til punktene som deler segmentet, hvis koordinatene til endene av dette segmentet og antall deler som dette segmentet er delt inn i er gitt
Eksempel 6.
Endene av segmentet er punktene A(-8; -5) og B(10; 4). Finn punktene C og D som deler dette segmentet i tre like deler.
Løsning.
Fra betingelsene for oppgaven er det kjent at xA = -8; xB = 10; yA = -5; yB = 4 og n = 3. Finn C(xC; yC) og D(xD; yD) (Fig. 5).
La oss finne punkt C. Det deler segmentet AB i forholdet λ = 1/2. Vi deler fra punkt A til punkt B. Ved å bruke formlene xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) har vi:
xC = (-8 + ½ 10) / (1 + 1/2) = -2 og yC = (-5 + ½ 4) / (1 + 1/2) = -2. Dermed C(-2; -2).
Delingen av segmentet CB utføres i forholdet 1: 1, så vi bruker formlene
xD = (xA + xB)/2, yD = (yA + yB)/2:
xD = (-2 + 10)/2 = 4, yD = (-2 + 4)/2 = 1. Dermed D(4; 1).
Delingspunktene C(-2; -2) og D(4; 1).
Merk: Punkt D kan bli funnet ved å dele segmentet AB i forholdet 2: 1. I dette tilfellet vil det være nødvendig å bruke formlene xD = (xA + λxB) / (1 + λ), yD = (yA) igjen + λyB) / (1 + λ).
Eksempel 7.
Punktene A(5; -6) og B(-5; 9) er endene på segmentet. Finn punktene som vil dele det gitte segmentet i fem like deler.
Løsning.
La de påfølgende divisjonspunktene fra A til B være C(xC; yC), D(xD; yD), E(xE; yE) og F(xF; yF). Betingelsene for oppgaven sier at xA = 5; xB = -5; yA = -6; уВ = 9 og n = 5.
Ved å bruke formlene xC = (xA + λxB) / (1 + λ), yC = (yA + λyB) / (1 + λ) finner vi punkt C. Det deler segmentet AB i forholdet λ = 1/4:
xC = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 og yC = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, vi få at punktet C har koordinater (3; -3).
Delingen av segment AB med punkt D gjøres i forholdet 2: 3 (dvs. λ = 2/3), derfor:
xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 og yD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, så D (10).
La oss finne punkt E. Det deler segmentet AB i forholdet λ = 2/3:
XE = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 og yE = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Dermed Dermed E(-1; 3).
Punkt F deler segmentet AB i forholdet λ = 4/1, derfor:
XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 og yF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).
Delingspunktene C(-2; -2); D(4; 1); E(-1; 3) og F(-3; 6).
Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser et segmentdelingsproblem?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!
nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til kilden.