Hva er sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vinkel vil hjelpe deg å forstå en rettvinklet trekant.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det er riktig, hypotenusa og ben: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden \(AC\)); bena er de to gjenværende sidene \(AB\) og \(BC\) (de som grenser til den rette vinkelen), og hvis vi ser på bena i forhold til vinkelen \(BC\), så er bena \(AB\) det tilstøtende benet, og benet \(BC\) er motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel?

Sinus av vinkel– dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) benet og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangent av vinkelen– dette er forholdet mellom den motsatte (fjerne) siden til den tilstøtende (nære).

I vår trekant:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens av vinkel– dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).

I vår trekant:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele inn i hva, må du tydelig forstå det i tangent Og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus Og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

Cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;

Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.

Først av alt må du huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens, siden forholdet mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengden på disse sidene (i samme vinkel). Tror ikke? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til vinkelen \(\beta \) . Per definisjon, fra en trekant \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), men vi kan beregne cosinus til vinkelen \(\beta \) fra trekanten \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Du skjønner, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og konsolider dem!

For trekanten \(ABC \) vist i figuren under finner vi \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Vel, fikk du det? Så prøv selv: beregn det samme for vinkelen \(\beta \) .

Svar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grader og radianer, betraktet vi en sirkel med en radius lik \(1\) . En slik sirkel kalles enkelt. Det vil være veldig nyttig når du studerer trigonometri. La oss derfor se litt mer detaljert på det.

Som du kan se, er denne sirkelen konstruert i det kartesiske koordinatsystemet. Sirkelens radius er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved opprinnelsen til koordinatene, er startposisjonen til radiusvektoren festet langs den positive retningen til \(x\)-aksen (i vårt eksempel er denne er radiusen \(AB\)).

Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs \(x\)-aksen og koordinaten langs \(y\)-aksen. Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette, må vi huske på den betraktede rettvinklet. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på trekanten \(ACG\) . Den er rektangulær fordi \(CG\) er vinkelrett på \(x\)-aksen.

Hva er \(\cos \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \)? Det er riktig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). I tillegg vet vi at \(AC\) er radiusen til enhetssirkelen, som betyr \(AC=1\) . La oss erstatte denne verdien med formelen vår for cosinus. Her er hva som skjer:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Hva er \(\sin \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) lik? Selvfølgelig, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Bytt inn verdien av radiusen \(AC\) i denne formelen og få:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Så, kan du si hvilke koordinater punktet \(C\) som tilhører sirkelen har? Vel, ingen måte? Hva om du innser at \(\cos \ \alpha \) og \(\sin \alpha \) bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer \(\cos \alpha \)? Vel, selvfølgelig, koordinaten \(x\)! Og hvilken koordinat tilsvarer \(\sin \alpha \)? Det stemmer, koordinere \(y\)! Så poenget \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Hva er da \(tg \alpha \) og \(ctg \alpha \) lik? Det stemmer, la oss bruke de tilsvarende definisjonene av tangent og cotangens og få det \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Hva om vinkelen er større? For eksempel, som på dette bildet:

Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, la oss snu igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : vinkel (som ved siden av vinkel \(\beta \) ). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\vinkel ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\vinkel ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten \(y\) ; verdien av cosinus til vinkelen - koordinat \(x\) ; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed gjelder disse relasjonene for enhver rotasjon av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til \(x\)-aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel med en viss verdi, men bare den vil være negativ. Således, når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi positive vinkler, og når du roterer med klokken – negativ.

Så vi vet at hele omdreiningen til radiusvektoren rundt sirkelen er \(360()^\sirkel \) eller \(2\pi \) . Er det mulig å rotere radiusvektoren med \(390()^\sirkel \) eller med \(-1140()^\sirkel \)? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dermed vil radiusvektoren gjøre en hel omdreining og stoppe ved posisjonen \(30()^\circ \) eller \(\dfrac(\pi )(6) \) .

I det andre tilfellet, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjonen \(-60()^\circ \) eller \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som avviker med \(360()^\circ \cdot m \) eller \(2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall ), tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.

Figuren under viser vinkelen \(\beta =-60()^\circ \) . Det samme bildet tilsvarer hjørnet \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen \(\beta +360()^\circ \cdot m\) eller \(\beta +2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Har du vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array)\)

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse vinkelmål. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet inn \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tilsvarer et punkt med koordinater \(\left(0;1 \right) \) , derfor:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\tekst(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 90()^\circ \)- eksisterer ikke;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) samsvarer med punkter med koordinater \(\venstre(-1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0;-1 \høyre),\tekst( )\venstre(1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0 ;1 \right) \), henholdsvis. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ \pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 270()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ 2\pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 450()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

\(\venstre. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Du må huske eller kunne vise det!! \) !}

Men verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinkler i og \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) gitt i tabellen nedenfor, må du huske:

Ikke vær redd, nå skal vi vise deg ett eksempel på en ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske sinusverdiene for alle tre vinkelmålene ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), samt verdien av tangenten til vinkelen i \(30()^\circ \) . Når du kjenner disse \(4\) verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\\end(array)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Når du vet dette, kan du gjenopprette verdiene for \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Telleren "\(1 \)" vil tilsvare \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) og nevneren "\(\sqrt(\text(3)) \)" vil tilsvare \(\tekst (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene angitt i figuren. Hvis du forstår dette og husker diagrammet med pilene, vil det være nok å huske bare \(4\) verdier fra tabellen.

Koordinater til et punkt på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, og kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel? Vel, selvfølgelig kan du det! La oss utlede en generell formel for å finne koordinatene til et punkt. For eksempel, her er en sirkel foran oss:

Vi får det poenget \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- sentrum av sirkelen. Sirkelens radius er \(1,5\) . Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet \(P\) oppnådd ved å rotere punktet \(O\) med \(\delta \) grader.

Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten \(x\) til punktet \(P\) lengden på segmentet \(TP=UQ=UK+KQ\) . Lengden på segmentet \(UK\) tilsvarer koordinaten \(x\) til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik \(3\) . Lengden på segmentet \(KQ\) kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Høyrepil KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Så har vi det for punktet \(P\) koordinaten \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Ved å bruke samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet \(P\) . Dermed,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Så generelt er koordinatene til punktene bestemt av formlene:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Hvor

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinater til sentrum av sirkelen,

\(r\) - radius av sirkelen,

\(\delta \) - rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er lik null og radius er lik en:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!

Gjennomsnittlig nivå

Høyre trekant. Den komplette illustrerte veiledningen (2019)

HØYRE TREKANT. FØRSTE NIVÅ.

I problemer er rett vinkel ikke nødvendig i det hele tatt - nede til venstre, så du må lære å gjenkjenne en rettvinklet trekant i denne formen,

og i dette

og i dette

Hva er bra med en rettvinklet trekant? Vel..., for det første er det spesielle vakre navn på sidene.

Oppmerksomhet på tegningen!

Husk og ikke forveksle: det er to ben, og det er bare én hypotenuse(en eneste, unik og lengst)!

Vel, vi har diskutert navnene, nå det viktigste: Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem.

Denne teoremet er nøkkelen til å løse mange problemer som involverer en rettvinklet trekant. Det ble bevist av Pythagoras i helt uminnelige tider, og siden da har det gitt mye nytte for de som kjenner det. Og det beste med det er at det er enkelt.

Så, Pythagoras teorem:

Husker du vitsen: «Pythagorean-bukser er like på alle kanter!»?

La oss tegne de samme pytagoreiske buksene og se på dem.

Ser det ikke ut som en slags shorts? Vel, på hvilke sider og hvor er de like? Hvorfor og hvor kom vitsen fra? Og denne vitsen henger nettopp sammen med Pythagoras teorem, eller mer presist med måten Pythagoras selv formulerte teoremet sitt på. Og han formulerte det slik:

"Sum arealer av firkanter, bygget på bena, er lik kvadratisk areal, bygget på hypotenusen."

Høres det virkelig litt annerledes ut? Og så, da Pythagoras tegnet utsagnet til teoremet sitt, var dette akkurat bildet som kom ut.

På dette bildet er summen av arealene til de små firkantene lik arealet til den store firkanten. Og slik at barn bedre kan huske at summen av kvadratene på bena er lik kvadratet på hypotenusen, kom noen vittig på denne vitsen om pytagoreiske bukser.

Hvorfor formulerer vi Pythagoras teorem nå?

Led Pythagoras og snakket om firkanter?

Du skjønner, i oldtiden var det ingen... algebra! Det var ingen tegn og så videre. Det var ingen inskripsjoner. Kan du forestille deg hvor forferdelig det var for de stakkars eldgamle studentene å huske alt med ord??! Og vi kan glede oss over at vi har en enkel formulering av Pythagoras teorem. La oss gjenta det igjen for å huske det bedre:

Det skal være enkelt nå:

Kvadraten på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena.

Vel, det viktigste teoremet om rette trekanter har blitt diskutert. Hvis du er interessert i hvordan det er bevist, les følgende teorinivåer, og la oss nå gå videre ... inn i den mørke skogen ... av trigonometri! Til de forferdelige ordene sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant.

Faktisk er ikke alt så skummelt i det hele tatt. Selvfølgelig bør den "virkelige" definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens ses på i artikkelen. Men jeg vil virkelig ikke, gjør jeg? Vi kan glede oss: for å løse problemer om en rettvinklet trekant, kan du bare fylle ut følgende enkle ting:

Hvorfor er alt rett rundt hjørnet? Hvor er hjørnet? For å forstå dette må du vite hvordan påstandene 1 - 4 er skrevet med ord. Se, forstå og husk!

1.
Egentlig høres det slik ut:

Hva med vinkelen? Er det et ben som er motsatt hjørnet, det vil si et motsatt (for en vinkel) ben? Selvfølgelig har! Dette er et bein!

Hva med vinkelen? Se nøye. Hvilket ben er ved siden av hjørnet? Selvfølgelig beinet. Dette betyr at for vinkelen er benet tilstøtende, og

Vær oppmerksom! Se hva vi har:

Se hvor kult det er:

La oss nå gå videre til tangent og cotangens.

Hvordan kan jeg skrive dette ned i ord nå? Hva er beinet i forhold til vinkelen? Motsatt, selvfølgelig - det "ligger" overfor hjørnet. Hva med beinet? I tilknytning til hjørnet. Så hva har vi?

Ser du hvordan telleren og nevneren har byttet plass?

Og nå hjørnene igjen og gjorde en utveksling:

Sammendrag

La oss kort skrive ned alt vi har lært.

Pythagoras teorem:

Hovedsetningen om rette trekanter er Pythagoras teorem.

Pythagoras teorem

Husker du forresten godt hva ben og hypotenusa er? Hvis ikke veldig bra, så se på bildet - oppdater kunnskapen din

Det er godt mulig at du allerede har brukt Pythagoras teorem mange ganger, men har du noen gang lurt på hvorfor en slik teorem er sann? Hvordan kan jeg bevise det? La oss gjøre som de gamle grekerne. La oss tegne en firkant med en side.

Se hvor smart vi delte sidene inn i lengder og!

La oss nå koble sammen de merkede prikkene

Her noterte vi imidlertid noe annet, men du ser selv på tegningen og tenker hvorfor det er slik.

Hva er arealet av den større firkanten? Ikke sant, . Hva med et mindre område? Gjerne,. Det totale arealet av de fire hjørnene gjenstår. Tenk deg at vi tok dem to om gangen og lente dem mot hverandre med hypotenusene deres. Hva skjedde? To rektangler. Dette betyr at arealet av "kuttene" er likt.

La oss sette alt sammen nå.

La oss transformere:

Så vi besøkte Pythagoras - vi beviste teoremet hans på en eldgammel måte.

Rettvinklet trekant og trigonometri

For en rettvinklet trekant gjelder følgende relasjoner:

Sinusen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen

Cosinus til en spiss vinkel er lik forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Kotangensen til en spiss vinkel er lik forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Og nok en gang alt dette i form av et nettbrett:

Det er veldig behagelig!

Tegn på likhet av rette trekanter

I. På to sider

II. Ved ben og hypotenus

III. Ved hypotenus og spiss vinkel

IV. Langs benet og spiss vinkel

en)

b)

Merk følgende! Det er veldig viktig her at bena er "passende". For eksempel, hvis det går slik:

DA ER IKKE TREKANTENE LIKE, til tross for at de har en identisk spiss vinkel.

Trenger å i begge trekantene var benet tilstøtende, eller i begge var det motsatt.

Har du lagt merke til hvordan likhetstegnene til rette trekanter skiller seg fra de vanlige likhetstegnene til trekanter? Ta en titt på emnet "og vær oppmerksom på det faktum at for likestilling av "vanlige" trekanter, må tre av elementene deres være like: to sider og vinkelen mellom dem, to vinkler og siden mellom dem, eller tre sider. Men for likestilling av rette trekanter er bare to tilsvarende elementer nok. Flott, ikke sant?

Situasjonen er omtrent den samme med tegn på likhet til rettvinklede trekanter.

Tegn på likhet med rette trekanter

I. Langs en spiss vinkel

II. På to sider

III. Ved ben og hypotenus

Median i en rettvinklet trekant

Hvorfor er det slik?

I stedet for en rettvinklet trekant, tenk på et helt rektangel.

La oss tegne en diagonal og vurdere et punkt - skjæringspunktet mellom diagonalene. Hva vet du om diagonalene til et rektangel?

Og hva følger av dette?

Så det viste seg at

1. - median:

Husk dette faktum! Hjelper mye!

Det som er enda mer overraskende er at det motsatte også er sant.

Hva godt kan man få ut av det faktum at medianen trukket til hypotenusen er lik halve hypotenusen? La oss se på bildet

Se nøye. Vi har: , det vil si at avstandene fra punktet til alle tre hjørnene i trekanten viste seg å være like. Men det er bare ett punkt i trekanten, hvor avstandene fra alle tre hjørnene i trekanten er like, og dette er SIRKELENS SENTRUM. Så hva skjedde?

Så la oss starte med dette "foruten ...".

La oss se på og.

Men like trekanter har alle like vinkler!

Det samme kan sies om og

La oss nå tegne det sammen:

Hvilken fordel kan man få ut av denne "trippel" likheten?

Vel, for eksempel - to formler for høyden til en rettvinklet trekant.

La oss skrive ned forholdet til de tilsvarende partene:

For å finne høyden løser vi proporsjonen og får den første formelen "Høyde i en rettvinklet trekant":

Så la oss bruke likheten: .

Hva vil skje nå?

Igjen løser vi proporsjonen og får den andre formelen:

Du må huske begge disse formlene veldig godt og bruke den som er mer praktisk. La oss skrive dem ned igjen

Pythagoras teorem:

I en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena:.

Tegn på likhet i rette trekanter:

• på to sider:
• ved ben og hypotenuse: eller
• langs benet og tilstøtende spiss vinkel: eller
• langs benet og motsatt spiss vinkel: eller
• ved hypotenuse og spiss vinkel: eller.

Tegn på likhet med rette trekanter:

• ett akutt hjørne: eller
• fra proporsjonaliteten til to ben:
• fra proporsjonaliteten til benet og hypotenusen: eller.

Sinus, cosinus, tangens, cotangens i en rettvinklet trekant

• Sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:
• Cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:
• Tangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side:
• Kotangensen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden: .

Høyde på en rettvinklet trekant: eller.

I en rettvinklet trekant er medianen trukket fra toppunktet til den rette vinkelen lik halve hypotenusen: .

Arealet av en rettvinklet trekant:

• via bena:

I livet vil vi ofte måtte håndtere matematiske problemer: på skolen, på universitetet, og deretter hjelpe barnet vårt med lekser. Mennesker i visse yrker vil møte matematikk på daglig basis. Derfor er det nyttig å huske eller huske matematiske regler. I denne artikkelen skal vi se på en av dem: finne siden av en rettvinklet trekant.

Hva er en rettvinklet trekant

Først, la oss huske hva en rettvinklet trekant er. En rettvinklet trekant er en geometrisk figur av tre segmenter som forbinder punkter som ikke ligger på samme rette linje, og en av vinklene til denne figuren er 90 grader. Sidene som danner en rett vinkel kalles ben, og siden som ligger motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen.

Finne beinet til en rettvinklet trekant

Det er flere måter å finne ut lengden på benet. Jeg vil gjerne vurdere dem mer detaljert.

Pythagoras teorem for å finne siden av en rettvinklet trekant

Hvis vi kjenner hypotenusen og benet, kan vi finne lengden på det ukjente benet ved å bruke Pythagoras teorem. Det høres slik ut: "Kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene på bena." Formel: c²=a²+b², hvor c er hypotenusen, a og b er bena. Vi transformerer formelen og får: a²=c²-b².

Eksempel. Hypotenusen er 5 cm, og benet er 3 cm. Vi transformerer formelen: c²=a²+b² → a²=c²-b². Deretter løser vi: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometriske forhold for å finne beinet til en rettvinklet trekant

Du kan også finne et ukjent ben hvis en annen side og en spiss vinkel på en rettvinklet trekant er kjent. Det er fire alternativer for å finne et ben ved hjelp av trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens, cotangens. For å løse problemer vil tabellen nedenfor hjelpe oss. La oss vurdere disse alternativene.

Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke sinus

Sinusen til en vinkel (sin) er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. Formel: sin=a/c, hvor a er benet motsatt den gitte vinkelen, og c er hypotenusen. Deretter transformerer vi formelen og får: a=sin*c.

Eksempel. Hypotenusen er 10 cm, vinkel A er 30 grader. Ved hjelp av tabellen beregner vi sinus til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter, ved hjelp av den transformerte formelen, løser vi: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke cosinus

Cosinus til en vinkel (cos) er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Formel: cos=b/c, hvor b er benet ved siden av en gitt vinkel, og c er hypotenusen. La oss transformere formelen og få: b=cos*c.

Eksempel. Vinkel A er lik 60 grader, hypotenusen er lik 10 cm. Ved hjelp av tabellen beregner vi cosinus til vinkel A, den er lik 1/2. Deretter løser vi: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Finn etappen til en rettvinklet trekant ved å bruke tangent

Tangent av en vinkel (tg) er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Formel: tg=a/b, hvor a er siden motsatt av vinkelen, og b er den tilstøtende siden. La oss transformere formelen og få: a=tg*b.

Eksempel. Vinkel A er lik 45 grader, hypotenusen er lik 10 cm. Ved hjelp av tabellen beregner vi tangens til vinkel A, den er lik Løs: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Finn benet til en rettvinklet trekant ved å bruke cotangens

Vinkel cotangens (ctg) er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden. Formel: ctg=b/a, der b er benet ved siden av vinkelen, og er det motsatte benet. Med andre ord, cotangens er en "invertert tangent." Vi får: b=ctg*a.

Eksempel. Vinkel A er 30 grader, motsatt ben er 5 cm I følge tabellen er tangenten til vinkel A √3. Vi beregner: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Så nå vet du hvordan du finner et ben i en rettvinklet trekant. Som du kan se, er det ikke så vanskelig, det viktigste er å huske formlene.

Trigonometri er en gren av matematisk vitenskap som studerer trigonometriske funksjoner og deres bruk i geometri. Utviklingen av trigonometri begynte i antikkens Hellas. I løpet av middelalderen ga forskere fra Midtøsten og India viktige bidrag til utviklingen av denne vitenskapen.

Denne artikkelen er viet til de grunnleggende konseptene og definisjonene av trigonometri. Den diskuterer definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene: sinus, cosinus, tangens og cotangens. Betydningen deres er forklart og illustrert i sammenheng med geometri.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opprinnelig ble definisjonene av trigonometriske funksjoner hvis argument er en vinkel uttrykt i form av forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant.

Definisjoner av trigonometriske funksjoner

Sinusen til en vinkel (sin α) er forholdet mellom benet motsatt denne vinkelen og hypotenusen.

Cosinus av vinkelen (cos α) - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Vinkeltangens (t g α) - forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Vinkel cotangens (c t g α) - forholdet mellom den tilstøtende siden til den motsatte siden.

Disse definisjonene er gitt for den spisse vinkelen til en rettvinklet trekant!

La oss gi en illustrasjon.

I trekant ABC med rett vinkel C er sinus til vinkel A lik forholdet mellom ben BC og hypotenus AB.

Definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens lar deg beregne verdiene til disse funksjonene fra de kjente lengdene på sidene i trekanten.

Viktig å huske!

Verdiområdet for sinus og cosinus er fra -1 til 1. Med andre ord tar sinus og cosinus verdier fra -1 til 1. Verdiområdet for tangent og cotangens er hele talllinjen, det vil si at disse funksjonene kan ta på seg alle verdier.

Definisjonene gitt ovenfor gjelder spisse vinkler. I trigonometri introduseres konseptet med en rotasjonsvinkel, hvis verdi, i motsetning til en spiss vinkel, ikke er begrenset til 0 til 90 grader. Rotasjonsvinkelen i grader eller radianer uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra - ∞ til + ∞. .

I denne sammenhengen kan vi definere sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel av vilkårlig størrelse. La oss forestille oss en enhetssirkel med sentrum ved opprinnelsen til det kartesiske koordinatsystemet.

Startpunktet A med koordinatene (1, 0) roterer rundt sentrum av enhetssirkelen gjennom en viss vinkel α og går til punktet A 1. Definisjonen er gitt i form av koordinatene til punkt A 1 (x, y).

Sinus (sin) av rotasjonsvinkelen

Sinusen til rotasjonsvinkelen α er ordinaten til punktet A 1 (x, y). sin α = y

Cosinus (cos) til rotasjonsvinkelen

Cosinus til rotasjonsvinkelen α er abscissen til punktet A 1 (x, y). cos α = x

Tangent (tg) av rotasjonsvinkelen

Tangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 (x, y) og abscissen. t g α = y x

Kotangens (ctg) av rotasjonsvinkelen

Kotangensen til rotasjonsvinkelen α er forholdet mellom abscissen til punktet A 1 (x, y) og ordinaten. c t g α = x y

Sinus og cosinus er definert for enhver rotasjonsvinkel. Dette er logisk, fordi abscissen og ordinaten til et punkt etter rotasjon kan bestemmes i enhver vinkel. Situasjonen er annerledes med tangent og cotangens. Tangenten er udefinert når et punkt etter rotasjon går til et punkt med null abscisse (0, 1) og (0, - 1). I slike tilfeller gir uttrykket for tangent t g α = y x rett og slett ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Situasjonen er lik med cotangent. Forskjellen er at cotangensen ikke er definert i tilfeller hvor ordinaten til et punkt går til null.

Viktig å huske!

Sinus og cosinus er definert for alle vinkler α.

Tangent er definert for alle vinkler unntatt α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotangens er definert for alle vinkler unntatt α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Når du løser praktiske eksempler, ikke si "sinus til rotasjonsvinkelen α". Ordene "rotasjonsvinkel" er ganske enkelt utelatt, noe som betyr at det allerede er klart fra konteksten hva som diskuteres.

Tall

Hva med definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall, og ikke rotasjonsvinkelen?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens av et tall

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t er et tall som er henholdsvis lik sinus, cosinus, tangens og cotangens i t radian.

For eksempel er sinusen til tallet 10 π lik sinusen til rotasjonsvinkelen på 10 π rad.

Det er en annen tilnærming til å bestemme sinus, cosinus, tangens og cotangens til et tall. La oss se nærmere på det.

Ethvert reelt tall t et punkt på enhetssirkelen er assosiert med sentrum ved opprinnelsen til det rektangulære kartesiske koordinatsystemet. Sinus, cosinus, tangens og cotangens bestemmes gjennom koordinatene til dette punktet.

Utgangspunktet på sirkelen er punkt A med koordinater (1, 0).

Positivt tall t

Negativt tall t tilsvarer punktet som startpunktet vil gå til hvis det beveger seg rundt sirkelen mot klokken og passerer banen t.

Nå som forbindelsen mellom et tall og et punkt på en sirkel er etablert, går vi videre til definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens.

Sinus (synd) av t

Sinus av et tall t- ordinaten til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. sin t = y

Cosinus (cos) av t

Cosinus av et tall t- abscisse av punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. cos t = x

Tangent (tg) av t

Tangent av et tall t- forholdet mellom ordinaten og abscissen til et punkt på enhetssirkelen som tilsvarer tallet t. t g t = y x = sin t cos t

De siste definisjonene er i samsvar med og motsier ikke definisjonen gitt i begynnelsen av dette avsnittet. Pek på sirkelen som tilsvarer tallet t, faller sammen med punktet som startpunktet går til etter å ha svingt med en vinkel t radian.

Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument

Hver verdi av vinkelen α tilsvarer en viss verdi av sinus og cosinus til denne vinkelen. Akkurat som alle vinkler α bortsett fra α = 90 ° + 180 ° k, tilsvarer k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) en viss tangentverdi. Cotangens, som nevnt ovenfor, er definert for alle α unntatt α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Vi kan si at sin α, cos α, t g α, c t g α er funksjoner av vinkelen alfa, eller funksjoner av vinkelargumentet.

På samme måte kan vi snakke om sinus, cosinus, tangens og cotangens som funksjoner av et numerisk argument. Hvert reelt tall t tilsvarer en viss verdi av sinus eller cosinus til et tall t. Alle andre tall enn π 2 + π · k, k ∈ Z, tilsvarer en tangentverdi. Cotangens er på samme måte definert for alle tall unntatt π · k, k ∈ Z.

Grunnleggende funksjoner for trigonometri

Sinus, cosinus, tangens og cotangens er de grunnleggende trigonometriske funksjonene.

Det er vanligvis klart fra konteksten hvilket argument for den trigonometriske funksjonen (vinkelargument eller numerisk argument) vi har å gjøre med.

La oss gå tilbake til definisjonene gitt helt i begynnelsen og alfavinkelen, som ligger i området fra 0 til 90 grader. De trigonometriske definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er helt i samsvar med de geometriske definisjonene gitt av sideforholdet til en rettvinklet trekant. La oss vise det.

La oss ta en enhetssirkel med et senter i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. La oss rotere startpunktet A (1, 0) med en vinkel på opptil 90 grader og tegne en vinkelrett på abscisseaksen fra det resulterende punktet A 1 (x, y). I den resulterende rettvinklet er vinkelen A 1 O H lik rotasjonsvinkelen α, lengden på benet O H er lik abscissen til punktet A 1 (x, y). Lengden på benet motsatt vinkelen er lik ordinaten til punktet A 1 (x, y), og lengden på hypotenusen er lik én, siden det er radiusen til enhetssirkelen.

I samsvar med definisjonen fra geometri er sinusen til vinkelen α lik forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Dette betyr at å bestemme sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gjennom sideforholdet er ekvivalent med å bestemme sinusen til rotasjonsvinkelen α, med alfa liggende i området fra 0 til 90 grader.

Tilsvarende kan samsvaret mellom definisjoner vises for cosinus, tangens og cotangens.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Vi vil begynne studiet av trigonometri med den rette trekanten. La oss definere hva sinus og cosinus er, samt tangent og cotangens for en spiss vinkel. Dette er det grunnleggende om trigonometri.

La oss huske det rett vinkel er en vinkel lik 90 grader. Med andre ord en halv dreiet vinkel.

Skarpt hjørne- mindre enn 90 grader.

Stump vinkel- større enn 90 grader. I forhold til en slik vinkling er ikke "stump" en fornærmelse, men et matematisk begrep :-)

La oss tegne en rettvinklet trekant. En rett vinkel er vanligvis betegnet med . Vær oppmerksom på at siden motsatt hjørnet er angitt med samme bokstav, bare liten. Dermed er siden motsatt vinkel A betegnet .

Vinkelen er angitt med den tilsvarende greske bokstaven.

Hypotenus av en rettvinklet trekant er siden motsatt den rette vinkelen.

Ben- sider som ligger motsatte spisse vinkler.

Benet som ligger motsatt vinkelen kalles motsatte(i forhold til vinkel). Det andre benet, som ligger på en av sidene av vinkelen, kalles ved siden av.

Sinus Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen:

Cosinus spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen:

Tangent spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom motsatt side og tilstøtende:

En annen (tilsvarende) definisjon: tangenten til en spiss vinkel er forholdet mellom vinkelens sinus og cosinus:

Cotangens spiss vinkel i en rettvinklet trekant - forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte (eller, som er det samme, forholdet mellom cosinus og sinus):

Legg merke til de grunnleggende forholdene for sinus, cosinus, tangens og cotangens nedenfor. De vil være nyttige for oss når vi løser problemer.

La oss bevise noen av dem.

Ok, vi har gitt definisjoner og skrevet ned formler. Men hvorfor trenger vi fortsatt sinus, cosinus, tangens og cotangens?

Vi vet det summen av vinklene til enhver trekant er lik.

Vi kjenner forholdet mellom fester høyre trekant. Dette er Pythagoras teorem: .

Det viser seg at når du kjenner to vinkler i en trekant, kan du finne den tredje. Når du kjenner de to sidene av en rettvinklet trekant, kan du finne den tredje. Dette betyr at vinklene har sitt eget forhold, og sidene har sitt eget. Men hva skal du gjøre hvis du i en rettvinklet trekant kjenner én vinkel (unntatt den rette vinkelen) og én side, men du må finne de andre sidene?

Dette er hva folk tidligere møtte når de lagde kart over området og stjernehimmelen. Det er tross alt ikke alltid mulig å måle alle sidene av en trekant direkte.

Sinus, cosinus og tangens – de kalles også trigonometriske vinkelfunksjoner- gi relasjoner mellom fester Og hjørner triangel. Når du kjenner vinkelen, kan du finne alle trigonometriske funksjoner ved hjelp av spesielle tabeller. Og når du kjenner sinus, cosinus og tangens til vinklene til en trekant og en av sidene, kan du finne resten.

Vi vil også tegne en tabell over verdiene for sinus, cosinus, tangens og cotangens for "gode" vinkler fra til.

Vær oppmerksom på de to røde strekene i tabellen. Ved passende vinkelverdier eksisterer ikke tangent og cotangens.

La oss se på flere trigonometriproblemer fra FIPI Task Bank.

1. I en trekant er vinkelen , . Finn .

Problemet er løst på fire sekunder.

Fordi det , .

2. I en trekant er vinkelen , , . Finn .

La oss finne det ved å bruke Pythagoras teorem.

Problemet er løst.

Ofte i oppgaver er det trekanter med vinkler og eller med vinkler og. Husk de grunnleggende forholdstallene for dem utenat!

For en trekant med vinkler og benet motsatt vinkelen på er lik halvparten av hypotenusen.

En trekant med vinkler og er likebenet. I den er hypotenusen ganger større enn beinet.

Vi så på problemer med å løse rette trekanter – det vil si å finne ukjente sider eller vinkler. Men det er ikke alt! Det er mange problemer i Unified State Examination i matematikk som involverer sinus, cosinus, tangens eller cotangens av en ytre vinkel i en trekant. Mer om dette i neste artikkel.