Vektorer. Handlinger med vektorer. I denne artikkelen vil vi snakke om hva en vektor er, hvordan man finner lengden, og hvordan man multipliserer en vektor med et tall, samt hvordan man finner summen, differansen og skalarproduktet av to vektorer.
Som vanlig, litt av den mest nødvendige teorien.
En vektor er et rettet segment, det vil si et segment som har en begynnelse og en slutt:
Her er punkt A begynnelsen av vektoren, og punkt B er slutten.
En vektor har to parametere: lengde og retning.
Lengden på en vektor er lengden på segmentet som forbinder begynnelsen og slutten av vektoren. Vektorlengden er angitt
To vektorer sies å være like hvis de har samme lengde og co-regissert.
De to vektorene kalles co-regissert, hvis de ligger på parallelle linjer og er rettet i samme retning: vektorer og codirectional:
To vektorer kalles motsatt rettet hvis de ligger på parallelle linjer og er rettet i motsatte retninger: vektorer og , samt og er rettet i motsatte retninger:
Vektorer som ligger på parallelle linjer kalles kollineære: vektorer, og er kollineære.
Produkt av en vektor et tall kalles en vektor codirectional til vektoren hvis title="k>0">, и направленный в !} motsatt side, hvis , og hvis lengde er lik lengden på vektoren multiplisert med:
Til legg til to vektorer og du må koble begynnelsen av vektoren til slutten av vektoren. Sumvektoren forbinder begynnelsen av vektoren til slutten av vektoren:
Denne vektoraddisjonsregelen kalles trekantregel.
For å legge til to vektorer ved å parallellogramregel, må du utsette vektorene fra ett punkt og bygge dem opp til et parallellogram. Sumvektoren forbinder startpunktet til vektorene med motsatt vinkel parallellogram:
Forskjellen på to vektorer bestemmes gjennom summen: forskjellen av vektorer og kalles en slik vektor, som i sum med vektoren vil gi vektoren:
Det følger av dette regel for å finne forskjellen mellom to vektorer: for å subtrahere en vektor fra en vektor, må du plotte disse vektorene fra ett punkt. Differansevektoren forbinder slutten av vektoren til slutten av vektoren (det vil si slutten av subtrahenden til slutten av minuenden):
Å finne vinkel mellom vektor og vektor, må du plotte disse vektorene fra ett punkt. Vinkelen som dannes av strålene som vektorene ligger på kalles vinkelen mellom vektorene:
Skalarproduktet av to vektorer er tallet lik produktet lengdene til disse vektorene med cosinus til vinkelen mellom dem:
Jeg foreslår at du løser problemer fra Åpne bank oppgaver for , og sjekk deretter løsningen med VIDEO TUTORIALS:
1 . Oppgave 4 (nr. 27709)
To sider av et rektangel ABCD er lik 6 og 8. Finn lengden på forskjellen mellom vektorene og .
2. Oppgave 4 (nr. 27710)
To sider av et rektangel ABCD er lik 6 og 8. Finn skalarproduktet av vektorene og . (tegner fra forrige oppgave).
3. Oppgave 4 (nr. 27711)
To sider av et rektangel ABCD O. Finn lengden på summen av vektorene og .
4. Oppgave 4 (nr. 27712)
To sider av et rektangel ABCD er lik 6 og 8. Diagonalene skjærer hverandre i punktet O. Finn lengden på forskjellen mellom vektorene og . (tegner fra forrige oppgave).
5 . Oppgave 4 (nr. 27713)
Diagonaler til en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren.
6. Oppgave 4 (nr. 27714)
Diagonaler til en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren +.
7. Oppgave 4 (nr. 27715)
Diagonaler til en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren - .(tegning fra forrige oppgave).
8. Oppgave 4 (nr. 27716)
Diagonaler til en rombe ABCD er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren - .
9. Oppgave 4 (nr. 27717)
Diagonaler til en rombe ABCD skjære i et punkt O og er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren + .
10. Oppgave 4 (nr. 27718)
Diagonaler til en rombe ABCD skjære i et punkt O og er lik 12 og 16. Finn lengden på vektoren - .(tegning fra forrige oppgave).
11. Oppgave 4 (nr. 27719)
Diagonaler til en rombe ABCD skjære i et punkt O og er lik 12 og 16. Finn skalarproduktet av vektorene og . (tegning fra forrige oppgave).
12 . Oppgave 4 (nr. 27720)
ABC er like Finn lengden på vektoren +.
1. 3 . Oppgave 4 (nr. 27721)
Fester vanlig trekant ABC er lik 3. Finn lengden på vektoren -.(tegning fra forrige oppgave).
14. Oppgave 4 (nr. 27722)
Sidene av en vanlig trekant ABC er lik 3. Finn skalarproduktet av vektorene og . (tegner fra forrige oppgave).
Nettleseren din støttes sannsynligvis ikke. For å bruke treneren " Unified State Exam Hour", prøv å laste ned
Firefox
Problemer med vektorer på Unified State-eksamenen. kjære venner! Du vet at matematikkprøven inkluderer slike oppgaver. Det er ikke et faktum at du får en slik oppgave, men du må forberede deg på den og forstå temaet i alle fall. På bloggen har vi flere problemer på summen (forskjellen) av vektorer, lengden på vektoren, i samme artikkel er det nødvendig teori.Se den før du ser på problemene nedenfor.
Også på bloggen. Hvis du trenger å huske hva abscissen og ordinaten til et punkt er, så se.La oss kort gjenta:
For å finne koordinatene til en vektor trenger du fra koordinatene til dens endetrekke fratilsvarende opprinnelseskoordinater:
Formel for å bestemme lengden til en vektor, hvis kjentkoordinater for begynnelsen og slutten:
Formel for å bestemme lengden til en vektor,hvis koordinatene er kjent:
27725. Vektor AB med origo i punktEN(2;4) har koordinater (6;2). Finn ordinaten til et punktB.
Som allerede sagt, er koordinatene til vektoren på følgende måte: Ogfra de tilsvarende endekoordinatenekoordinatene til vektororiginen trekkes fra. Det er:
Koordinatene til vektoren er gitt til oss, koordinatene til dens opprinnelse er også gitt, noe som betyr:
Derfor kan vi finne koordinatene til punkt B:
x 2 – 2 = 6 y 2 – 4 = 2
x 2 = 8 y 2 = 6
Dermed er ordinaten til punkt B 6.
Svar: 6
27726. Vektor AB med origo i punkt EN(3;6) har koordinater (9;3). Finn summen av koordinatene til punkt B.
Problemet med løsningsprosessen er det samme som det forrige, men spørsmålet stilles annerledes. Beregningene er også innenfor mental telling. Nok en gang skriver vi ned koordinatene til vektoren når koordinatene til begynnelsen og slutten er kjent:
Koordinatene til vektoren og koordinatene til dens opprinnelse er gitt, noe som betyr:
Vi kan finne koordinatene til punkt B:
x 2 – 3 = 9 y 2 – 6 = 3
x 2 = 12 y 2 = 9
Dermed er summen av koordinatene til punkt B 21.
Svar: 21
27727. Vektor AB med ende i punkt B (5;3) har koordinater (3;1). Finn abscissen og ordinaten til punktet EN, også summen av koordinatene.
Vi kjenner koordinatene til vektoren og koordinatene til dens ende, som betyr:
Vi kan finne koordinatene til punkt A:
5 – x 1 = 3 3 – y 1 = 1
x 1 = 2 y 1 = 2
Dermed er abscissen til punkt A lik to, ordinaten er også lik to, og summen av koordinatene er lik 2+2 = 4.
27731 Finn kvadratet på lengden til vektoren a + b .
I denne oppgaven må du finne koordinatene til vektoren, som er summen spesifiserte vektorer, finn deretter lengden og kvadrat den. La oss skrive formelen for lengden til en vektor hvis dens koordinater er kjent:
Eller i en annen form:
La oss finne koordinatene til vektoren, som er summen av disse vektorene.For å gjøre dette, finn først koordinatene til disse vektorene.
Tenk på vektoren:
Tenk på vektoren:
*Det var mulig å umiddelbart skrive dem ned ved å se på skissen, siden opprinnelsespunktene deres sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene.
La oss nå finne koordinatene til vektoren som er summen deres:
(2 + 8; 6 + 4) = (10;10)
Dermed er lengden på vektoren som er summen av vektorene a og b lik:
Derfor vil kvadratet på lengden være lik 200.
*Har erfaring med å løse lignende oppgaver, kan du umiddelbart skrive:
Som du kan se, kan beregninger gjøres muntlig. En detaljert løsning er med vilje presentert her for deg.
Svar: 200
27733. Finn kvadratet på lengden til vektoren a – b.
Oppgaven er lik den forrige. Det er nødvendig å finne koordinatene til vektoren, som er forskjellen mellom de presenterte vektorene, deretter finne lengden og kvadrere resultatet.
Vi kjenner allerede koordinatene til disse vektorene (fra forrige oppgave):
La oss nå finne koordinatene til vektoren, som er forskjellen deres:
(2 – 8; 6 – 4) = (–6;2)
Dermed lengden på vektoren, som er forskjellen på vektorer
Derfor vil kvadratet på lengden være lik 40.
*Du kan umiddelbart skrive og beregne:
Abscissen og ordinataksen kalles koordinater vektor. Vektorkoordinater er vanligvis angitt i skjemaet (x, y), og selve vektoren som: =(x, y).
Formel for å bestemme vektorkoordinater for todimensjonale problemer.
Når todimensjonalt problem vektor med kjente koordinatene til punktene A(x 1;y 1) Og B(x 2 ; y 2 ) kan beregnes:
= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Formel for å bestemme vektorkoordinater for romlige problemer.
Ved et romlig problem, en vektor med kjent koordinatene til punktene EN (x 1; y 1;z 1 ) og B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) kan beregnes ved hjelp av formelen:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Koordinatene er gitt omfattende beskrivelse vektor, siden det er mulig å konstruere selve vektoren ved hjelp av koordinatene. Å kjenne koordinatene er det lett å beregne og vektorlengde. (Eiendom 3 nedenfor).
Egenskaper til vektorkoordinater.
1. Eventuelle like vektorer V enhetlig system koordinater har like koordinater.
2. Koordinater kollineære vektorer proporsjonal. Forutsatt at ingen av vektorene er null.
3. Kvadrat for lengden til en hvilken som helst vektor lik summen kvadrat det koordinater.
4. Under operasjonen vektor multiplikasjon på ekte nummer hver av dens koordinater multipliseres med dette tallet.
5. Når vi legger til vektorer, beregner vi summen av de tilsvarende vektorkoordinater.
6. Skalært produkt to vektorer er lik summen av produktene av deres tilsvarende koordinater.