Mencari kamiran tak tentu adalah masalah yang sangat biasa dalam matematik yang lebih tinggi dan cabang teknikal sains yang lain. Malah penyelesaian yang paling mudah masalah fizikal selalunya mustahil untuk dilakukan tanpa mengira beberapa kamiran mudah. Oleh itu, dengan zaman sekolah kami diajar teknik dan kaedah untuk menyelesaikan kamiran banyak jadual diberikan dengan kamiran fungsi termudah. Walau bagaimanapun, dari masa ke masa, semua ini selamat dilupakan, sama ada kita tidak mempunyai masa yang cukup untuk pengiraan atau kita perlu cari penyelesaian kepada kamiran tak tentu dari sangat fungsi kompleks. Untuk menyelesaikan masalah ini, perkhidmatan kami amat diperlukan untuk anda, membolehkan anda mencari kamiran tak tentu dalam talian dengan tepat.

Selesaikan kamiran tak tentu

Perkhidmatan dalam talian di laman web membolehkan anda mencari menyelesaikan kamiran dalam talian cepat, percuma dan berkualiti tinggi. Anda boleh menggantikan carian dalam jadual kamiran yang dikehendaki dengan perkhidmatan kami, dengan memasukkan dengan cepat fungsi yang dikehendaki, anda akan menerima penyelesaian kepada kamiran tak tentu dalam versi jadual. Tidak semua tapak matematik mampu mengira kamiran tak tentu fungsi dalam talian dengan cepat dan cekap, terutamanya jika anda perlu mencari tidak kamiran pasti daripada fungsi kompleks atau fungsi sedemikian yang tidak termasuk dalam kursus am matematik yang lebih tinggi. laman web laman web akan bantu menyelesaikan kamiran dalam talian dan menghadapi tugas. Menggunakan penyelesaian dalam talian kamiran di laman web, anda akan sentiasa mendapat jawapan yang tepat.

Walaupun anda ingin mengira kamiran sendiri, terima kasih kepada perkhidmatan kami adalah mudah untuk anda menyemak jawapan anda, mencari kesilapan atau kesilapan menaip, atau memastikan bahawa tugasan itu selesai dengan sempurna. Jika anda sedang menyelesaikan masalah dan anda perlu mengira kamiran tak tentu sebagai tindakan tambahan, maka mengapa membuang masa pada tindakan ini yang mungkin telah anda lakukan seribu kali? Lebih-lebih lagi, pengiraan tambahan kamiran mungkin menjadi punca kesilapan taip atau kesilapan kecil, yang seterusnya membawa kepada jawapan yang salah. Hanya gunakan perkhidmatan kami dan cari kamiran tak tentu dalam talian tanpa sebarang usaha. Untuk masalah praktikal dengan mencari integral fungsi dalam talian pelayan ini sangat berguna. Wajib masuk fungsi yang diberikan, dapatkan penyelesaian dalam talian kamiran tak tentu dan bandingkan jawapan dengan penyelesaian anda.

Kamiran tak tentu.
Contoh terperinci penyelesaian

Dalam pelajaran ini kita akan mula mempelajari topik tersebut Kamiran tak tentu, dan kami juga akan menganalisis secara terperinci contoh penyelesaian kepada kamiran yang paling mudah (dan tidak begitu mudah). Dalam artikel ini saya akan menghadkan diri saya kepada teori minimum, dan kini tugas kita adalah untuk mempelajari cara menyelesaikan kamiran.

Apa yang anda perlu tahu untuk berjaya menguasai bahan? Untuk mengatasi kalkulus kamiran, anda perlu dapat mencari derivatif, sekurang-kurangnya, pada tahap pertengahan. Oleh itu, jika bahan telah dilancarkan, saya mengesyorkan agar anda terlebih dahulu membaca pelajaran dengan teliti Bagaimana untuk mencari derivatif? Dan Terbitan fungsi kompleks. Ia tidak akan menjadi satu pembaziran pengalaman jika anda mempunyai beberapa dozen (sebaik-baiknya seratus) derivatif yang ditemui secara bebas di bawah tali pinggang anda. Sekurang-kurangnya, anda tidak boleh keliru dengan tugas untuk membezakan fungsi yang paling mudah dan paling biasa. Nampaknya, apa kaitan derivatif dengannya jika artikel itu mengenai kamiran?! Inilah perkaranya. Hakikatnya ialah mencari terbitan dan mencari kamiran tak tentu (pembezaan dan kamiran) adalah dua tindakan terbalik, seperti penambahan/penolakan atau pendaraban/bahagi. Oleh itu, tanpa kemahiran (+ beberapa pengalaman) mencari derivatif, malangnya, anda tidak boleh bergerak ke hadapan.

Dalam hal ini, kami memerlukan perkara berikut bahan pengajaran: Jadual terbitan Dan Jadual kamiran. Panduan Rujukan boleh dibuka, dimuat turun atau dicetak pada halaman Formula dan jadual matematik.

Apakah kesukaran untuk mempelajari kamiran tak tentu? Jika dalam derivatif terdapat 5 peraturan pembezaan, jadual derivatif dan algoritma tindakan yang agak jelas, maka dalam kamiran semuanya berbeza. Terdapat berpuluh-puluh kaedah dan teknik integrasi. Dan, jika kaedah penyepaduan pada mulanya dipilih secara tidak betul (iaitu anda tidak tahu cara menyelesaikannya), maka integral boleh "dicucuk" secara literal selama beberapa hari, seperti teka-teki sebenar, cuba memikirkan pelbagai teknik dan helah. Ada juga yang suka. By the way, ini bukan jenaka, saya sering mendengar daripada pelajar pendapat seperti "Saya tidak pernah berminat untuk menyelesaikan had atau derivatif, tetapi kamiran adalah perkara yang sama sekali berbeza, ia menarik, sentiasa ada keinginan. untuk "menggodam" integral kompleks" Berhenti. Cukuplah humor hitam, mari kita beralih kepada kamiran yang sangat tidak tentu ini.

Oleh kerana terdapat begitu banyak cara untuk menyelesaikannya, maka di mana hendak mula mengkaji kamiran tak tentu untuk teko? DALAM kalkulus kamiran Terdapat, pada pendapat saya, tiga tiang atau sejenis "paksi" di mana segala-galanya berputar. Pertama sekali, anda harus mempunyai pemahaman yang baik tentang kamiran termudah (artikel ini). Kemudian anda perlu mengerjakan pelajaran secara terperinci. INI TEKNIK PALING PENTING! Mungkin juga artikel paling penting daripada semua artikel saya tentang kamiran. Dan ketiga, anda mesti membiasakan diri dengan kaedah penyepaduan mengikut bahagian, kerana ia boleh digunakan untuk menyepadukan kelas fungsi yang luas. Jika anda menguasai sekurang-kurangnya tiga pelajaran ini, maka anda tidak akan mempunyai dua lagi. Anda mungkin dimaafkan kerana tidak mengetahui kamiran daripada fungsi trigonometri, kamiran daripada pecahan, kamiran daripada fungsi pecahan-rasional, kamiran daripada fungsi tak rasional (akar), tetapi jika anda terperangkap pada kaedah penggantian atau kaedah pengamiran mengikut bahagian, maka ia akan menjadi sangat, sangat buruk.

Demotivator kini sangat biasa di RuNet. Dalam konteks mengkaji kamiran, sebaliknya, ia hanya perlu MOTIVATOR. Seperti dalam jenaka tentang Vasily Ivanovich, yang memotivasikan Petka dan Anka. Orang yang malas, pemuat percuma dan pelajar normal yang lain, pastikan anda membaca perkara berikut. Pengetahuan dan kemahiran tentang kamiran tak tentu akan diperlukan dalam kajian lanjutan, khususnya, apabila mengkaji kamiran pasti, kamiran tak wajar dan persamaan pembezaan pada tahun ke-2. Keperluan untuk mengambil kamiran timbul walaupun dalam teori kebarangkalian! Oleh itu, tanpa kamiran, laluan ke sesi musim panas dan tahun ke-2 AKAN DITUTUP. Saya serius. Kesimpulannya begini. Lebih banyak kamiran pelbagai jenis anda membuat keputusan, lebih mudah ia akan menjadi kehidupan masa hadapan . Ya, ia akan mengambil masa yang agak lama, ya, kadang-kadang anda tidak mahu, ya, kadang-kadang "ke neraka dengannya, dengan integral ini, mungkin saya tidak akan mendapatkannya." Tetapi pemikiran seterusnya harus memberi inspirasi dan menghangatkan jiwa anda; Anda akan dapat memecahkan persamaan pembezaan seperti kacang dan dengan mudah menangani kamiran yang akan anda temui dalam bahagian lain dalam matematik yang lebih tinggi. Setelah memahami secara menyeluruh kamiran tak tentu, ANDA SEBENARNYA AKAN MENGUASAI BEBERAPA LAGI BAHAGIAN MENARA.

Jadi saya tidak dapat membantu tetapi mencipta kursus intensif mengenai teknik integrasi, yang ternyata sangat pendek - mereka yang ingin boleh menggunakan buku pdf dan menyediakan SANGAT cepat. Tetapi bahan-bahan di laman web ini tidak lebih teruk!

Jadi, mari kita mulakan dengan mudah. Mari kita lihat jadual kamiran. Seperti dalam derivatif, kami melihat beberapa peraturan penyepaduan dan jadual kamiran daripada beberapa fungsi asas. Adalah mudah untuk melihat bahawa mana-mana kamiran jadual (dan sememangnya mana-mana kamiran tak tentu) mempunyai bentuk:

Mari kita segera memahami notasi dan istilah:

– ikon integral.

– fungsi integrand (ditulis dengan huruf “s”).

– ikon pembezaan. Apabila menulis integral dan semasa penyelesaian, adalah penting untuk tidak kehilangan ikon ini. Akan ada kecacatan yang ketara.

– kamiran dan ungkapan atau “pengisian” kamiran.

– fungsi antiderivatif.

– banyak fungsi asal. Tidak perlu sarat dengan istilah; perkara yang paling penting ialah dalam mana-mana kamiran tak tentu pemalar ditambahkan pada jawapan.

Menyelesaikan kamiran bermakna mencari fungsi tertentu, menggunakan beberapa peraturan, teknik dan jadual.

Jom tengok entry sekali lagi:

Mari kita lihat jadual kamiran.

Apa yang sedang berlaku? Kami mempunyai bahagian kiri berubah kepada kepada fungsi lain: .

Mari kita mudahkan definisi kita.

Menyelesaikan kamiran tak tentu bermaksud MENUBAHkannya kepada fungsi tertentu, menggunakan beberapa peraturan, teknik dan jadual.

Ambil, sebagai contoh, kamiran jadual . Apa yang berlaku? bertukar menjadi fungsi.

Seperti dalam kes derivatif, untuk mempelajari cara mencari kamiran, anda tidak perlu mengetahui apa itu integral, fungsi antiderivatif dari sudut pandangan teori. Cukup sekadar melakukan transformasi mengikut beberapa peraturan formal. Jadi, sekiranya Ia sama sekali tidak perlu untuk memahami mengapa kamiran bertukar menjadi . Buat masa ini, kita boleh mengambil mudah formula ini dan lain-lain. Semua orang menggunakan elektrik, tetapi hanya sedikit orang yang berfikir tentang cara elektron bergerak melalui wayar.

Oleh kerana pembezaan dan penyepaduan adalah operasi bertentangan, maka untuk sebarang antiterbitan yang ditemui Betul, berikut adalah benar:

Dengan kata lain, jika anda membezakan jawapan yang betul, maka anda mesti mendapatkan fungsi integrand asal.

Mari kita kembali ke integral jadual yang sama .

Mari kita sahkan kesahihan formula ini. Kami mengambil terbitan sebelah kanan:

ialah fungsi integrand asal.

Dengan cara ini, ia telah menjadi lebih jelas mengapa pemalar sentiasa diberikan kepada fungsi. Apabila dibezakan, pemalar sentiasa bertukar kepada sifar.

Selesaikan kamiran tak tentu- maksudnya mencari sekumpulan semua orang antiderivatif, dan bukan hanya satu fungsi. Dalam contoh jadual yang sedang dipertimbangkan, , , , dsb. – semua fungsi ini adalah penyelesaian kepada kamiran. Terdapat banyak penyelesaian yang tidak terhingga, jadi kami menulisnya secara ringkas:

Oleh itu, sebarang kamiran tak tentu agak mudah untuk diperiksa (tidak seperti derivatif, di mana pemeriksaan yang baik hanya boleh dilakukan menggunakan program matematik). Ini adalah beberapa pampasan untuk sejumlah besar kamiran pelbagai jenis.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan contoh khusus. Mari kita mulakan, seperti dalam mengkaji derivatif,
dengan dua peraturan integrasi, juga dipanggil sifat lineariti kamiran tak tentu:

– faktor malar boleh (dan harus) dikeluarkan daripada tanda kamiran.

– kamiran hasil tambah algebra bagi dua fungsi adalah sama dengan jumlah algebra dua kamiran bagi setiap fungsi secara berasingan. Harta ini sah untuk sebarang bilangan terma.

Seperti yang anda lihat, peraturannya pada asasnya sama seperti derivatif.

Contoh 1

Penyelesaian: Adalah lebih mudah untuk menulis semula di atas kertas.

(1) Gunakan peraturan . Jangan lupa untuk menulis simbol pembezaan di bawah setiap kamiran. Mengapa di bawah setiap? - ini adalah pengganda penuh, jika kami menerangkan penyelesaian secara terperinci, maka langkah pertama harus ditulis seperti ini:

(2) Mengikut peraturan , kita mengambil semua pemalar di luar tanda kamiran. Sila ambil perhatian bahawa istilah terakhir adalah pemalar, kami juga mengeluarkannya.
Selain itu, pada langkah ini menyediakan akar dan kuasa untuk integrasi. Dengan cara yang sama seperti dengan pembezaan, akar mesti diwakili dalam bentuk . Gerakkan akar dan kuasa yang terletak dalam penyebut ke atas.

! Nota: tidak seperti derivatif, akar dalam kamiran tidak boleh selalu dikurangkan kepada bentuk , tetapi darjah harus dipindahkan ke atas. Sebagai contoh, ini adalah kamiran jadual siap sedia, dan semua jenis helah Cina seperti sama sekali tidak perlu. Begitu juga: – juga kamiran jadual, tidak ada gunanya mewakili pecahan dalam bentuk . Kaji jadual dengan teliti!

(3) Semua kamiran kami adalah jadual. Kami menjalankan transformasi menggunakan jadual menggunakan formula: , Dan .
Perhatian istimewa Saya beralih kepada formula untuk menyepadukan fungsi kuasa , ia berlaku sangat kerap, adalah lebih baik untuk mengingatinya. Perlu diingatkan bahawa kamiran jadual ialah kes istimewa formula yang sama: .
Ia cukup untuk menambah pemalar sekali pada akhir ungkapan (dan tidak meletakkannya selepas setiap integral).
(4) Kami menulis hasil yang diperoleh dalam bentuk yang lebih padat, semua darjah bentuk sekali lagi diwakili dalam bentuk akar, darjah dengan penunjuk negatif– tetapkan semula kepada penyebut.

Peperiksaan. Untuk melakukan semakan, anda perlu membezakan jawapan yang diterima:

Menerima yang asal integrand, yang bermaksud kamiran ditemui dengan betul. Dari apa mereka menari itulah yang mereka kembalikan. Anda tahu, ia sangat bagus apabila cerita dengan integral berakhir dengan cara ini.

Dari semasa ke semasa terdapat pendekatan yang sedikit berbeza untuk menyemak kamiran tak tentu, tetapi pembezaan diambil daripada jawapan:

Mereka yang faham dari semester pertama faham, tetapi sekarang yang penting bagi kami bukanlah kehalusan teori, tetapi yang penting ialah apa yang perlu dilakukan seterusnya dengan perbezaan ini. Ia perlu didedahkan, dan dari sudut teknikal formal, ini hampir sama dengan mencari derivatif. Pembezaan terbuka dengan cara berikut: keluarkan ikon, letakkan strok di sebelah kanan di atas kurungan, tambah faktor pada penghujung ungkapan:

Diterima asal integrand, yang bermaksud kamiran ditemui dengan betul.

Saya suka kaedah kedua untuk menyemak kurang, kerana saya perlu melukis tanda kurungan besar dan menyeret ikon pembezaan sehingga akhir semakan. Walaupun ia lebih betul atau "lebih dihormati" atau sesuatu.

Malah, saya boleh berdiam diri tentang kaedah pengesahan kedua sama sekali. Intinya bukan dalam kaedah, tetapi pada hakikat bahawa kita telah belajar untuk membuka perbezaan. sekali lagi.

Perbezaan didedahkan seperti berikut:

1) alih keluar ikon;
2) di sebelah kanan di atas kurungan kami meletakkan strok (denotasi derivatif);
3) pada akhir ungkapan kami menetapkan faktor .

Sebagai contoh:

Ingat ini. Kami akan memerlukan teknik ini tidak lama lagi.

Contoh 2

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Apabila kami menemui kamiran tak tentu, kami SENTIASA cuba menyemak Lebih-lebih lagi, terdapat peluang besar untuk ini. Tidak semua jenis masalah dalam matematik yang lebih tinggi adalah hadiah dari sudut pandangan ini. Selalunya tak kisah tugasan ujian tiada pengesahan diperlukan, tiada siapa yang menyemaknya, dan tiada apa yang menghalangnya daripada dijalankan pada draf. Pengecualian boleh dibuat hanya apabila masa tidak mencukupi (contohnya, semasa ujian atau peperiksaan). Secara peribadi, saya sentiasa menyemak kamiran, dan saya menganggap kekurangan penyemakan sebagai kerja penggodaman dan tugas yang kurang siap.

Contoh 3

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Penyelesaian: Menganalisis kamiran, kita melihat bahawa kita mempunyai hasil darab dua fungsi, dan juga eksponen bagi keseluruhan ungkapan. Malangnya, dalam bidang pertempuran integral tidak ada formula yang baik dan mudah untuk mengintegrasikan produk dan yang tertentu , .

Oleh itu, apabila produk atau hasil bagi diberikan, ia sentiasa masuk akal untuk melihat sama ada mungkin untuk mengubah integrand menjadi jumlah?

Contoh yang sedang dipertimbangkan adalah kes apabila boleh. Mula-mula saya akan bawa penyelesaian yang lengkap, komen akan ada di bawah.

(1) Kami menggunakan formula lama yang baik bagi kuasa dua jumlah, menyingkirkan darjah.

(2) Kami meletakkannya dalam kurungan, menyingkirkan produk.

Contoh 4

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Jawapan dan penyelesaian lengkap ada pada akhir pelajaran.

Contoh 5

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

DALAM dalam contoh ini kamiran dan ialah pecahan. Apabila kita melihat pecahan dalam integrand, pemikiran pertama sepatutnya ialah soalan: Adakah mungkin untuk menyingkirkan pecahan ini, atau sekurang-kurangnya memudahkannya?

Kami perhatikan bahawa penyebut mengandungi punca tunggal "X". Seorang di medan bukan pahlawan, yang bermaksud kita boleh membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan:

Tindakan dengan kuasa pecahan Saya tidak mengulas, kerana ia telah dibincangkan berkali-kali dalam artikel mengenai derivatif fungsi. Jika anda masih bingung dengan contoh seperti , dan anda tidak boleh mendapatkan jawapan yang betul, maka saya syorkan beralih kepada buku teks sekolah. Dalam matematik yang lebih tinggi, pecahan dan operasi dengannya ditemui pada setiap langkah.

Juga ambil perhatian bahawa penyelesaian itu tiada satu langkah, iaitu menggunakan peraturan , . Biasanya, walaupun semasa pengalaman awal menyelesaikan kamiran, sifat-sifat ini diambil begitu sahaja dan tidak diterangkan secara terperinci.

Contoh 6

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Jawapan dan penyelesaian lengkap ada pada akhir pelajaran.

Secara umum, perkara tidak begitu mudah dengan pecahan dalam kamiran, bahan tambahan mengenai penyepaduan pecahan beberapa jenis boleh didapati dalam artikel Mengintegrasikan Beberapa Pecahan.

! Tetapi, sebelum beralih ke artikel di atas, anda perlu membiasakan diri dengan pelajaran Kaedah penggantian dalam kamiran tak tentu. Intinya ialah memasukkan fungsi di bawah kaedah penggantian pembezaan atau pembolehubah adalah Kunci utama dalam kajian topik, kerana ia didapati bukan sahaja "dalam tugas tulen pada kaedah penggantian," tetapi juga dalam banyak jenis kamiran lain.

Saya benar-benar ingin memasukkan beberapa lagi contoh dalam pelajaran ini, tetapi saya duduk di sini sekarang, menaip teks ini dalam Verde dan menyedari bahawa artikel itu telah berkembang kepada saiz yang baik.
Dan oleh itu kursus pengenalan kamiran untuk boneka telah berakhir.

Semoga anda berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian:

Contoh 4: Penyelesaian:

Dalam contoh ini kami menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan

Contoh 6: Penyelesaian:

Saya telah menyelesaikan cek, dan anda? ;)

Kajian semula kaedah untuk mengira kamiran tak tentu dibentangkan. Kaedah utama penyepaduan dipertimbangkan, termasuk menyepadukan jumlah dan perbezaan, meletakkan pemalar di luar tanda kamiran, menggantikan pembolehubah, dan menyepadukan mengikut bahagian. Juga dipertimbangkan kaedah khas dan teknik untuk menyepadukan pecahan, punca, trigonometri dan fungsi eksponen.

Kamiran antiterbitan dan tak tentu

Antiterbitan F(x) bagi fungsi f(x) ialah fungsi yang terbitannya sama dengan f(x):
F′(x) = f(x), x ∈ Δ,
di mana Δ - tempoh di mana ia dilakukan persamaan yang diberikan.

Set semua antiderivatif dipanggil kamiran tak tentu:
,
di mana C ialah pemalar bebas daripada pembolehubah x.

Formula asas dan kaedah penyepaduan

Jadual kamiran

Matlamat akhir pengiraan kamiran tak tentu - dengan cara penjelmaan, kurangkan kamiran yang diberikan kepada ungkapan yang mengandungi kamiran termudah atau jadual.
Lihat Jadual Kamiran >>>

Peraturan untuk menyepadukan jumlah (perbezaan)

Menggerakkan pemalar di luar tanda kamiran

Biarkan c ialah pemalar bebas daripada x. Kemudian ia boleh dikeluarkan daripada tanda kamiran:

Penggantian berubah-ubah

Biarkan x ialah fungsi bagi pembolehubah t, x = φ(t), maka
.
Atau sebaliknya, t = φ(x) ,
.

Menggunakan perubahan pembolehubah, anda bukan sahaja boleh mengira kamiran mudah, tetapi juga memudahkan pengiraan yang lebih kompleks.

Penyepaduan mengikut peraturan bahagian

Penyepaduan pecahan (fungsi rasional)

Mari kita perkenalkan notasi. Biarkan P k (x), Q m (x), R n (x) masing-masing menandakan polinomial darjah k, m, n, berkenaan dengan pembolehubah x.

Mari kita pertimbangkan kamiran yang terdiri daripada pecahan polinomial (yang dipanggil fungsi rasional):

Jika k ≥ n, maka anda perlu memilih keseluruhan bahagian pecahan terlebih dahulu:
.
Kamiran bagi polinomial S k-n (x) dikira menggunakan jadual kamiran.

Integral kekal:
, di mana m< n .
Untuk mengiranya, kamiran dan mesti diuraikan kepada pecahan mudah.

Untuk melakukan ini, anda perlu mencari punca persamaan:
Q n (x) = 0 .
Menggunakan akar yang diperoleh, anda perlu mewakili penyebut sebagai hasil daripada faktor:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Berikut s ialah pekali untuk x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....

Selepas ini, pecahkan pecahan ke dalam bentuk termudah:

Mengintegrasikan, kami memperoleh ungkapan yang terdiri daripada kamiran yang lebih mudah.
Kamiran bentuk

dikurangkan kepada penggantian jadual t = x - a.

Pertimbangkan integral:

Mari kita ubah pengangka:
.
Menggantikan ke dalam integrand, kami memperoleh ungkapan yang merangkumi dua kamiran:
,
.
Yang pertama, dengan penggantian t = x 2 + ex + f, dikurangkan kepada satu jadual.
Kedua, mengikut formula pengurangan:

dikurangkan kepada kamiran

Mari kita kurangkan penyebutnya kepada jumlah kuasa dua:
.
Kemudian dengan penggantian, kamiran

juga dijadualkan.

Penyepaduan fungsi tidak rasional

Mari kita perkenalkan notasi. Biarkan R(u 1, u 2, ..., u n) bermaksud fungsi rasional bagi pembolehubah u 1, u 2, ..., u n. Itu dia
,
di mana P, Q ialah polinomial dalam pembolehubah u 1, u 2, ..., u n.

Ketidakrasionalan linear pecahan

Mari kita pertimbangkan kamiran bentuk:
,
di mana - nombor rasional, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - integer.
Biarkan n - penyebut biasa nombor r 1, ..., r s.
Kemudian kamiran dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional dengan penggantian:
.

Kamiran daripada binomial pembezaan

Pertimbangkan integral:
,
dengan m, n, p ialah nombor rasional, a, b - nombor nyata.
Kamiran sedemikian dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional dalam tiga kes.

1) Jika p ialah integer. Penggantian x = t N, dengan N ialah penyebut sepunya bagi pecahan m dan n.
2) Jika - integer. Penggantian a x n + b = t M, dengan M ialah penyebut nombor p.
3) Jika - integer. Penggantian a + b x - n = t M, dengan M ialah penyebut nombor p.

Jika tiada satu pun daripada tiga nombor adalah integer, maka, mengikut teorem Chebyshev, kamiran jenis ini tidak boleh dinyatakan dengan gabungan terhingga fungsi asas.

Dalam sesetengah kes, pertama sekali berguna untuk mengurangkan kamiran kepada nilai yang lebih mudah m dan p. Ini boleh dilakukan menggunakan formula pengurangan:
;
.

Kamiran yang mengandungi punca kuasa dua bagi trinomial kuasa dua

Di sini kita mempertimbangkan kamiran bentuk:
,

Penggantian Euler

Kamiran sedemikian boleh dikurangkan kepada kamiran fungsi rasional satu daripada tiga penggantian Euler:
, untuk a > 0;
, untuk c > 0 ;
, dengan x 1 ialah punca bagi persamaan a x 2 + b x + c = 0. Jika persamaan ini mempunyai akar sebenar.

Penggantian trigonometri dan hiperbolik

Kaedah langsung

Dalam kebanyakan kes, penggantian Euler menghasilkan pengiraan yang lebih panjang daripada kaedah langsung. Menggunakan kaedah langsung, kamiran dikurangkan kepada salah satu bentuk yang disenaraikan di bawah.

Jenis I

Integral dalam bentuk:
,
dengan P n (x) ialah polinomial bagi darjah n.

Kamiran sedemikian didapati dengan kaedah pekali tidak pasti, menggunakan identiti:

Membezakan persamaan ini dan menyamakan sisi kiri dan kanan, kita dapati pekali A i.

Jenis II

Integral dalam bentuk:
,
dengan P m (x) ialah polinomial darjah m.

Penggantian t = (x - α) -1 kamiran ini dikurangkan kepada jenis sebelumnya. Jika m ≥ n, maka pecahan itu hendaklah mempunyai bahagian integer.

jenis III

Jenis ketiga dan paling kompleks:
.

Di sini anda perlu membuat penggantian:
.
Selepas itu integral akan mengambil bentuk:
.
Seterusnya, pemalar α, β mesti dipilih supaya pekali untuk t menjadi sifar:
B = 0, B 1 = 0.
Kemudian kamiran terurai menjadi jumlah kamiran dua jenis:
;
,
yang disepadukan, masing-masing, dengan penggantian:
z 2 = A 1 t 2 + C 1 ;
y 2 = A 1 + C 1 t -2 .

Kes am

Penyepaduan fungsi transendental (trigonometrik dan eksponen).

Mari kita perhatikan terlebih dahulu bahawa kaedah-kaedah yang boleh digunakan untuk fungsi trigonometri, juga terpakai untuk fungsi hiperbola. Atas sebab ini, kami tidak akan mempertimbangkan penyepaduan fungsi hiperbolik secara berasingan.

Penyepaduan fungsi trigonometri rasional bagi cos x dan sin x

Mari kita pertimbangkan kamiran fungsi trigonometri dalam bentuk:
,
di mana R ialah fungsi rasional. Ini juga mungkin termasuk tangen dan kotangen, yang harus ditukar menggunakan sinus dan kosinus.

Apabila menyepadukan fungsi sedemikian, adalah berguna untuk mengingati tiga peraturan:
1) jika R( cos x, dosa x) didarab dengan -1 daripada perubahan tanda sebelum satu daripada kuantiti kerana x atau dosa x, maka adalah berguna untuk menandakan yang lain daripada mereka dengan t.
2) jika R( cos x, dosa x) tidak berubah kerana perubahan tanda pada masa yang sama sebelum ini kerana x Dan dosa x, maka ia berguna untuk meletakkan tg x = t atau katil x = t.
3) penggantian dalam semua kes membawa kepada kamiran pecahan rasional. Malangnya, penggantian ini menghasilkan pengiraan yang lebih panjang daripada yang sebelumnya, jika berkenaan.

Hasil darab fungsi kuasa cos x dan sin x

Mari kita pertimbangkan kamiran bentuk:

Jika m dan n ialah nombor rasional, maka salah satu daripada penggantian t = dosa x atau t = kerana x kamiran dikurangkan kepada kamiran binomial pembezaan.

Jika m dan n ialah integer, maka kamiran dikira dengan pengamiran mengikut bahagian. Dalam kes ini ternyata formula berikut pelakon:

;
;
;
.

Integrasi mengikut bahagian

Penggunaan formula Euler

Jika integrand adalah linear berkenaan dengan salah satu fungsi
cos kapak atau sinax, maka adalah mudah untuk menggunakan formula Euler:
e iax = cos kapak + isin kapak(di mana i 2 = - 1 ),
menggantikan fungsi ini dengan e iax dan menyerlahkan yang sebenar (apabila menggantikan cos kapak) atau bahagian khayalan (apabila menggantikan sinax) daripada keputusan yang diperolehi.

Rujukan:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksi masalah dalam matematik yang lebih tinggi, "Lan", 2003.

Menyelesaikan kamiran - tugas mudah, tetapi hanya untuk beberapa orang terpilih. Artikel ini adalah untuk mereka yang ingin belajar memahami kamiran, tetapi tidak tahu apa-apa atau hampir tiada apa-apa tentangnya. Integral... Mengapa ia diperlukan? Bagaimana untuk mengiranya? Apakah kamiran pasti dan kamiran tak tentu? Jika satu-satunya kegunaan yang anda ketahui untuk kamiran ialah menggunakan cangkuk mengait berbentuk seperti ikon kamiran untuk mendapatkan sesuatu yang berguna daripada tempat yang sukar dijangkau, maka dialu-alukan! Ketahui cara menyelesaikan kamiran dan mengapa anda tidak boleh melakukannya tanpanya.

Kami mengkaji konsep "integral"

Integrasi diketahui semula Mesir Purba. Sudah tentu tidak masuk bentuk moden, tapi masih. Sejak itu, ahli matematik telah menulis banyak buku mengenai topik ini. Terutama membezakan diri mereka Newton Dan Leibniz , tetapi intipati sesuatu tidak berubah. Bagaimana untuk memahami kamiran dari awal? Tidak boleh! Untuk memahami topik ini anda masih perlu pengetahuan asas asas analisis matematik. Maklumat asas inilah yang anda akan dapati di blog kami.

Kamiran tak tentu

Mari kita mempunyai beberapa fungsi f(x) .

Fungsi kamiran tak tentu f(x) fungsi ini dipanggil F(x) , yang derivatifnya sama dengan fungsi f(x) .

Dalam erti kata lain, kamiran ialah terbitan secara songsang atau antiterbitan. Dengan cara ini, baca tentang bagaimana dalam artikel kami.

Antiderivatif wujud untuk semua orang fungsi berterusan. Juga, tanda malar sering ditambah kepada antiderivatif, kerana derivatif fungsi yang berbeza dengan malar bertepatan. Proses mencari kamiran dipanggil kamiran.

Contoh mudah:

Agar tidak sentiasa mengira antiderivatif fungsi asas, adalah mudah untuk meletakkannya dalam jadual dan menggunakan nilai siap pakai:

Kamiran pasti

Apabila berurusan dengan konsep kamiran, kita berurusan dengan kuantiti tak terhingga. Kamiran akan membantu mengira luas rajah, jisim jasad tidak homogen, jarak yang dilalui pada pergerakan tidak sekata jalan dan banyak lagi. Perlu diingat bahawa kamiran ialah jumlah tak terhingga Kuantiti yang besar istilah yang sangat kecil.

Sebagai contoh, bayangkan graf bagi beberapa fungsi. Bagaimana untuk mencari luas rajah, terhad mengikut jadual fungsi?

Menggunakan integral! Mari kita pecahkan trapezoid melengkung, dihadkan oleh paksi koordinat dan graf fungsi, kepada segmen yang sangat kecil. Dengan cara ini angka itu akan dibahagikan kepada lajur nipis. Jumlah kawasan lajur akan menjadi luas trapezoid. Tetapi ingat bahawa pengiraan sedemikian akan memberi hasil anggaran. Walau bagaimanapun, lebih kecil dan lebih sempit segmen, lebih tepat pengiraan. Jika kita mengurangkannya sehingga ke tahap yang panjangnya cenderung kepada sifar, maka jumlah kawasan segmen akan cenderung kepada luas angka itu. Ini adalah integral pasti, yang ditulis seperti ini:

Titik a dan b dipanggil had pengamiran.

Bari Alibasov dan kumpulan "Integral"

By the way!

Untuk pembaca kami kini terdapat diskaun 10% pada

Peraturan untuk mengira kamiran untuk dummies

Sifat kamiran tak tentu

• Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tak tentu? Di sini kita akan melihat sifat kamiran tak tentu, yang akan berguna apabila menyelesaikan contoh.

• Terbitan kamiran adalah sama dengan kamiran dan:

• Pemalar boleh dikeluarkan dari bawah tanda kamiran: Kamiran bagi hasil tambah kamiran. Ini juga benar untuk perbezaan:

Sifat kamiran pasti

• Kelinearan:

• Tanda kamiran berubah jika had penyepaduan ditukar:

• Pada mana-mana mata a, b Dan Dengan:

Kami telah mengetahui bahawa kamiran pasti ialah had jumlah. Tetapi bagaimana untuk mendapatkan makna khusus apabila menyelesaikan contoh? Untuk ini terdapat formula Newton-Leibniz:

Contoh penyelesaian kamiran

Di bawah ini kita akan mempertimbangkan beberapa contoh mencari kamiran tak tentu. Kami menjemput anda untuk mengetahui selok-belok penyelesaian itu sendiri, dan jika ada yang tidak jelas, tanya soalan dalam ulasan.

Untuk mengukuhkan bahan, tonton video tentang cara kamiran diselesaikan dalam amalan. Jangan putus asa jika kamiran tidak diberikan segera. Tanya dan mereka akan memberitahu anda semua yang mereka tahu tentang pengiraan kamiran. Dengan bantuan kami, mana-mana triple atau kamiran garis pada permukaan tertutup anda akan dapat melakukannya.