Integrasi fungsi rasional Pecahan - fungsi rasional Pecahan rasional termudah Penguraian pecahan rasional kepada pecahan mudah Integrasi pecahan mudah Peraturan am untuk pengamiran pecahan rasional

polinomial darjah n. Pecahan - fungsi rasional Fungsi pecahan - rasional ialah fungsi yang sama dengan nisbah dua polinomial: Pecahan rasional dipanggil wajar jika darjah pengangkanya kurang daripada darjah penyebut, iaitu, m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Pecahan - fungsi rasional Kurangkan pecahan tak wajar kepada bentuk yang betul: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 6 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Pecahan rasional termudah Pecahan rasional wajar bagi bentuk: Ia dipanggil pecahan rasional termudah bagi jenis. kapak A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Penguraian pecahan rasional kepada pecahan mudah Teorem: Mana-mana pecahan rasional wajar, penyebutnya difaktorkan: boleh diwakili, lebih-lebih lagi, dengan cara yang unik dalam bentuk jumlah pecahan mudah: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Penguraian pecahan rasional kepada pecahan mudah Mari kita terangkan rumusan teorem menggunakan contoh berikut: Untuk mencari pekali tidak pasti A, B, C, D..., dua kaedah digunakan: kaedah membandingkan pekali dan kaedah daripada nilai separa pembolehubah. Mari kita lihat kaedah pertama menggunakan contoh. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Penguraian pecahan rasional kepada pecahan mudah Kemukakan pecahan itu sebagai hasil tambah pecahan mudah: Mari kita bawa pecahan termudah kepada penyebut sepunya Samakan pengangka bagi pecahan terhasil dan asal Samakan pekali pada kuasa yang sama x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Pengamiran pecahan termudah Mari kita cari kamiran pecahan rasional termudah: Mari kita lihat pengamiran pecahan jenis 3 menggunakan contoh. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Pengamiran pecahan mudahdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln.

Kamiran pecahan mudah Kamiran jenis ini menggunakan penggantian: dikurangkan kepada hasil tambah dua kamiran: Kamiran pertama dikira dengan memasukkan t di bawah tanda pembezaan. Kamiran kedua dikira menggunakan formula ulangan: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Pengamiran pecahan mudah a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 tg t C t2 tarct) (4)1(

Peraturan am untuk menyepadukan pecahan rasional Jika pecahan itu tidak wajar, maka nyatakan ia sebagai hasil tambah polinomial dan pecahan wajar. Setelah memfaktorkan penyebut pecahan rasional wajar, mewakilinya sebagai jumlah pecahan mudah dengan pekali tak tentu Cari pekali tak tentu dengan kaedah membandingkan pekali atau dengan kaedah nilai separa pembolehubah. Sepadukan polinomial dan hasil tambah pecahan mudah.

Contoh Mari letakkan pecahan dalam bentuk yang betul. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 242 23 48 2 xxx x

Contoh Mari kita memfaktorkan penyebut pecahan wajar Mari kita wakili pecahan itu sebagai hasil tambah pecahan mudah Mari cari pekali tidak ditentukan menggunakan kaedah nilai separa pembolehubah xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Contoh dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

"Ahli matematik, sama seperti artis atau penyair, mencipta corak. Dan jika coraknya lebih stabil, ia hanya kerana ia terdiri daripada idea-idea... Corak ahli matematik, sama seperti corak artis atau penyair, mesti cantik; Idea, sama seperti warna atau perkataan, mesti sepadan antara satu sama lain. Kecantikan adalah keperluan pertama: tiada tempat di dunia untuk matematik yang hodoh».

G.H.Hardy

Dalam bab pertama telah dinyatakan bahawa terdapat antiderivatif bagi fungsi yang agak mudah yang tidak lagi boleh dinyatakan melalui fungsi asas. Dalam hal ini, kelas-kelas fungsi yang boleh kita katakan dengan tepat bahawa antiterbitannya ialah fungsi asas memperoleh kepentingan praktikal yang sangat besar. Kelas fungsi ini termasuk fungsi rasional, mewakili nisbah dua polinomial algebra. Banyak masalah membawa kepada penyepaduan pecahan rasional. Oleh itu, adalah sangat penting untuk dapat mengintegrasikan fungsi tersebut.

2.1.1. Fungsi rasional pecahan

Pecahan rasional(atau fungsi rasional pecahan) dipanggil hubungan dua polinomial algebra:

di mana dan adalah polinomial.

Mari kita ingat semula polinomial (polinomial, keseluruhan fungsi rasional) nijazah ke dipanggil fungsi bentuk

di mana – nombor nyata. Sebagai contoh,

– polinomial darjah pertama;

– polinomial darjah keempat, dsb.

Pecahan rasional (2.1.1) dipanggil betul, jika ijazah lebih rendah daripada ijazah , i.e. n<m, jika tidak pecahan itu dipanggil salah.

Mana-mana pecahan tak wajar boleh diwakili sebagai hasil tambah polinomial (seluruh bahagian) dan pecahan wajar (bahagian pecahan). Pemisahan keseluruhan dan bahagian pecahan bagi pecahan tak wajar boleh dilakukan mengikut peraturan untuk membahagi polinomial dengan "penjuru".

Contoh 2.1.1. Kenal pasti keseluruhan dan bahagian pecahan bagi pecahan rasional tak wajar berikut:

A) , b) .

Penyelesaian . a) Menggunakan algoritma pembahagian "sudut", kita dapat

Oleh itu, kita mendapat

.

b) Di sini kami juga menggunakan algoritma pembahagian "sudut":

Hasilnya, kita dapat

.

Mari kita ringkaskan. Dalam kes umum, kamiran tak tentu bagi pecahan rasional boleh diwakili sebagai hasil tambah kamiran polinomial dan pecahan rasional wajar. Mencari antiderivatif polinomial tidaklah sukar. Oleh itu, dalam perkara berikut kita akan mempertimbangkan pecahan rasional wajar.

2.1.2. Pecahan rasional termudah dan kamirannya

Antara pecahan rasional wajar, terdapat empat jenis, yang dikelaskan sebagai pecahan rasional (asas) termudah:

3) ,

4) ,

di manakah integer, , iaitu trinomial kuadratik tidak mempunyai akar sebenar.

Mengintegrasikan pecahan mudah jenis 1 dan 2 tidak memberikan sebarang kesulitan besar:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Sekarang mari kita pertimbangkan penyepaduan pecahan mudah jenis ke-3, tetapi kita tidak akan mempertimbangkan pecahan jenis ke-4.

Mari kita mulakan dengan kamiran bentuk

.

Kamiran ini biasanya dikira dengan mengasingkan kuasa dua sempurna penyebut. Hasilnya ialah kamiran jadual bagi bentuk berikut

atau .

Contoh 2.1.2. Cari kamiran:

A) , b) .

Penyelesaian . a) Pilih segi empat sama lengkap daripada trinomial kuadratik:

Dari sini kita dapati

b) Dengan mengasingkan segi empat sama lengkap daripada trinomial kuadratik, kita memperoleh:

Oleh itu,

.

Untuk mencari kamiran

anda boleh mengasingkan terbitan penyebut dalam pengangka dan mengembangkan kamiran ke dalam jumlah dua kamiran: yang pertama daripada mereka dengan penggantian datang kepada penampilan

,

dan yang kedua - kepada yang dibincangkan di atas.

Contoh 2.1.3. Cari kamiran:

.

Penyelesaian . perasan, itu . Mari kita asingkan terbitan penyebut dalam pengangka:

Kamiran pertama dikira menggunakan penggantian :

Dalam kamiran kedua, kita memilih kuasa dua sempurna dalam penyebut

Akhirnya, kita dapat

2.1.3. Pengembangan pecahan rasional yang betul
bagi hasil tambah pecahan mudah

Mana-mana pecahan rasional wajar boleh diwakili dengan cara yang unik sebagai hasil tambah pecahan mudah. Untuk melakukan ini, penyebut mesti difaktorkan. Daripada algebra yang lebih tinggi diketahui bahawa setiap polinomial dengan pekali nyata

Salah satu kelas fungsi yang paling penting, kamiran yang dinyatakan melalui fungsi asas, ialah kelas fungsi rasional.

Definisi 1. Fungsi bentuk di mana
- polinomial darjahnDanmdipanggil rasional. Keseluruhan fungsi rasional, i.e. polinomial, berintegrasi secara langsung. Kamiran bagi fungsi pecahan-rasional boleh didapati dengan mengurai ke dalam sebutan, yang ditukar dengan cara piawai kepada kamiran jadual utama.

Definisi 2. Pecahan
dipanggil betul jika darjah pengangkankurang daripada kuasa penyebutm. Pecahan di mana darjah pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan darjah penyebut dipanggil tidak wajar.

Mana-mana pecahan tak wajar boleh diwakili sebagai hasil tambah polinomial dan pecahan wajar. Ini dilakukan dengan membahagi polinomial dengan polinomial, seperti membahagi nombor.

Contoh.

Mari kita bayangkan pecahan
sebagai hasil tambah polinomial dan pecahan wajar:

x - 1

3

3

3

Terma pertama
dalam hasil bagi ia diperoleh hasil daripada membahagi istilah utama
, dibahagikan dengan istilah utama X pembahagi Kemudian kita membiak
setiap pembahagi x-1 dan keputusan yang terhasil ditolak daripada dividen; Selebihnya bagi hasil bahagi tidak lengkap didapati sama.

Setelah membahagikan polinomial, kita dapat:

Tindakan ini dipanggil memilih keseluruhan bahagian.

Definisi 3. Pecahan termudah ialah pecahan rasional wajar bagi jenis berikut:

saya.

II.
(K=2, 3, …).

III.
di manakah trinomial segi empat sama

IV.
di mana K=2, 3, …; trinomial kuadratik
tidak mempunyai akar sebenar.

a) kembangkan penyebut
ke dalam faktor nyata termudah (mengikut teorem asas algebra, pengembangan ini boleh mengandungi binomial linear bentuk
dan trinomial kuadratik
, tidak mempunyai akar);

b) tulis gambar rajah penguraian pecahan yang diberi kepada hasil tambah pecahan mudah. Selain itu, setiap faktor bentuk
sepadan k komponen jenis I dan II:

kepada setiap faktor bentuk
sepadan dengan terma jenis III dan IV:

Contoh.

Tuliskan skema pengembangan pecahan
kepada jumlah yang paling mudah.

c) melakukan penambahan pecahan termudah yang diperoleh. Tuliskan kesamaan pengangka bagi pecahan terhasil dan pecahan asal;

d) cari pekali pengembangan sepadan:
(kaedah penyelesaian akan dibincangkan di bawah);

e) gantikan nilai pekali yang ditemui ke dalam skema penguraian.

Mengintegrasikan mana-mana pecahan rasional wajar selepas penguraian ke dalam sebutan termudahnya mengurangkan untuk mencari kamiran salah satu daripada jenis berikut:

(k Dan e =2, 3, …).

Pengiraan kamiran dikurangkan kepada formula III:

integral - kepada formula II:

integral boleh didapati dengan peraturan yang dinyatakan dalam teori penyepaduan fungsi yang mengandungi trinomial kuadratik; - melalui transformasi yang ditunjukkan di bawah dalam contoh 4.

Contoh 1.

a) faktorkan penyebut:

b) tulis gambar rajah untuk menguraikan kamiran kepada sebutan:

c) melakukan penambahan pecahan mudah:

Mari kita tuliskan kesamaan pembilang bagi pecahan:

d) terdapat dua kaedah untuk mencari pekali yang tidak diketahui A, B, C.

Dua polinomial adalah sama jika dan hanya jika pekalinya adalah sama untuk kuasa yang sama X, supaya anda boleh mencipta sistem persamaan yang sepadan. Ini adalah salah satu kaedah penyelesaian.

Pekali pada

ahli bebas (pekali pada ):4A=8.

Setelah menyelesaikan sistem, kami dapat A=2, B=1, C= - 10.

Kaedah lain - nilai peribadi - akan dibincangkan dalam contoh berikut;

e) gantikan nilai yang ditemui ke dalam skema penguraian:

Menggantikan jumlah yang terhasil di bawah tanda kamiran dan menyepadukan setiap sebutan secara berasingan, kita dapati:

Contoh 2.

Identiti ialah kesamaan yang sah untuk sebarang nilai yang tidak diketahui termasuk di dalamnya. Berdasarkan ini kaedah nilai peribadi. Boleh diberi X sebarang nilai. Adalah lebih mudah untuk pengiraan untuk mengambil nilai-nilai yang membuat sebarang istilah di sebelah kanan kesamaan lenyap.

biarlah x = 0. Kemudian 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).

Begitu juga untuk x = - 2 kita ada 1= - 2V*(-3), pada x = 1 kita ada 1 = 3A.

Oleh itu,

Contoh 3.

d) mula-mula kita gunakan kaedah nilai separa.

biarlah x = 0, Kemudian 1 = A 1, A = 1.

Pada x = - 1 kita ada - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) atau 6 = - 3V, B = - 2.

Untuk mencari pekali C dan D, anda perlu mencipta dua lagi persamaan. Untuk melakukan ini, anda boleh mengambil sebarang nilai lain X, Sebagai contoh x = 1 Dan x = 2. Anda boleh menggunakan kaedah pertama, i.e. menyamakan pekali pada mana-mana kuasa yang sama X, contohnya apabila Dan . Kita mendapatkan

1 = A+B+C dan 4 = C +D- DALAM.

Mengetahui A = 1, B = -2, kita akan jumpa C = 2, D = 0 .

Oleh itu, kedua-dua kaedah boleh digabungkan apabila mengira pekali.

integral terakhir kita dapati secara berasingan mengikut peraturan yang dinyatakan dalam kaedah menentukan pembolehubah baru. Mari kita pilih petak sempurna dalam penyebut:

katakan
Kemudian
Kita mendapatkan:

=

Menggantikan ke dalam persamaan sebelumnya, kita dapati

Contoh 4.

Cari

b)

d)

Mengintegrasikan, kami mempunyai:

Mari kita tukar kamiran pertama kepada formula III:

Mari kita tukar kamiran kedua kepada formula II:

Dalam kamiran ketiga kita menggantikan pembolehubah:

(Apabila melakukan transformasi, kami menggunakan formula trigonometri

Cari kamiran:

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

Soalan ujian kendiri.

Antara pecahan rasional berikut, yang manakah betul:

2. Adakah rajah untuk menguraikan pecahan kepada hasil tambah pecahan mudah ditulis dengan betul?

Penyepaduan fungsi pecahan-rasional.
Kaedah pekali tidak pasti

Kami terus berusaha untuk menyepadukan pecahan. Kami telah melihat kamiran beberapa jenis pecahan dalam pelajaran, dan pelajaran ini, dalam erti kata tertentu, boleh dianggap sebagai sambungan. Untuk berjaya memahami bahan, kemahiran integrasi asas diperlukan, jadi jika anda baru mula belajar kamiran, iaitu, anda seorang pemula, maka anda perlu bermula dengan artikel Kamiran tak tentu. Contoh penyelesaian.

Anehnya, sekarang kita tidak akan terlibat dalam mencari kamiran, tetapi... dalam menyelesaikan sistem persamaan linear. Dalam hal ini dengan segera Saya mengesyorkan untuk menghadiri pelajaran iaitu, anda perlu mahir dalam kaedah penggantian (“kaedah sekolah” dan kaedah penambahan (penolakan) penggal demi penggal bagi persamaan sistem).

Apakah fungsi rasional pecahan? Dalam perkataan mudah, fungsi pecahan-rasional ialah pecahan yang pengangka dan penyebutnya mengandungi polinomial atau hasil darab polinomial. Selain itu, pecahan adalah lebih canggih daripada yang dibincangkan dalam artikel Mengintegrasikan Beberapa Pecahan.

Mengintegrasikan Fungsi Rasional Pecahan Betul

Serta-merta contoh dan algoritma biasa untuk menyelesaikan kamiran fungsi rasional pecahan.

Contoh 1

Langkah 1. Perkara pertama yang SELALU kita lakukan apabila menyelesaikan kamiran bagi fungsi rasional pecahan ialah untuk menjelaskan soalan berikut: adakah pecahan itu betul? Langkah ini dilakukan secara lisan, dan sekarang saya akan menerangkan bagaimana:

Mula-mula kita melihat pengangka dan mengetahui ijazah senior polinomial:

Kuasa utama pengangka ialah dua.

Sekarang kita lihat penyebutnya dan ketahui ijazah senior penyebut. Cara yang jelas ialah membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa, tetapi anda boleh melakukannya dengan lebih mudah, dalam setiap satu cari darjah tertinggi dalam kurungan

dan mendarab secara mental: - dengan itu, darjah tertinggi penyebut adalah bersamaan dengan tiga. Agak jelas bahawa jika kita benar-benar membuka kurungan, kita tidak akan mendapat ijazah lebih daripada tiga.

Kesimpulan: Ijazah utama pengangka KETAT adalah kurang daripada kuasa tertinggi penyebut, yang bermaksud pecahan adalah wajar.

Jika dalam contoh ini pengangka mengandungi polinomial 3, 4, 5, dsb. darjah, maka pecahannya ialah salah.

Sekarang kita akan mempertimbangkan hanya fungsi rasional pecahan yang betul. Kes apabila darjah pengangka lebih besar daripada atau sama dengan darjah penyebut akan dibincangkan pada akhir pelajaran.

Langkah 2. Mari kita memfaktorkan penyebutnya. Mari lihat penyebut kami:

Secara umumnya, ini sudah menjadi produk faktor, tetapi, bagaimanapun, kita bertanya kepada diri sendiri: adakah mungkin untuk mengembangkan sesuatu yang lain? Objek penyeksaan sudah pasti akan menjadi trinomial segi empat sama. Menyelesaikan persamaan kuadratik:

Diskriminasi adalah lebih besar daripada sifar, yang bermaksud bahawa trinomial benar-benar boleh difaktorkan:

Peraturan am: SEMUA PERKARA dalam penyebut BOLEH difaktorkan - difaktorkan

Mari kita mula merumuskan penyelesaian:

Langkah 3. Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan mudah (elemen). Kini ia akan menjadi lebih jelas.

Mari kita lihat fungsi integrand kami:

Dan, anda tahu, entah bagaimana pemikiran intuitif muncul bahawa adalah baik untuk menukar pecahan besar kita kepada beberapa pecahan kecil. Sebagai contoh, seperti ini:

Persoalannya timbul, adakah mungkin untuk melakukan ini? Marilah kita menarik nafas lega, teorem analisis matematik yang sepadan menyatakan - BOLEH. Penguraian sedemikian wujud dan unik.

Hanya ada satu tangkapan, kemungkinan besar Selamat tinggal Kami tidak tahu, oleh itu namanya - kaedah pekali tak tentu.

Seperti yang anda rasa, pergerakan badan seterusnya adalah seperti itu, jangan mencebik! akan bertujuan untuk hanya MENGIKTIRAF mereka - untuk mengetahui apa yang mereka setara.

Berhati-hati, saya akan menerangkan secara terperinci sekali sahaja!

Jadi, mari kita mula menari dari:

Di sebelah kiri kami mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa:

Sekarang kita boleh menyingkirkan penyebut dengan selamat (kerana ia adalah sama):

Di sebelah kiri kami membuka kurungan, tetapi jangan sentuh pekali yang tidak diketahui buat masa ini:

Pada masa yang sama, kami mengulangi peraturan sekolah mendarab polinomial. Semasa saya menjadi guru, saya belajar menyebut peraturan ini dengan muka lurus: Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan polinomial yang lain..

Dari sudut pandangan penjelasan yang jelas, adalah lebih baik untuk meletakkan pekali dalam kurungan (walaupun saya secara peribadi tidak pernah melakukan ini untuk menjimatkan masa):

Kami menyusun sistem persamaan linear.
Mula-mula kita mencari ijazah senior:

Dan kami menulis pekali yang sepadan ke dalam persamaan pertama sistem:

Ingat perkara berikut dengan baik. Apakah yang akan berlaku jika tiada s di sebelah kanan sama sekali? Katakan, adakah ia hanya menonjol tanpa sebarang segi empat sama? Dalam kes ini, dalam persamaan sistem adalah perlu untuk meletakkan sifar di sebelah kanan: . Kenapa sifar? Tetapi kerana di sebelah kanan anda sentiasa boleh menetapkan segi empat sama ini dengan sifar: Jika di sebelah kanan tiada pembolehubah dan/atau istilah bebas, maka kami meletakkan sifar di sebelah kanan persamaan sistem yang sepadan.

Kami menulis pekali yang sepadan ke dalam persamaan kedua sistem:

Dan akhirnya, air mineral, kami memilih ahli percuma.

Eh...aku gurau je. Ketepikan jenaka - matematik adalah sains yang serius. Dalam kumpulan institut kami, tiada siapa yang ketawa apabila penolong profesor berkata bahawa dia akan menghamburkan istilah di sepanjang garis nombor dan memilih yang terbesar. Mari kita serius. Walaupun... sesiapa yang hidup untuk melihat penghujung pelajaran ini akan tetap tersenyum senyap.

Sistem sudah sedia:

Kami menyelesaikan sistem:

(1) Daripada persamaan pertama kita menyatakan dan menggantikannya ke dalam persamaan ke-2 dan ke-3 sistem. Sebenarnya, adalah mungkin untuk menyatakan (atau huruf lain) dari persamaan lain, tetapi dalam kes ini adalah berfaedah untuk menyatakannya dari persamaan pertama, kerana terdapat kemungkinan terkecil.

(2) Kami membentangkan sebutan yang serupa dalam persamaan ke-2 dan ke-3.

(3) Kami menambah sebutan persamaan ke-2 dan ke-3 mengikut sebutan, mendapatkan kesamaan , daripadanya ia mengikuti bahawa

(4) Kami menggantikan ke dalam persamaan kedua (atau ketiga), dari mana kami dapati itu

(5) Gantikan dan ke dalam persamaan pertama, mendapatkan .

Jika anda menghadapi sebarang masalah dengan kaedah penyelesaian sistem, praktikkannya di dalam kelas. Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?

Selepas menyelesaikan sistem, sentiasa berguna untuk menyemak - menggantikan nilai yang ditemui setiap persamaan sistem, akibatnya segala-galanya harus "bertumpu".

Hampir sampai. Pekali didapati, dan:

Kerja siap sepatutnya kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, kesukaran utama tugas itu adalah untuk mengarang (betul!) dan menyelesaikan (betul!) sistem persamaan linear. Dan pada peringkat akhir, semuanya tidak begitu sukar: kami menggunakan sifat lineariti kamiran tak tentu dan kamiran. Sila ambil perhatian bahawa di bawah setiap tiga kamiran kami mempunyai fungsi kompleks "percuma" saya bercakap tentang ciri-ciri penyepaduannya dalam pelajaran Kaedah perubahan pembolehubah dalam kamiran tak tentu.

Semak: Bezakan jawapan:

Fungsi kamiran dan asal telah diperoleh, yang bermaksud kamiran telah ditemui dengan betul.
Semasa pengesahan, kami terpaksa mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa, dan ini bukan kebetulan. Kaedah pekali tak tentu dan mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa adalah tindakan songsang bersama.

Contoh 2

Cari kamiran tak tentu.

Mari kita kembali kepada pecahan dari contoh pertama: . Adalah mudah untuk melihat bahawa dalam penyebut semua faktor adalah BERBEZA. Timbul persoalan, apa yang perlu dilakukan jika, sebagai contoh, pecahan berikut diberikan: ? Di sini kita mempunyai darjah dalam penyebut, atau, secara matematik, gandaan. Di samping itu, terdapat trinomial kuadratik yang tidak boleh difaktorkan (mudah untuk mengesahkan bahawa diskriminasi persamaan adalah negatif, jadi trinomial tidak boleh difaktorkan). Apa nak buat? Pengembangan kepada jumlah pecahan asas akan kelihatan seperti dengan pekali yang tidak diketahui di bahagian atas atau sesuatu yang lain?

Contoh 3

Memperkenalkan fungsi

Langkah 1. Menyemak sama ada kita mempunyai pecahan wajar
Pengangka utama: 2
Darjah tertinggi penyebut: 8
, yang bermaksud pecahan itu betul.

Langkah 2. Adakah mungkin untuk memfaktorkan sesuatu dalam penyebut? Jelas sekali tidak, semuanya sudah diatur. Trinomial segi empat sama tidak boleh dikembangkan menjadi produk atas sebab-sebab yang dinyatakan di atas. Penutup. Kurang kerja.

Langkah 3. Mari kita bayangkan fungsi pecahan-rasional sebagai hasil tambah pecahan asas.
Dalam kes ini, pengembangan mempunyai bentuk berikut:

Mari lihat penyebut kami:
Apabila menguraikan fungsi pecahan-rasional kepada jumlah pecahan asas, tiga titik asas boleh dibezakan:

1) Jika penyebut mengandungi faktor "kesepian" kepada kuasa pertama (dalam kes kami), maka kami meletakkan pekali tak tentu di bahagian atas (dalam kes kami). Contoh No. 1, 2 hanya terdiri daripada faktor "kesepian" sedemikian.

2) Jika penyebutnya mempunyai pelbagai pengganda, maka anda perlu menguraikannya seperti ini:
- iaitu, melalui semua darjah "X" secara berurutan dari darjah pertama hingga ke-n. Dalam contoh kami terdapat dua berbilang faktor: dan , lihat sekali lagi pada pengembangan yang saya berikan dan pastikan ia dikembangkan dengan tepat mengikut peraturan ini.

3) Jika penyebut mengandungi polinomial yang tidak boleh terurai darjah kedua (dalam kes kami), maka apabila mengurai dalam pengangka anda perlu menulis fungsi linear dengan pekali yang tidak ditentukan (dalam kes kami dengan pekali yang tidak ditentukan dan ).

Malah, terdapat satu lagi kes ke-4, tetapi saya akan berdiam diri mengenainya, kerana dalam praktiknya ia sangat jarang berlaku.

Contoh 4

Memperkenalkan fungsi sebagai jumlah pecahan asas dengan pekali yang tidak diketahui.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.
Ikuti algoritma dengan ketat!

Jika anda memahami prinsip yang anda perlukan untuk mengembangkan fungsi pecahan-rasional menjadi jumlah, anda boleh mengunyah hampir semua kamiran jenis yang sedang dipertimbangkan.

Contoh 5

Cari kamiran tak tentu.

Langkah 1. Jelas sekali pecahan itu betul:

Langkah 2. Adakah mungkin untuk memfaktorkan sesuatu dalam penyebut? boleh. Berikut ialah hasil tambah kubus . Faktorkan penyebut menggunakan rumus pendaraban yang disingkatkan

Langkah 3. Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan asas:

Sila ambil perhatian bahawa polinomial tidak boleh difaktorkan (semak bahawa diskriminasi adalah negatif), jadi di bahagian atas kami meletakkan fungsi linear dengan pekali yang tidak diketahui, dan bukan hanya satu huruf.

Kami membawa pecahan kepada penyebut biasa:

Mari kita karang dan selesaikan sistem:

(1) Kami menyatakan daripada persamaan pertama dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua sistem (ini adalah cara yang paling rasional).

(2) Kami membentangkan istilah yang serupa dalam persamaan kedua.

(3) Kami menambah persamaan kedua dan ketiga bagi sebutan sistem mengikut sebutan.

Semua pengiraan selanjutnya adalah, pada dasarnya, lisan, kerana sistemnya mudah.

(1) Kami menulis jumlah pecahan mengikut pekali yang ditemui.

(2) Kami menggunakan sifat lineariti kamiran tak tentu. Apakah yang berlaku dalam kamiran kedua? Anda boleh membiasakan diri dengan kaedah ini dalam perenggan terakhir pelajaran. Mengintegrasikan Beberapa Pecahan.

(3) Sekali lagi kita menggunakan sifat lineariti. Dalam kamiran ketiga kita mula mengasingkan petak lengkap (perenggan terakhir pelajaran Mengintegrasikan Beberapa Pecahan).

(4) Kami mengambil kamiran kedua, dalam ketiga kami memilih petak lengkap.

(5) Ambil kamiran ketiga. sedia.

Ujian penyepaduan fungsi, termasuk pecahan rasional, diberikan kepada pelajar tahun 1 dan 2. Contoh kamiran akan menarik minat ahli matematik, ahli ekonomi dan statistik. Contoh-contoh ini ditanya semasa ujian di LNU. I. Frank. Syarat-syarat contoh berikut ialah "Cari kamiran" atau "Kira kamiran", jadi untuk menjimatkan ruang dan masa anda ia tidak ditulis.

Contoh 15. Kami sampai kepada penyepaduan fungsi pecahan-rasional. Mereka menduduki tempat yang istimewa di kalangan kamiran kerana mereka memerlukan banyak masa untuk mengira dan membantu guru menguji pengetahuan anda bukan sahaja tentang penyepaduan. Untuk memudahkan fungsi di bawah kamiran, kami menambah dan menolak ungkapan dalam pengangka yang membolehkan kami membahagikan fungsi di bawah kamiran kepada dua yang mudah

Akibatnya, kita dapati satu kamiran dengan agak cepat, pada yang kedua kita perlu mengembangkan pecahan itu kepada jumlah pecahan asas.

Apabila dikurangkan kepada penyebut biasa, kita memperoleh angka berikut

Seterusnya, buka kurungan dan kumpulan

Kami menyamakan nilai untuk kuasa "x" yang sama di sebelah kanan dan kiri. Akibatnya, kami tiba pada sistem tiga persamaan linear (SLAE) dengan tiga tidak diketahui.

Cara menyelesaikan sistem persamaan diterangkan dalam artikel lain di tapak. Dalam versi akhir anda akan menerima penyelesaian SLAE berikut
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kami menggantikan pemalar ke dalam pengembangan pecahan kepada yang paling mudah dan melakukan pengamiran


Ini menyimpulkan contoh.

Contoh 16. Sekali lagi kita perlu mencari kamiran bagi fungsi rasional pecahan. Sebagai permulaan, kita menguraikan persamaan padu yang terkandung dalam penyebut pecahan kepada faktor mudah

Seterusnya, kita menguraikan pecahan ke dalam bentuk termudahnya

Kami mengurangkan bahagian kanan kepada penyebut biasa dan membuka kurungan dalam pengangka.


Kami menyamakan pekali untuk darjah pembolehubah yang sama. Mari datang ke SLAE sekali lagi dengan tiga perkara yang tidak diketahui

Kami menggantikan nilai A, B, C ke dalam pengembangan dan mengira kamiran

Dua sebutan pertama memberikan logaritma, yang terakhir juga mudah dicari.

Contoh 17. Dalam penyebut fungsi rasional pecahan kita mempunyai perbezaan kubus. Menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan, kami menguraikannya kepada dua faktor mudah

Seterusnya, kita menulis fungsi pecahan yang terhasil ke dalam jumlah pecahan mudah dan mengurangkannya kepada penyebut biasa

Dalam pengangka kita mendapat ungkapan berikut.

Daripadanya kita membentuk sistem persamaan linear untuk mengira 3 yang tidak diketahui

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Kami menggantikan A, B, C ke dalam formula dan melakukan penyepaduan. Akibatnya, kami sampai pada jawapan berikut:


Di sini pengangka bagi kamiran kedua ditukarkan kepada logaritma, dan baki di bawah kamiran memberikan arctangent.
Terdapat banyak contoh yang serupa tentang penyepaduan pecahan rasional di Internet. Anda boleh mendapatkan contoh yang serupa daripada bahan di bawah.