Dengan video ini saya memulakan siri pelajaran yang panjang tentang derivatif. Pelajaran ini terdiri daripada beberapa bahagian.
Pertama sekali, saya akan memberitahu anda apakah derivatif secara umum dan cara mengiranya, tetapi bukan dalam bahasa akademik yang canggih, tetapi cara saya memahaminya sendiri dan bagaimana saya menerangkannya kepada pelajar saya. Kedua, kita akan mempertimbangkan peraturan paling mudah untuk menyelesaikan masalah di mana kita akan mencari terbitan hasil tambah, terbitan perbezaan dan terbitan bagi fungsi kuasa.
Kami akan melihat contoh gabungan yang lebih kompleks, daripada mana anda akan, khususnya, mengetahui bahawa masalah serupa yang melibatkan punca dan juga pecahan boleh diselesaikan menggunakan formula untuk terbitan fungsi kuasa. Di samping itu, sudah tentu akan ada banyak masalah dan contoh penyelesaian pelbagai peringkat kerumitan.
Secara umum, pada mulanya saya akan merakam video pendek 5 minit, tetapi anda boleh melihat bagaimana ia ternyata. Cukuplah liriknya - mari kita mula berniaga.
Apakah derivatif?
Jadi, mari kita mulakan dari jauh. Bertahun-tahun yang lalu, apabila pokok lebih hijau dan kehidupan lebih menyeronokkan, ahli matematik memikirkan perkara ini: pertimbangkan fungsi mudah yang ditakrifkan oleh grafnya, panggil ia $y=f\left(x \right)$. Sudah tentu, graf tidak wujud dengan sendirinya, jadi anda perlu melukis paksi $x$ serta paksi $y$. Sekarang mari kita pilih mana-mana titik pada graf ini, sama sekali mana-mana. Mari kita panggil abscissa $((x)_(1))$, ordinat, seperti yang anda mungkin rasa, ialah $f\left(((x)_(1)) \right)$.
Mari kita lihat titik lain pada graf yang sama. Tidak kira yang mana satu, perkara utama ialah ia berbeza daripada yang asal. Ia, sekali lagi, mempunyai abscissa, mari kita panggil ia $((x)_(2))$, dan juga ordinat - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Jadi, kita mempunyai dua mata: mereka mempunyai abscissas yang berbeza dan, oleh itu, nilai fungsi yang berbeza, walaupun yang terakhir tidak diperlukan. Tetapi apa yang benar-benar penting ialah kita tahu dari kursus planimetri: melalui dua mata anda boleh melukis garis lurus dan, lebih-lebih lagi, hanya satu. Jadi mari kita laksanakan.
Sekarang mari kita lukis garis lurus melalui yang pertama, selari dengan paksi absis. Kami mendapat segi tiga tepat. Mari kita panggil ia $ABC$, sudut tepat $C$. Segitiga ini mempunyai satu sifat yang sangat menarik: hakikatnya ialah sudut $\alpha $ sebenarnya sama dengan sudut di mana garis lurus $AB$ bersilang dengan kesinambungan paksi absis. Nilailah sendiri:
- garis lurus $AC$ selari dengan paksi $Ox$ mengikut pembinaan,
- baris $AB$ bersilang $AC$ di bawah $\alpha $,
- maka $AB$ bersilang $Ox$ di bawah $\alfa $ yang sama.
Apa yang boleh kita katakan tentang $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Tiada apa-apa yang khusus, kecuali dalam segi tiga $ABC$ nisbah kaki $BC$ kepada kaki $AC$ adalah sama dengan tangen sudut ini. Jadi mari kita tuliskannya:
Sudah tentu, $AC$ dalam kes ini mudah dikira:
Begitu juga untuk $BC$:
Dengan kata lain, kita boleh menulis perkara berikut:
\[\nama operator(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \kanan))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Sekarang setelah kita menyelesaikan semua itu, mari kembali ke carta kita dan lihat titik baharu $B$. Mari padamkan nilai lama dan bawa $B$ ke tempat yang lebih dekat dengan $((x)_(1))$. Mari kita nyatakan absisnya sekali lagi dengan $((x)_(2))$, dan ordinatnya dengan $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Mari lihat semula segi tiga kecil kami $ABC$ dan $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ di dalamnya. Agak jelas bahawa ini akan menjadi sudut yang sama sekali berbeza, tangen juga akan berbeza kerana panjang segmen $AC$ dan $BC$ telah berubah dengan ketara, tetapi formula untuk tangen sudut itu tidak berubah sama sekali - ini masih hubungan antara perubahan dalam fungsi dan perubahan dalam hujah .
Akhir sekali, kami terus bergerak $B$ menghampiri titik asal $A$, akibatnya segitiga akan menjadi lebih kecil, dan garis lurus yang mengandungi segmen $AB$ akan kelihatan lebih dan lebih seperti tangen kepada graf bagi fungsinya.
Akibatnya, jika kita terus mendekatkan titik-titik tersebut, iaitu, mengurangkan jarak kepada sifar, maka garis lurus $AB$ sememangnya akan bertukar menjadi tangen kepada graf pada titik tertentu, dan $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ akan berubah daripada unsur segi tiga sekata kepada sudut antara tangen kepada graf dan arah positif paksi $Ox$.
Dan di sini kita dengan lancar beralih kepada definisi $f$, iaitu, terbitan fungsi pada titik $((x)_(1))$ ialah tangen bagi sudut $\alpha $ antara tangen kepada graf pada titik $((x)_( 1))$ dan arah positif paksi $Ox$:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Kembali ke graf kami, perlu diperhatikan bahawa mana-mana titik pada graf boleh dipilih sebagai $((x)_(1))$. Sebagai contoh, dengan kejayaan yang sama kita boleh mengeluarkan pukulan pada titik yang ditunjukkan dalam rajah.
Mari kita panggil sudut antara tangen dan arah positif paksi $\beta$. Oleh itu, $f$ dalam $((x)_(2))$ akan sama dengan tangen sudut ini $\beta $.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
Setiap titik pada graf akan mempunyai tangennya sendiri, dan, oleh itu, nilai fungsinya sendiri. Dalam setiap kes ini, sebagai tambahan kepada titik di mana kita mencari terbitan perbezaan atau jumlah, atau terbitan fungsi kuasa, adalah perlu untuk mengambil titik lain yang terletak agak jauh daripadanya, dan kemudian mengarahkan titik ini kepada yang asal dan, sudah tentu, ketahui bagaimana dalam proses Pergerakan sedemikian akan mengubah tangen sudut kecenderungan.
Terbitan fungsi kuasa
Malangnya, definisi sedemikian tidak sesuai dengan kita sama sekali. Semua formula, gambar, sudut ini tidak memberi kita idea sedikit pun tentang cara mengira derivatif sebenar dalam masalah sebenar. Oleh itu, mari kita menyimpang sedikit daripada definisi formal dan pertimbangkan formula dan teknik yang lebih berkesan yang anda sudah boleh menyelesaikan masalah sebenar.
Mari kita mulakan dengan binaan paling mudah, iaitu, fungsi bentuk $y=((x)^(n))$, i.e. fungsi kuasa. Dalam kes ini, kita boleh menulis yang berikut: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Dalam erti kata lain, darjah yang berada dalam eksponen ditunjukkan dalam pengganda hadapan, dan eksponen itu sendiri dikurangkan mengikut unit.
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
Berikut ialah pilihan lain:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\kiri(x \kanan))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Menggunakan peraturan mudah ini, mari cuba alih keluar sentuhan contoh berikut:
Jadi kita dapat:
\[((\kiri(((x)^(6)) \kanan))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Sekarang mari kita selesaikan ungkapan kedua:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ perdana ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Sudah tentu, ini adalah tugas yang sangat mudah. Walau bagaimanapun, masalah sebenar adalah lebih kompleks dan ia tidak terhad kepada tahap fungsi sahaja.
Jadi, peraturan No. 1 - jika fungsi dibentangkan dalam bentuk dua yang lain, maka derivatif jumlah ini adalah sama dengan jumlah derivatif:
\[((\kiri(f+g \kanan))^(\prima ))=(f)"+(g)"\]
Begitu juga, terbitan perbezaan dua fungsi adalah sama dengan perbezaan derivatif:
\[((\kiri(f-g \kanan))^(\prima ))=(f)"-(g)"\]
\[((\kiri(((x)^(2)))+x \kanan))^(\prima ))=((\kiri(((x)^(2)) \kanan))^(\ perdana ))+((\kiri(x \kanan))^(\prima ))=2x+1\]
Selain itu, terdapat satu lagi peraturan penting: jika beberapa $f$ didahului oleh pemalar $c$, yang mana fungsi ini didarabkan, maka $f$ keseluruhan binaan ini dikira seperti berikut:
\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\kiri(3((x)^(3)) \kanan))^(\prima ))=3((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\ perdana ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Akhir sekali, satu lagi peraturan yang sangat penting: dalam masalah selalunya terdapat istilah berasingan yang tidak mengandungi $x$ sama sekali. Sebagai contoh, kita boleh melihat ini dalam ungkapan kita hari ini. Terbitan pemalar, iaitu, nombor yang tidak bergantung dalam apa cara sekalipun pada $x$, sentiasa sama dengan sifar, dan tidak kira sama sekali dengan pemalar $c$:
\[((\kiri(c \kanan))^(\prime ))=0\]
Contoh penyelesaian:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Perkara penting sekali lagi:
- Terbitan hasil tambah dua fungsi sentiasa sama dengan hasil tambah terbitan: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- Atas sebab yang sama, terbitan perbezaan dua fungsi adalah sama dengan perbezaan dua terbitan: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Jika fungsi mempunyai faktor pemalar, maka pemalar ini boleh diambil sebagai tanda terbitan: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Jika keseluruhan fungsi ialah pemalar, maka terbitannya sentiasa sifar: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Mari lihat bagaimana semuanya berfungsi dengan contoh sebenar. Jadi:
Kami menulis:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \kanan))^(\prima ))-((\kiri(3((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\kiri(((x)^(2)) \kanan))^(\prima ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]
Dalam contoh ini kita melihat kedua-dua terbitan jumlah dan terbitan perbezaan. Secara keseluruhan, derivatif adalah sama dengan $5((x)^(4))-6x$.
Mari kita beralih ke fungsi kedua:
Mari tuliskan penyelesaiannya:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \kanan))^(\prima ))-((\kiri(2x \kanan))^(\prima ))+(2)"= \\& =3((\kiri(((x)) ^(2)) \kanan))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]
Di sini kami telah menemui jawapannya.
Mari kita beralih ke fungsi ketiga - ia lebih serius:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prima ))=((\kiri(2((x)^(3)) \kanan))^(\prima ))-(\kiri(3((x)^(2)) \kanan ))^(\prima ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \kanan))^(\prima ))-3((\kiri(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Kami telah menemui jawapannya.
Mari kita beralih kepada ungkapan terakhir - yang paling kompleks dan terpanjang:
Jadi, kami mempertimbangkan:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\kiri(6((x)^(7)) \kanan))^(\prima ))-((\kiri(14((x)^(3)) \kanan))^(\prima )) +((\kiri(4x \kanan))^(\prima ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]
Tetapi penyelesaiannya tidak berakhir di sana, kerana kita diminta bukan sahaja untuk mengeluarkan strok, tetapi untuk mengira nilainya pada titik tertentu, jadi kita menggantikan −1 dan bukannya $x$ ke dalam ungkapan:
\[(y)"\kiri(-1 \kanan)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Mari kita pergi lebih jauh dan beralih kepada contoh yang lebih kompleks dan menarik. Hakikatnya ialah formula untuk menyelesaikan derivatif kuasa $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ mempunyai skop yang lebih luas daripada yang biasanya dipercayai. Dengan bantuannya, anda boleh menyelesaikan contoh dengan pecahan, punca, dll. Inilah yang akan kami lakukan sekarang.
Sebagai permulaan, mari kita tulis sekali lagi formula yang akan membantu kita mencari terbitan fungsi kuasa:
Dan sekarang perhatian: setakat ini kami hanya menganggap nombor asli sebagai $n$, tetapi tiada apa yang menghalang kami daripada mempertimbangkan pecahan dan juga nombor negatif. Sebagai contoh, kita boleh menulis yang berikut:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ perdana ))=((\kiri(((x)^(\frac(1)(2))) \kanan))^(\prima ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]
Tiada yang rumit, jadi mari kita lihat bagaimana formula ini akan membantu kita apabila menyelesaikan masalah yang lebih kompleks. Jadi, contoh:
Mari tuliskan penyelesaiannya:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prima ))+((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prime )) \\& ((\ kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^( \prima ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]
Mari kita kembali kepada contoh kita dan tulis:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Ini adalah keputusan yang sukar.
Mari kita beralih kepada contoh kedua - hanya terdapat dua istilah, tetapi setiap satu daripadanya mengandungi kedua-dua darjah klasik dan akar.
Sekarang kita akan belajar bagaimana untuk mencari derivatif fungsi kuasa, yang, sebagai tambahan, mengandungi akar:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \kanan))^(\prima ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\kiri(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \kanan))^(\prima ))=((\kiri(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \kanan))^(\prima ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \kanan))^(\prima ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Kedua-dua istilah telah dikira, yang tinggal hanyalah menulis jawapan akhir:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Kami telah menemui jawapannya.
Terbitan pecahan melalui fungsi kuasa
Tetapi kemungkinan formula untuk menyelesaikan derivatif fungsi kuasa tidak berakhir di sana. Hakikatnya ialah dengan bantuannya anda boleh mengira bukan sahaja contoh dengan akar, tetapi juga dengan pecahan. Inilah peluang yang jarang berlaku yang sangat memudahkan penyelesaian contoh sedemikian, tetapi sering diabaikan bukan sahaja oleh pelajar, tetapi juga oleh guru.
Jadi, sekarang kita akan cuba menggabungkan dua formula sekaligus. Di satu pihak, terbitan klasik bagi fungsi kuasa
\[((\kiri(((x)^(n)) \kanan))^(\prima ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Sebaliknya, kita tahu bahawa ungkapan bentuk $\frac(1)(((x)^(n)))$ boleh diwakili sebagai $((x)^(-n))$. Oleh itu,
\[\kiri(\frac(1)(((x)^(n))) \kanan)"=((\kiri(((x)^(-n)) \kanan))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\kiri(\frac(1)(x) \kanan))^(\prima ))=\kiri(((x)^(-1)) \kanan)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
Oleh itu, terbitan pecahan mudah, di mana pengangkanya adalah pemalar dan penyebutnya ialah darjah, juga dikira menggunakan formula klasik. Mari lihat bagaimana ini berfungsi dalam amalan.
Jadi, fungsi pertama:
\[((\kiri(\frac(1)(((x)^(2))) \kanan))^(\prima ))=((\kiri(((x)^(-2)) \ kanan))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Contoh pertama telah diselesaikan, mari kita beralih ke yang kedua:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \kanan))^(\prima ))= \ \& =((\kiri(\frac(7)(4((x)^(4))) \kanan))^(\prima ))-((\kiri(\frac(2)(3(( x)^(3))) \kanan))^(\prima ))+((\kiri(2((x)^(3)) \kanan))^(\prima ))-((\kiri( 3((x)^(4)) \kanan))^(\prima )) \\& ((\kiri(\frac(7)(4((x)^(4))) \kanan))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\kiri(((x)^(-4)) \kanan))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \kiri(-4 \kanan) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\kiri(2) ((x)^(3)) \kanan))^(\prima ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ kiri(3((x)^(4)) \kanan))^(\prima ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ end(align)\]...
Sekarang kami mengumpulkan semua istilah ini ke dalam satu formula:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Kami telah menerima jawapan.
Walau bagaimanapun, sebelum meneruskan, saya ingin menarik perhatian anda kepada bentuk penulisan ungkapan asal itu sendiri: dalam ungkapan pertama kami menulis $f\left(x \right)=...$, dalam yang kedua: $y =...$ Ramai pelajar tersesat apabila melihat pelbagai bentuk rakaman. Apakah perbezaan antara $f\left(x \right)$ dan $y$? Tiada apa apa sebenarnya. Ia hanyalah entri yang berbeza dengan maksud yang sama. Cuma apabila kita menyebut $f\left(x \right)$, kita bercakap, pertama sekali, tentang fungsi, dan apabila kita bercakap tentang $y$, kita selalunya bermaksud graf fungsi. Jika tidak, ini adalah perkara yang sama, iaitu, terbitan dalam kedua-dua kes dianggap sama.
Masalah kompleks dengan derivatif
Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah gabungan kompleks yang menggunakan semua yang telah kita pertimbangkan hari ini. Ia mengandungi akar, pecahan, dan hasil tambah. Walau bagaimanapun, contoh ini hanya akan menjadi rumit dalam tutorial video hari ini, kerana fungsi derivatif yang benar-benar kompleks akan menunggu anda di hadapan.
Jadi, bahagian akhir pelajaran video hari ini, yang terdiri daripada dua tugasan gabungan. Mari kita mulakan dengan yang pertama:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prima ))=((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\prima ))-((\kiri(\frac(1)(((x)^(3)) )) \kanan))^(\prima ))+\kiri(\sqrt(x) \kanan) \\& ((\kiri(((x)^(3)) \kanan))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\kiri(\frac(1)(((x)^(3))) \kanan))^(\prima ))=((\ kiri(((x)^(-3)) \kanan))^(\prima ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Terbitan fungsi adalah sama dengan:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Contoh pertama diselesaikan. Mari kita pertimbangkan masalah kedua:
Dalam contoh kedua kita meneruskan dengan cara yang sama:
\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \kanan))^(\prima ))=((\kiri(-\frac(2)(((x)^(4))) \kanan))^(\prima ))+((\kiri (\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))+((\kiri(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \kanan))^ (\prime ))\]
Mari kita mengira setiap istilah secara berasingan:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \kanan))^(\prima ))=-2\cdot \kiri(-4 \kanan)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\kiri(\sqrt(x) \kanan))^(\prima ))=((\kiri(((x)^(\frac( 1)(4))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ kiri(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \kanan))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \kanan))^(\prima ))=((\kiri(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \kanan))^(\prime ))=4\cdot ((\kiri(((x)^(-1\frac(3)(4))) \kanan))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Semua terma telah dikira. Sekarang kita kembali kepada formula asal dan tambah ketiga-tiga istilah bersama-sama. Kami mendapat bahawa jawapan akhir adalah seperti ini:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
Dan itu sahaja. Ini adalah pelajaran pertama kami. Dalam pelajaran berikut kita akan melihat pembinaan yang lebih kompleks, dan juga mengetahui mengapa derivatif diperlukan di tempat pertama.
Bukti dan terbitan formula untuk terbitan eksponen (e kepada kuasa x) dan fungsi eksponen (a kepada kuasa x). Contoh pengiraan derivatif bagi e^2x, e^3x dan e^nx. Formula untuk terbitan tertib lebih tinggi.
Terbitan bagi eksponen adalah sama dengan eksponen itu sendiri (terbitan e kepada kuasa x adalah sama dengan e kepada kuasa x):
(1)
(e x )′ = e x.
Terbitan bagi fungsi eksponen dengan asas a adalah sama dengan fungsi itu sendiri didarab dengan logaritma asli a:
(2)
.
Terbitan formula untuk terbitan eksponen, e kepada kuasa x
Eksponen ialah fungsi eksponen yang asas kuasanya sama dengan nombor e, iaitu had berikut:
.
Di sini ia boleh sama ada nombor asli atau nombor nyata. Seterusnya, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.
Terbitan formula terbitan eksponen
Pertimbangkan eksponen, e kepada kuasa x:
y = e x .
Fungsi ini ditakrifkan untuk semua orang. Mari kita cari terbitannya berkenaan dengan pembolehubah x. Mengikut takrifan, derivatif ialah had berikut:
(3)
.
Mari kita ubah ungkapan ini untuk mengurangkannya kepada sifat dan peraturan matematik yang diketahui. Untuk melakukan ini, kami memerlukan fakta berikut:
A) Sifat eksponen:
(4)
;
B) Sifat logaritma:
(5)
;
DALAM) Kesinambungan logaritma dan sifat had untuk fungsi selanjar:
(6)
.
Berikut adalah fungsi yang mempunyai had dan had ini adalah positif.
G) Maksud had kedua yang luar biasa:
(7)
.
Mari kita gunakan fakta ini pada had kita (3). Kami menggunakan harta (4):
;
.
Mari buat penggantian. Kemudian ;
.
.
Oleh kerana kesinambungan eksponen,
.
Oleh itu, apabila , . Hasilnya kami mendapat:
.
Mari buat penggantian. lepas tu .
Pada , .
.
Dan kami mempunyai:
.
Mari gunakan sifat logaritma (5):
.
. Kemudian
Mari kita memohon harta (6). Oleh kerana terdapat had positif dan logaritma adalah selanjar, maka:
Di sini kami juga menggunakan had luar biasa kedua (7). Kemudian
(8)
Oleh itu, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.
Terbitan formula untuk terbitan bagi fungsi eksponen Sekarang kita memperoleh formula (2) untuk terbitan fungsi eksponen dengan asas darjah a. Kami percaya bahawa dan . Kemudian fungsi eksponen Ditakrifkan untuk semua orang.
;
.
Mari kita ubah formula (8). Untuk ini kami akan gunakan
.
sifat fungsi eksponen
dan logaritma.
(14)
.
(1)
.
Jadi, kami menukar formula (8) kepada bentuk berikut:
;
.
Terbitan tertib tinggi bagi e kepada kuasa x
.
Sekarang mari kita cari derivatif pesanan yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponen dahulu:
Kita melihat bahawa terbitan fungsi (14) adalah sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membezakan (1), kita memperoleh derivatif bagi susunan kedua dan ketiga:
.
Ini menunjukkan bahawa derivatif tertib ke-n juga sama dengan fungsi asal:
(15)
.
Terbitan tertib lebih tinggi bagi fungsi eksponen
;
.
Sekarang pertimbangkan fungsi eksponen dengan asas darjah a:
.
Kami menemui terbitan tertib pertamanya:
Membezakan (15), kita memperoleh derivatif bagi susunan kedua dan ketiga:
Kami melihat bahawa setiap pembezaan membawa kepada pendaraban fungsi asal dengan . Oleh itu, derivatif tertib ke-n mempunyai bentuk berikut:
Definisi fungsi eksponen kuasa. Menghasilkan formula untuk mengira terbitannya. Contoh pengiraan derivatif bagi fungsi eksponen kuasa dianalisis secara terperinci.
Fungsi eksponen kuasa
ialah fungsi yang mempunyai bentuk fungsi kuasa y = u v , di mana asas u dan eksponen v ialah beberapa fungsi pembolehubah x: y = u v ,.
u = u (x); v = v
Fungsi ini juga dipanggil
.
eksponen atau ..
Ambil perhatian bahawa fungsi eksponen kuasa boleh diwakili dalam bentuk eksponen:
Oleh itu ia juga dipanggil
(2)
,
fungsi eksponen yang kompleks
Pengiraan menggunakan terbitan logaritma
.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi eksponen kuasa
(3)
.
di mana dan adalah fungsi pembolehubah. peraturan untuk membezakan fungsi kompleks dan berfungsi:
;
.
Kami menggantikan dalam (3):
.
Dari sini
.
Jadi, kami mendapati derivatif fungsi eksponen kuasa:
(1)
.
Jika eksponen adalah malar, maka . Maka terbitan adalah sama dengan terbitan fungsi kuasa kompleks:
.
Jika asas darjah adalah tetap, maka . Maka terbitan adalah sama dengan terbitan bagi fungsi eksponen kompleks:
.
Apabila dan ialah fungsi bagi x, maka terbitan bagi fungsi eksponen kuasa adalah sama dengan hasil tambah derivatif kuasa kompleks dan fungsi eksponen.
Pengiraan terbitan melalui pengurangan kepada fungsi eksponen kompleks
Sekarang mari kita cari derivatif bagi fungsi eksponen kuasa
(2)
,
membentangkannya sebagai fungsi eksponen yang kompleks:
(4)
.
Jom bezakan produk:
.
Kami menggunakan peraturan untuk mencari terbitan fungsi kompleks:
.
Dan kami sekali lagi mendapat formula (1).
Contoh 1
Cari terbitan bagi fungsi berikut:
.
Penyelesaian
Kami mengira menggunakan derivatif logaritma. Mari kita logaritma fungsi asal:
(A1.1) .
Daripada jadual derivatif kita dapati:
;
.
Menggunakan formula derivatif produk, kami mempunyai:
.
Kami membezakan (A1.1):
.
Kerana ia
,
Itu
.
Jawab
Contoh 2
Cari terbitan bagi fungsi itu
.
Penyelesaian
Mari kita logaritma fungsi asal:
(A2.1) .
- Jadual terbitan bagi fungsi eksponen dan logaritma
Terbitan fungsi mudah
1. Terbitan bagi suatu nombor ialah sifarс´ = 0
Contoh:
5' = 0
Penjelasan:
Derivatif menunjukkan kadar perubahan nilai fungsi apabila argumennya berubah. Oleh kerana nombor itu tidak berubah dalam apa jua cara dalam apa jua keadaan, kadar perubahannya sentiasa sifar.
2. Terbitan pembolehubah sama dengan satu
x´ = 1
Penjelasan:
Dengan setiap kenaikan argumen (x) dengan satu, nilai fungsi (hasil pengiraan) meningkat dengan jumlah yang sama. Oleh itu, kadar perubahan dalam nilai fungsi y = x adalah betul-betul sama dengan kadar perubahan dalam nilai hujah.
3. Terbitan pembolehubah dan faktor adalah sama dengan faktor ini
сx´ = с
Contoh:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Penjelasan:
Dalam kes ini, setiap kali argumen fungsi berubah ( X) nilainya (y) meningkat dalam Dengan sekali. Oleh itu, kadar perubahan nilai fungsi berhubung dengan kadar perubahan hujah adalah betul-betul sama dengan nilai Dengan.
Dari mana ia mengikutinya
(cx + b)" = c
iaitu, pembezaan fungsi linear y=kx+b adalah sama dengan kecerunan garis (k).
4. Derivatif modulo pembolehubah sama dengan hasil pembolehubah ini kepada modulusnya
|x|"= x / |x| dengan syarat x ≠ 0
Penjelasan:
Oleh kerana terbitan pembolehubah (lihat formula 2) adalah sama dengan satu, terbitan modul hanya berbeza kerana nilai kadar perubahan fungsi berubah kepada sebaliknya apabila melintasi titik asal (cuba lukis graf daripada fungsi y = |x| dan lihat sendiri ini adalah nilai dan mengembalikan ungkapan x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - satu. Iaitu, untuk nilai negatif pembolehubah x, dengan setiap peningkatan dalam hujah, nilai fungsi berkurangan dengan nilai yang sama, dan untuk nilai positif, sebaliknya, ia meningkat, tetapi dengan nilai yang sama. .
5. Terbitan pembolehubah kepada kuasa sama dengan hasil darab sebilangan kuasa ini dan pembolehubah kepada kuasa yang dikurangkan dengan satu
(x c)"= cx c-1, dengan syarat x c dan cx c-1 ditakrifkan dan c ≠ 0
Contoh:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Untuk mengingati formula:
Gerakkan darjah pembolehubah ke bawah sebagai faktor, dan kemudian kurangkan darjah itu sendiri dengan satu. Sebagai contoh, untuk x 2 - kedua-duanya berada di hadapan x, dan kemudian kuasa yang dikurangkan (2-1 = 1) hanya memberi kita 2x. Perkara yang sama berlaku untuk x 3 - kita "menurunkan" tiga kali ganda, mengurangkannya dengan satu dan bukannya kubus kita mempunyai segi empat sama, iaitu, 3x 2. Sedikit "tidak saintifik" tetapi sangat mudah diingat.
6.Terbitan pecahan 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Contoh:
Oleh kerana pecahan boleh diwakili sebagai menaikkan kepada kuasa negatif
(1/x)" = (x -1)", maka anda boleh menggunakan formula daripada peraturan 5 jadual derivatif
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Terbitan pecahan dengan pembolehubah darjah sewenang-wenangnya dalam penyebut
(1 / x c)" = - c / x c+1
Contoh:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Terbitan akar(derivatif pembolehubah di bawah punca kuasa dua)
(√x)" = 1 / (2√x) atau 1/2 x -1/2
Contoh:
(√x)" = (x 1/2)" bermakna anda boleh menggunakan formula daripada peraturan 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Terbitan pembolehubah di bawah punca darjah arbitrari
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Terbitan formula untuk terbitan fungsi kuasa (x kepada kuasa a). Terbitan daripada punca x dipertimbangkan. Formula untuk terbitan bagi fungsi kuasa tertib tinggi. Contoh pengiraan derivatif.
Terbitan x kepada kuasa a adalah sama dengan kali x dengan kuasa tolak satu:
(1)
.
Terbitan punca ke-n bagi x kepada kuasa ke-m ialah:
(2)
.
Terbitan formula untuk terbitan fungsi kuasa
Kes x > 0
Pertimbangkan fungsi kuasa pembolehubah x dengan eksponen a:
(3)
.
Di sini a ialah nombor nyata arbitrari. Mari kita pertimbangkan dahulu kes itu.
Untuk mencari terbitan fungsi (3), kita menggunakan sifat fungsi kuasa dan mengubahnya kepada bentuk berikut:
.
Sekarang kita mencari derivatif menggunakan:
;
.
Di sini.
Formula (1) telah terbukti.
Terbitan formula bagi terbitan punca darjah n bagi x kepada darjah m
Sekarang pertimbangkan fungsi yang merupakan punca bentuk berikut:
(4)
.
Untuk mencari derivatif, kami menukar akar kepada fungsi kuasa:
.
Membandingkan dengan formula (3) kita melihatnya
.
Kemudian
.
Menggunakan formula (1) kita dapati derivatif:
(1)
;
;
(2)
.
Dalam praktiknya, tidak perlu menghafal formula (2). Adalah lebih mudah untuk mula-mula mengubah akar kepada fungsi kuasa, dan kemudian mencari derivatifnya menggunakan formula (1) (lihat contoh di penghujung halaman).
Kes x = 0
Jika , maka fungsi kuasa ditakrifkan untuk nilai pembolehubah x = 0
. Mari kita cari terbitan bagi fungsi (3) pada x = 0
. Untuk melakukan ini, kami menggunakan definisi derivatif:
.
Mari kita gantikan x = 0
:
.
Dalam kes ini, dengan terbitan yang kami maksudkan adalah had sebelah kanan yang .
Jadi kami mendapati:
.
Daripada ini jelas bahawa untuk , .
Pada , .
Pada , .
Keputusan ini juga diperoleh daripada formula (1):
(1)
.
Oleh itu, formula (1) juga sah untuk x = 0
.
Kes x< 0
Pertimbangkan fungsi (3) sekali lagi:
(3)
.
Untuk nilai tertentu pemalar a, ia juga ditakrifkan untuk nilai negatif pembolehubah x. Iaitu, biarkan a menjadi nombor rasional. Kemudian ia boleh diwakili sebagai pecahan tidak boleh dikurangkan:
,
di mana m dan n ialah integer yang tidak mempunyai pembahagi sepunya.
Jika n adalah ganjil, maka fungsi kuasa juga ditakrifkan untuk nilai negatif pembolehubah x. Sebagai contoh, apabila n = 3
dan m = 1
kita mempunyai punca kubus bagi x:
.
Ia juga ditakrifkan untuk nilai negatif pembolehubah x.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi kuasa (3) untuk dan bagi nilai rasional pemalar a yang mana ia ditakrifkan. Untuk melakukan ini, bayangkan x dalam bentuk berikut:
.
Kemudian,
.
Kami mencari terbitan dengan meletakkan pemalar di luar tanda terbitan dan menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks:
.
Di sini.
.
Tetapi
.
Kemudian
.
Sejak itu
(1)
.
Iaitu, formula (1) juga sah untuk:
Derivatif peringkat tinggi
(3)
.
Sekarang mari kita cari derivatif tertib tinggi bagi fungsi kuasa
.
Kami telah menemui derivatif pesanan pertama:
.
Dengan mengambil pemalar a di luar tanda terbitan, kita dapati terbitan tertib kedua:
;
.
Begitu juga, kita dapati derivatif bagi susunan ketiga dan keempat: Daripada ini jelas bahawa terbitan urutan ke-n sewenang-wenangnya
.
perasan, itu jika a ialah nombor asli, maka terbitan ke-n adalah tetap:
.
Maka semua derivatif berikutnya adalah sama dengan sifar:
,
di .
Contoh pengiraan derivatif
Contoh
Cari terbitan bagi fungsi:
.
Penyelesaian
Mari tukar akar kepada kuasa:
;
.
Kemudian fungsi asal mengambil bentuk:
.
Mencari terbitan kuasa:
;
.
Terbitan pemalar ialah sifar:
.