ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು. ಛೇದಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮೇಯ

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವು ಪ್ರಮುಖ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಅನೇಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ. ಈ ಆಕೃತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಞಾನ ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮಜೀವನದಲ್ಲಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತದೆ. ವೃತ್ತಾಕಾರದ ಅಡ್ಡ-ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಅನೇಕ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ಸುತ್ತಳತೆ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು, ಹೂವಿನ ಹಾಸಿಗೆಯ ಬಳಿ ಬೇಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು - ಇದಕ್ಕೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶಗಳು

ಹಲವಾರು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಆಕೃತಿ ಸಮಾನ ಅಂತರಕೇಂದ್ರದಿಂದ ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಮತ್ತು ವೃತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸ್ವರಮೇಳವು ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಜೋಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ. ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಂತೆ ಅದನ್ನು ಇರಿಸಿದರೆ, ಅದು ವ್ಯಾಸವೂ ಆಗಿದೆ.

ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಉದ್ದವು ವ್ಯಾಸದ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅರ್ಧದಷ್ಟು. ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಒಂದು ಜೋಡಿ ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಚಾಪಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಭಾಗವು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ (ಆ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಸವಾಗಿರುತ್ತದೆ), ಆಗ ರೂಪುಗೊಂಡ ಆರ್ಕ್ಗಳು ​​ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಸುತ್ತಳತೆ

ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ವ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಅಥವಾ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಮೂಲಕ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ವೃತ್ತದ (l) ಸುತ್ತಳತೆಯು ಅದರ ವ್ಯಾಸದಿಂದ (d) ಭಾಗಿಸಿದಾಗ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಯಿತು. ಇದು π ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದು 3.141692666 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ... ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ: π= l / d. ಅದನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿ, ನಾವು ಸುತ್ತಳತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸೂತ್ರವು: l=πd.

ನಾವು ಬಳಸುವ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ: d=2r. ವಿಭಜನೆಯಿಂದಾಗಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಮೇಲಿನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುತ್ತಳತೆ ಎಷ್ಟು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಕಾರ: l=2πr.

ಮೂಲ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಇತರ ಮುಚ್ಚಿದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶವು ಯಾವಾಗಲೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. 2 ವಿಭಿನ್ನ ವಲಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಬಿಂದುವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ವಲಯಗಳು 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳು. ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುವಲ್ಲದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಅದಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆಗ ಅವುಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವು ಚಾಪಗಳ ಉದ್ದದಲ್ಲಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅರ್ಧಮಟ್ಟಕ್ಕಿಳಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯಮವು ವಿರುದ್ಧ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಹ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಯಾವಾಗ ನಾವು ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆಸುಮಾರು ಎರಡು ಸ್ವರಮೇಳಗಳು. ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಆರ್ಕ್ ಉದ್ದವು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಆರ್ಕ್ಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೂಲೆಮತ್ತು ಎದುರು ಮೂಲೆ. ಆಪ್ಟಿಕಲ್ ಆಸ್ತಿವೃತ್ತವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೇಳುತ್ತದೆ: ವೃತ್ತದ ಪರಿಧಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ಇರುವ ಕನ್ನಡಿಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿಫಲಿಸುವ ಬೆಳಕಿನ ಕಿರಣಗಳನ್ನು ಅದರ ಮಧ್ಯಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿಬೆಳಕಿನ ಮೂಲವನ್ನು ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಬೇಕು.

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳು)))\]

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವು ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗವು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿದೆ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವು ಒಂದು ಕೋನವಾಗಿದ್ದು, ಅದರ ಶೃಂಗವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಆರ್ಕ್ನ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯು ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯಾಗಿದೆ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನಅದರ ಮೇಲೆ ನಿಂತಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ

ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಯು ಅದು ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವ ಆರ್ಕ್ನ ಅರ್ಧ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

ನಾವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಎರಡು ಹಂತಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನದ ಒಂದು ಬದಿಯು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಪ್ರಕರಣದ ಹೇಳಿಕೆಯ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಬಿಂದು \(B\) ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನ \(ABC\) ಶೃಂಗವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು \(BC\) ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವಾಗಿರಲಿ:

ತ್ರಿಕೋನ \(AOB\) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, \(AO = OB\) , \(\ಆಂಗಲ್ AOC\) ಬಾಹ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಂತರ \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), ಎಲ್ಲಿ \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

ಈಗ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(ABC\) . ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವನ್ನು \(BD\) ಸೆಳೆಯೋಣ. ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ:

1) ವ್ಯಾಸವು ಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಕೋನಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸುತ್ತದೆ \(\ಆಂಗಲ್ ABD, \angle CBD\) (ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಪ್ರಮೇಯವು ಮೇಲೆ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವಂತೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮೂಲ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ಇದು ಇವುಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ ಎರಡು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅರ್ಧಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅದು ಇರುವ ಚಾಪ). ಅಕ್ಕಿ. 1.

2) ವ್ಯಾಸವು ಕೋನವನ್ನು ಎರಡು ಕೋನಗಳಾಗಿ ಕತ್ತರಿಸಲಿಲ್ಲ, ನಂತರ ನಾವು ಇನ್ನೂ ಎರಡು ಹೊಸ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ \(\ಆಂಗಲ್ ABD, \angle CBD\), ಅದರ ಬದಿಯು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ್ರಮೇಯವು ಅವರಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅದು ಮೂಲ ಕೋನಕ್ಕೂ ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ (ಇದು ಈ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಅವು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯುವ ಚಾಪಗಳ ಅರ್ಧ-ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ನಿಂತಿರುವ ಅರ್ಧ ಚಾಪಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ) . ಅಕ್ಕಿ. 2.

ಪರಿಣಾಮಗಳು

1. ಒಂದೇ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಅರ್ಧವೃತ್ತದಿಂದ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವು ಲಂಬ ಕೋನವಾಗಿದೆ.

3. ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವು ಅದೇ ಚಾಪದಿಂದ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಕೇಂದ್ರ ಕೋನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ)))\]

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಮೂರು ವಿಧಗಳಿವೆ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನನೇರ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತ:

1) ಸರಳ ರೇಖೆ \(a\) ವೃತ್ತವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೆಕೆಂಟ್ ಲೈನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಿಂದ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ \(d\) ಅಂತರವು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ \(R\) ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3).

2) ಸರಳ ರೇಖೆ \(b\) ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದು \(B\) ಅನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಕ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ \(d=R\) (ಚಿತ್ರ 4).

ಪ್ರಮೇಯ

1. ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವು ಸ್ಪರ್ಶದ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯುವ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಅಂತ್ಯದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ ಮತ್ತು ಈ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸ್ಪರ್ಶ ವಿಭಾಗಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

\(K\) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ \(KA\) ಮತ್ತು \(KB\) ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ:

ಇದರರ್ಥ \(OA\perp KA, OB\perp KB\) ತ್ರಿಜ್ಯಗಳಂತೆ. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನಗಳು\(\ತ್ರಿಕೋನ KAO\) ಮತ್ತು \(\ತ್ರಿಕೋನ KBO\) ಲೆಗ್ ಮತ್ತು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, \(KA=KB\) .

ಪರಿಣಾಮ

ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು \(O\) \(AKB\) ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ \(K\) .

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು)))\]

ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮೇಯ

ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಎರಡು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವರು ಕತ್ತರಿಸಿದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳಲ್ಲಿನ ಅರ್ಧ-ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವಂತೆ ಎರಡು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಎಳೆಯುವ ಬಿಂದು \(M\) ಆಗಿರಲಿ:

ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\ಆಂಗಲ್ DAB\) - ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿತ್ರಿಕೋನ \(MAD\) , ನಂತರ \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), ಎಲ್ಲಿ \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), ಆದರೆ ಕೋನಗಳು \(\ಆಂಗಲ್ DAB\) ಮತ್ತು \(\ಆಂಗಲ್ MDA\) ಅನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), ಇದು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಬೇಕಾಗಿತ್ತು.

ಛೇದಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮೇಯ

ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವರು ಕತ್ತರಿಸಿದ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

ಪುರಾವೆ

\(\angle BMA = \angle CMD\) ಲಂಬವಾಗಿ.

ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

ಆದರೆ \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), ಇದರಿಂದ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸುತ್ತೇವೆ \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ಸ್ಮೈಲ್\ಓವರ್(ಸಿಡಿ)).\]

ಸ್ವರಮೇಳ ಮತ್ತು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಪ್ರಮೇಯ

ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸ್ವರಮೇಳದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಸ್ವರಮೇಳದಿಂದ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಆರ್ಕ್ನ ಅರ್ಧ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

\(A\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ \(a\) ಸರಳ ರೇಖೆಯು ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ, \(AB\) ಈ ವೃತ್ತದ ಸ್ವರಮೇಳವಾಗಿದೆ, \(O\) ಅದರ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. \(OB\) ಹೊಂದಿರುವ ರೇಖೆಯು \(M\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ \(a\) ಛೇದಿಸಲಿ. ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\ಆಂಗಲ್ OAB = \alpha\) ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ. \(OA\) ಮತ್ತು \(OB\) ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ \(OA = OB\) ಮತ್ತು \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). ಹೀಗಾಗಿ, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, \(OA\perp a\), ಅಂದರೆ \(\ಆಂಗಲ್ OAM = 90^\circ\), ಆದ್ದರಿಂದ, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

ಸಮಾನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಿಂದ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ

ಸಮಾನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಉಪಟಳ ಸಮಾನ ಚಾಪಗಳು, ಸಣ್ಣ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳು.

ಮತ್ತು ತದ್ವಿರುದ್ದವಾಗಿ: ಸಮಾನ ಚಾಪಗಳನ್ನು ಸಮಾನ ಸ್ವರಮೇಳಗಳಿಂದ ಒಳಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

1) ಅವಕಾಶ \(AB=CD\) . ಆರ್ಕ್ನ ಸಣ್ಣ ಅರ್ಧವೃತ್ತಗಳು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಮೂರು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ, ಆದ್ದರಿಂದ, \(\angle AOB=\angle COD\) . ಆದರೆ ಏಕೆಂದರೆ \(\angle AOB, \angle COD\) - ಆರ್ಕ್‌ಗಳಿಂದ ಬೆಂಬಲಿತವಾದ ಕೇಂದ್ರ ಕೋನಗಳು \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, ನಂತರ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) ವೇಳೆ \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), ಅದು \(\ತ್ರಿಕೋನ AOB=\ತ್ರಿಕೋನ COD\)ಎರಡು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ \(AO=BO=CO=DO\) ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ \(\angle AOB=\angle COD\) . ಆದ್ದರಿಂದ, ಮತ್ತು \(AB=CD\) .

ಪ್ರಮೇಯ

ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ವಿಭಜಿಸಿದರೆ, ಅದು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಸಂಭಾಷಣೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿದ್ದರೆ, ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

1) ಅವಕಾಶ \(AN=NB\) . \(OQ\perp AB\) ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಪರಿಗಣಿಸಿ \(\ತ್ರಿಕೋನ AOB\) : ಇದು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, ಏಕೆಂದರೆ \(OA=OB\) – ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ. ಏಕೆಂದರೆ \(ON\) ಎಂಬುದು ಬೇಸ್‌ಗೆ ಎಳೆಯಲಾದ ಸರಾಸರಿ, ನಂತರ ಅದು ಎತ್ತರವೂ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, \(ON\perp AB\) .

2) ಅವಕಾಶ \(OQ\perp AB\) . \(AN=NB\) ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಅಂತೆಯೇ, \(\ತ್ರಿಕೋನ AOB\) ಸಮದ್ವಿಬಾಹು, \(ON\) ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, \(ON\) ಮಧ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, \(AN=NB\) .

\[(\ದೊಡ್ಡದು(\ಪಠ್ಯ(ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು)))\]

ಸ್ವರಮೇಳ ವಿಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಮೇಯ

ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇನ್ನೊಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ

\(AB\) ಮತ್ತು \(CD\) ಸ್ವರಮೇಳಗಳು \(E\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಲಿ.

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(ADE\) ಮತ್ತು \(CBE\) . ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳಲ್ಲಿ, \(1\) ಮತ್ತು \(2\) ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವುಗಳು ಕೆತ್ತಲ್ಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಆರ್ಕ್ \(BD\), ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು \(3\) ಮತ್ತು \(4\) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಲಂಬವಾಗಿ. ತ್ರಿಕೋನಗಳು \(ADE\) ಮತ್ತು \(CBE\) ಹೋಲುತ್ತವೆ (ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯ ಮೊದಲ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ).

ನಂತರ \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), ಇದರಿಂದ \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯ

ಸ್ಪರ್ಶಕ ವಿಭಾಗದ ಚೌಕ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅದರ ಹೊರ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಸೆಕೆಂಟ್.

ಪುರಾವೆ

ಸ್ಪರ್ಶಕವು \(M\) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ ಮತ್ತು \(A\) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಲಿ. ಸೆಕೆಂಟ್ \(M\) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗಲಿ ಮತ್ತು \(B\) ಮತ್ತು \(C\) ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ ಆದ್ದರಿಂದ \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ \(MBA\) ಮತ್ತು \(MCA\) : \(\ಆಂಗಲ್ M\) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ, \(\ಆಂಗಲ್ BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). ಹೀಗಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳು \(MBA\) ಮತ್ತು \(MCA\) ಎರಡು ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಹೋಲುತ್ತವೆ.

ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ \(MBA\) ಮತ್ತು \(MCA\) ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), ಇದು \(MB\cdot MC = MA^2\) ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಣಾಮ

\(O\) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಭಾಗದಿಂದ ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವು \(O\) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎಳೆಯಲಾದ ಸೆಕೆಂಟ್‌ನ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

“ಮತ್ತು ನಾನು ವಲಯವನ್ನು ಪ್ರೀತಿಸುತ್ತಿದ್ದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ನೆಲೆಸಿದೆ.

ಮಾಹಿತಿ ಮತ್ತು ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಯೋಜನೆ.

ವಿಷಯ: ವೃತ್ತ

ಯೋಜನೆಯ ಗುರಿ: ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ವಿವಿಧ ವಲಯಗಳುಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು.

A.V. ಪೊಗೊರೆಲೋವ್ ಅವರ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ "ಜ್ಯಾಮಿತಿ 7-9" ಮತ್ತು ಅದರಾಚೆಗಿನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಶಾಲೆಯ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ನಾನು ನನ್ನ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದೆ. ಶಾಲೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ನಿಂದ ಮಾಹಿತಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸುವಾಗ ವಿವಿಧ ಮೂಲಗಳುಮತ್ತು ಯೋಜನೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವಾಗ, ನಾನು ನನ್ನ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇನೆ ಮತ್ತು ಸಹಪಾಠಿಗಳು ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೊಂದಿಗೆ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹಂಚಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇನೆ.

ವೃತ್ತ - ಸ್ಥಳನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಮತಲದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದೂರದಲ್ಲಿ, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಷವರ್ತುಲಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಸ್ಥಳವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಇತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

AB ವ್ಯಾಸದ ವೃತ್ತವು A, B ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದರಿಂದ ವಿಭಾಗ AB ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತವು ಸಮತಲದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ಅನುಪಾತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಏಕತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. (ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ವೃತ್ತವನ್ನು ನೋಡಿ)

ಅಂತಹ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಅಂಕಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ದೂರದ ವರ್ಗಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅರ್ಧಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚುಈ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಚೌಕ.

ಸಂಬಂಧಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ತ್ರಿಜ್ಯ- ದೂರ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಒಂದು ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವೂ ಸಹ.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅದರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ವರಮೇಳ. ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಸ.

ವೃತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕ, ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೇಳೆ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತವು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಮುಖ್ಯ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳು ಅದನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವೃತ್ತದ ಚಾಪ. ಆರ್ಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತ, ಅದರ ತುದಿಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವು ವ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ.

ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.

ಕ್ಲಾಡಿಯಸ್ ಟಾಲೆಮಿ(), ಮೊದಲನೆಯ ಅಂತ್ಯದಲ್ಲಿ ವಾಸಿಸುತ್ತಿದ್ದರು - ಎರಡನೇ ಶತಮಾನದ AD ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ಜ್ಯೋತಿಷಿ, ಭೂಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ, ದೃಗ್ವಿಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಸಂಗೀತ ಸಿದ್ಧಾಂತಿ. ಅವರು ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕಾರರೆಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಟಾಲೆಮಿ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಐದನೇ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ ಅನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಟಾಲೆಮಿಯ ಮುಖ್ಯ ಕೆಲಸವೆಂದರೆ "ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್", ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದರು. "ಅಲ್ಮಾಜೆಸ್ಟ್" ಮತ್ತು ನಕ್ಷತ್ರಗಳ ಆಕಾಶದ ಕ್ಯಾಟಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ.ವೃತ್ತವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ಸುತ್ತ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಕರ್ಣಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು.

ಅವಶ್ಯಕತೆಯ ಪುರಾವೆ. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ಕೆತ್ತಿರುವುದರಿಂದ, ನಂತರ

ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ, ಕೊಸೈನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಅದೇ ರೀತಿ ತ್ರಿಕೋನದಿಂದ:

ಈ ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ದಾರಿಯುದ್ದಕ್ಕೂ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕಾಗಿ,

ಸಮರ್ಪಕತೆಯ ಪುರಾವೆ.ಸಮಾನತೆ ಉಳಿಯಲಿ

ವೃತ್ತವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿಯಬಹುದು ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

ಸುತ್ತಲೂ ವಿವರಿಸಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯದಿಂದ ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ನಾವು ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಬಿಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಮತ್ತು ಈ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಲಂಬವಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ ಸಿನ್ಸ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ (ಈ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ):

ನಾವು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಸೈನ್ಸ್ ನಿಯಮದಿಂದ

ಆದ್ದರಿಂದ,

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ನಾವು ಸಂಬಂಧಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಸಮಾನತೆಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದನ್ನು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಚತುರ್ಭುಜದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ ( ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಸಿಮ್ಸನ್ ಪ್ರಮೇಯ).

ವಿಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಸಗಳ ಮೇಲೆ ವೃತ್ತಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳು), ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು - ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಮತ್ತು ( ) ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ , ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ . ಇಲ್ಲಿಂದ , ಮತ್ತು ಚತುರ್ಭುಜದ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು.

ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರಇದನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣ ಘಾತವನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್ ಅವರ ಹೆಸರನ್ನು ಇಡಲಾಗಿದೆ.

ಯೂಲರ್‌ನ ಸೂತ್ರವು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ Xಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ:

ಎಲ್ಲಿ ಇ- ಬೇಸ್ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್,

i- ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಘಟಕ.

ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾದ ವೃತ್ತದ ಚಾಪದಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ 1 ರೇಡಿಯನ್

ಯುನಿಟ್ ಅರ್ಧವೃತ್ತದ ಉದ್ದವನ್ನು π ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮತಲದಲ್ಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಾನ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ನೀಡಿದ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ದೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲದ ಅಂತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲೂ .

ವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ವೃತ್ತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸರಳ ರೇಖೆ ವಿವಿಧ ಅಂಕಗಳುವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೆಕೆಂಟ್ .

ಕೇಂದ್ರ ಕೋನ - ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನ. ಕೇಂದ್ರ ಕೋನವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಆರ್ಕ್ನ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೋನ AOB ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನ - ಒಂದು ಕೋನವು ಅದರ ಶೃಂಗವು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು ಈ ವೃತ್ತವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಆರ್ಕ್ನ ಅರ್ಧ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೋನ ABCಎಂದು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ.

ಹೊಂದಿರುವ ಎರಡು ವಲಯಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರ, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೇಂದ್ರೀಕೃತ .

ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ವಲಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್.

ಸುತ್ತಳತೆ: C = 2 ∙ π∙R = π∙D

ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ: R = C/(2∙π) = D/2

ವೃತ್ತದ ವ್ಯಾಸ: D = C/π = 2∙R

ಎರಡು ವಲಯಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

ಏಕಕೇಂದ್ರಕ (ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ) ಮತ್ತು A1 = A2 ಮತ್ತು B1 = B2 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ.

ಎರಡು ವಲಯಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ)

ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತ

ಕೋನದೊಳಗೆ ಇದ್ದು ಅದರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಆ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದ ಮೇಲೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಅವಳು ಒಳಗೆ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಎಲ್ಲಾ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಮುಟ್ಟುತ್ತದೆ ಬದಿಗಳು.

ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ

ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ತ್ರಿಕೋನವು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.

AB ಬದಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ O ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯು A ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ BC ಮತ್ತು CA ಬದಿಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ 1 ಮತ್ತು ಬಿ 1 , ಅದು ಎ 1 ಬಿ 1 = ಎ 1 ಬಿ + ಎಬಿ 1 .

T ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ವಿಭಾಗಗಳಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ - T ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 1

• T ಯ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು T ಯ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಾಗಿವೆ 1

  ಟಿ 2 - ಆರ್ಥೋಟ್ರಿಯಾಂಗಲ್ ಟಿ 1 . ನಂತರ ಅದರ ಬದಿಗಳು ಮೂಲ ತ್ರಿಕೋನ T ಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

  ಟಿ 3 - ಮಧ್ಯಮ ತ್ರಿಕೋನ ಟಿ 1 . ನಂತರ T ಯ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು T ಯ ಎತ್ತರಗಳಾಗಿವೆ 3 .

• ವೃತ್ತದ O ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಕೇಂದ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ.

  ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದಾದರೆ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಅದರ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಅರೆಪರಿಧಿ

ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತ.

ವೃತ್ತ - ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತ. ಕೇಂದ್ರವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಓ ) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದಕ.

ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಸುತ್ತಳತೆ ಪೀನ n-gonಅದರ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ: ವೃತ್ತವನ್ನು n-gon ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರೆದಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ (ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗ) ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಯಾರ ಸುತ್ತಲೂ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿನೀವು ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.

ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕಾಗಿ :

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತಲೂ ನೀವು ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು. ಇದರ ಕೇಂದ್ರವು ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು.

ಯು ತೀವ್ರ ತ್ರಿಕೋನವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಚೂಪಾದ ತ್ರಿಕೋನವು ತ್ರಿಕೋನದ ಹೊರಗೆ ಇರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆಯತಾಕಾರದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಇದು ಹೈಪೋಟೆನ್ಯೂಸ್ ಮಧ್ಯದಲ್ಲಿದೆ.

ಮಧ್ಯದ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರಿದಿರುವ 4 ವಲಯಗಳಲ್ಲಿ 3 (ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಗಳು) ತ್ರಿಕೋನದ ಒಳಗೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಬಿಂದುವು ಮುಖ್ಯ ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತಳತೆಯಾಗಿದೆ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ.

ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗದಿಂದ ದೂರ ಆರ್ಥೋಸೆಂಟರ್ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ದೂರ ವೃತ್ತಾಕಾರ ಎದುರು ಭಾಗಕ್ಕೆ.

ತ್ರಿಜ್ಯ

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

ಎಲ್ಲಿ:

ಎ , ಬಿ , ಸಿ - ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳು,

α - ಬದಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನ ಎ ,

ಎಸ್ - ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶ.

ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ಸ್ಥಾನ

ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವಾಹಕಗಳು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ

ಎಲ್ಲಿ

ಸುನತಿ ಸಮೀಕರಣ

ಕೆಲವು ತ್ರಿಕೋನದ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಿ ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, - ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು. ನಂತರ

ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯೂಲರ್ ಸೂತ್ರ: ವೇಳೆ ಡಿ - ಕೆತ್ತಲಾದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ವಲಯಗಳ ಕೇಂದ್ರಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್ ಮತ್ತು ಆರ್ ಅದರಂತೆ, ನಂತರ ಡಿ 2 = ಆರ್ 2 − 2 Rr .

ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕಾಗಿ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ಸರಳ (ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಕವಿಲ್ಲದೆ) ಚತುರ್ಭುಜವು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಪೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದ ಸುತ್ತಲೂ ವಿವರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಮೊತ್ತದ ಮೊತ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವಿರುದ್ಧ ಮೂಲೆಗಳು 180 ° (π ರೇಡಿಯನ್ಸ್) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು:

ಯಾವುದೇ ಆಯತ ( ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಚೌಕ)

ಯಾವುದೇ ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್

ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಕರ್ಣಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಜೋಡಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

|AC|·|BD| = |AB|·|CD| + |BC|·|AD|

ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ವೃತ್ತ - ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳ, ಎರಡು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಇರುವ ಅಂತರಗಳ ಅನುಪಾತವು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ, ಏಕತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಬೈಪೋಲಾರ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು - ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ವಲಯಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದೇಶಿಸುತ್ತದೆ.

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ . ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಪ ಈ ವಿಮಾನ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ

,

ಎಲ್ಲಿ ಕೆ - ಸ್ಥಿರ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಲ್ಲಿ ಕೆ = 1 ಈ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಭಾಗಕ್ಕೆ ಮಧ್ಯದ ಲಂಬವನ್ನು ತುಂಬುತ್ತವೆ ಎಬಿ ; ಇತರ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸ್ಥಳವು ಒಂದು ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ ಅಪೊಲೋನಿಯಸ್ ವೃತ್ತ .

ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ನ ವಲಯಗಳು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೀಲಿ ವೃತ್ತವು ಪ್ರತಿ ಕೆಂಪು ವೃತ್ತವನ್ನು ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕೆಂಪು ವೃತ್ತವು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ (C ಮತ್ತು D) ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನೀಲಿ ವೃತ್ತವು ಈ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುತ್ತದೆ

ಅಪೊಲೊನಿಯಸ್ ವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯ :

ಘಟಕ ವೃತ್ತ ತ್ರಿಜ್ಯ 1 ಮತ್ತು ಮೂಲದಲ್ಲಿ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ. ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ n-ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು ( ಎನ್ 2) ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, "ಘಟಕ ಗೋಳ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ: X 2 + ವೈ 2 = 1.

"ವೃತ್ತ" ಮತ್ತು "ವೃತ್ತ" ಪದಗಳನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬೇಡಿ!

ವೃತ್ತ ಮೇಲೆ ದೂರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ - ಒಂದು ವಕ್ರರೇಖೆ.

ವೃತ್ತ - ಬಿಂದುಗಳ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಲೊಕಸ್ ಇದೆ ವೃತ್ತಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿಲ್ಲ , ಒಂದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ - ಒಂದು ವ್ಯಕ್ತಿ.

ಅಲ್ಲದೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯಂತಹ ಬೀಜಗಣಿತದ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಘಟಕ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಕಾರಣವೆಂದು ಹೇಳಬಹುದು.

ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿ.

ಸೈನ್ ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ: ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವುದು ( X , ವೈ ) ಮೂಲದೊಂದಿಗೆ (0,0) ಯುನಿಟ್ ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ, ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾದ ಧನಾತ್ಮಕ ಅರೆ-ಅಕ್ಷಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ α ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ನಿಜವಾಗಿಯೂ:

cos α = X

ಪಾಪ α = ವೈ

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು X 2 + ವೈ 2 = 1, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

cos 2 α + ಪಾಪ 2 α = 1

ಸಾಮಾನ್ಯ ಕಾಗುಣಿತ ಕಾಸ್ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿ 2 X = (ಕಾಸ್ X ) 2 .

ಆವರ್ತನವನ್ನು ಸಹ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ವಿಭಾಗದ ಕೋನವು "" ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುವುದಿಲ್ಲ ಪೂರ್ಣ ಕ್ರಾಂತಿಗಳು»:

ಪಾಪ( X + 2 π ಕೆ ) = ಪಾಪ( X )

cos( X + 2 π ಕೆ ) = cos( X )

ಎಲ್ಲಾ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಕೆ , ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ, ಕೆ ಸೇರಿದೆ Z .

ಸಂಕೀರ್ಣ ವಿಮಾನ.

ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಘಟಕ ವೃತ್ತಸೆಟ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಗೊಂಚಲು ಜಿ ಗುಣಾಕಾರ ಗುಂಪಿನ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ (ತಟಸ್ಥ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಇ i 0 = 1).

ಸೆಕೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯ - ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿ ಪ್ರಮೇಯ. ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಇರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಎರಡು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಎಳೆದರೆ, ಒಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇನ್ನೊಂದು ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಅಕ್ಷರಗಳ ಭಾಷೆಗೆ ಭಾಷಾಂತರಿಸಿದರೆ (ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ), ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸೆಕೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಪ್ರಮೇಯ:

ಒಂದು ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಅನ್ನು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎಳೆದರೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರ ಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಸ್ಪರ್ಶಕದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಳಸಿದ ಇಂಟರ್ನೆಟ್ ಸಂಪನ್ಮೂಲಗಳು:

www.wikipedia.org

ಮತ್ತು ಸಾಹಿತ್ಯ: ರೇಖಾಗಣಿತ ಶ್ರೇಣಿಗಳು 7-11 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಕೋಷ್ಟಕಗಳಲ್ಲಿನ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳು E.P. ನೆಲಿನ್

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿಳಾಸ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಇಮೇಲ್ಇತ್ಯಾದಿ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಮ್ಮಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ ವಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧನೆ, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಯನಗಳುನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ಒದಗಿಸಲು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ವಿ ವಿಚಾರಣೆ, ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ವಿನಂತಿಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಸರ್ಕಾರಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳುರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿ. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ವೃತ್ತ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ನೋಡಲು, ಎರಡೂ ಅಂಕಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಸಾಕು. ಇವುಗಳು ಸಮತಲದ ಮೇಲಿನ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ, ಒಂದೇ ದೂರದಲ್ಲಿ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿವೆ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು. ಆದರೆ, ವೃತ್ತವು ಆಂತರಿಕ ಜಾಗವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ. ವೃತ್ತವು ಅದನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ವೃತ್ತವಾಗಿದೆ (ವೃತ್ತ (ಆರ್)), ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಒಳಗಿರುವ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಿಂದುಗಳು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು L ಗೆ, OL=R ಸಮಾನತೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. (ಓಎಲ್ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದವು ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗವು ಅದರದು ಸ್ವರಮೇಳ.

ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗದ ಮೂಲಕ ನೇರವಾಗಿ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸ್ವರಮೇಳ ವ್ಯಾಸಈ ವಲಯ (ಡಿ). ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು: D=2R

ಸುತ್ತಳತೆಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ: C=2\pi R

ವೃತ್ತದ ಪ್ರದೇಶ: S=\pi R^(2)

ವೃತ್ತದ ಚಾಪಅದರ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಅದರ ಭಾಗವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳು ವೃತ್ತದ ಎರಡು ಚಾಪಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ. ಸ್ವರಮೇಳ ಸಿಡಿ ಎರಡು ಆರ್ಕ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: CMD ಮತ್ತು CLD. ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಸಮಾನ ಆರ್ಕ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ.

ಕೇಂದ್ರ ಕೋನಎರಡು ತ್ರಿಜ್ಯಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಕ್ ಉದ್ದಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು:

1. ಬಳಸಿ ಪದವಿ ಅಳತೆ: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. ರೇಡಿಯನ್ ಅಳತೆಯನ್ನು ಬಳಸುವುದು: CD = \alpha R

ಸ್ವರಮೇಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವ್ಯಾಸವು ಸ್ವರಮೇಳವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರಿಂದ ಸಂಕುಚಿತಗೊಂಡ ಚಾಪಗಳನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ.

ವೃತ್ತದ ಎಬಿ ಮತ್ತು ಸಿಡಿ ಸ್ವರಮೇಳಗಳು ಎನ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಎನ್ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ವಿಭಾಗಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ

ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕವೃತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯುವುದು ವಾಡಿಕೆ.

ಒಂದು ಸಾಲು ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸೆಕೆಂಟ್.

ನೀವು ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಎಳೆದರೆ, ಅದು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಹಂತದಿಂದ ನಮ್ಮ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಸ್ಪರ್ಶಕ ಭಾಗಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಶೃಂಗದೊಂದಿಗೆ ಕೋನದ ದ್ವಿಭಾಜಕದಲ್ಲಿ ಇದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

AC = CB

ಈಗ ನಾವು ನಮ್ಮ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಟ್ಯಾಂಜೆಂಟ್ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದದ ವರ್ಗವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸೆಕೆಂಟ್ ವಿಭಾಗದ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರ ಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

AC^(2) = CD \cdot BC

ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು: ಮೊದಲ ಸೆಕೆಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಭಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎರಡನೇ ಸೆಕ್ಯಾಂಟ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಬಾಹ್ಯ ಭಾಗದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳು

ಕೇಂದ್ರ ಕೋನದ ಡಿಗ್ರಿ ಅಳತೆಗಳು ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಆರ್ಕ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಒಂದು ಕೋನವು ಅದರ ಶೃಂಗವು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಗಳು ಸ್ವರಮೇಳಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

ಆರ್ಕ್ನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಈ ಆರ್ಕ್ನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\angle AOB = 2 \angle ADB

ವ್ಯಾಸ, ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನ, ಬಲ ಕೋನವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

ಒಂದೇ ಆರ್ಕ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ಸ್ವರಮೇಳದ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಕೆತ್ತಲಾದ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು 180^ (\circ) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

ಒಂದೇ ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಒಂದೇ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆಲೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಶೃಂಗಗಳಿವೆ.

ವೃತ್ತದ ಒಳಗೆ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸ್ವರಮೇಳಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನವು ಮೊತ್ತದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಹೋಲುತ್ತದೆ ಕೋನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳುನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಲಂಬ ಕೋನದಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವೃತ್ತದ ಚಾಪಗಳು.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

ವೃತ್ತದ ಹೊರಗೆ ಶೃಂಗವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕೋನ ಮತ್ತು ಎರಡು ಸೆಕೆಂಟ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಕೋನದ ಒಳಗೆ ಇರುವ ವೃತ್ತದ ಆರ್ಕ್‌ಗಳ ಕೋನೀಯ ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿನ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತ

ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳಿಗೆ ವೃತ್ತದ ಸ್ಪರ್ಶಕವಾಗಿದೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಮೂಲೆಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಕೇಂದ್ರವು ಇದೆ.

ಪ್ರತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

S = pr,

p ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅರೆ ಪರಿಧಿಯಾಗಿದೆ,

r ಎಂಬುದು ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ:

r = \frac(S)(p)

ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಿದರೆ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜ. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ: ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ ವೃತ್ತವು ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

AB + DC = AD + BC

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಒಂದೇ ಒಂದೇ ಒಂದು. ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಮೂಲೆಗಳುಅಂಕಿ, ಈ ​​ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ಇರುತ್ತದೆ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

r = \frac(S)(p) ,

ಅಲ್ಲಿ p = \frac(a + b + c)(2)

ವೃತ್ತ

ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ಹಾದು ಹೋದರೆ, ಅಂತಹ ವೃತ್ತವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಈ ಆಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದನದ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಯಾವುದೇ 3 ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯ ಎಂದು ಲೆಕ್ಕಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ತಿನ್ನು ಮುಂದಿನ ಸ್ಥಿತಿ: ಅದರ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180^( \circ) ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ವೃತ್ತವನ್ನು ಚತುರ್ಭುಜದ ಸುತ್ತಲೂ ವಿವರಿಸಬಹುದು.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತಲೂ ನೀವು ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು. ಅಂತಹ ವೃತ್ತದ ಮಧ್ಯಭಾಗವು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು ಛೇದಿಸುವ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.

ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳು,

S ಎಂಬುದು ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರದೇಶವಾಗಿದೆ.

ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಟಾಲೆಮಿಯ ಪ್ರಮೇಯವು ಕರ್ಣಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಚಕ್ರೀಯ ಚತುರ್ಭುಜದ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತದೆ.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD