ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾನು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇನೆ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಕಾರ್ಯಗಳು, ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಅಂಕಗಳು.
ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ಇದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ನಮಗೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಉತ್ಪನ್ನ ಕೋಷ್ಟಕಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಿಯಮಗಳು. ಇದೆಲ್ಲವೂ ಈ ತಟ್ಟೆಯಲ್ಲಿದೆ:
ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್.
ವಿವರಿಸಲು ನನಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆ. ಪರಿಗಣಿಸಿ:
ಉದಾಹರಣೆ:ಹುಡುಕಿ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮೌಲ್ಯಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ y=x^5+20x^3–65x ಕಾರ್ಯಗಳು [–4;0].
ಹಂತ 1.ನಾವು ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65
ಹಂತ 2.ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಎಕ್ಸ್ಟ್ರೀಮಮ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುವ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನಾವು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸಬೇಕು (y" = 0)
5x^4 + 60x^2 - 65 = 0
ಈಗ ಇದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣಮತ್ತು ಕಂಡುಬರುವ ಬೇರುಗಳು ನಮ್ಮ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
ನಾನು t = x^2, ನಂತರ 5t^2 + 60t - 65 = 0 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇನೆ.
ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 ರಿಂದ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: t^2 + 12t - 13 = 0
D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196
T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1
T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13
ನಾವು ರಿವರ್ಸ್ ಬದಲಾವಣೆ x^2 = t:
X_(1 ಮತ್ತು 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 ಮತ್ತು 4) = ± sqrt(-13) (ನಾವು ಹೊರಗಿಡುತ್ತೇವೆ, ಇರುವಂತಿಲ್ಲ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ನಾವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡದಿದ್ದರೆ)
ಒಟ್ಟು: x_(1) = 1 ಮತ್ತು x_(2) = -1 - ಇವು ನಮ್ಮ ವಿಪರೀತ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
ಹಂತ 3.ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
ಪರ್ಯಾಯ ವಿಧಾನ.
ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ, ನಮಗೆ ವಿಭಾಗವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ [b][–4;0]. ಪಾಯಿಂಟ್ x=1 ಅನ್ನು ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹಾಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ x=-1 ಜೊತೆಗೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ವಿಭಾಗದ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಗಡಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, -4 ಮತ್ತು 0. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಈ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲವನ್ನು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ (y=x^5+20x^3–65x), ಕೆಲವರು ಅದನ್ನು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಾಗಿ ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತಾರೆ...
Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044
ಇದರರ್ಥ ಕಾರ್ಯದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವು [b]44 ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ [b]-1 ನಲ್ಲಿ ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [-4; 0].
ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ನಾವು ಉತ್ತಮರು, ನೀವು ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಆದರೆ ನಿಲ್ಲಿಸು! y (-4) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ ಎಂದು ನೀವು ಭಾವಿಸುವುದಿಲ್ಲವೇ? ಸೀಮಿತ ಸಮಯದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಇನ್ನೊಂದು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಉತ್ತಮ, ನಾನು ಇದನ್ನು ಕರೆಯುತ್ತೇನೆ:
ಚಿಹ್ನೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳ ಮೂಲಕ.
ಈ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ, ಅಂದರೆ ನಮ್ಮ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ.
ನಾನು ಅದನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ ಕೆಳಗಿನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ. ನಾನು ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇನೆ. ನಾನು ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಇರಿಸುತ್ತೇನೆ: -4, -1, 0, 1. 1 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ ನೀಡಿದ ವಿಭಾಗ, ಚಿಹ್ನೆಯ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಧ್ಯಂತರಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಇದನ್ನು ಇನ್ನೂ ಗಮನಿಸಬೇಕು. ನಾವು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಅನೇಕ ಪಟ್ಟು ದೊಡ್ಡದಾದ ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ, 100 ಎಂದು ಹೇಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ನಮ್ಮ ದ್ವಿಚಕ್ರ ಸಮೀಕರಣ 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65 ಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ. ಏನನ್ನೂ ಲೆಕ್ಕಿಸದೆ, 100 ರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರರ್ಥ 1 ರಿಂದ 100 ರವರೆಗಿನ ಮಧ್ಯಂತರಗಳಿಗೆ ಇದು ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. 1 ರ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ (ನಾವು ಬಲದಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ), ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಮೈನಸ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಉಳಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿ ಮಾತ್ರ, ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲವಲ್ಲ. -1 ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ, ಕಾರ್ಯವು ಮತ್ತೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಎಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ (ಮತ್ತು ನಾವು ಇದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಚಿತ್ರಿಸಿದ್ದೇವೆ) ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಪ್ಲಸ್‌ನಿಂದ ಮೈನಸ್ಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ -1)ಕಾರ್ಯ ತಲುಪುತ್ತದೆ ಅದರ ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠ (y(-1)=44, ಮೊದಲೇ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದಂತೆ)ಮೇಲೆ ಈ ವಿಭಾಗ(ಇದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ಬಹಳ ಅರ್ಥವಾಗುವಂತಹದ್ದಾಗಿದೆ, ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದನ್ನು ನಿಲ್ಲಿಸಿತು ಏಕೆಂದರೆ ಅದು ಗರಿಷ್ಠ ಮಟ್ಟವನ್ನು ತಲುಪಿತು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿತು).
ಅಂತೆಯೇ, ಅಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಮೈನಸ್‌ನಿಂದ ಪ್ಲಸ್‌ಗೆ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ, ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ. ಹೌದು, ಹೌದು, ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು 1 ಮತ್ತು y(1) ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳು, -1 ರಿಂದ +∞ ವರೆಗೆ ಹೇಳೋಣ. ಇದು ಕೇವಲ ಸ್ಥಳೀಯ ಕನಿಷ್ಠ, ಅಂದರೆ, ನಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಭಾಗ. ಕಾರ್ಯದ ನೈಜ (ಜಾಗತಿಕ) ಕನಿಷ್ಠವು ಎಲ್ಲೋ ಅಲ್ಲಿಗೆ ತಲುಪುತ್ತದೆ, -∞.
ನನ್ನ ಅಭಿಪ್ರಾಯದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ವಿಧಾನವು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕವಾಗಿ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಸರಳವಾಗಿದೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು, ಆದರೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ದೃಷ್ಟಿಕೋನದಿಂದ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸಮೀಕರಣದ ಮೂಲದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವಾಗ ಕಾರ್ಯವು ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದ ಸಂದರ್ಭಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೀವು ಈ ಸ್ಥಳೀಯ, ಜಾಗತಿಕ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಮಿನಿಮಾಗಳೊಂದಿಗೆ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗಬಹುದು, ಆದರೂ ನೀವು ಇದನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸೇರಲು ಯೋಜನೆ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯ(ನೀವು ಅದನ್ನು ಬೇರೆ ಏಕೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಿ? ಪ್ರೊಫೈಲ್ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಮತ್ತು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ). ಆದರೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾತ್ರ ಅಂತಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ನಮ್ಮ ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ತರಬೇತಿ ನೀಡಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ .
ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಏನಾದರೂ ಅಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕೇಳಲು ಮರೆಯದಿರಿ. ನಿಮಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಮತ್ತು ಲೇಖನಕ್ಕೆ ಬದಲಾವಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಸೇರ್ಪಡೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ನಾನು ಸಂತೋಷಪಡುತ್ತೇನೆ. ನಾವು ಈ ಸೈಟ್ ಅನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಮಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ!
ಅಂತಹ ವಸ್ತುವಿನ ಅಧ್ಯಯನ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ ಅರ್ಥಮತ್ತು ವಿಜ್ಞಾನದ ಇತರ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇನ್ ಆರ್ಥಿಕ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆನಡವಳಿಕೆಯನ್ನು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯಗಳುಲಾಭ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅರ್ಥಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ತಂತ್ರವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.
ಸೂಚನೆಗಳು
ಯಾವುದೇ ನಡವಳಿಕೆಯ ಅಧ್ಯಯನವು ಯಾವಾಗಲೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನ ಹುಡುಕಾಟದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗಬೇಕು. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದೊಡ್ಡದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಅರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳುಈ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರದೇಶದ ಮೇಲೆ ಅಥವಾ ತೆರೆದ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಿದ ಗಡಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.
ಆಧರಿಸಿ, ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಅರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳು y(x0), ಇದರಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) ಹೊಂದಿದೆ. ಸಚಿತ್ರವಾಗಿ, ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅಬ್ಸಿಸ್ಸಾ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರಿಸಿದರೆ ಈ ಹಂತವು ಅತ್ಯಧಿಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಶ್ರೇಷ್ಠವಾದುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅರ್ಥ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಮೂರು-ಹಂತದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ. ನೀವು ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮತ್ತು , ಜೊತೆಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯ y(x) ಅನ್ನು ನೀಡಲಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಅರ್ಥಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.
ಈ ಮಧ್ಯಂತರವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯಲ್ಲಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಕಾರ್ಯಗಳು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಭವನೀಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು: ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿ, ವರ್ಗ ಮೂಲಇತ್ಯಾದಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಕಾರ್ಯವು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ. ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆಅದರ ಉಪವಿಭಾಗ. ಹೌದು ಎಂದಾದರೆ, ಹೋಗಿ ಮುಂದಿನ ಹಂತ.
ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಕಾರ್ಯಗಳುಮತ್ತು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ ನೀವು ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದಾದರೂ ಮಧ್ಯಂತರ A, B ಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಿ.
ಮೂರನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಈ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ. ಮಧ್ಯಂತರ ಪ್ರಕಾರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಕೆಳಗಿನ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ. ಫಾರ್ಮ್ [A, B] ನ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಿದ್ದರೆ, ಗಡಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಆವರಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಕಾರ್ಯಗಳು x = A ಮತ್ತು x = B. ವೇಳೆ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರ(ಎ, ಬಿ), ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪಂಕ್ಚರ್ ಆಗಿವೆ, ಅಂದರೆ. ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. x→A ಮತ್ತು x→B ಗಾಗಿ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಫಾರ್ಮ್‌ನ ಸಂಯೋಜಿತ ಮಧ್ಯಂತರ (A, B) ಅಥವಾ (A, B), ಅದರ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಅದು ಸೇರಿದೆ, ಇನ್ನೊಂದು x ಪಂಕ್ಚರ್ಡ್ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನಂತ ಎರಡು ಬದಿಯ ಮಧ್ಯಂತರ (-∞, +∞) ಅಥವಾ ರೂಪದ ಒಂದು ಬದಿಯ ಅನಂತ ಮಧ್ಯಂತರಗಳು: , (-∞, B) ನೈಜ ಮಿತಿಗಳಿಗಾಗಿ, ಈಗಾಗಲೇ ವಿವರಿಸಿದ ತತ್ವಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಅನಂತವಾದವುಗಳು, ಕ್ರಮವಾಗಿ x→-∞ ಮತ್ತು x→+∞ ಗಾಗಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ನೋಡಿ.
ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ
ಸಮಸ್ಯೆ ಹೇಳಿಕೆ 2:
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಆಧಾರ.
ಪ್ರಮೇಯ (ಎರಡನೇ ವೀರ್‌ಸ್ಟ್ರಾಸ್ ಪ್ರಮೇಯ):
ಮುಚ್ಚಿದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪಬಹುದು ಆಂತರಿಕ ಅಂಕಗಳುಅಂತರ ಅಥವಾ ಅದರ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ. ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. 
ವಿವರಣೆ:
1) ಫಂಕ್ಷನ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
2) ಕಾರ್ಯವು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ (ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು), ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ.
3) ಫಂಕ್ಷನ್ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮಧ್ಯಂತರದ ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಗರಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ (ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು).
4) ಕಾರ್ಯವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಮಧ್ಯಂತರದ ಯಾವುದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
5) ಕಾರ್ಯವು ಅದರ ಗರಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ತಲುಪುತ್ತದೆ (ಕಾರ್ಯವು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬ ವಾಸ್ತವದ ಹೊರತಾಗಿಯೂ).
6) ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ (ಇದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದು), ಮತ್ತು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ (ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು).
ಕಾಮೆಂಟ್:
"ಗರಿಷ್ಠ" ಮತ್ತು "ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ" ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳು. ಇದು ಗರಿಷ್ಟ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಮತ್ತು "ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛದ ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ ತಿಳುವಳಿಕೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ 2.
4) ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 4:
ಕಾರ್ಯದ ದೊಡ್ಡ ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ 
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ.
ಪರಿಹಾರ:
1) ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹುಡುಕಿ. 
2) ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ತೀವ್ರತೆಯ ಶಂಕಿತ ಬಿಂದುಗಳು) ಹುಡುಕಿ. ಎರಡು ಬದಿಯ ಸೀಮಿತ ಉತ್ಪನ್ನ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಗಮನ ಕೊಡಿ. 
3) ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ ಸ್ಥಾಯಿ ಬಿಂದುಗಳುಮತ್ತು ಮಧ್ಯಂತರದ ಗಡಿಗಳಲ್ಲಿ.
4) ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ದೊಡ್ಡ (ಚಿಕ್ಕ) ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.
ಈ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಈ ವಿಭಾಗದ ಕಾರ್ಯವು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಅಧ್ಯಯನದ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ನೋಡುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಸರಿಯಾದತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು. 
ಕಾಮೆಂಟ್:ಕಾರ್ಯವು ಗರಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗದ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಅದರ ಕನಿಷ್ಠವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತದೆ.
ಒಂದು ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ.
ಒಂದು ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ಮೊದಲ ಹಂತವನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಅಂದರೆ. ವ್ಯುತ್ಪನ್ನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು ಕೇವಲ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳುಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸಂಪೂರ್ಣ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ. ಉತ್ಪನ್ನವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಿ. ಇಡೀ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಲೇಖನದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಗ್ರಾಫ್ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಯಾವುದೇ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಾಗದ ಬಲ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೀವು ನೋಡಬಹುದು. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನವು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯವು ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ. ಕಡಿಮೆ ಮೌಲ್ಯ- ವಿಭಾಗದ ಎಡ ಗಡಿಯಲ್ಲಿ, ದೊಡ್ಡದು - ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ.