ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ) ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪ್ರಮೇಯ 1.ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ.

(ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ: ಮತ್ತು, ಖಚಿತವಾಗಿ, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸ್ಕೇಲರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸೋಣ . ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: }

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ( ) ಇದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶದ ರೂಢಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲವಸ್ತುಗಳ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯ 1 ರಿಂದ ಇದು ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಇನ್ ಎನ್- ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎನ್ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ( i, j, k ) 3 ನಲ್ಲಿ X- ಆಯಾಮದ ಜಾಗ) ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ಆಧಾರ,ಮತ್ತು ಅದರ ವಾಹಕಗಳು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳು.

ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸುಲಭವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಮೇಲೆ , ನಾವು ಸೂಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮಾಣಗಳು: ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನ, ವೆಕ್ಟರ್ನ ಉದ್ದ, ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್, ಇತ್ಯಾದಿ. ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: , ರಿಂದ

ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ,

* ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಧಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

(ಇಲ್ಲಿ αiಮತ್ತು β j - ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ( f), ಮತ್ತು ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿವೆ).

ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ γ ijಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ ಜಿ, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಗ್ರಾಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್.ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: *

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಯಾವುದೇ ರಲ್ಲಿ ಎನ್- ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪುರಾವೆಯು ಪ್ರಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ರಚನಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

9. ಗ್ರಾಮ್-ಸ್ಮಿತ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆ.

ಅವಕಾಶ ( a 1 ,..., a n ) - ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಧಾರ ಎನ್- ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ (ಅಂತಹ ಆಧಾರವು ಇದಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗಿದೆ ಎನ್- ಜಾಗದ ಆಯಾಮ). ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ:

1.b 1 =a 1, e 1 = b 1/|ಬಿ 1|, |ಇ 1|= 1.

2.ಬಿ 2^ಇ 1, ಏಕೆಂದರೆ (ಇ 1, ಎ 2)- ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ a 2 ಮೇಲೆ e 1 , b 2 = a 2 -(ಇ 1, ಎ 2)ಇ 1, ಇ 2 = ಬಿ 2/|ಬಿ 2|, |ಇ 2|= 1.

3.ಬಿ 3^a 1, b 3^a 2, b 3 = a 3 -(ಇ 1, ಎ 3)ಇ 1 -(ಇ 2, ಎ 3)ಇ 2, ಇ 3 = ಬಿ 3/|ಬಿ 3|, |ಇ 3|= 1.

.........................................................................................................

ಕೆ. ಬಿ ಕೆ^a 1 ,..., b k^a k-1 , b k = a k -ಎಸ್ i=1k(ಇ ಐ , ಎ ಕೆ)ಇ ಐ, ಇ ಕೆ = ಬಿ ಕೆ/|ಬಿ ಕೆ|, |ಇ ಕೆ|= 1.

ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರೆಸುತ್ತಾ, ನಾವು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ( ಇ 1 ,..., ಇ ಎನ್ }.

ಗಮನಿಸಿ 1. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಶೆಲ್‌ಗೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೂರು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮತ್ತು ಐದು ಆಯಾಮದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ರೇಖೀಯ ಶೆಲ್‌ಗೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರ.



ಉದಾಹರಣೆ.X =(3,4,0,1,2), ವೈ =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)

ಗಮನಿಸಿ 2.ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳು

ಗ್ರಾಮ್-ಸ್ಮಿತ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನಂತ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಗ್ರಾಮ್-ಸ್ಮಿತ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಸಮಸ್ಯೆಯಾಗುತ್ತದೆ 0 (ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಜ , ವೇಳೆ ಒಂದು ಜೆ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ a 1 ,..., a j -1 . ಇದು ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ, ಔಟ್ಪುಟ್ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲೈಸೇಶನ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಲು, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬೇಕು. ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಬ್‌ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಆಯಾಮಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಅಂದರೆ, ಮೂಲ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ).

10. ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಥಳಗಳು R1, R2, R3.

ಜಾಗಗಳು ಮಾತ್ರ ನೇರ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಒತ್ತಿ ಹೇಳೋಣ

ಆರ್ 1, ಆರ್ 2, ಆರ್ 3. n > 3 ಗಾಗಿ ಸ್ಪೇಸ್ R n ಒಂದು ಅಮೂರ್ತ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ.

1) ಎರಡು ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ . ಸಿಸ್ಟಮ್ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೇಳೋಣ ಎ , ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎ= ಕೆ ಬಿ.

ಅಂತಹ ಅವಲಂಬನೆಯಿಂದ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು, ಈಗಾಗಲೇ ಹೇಳಿದಂತೆ, ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಮಾತ್ರ

ಈ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವಾಗ. ಈ ತೀರ್ಮಾನವು R3 ಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ರೇಖೀಯ ಜಾಗಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

2) R3 ನಲ್ಲಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಲಿ a, b, c . ಲೀನಿಯರ್ ಅವಲಂಬನೆ ಎಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು, ಹೇಳಿ ಎ , ಉಳಿದವುಗಳ ಮೂಲಕ ರೇಖೀಯವಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಎ= ಕೆ b+ ಎಲ್ ಸಿ . (*)

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಮೂರು ವಾಹಕಗಳು a, b, c R 3 ರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಅದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಮಲಗಿರುವುದನ್ನು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

(ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ a, b, c ಒಂದು ಸಮತಲದಿಂದ, ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅದೇ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ಮೂಲಗಳಿಂದ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ, R3 ನಲ್ಲಿ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವೂ ನಿಜ: ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಾಗಿದ್ದರೆ a, b, c R3 ನಿಂದ coplanar, ನಂತರ ಅವು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿವೆ.

ವೆಕ್ಟರ್ ಕಲಾಕೃತಿವೆಕ್ಟರ್ a, ವೆಕ್ಟರ್ ಗೆ ಬಿ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸಿ , ಕೆಳಗಿನ ಅವಶ್ಯಕತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು:

ಹುದ್ದೆ:

ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಡರ್ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ a, b, c ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ. ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲವನ್ನು ನಾವು ಸಂಯೋಜಿಸೋಣ ಎ(ಅಂದರೆ, ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಸರಿಸಿ ಇದರಿಂದ ಅದರ ಮೂಲವು ಬಿಂದುದೊಂದಿಗೆ ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಎ) ವಾಹಕಗಳ ತುದಿಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಆರಂಭದೊಂದಿಗೆ ಸಂಯೋಜಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿವೆ ಎ, ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಒಂದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮಲಗಬೇಡಿ.

ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್ ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ a, b, c ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಲ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅಂತ್ಯದಿಂದ ವೇಳೆ ಸಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಕಡಿಮೆ ತಿರುವು ಎ ವೆಕ್ಟರ್ ಗೆ ಬಿ ವೀಕ್ಷಕನಿಗೆ ಅಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಚಿಕ್ಕದಾದ ತಿರುವು ಪ್ರದಕ್ಷಿಣಾಕಾರವಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ನಂತರ ಟ್ರಿಪಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಟ್ಟರು.

ಮತ್ತೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಬಲಗೈವ್ಯಕ್ತಿ (ಚಿತ್ರವನ್ನು ನೋಡಿ), ಹೆಸರು ಎಲ್ಲಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ಬಲಗೈ (ಮತ್ತು ಎಡಗೈ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಟ್ರಿಪಲ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಓರಿಯೆಂಟೆಡ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ:

.

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್, ಪೂರ್ಣಗೊಂಡರೆ, ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶಕ್ಕೆ ಆಧಾರವಾಗಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಶದ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು: , ಅಲ್ಲಿ .

ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ರೂಢಿಯನ್ನು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್

ಸೀಮಿತ ಆಯಾಮದ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸ್ವತಂತ್ರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಆಧಾರದಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಬ್ಬರು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಹೋಗಬಹುದು.

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಭಜನೆ

ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಪ್ರಕಾರ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಕೊಳೆಯುವಾಗ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: , ಎಲ್ಲಿ ಮತ್ತು .

ಸಹ ನೋಡಿ


ವಿಕಿಮೀಡಿಯಾ ಫೌಂಡೇಶನ್. 2010.

ಇತರ ನಿಘಂಟುಗಳಲ್ಲಿ "ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್" ಏನೆಂದು ನೋಡಿ:

    1) ಓ... ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

    - (ಗ್ರೀಕ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಿಯೋಸ್ ಆಯತಾಕಾರದ) (ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ) ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ L2(a,b) (ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿ ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಮತ್ತು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ F tion g(x) ಗೆ ಸೇರಿದ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ. O. s ತೂಕದ f.,* ಎಂದರೆ... ... ಭೌತಿಕ ವಿಶ್ವಕೋಶ

    ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ??n(x)?, n=1, 2,..., ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಟ್ರಾನ್ಸ್‌ಫಾರ್ಮೇಷನ್ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ, ಬದಲಾಗದ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ ಅಥವಾ (ಇದು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು . .. ಬಿಗ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ

    ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (φn(x)), n = 1, 2, ..., ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ [a, b] ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: k≠l ಗೆ, ಇಲ್ಲಿ ρ(x) ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ತೂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು

    ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ((фn(х)), n=1, 2, ..., ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ [a, b] ಮತ್ತು ಟ್ರೇಸ್ ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತದೆ, k ಗಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿ ಸ್ಥಿತಿಯು l ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಲ್ಲಿ p(x ) ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತೂಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 1, sin x, cosх, sin 2x, cos 2x,... O.s.f. ತೂಕದೊಂದಿಗೆ... ... ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ. ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು

    ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ((φn (x)), n = 1, 2,..., [a, b] ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೂಕದ ρ (x) ಜೊತೆಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ. ತ್ರಿಕೋನಮಿತೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 1, cos nx , sin nx; n = 1, 2,..., O. s.f. ತೂಕ 1 ನೊಂದಿಗೆ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [π, π]. ಬೆಸೆಲ್... ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

    ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಕರ್ಣೀಯ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವುಗಳಾಗಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ d ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ q = (q1, q², ..., qd) ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಮೇಲ್ಮೈಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಕಾರ್ಟೇಶಿಯನ್ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ... ... ವಿಕಿಪೀಡಿಯಾ

    ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮಲ್ಟಿಚಾನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ- - [ಎಲ್.ಜಿ. ಸುಮೆಂಕೊ. ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಮೇಲೆ ಇಂಗ್ಲೀಷ್-ರಷ್ಯನ್ ನಿಘಂಟು. M.: ಸ್ಟೇಟ್ ಎಂಟರ್‌ಪ್ರೈಸ್ TsNIIS, 2003.] ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ EN ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮಲ್ಟಿಪ್ಲೆಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳು ಮಾಹಿತಿ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನ ...

    (ಫೋಟೋಗ್ರಾಮೆಟ್ರಿಕ್) ಚಿತ್ರದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ- ಬಲ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ವಿಶ್ವಾಸಾರ್ಹ ಗುರುತುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ಫೋಟೋಗ್ರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಚಿತ್ರದ ಮೇಲೆ ಸ್ಥಿರವಾಗಿದೆ. [GOST R 51833 2001] ವಿಷಯಗಳು: ಫೋಟೋಗ್ರಾಮೆಟ್ರಿ... ತಾಂತ್ರಿಕ ಅನುವಾದಕರ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ

    ವ್ಯವಸ್ಥೆ- 4.48 ವ್ಯವಸ್ಥೆ: ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಸಂಘಟಿತವಾಗಿರುವ ಪರಸ್ಪರ ಅಂಶಗಳ ಸಂಯೋಜನೆ. ಗಮನಿಸಿ 1 ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನ ಅಥವಾ ಅದು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಸೂಚನೆ 2 ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ...... ನಿಘಂಟಿನ-ಉಲ್ಲೇಖ ಪುಸ್ತಕ ಪ್ರಮಾಣಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ದಾಖಲಾತಿಗಳ ನಿಯಮಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವಾಹಕಗಳುಎ ಮತ್ತುಬಿ ಅವುಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ (ಲಂಬ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.ಎ × ಬಿ = 0.

ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನತೆ ಎಂದರೆ cos ಜ= 0, ಅಂದರೆ. . ಶೂನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವುದೇ ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಎ × 0 = 0.

ವ್ಯಾಯಾಮ. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಲಿ. ನಂತರ ಆಯತದ ಕರ್ಣವನ್ನು ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಸಹಜ ಮತ್ತು . ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

,

ಆ. ಒಂದು ಆಯತದ ಕರ್ಣೀಯ ಉದ್ದದ ಚೌಕವು ಅದರ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರವಲ್ಲದ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ(ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯ).

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಎ 1 ,…, ಎ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ m ಅನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗಾಗಿ ಎ 1 ,…,ಎ ಮೀಸಮಾನತೆ ನಿಜ: ಎ i × ಎ ಜ= 0 ನಲ್ಲಿ i¹ ಜ, i= 1,…, ಮೀ; ಜ= 1,…,ಮೀ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.5. ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. .

□ ನಾವು ವಿರೋಧಾಭಾಸದಿಂದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಎ 1 , …, ಎ ಮೀರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ. ನಂತರ

l 1 ಎ 1 + …+ ಎಲ್ ಮೀಎ ಮೀ= 0 , ಇದರಲ್ಲಿ. (1.15)

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, l 1 ¹ 0. ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಎ 1 ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು (1.15):

l 1 ಎ 1× ಎ 1 + …+ ಎಲ್ ಮೀ ಎ ಮೀ × ಎ 1 = 0.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಯ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ 1 , …, ಎ ಮೀ. ನಂತರ ಎಲ್ 1 ಎ 1× ಎ 1 =0, ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಎ 1 = 0 , ಇದು ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಊಹೆ ತಪ್ಪಾಯಿತು. ಇದರರ್ಥ ಶೂನ್ಯ ವಾಹಕಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ■

ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1.6. Rn ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಆಧಾರವಿದೆ (ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರ)
(ಯಾವುದೇ ಪುರಾವೆ ಇಲ್ಲ).

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬೇಸ್‌ಗಳು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅಂತಹ ನೆಲೆಗಳ ಮೇಲೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ ಬಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇ 1 ,…,ಇ ಎನ್. ಈ ಆಧಾರಕ್ಕಾಗಿ ಇನ್ನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಸ್ಕೇಲರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸೋಣ ಇ 1 . ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ 2 ° ಮತ್ತು 3 ° ಮೂಲತತ್ವಗಳ ಬಲದಿಂದ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳಿಂದ ಇ 1 ,…,ಇ ಎನ್ಪರಸ್ಪರ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ ಆಧಾರ ವಾಹಕಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ

.

ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (1.16) ಒಂದೊಂದಾಗಿ ಇತರ ಆಧಾರದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಸ್ತರಣೆ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಸರಳ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಬಿ :

. (1.17)

ಸೂತ್ರಗಳು (1.17) ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ ಏಕೆಂದರೆ .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವೆಕ್ಟರ್ಎ ಅದರ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ (ಅಥವಾ ಘಟಕ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 1, ಅಂದರೆ (ಎ , ಎ )= 1.


ಯಾವುದೇ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಅವಕಾಶ ಎ ¹ 0 . ನಂತರ , ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ವೆಕ್ಟರ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇ 1 ,…,ಇ n ಇದು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 1, ಅಂದರೆ

(1.18)

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ Rn ನಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಧಾರವಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯಗೊಳಿಸಬಹುದು, ನಂತರ Rn ನಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಿರುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ R n ನ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ವಾಹಕಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇ 1 ,=(1,0,…,0),…, ಇ ಎನ್=(0,0,...,1) ಸಮಾನತೆಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದೊಂದಿಗೆ (1.9). ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇ 1 ,=(1,0,…,0),…, ಇ ಎನ್=(0,0,...,1) ಸೂತ್ರ (1.17) ವೆಕ್ಟರ್ ವಿಭಜನೆಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಬಿ ಸರಳವಾದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಅವಕಾಶ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ - ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದೊಂದಿಗೆ R n ಸ್ಪೇಸ್‌ನ ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಇ 1 ,=(1,0,…,0),…, ಇ ಎನ್=(0,0,...,1). ನಾವು ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸೋಣ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಇ 1 ,…,ಇ ಎನ್ಅದಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಎ 1 ,…,ಎ ಎನ್ಮತ್ತು ಬಿ 1 ,…, ಬಿ ಎನ್ಮತ್ತು ಈ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ, ಅಂದರೆ. ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ

, .

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಿಂದ, ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲತತ್ವಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಬಂಧಗಳ (1.18) ಮೂಲಕ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ


ಅಂತಿಮವಾಗಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

. (1.19)

ಹೀಗಾಗಿ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ನಾವು n-ಆಯಾಮದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ R n ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಅಲ್ಲ) ಆಧಾರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಎರಡು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಮೂಲಕ.

ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ((φ ಎನ್(X)}, ಎನ್= 1, 2,..., ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ρ ( X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ], ಅಂದರೆ ಅಂತಹ

ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 1, cos nx,ಪಾಪ nx; ಎನ್= 1, 2,..., - O.s. f. [-π, π] ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೂಕ 1 ನೊಂದಿಗೆ. ಬೆಸೆಲ್ ಕಾರ್ಯಗಳು n = 1, 2,..., J ν ( X), ಪ್ರತಿ ν > - 1/2 O. s ಗೆ ರೂಪ. f. ತೂಕದೊಂದಿಗೆ Xವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ.

ಪ್ರತಿ ಕಾರ್ಯ φ ( X) O. s ನಿಂದ. f. ಎಂಬುದು x) ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ

O. s ನ ವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಅಧ್ಯಯನ. f. ಗಣಿತದ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗಡಿ ಮೌಲ್ಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಲಾಯಿತು. ಈ ವಿಧಾನವು ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಲು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ (ಸ್ಟರ್ಮ್-ಲಿಯೊವಿಲ್ಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೋಡಿ) ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ [ρ( X) ವೈ" ]" + q(X) ವೈ = λ ನಲ್ಲಿ, ಗಡಿ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದು ನಲ್ಲಿ(ಎ) + ಹಾಯ್"(ಎ) = 0, ವೈ(ಬಿ) + ಹಾಯ್"(ಬಿ) = 0, ಅಲ್ಲಿ ಗಂಮತ್ತು ಎನ್- ಶಾಶ್ವತ. ಈ ನಿರ್ಧಾರಗಳು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವವು. ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳು O.s ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. f. ತೂಕದೊಂದಿಗೆ ρ ( X) ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ [ ಎ, ಬಿ].

O. s ನ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ವರ್ಗ. f. - ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು - P.L. ಚೆಬಿಶೇವ್ ಅವರು ಕನಿಷ್ಟ ಚೌಕಗಳ ವಿಧಾನ ಮತ್ತು ಕ್ಷಣಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಮೂಲಕ ಇಂಟರ್ಪೋಲೇಶನ್ ಕುರಿತು ತಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿದರು. 20 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ O.s ನಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನೆ f. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಲೆಬೆಸ್ಗ್ಯೂ ಅಳತೆಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಸ್ವತಂತ್ರ ಶಾಖೆಯಾಗಿ ಈ ಅಧ್ಯಯನಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲು ಕೊಡುಗೆ ನೀಡಿತು. O. s ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. f. - ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯ ಸಮಸ್ಯೆ f(X) p ರೂಪದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ( X)) - O. s. f. ನಾವು ಅದನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಹಾಕಿದರೆ ಪ ( X)) - ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ O. s. f., ಮತ್ತು ಟರ್ಮ್-ಬೈ-ಟರ್ಮ್ ಏಕೀಕರಣದ ಸಾಧ್ಯತೆಯನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ, ನಂತರ, ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು φ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಪ(X) ρ( X) ಮತ್ತು ಇಂದ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಎಮೊದಲು ಬಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಆಡ್ಸ್ ಎಸ್ ಪಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು (φ ಎನ್(X)), ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಪರೀತ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: ರೇಖೀಯ ರೂಪ x):

ಅದಕ್ಕೆ ನೀಡಿದ ದೋಷಗಳಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎನ್ರೂಪದ ಇತರ ರೇಖೀಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು

ಸರಣಿ ∑ ∞ n=1 C n φ n (x)ಆಡ್ಸ್ ಜೊತೆ ಎಸ್ ಪಿ, ಸೂತ್ರವನ್ನು (*) ಬಳಸಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ f(X) ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ O. s ಪ್ರಕಾರ. f. (φ ಎನ್(X)) ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್‌ಗಳಿಗೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅನನ್ಯವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಎಂಬುದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯ ಪ್ರಶ್ನೆಯಾಗಿದೆ f(X) ಅವರ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ. O. s ಎಫ್., ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಇದು ನಡೆಯುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಥವಾ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಚ್ಚಿದ O. ಗಳಿಗೆ ಷರತ್ತುಗಳು f. ಹಲವಾರು ಸಮಾನ ರೂಪಗಳಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು. 1) ಯಾವುದೇ ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯ f(X) φ ಕಾರ್ಯಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಾಸರಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು ಕೆ(X), ಅಂದರೆ, C n φ n (x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಾಸರಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ f(X)]. 2) ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(X), ಇದರ ಚೌಕವನ್ನು ನಾವು ತೂಕಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಂಯೋಜಿಸುತ್ತೇವೆ ρ( X), ಲಿಯಾಪುನೋವ್-ಸ್ಟೆಕ್ಲೋವ್ ಮುಚ್ಚಿದ ಸ್ಥಿತಿಯು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ:

3) ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇಂಟಿಗ್ರೇಬಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲ [ ಎ, ಬಿ] ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಚೌಕ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ φ ಎನ್(X), ಎನ್ = 1, 2,....

ಒಂದು ಇಂಟಿಗ್ರಬಲ್ ಸ್ಕ್ವೇರ್‌ನೊಂದಿಗಿನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದರೆ (ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗವನ್ನು ನೋಡಿ), ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ O.S. f. ಈ ಜಾಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಿದ O.s ನಲ್ಲಿ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ. f. - ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆ. ಈ ವಿಧಾನದೊಂದಿಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು. f. ಸ್ಪಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರ (*) ಎಂದರೆ ಯುನಿಟ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಯುನಿಟ್ ಯೂನಿಟ್‌ನ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಲಿಯಾಪುನೋವ್-ಸ್ಟೆಕ್ಲೋವ್ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವಾಗಿ ಅನಂತ ಆಯಾಮದ ಜಾಗಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು: ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದದ ಚೌಕವು ಸಮನ್ವಯ ಅಕ್ಷಗಳ ಮೇಲಿನ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಚೌಕಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ O. s f. ಅಂದರೆ ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿಕ್ಕದಾದ ಮುಚ್ಚಿದ ಉಪಸ್ಥಳವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಥಳದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಬೆಳಗಿದ.:ಟಾಲ್ಸ್ಟಾವ್ ಜಿ.ಪಿ., ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ, 2 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಎಂ., 1960; ನಟನ್ಸನ್ I.P., ಕಾರ್ಯಗಳ ರಚನಾತ್ಮಕ ಸಿದ್ಧಾಂತ, M. - L., 1949; ಅವನಿಂದ, ಥಿಯರಿ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ ಆಫ್ ಎ ರಿಯಲ್ ವೇರಿಯೇಬಲ್, 2ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಎಂ., 1957; ಜಾಕ್ಸನ್ ಡಿ., ಫೋರಿಯರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಬಹುಪದಗಳು, ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಇಂಗ್ಲಿಷ್ನಿಂದ, M., 1948; Kaczmarz S., Shteingauz G., ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸರಣಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತ, ಟ್ರಾನ್ಸ್. ಜರ್ಮನ್ ನಿಂದ, M., 1958.

  • - n-ಡೈಮೆನ್ಷನಲ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಸ್ಪೇಸ್ V ಯ ಎಲ್ಲಾ ರೇಖೀಯ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಗುಂಪು k ಕ್ಷೇತ್ರದ ಮೇಲೆ, ಸ್ಥಿರ ಕ್ಷೀಣಗೊಳ್ಳದ ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೂಪವನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸುತ್ತದೆ V ಮೇಲೆ Q)=Q ಯಾವುದಕ್ಕೂ)...

    ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

  • - ಯುನಿಟ್ 1 ನೊಂದಿಗೆ ಕಮ್ಯುಟೇಟಿವ್ ರಿಂಗ್ R ಮೇಲಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಟ್ರಾನ್ಸ್ಪೋಸ್ಡ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಲೋಮದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. O. m. ನ ನಿರ್ಧಾರಕವು +1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ...

    ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

  • - ವಿವಿಧ ಕುಟುಂಬಗಳ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಜಾಲ. ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು: ಕನಿಷ್ಠ ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಅಸಿಂಪ್ಟೋಟಿಕ್ ನೆಟ್ವರ್ಕ್, ಲೈನ್ ವಕ್ರತೆಯ ನೆಟ್ವರ್ಕ್. A.V. ಇವನೊವ್...

    ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

  • - 1) ಓಹ್....

    ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

  • - ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅರೇ, OA - kx N ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಅದರ ಅಂಶಗಳು 1, 2, .....

    ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

  • - ಐಸೋಗೋನಲ್ ಪಥವನ್ನು ನೋಡಿ...

    ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

  • - ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ನ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್ (ಜೆ) ಅಂದರೆ H ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕುಟುಂಬದ ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಯವು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.

    ಗಣಿತದ ವಿಶ್ವಕೋಶ

  • - ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ನೋಡಿ...

    ಬಿಗ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಕ್ ಪಾಲಿಟೆಕ್ನಿಕ್ ಡಿಕ್ಷನರಿ

  • - ವಿವಿಧ ವಸ್ತುಗಳ ಕಾರ್ಯಗಳ ಅಧೀನತೆಯ ನಿರ್ಣಯ ...

    ವ್ಯವಹಾರ ನಿಯಮಗಳ ನಿಘಂಟು

  • - ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವುದು, Ch ನಲ್ಲಿ ಒಂದು. ಪ್ರಾಣಿಗಳ ವಿಕಾಸದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂಗಗಳ ಪ್ರಗತಿಪರ ರೂಪಾಂತರದ ವಿಧಾನಗಳು. ಐ.ಎಫ್. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಂಗಗಳು ಮತ್ತು ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ದೇಹದ ರಚನೆಯ ತೊಡಕಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ...

    ಜೈವಿಕ ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು

  • - ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವುದು, ಪ್ರಾಣಿಗಳ ವಿಕಾಸದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅಂಗಗಳ ಪ್ರಗತಿಶೀಲ ರೂಪಾಂತರದ ಮುಖ್ಯ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಐ.ಎಫ್. ಅಂಗಗಳ ರಚನೆಯ ತೊಡಕುಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಹೆಚ್ಚಳಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ ...
  • - ಆರ್ಡರ್ ಎನ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್...

    ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

  • - ಸಮಾನಾಂತರ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ, ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳ ಅಕ್ಷ ಅಥವಾ ಸಮತಲವು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್‌ನ ದಿಕ್ಕಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವಾಗ...

    ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

  • - ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (), n = 1, 2,..., ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ ತೂಕದ ρ ಹೊಂದಿರುವ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಅಂದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ 1 ತೂಕದೊಂದಿಗೆ...

    ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

  • - ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು Ф = (φ), ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಫಂಕ್ಷನ್ ಇಲ್ಲ,...

    ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ

  • - ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು - ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳು?? n?, n=1, 2,.....

    ದೊಡ್ಡ ವಿಶ್ವಕೋಶ ನಿಘಂಟು

ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ "ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಫ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್"

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ XXIV ಕಂದಕ ಯುದ್ಧದ ಹಳೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಮೆರವಣಿಗೆಗಳ ಆಧುನಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಯುದ್ಧದ ಕಲೆಯಲ್ಲಿ ತಂತ್ರ ಮತ್ತು ತಂತ್ರಗಳು ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಲೇಖಕ ಝೋಮಿನಿ ಜೆನ್ರಿಖ್ ವೆನಿಯಾಮಿನೋವಿಚ್

ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ XXIV ಹಳೆಯ ಪದ್ದತಿ ಸ್ಥಾನಿಕ ಯುದ್ಧ ಮತ್ತು ಆಧುನಿಕ ಮೆರವಣಿಗೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಾನಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಯುದ್ಧವನ್ನು ನಡೆಸುವ ಹಳೆಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಸೇನೆಗಳು ಡೇರೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿದ್ರಿಸುತ್ತವೆ, ಕೈಯಲ್ಲಿ ಸರಬರಾಜುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದು, ಪರಸ್ಪರ ಗಮನಿಸುವುದರಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿವೆ; ಒಂದು ಸೈನ್ಯ

19. "ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ತೆರಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. "ತೆರಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಮತ್ತು "ತೆರಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧ

ತೆರಿಗೆ ಕಾನೂನು ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಲೇಖಕ ಮಿಕಿಡ್ಜೆ ಎಸ್ ಜಿ

19. "ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ತೆರಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. "ತೆರಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಮತ್ತು "ತೆರಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆ" ಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ತೆರಿಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಫೆಡರಲ್ ತೆರಿಗೆಗಳು, ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳೀಯ ತೆರಿಗೆಗಳ ಒಂದು ಗುಂಪಾಗಿದೆ. ಇದರ ರಚನೆಯನ್ನು ಕಲೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಷ್ಠಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ 13-15 ತೆರಿಗೆ ಕೋಡ್

ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹೇಗೆ ಸಂಭವಿಸಿತು ಎಂಬ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ. ನಿಜವಾದ ಇತಿಹಾಸದ ಪುನರ್ನಿರ್ಮಾಣ ಲೇಖಕ ನೊಸೊವ್ಸ್ಕಿ ಗ್ಲೆಬ್ ವ್ಲಾಡಿಮಿರೊವಿಚ್

23. ಟಾಲೆಮಿಯ ಭೂಕೇಂದ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಟೈಕೋ ಬ್ರಾಹೆ (ಮತ್ತು ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್) ಸೂರ್ಯಕೇಂದ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 90. ಪ್ರಪಂಚದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿ ಇದೆ, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಸೂರ್ಯನು ಸುತ್ತುತ್ತಾನೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗ್ರಹಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಸೂರ್ಯನನ್ನು ಸುತ್ತುತ್ತಿವೆ. ನಿಖರವಾಗಿ

23. ಟಾಲೆಮಿಯ ಭೂಕೇಂದ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಟೈಕೋ ಬ್ರಾಹೆಯ ಸೂರ್ಯಕೇಂದ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ (ಮತ್ತು ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್)

ಲೇಖಕರ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ

23. ಟಾಲೆಮಿಯ ಭೂಕೇಂದ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಟೈಕೋ ಬ್ರಾಹೆ (ಮತ್ತು ಕೋಪರ್ನಿಕಸ್) ಸೂರ್ಯಕೇಂದ್ರೀಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ 90. ಪ್ರಪಂಚದ ಮಧ್ಯಭಾಗದಲ್ಲಿ ಭೂಮಿ ಇದೆ, ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಸೂರ್ಯನು ಸುತ್ತುತ್ತಾನೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಗ್ರಹಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಸೂರ್ಯನನ್ನು ಸುತ್ತುತ್ತಿವೆ. ನಿಖರವಾಗಿ

ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಲೇಖಕರಿಂದ ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ (ಪಿಒ) ಪುಸ್ತಕದಿಂದ TSB

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್

TSB

ಆರ್ಥೋಗ್ರಾಫಿಕ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್

ಲೇಖಕರಿಂದ ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ (OR) ಪುಸ್ತಕದಿಂದ TSB

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಕಾರ್ಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಲೇಖಕರಿಂದ ಗ್ರೇಟ್ ಸೋವಿಯತ್ ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ (OR) ಪುಸ್ತಕದಿಂದ TSB

ಸಲಹೆ 46: ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಗೆ ರವಾನಿಸಿ

ಎಸ್‌ಟಿಎಲ್ ಅನ್ನು ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಿ ಬಳಸುವುದು ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಮೇಯರ್ಸ್ ಸ್ಕಾಟ್ ಅವರಿಂದ

ಸಲಹೆ 46: ಕಾರ್ಯಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳಿಗೆ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ರವಾನಿಸುವುದು ಉನ್ನತ ಮಟ್ಟದ ಭಾಷೆಗಳ ಅಮೂರ್ತತೆಯ ಮಟ್ಟವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದರಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಕೋಡ್ ಕಡಿಮೆ ದಕ್ಷತೆಯನ್ನು ಉಂಟುಮಾಡುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. STL ನ ಸಂಶೋಧಕ ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡರ್ ಸ್ಟೆಪನೋವ್ ಒಮ್ಮೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಸಂಕೀರ್ಣವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದರು

12.3.5. ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್ಸ್ಗಾಗಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಡಾಪ್ಟರ್ಗಳು

ಆರಂಭಿಕರಿಗಾಗಿ C++ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಲಿಪ್ಮನ್ ಸ್ಟಾನ್ಲಿ ಅವರಿಂದ

12.3.5. ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳಿಗಾಗಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಡಾಪ್ಟರ್‌ಗಳು ಸ್ಟ್ಯಾಂಡರ್ಡ್ ಲೈಬ್ರರಿಯು ಯುನರಿ ಮತ್ತು ಬೈನರಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳನ್ನು ವಿಶೇಷಗೊಳಿಸಲು ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಫಂಕ್ಷನ್ ಅಡಾಪ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅಡಾಪ್ಟರುಗಳು ವಿಶೇಷ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಎರಡು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ

11/19/2. ಫಂಕ್ಷನ್ ಫೈಲ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯುವುದು

ಲಿನಕ್ಸ್ ಮತ್ತು ಯುನಿಕ್ಸ್ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ: ಶೆಲ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್. ಡೆವಲಪರ್ಸ್ ಗೈಡ್. ಟೈನ್ಸ್ಲೆ ಡೇವಿಡ್ ಅವರಿಂದ

11/19/2. ಫಂಕ್ಷನ್ ಫೈಲ್‌ನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಕರೆಯುವುದು ಆಜ್ಞಾ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಸಂದೇಶಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಉಪಯುಕ್ತತೆಗಳಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬಳಸೋಣ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ (ಧನಾತ್ಮಕ) ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಶಾಸನದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ: ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಂಬಂಧ

ನ್ಯಾಯಶಾಸ್ತ್ರ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಲೇಖಕ ಮಾರ್ಡಲೀವ್ ಆರ್.ಟಿ.

ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ (ಧನಾತ್ಮಕ) ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಮತ್ತು ಶಾಸನದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ: ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಸಂಬಂಧ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ (ಧನಾತ್ಮಕ) ಕಾನೂನಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕಾನೂನಿನ ಆಂತರಿಕ ರಚನೆಯಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ವಿಷಯ ಮತ್ತು ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಶಾಖೆಗಳು, ಉಪ-ವಿಭಾಗಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಸ್ಥೆಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ. ಕಾನೂನು ನ

31. ಫ್ರೆಂಚ್ ಸರ್ಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಮತದಾನದ ಹಕ್ಕು ಮತ್ತು ಚುನಾವಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ವಿದೇಶಿ ದೇಶಗಳ ಸಾಂವಿಧಾನಿಕ ಕಾನೂನು ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಲೇಖಕ ಇಮಾಶೆವಾ ಇ ಜಿ

31. ಫ್ರೆಂಚ್ ಸರ್ಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ, ಮತದಾನದ ಹಕ್ಕು ಮತ್ತು ಚುನಾವಣಾ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಫ್ರಾನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಿಶ್ರಿತ (ಅಥವಾ ಅರೆ-ಅಧ್ಯಕ್ಷೀಯ) ಗಣರಾಜ್ಯ ಸರ್ಕಾರವಿದೆ. ಫ್ರಾನ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಸರ್ಕಾರದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಅಧಿಕಾರಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ತತ್ವದ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಆಧುನಿಕ ಫ್ರಾನ್ಸ್

ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಬೆನ್ನುನೋವಿಗೆ ಚಿಕಿತ್ಸಕ ಚಲನೆಗಳು ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪುನಃಸ್ಥಾಪನೆ

ಎನ್ಸೈಕ್ಲೋಪೀಡಿಯಾ ಆಫ್ ಚಿಕಿತ್ಸಕ ಚಲನೆಗಳು ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ವಿವಿಧ ರೋಗಗಳಿಗೆ ಲೇಖಕ ಅಸ್ತಶೆಂಕೊ ಒಲೆಗ್ ಇಗೊರೆವಿಚ್

ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಬೆನ್ನುನೋವಿಗೆ ಚಿಕಿತ್ಸಕ ಚಲನೆಗಳು ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಬಹಳಷ್ಟು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳಿವೆ. ನೀವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಬರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಜಿಮ್ನಾಸ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸರಳ

ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಮತ್ತು ಬೆನ್ನುನೋವಿನ ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಚಿಕಿತ್ಸಕ ಚಲನೆಗಳು

ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಗಾಗಿ ಕೂಲಂಕುಷ ಪರೀಕ್ಷೆ ಪುಸ್ತಕದಿಂದ ಲೇಖಕ ಅಸ್ತಶೆಂಕೊ ಒಲೆಗ್ ಇಗೊರೆವಿಚ್

ಬೆನ್ನುನೋವಿಗೆ ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಚಿಕಿತ್ಸಕ ಚಲನೆಗಳು ಮೋಟಾರ್ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸುವುದು ಬೆನ್ನುಮೂಳೆಯನ್ನು ಪುನಃಸ್ಥಾಪಿಸಲು ಬಹಳಷ್ಟು ವ್ಯಾಯಾಮಗಳಿವೆ. ನೀವು ಅವರೊಂದಿಗೆ ನೀವೇ ಬರಬಹುದು, ಅಥವಾ ಅವುಗಳನ್ನು ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಜಿಮ್ನಾಸ್ಟಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು.

x =λ 0 e +z, ಅಲ್ಲಿ L. λ 0 ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು e ನಿಂದ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಆಗಿ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. (z,e) = 0 ರಿಂದ, ನಾವು (x,e) =λ 0 (e,e) =λ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.5. L ಒಂದು ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ನ ಉಪಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, H ನಿಂದ L ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳ ಸಂಗ್ರಹ M ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಎಲ್ ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪೂರಕ

ಎಂ ಸಹ ಉಪಸ್ಥಳ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.

1) ಆಸ್ತಿಯಿಂದ 3) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ M ಎಂಬುದು ಜಾಗ H ನ ರೇಖೀಯ ಉಪವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

2) z n M ಮತ್ತು z n → z ಅನ್ನು ಬಿಡಿ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ y L ಗೆ M z n y, ಮತ್ತು ಆಸ್ತಿ 4) ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ನಾವು z y ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, z M ಮತ್ತು M ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದೇ x H ಗೆ, ಪ್ರಮೇಯ 5.3 ರಿಂದ ಒಂದು ಅನನ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆ ಇರುತ್ತದೆ

ರೂಪ x =y +z, ಇಲ್ಲಿ y L,z M, ಅಂದರೆ. ಉಪಸ್ಥಳಗಳು L ಮತ್ತು M ರೂಪ

ಜಾಗದ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಘಟನೆ H.

ಲೆಮ್ಮಾ 5.1. L n ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಬ್‌ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು x H ಅಂಶವನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ

x = ∑ y n, ಅಲ್ಲಿ y L. ನಂತರ ಅಂತಹ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು y n = Pr L n x .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.6. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಬ್‌ಸ್ಪೇಸ್‌ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು L n ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, H ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ L n ಗೆ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.7. n ≠m ಗೆ h n h m ಆಗಿದ್ದರೆ, ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ನ h n ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.8. ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ h n ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್, ವೇಳೆ ||h n || = 1.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.9. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶ x H ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ h n ಅನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ n ಗೆ x h n .

ನೀವು ಅದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದುಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿವೆ.

ಎಲ್ 2 ರಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಉದಾಹರಣೆಯೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ಘಟಕ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ.

ಅಂಶಗಳಿಂದ ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ h n

ಒಂದು ಆಯಾಮದ

ಉಪಸ್ಥಳಗಳು ಎಲ್ ಎನ್

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್. ಅಂಶದ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು

ಉಪಸ್ಥಳಗಳು

ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ

x = anhn.

ಪಿಆರ್ಎಲ್ ಎನ್

ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು α n = (x ,h n ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಗುಣಾಂಕಗಳು

ಫೋರಿಯರ್ ಎಲಿಮೆಂಟ್ಕ್ಸ್

ಅಂಶಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ h n.

ಪ್ರಮೇಯ 5.4. ಒಂದು ವೇಳೆ ಅಂಶ x H ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು

x = ∑ λ n h n , ನಂತರ ಈ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವು ಅನನ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕಗಳು λ n ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಇದೊಂದು ಪ್ರದರ್ಶನ x ಅನ್ನು ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವಿಸ್ತರಣೆ) x ಅಂಶದ hn ಅಂಶಗಳಾಗಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.5. ಯಾವುದೇ ಧಾತು x H ಅನ್ನು ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ h n ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲು, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪೂರ್ಣವಾಗಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ n-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು n ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರಬೇಕು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, n-ಆಯಾಮದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಧಾರವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ ಎಂದು ಪ್ರಮೇಯ 5.5 ರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.10. ಅಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.11. ಅನುಪಾತ

∑ α n 2=

ಅಲ್ಲಿ α n

– x ಅಂಶದ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು, ಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ

ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.6.

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ (h n ), x H ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ:

1) x H ಅಂಶಕ್ಕೆ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆ (5.7) ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ;

2) ಅಂಶಗಳ ಸೆಟ್ (h n) ಮೂಲಕ ಉತ್ಪತ್ತಿಯಾಗುವ ಸಬ್‌ಸ್ಪೇಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅಂಶ x H ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ;

3) x H ಅಂಶಕ್ಕೆ ಕ್ಲೋಸ್ನೆಸ್ ಸಮೀಕರಣ (5.8) ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯಗಳು 5.5 ಮತ್ತು 5.6 ರಿಂದ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಪೂರ್ಣಗೊಳ್ಳಲು, ಇದು ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

ಯಾವುದೇ x H ಗೆ ಕ್ಲೋಸ್‌ನೆಸ್ ಸಮೀಕರಣವು ತೃಪ್ತಿಗೊಂಡಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.7. ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ (h n ) ನ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಅದರ ಫೋರಿಯರ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ (5.7) ಮೂಲಾಂಶ H ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದರೆ, ನಂತರ ಯಾವುದೇ y H ಗೆ

(x,y)= ∑ α n β n,

ಇಲ್ಲಿ α n ಎಂಬುದು ಎಲಿಮೆಂಟ್ಕ್ಸ್‌ನ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು, β n ಎನ್ನುವುದು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ (h n) ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅಂಶದ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.8. ಪರಿಮಿತ-ಆಯಾಮದ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗವನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು ಪ್ರಮೇಯ 5.9. ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಜಾಗವನ್ನು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು 5.8 ಮತ್ತು 5.9 ರಿಂದ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವು ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್

ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ಗೆ ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ g 1 , g 2 , ... ನಾವು h 1 , h 2 , ಧಾತುಗಳ ಒಂದು ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ... ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ h n ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

h n =μn 1 g 1 +μn 2 g 2 +...+μ nn g n ,

ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ g n ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

g n =ν n 1 h 1 +ν n 2 h 2 +...+ν nn h n.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಊಹಿಸಿ f 1 , f 2 , ... , ಅಂಶಗಳ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ

ಕೆ = 1

ಗುಣಾಂಕಗಳು λ ik ಅನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅಂಶಗಳು f 1 , f 2 , ... ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. f 1 , f 2 , ..., f n- 1 ಅಂಶಗಳಿಗೆ λ ik ಗುಣಾಂಕಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬಂದಿವೆ. ಆಗ ಐ

n− 1

n− 1

(f n ,f i ) = (g n –∑ λ nk f k ,f i ) = (g n ,f i ) –∑ λ nk (f k ,f i ).

ಕೆ = 1

ಕೆ = 1

ಈಗಾಗಲೇ f 1 ,f 2 , ..., f n- 1 ರಿಂದ

ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಂತರ (f k , f i ) = 0 ಗೆ

ಕೆ ≠ ನಾನು,

ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

F i ) = (g n ,f i ) –λ ni ||f i ||2 .

(ಎಫ್ಎನ್

ಪ್ರತಿ ಅಂಶದಿಂದ

ರೇಖೀಯವಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ

ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳು g 1,

g 2 , ...,g n , ಮತ್ತು ಗುಣಾಂಕ

g n ನಲ್ಲಿ

ಏಕತೆ, ನಂತರ f n ≠ 0. ಸ್ಥಿತಿ (f n , f i ) = 0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲು, ಗುಣಾಂಕ λ ni ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು

λni=

g n,

f i)

ನಾವು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿದ್ದೇವೆ f 1 ,f 2 , .... ಈಗ ಹಾಕೋಣ

h n=

ಅಂಶಗಳು h 1 ,h 2 , ... ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ||h n || = 1 ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಅಂಶ h n ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ g 1 ,g 2 , ...,g n , ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (5.9). ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಸೂತ್ರದಿಂದ (5.11) ಪ್ರತಿ g n ಎಂಬುದು f 1, f 2, ..., f n ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ h 1, h 2, ..., h n ಅಂಶಗಳು , ಅಂದರೆ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (5.10). ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ.

ಇದಲ್ಲದೆ, ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು (ಜಿಎನ್) ಅನಂತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ (ಎಚ್ಎನ್) ಸಹ ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು m ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಷರತ್ತುಗಳಿಂದ (5.9) ಮತ್ತು (5.10) ಅಂಶಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ರೇಖೀಯ ಚಿಪ್ಪುಗಳು (gn) ಮತ್ತು (hn) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

L ಎಂಬುದು H ಜಾಗದ ಪರಿಮಿತ-ಆಯಾಮದ ಉಪಸ್ಪೇಸ್ ಆಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು g 1 ,g 2 , ...,g n ಅದರ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಧಾರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ (g n ), ನಾವು ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ ಉಪಸ್ಥಳ

l² ಜಾಗದೊಂದಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಜಾಗದ ಐಸೊಮಾರ್ಫಿಸಮ್

ಪ್ರಮೇಯ 5.10. ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬೇರ್ಪಡಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ನಲ್ಲಿ, ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಿದೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, H ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾದ ಸೆಟ್ A ಅನ್ನು ಎಲ್ಲೆಡೆ ಎಣಿಸಬಹುದಾದ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿದೆ. ಸೆಟ್ A ಯ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಮರುಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡೋಣ. ರೇಖೀಯ ಸ್ವತಂತ್ರ ಅಂಶಗಳ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಸಿಸ್ಟಮ್ B ಅನ್ನು ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ, ಅದರ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು A ಸೆಟ್ನ ರೇಖೀಯ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, A ನಿಂದ ಹೊರಹಾಕಲ್ಪಟ್ಟ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ B ಯ ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿವೆ. ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಬಿ ಅನ್ನು ಆರ್ಥೋಗೋನಲೈಸೇಶನ್ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗೆ ಒಳಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು h n ಅಂಶಗಳ ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ

ಅದು ತುಂಬಿದೆ ಎಂದು.

x H ಎಲ್ಲಾ h n ಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರಲಿ. ಸಿಸ್ಟಮ್ B ಯ ಅಂಶಗಳು h n ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಟಾಕ್ಸ್ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಬಿ. ಸೆಟ್ ಎ ಬಿ ಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಬಿ ಯ ಅಂಶಗಳ ರೇಖೀಯ ಸಂಯೋಜನೆಗಳಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಇನ್ನೂ ಕೆಲವು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎ ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳಿಗೆ x ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ. ಆದರೆ A ಎಲ್ಲಾ H ನಲ್ಲಿ ದಟ್ಟವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಅಂಶಗಳಿಗೆ 5) ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲಕ thenx = 0. ಹೀಗಾಗಿ, h n ಅಂಶಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಯು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗಗಳಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಂ ಮತ್ತು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೂಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಜಾಗಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸೋಣ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5.12. E ಮತ್ತು E 1 ಎಂಬ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮತ್ತು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ , ಅವುಗಳ ಅಂಶಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಬಹುದಾದರೆ:

a) E ಯಿಂದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲೆ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು E 1 ನಲ್ಲಿನ ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ;

ಬಿ) E ಮತ್ತು E 1 ನಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಂಶಗಳ ರೂಢಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.11. ಪ್ರತಿ ಅನಂತ-ಆಯಾಮದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದಾದ ಹಿಲ್ಬರ್ಟ್ ಸ್ಪೇಸ್ H ಬೀಜಗಣಿತವಾಗಿ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಕ್ ಮತ್ತು ಐಸೋಮೆಟ್ರಿಕ್ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ l 2 ಗೆ.

ಪುರಾವೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 5.10 ರಿಂದ, H: h 1 ,h 2 , ..., h n , .... ಪ್ರಮೇಯ 5.5 ರ ಮೂಲಕ, ಯಾವುದೇ x H ಗೆ ವಿಸ್ತರಣೆಗೆ ಎಣಿಕೆ ಮಾಡಬಹುದಾದ ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ಆಧಾರವಿದೆ

x = ∑ α n hn.

ಹೋಲಿಸಬಹುದಾದ

n= 1

ಅದರ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಅನುಕ್ರಮ

(α n), ಅಂದರೆ.

n= 1

ವೆಕ್ಟರ್ a ಮತ್ತು ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅಂಶಗಳ ಚಿತ್ರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

α n ಅಂಶಗಳ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು β n ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ

x ಮತ್ತು y ಅಂಶಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ ಮೊತ್ತ. ಅಂತೆಯೇ, a ಎಂಬುದು ಅಂಶಗಳ ಚಿತ್ರವಾಗಿದ್ದರೆ, λ a ಎಂಬುದು λ x ಅಂಶದ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದರರ್ಥ H ನಿಂದ ಅಂಶಗಳ ಮೇಲಿನ ಬೀಜಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಅವುಗಳ ಚಿತ್ರಗಳ inl 2 ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಪ್ರತಿ ವೆಕ್ಟರ್ a = (α n )l 2 ಕೆಲವು ಚಿತ್ರಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ

x ಎಚ್. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ∑ α n h n . ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರಿಂದ

ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್, ಮತ್ತು

n= 1

∑ ||α n h n ||2 =

∑ α n 2< +∞,

n= 1

n= 1

ನಂತರ ಪ್ರಮೇಯ 5.2 ಮೂಲಕ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಅದರ ಮೊತ್ತವನ್ನು x ನಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದರೆ, ಪ್ರಮೇಯ 5.4α n ಇದರ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ,

ನೀಡಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ a ಅದರ ಚಿತ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ H ಮತ್ತು l 2 ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಸ್ಥಾಪಿತ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವು ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a ಮತ್ತು b ಕ್ರಮವಾಗಿ y ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ ಅಂಶಗಳ ಮೂಲಕ, a – b ಎಂಬುದು – y ಮತ್ತು (5.12) a - b = x - y ಯಲ್ಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ifx ≠ y, ನಂತರ ia ≠ b.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಆರ್ಥೋನಾರ್ಮಲ್ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು x ಮತ್ತು y ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಒಂದೇ ಫೋರಿಯರ್ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ x = y. ಅಪೂರ್ಣ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇದು ನಿಜವಲ್ಲ.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು H ನಿಂದ ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು l 2 ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವೆ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಬೀಜಗಣಿತದ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (5.12) ಪ್ರಕಾರ ಐಸೊಮೆಟ್ರಿಕ್. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಈಗ ನಾವು H ಮತ್ತು l 2 ನಡುವಿನ ಐಸೋಮಾರ್ಫಿಸಮ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ

ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾಪಾಡುವುದು.

ಪ್ರಮೇಯ 5.12. ಪ್ರಮೇಯ 5.11 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾದ H ಮತ್ತು l 2 ಅಂತರಗಳ ನಡುವಿನ ಸಮರೂಪತೆಯೊಂದಿಗೆ, H ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಶಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿದೆ. ಅವರ ಚಿತ್ರಗಳ inl 2 ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು a ಮತ್ತು b ಗಳು uy ಅಂಶಗಳ ಚಿತ್ರಗಳಾಗಿರಲಿ,

ಅದರಂತೆ, a= (α n),b= (β n). ನಂತರ: x = ∑ α n h n ,y =∑ β n h n .

n= 1

n= 1

ಪ್ರಮೇಯ 5.7 ಮತ್ತು ಎಲ್ 2 ರಲ್ಲಿ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ