ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳ ಪೀನದ ಸೆಟ್.
ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಒಳಗೆ ಅನೇಕ ಅಂಕಗಳು ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಜಾಗಎಂದು ಕರೆದರು ಪೀನ, ಈ ಸೆಟ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಇರುವ ಲೈನ್ ಸೆಗ್‌ಮೆಂಟ್ ಮೂಲಕ ಸಂಪರ್ಕಿಸಬಹುದಾದರೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 1. ಛೇದಕ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಪೀನ ಗಣಗಳ ಒಂದು ಪೀನದ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ.
ಪರಿಣಾಮ.ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪೀನ ಗಣಗಳ ಛೇದನವು ಒಂದು ಪೀನ ಗಣವಾಗಿದೆ.
ಕಾರ್ನರ್ ಪಾಯಿಂಟ್ಗಳು.
ಬೌಂಡರಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಪೀನ ಸೆಟ್ಎಂದು ಕರೆದರು ಕೋನೀಯ, ಅದರ ಮೂಲಕ ಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ನೀಡಿದ ಸೆಟ್ಗೆ ಸೇರಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ವಿಭಿನ್ನ ಆಕಾರಗಳ ಸೆಟ್ಗಳು ಸೀಮಿತ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿರಬಹುದು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಮೂಲೆಯ ಬಿಂದುಗಳು.
ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ.
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಎಂದು ಕರೆದರು ಪೀನ, ಅದು ಅದರ ಪಕ್ಕದ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ.
ಪ್ರಮೇಯ: ಪೀನ n-gon ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180˚ *(n-2)
6) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ ಪರಿಹಾರ ಎಂ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳುಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ
ಎರಡು ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ
ಕೆಲವು ಅಥವಾ ಎಲ್ಲಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ≥ ಆಗಿರಬಹುದು.
X1OX2 ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸರಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ
ಇದು ಗಡಿ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ.
ಈ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮತಲವನ್ನು ಎರಡು ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್ಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ 1 ಮತ್ತು 2 (Fig. 19.4).
ಹಾಫ್-ಪ್ಲೇನ್ 1 ಮೂಲವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್ 2 ಮೂಲವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿಲ್ಲ.
ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವು ಗಡಿರೇಖೆಯ ಯಾವ ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ನೀವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದುಸಮತಲದಲ್ಲಿ (ಮೇಲಾಗಿ ಮೂಲ) ಮತ್ತು ಈ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸಿ. ಅಸಮಾನತೆ ನಿಜವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅರ್ಧ ಸಮತಲವು ಈ ಹಂತದ ಕಡೆಗೆ ಮುಖ ಮಾಡುತ್ತದೆ; ಅದು ನಿಜವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಬಿಂದುವಿನ ವಿರುದ್ಧ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ.
ಅರ್ಧ ಸಮತಲದ ದಿಕ್ಕನ್ನು ಬಾಣದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಿಗಳಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 15. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಗಡಿ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 16. ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್‌ಗಳ ಛೇದಕ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ (SO) ಪರಿಹಾರ ಡೊಮೇನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 17. ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು (xj ≥ 0, j =) ಪೂರೈಸುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ, ಅಥವಾ ಸ್ವೀಕಾರಾರ್ಹ, ಪರಿಹಾರಗಳ ಪ್ರದೇಶ (ADS) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, OR ಮತ್ತು ODR ಒಂದು ಪಾಲಿಹೆಡ್ರನ್ ಆಗಿರಬಹುದು, ಅನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರದೇಶ ಅಥವಾ ಒಂದೇ ಬಿಂದುವಾಗಿರಬಹುದು.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದ್ದರೆ, OR ಮತ್ತು ODR ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 1. ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ OR ಮತ್ತು ODE ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಮತ್ತು ODE ನ ಮೂಲೆಯ ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ
ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲ ಅಸಮಾನತೆಯ OR ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ: x1 + 3x2 ≥ 3. ಗಡಿ ರೇಖೆಯನ್ನು x1 + 3x2 – 3 = 0 (Fig. 19.5) ನಿರ್ಮಿಸೋಣ. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು (0,0) ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ: 1 ∙ 0 + 3 ∙ 0 > 3; ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು (0,0) ಅದನ್ನು ಪೂರೈಸುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ಅಸಮಾನತೆಗೆ (19.1) ಪರಿಹಾರವು ಪಾಯಿಂಟ್ (0,0) ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅರ್ಧ-ಸಮತಲವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉಳಿದ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಇದೇ ರೀತಿ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ OR ಮತ್ತು ODE ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಪೀನ ಬಹುಮುಖಿಎ ಬಿ ಸಿ ಡಿ.
ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮೂಲೆಯ ಬಿಂದುಗಳುಬಹುಮುಖಿ. ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಅನ್ನು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತೇವೆ
ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು A (3/7, 6/7) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನಾವು ಬಿಂದುವನ್ನು ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
ಸಿಸ್ಟಮ್ನಿಂದ ನಾವು ಬಿ (5/3, 10/3) ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅಂತೆಯೇ, C ಮತ್ತು D ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).
ಉದಾಹರಣೆ 2. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ OR ಮತ್ತು ODE ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ (19.5)-(19.7). OR ಮತ್ತು ODR ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ACFM ಮತ್ತು ABDEKM ಅನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿವೆ (ಚಿತ್ರ 19.6).
ಉದಾಹರಣೆ 3. ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ OR ಮತ್ತು ODE ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ (19.8)-(19.10) (ಚಿತ್ರ 19.7). OR ಅನಿಯಮಿತ ಪಾಲಿಹೆಡ್ರಲ್ ಪ್ರದೇಶ ABC ಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ; ಒಡಿಆರ್ - ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ.
ಉದಾಹರಣೆ 4. ಅಸಮಾನತೆಯ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ OP ಮತ್ತು ODP ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪರಿಹಾರ. ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. OR ಮತ್ತು ODR ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ (Fig. 19.8).
ವ್ಯಾಯಾಮಗಳು
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳ OR ಮತ್ತು ODE ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ
ಪ್ರಮೇಯ. xn ® a ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ .
ಪುರಾವೆ. xn ® a ನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ:
, ಅಂದರೆ , ಅಂದರೆ . ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ. xn ® a ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು (xn) ಸೀಮಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂವಾದದ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು, ಅಂದರೆ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅದರ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ 
ಆದರೂ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ
ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ.
ರಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ವಿವಿಧ ಕಾರ್ಯಗಳುಕಾರ್ಯಗಳ ಸಂಶೋಧನೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಏಕೀಕರಣ, ಪರಿಹಾರಗಳು ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು, ಮಿತಿಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ, ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ.
ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಹೊಸ ವಿಷಯಮತ್ತು ನಮಗೆ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ: "ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ". ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಬದಿಗಳು, ಶೃಂಗದ ಕೋನಗಳು, ಪೀನ ಮತ್ತು ನಾನ್‌ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ. ನಂತರ ನಾವು ಸಾಬೀತು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿಗಳುಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೊತ್ತ ಪ್ರಮೇಯ ಆಂತರಿಕ ಮೂಲೆಗಳುಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಮೊತ್ತ ಪ್ರಮೇಯ ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆಗಳುಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹತ್ತಿರ ಬರುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿಷಯ: ಚತುರ್ಭುಜಗಳು
ಪಾಠ: ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು
ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕಾರಗಳುಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದವುಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ: ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ವಲಯಗಳು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಯತಾಕಾರದ, ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಅಂಕಿಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳು. ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಮಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು - ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು.
ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳುನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ - ಇದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ).
ಅಕ್ಕಿ. 1. ತ್ರಿಕೋನ
ಇದು ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಹೆಸರು ಈಗಾಗಲೇ ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇರಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಪೆಂಟಗನ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ), ಅಂದರೆ. ಐದು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿತ್ರ.
ಅಕ್ಕಿ. 2. ಪೆಂಟಗನ್. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ- ಹಲವಾರು ಅಂಕಗಳನ್ನು (ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು) ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಿ. ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶಿಖರಗಳುಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳು ಪಕ್ಷಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.
ಯಾವುದಾದರು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿವಿಮಾನವನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ: ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ. ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ.
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಪೆಂಟಗನ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಅವರು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿ ಎರಡನ್ನೂ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಪೆಂಟಗನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ).
ಪರಿಗಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ n-gons ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಕೆಲವು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋನಗಳ ಉಪಸ್ಥಿತಿ (n ತುಣುಕುಗಳು).
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿ- ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ.
ಈಗ ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪೀನಮತ್ತು ಅಲ್ಲದ ಪೀನ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. 2 ಪೀನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ. 3 ಪೀನವಲ್ಲದ.
ಅಕ್ಕಿ. 3. ನಾನ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಎಂದು ಕರೆದರು ಪೀನ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವಾಗ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಪೀನವಲ್ಲದಎಲ್ಲರೂ ಇದ್ದಾರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು.
ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಪೆಂಟಗನ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವಾಗ ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. 2 ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಪೀನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವಾಗ. 3 ಅದನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಅದು ಪೀನವಾಗಿಲ್ಲ.
ಆದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪೀನದ ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಎಂದು ಕರೆದರು ಪೀನ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವಾಗ, ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಳಕೆಯ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. 2 ಮತ್ತು 3.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕರ್ಣೀಯಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಎರಡು ಇವೆ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳುಅವರ ಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ: ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ಮೊತ್ತ ಪ್ರಮೇಯ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯ. ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಎನ್-ಗೊನ್).
ಅದರ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಬದಿಗಳು).
ಪುರಾವೆ 1. ನಾವು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. 4 ಪೀನ n-gon.
ಅಕ್ಕಿ. 4. ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎನ್-ಗೊನ್
ಶೃಂಗದಿಂದ ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವರು n-gon ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೃಂಗದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು n-gon ನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, n-gon ನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ:
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಪುರಾವೆ 2. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆ ಸಾಧ್ಯ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ n-gon ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. 5 ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಪಡಿಸಿ.
ಅಕ್ಕಿ. 5.
ನಾವು n-gon ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು n ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ತ್ರಿಕೋನಗಳಿರುವಷ್ಟು ಬದಿಗಳು). ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು ಇದು ಕೋನವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, n-gon ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (n ನಲ್ಲಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು . ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಪ್ರಮೇಯ. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಎನ್-ಗೊನ್).
ಅದರ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಬದಿಗಳು), ಮತ್ತು , ..., ಅವು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.
ಪುರಾವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪೀನ n-gon ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. 6 ಮತ್ತು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ.
ಅಕ್ಕಿ. 6. ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೀನ n-gon
ಏಕೆಂದರೆ ಹೊರಗಿನ ಮೂಲೆಯನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಒಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ 
ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಉಳಿದ ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆಗಳಿಗೆ. ನಂತರ:
ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು n-gon ನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.
ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಾಸ್ತವ, ಒಂದು ಪೀನ n-gon ನ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ 
ಅದರ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ (ಬದಿಗಳು). ಮೂಲಕ, ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ.
ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ
- ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವ್ ಎ.ಡಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಜ್ಯಾಮಿತಿ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2006.
- ಬುಟುಜೋವ್ ವಿ.ಎಫ್., ಕಡೊಮ್ಟ್ಸೆವ್ ಎಸ್.ಬಿ., ಪ್ರಸೊಲೊವ್ ವಿ.ವಿ. ಜ್ಯಾಮಿತಿ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2011.
- ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕ್ ಎ.ಜಿ., ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ., ಯಾಕಿರ್ ಎಸ್.ಎಂ. ಜ್ಯಾಮಿತಿ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ವೆಂಟಾನಾ-ಗ್ರಾಫ್, 2009.
- Profmeter.com.ua ().
- Narod.ru ().
- Xvatit.com ().
ಮನೆಕೆಲಸ
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಪಕ್ಕದವುಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತುದಿಗಳು - ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2
$n$-gon ಎಂಬುದು $n$ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವಿಧಗಳು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3
ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೀನ(ಚಿತ್ರ 1).
ಚಿತ್ರ 1. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇದ್ದರೆ ವಿವಿಧ ಬದಿಗಳುಅದರ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ, ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪೀನವಲ್ಲದ (Fig. 2) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಿತ್ರ 2. ನಾನ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ
ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ 1
ಪೀನ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
ಪುರಾವೆ.
ನಮಗೆ ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೀಡೋಣ $A_1A_2A_3A_4A_5\ಡಾಟ್ಸ್ A_n$. ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು $A_1$ ಅನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ(ಚಿತ್ರ 3).
ಚಿತ್ರ 3.
ಈ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ನಾವು $n-2$ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ಕೋನಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ -ಗೊನ್‌ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು $(180)^0,$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪೀನ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
$2$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಚತುರ್ಭುಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಸುಲಭ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5
ಚತುರ್ಭುಜವು $4$ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 4).
ಚಿತ್ರ 4. ಚತುರ್ಭುಜ
ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕಾಗಿ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಮತ್ತು ಪೀನವಲ್ಲದ ಚತುರ್ಭುಜ. ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳುಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು ಚದರ, ಆಯತ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್, ರೋಂಬಸ್, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು (ಚಿತ್ರ 5).
ಚಿತ್ರ 5. ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು
ಪ್ರಮೇಯ 2
ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು $(360)^0$ ಆಗಿದೆ
ಪುರಾವೆ.
$1$ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಪೀನ-ಗಾನ್‌ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
\[\ಎಡ(4-2\ಬಲ)\cdot (180)^0=(360)^0\]
ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಆಕೃತಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಿರುವ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಪಕ್ಕದವುಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ.
ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ತುದಿಗಳು - ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2
$n$-gon ಎಂಬುದು $n$ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವಿಧಗಳು
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3
ಒಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಯಾವುದೇ ರೇಖೆಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೀನ(ಚಿತ್ರ 1).
ಚಿತ್ರ 1. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 4
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪೀನವಲ್ಲದ (ಚಿತ್ರ 2) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಚಿತ್ರ 2. ನಾನ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ
ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸೋಣ.
ಪ್ರಮೇಯ 1
ಪೀನ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
ಪುರಾವೆ.
ನಮಗೆ ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ನೀಡೋಣ $A_1A_2A_3A_4A_5\ಡಾಟ್ಸ್ A_n$. ಅದರ ಶೃಂಗವನ್ನು $A_1$ ಅನ್ನು ಈ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸೋಣ (ಚಿತ್ರ 3).
ಚಿತ್ರ 3.
ಈ ಸಂಪರ್ಕದೊಂದಿಗೆ ನಾವು $n-2$ ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವುಗಳ ಕೋನಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ -ಗೊನ್‌ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು $(180)^0,$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಪೀನ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಚತುರ್ಭುಜದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ
$2$ ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಚತುರ್ಭುಜದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುವುದು ಸುಲಭ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 5
ಚತುರ್ಭುಜವು $4$ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 4).
ಚಿತ್ರ 4. ಚತುರ್ಭುಜ
ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜ ಮತ್ತು ಪೀನವಲ್ಲದ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ಉದಾಹರಣೆಗಳೆಂದರೆ ಚದರ, ಆಯತ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್, ರೋಂಬಸ್, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ (ಚಿತ್ರ 5).
ಚಿತ್ರ 5. ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜಗಳು
ಪ್ರಮೇಯ 2
ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು $(360)^0$ ಆಗಿದೆ
ಪುರಾವೆ.
$1$ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ, ಪೀನ-ಗಾನ್‌ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ
\[(n-2)\cdot (180)^0\]
ಆದ್ದರಿಂದ, ಪೀನ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
\[\ಎಡ(4-2\ಬಲ)\cdot (180)^0=(360)^0\]
ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂತಿಮ ಅನುಕ್ರಮವಿಭಾಗಗಳು, ಅಂದರೆ ಮೊದಲ ವಿಭಾಗದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಎರಡನೆಯ ಅಂತ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಎರಡನೇ ವಿಭಾಗದ ಇನ್ನೊಂದು ತುದಿಯು ಮೂರನೆಯ ಅಂತ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ರೂಪಿಸುವ ವಿಭಾಗಗಳು ಮುರಿದ ರೇಖೆ, ಕೊಂಡಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಕ್ಕದ ಭಾಗಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ತುದಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಚ್ಚಲಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಪಾಲಿಲೈನ್ ಸ್ವತಃ ಛೇದಿಸಬಹುದು, ಸ್ವತಃ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಸ್ವತಃ ವಿಶ್ರಾಂತಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮುರಿದ ರೇಖೆಯು ಅಂತಹ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಳ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2.ಸಮತಲದ ಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ಸರಳ ಮುಚ್ಚಿದ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಮುರಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಗಡಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಲಿಂಕ್ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಕ್ಷಗಳುಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಲಿಂಕ್‌ಗಳ ತುದಿಗಳು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳಾಗಿವೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು 180°ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಂಶಗಳುಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ.
ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಕರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ n-gon n-2 ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಬಹುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 3.ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೀನ, ಅದರ ಬದಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಅದು ಮಲಗಿದ್ದರೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಾನ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಆಸ್ತಿ 1.ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು 180°ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.
ಪುರಾವೆ: ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಯಾವುದೇ ಕೋನ A ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಬದಿಯು A ಶೃಂಗದಿಂದ ಬರುತ್ತದೆ. l ಪಾರ್ಶ್ವವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿರಲಿ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ P ಪೀನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು l ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋನ A ನೇರ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ l. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಕೋನ A ಬಿಚ್ಚಿದ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ÐA< 180°.
ಆಸ್ತಿ 2.ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವು ಆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿದೆ.
ಪುರಾವೆ: ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ P ಯ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಅಂಕಗಳನ್ನು M ಮತ್ತು N ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ P ಹಲವಾರು ಅರ್ಧ-ಸಮತಲಗಳ ಛೇದಕವಾಗಿದೆ. MN ವಿಭಾಗವು ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್‌ನಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಇದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ R ನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.
ಆಸ್ತಿ 3.ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು (n – 2)∙180°.
ಪುರಾವೆ: ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ P ಒಳಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು O ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಪಡಿಸಿ. N ತ್ರಿಕೋನಗಳು ರೂಪುಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 180 ° ಆಗಿದೆ. O ಶೃಂಗದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು 360° = 2∙180° ವರೆಗೆ ಕೂಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°.
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಚತುರ್ಭುಜ, ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳುಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಇವುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ನಾಲ್ಕು ಶೃಂಗಗಳು, ನಾಲ್ಕು ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ತುದಿಗಳು, ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಕ್ಕದ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ - ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳುಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ. ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು 360 ° ಆಗಿದೆ.
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.
ಆಸ್ತಿ 1.ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನ ಮತ್ತು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ವಿರುದ್ಧ ಕೋನಗಳುಜೋಡಿಯಾಗಿ ಸಮಾನ.
ಪುರಾವೆ: ಕರ್ಣೀಯ AC ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಎಸಿ - ಸಾಮಾನ್ಯ;
РВАС = РАСD (ಎಬಿ II BC ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಸಿಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮಲಗಿದೆ);
РВСА = РСАD (ಎಡಿ II BC ಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ AC);
Þ DABC = DADC (2 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ).
AB = CD; BC = AD; РВ = РD.
RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Þ РА = РС.
ಆಸ್ತಿ 2.ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಬದಿಯ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳು 180 ° ವರೆಗೆ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ.
ಪುರಾವೆ:
РВ + РА =180° (ಕ್ರಿ.ಪೂ. II AD ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ AB ಯೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ).
ÐB + ÐС =180° (AB II CD ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ BC ಯೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ).
ÐD + ÐC =180° (BC II AD ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ CD ಯೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ).
ÐA + ÐD =180° (AB II CD ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ AD ಯೊಂದಿಗೆ ಆಂತರಿಕ ಏಕಪಕ್ಷೀಯ).
ಆಸ್ತಿ 3.ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಪುರಾವೆ: O ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುವ AC ಮತ್ತು BD ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ.
AB = CD (ಮೊದಲ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರಕಾರ);
ÐABO = ÐODC (ಎಬಿ II CD ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ BD ಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆ);
РБАО = РОСD (ಎಬಿ II ಸಿಡಿ ಮತ್ತು ಸೆಕೆಂಟ್ ಎಸಿಯಲ್ಲಿ ಆಂತರಿಕ ಅಡ್ಡಲಾಗಿ ಮಲಗಿರುತ್ತದೆ);
Þ DABO = DODC (2 ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿ).
BO = OD; AO = OC.
ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು.
ಚಿಹ್ನೆ 1.ಚತುರ್ಭುಜದ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಚತುರ್ಭುಜವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವಾಗಿದೆ.
ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಎಬಿಸಿಡಿ - ಚತುರ್ಭುಜ; AD II BC,