ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ. ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೊತ್ತ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಬೇಕು ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ, ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ, ನಿರಂತರ ಮತ್ತು ಅನಿಯಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ವಿಭಿನ್ನ ಕಾರ್ಯ. ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದೇ? ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯ f(x) ಕೆಲವು ಪವರ್ ಸರಣಿಗಳ ಮೊತ್ತವೇ? ಅಂದರೆ, ಯಾವ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಬಹುದು? ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿ? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯು ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಸರಿಸುಮಾರು ಬದಲಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ, ಅಂದರೆ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ. ಈ ಕಾರ್ಯ ಬದಲಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಆಗಿದೆ ಸರಳ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ- ಒಂದು ಬಹುಪದ - ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಸಹ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x) ಗಾಗಿ (α - R; x 0 + R) ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ (n+1) ನೇ ಕ್ರಮದವರೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ) ಕೆಲವು ಪಾಯಿಂಟ್ x = α, ಇದು ನಿಜವೇ ಸೂತ್ರ:

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಬ್ರೂಕ್ ಟೇಲರ್ ಹೆಸರಿಡಲಾಗಿದೆ. ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸುವ ನಿಯಮ:

1. ಮೊದಲ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ... ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
2. x=0 ನಲ್ಲಿನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
3. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, ತದನಂತರ ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.
4. ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ (-R;R), ಅಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರದ ಶೇಷ

R n (x) -> 0 ನಲ್ಲಿ n -> ಅನಂತತೆ. ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಅದರಲ್ಲಿರುವ f(x) ಕಾರ್ಯವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಾವು ಈಗ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ.

1. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲನೆಯದು f(x) = e x ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು f (k) (x) = e x , ಅಲ್ಲಿ k ಎಲ್ಲಾ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಪರ್ಯಾಯ x = 0. ನಾವು f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ... ಮೇಲಿನದನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, e x ಸರಣಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

2. f(x) = sin x ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ. ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರ ಕಾರ್ಯವು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಕ್ಷಣವೇ ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸೋಣ, ಜೊತೆಗೆ, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), ಅಲ್ಲಿ k ಯಾವುದೇ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಅಂದರೆ, ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, f(x) = sin x ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ನಾವು ಬರಬಹುದು:

3. ಈಗ f(x) = cos x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಇದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮುಖ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಾವು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿವೆ. ಈಗ ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗಳು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೆಲಸದ ಪ್ರಮುಖ ಭಾಗವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ.

1. ಮೊದಲನೆಯದು f(x) = ln(1+x) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಹಿಂದಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಂತೆ, ನೀಡಲಾದ f(x) = ln(1+x) ಗಾಗಿ ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಅಂತಹ ಮಾದರಿಯ f(x) = ln(1+x) ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

2. ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು, ನಮ್ಮ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದು f(x) = arctan x ಗಾಗಿ ಸರಣಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ x ಗೆ [-1;1] ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ:

ಅಷ್ಟೇ. ಈ ಲೇಖನವು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಬಳಸಿದ ಟೇಲರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ.

16.1 ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ ಮತ್ತು

ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್

ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು ತೋರಿಸೋಣ
, ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ
ಅನೇಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ:

ನಂತರ ನೀವು ಈ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
. ನಂತರ
.

ಕಾರ್ಯದ ಮೊದಲ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ನಲ್ಲಿ
:
.

ಎರಡನೇ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನಲ್ಲಿ
:
.

ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಎನ್ಒಮ್ಮೆ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ರೂಪದ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ:

,

ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ
ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ
.

ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿನಲ್ಲಿ
:

ಟೇಲರ್ (ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್) ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಭಾಗವನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ತ್ಯಜಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು ಮತ್ತು ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ
. ನಂತರ ಕಾರ್ಯ
ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು ಎನ್ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು
ಮತ್ತು ಉಳಿದ
:,

.

ಉಳಿದವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ
ವಿವಿಧ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪದಲ್ಲಿದೆ:

, ಎಲ್ಲಿ
.
.

ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬರೆಯುವ ಸಲುವಾಗಿ
ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ:

1) ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ (ಟೇಲರ್) ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

2) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

3) ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಪ್ರಮೇಯ1 (ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖಕ್ಕೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿ). ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಅನುಮತಿಸಿ
. ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಲು
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
, ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪೂರೈಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ:
ನಿಗದಿತ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ.

ಪ್ರಮೇಯ 2.ಕಾರ್ಯದ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ
ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿದೆ ಎಂ, ಅದು
, ನಂತರ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ
ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ1 . ಪಾಯಿಂಟ್ ಸುತ್ತ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ
ಕಾರ್ಯ.

ಪರಿಹಾರ.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶ
.

ಉದಾಹರಣೆ2 . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಒಂದು ಹಂತದ ಸುತ್ತ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ
.

ಪರಿಹಾರ:

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸತತವಾಗಿ ಇಡೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ
.

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದಕ್ಕೂ ಈ ಮಿತಿಯು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
.

ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ:

.

ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
.

ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ಎ) ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

ಬಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಗಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ;

ಸಿ) ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ 3.ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ
.

ನಂತರ ಸರಣಿಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಗುಣಾಂಕಗಳು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ ಎನ್.ಕಂಡುಬರುವ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪಡೆಯೋಣ:

ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ , ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ
ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ .

ಉದಾಹರಣೆ4 . ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ
.

ಪರಿಹಾರ.

:

ಸಮ ಕ್ರಮದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ
, ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಬೆಸ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿವೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯೋಣ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಡಿ'ಅಲೆಂಬರ್ಟ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಪ್ರಕಾರ:

ಯಾರಿಗಾದರೂ . ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಈ ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ5 .
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸರಣಿಯ ಗುಣಾಂಕಗಳು:
ಮತ್ತು
, ಆದ್ದರಿಂದ:

ಹಿಂದಿನ ಸಾಲಿನಂತೆಯೇ, ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶ
. ಸರಣಿಯು ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಏಕತೆಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ
ಬೆಸ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಸ ಮತ್ತು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆ, ಕಾರ್ಯ
- ಸಮ ಮತ್ತು ಸಮಾನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಣೆ.

ಉದಾಹರಣೆ6 . ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ:
.

ಪರಿಹಾರ.

ನಲ್ಲಿ ಫಂಕ್ಷನ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ
:

ಇದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು:

ನಾವು ಈ ಗುಣಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯೋಣ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
. ನಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ
ಮತ್ತು
ಘಾತವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಒಮ್ಮುಖವಾಗದೇ ಇರಬಹುದು
.

ಅಧ್ಯಯನದ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಲು
, ಅಂದರೆ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತ
ನಲ್ಲಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ7 . ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ
.

ಪರಿಹಾರ.

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು, ನಾವು ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (ಅದರ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಬಹುದು), ಈ ಸರಣಿಯ ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:
,

ಅಂದರೆ, ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ
. ಮಧ್ಯಂತರದ ತುದಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖವನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸೋಣ. ನಲ್ಲಿ

. ಈ ಸರಣಿಯು ಸಾಮರಸ್ಯದ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಲ್ಲಿ
ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
.

ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ನ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ
.

16.2 ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು, ಇತರ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಜ್ಞಾನದ ವಿವಿಧ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಸಿದ್ಧಾಂತ ಮತ್ತು ಗಣಿತದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ಶಕ್ತಿಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಅವುಗಳ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಧ್ಯಯನಕ್ಕೆ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಮುಖ್ಯ ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವ ಪ್ರಶ್ನೆ ಎನ್ಸದಸ್ಯರು.

ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಚಿಹ್ನೆ-ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ;

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಚಿಹ್ನೆಯ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಕಾರ್ಯ ಮಾಡಲಿ
ಪರ್ಯಾಯ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ಮಾನದಂಡಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ, ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅದರ ಮೊದಲನೆಯ ಮೊತ್ತದಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ಎನ್ನಿಯಮಗಳು, ನಂತರ ಸಂಪೂರ್ಣ ದೋಷವು ಈ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ:
.

ಉದಾಹರಣೆ8 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
0.0001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ
, ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು:

ನಾವು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ, ನಂತರ: .

ಮೂರನೇ ಅವಧಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆ:

ನಿಗದಿತ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
ಸರಣಿಯ ಎರಡು ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಸಾಕು, ಅಂದರೆ

.

ಹೀಗೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ9 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ನಾವು ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಬರೆಯೋಣ
ಹಾಗೆ:
.

ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ
,

ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ
. ಆದ್ದರಿಂದ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು
ಸರಣಿಯ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಸಾಕು.

ಅಥವಾ
.

ಧನಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಉದಾಹರಣೆ10 . ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ 0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಒಂದು ಫಂಕ್ಷನ್‌ಗಾಗಿ ಸಾಲಾಗಿ
ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ
. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮೊದಲನೆಯ ಮೊತ್ತದೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುವಾಗ ಉಂಟಾಗುವ ದೋಷವನ್ನು ನಾವು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ ಸದಸ್ಯರು. ನಾವು ಸ್ಪಷ್ಟ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

ಅಂದರೆ 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಎನ್ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಂತೆ:
ಅಥವಾ
.

ಯಾವಾಗ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಎನ್= 6:
.

ಆದ್ದರಿಂದ,
.

ಉದಾಹರಣೆ11 . ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ
0.0001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ.

ಪರಿಹಾರ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ
, ಆದರೆ ಈ ಸರಣಿಯು ಬಹಳ ನಿಧಾನವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು 9999 ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಅವಶ್ಯಕತೆಯಿದೆ! ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನಿಯಮದಂತೆ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ
, ಇದು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ
.

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ
ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ. ಅವಕಾಶ
, ನಂತರ .

ಆದ್ದರಿಂದ,
,

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವ ಸಲುವಾಗಿ
ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ, ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:
.

ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಭಾಗಗಳು
ಅದನ್ನು ತ್ಯಜಿಸೋಣ. ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡೋಣ. ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ

ಅಥವಾ
.

ಹೀಗಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ, ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ 9999 ರ ಬದಲಿಗೆ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಸಾಕು.
.

ಸ್ವಯಂ ರೋಗನಿರ್ಣಯದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು

1. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಎಂದರೇನು?

2. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯು ಯಾವ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ?

3. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

4. ಮುಖ್ಯ ಕಾರ್ಯಗಳ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

5. ಪರಿಗಣಿಸಲಾದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

6. ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿನ ದೋಷವನ್ನು ಹೇಗೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು?

ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಸರಣಿಯ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಮೀಸಲಾದ ವಿಭಾಗದಿಂದ ಕೇಂದ್ರ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಆಕ್ರಮಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಲಾಗಿದೆ: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಅಂತಹ ಶಕ್ತಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು

ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ
, ಆ.

= ..

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವ ಸಮಸ್ಯೆ.

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಜನೆಗೆ ಅಗತ್ಯವಾದ ಸ್ಥಿತಿಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಾರಿ - ಇದು ಒಮ್ಮುಖ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ, ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್‌ನಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದನ್ನು ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್ ಆಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ?ಹಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು? ಸಮಸ್ಯೆಯ ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಕಾರ್ಯ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ
ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು X 0 :

= .. (*)

ಎಲ್ಲಿ ಎ 0 ,ಎ 1 ,ಎ 2 ,...,ಎ ಪ ,... - ಅಜ್ಞಾತ (ಇನ್ನೂ) ಗುಣಾಂಕಗಳು.

ನಾವು ಸಮಾನತೆ (*) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹಾಕೋಣ x = x 0 , ನಂತರ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ನಾವು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿ (*) ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸೋಣ

= ..

ಮತ್ತು ಇಲ್ಲಿ ನಂಬಿಕೆ x = x 0 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

.

ಮುಂದಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

= ..

ನಂಬಿಕೆ x = x 0 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ
.

ನಂತರ ಪ- ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಬಹು ವ್ಯತ್ಯಾಸ

ಕೊನೆಯ ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ x = x 0 , ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
, ಎಲ್ಲಿ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಗುಣಾಂಕಗಳು ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ

,
,
, …,
,….,

ಸರಣಿ (*) ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ
.

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಿದ್ದೇವೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದಾದರೆ (x - x 0 ), ನಂತರ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ.

ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಆದೇಶದ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ x = x 0 . ಆದರೆ ಕಾರ್ಯ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಣಿಯ ನಡುವೆ ಸಮಾನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಇರಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮಾನತೆಯು ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಅರ್ಥವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಪಡೆದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಬೇರೆಯಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಮೊತ್ತವು ಮೂಲ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

3.2. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ಕೊಳೆಯುವಿಕೆಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ.

ಕಾರ್ಯ ವೇಳೆ
ಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ 0 ವರೆಗೆ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಎನ್+ 1) ಕ್ರಮವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ, ನಂತರ ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆಸೂತ್ರ ಟೇಲರ್

ಎಲ್ಲಿಆರ್ ಎನ್ (X)-ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರದ ಉಳಿದ ಪದ - ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ರೂಪ)

ಎಲ್ಲಿ ಚುಕ್ಕೆξ x ಮತ್ತು x ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ 0 .

ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಮತ್ತು ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರದ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ: ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವು ಸೀಮಿತ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪ -ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಸರಣಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಎಸ್(X) ಭಾಗಶಃ ಮೊತ್ತಗಳ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಎಸ್ ಪ (X) ಕೆಲವು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ X:

.

ಇದರ ಪ್ರಕಾರ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಸರಣಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು XX

ನಾವು ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅಲ್ಲಿ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸು
ನಾವು ಪಡೆಯುವ ದೋಷವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ f(X) ಬಹುಪದೀಯ ಎಸ್ ಎನ್ (X).

ಒಂದು ವೇಳೆ
, ಅದು
,ಅವು. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ವೇಳೆ
, ಅದು
.

ಹೀಗೆ ನಾವು ಸಾಬೀತು ಮಾಡಿದೆವು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯ ಮಾನದಂಡ.

ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿf(x) ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ, ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಇದು ಅವಶ್ಯಕ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ
, ಎಲ್ಲಿಆರ್ ಎನ್ (X) ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ.

ರೂಪಿಸಿದ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಒಬ್ಬರು ಪಡೆಯಬಹುದು ಸಾಕಷ್ಟುಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು.

ಒಳಗೆ ಇದ್ದರೆಪಾಯಿಂಟ್ x ನ ಕೆಲವು ನೆರೆಹೊರೆ 0 ಕಾರ್ಯದ ಎಲ್ಲಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ M ಗೆ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ≥ 0, ಅಂದರೆ

, ಟಿo ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ಕಾರ್ಯ ವಿಸ್ತರಣೆ f(X) ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ X 0 :

1. ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು f(X):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (ಎನ್) (X),…

2. ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), ಎಫ್"(x 0 ), f’”(x 0 ), ಎಫ್ (ಎನ್) (X 0 ),…

3. ನಾವು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

4. ನಾವು ಸಾಕಷ್ಟು ಷರತ್ತುಗಳ ನೆರವೇರಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಅದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತೇವೆ Xಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶದಿಂದ, ಉಳಿದ ಅವಧಿ ಆರ್ ಎನ್ (X) ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ
ಅಥವಾ
.

ಈ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಅಥವಾ ನೇರ ವಿಭಜನೆ.

"ಎಫ್(x) ಕ್ರಿಯೆಯ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ"- ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ನಿಖರವಾಗಿ ಧ್ವನಿಸುತ್ತದೆ, ಕೆಲವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇದನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇತರರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ; ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವ ತಂತ್ರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಉತ್ತಮವಾಗಿರಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 4.7 x ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಕ್ರಿಯೆಯ ಛೇದವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ

ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.
ಮೊದಲ ಪದವು ಶೂನ್ಯ f (0) = 1/3 ನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.
ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಆರ್ಡರ್‌ಗಳ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ f (x) ಮತ್ತು ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು x=0 ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ




ಮುಂದೆ, 0 ನಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿನ ಬದಲಾವಣೆಗಳ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು n ನೇ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಛೇದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತೇವೆ

ನಾವು ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು x ನ ಶಕ್ತಿಗಳ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಇಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ.
ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಳು ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಾಮರ್ಥ್ಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯದಲ್ಲಿ ಉನ್ನತ ಕ್ರಮಾಂಕದ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ. ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹೇಗೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೊಳಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ತಿಳಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.10 ಕ್ರಿಯೆಯ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ನೀವು ಊಹಿಸಿದಂತೆ, ನಾವು ಕೊಸೈನ್ ಅನ್ನು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅನಂತವಾದ ಪ್ರಮಾಣಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೂಲಕ ಕೊಸೈನ್‌ನ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು x ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸರಣಿಯನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನಾವು ಕನಿಷ್ಟ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.16 x ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ:
7/(12-x-x^2)
ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಈ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಸರಳ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೂಲಕ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.
ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನಾವು ಈಗ ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಲುಪುತ್ತೇವೆ.
ಮುಂದೆ ನಾವು ಛೇದಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ

ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪದಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಇದು ಉಳಿದಿದೆ. "x" ನ ಅದೇ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪದಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ, ನಾವು ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ



ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಗೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಕೊನೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಕಷ್ಟ, ಏಕೆಂದರೆ ಜೋಡಿಯಾಗಿರುವ ಮತ್ತು ಜೋಡಿಯಾಗದ ಸೂಚ್ಯಂಕಗಳಿಗೆ (ಡಿಗ್ರಿಗಳು) ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು ಕಷ್ಟ, ಆದರೆ ಅಭ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಅದನ್ನು ಉತ್ತಮಗೊಳಿಸುತ್ತೀರಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.18 ಕ್ರಿಯೆಯ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು: ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಮೆಕ್‌ಲಾರೆನ್‌ನ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ:

ಎರಡೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಪದವನ್ನು ಪದದಿಂದ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸಂಪೂರ್ಣ ಸರಣಿಯ ಪದವನ್ನು ಅವಧಿಯ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು x ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯಾಗಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ನಡುವೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯು ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಸಮಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸರಣಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುವುದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಸುಲಭವಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತಮವಾದ, ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗದಿರುವ ಬಗ್ಗೆ ಚಿಂತಿಸಬೇಡಿ.

ಉದಾಹರಣೆ 4.28 ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯೋಣ

ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್‌ನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು x ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ

ಅಂತಿಮ ಕನ್ವಲ್ಯೂಷನ್ ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಮಾಡುವಾಗ ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ಇದೇ ರೀತಿಯದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. ಸತತವಾಗಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸುವ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಇನ್‌ಪುಟ್ ಪಾಠ ಪೂರ್ಣಗೊಂಡಿದೆ. ಇತರ ಸಮಾನವಾದ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಭಜನೆ ಯೋಜನೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗುವುದು.

ಫಂಕ್ಷನ್ f(x) ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು:
,
ಎಲ್ಲಿ ಆರ್ ಎನ್- ಉಳಿದ ಪದ ಅಥವಾ ಸರಣಿಯ ಶೇಷ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ, ಇದನ್ನು ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು:
, ಅಲ್ಲಿ x ಸಂಖ್ಯೆಯು x ಮತ್ತು a ನಡುವೆ ಇರುತ್ತದೆ.

f(x)=

ಪಾಯಿಂಟ್ x 0 = ನಲ್ಲಿ
ಸಾಲು ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ 3 4 5 6 7
ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m

ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು:

ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ವೇಳೆ X ಆರ್ ಎನ್→0 ನಲ್ಲಿ ಎನ್→∞, ನಂತರ ಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರವು ಈ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ:
,
ಹೀಗಾಗಿ, ಎಫ್(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ x ಅನ್ನು ಪರಿಗಣನೆಯಡಿಯಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:
1) ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಆದೇಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ;
2) ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಸರಣಿಯು ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವಾಗ a = 0 ನಾವು ಎಂಬ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಬಳಿ:
,
ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಕಾರ್ಯಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆ:
ಘಾತೀಯ ಕಾರ್ಯಗಳು
, R=∞
ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
actgx ಕಾರ್ಯವು x ನ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿಸ್ತರಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ctg0=∞
ಹೈಪರ್ಬೋಲಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು


ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಕಾರ್ಯಗಳು
, -1
ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿ
.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ f(x)= 2X.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅದರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ X=0
f(x) = 2X, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2X ln2, f"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2Xಎಲ್ಎನ್ 2 2, f""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2Xಎಲ್ಎನ್ ಎನ್ 2, f(n)( 0) = 2 0 ಎಲ್ಎನ್ ಎನ್ 2=ln ಎನ್ 2.
ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ತ್ರಿಜ್ಯವು ಅನಂತತೆಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು -∞ ಗೆ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ<X<+∞.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅಧಿಕಾರದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ ( X+4) ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ f(x)=ಇ X.
ಪರಿಹಾರ. ಕ್ರಿಯೆಯ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಇ Xಮತ್ತು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅವರ ಮೌಲ್ಯಗಳು X=-4.
f(x)= ಇ X, f(-4) = ಇ -4 ;
f"(x)= ಇ X, f"(-4) = ಇ -4 ;
f""(x)= ಇ X, f""(-4) = ಇ -4 ;
…
f(n)(x)= ಇ X, f(n)( -4) = ಇ -4 .
ಆದ್ದರಿಂದ, ಕಾರ್ಯದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯು ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಈ ವಿಸ್ತರಣೆಯು -∞ ಗೆ ಸಹ ಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ<X<+∞.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ f(x)= ಎಲ್ಎನ್ Xಅಧಿಕಾರದ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ( X- 1),
(ಅಂದರೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ X=1).
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
f(x)=lnx , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಬಯಸಿದ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

d'Alembert's ಪರೀಕ್ಷೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಸರಣಿಯು ½x-1½ ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು<1 . Действительно,

½ ವೇಳೆ ಸರಣಿಯು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ X- 1½<1, т.е. при 0<X<2. При X=2 ನಾವು ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡದ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಯಾವಾಗ x=0 ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವು ಅರ್ಧ-ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿದೆ (0;2].

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ (1) ನಾವು x ಅನ್ನು -x 2 ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:
, -∞

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ
ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ (4), ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ x ಬದಲಿಗೆ –x ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: ln(1+x)-ln(1-x) = -
ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯುವುದು, ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಪದಗಳನ್ನು ತರುವುದು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ
. ಈ ಸರಣಿಯು ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ (-1;1) ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಎರಡು ಸರಣಿಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಈ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ .
ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (1)-(5) ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ( ಹಾ) ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಒಂದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು (1)-(5) ಪಡೆಯಲು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕಾರ್ಯದಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅದರ ಬದಲಿಗೆ Xವೆಚ್ಚ ಕೆ ( ಹಾ) m , ಇಲ್ಲಿ k ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ, m ಎಂಬುದು ಧನಾತ್ಮಕ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿದೆ. ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಾವಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಲು ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಟಿ=ಹಾಮತ್ತು ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ t ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.

ಈ ವಿಧಾನವು ಪವರ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ರಿಯೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯ ಮೇಲೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾರವೆಂದರೆ ಅದೇ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಿದರೂ ಒಂದೇ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 5a. ಮ್ಯಾಕ್ಲೌರಿನ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ ಮತ್ತು ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಮೊದಲು ನಾವು 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ಪ್ರಾಥಮಿಕಕ್ಕೆ:

ಭಿನ್ನರಾಶಿ 3/(1-3x) ಅನ್ನು 3x ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ವೇಳೆ |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

ಒಮ್ಮುಖ ಪ್ರದೇಶದೊಂದಿಗೆ |x|< 1/3.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 6. x = 3 ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲಿನಂತೆ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು X=3. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ (5):
=
ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಅಥವಾ -3 ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7. ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ln(x+2) ಕಾರ್ಯದ ಅಧಿಕಾರಗಳಲ್ಲಿ (x -1) ಬರೆಯಿರಿ.
ಪರಿಹಾರ.


ಸರಣಿಯು , ಅಥವಾ -2 ನಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ< x < 5.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 8. f(x)=sin(πx/4) ಕಾರ್ಯವನ್ನು x =2 ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿ ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ. t=x-2 ಬದಲಿಯನ್ನು ಮಾಡೋಣ:

ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ (3), ಇದರಲ್ಲಿ ನಾವು x ಬದಲಿಗೆ π / 4 t ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು -∞ ನಲ್ಲಿ ನೀಡಿದ ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞ಹೀಗಾಗಿ,
, (-∞

ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು

ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರ ಸಹಾಯದಿಂದ, ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ತ್ರಿಕೋನಮಿತಿಯ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಭೇದಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸುವಾಗ ಸರಣಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಕಾರ್ಯದ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು X, ಸೂಚಿಸಿದ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ, ಮೊದಲನೆಯದು ಅದರ ವಿಸ್ತರಣೆಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ ಎನ್ಸದಸ್ಯರು ( ಎನ್- ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ), ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಪದಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಪಡೆದ ಅಂದಾಜು ಮೌಲ್ಯದ ದೋಷವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಉಳಿದ rn (x) ಅನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ತಂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ:

• ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಗಾಗಿ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯದಲ್ಲಿ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದವು ಮೊದಲ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಪದವನ್ನು ಮೀರುವುದಿಲ್ಲ.
• ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಣಿಯು ನಿರಂತರ ಚಿಹ್ನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ತಿರಸ್ಕರಿಸಿದ ಪದಗಳಿಂದ ಕೂಡಿದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
• ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಟೇಲರ್ ಸರಣಿಯ ಉಳಿದವನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು: a X ).

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1. ln(3) ಅನ್ನು ಹತ್ತಿರದ 0.01 ಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. x=1/2 ಇರುವ ವಿಸ್ತರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ (ಹಿಂದಿನ ವಿಷಯದ ಉದಾಹರಣೆ 5 ನೋಡಿ):

ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳ ನಂತರ ನಾವು ಉಳಿದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತಿರುವ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಈ ಶೇಷವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಪಡೆಯಬಹುದು

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2. ಹತ್ತಿರದ 0.0001 ಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ.
ಪರಿಹಾರ. ದ್ವಿಪದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸೋಣ. 5 3 130 ಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಘನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ 130 ಅನ್ನು 130 = 5 3 +5 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ.



ಲೈಬ್ನಿಜ್ ಮಾನದಂಡವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಪರ್ಯಾಯ ಸರಣಿಯ ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನಿಖರತೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ:
, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಮತ್ತು ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದು.
ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಅನೇಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅಥವಾ ಅಸಮರ್ಪಕ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಅನ್ವಯವು ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದರೊಂದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆಂಟಿಡೆರಿವೇಟಿವ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ ಎಂದು ಸಹ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಅನಗತ್ಯವಾಗಿ ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಫಂಕ್ಷನ್ ಅನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ ಸರಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಪೂರ್ವನಿರ್ಧರಿತ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಸಮಗ್ರತೆಯ ಅಂದಾಜು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ಸಾಧ್ಯ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 3. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ 0 1 4 ಸಿನ್ (x) x ಅನ್ನು 10 -5 ರೊಳಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
ಪರಿಹಾರ. ಅನುಗುಣವಾದ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ. "ಶಾಶ್ವತವಲ್ಲದ ಅವಿಭಾಜ್ಯ" ವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ನ್ಯೂಟನ್-ಲೀಬ್ನಿಜ್ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅವಿಭಾಜ್ಯವನ್ನು ಸರಿಸುಮಾರು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ.
ಪಾಪದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪದದಿಂದ ಪದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು Xಮೇಲೆ X, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸರಣಿಯ ಪದವನ್ನು ಪದದ ಮೂಲಕ ಸಂಯೋಜಿಸುವುದು (ಇದು ಸಾಧ್ಯ, ಏಕೆಂದರೆ ಏಕೀಕರಣದ ಮಿತಿಗಳು ಈ ಸರಣಿಯ ಒಮ್ಮುಖದ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ), ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸರಣಿಯು ಲೀಬ್ನಿಜ್‌ನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಮೊದಲ ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು.
ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ
.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 4. ಅವಿಭಾಜ್ಯ ∫ 0 1 4 e x 2 ಅನ್ನು 0.001 ನಿಖರತೆಯೊಂದಿಗೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.
ಪರಿಹಾರ.
. ಫಲಿತಾಂಶದ ಸರಣಿಯ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯ ನಂತರ ನಾವು ಉಳಿದವನ್ನು ತ್ಯಜಿಸಬಹುದೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
0.0001<0.001. Следовательно, .