ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಸಂಬಂಧಿತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ a ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದನ್ನು "ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ" ಪುಟದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ .
(xn), ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ವೇಳೆ ε > 0
ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ε ಇದೆ ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ n > N ε ಅಸಮಾನತೆ
| x n - a|< ε
.
ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
.
ಅಥವಾ ನಲ್ಲಿ.
ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸೋಣ:
;
;
.
ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು (a - ε, a + ε) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ε - ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ನೆರೆಹೊರೆ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮ. ಅನುಕ್ರಮ ಎಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಗೆ a. ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಭಿನ್ನವಾದ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಇದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಆಯ್ಕೆಮಾಡುವ ಬಿಂದುವಿನ ε-ನೆರೆಹೊರೆ ಯಾವುದೇ ಇರಲಿ, ಅದರ ಹೊರಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಒಂದು ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ (ಖಾಲಿ ಸೆಟ್) . ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ε-ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ε ನೀಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಆ ಮೂಲಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ . ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು , ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ε - ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ. ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಬೇಕಾದರೂ ಇರಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ε-ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊರಗೆ ಅಂಶಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಇರುವಂತಿಲ್ಲ - ಅಂದರೆ, ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆ.
ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಏಕತಾನತೆಯಲ್ಲದ ಸೊನ್ನೆಗೆ ಒಲವು ತೋರಬಹುದು: ಇದು ಸ್ಥಳೀಯ ಗರಿಷ್ಠತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಹೆಚ್ಚಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮಾಗಳು, n ಹೆಚ್ಚಾದಂತೆ, ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು ತೋರಬೇಕು (ಬಹುಶಃ ಏಕತಾನವಾಗಿ ಅಲ್ಲ).
ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕತೆಯ ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ, ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:
(1)
.
ಒಂದು ಮಿತಿಯಲ್ಲ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಈಗ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂವಾದ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಯಾವುದೇ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ n ಗೆ ಇದ್ದರೆ ಅಂತಹ ನೈಸರ್ಗಿಕ m ಇರುತ್ತದೆ > ಎನ್, ಏನು
.
ತಾರ್ಕಿಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಹೇಳಿಕೆಯನ್ನು ಬರೆಯೋಣ.
(2)
.
ಎಂದು ಹೇಳಿಕೆ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಅಂದರೆ
ನೀವು ಅಂತಹ ε - ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಅದರ ಹೊರಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರುತ್ತವೆ.
ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶದೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡೋಣ
(3)
ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಬಿಂದುವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ε ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ - ε = ನೊಂದಿಗೆ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ 1
. ಇದು ಮಧ್ಯಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ (-1, +1)
. ಸಮ n ನೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿವೆ. ಆದರೆ ಬೆಸ n ನೊಂದಿಗೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಈ ಮಧ್ಯಂತರದ ಹೊರಗಿವೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು x n ಅನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ > 2
. ಬೆಸ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನಂತವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊರಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ.
ಈಗ ನಾವು ಇದನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (2). ಬಿಂದುವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಲ್ಲ (3), ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ n ಗಾಗಿ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವ ಬೆಸವಿದೆ
.
ಯಾವುದೇ ಪಾಯಿಂಟ್ a ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿರಬಾರದು ಎಂದು ಸಹ ತೋರಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ε - ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಅದು ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ಅಥವಾ ಪಾಯಿಂಟ್ 2 ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ತದನಂತರ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ನೆರೆಹೊರೆಯ ಹೊರಗೆ ಸರಣಿಯ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳಿರುತ್ತವೆ.
ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ನಾವು ε - ನೆರೆಹೊರೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರೆ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಗೆ ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. ε-ನೆರೆಹೊರೆಯ ಬದಲಿಗೆ, ಇದು ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಾವು ಸಮಾನವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ನೆರೆಹೊರೆಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಿತದ ಪ್ರಕಾರ, ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: , ಅಲ್ಲಿ ε 1
ಮತ್ತು ε 2
- ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು.
ನಂತರ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿರುತ್ತದೆ.
ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯ ಸಮಾನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಇದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗಿನ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ.
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಹ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಬಹುದು.
ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಮತ್ತು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಇರುತ್ತವೆ
.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಪುರಾವೆ
ಮೇಲೆ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಎರಡು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ.
ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿರಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(4)
ನಲ್ಲಿ.
ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ε ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ 1
ಮತ್ತು ε 2
ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:
(5)
ನಲ್ಲಿ.
ನಾವು ಎರಡು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ: ε 1
ಮತ್ತು ε 2
. ಮತ್ತು ε ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಲಿ: . ಆಗ ; ; . ಇದನ್ನು (5) ನಲ್ಲಿ ಬಳಸೋಣ:
.
ಆದರೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ತೃಪ್ತವಾಗಿವೆ. ನಂತರ ಅಸಮಾನತೆಗಳು (5) ಸಹ ತೃಪ್ತವಾಗುತ್ತವೆ.
ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು (5) ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ ε 1
ಮತ್ತು ε 2
.
ಮೊದಲ ಭಾಗವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.
ಈಗ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿರಲಿ. ಇದರರ್ಥ ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ε ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಿದೆ 1
ಮತ್ತು ε 2
ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಲಾಗಿದೆ:
(5)
ನಲ್ಲಿ.
ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ a ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನೀವು ಹಾಕಬೇಕು. ನಂತರ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹಿಡಿದಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಾಗ:
.
ಇದು ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆ a ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ε ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆ ε ನ ಕಾರ್ಯ N ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕು.
ಉದಾಹರಣೆ 1
ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
(1)
.
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ;
.
.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.
.
ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.
ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:
(1)
.
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ,;
.
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.
ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.
ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.
.
ಉದಾಹರಣೆ 3
.
ನಾವು ಸಂಕೇತವನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸುತ್ತೇವೆ, .
ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
.
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಎನ್ = 1, 2, 3, ...
ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
.
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:
(1)
.
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.
ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.
ಇದರಲ್ಲಿ
ನಲ್ಲಿ.
ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ
.
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಾವು ಬರೆಯೋಣ:
(1)
.
ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ,;
.
ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು:
.
ನಂತರ ವೇಳೆ ಮತ್ತು, ನಂತರ
.
ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ, ನಾವು ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಥವಾ ಸಮಾನವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:
.
ನಂತರ
ನಲ್ಲಿ.
ಇದರರ್ಥ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ:
.
ಉಲ್ಲೇಖಗಳು:
ಎಲ್.ಡಿ. ಕುದ್ರಿಯಾವ್ಟ್ಸೆವ್. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 2003.
ಸಿಎಂ ನಿಕೋಲ್ಸ್ಕಿ. ಗಣಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಕೋರ್ಸ್. ಸಂಪುಟ 1. ಮಾಸ್ಕೋ, 1983.
ಇಂದು ನಾವು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅನುಕ್ರಮಮತ್ತು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ, ಮತ್ತು ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಸ್ವಭಾವದ ಸಂಬಂಧಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ. ಲೇಖನವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ ಮತ್ತು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳನ್ನು ಎದುರಿಸಿದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ವಿಶೇಷತೆಗಳ ಮೊದಲ ವರ್ಷದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಉದ್ದೇಶಿಸಲಾಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ವಸ್ತುವು ಸಾಕಷ್ಟು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದು.
ಸೈಟ್ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ, ನಾನು ಸುಮಾರು ಈ ಕೆಳಗಿನ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಹನ್ನೆರಡು ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇನೆ: "ನನಗೆ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ನಾನು ಏನು ಮಾಡಬೇಕು?", "ನನಗೆ ಗಣಿತವು ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ, ನಾನು ನನ್ನ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಬಿಡಲು ಯೋಚಿಸುತ್ತಿದ್ದೇನೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಮೊದಲ ಅಧಿವೇಶನದ ನಂತರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ಗುಂಪನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ತೆಳುವಾಗಿಸುವವನು ಮಾತನ್. ಯಾಕೆ ಹೀಗಾಯ್ತು? ಏಕೆಂದರೆ ವಿಷಯವು ಊಹಿಸಲಾಗದಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿದೆಯೇ? ಇಲ್ಲವೇ ಇಲ್ಲ! ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವು ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಅಷ್ಟು ಕಷ್ಟವಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅವಳು ಯಾರೆಂದು ನೀವು ಅವಳನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಮತ್ತು ಪ್ರೀತಿಸಬೇಕು =)
ಅತ್ಯಂತ ಕಷ್ಟಕರವಾದ ಪ್ರಕರಣದಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನೀವು ನಿಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಕೊಡಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಸರಿಯಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ, ನೀವು ಯಾವಾಗಲೂ ತೊರೆಯಬಹುದು;-) ಸಹಜವಾಗಿ, ಒಂದು ಅಥವಾ ಎರಡು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ನೀವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ವಿಶೇಷತೆಯಿಂದ ನೀವು ಅನಾರೋಗ್ಯಕ್ಕೆ ಒಳಗಾಗಿದ್ದರೆ, ಹೌದು, ನೀವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬೇಕು (ಮತ್ತು ಕೋಪಗೊಳ್ಳಬೇಡಿ!)ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಬದಲಾವಣೆಯ ಬಗ್ಗೆ. ಆದರೆ ಸದ್ಯಕ್ಕೆ ಅದನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು "ನನಗೆ ಏನೂ ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ" ಎಂಬ ಪದಗುಚ್ಛವನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಮರೆತುಬಿಡಿ - ನಿಮಗೆ ಏನನ್ನೂ ಅರ್ಥವಾಗದಿರುವುದು ಸಂಭವಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಇದು ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಗೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಸಿದ್ಧಾಂತವು ಕೆಟ್ಟದಾಗಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲು ನೀವು ಅಭ್ಯಾಸದ ಮೇಲೆ ಗಂಭೀರವಾಗಿ ಗಮನಹರಿಸಬೇಕು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಕಾರ್ಯತಂತ್ರದ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
- ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಜ್ಞಾನದ ಗಮನಾರ್ಹ ಪಾಲು ಅಭ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿತು. ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಅನೇಕ ಜನರು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ... - ಅದು ಸರಿ! ಇಲ್ಲ, ಇಲ್ಲ, ನೀವು ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸುತ್ತಿಲ್ಲ =)
- ಮತ್ತು, ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಕೌಶಲ್ಯಗಳು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಮೂಲಕ ನಿಮ್ಮನ್ನು "ಎಳೆಯುತ್ತವೆ", ಸಹ ... ಆದರೆ ನಾವು ತುಂಬಾ ಉತ್ಸುಕರಾಗಬೇಡಿ! ಎಲ್ಲವೂ ನಿಜ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಸಮಯದಲ್ಲಿ "ಬೆಳೆಸಬಹುದು". ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯು ಉನ್ನತ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನನ್ನ ನೆಚ್ಚಿನ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ ಆದರೆ ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಹಸ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ:
1 ನೇ ಸೆಮಿಸ್ಟರ್‌ನ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳು ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಇವುಗಳು ಏನೆಂದು ಅರ್ಥವಾಗುತ್ತಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕೆಂದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲವೇ? ಲೇಖನದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿಗಳು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸ್ವತಃ "ಬೆರಳುಗಳ ಮೇಲೆ" ಪರೀಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮುಂದೆ, ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಪಾಠ ಸೇರಿದಂತೆ ಇತರ ಪಾಠಗಳ ಮೂಲಕ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಒಳಗೆ, ಅದರ ಮೇಲೆ ನಾನು ಈಗಾಗಲೇ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರೂಪಿಸಿದ್ದೇನೆ.
ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಜೊತೆಗೆ ನಿಮಗೆ ಯಾವ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಗೊತ್ತು?
- ಉದ್ದನೆಯ ಲಂಬ ಕೋಲು ಈ ರೀತಿ ಓದುತ್ತದೆ: "ಅಂತಹ", "ಅಂತಹ", "ಅಂತಹ" ಅಥವಾ "ಅಂತಹ", ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ - ಆದ್ದರಿಂದ "ಅಂತಹ";
- ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ "en" ಗೆ;
– ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆ ಎಂದರೆ ದೂರ, ಅಂದರೆ ಮೌಲ್ಯಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಎಪ್ಸಿಲಾನ್‌ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದೆ ಎಂದು ಈ ನಮೂದು ನಮಗೆ ಹೇಳುತ್ತದೆ.
ಸರಿ, ಇದು ಮಾರಣಾಂತಿಕ ಕಷ್ಟವೇ? =)
ಅಭ್ಯಾಸವನ್ನು ಮಾಸ್ಟರಿಂಗ್ ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ನೋಡಲು ನಾನು ಎದುರು ನೋಡುತ್ತಿದ್ದೇನೆ:
ಮತ್ತು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸ್ವಲ್ಪ ಯೋಚಿಸೋಣ - ಅನುಕ್ರಮದ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ರೂಪಿಸುವುದು? ...ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬರುವ ಮೊದಲ ವಿಷಯ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಪಾಠ: "ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ."
ಸರಿ, ಅದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಅನುಕ್ರಮ :
ಅದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ ಅನುಕ್ರಮ 
ಸಂಖ್ಯೆ –1, ಮತ್ತು ಸಮ-ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳಿಗೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸಿ 
- "ಒಂದು" ಗೆ.
ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಎರಡು ಮಿತಿಗಳಿವೆಯೇ? ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹತ್ತು ಅಥವಾ ಇಪ್ಪತ್ತು ಏಕೆ ಇರಬಾರದು? ನೀವು ಈ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ದೂರ ಹೋಗಬಹುದು. ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಊಹಿಸಲು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಒಂದೇ ಒಂದು.
ಸೂಚನೆ : ಅನುಕ್ರಮವು ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಎರಡು ಉಪಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅದರಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬಹುದು (ಮೇಲೆ ನೋಡಿ), ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ತನ್ನದೇ ಆದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.
ಹೀಗಾಗಿ, ಮೇಲಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅಸಮರ್ಥನೀಯವಾಗಿದೆ. ಹೌದು, ಇದು ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ (ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸರಳೀಕೃತ ವಿವರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ನಾನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಲಿಲ್ಲ), ಆದರೆ ಈಗ ನಾವು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಯತ್ನ ಎರಡು: "ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಅನುಸಂಧಾನ ಮಾಡುವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ, ಬಹುಶಃ ಅವರ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಅಂತಿಮಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ." ಇದು ಸತ್ಯಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಇನ್ನೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನಿಖರವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮ 
ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುವುದಿಲ್ಲ - ಅವು ಸರಳವಾಗಿ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ =) ಮೂಲಕ, "ಮಿನುಗುವ ಬೆಳಕು" ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಎರಡು ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
ಸೂತ್ರೀಕರಣವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟಪಡಿಸುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಂತರ ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಶ್ನೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: ಗಣಿತದ ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೇಗೆ ಬರೆಯುವುದು? ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವವರೆಗೂ ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ಪ್ರಪಂಚವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ದೀರ್ಘಕಾಲ ಹೋರಾಡಿತು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಮೇಸ್ಟ್ರು, ಇದು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಕಠಿಣತೆಯಲ್ಲಿ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಗಣಿತದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಿತು. ಕೌಚಿ ಶಸ್ತ್ರಚಿಕಿತ್ಸೆಗೆ ಸೂಚಿಸಿದರು ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ , ಇದು ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಮುನ್ನಡೆಸಿತು.
ಕೆಲವು ಅಂಶವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರಂಕುಶ- ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ ಪ್ರದೇಶಗಳು:
"ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ನ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ, ಅದನ್ನು ನಾವೇ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವ ಹಕ್ಕು ನಮಗಿದೆ. ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸದಸ್ಯರಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ನಾವು ಭಾವಿಸೋಣ (ಎಲ್ಲವೂ ಅನಿವಾರ್ಯವಲ್ಲ)ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಹತ್ತನೇ ಅವಧಿಯು ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಅದರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಇರಲಿ. ನಂತರ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬೇಕು: . ಆದಾಗ್ಯೂ, "x ಹತ್ತನೇ" ಪಾಯಿಂಟ್ "a" ನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಆಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಘಟಕ: .
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂಅದರ ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ (ಪೂರ್ವ-ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ)ಅಂತಹ ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ ಎಲ್ಲಾಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಇರುತ್ತಾರೆ:
ಅಥವಾ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ: ವೇಳೆ
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಮೌಲ್ಯವು ಎಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾದರೂ, ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮದ "ಅನಂತ ಬಾಲ" ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮದ "ಅನಂತ ಬಾಲ" ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ಮೌಲ್ಯವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಮಿತಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ ಅಪರಿಮಿತ.
ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ "ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಬಾಲ" ಎಂದು ಹೇಳಲು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಒಳಗೆ ಬರುತ್ತಾರೆ"- ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸದಸ್ಯರು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು "ಎಲ್ಲಿಯೂ ಹೋಗಬೇಡಿ" =) ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ "ಕಾಣುತ್ತದೆ" ಎಂಬ ಕ್ರಿಯಾಪದವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಈ ರೀತಿಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರು "ಎಲ್ಲಿಯೂ ಹೋಗುವುದಿಲ್ಲ." ಮೂಲಕ, ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅದರ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.
ಈಗ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಅಂತಹ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ, ಅದರ ನಂತರ ಎಲ್ಲಾ ಪದಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ - ಬೆಸ ಪದಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ "ಮೈನಸ್ ಒನ್" ಗೆ "ಜಂಪ್ ಔಟ್" ಆಗುತ್ತವೆ. ಇದೇ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ.
ಅಭ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಕ್ರೋಢೀಕರಿಸೋಣ:
ಉದಾಹರಣೆ 1
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಇರುವುದನ್ನು ಖಾತರಿಪಡಿಸುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿ.
ಸೂಚನೆ : ಅನೇಕ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ - ಆದ್ದರಿಂದ ಸಂಕೇತ .
ಪರಿಹಾರ: ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಿರಂಕುಶ ಯಾವುದಾದರೂ ಇದೆಯೇಸಂಖ್ಯೆ - ಅಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯೊಳಗೆ ಇರುತ್ತಾರೆ:
ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ನಾವು ಅದನ್ನು ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
"en" ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕಾಗಿ, ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು:
ನಾನು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ ಅಸಮಾನತೆಗಳೊಂದಿಗೆ ನಾವು "ಶಾಲಾ" ಕ್ರಿಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ರೇಖೀಯ ಅಸಮಾನತೆಗಳುಮತ್ತು ಕಾರ್ಯ ಡೊಮೇನ್. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಸನ್ನಿವೇಶವೆಂದರೆ "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಮತ್ತು "ಎನ್" ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತವೆ:
ನಾವು ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಬಲಭಾಗವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದನ್ನು ದುಂಡಾದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
ಸೂಚನೆ : ಸುರಕ್ಷಿತ ಭಾಗದಲ್ಲಿರಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಒಂದು ಘಟಕವನ್ನು ಬಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಅತಿಯಾಗಿ ಕೊಲ್ಲುತ್ತದೆ. ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ಮೂಲಕ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸಿದರೆ, ಹತ್ತಿರದ ಸೂಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆ ("ಮೂರು") ಇನ್ನೂ ಮೂಲ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ.
ಈಗ ನಾವು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಿದ್ದನ್ನು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ನಿರಂಕುಶ-ನೆರೆಹೊರೆ, ಅಂದರೆ. "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಯಾರಾದರೂಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ.
ತೀರ್ಮಾನ: ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ-ನೆರೆಹೊರೆಗೆ, ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ 
. ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ಮೂಲಕ, ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶದಿಂದ 
ನೈಸರ್ಗಿಕ ಮಾದರಿಯು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಗೋಚರಿಸುತ್ತದೆ: ನೆರೆಹೊರೆ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅದರ ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಈ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ. ಆದರೆ "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಎಷ್ಟೇ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೂ, ಒಳಗೆ ಮತ್ತು ಹೊರಗೆ "ಅನಂತ ಬಾಲ" ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ - ಅದು ದೊಡ್ಡದಾಗಿದ್ದರೂ ಸಹ ಅಂತಿಮಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ.
ನಿಮ್ಮ ಅನಿಸಿಕೆಗಳು ಹೇಗಿವೆ? =) ಇದು ಸ್ವಲ್ಪ ವಿಚಿತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ. ಆದರೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ!ದಯವಿಟ್ಟು ಮತ್ತೆ ಓದಿ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಯೋಚಿಸಿ.
ಇದೇ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ಇತರ ತಾಂತ್ರಿಕ ತಂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ:
ಉದಾಹರಣೆ 2
ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ (ಜೋರಾಗಿ ಹೇಳು!!!).
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ನಿರಂಕುಶ-ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಮತ್ತು ಚೆಕ್, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ - ಎಲ್ಲಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ: 
ಅಂತಹ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಲು, ನೀವು "ಎನ್" ಅನ್ನು "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕು. ಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ: 
ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ನಾಶಪಡಿಸುತ್ತದೆ: 
ಯಾವುದೇ "en" ಗೆ ಛೇದವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಕೋಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು:
ಷಫಲ್: 
ಈಗ ನಾವು ವರ್ಗಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಕೆಲವು "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಗೆ ಬಲಭಾಗವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ತೊಂದರೆ ತಪ್ಪಿಸಲು ಬಲಪಡಿಸೋಣಮಾಡ್ಯುಲಸ್ ಮೂಲಕ ಅಸಮಾನತೆ: 
ಇದನ್ನು ಏಕೆ ಮಾಡಬಹುದು? ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅದು ತಿರುಗಿದರೆ , ನಂತರ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಮಾಡಬಹುದು ಕೇವಲ ಹೆಚ್ಚಿಸಿಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆ, ಮತ್ತು ಅದು ನಮಗೂ ಸರಿಹೊಂದುತ್ತದೆ! ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೂರನೆಯದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಇನ್ನೂರನೆಯದು ಸಹ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ! ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ನೀವು ತೋರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸತ್ಯ(ಕನಿಷ್ಠ ಕೆಲವರು), ಅದರ ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು -ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿರುತ್ತಾರೆ. ಅಂದಹಾಗೆ, ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ನಾವು ಬಲಭಾಗದ ಮೇಲ್ಮುಖವಾಗಿ ಅಂತಿಮ ಸುತ್ತಿಗೆ ಹೆದರುವುದಿಲ್ಲ.
ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು: 
ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಳ್ಳಿ: 
ತೀರ್ಮಾನ: ಏಕೆಂದರೆ "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಮೌಲ್ಯವು ಕಂಡುಬಂದಿದೆ 
, ಎಲ್ಲಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ 
. ಹೀಗಾಗಿ, 
a-priory. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.
ನಾನು ಸಲಹೆ ನೀಡುತ್ತೇನೆ ವಿಶೇಷವಾಗಿಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಬಲಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ದುರ್ಬಲಗೊಳಿಸುವುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ತಂತ್ರವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಮೇಲ್ವಿಚಾರಣೆ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಏಕೈಕ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಈ ಅಥವಾ ಆ ಕ್ರಿಯೆಯ ಸರಿಯಾಗಿರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಸಮಾನತೆ 
ಯಾವುದೇ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ ಸಡಿಲಗೊಳಿಸು, ಕಳೆಯುವುದು, ಹೇಳು, ಒಂದು: 
ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಷರತ್ತುಬದ್ಧವಾಗಿ: ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿಖರವಾಗಿ ಸರಿಹೊಂದಿದರೆ, ಹಿಂದಿನದು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ.
ಸ್ವತಂತ್ರ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕೆಳಗಿನ ಉದಾಹರಣೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 3
ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ 
ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ಪರಿಹಾರ ಮತ್ತು ಉತ್ತರ.
ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದರೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು, ನಂತರ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ದೊಡ್ಡದುಸಂಖ್ಯೆ, ಎಲ್ಲಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವಂತಹ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ ಇದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಂದುವಿನ ಸಮೀಪ "ಪ್ಲಸ್ ಇನ್ಫಿನಿಟಿ":
ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನಾವು ಎಷ್ಟು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಅನುಕ್ರಮದ "ಅನಂತ ಬಾಲ" ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ಸೀಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಡುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆ:
ಮತ್ತು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತ: ವೇಳೆ
ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀವೇ ಬರೆಯಿರಿ. ಸರಿಯಾದ ಆವೃತ್ತಿಯು ಪಾಠದ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿದೆ.
ಒಮ್ಮೆ ನೀವು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ಸುತ್ತಲೂ ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರೆ, ನೀವು ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ನಿಮ್ಮ ಉಪನ್ಯಾಸ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ನ ಸಾಹಿತ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಬಹುದು. ಬೋಹನ್‌ನ ಸಂಪುಟ 1 ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಲು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ (ಸರಳ - ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ)ಮತ್ತು Fichtenholtz (ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಮತ್ತು ವಿವರವಾಗಿ). ಇತರ ಲೇಖಕರಲ್ಲಿ, ನಾನು ಪಿಸ್ಕುನೋವ್ ಅವರನ್ನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ಅವರ ಕೋರ್ಸ್ ತಾಂತ್ರಿಕ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳನ್ನು ಗುರಿಯಾಗಿರಿಸಿಕೊಂಡಿದೆ.
ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ, ಅವುಗಳ ಪುರಾವೆಗಳು, ಪರಿಣಾಮಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಆತ್ಮಸಾಕ್ಷಿಯಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಿದ್ಧಾಂತವು "ಮೋಡ" ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ - ನೀವು ಅದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಮತ್ತು ಅನೇಕರು ಅದರ ರುಚಿಯನ್ನು ಸಹ ಪಡೆಯುತ್ತಾರೆ!
ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಕಠಿಣ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ
ಅದೇ ವಿಷಯದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ - ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ರೂಪಿಸುವುದು? ಒಂದು ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಮೌಖಿಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸರಳವಾಗಿ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ: "x" ನೊಂದಿಗೆ ಒಲವು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯಾಗಿದೆ (ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಎರಡೂ), ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಲವು » (ರೇಖಾಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಎಲ್ಲವೂ ಸಾಮಾನ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಪದಗಳು ಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಅರ್ಥವು ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ, ಐಕಾನ್ ಐಕಾನ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಾಕಷ್ಟು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಗಣಿತದ ಸಂಕೇತಗಳಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಎರಡು ವಿಧಾನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ.
ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ಸಾಹಿತ್ಯದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅಲ್ಲಿಯ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಅಲ್ಲವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ: 
ಈ ಆಯ್ಕೆಯು ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯ ಸಾರ: "X" ಅನಂತ ಹತ್ತಿರವಿಧಾನಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನಂತ ಹತ್ತಿರಗೆ . ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅಂಕಗಳಿಗೆ "ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನವನ್ನು" ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳೆಂದರೆ ಅನಂತ ನಿಕಟ ಅಂದಾಜು, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹಂತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಇಲ್ಲವೇ ಎಂಬುದು ವಿಷಯವಲ್ಲ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಮೊದಲ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಲ್ಲ, ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಕಾರ್ಯಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳ ನಂತರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ 
ಅಂಕಗಳು (ರೇಖಾಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಲ್ಲ), ಮಧ್ಯಂತರಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾದಂತ, ಇದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆಗೆ . ನಂತರ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಸಹ ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ, ಅದರ ಸದಸ್ಯರು ಆರ್ಡಿನೇಟ್ ಅಕ್ಷದಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದಾರೆ.
ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂಬಿಂದುಗಳ ಅನುಕ್ರಮಗಳು 
(ಸೇರಿದ್ದು ಮತ್ತು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ), ಇದು ಬಿಂದುವಿಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ.
ಎಡ್ವರ್ಡ್ ಹೈನ್ ಒಬ್ಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ. ಮತ್ತು ಹಾಗೆ ಏನನ್ನೂ ಯೋಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಯುರೋಪಿನಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಬ್ಬ ಸಲಿಂಗಕಾಮಿ - ಗೇ-ಲುಸಾಕ್ =)
ಮಿತಿಯ ಎರಡನೇ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ರಚಿಸಲಾಗಿದೆ ... ಹೌದು, ಹೌದು, ನೀವು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿ. ಆದರೆ ಮೊದಲು, ಅದರ ವಿನ್ಯಾಸವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ("ಕಪ್ಪು" ನೆರೆಹೊರೆ). ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಮೂದು ಎಂದರೆ ಅದು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯಕಾರ್ಯವು "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದೆ.
ಈಗ ನಾವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ -ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಕಪ್ಪು ಚುಕ್ಕೆಗಳ ಗೆರೆಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ). ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ ಸಣ್ಣ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ಚಿಕ್ಕ ಎಡ ವಿಭಾಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ. ಇದಲ್ಲದೆ, "ರಾಸ್ಪ್ಬೆರಿ" - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಸಹ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಲ್ಲಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದ ಸತ್ಯವು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆಈ ನೆರೆಹೊರೆ. ಮತ್ತು, ಅದೇ ರೀತಿ, ಸಂಕೇತವು ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯವು "ಡೆಲ್ಟಾ" ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ.
Cauchy ಕಾರ್ಯ ಮಿತಿ: ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಯಾವುದಕ್ಕಾದರೂ ಮೊದಲೇ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗಿದೆನೆರೆಹೊರೆ (ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ), ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ- ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ, ಅಂತಹ, ಅದು: ಕೇವಲ ಮೌಲ್ಯಗಳಂತೆ (ಅವರಿಗೆ ಸೇರಿದ)ಈ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ: (ಕೆಂಪು ಬಾಣಗಳು)- ಆದ್ದರಿಂದ ತಕ್ಷಣವೇ ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳು -ನೆರೆಹೊರೆಗೆ ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಖಾತ್ರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ: (ನೀಲಿ ಬಾಣಗಳು).
ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ನಾನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸುಧಾರಿಸಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ಎಚ್ಚರಿಸಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಅತಿಯಾಗಿ ಬಳಸಬೇಡಿ =)
ಕಿರು ನಮೂದು: , ವೇಳೆ
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲತತ್ವ ಏನು? ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, -ನೆರೆಹೊರೆಯನ್ನು ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಕಾರ್ಯ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಿತಿಗೆ "ಜೊತೆಯಲ್ಲಿ" ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಬೇರೆಡೆ ಸಮೀಪಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಪರ್ಯಾಯವನ್ನು ಬಿಡುವುದಿಲ್ಲ. ಸಾಕಷ್ಟು ಅಸಾಮಾನ್ಯ, ಆದರೆ ಮತ್ತೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ! ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು, ಪದಗಳನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಓದಿ.
! ಗಮನ: ನೀವು ಮಾತ್ರ ರೂಪಿಸಬೇಕಾದರೆ ಹೈನ್ ಅವರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಅಥವಾ ಕೇವಲ ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಯವಿಟ್ಟು ಬಗ್ಗೆ ಮರೆಯಬೇಡಿ ಗಮನಾರ್ಹಪ್ರಾಥಮಿಕ ಕಾಮೆಂಟ್‌ಗಳು: "ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ". ನಾನು ಇದನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮೆ ಹೇಳಿದ್ದೇನೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿಯೂ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದಿಲ್ಲ.
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯ ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, ಹೈನ್ ಮತ್ತು ಕೌಚಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೆಯ ಆಯ್ಕೆಯು ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ (ಇನ್ನೂ!), ಇದನ್ನು "ಭಾಷೆಯ ಮಿತಿ" ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ:
ಉದಾಹರಣೆ 4
ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ 
ಪರಿಹಾರ: ಪಾಯಿಂಟ್ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.
ಸೂಚನೆ : "ಡೆಲ್ಟಾ" ನೆರೆಹೊರೆಯ ಮೌಲ್ಯವು "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪದನಾಮ
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ನಿರಂಕುಶ- ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ. ಎಂಬುದನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆಯೇ- ಸುತ್ತಮುತ್ತಲಿನ, ಅಂತಹ, ಇದು ಅಸಮಾನತೆಯಿಂದ 
ಅಸಮಾನತೆ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ 
.
ಎಂದು ಊಹಿಸಿ, ನಾವು ಕೊನೆಯ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: 
(ಚತುರ್ಭುಜ ತ್ರಿಪದಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿದರು)
ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಎಂದು ಕರೆದರು ಮಿತಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು(x n ), ಯಾವುದೇ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಾಗಿε > 0 ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆ N ಇದೆ x n, ಇದಕ್ಕಾಗಿ n>N, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ
|x n - a|< ε. (6.1)
ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: ಅಥವಾ x n →ಎ.
ಅಸಮಾನತೆ (6.1) ಡಬಲ್ ಅಸಮಾನತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
ಅಂದರೆ ಅಂಕಗಳು x n, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆ n>N ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಮಧ್ಯಂತರದೊಳಗೆ ಮಲಗಿಕೊಳ್ಳಿ (a-ε, a+ ε ), ಅಂದರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ಬೀಳುತ್ತವೆε - ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನೆರೆಹೊರೆ ಎ.
ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಒಮ್ಮುಖ, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ - ಭಿನ್ನವಾದ.
ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕದ ವಾದದ x n = f(n) ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಎನ್.
f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡೋಣ ಮತ್ತು ಬಿಡೋಣ ಎ - ಮಿತಿ ಬಿಂದುಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ D(f), ಅಂದರೆ. ಅಂತಹ ಬಿಂದು, ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯು D(f) ಸೆಟ್‌ನ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬೇರೆಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎ. ಡಾಟ್ ಎ D(f) ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1.ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(x) ನಲ್ಲಿ x→a, ವಾದದ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ (x n ) ಎ, ಅನುಗುಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳು (f(x n)) ಒಂದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ A.
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಹೈನ್ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ,ಅಥವಾ " ಅನುಕ್ರಮ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ”.
ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಸ್ಥಿರ ಸಂಖ್ಯೆ ಎ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(x) ನಲ್ಲಿ x→a, ವೇಳೆ, ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಣ್ಣ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ ε ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಮೂಲಕ, ಅಂತಹ δ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು>0 (ε ಅನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ), ಇದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಆಗಿದೆ X, ಮಲಗಿರುವುದುಸಂಖ್ಯೆಯ ε-ನೆರೆಹೊರೆಗಳು ಎ, ಅಂದರೆ ಫಾರ್ X, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದು
0 <
x-a< ε
, f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಇರುತ್ತವೆA ಸಂಖ್ಯೆಯ ε-ನೆರೆಹೊರೆ, ಅಂದರೆ.|f(x)-A|<
ε.
ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೌಚಿ ಪ್ರಕಾರ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಮೂಲಕ,ಅಥವಾ ε - δ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ “.
1 ಮತ್ತು 2 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿವೆ. f(x) ಕಾರ್ಯವು x → ನಂತೆ ಇದ್ದರೆಒಂದು ಹೊಂದಿದೆ ಮಿತಿ, A ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಇದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ
. (6.3)
ಯಾವುದೇ ಅಂದಾಜಿನ ವಿಧಾನಕ್ಕೆ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲದೆ ಅನುಕ್ರಮವು (f(x n)) ಹೆಚ್ಚಾಗುವ (ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ) ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ Xನಿಮ್ಮ ಮಿತಿಗೆ ಎ, ನಂತರ ನಾವು f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ಅನಂತ ಮಿತಿ,ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಿರಿ:
ಒಂದು ವೇರಿಯೇಬಲ್ (ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮ ಅಥವಾ ಕಾರ್ಯ) ಅದರ ಮಿತಿಯನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಂತ ಚಿಕ್ಕದು.
ಮಿತಿಯು ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡದು.
ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 1 . ಪ್ರತಿ ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ
(6.4)
(6.5)
(6.6)
ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. 0/0 ನಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಅನಂತ ಸಣ್ಣ ಅಥವಾ ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಅನುಪಾತ, ಮತ್ತು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದನ್ನು "ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಗಳನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಪ್ರಮೇಯ 2. (6.7)
ಆ. ಸ್ಥಿರ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಶಕ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಒಬ್ಬರು ಮಿತಿಗೆ ಹೋಗಬಹುದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, 
;
(6.8)
(6.9)
ಪ್ರಮೇಯ 3.
(6.10)
(6.11)
ಎಲ್ಲಿ ಇ » 2.7 - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಆಧಾರ. ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು (6.10) ಮತ್ತು (6.11) ಮೊದಲನೆಯದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಅದ್ಭುತ ಮಿತಿಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿ.
ಸೂತ್ರದ (6.11) ಪರಿಣಾಮಗಳನ್ನು ಸಹ ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮಿತಿ,
ಒಂದು ವೇಳೆ x → a ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ x > a, ನಂತರ x ಬರೆಯಿರಿ→a + 0. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, a = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, 0+0 ಚಿಹ್ನೆಯ ಬದಲಿಗೆ +0 ಬರೆಯಿರಿ. ಅದೇ ರೀತಿ x→a ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ x 
ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ ಮಿತಿಮತ್ತು ಎಡ ಮಿತಿ ಕಾರ್ಯಗಳು f(x) ಹಂತದಲ್ಲಿ ಎ. f(x) ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಮಿತಿ x→ ಆಗಿರಲುa ಅಗತ್ಯ ಮತ್ತು ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ ಆದ್ದರಿಂದ 
. f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ x 0 ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಿತಿ
. (6.15)
ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು (6.15) ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು:
,
ಅಂದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ನಿರಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಫಂಕ್ಷನ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗೆ ಅಂಗೀಕಾರವು ಸಾಧ್ಯ.
ಸಮಾನತೆ (6.15) ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ ನಲ್ಲಿ x = xo ಕಾರ್ಯ f(x) ಇದು ಹೊಂದಿದೆ ಅಂತರ y = 1/x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಈ ಕಾರ್ಯದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಡೊಮೇನ್ ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ ಆರ್, x = 0 ಹೊರತುಪಡಿಸಿ. x = 0 ಬಿಂದುವು D(f) ಸೆಟ್‌ನ ಮಿತಿ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಯಾವುದೇ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ 0 ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಯಾವುದೇ ತೆರೆದ ಮಧ್ಯಂತರದಲ್ಲಿ, D(f) ನಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಅದು ಸ್ವತಃ ಈ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ಮೌಲ್ಯವು f(x o)= f(0) ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ x o = 0 ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
f(x) ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ x o
,
ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರ x o, ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ
.
ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮುಂದುವರಿಕೆ xoಬಲಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಎಡಕ್ಕೆ ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದರ ನಿರಂತರತೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯ ನಿರಂತರವಾಗಿರಲು xo, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸೀಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಈ ಮಿತಿಯು f(x o) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸದಿದ್ದರೆ, ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.
1. ಮಿತಿಯು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು f(x o) ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಕಾರ್ಯ f(x) ಹಂತದಲ್ಲಿ x o ಹೊಂದಿದೆ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ವಿರಾಮ,ಅಥವಾ ನೆಗೆಯಿರಿ.
2. ಮಿತಿ ಇದ್ದರೆ+∞ ಅಥವಾ -∞ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ, ನಂತರ ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ ಪಾಯಿಂಟ್ xo ಕಾರ್ಯವು ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎರಡನೇ ರೀತಿಯ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಂಕ್ಷನ್ y = cot x ನಲ್ಲಿ x→ +0 +∞ ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ x=0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಎರಡನೇ ವಿಧದ ಸ್ಥಗಿತವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕಾರ್ಯ y = E(x) (ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗ X) ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಬ್ಸಿಸಾಸ್ ಹೊಂದಿರುವ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ರೀತಿಯ ಸ್ಥಗಿತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಥವಾ ಜಿಗಿತಗಳು.
ಮಧ್ಯಂತರದ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲಿ ನಿರಂತರವಾಗಿರುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ನಿರಂತರವಿ. ನಿರಂತರ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಘನ ವಕ್ರರೇಖೆಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಕೆಲವು ಪ್ರಮಾಣದ ನಿರಂತರ ಬೆಳವಣಿಗೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಎರಡನೇ ಗಮನಾರ್ಹ ಮಿತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೇರಿವೆ: ಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿಯ ಕಾನೂನಿನ ಪ್ರಕಾರ ಠೇವಣಿಗಳ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ದೇಶದ ಜನಸಂಖ್ಯೆಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ, ವಿಕಿರಣಶೀಲ ವಸ್ತುಗಳ ಕೊಳೆತ, ಬ್ಯಾಕ್ಟೀರಿಯಾದ ಪ್ರಸರಣ, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಯಾ I. ಪೆರೆಲ್‌ಮನ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಇಸಂಯುಕ್ತ ಬಡ್ಡಿ ಸಮಸ್ಯೆಯಲ್ಲಿ. ಸಂಖ್ಯೆ ಇಒಂದು ಮಿತಿ ಇದೆ 
. ಉಳಿತಾಯ ಬ್ಯಾಂಕುಗಳಲ್ಲಿ, ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾಡಿದರೆ, ಬಂಡವಾಳವು ವೇಗವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮೊತ್ತವು ಆಸಕ್ತಿಯ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದೆ. ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ, ಸರಳೀಕೃತ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. 100 ನಿರಾಕರಣೆದಾರರು ಬ್ಯಾಂಕಿನಲ್ಲಿ ಠೇವಣಿ ಇಡಲಿ. ಘಟಕಗಳು ವಾರ್ಷಿಕ 100% ಆಧರಿಸಿ. ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಮಾತ್ರ ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸಿದರೆ, ನಂತರ ಈ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 200 ವಿತ್ತೀಯ ಘಟಕಗಳಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಈಗ 100 ನಿರಾಕರಣೆಗಳು ಏನಾಗುತ್ತವೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ. ಪ್ರತಿ ಆರು ತಿಂಗಳಿಗೊಮ್ಮೆ ಸ್ಥಿರ ಬಂಡವಾಳಕ್ಕೆ ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು ಸೇರಿಸಿದರೆ ಘಟಕಗಳು. ಆರು ತಿಂಗಳ ನಂತರ, 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 100ಕ್ಕೆ ಬೆಳೆಯಲಿದೆ×
1.5 = 150, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಆರು ತಿಂಗಳ ನಂತರ - 150 ನಲ್ಲಿ×
1.5 = 225 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು). ಪ್ರವೇಶವನ್ನು ವರ್ಷದ ಪ್ರತಿ 1/3 ಮಾಡಿದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ 100 ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು 100 ಆಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ× (1 +1/3) 3 " 237 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು). ನಾವು ಬಡ್ಡಿ ಹಣವನ್ನು 0.1 ವರ್ಷ, 0.01 ವರ್ಷ, 0.001 ವರ್ಷ, ಇತ್ಯಾದಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ 100 ಡೆನ್ ಹೊರಗೆ. ಘಟಕಗಳು ಒಂದು ವರ್ಷದ ನಂತರ ಅದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು),
100 × (1+1/100) 100 »270 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ಡೆನ್. ಘಟಕಗಳು).
ಬಡ್ಡಿಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ನಿಯಮಗಳಲ್ಲಿ ಅನಿಯಮಿತ ಕಡಿತದೊಂದಿಗೆ, ಸಂಚಿತ ಬಂಡವಾಳವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಬೆಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅಂದಾಜು 271 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತದೆ. ವಾರ್ಷಿಕವಾಗಿ 100% ಠೇವಣಿ ಮಾಡಿದ ಬಂಡವಾಳವು 2.71 ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಸಂಚಿತ ಬಡ್ಡಿ ಕೂಡ ಮಿತಿಯಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಸೆಕೆಂಡಿಗೆ ರಾಜಧಾನಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು
ಉದಾಹರಣೆ 3.1.ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, x n =(n-1)/n ಅನುಕ್ರಮವು 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.ಏನೇ ಇರಲಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆε > 0, ನಾವು ಏನೇ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಅದಕ್ಕೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಇದೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ n N ಗೂ ಅಸಮಾನತೆ ಇರುತ್ತದೆ|x n -1|< ε.
ಯಾವುದೇ e > 0 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ರಿಂದ ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, ನಂತರ N ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು 1/n ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಕು< ಇ. ಆದ್ದರಿಂದ n>1/ ಇ ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, N ಅನ್ನು 1/ ನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಭಾಗವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದುಇ , ಎನ್ = ಇ(1/ ಇ ) ಮಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಆ ಮೂಲಕ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.2
. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ 
.
ಪರಿಹಾರ.ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಪದದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಯಾವಾಗ ಎನ್→ ∞ ಪ್ರತಿ ಪದದ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಅನಂತತೆಗೆ ಒಲವು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಾವು ನೇರವಾಗಿ ಅಂಶದ ಮಿತಿ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮೊದಲು ನಾವು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ x n, ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು ಎನ್ 2, ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಎನ್. ನಂತರ, ಅಂಶದ ಮಿತಿ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 3.3. 
. ಹುಡುಕಿ .
ಪರಿಹಾರ. 
.
ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಡಿಗ್ರಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ: ಡಿಗ್ರಿಯ ಮಿತಿಯು ಬೇಸ್ನ ಮಿತಿಯ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.4
. ಹುಡುಕಿ ( 
).
ಪರಿಹಾರ.ನಾವು ರೂಪದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಪ್ರಮೇಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅಸಾಧ್ಯ ∞-∞ . ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ:
.
ಉದಾಹರಣೆ 3.5 . f(x)=2 1/x ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂಲಕ ಕ್ರಿಯೆಯ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1 ಅನ್ನು ಬಳಸೋಣ. ನಾವು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ (x n ) 0 ಗೆ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದು, ಅಂದರೆ. f(x n)= ಮೌಲ್ಯವು ವಿಭಿನ್ನ ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸೋಣ. x n = 1/n ಎಂದು ಬಿಡಿ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನಂತರ ಮಿತಿ 
ಈಗ ನಾವು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡೋಣ x n x n = -1/n ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮ, ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಒಲವು. 
ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ.
ಉದಾಹರಣೆ 3.6 . ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.
ಪರಿಹಾರ.x 1 , x 2 ,..., x n ,... ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿರಲಿ
. ವಿಭಿನ್ನ x n → ∞ ಗಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮವು (f(x n)) = (sin x n) ಹೇಗೆ ವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ
x n = p n ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ sin x n = sin p ಎಲ್ಲರಿಗೂ n = 0 ಎನ್ಮತ್ತು ಮಿತಿ ವೇಳೆ
x n =2 p n+ p /2, ನಂತರ sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p ಎಲ್ಲರಿಗೂ /2 = 1 ಎನ್ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮಿತಿ. ಹಾಗಾಗಿ ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ.
ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ವಿಜೆಟ್
ಮೇಲಿನ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ, sin(x)/x ಬದಲಿಗೆ, ನೀವು ಹುಡುಕಲು ಬಯಸುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ. ಕೆಳಗಿನ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ, x ಒಲವು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಮೂದಿಸಿ ಮತ್ತು ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲರ್ ಬಟನ್ ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿ, ಬಯಸಿದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯಿರಿ. ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶ ವಿಂಡೋದಲ್ಲಿ ನೀವು ಮೇಲಿನ ಬಲ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿರುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ತೋರಿಸು ಕ್ಲಿಕ್ ಮಾಡಿದರೆ, ನೀವು ವಿವರವಾದ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.
ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ನಮೂದಿಸುವ ನಿಯಮಗಳು: sqrt(x) - ವರ್ಗಮೂಲ, cbrt(x) - ಘನಮೂಲ, exp(x) - ಘಾತ, ln(x) - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್, sin(x) - ಸೈನ್, cos(x) - ಕೊಸೈನ್, ಟ್ಯಾನ್ (x) - ಸ್ಪರ್ಶಕ, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. ಚಿಹ್ನೆಗಳು: * ಗುಣಾಕಾರ, / ವಿಭಾಗ, ^ ಘಾತ, ಬದಲಿಗೆ ಅನಂತಅನಂತ. ಉದಾಹರಣೆ: ಕಾರ್ಯವನ್ನು sqrt(tan(x/2)) ಎಂದು ನಮೂದಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಗಣಿತವು ಜಗತ್ತನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ವಿಜ್ಞಾನವಾಗಿದೆ. ವಿಜ್ಞಾನಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮನುಷ್ಯ ಇಬ್ಬರೂ - ಅದನ್ನು ಇಲ್ಲದೆ ಯಾರೂ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಚಿಕ್ಕ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಎಣಿಸಲು ಕಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಮಧ್ಯಮ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಕೂಡಿ, ಕಳೆಯಿರಿ, ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಿ, ಅಕ್ಷರದ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಆಟಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ತಪ್ಪಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.
ಆದರೆ ಇಂದು ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. "ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳು" ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಮುದಾಯದ ಬಗ್ಗೆ.
ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮಿತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ?
"ಅನುಕ್ರಮ" ಪದದ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಲು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಇದು ಯಾರೋ ಅಥವಾ ಯಾವುದೋ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಸರದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ವಸ್ತುಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೃಗಾಲಯಕ್ಕೆ ಟಿಕೆಟ್‌ಗಾಗಿ ಸರತಿ ಸಾಲು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು ಇರಬಹುದು! ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನೀವು ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ಕ್ಯೂ ಅನ್ನು ನೋಡಿದರೆ, ಇದು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸರದಿಯಿಂದ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯು ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಹೊರಟು ಹೋದರೆ, ಇದು ಬೇರೆ ಕ್ಯೂ, ಬೇರೆ ಆದೇಶ.
"ಮಿತಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಸಹ ಸುಲಭವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಇದು ಯಾವುದೋ ಅಂತ್ಯವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಲವು ತೋರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರುವ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿವೆ. ಅದು ಏಕೆ ಶ್ರಮಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ? ಇದು ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆಗೆ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಕಿರಣಗಳಂತಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಕೇವಲ ಪ್ರಾರಂಭವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ ಮತ್ತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ:
x 1, x 2, x 3,...x n...
ಆದ್ದರಿಂದ ಅನುಕ್ರಮದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ವಾದದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಂಪಿನ ಸದಸ್ಯರ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ?
ಸಂಖ್ಯಾ ಅನುಕ್ರಮದ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣಿಸಬಹುದು: 1, 2, 3, 4, …n...
ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸದಸ್ಯರು, ಅದನ್ನು X ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ, ತನ್ನದೇ ಆದ ಹೆಸರನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
x 1 ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ;
x 2 ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡನೇ ಪದವಾಗಿದೆ;
x 3 ಮೂರನೇ ಪದವಾಗಿದೆ;
x n ಎಂಬುದು n ನೇ ಪದವಾಗಿದೆ.
ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವೇರಿಯಬಲ್ ಇರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
X n =3n, ನಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವಾಗ, ನೀವು ಯಾವುದೇ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದೆಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಕೇವಲ X. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: y, z, k, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ
ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮೊದಲು, ಮಧ್ಯಮ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಎದುರಿಸಿದ ಅಂತಹ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಆಳವಾಗಿ ಧುಮುಕುವುದು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಮಸ್ಯೆ: “1 = 15, ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿಯ ಪ್ರಗತಿ ಹಂತ d = 4. ಈ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ 4 ಪದಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ"
ಪರಿಹಾರ: a 1 = 15 (ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ) ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿದೆ (ಸಂಖ್ಯೆ ಸರಣಿ).
ಮತ್ತು 2 = 15+4=19 ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡನೇ ಪದವಾಗಿದೆ.
ಮತ್ತು 3 =19+4=23 ಮೂರನೇ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ.
ಮತ್ತು 4 =23+4=27 ನಾಲ್ಕನೇ ಅವಧಿಯಾಗಿದೆ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಲುಪಲು ಕಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ 125. ವರೆಗೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಅಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ: a n =a 1 +d(n-1). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, 125 =15+4(125-1)=511.
ಅನುಕ್ರಮಗಳ ವಿಧಗಳು
ಹೆಚ್ಚಿನ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಇದು ನಿಮ್ಮ ಉಳಿದ ಜೀವನಕ್ಕೆ ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಿಧಗಳಿವೆ. ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು a n =(-1) n ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಈ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಫ್ಲಾಷರ್ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಏಕೆ? ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
1, 1, -1, 1, -1, 1, ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ರೀತಿಯ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ, ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.
ಅಪವರ್ತನೀಯ ಅನುಕ್ರಮ. ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ - ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸೂತ್ರವು ಅಪವರ್ತನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ: a n = (n+1)!
ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:
a 2 = 1x2x3 = 6;
ಮತ್ತು 3 = 1x2x3x4 = 24, ಇತ್ಯಾದಿ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆ -1 ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ ಅನಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು 3 = - 1/8, ಇತ್ಯಾದಿ. ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವೂ ಇದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, n =6 ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳು ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬಹಳ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿವೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅವರು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಸಮರ್ಥ ವಿನ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಅರ್ಹರಾಗಿದ್ದಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಸಮಯ. ಮೊದಲಿಗೆ, ರೇಖೀಯ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿಯನ್ನು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ: ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ: ಇದು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದು, ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಅನಂತವಾಗಿ ಸಮೀಪಿಸುತ್ತಾರೆ. ಒಂದು ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ: x = 4x+1. ನಂತರ ಅನುಕ್ರಮವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. 5, 9, 13, 17, 21…x... ಹೀಗಾಗಿ, ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ಅದರ ಮಿತಿಯು x→∞ ನಂತೆ ಅನಂತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬೇಕು: ನಾವು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ಆದರೆ x 1 ಗೆ ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯು ಈ ರೀತಿ ಇರುತ್ತದೆ: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, ಇತ್ಯಾದಿ. ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೆ (0.1, 0.2, 0.9, 0.986) ಹತ್ತಿರ ಬದಲಾಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸರಣಿಯಿಂದ ಕಾರ್ಯದ ಮಿತಿ ಐದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾಗದಿಂದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಏನು ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ, ಸರಳ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ವಿಧಾನ. ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ, ಅದರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸೂತ್ರದಿಂದ ರೂಪಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊದಲ ಸೆಮಿಸ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಅಕ್ಷರಗಳು, ಮಾಡ್ಯೂಲ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅರ್ಥವೇನು? ∀ ಯುನಿವರ್ಸಲ್ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಆಗಿದ್ದು, "ಎಲ್ಲರಿಗೂ", "ಎಲ್ಲದಕ್ಕೂ" ಇತ್ಯಾದಿ ನುಡಿಗಟ್ಟುಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತದೆ. ∃ ಒಂದು ಅಸ್ತಿತ್ವವಾದದ ಕ್ವಾಂಟಿಫೈಯರ್ ಆಗಿದೆ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದ ಕೆಲವು ಮೌಲ್ಯ N ಇದೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ. N ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಉದ್ದವಾದ ಲಂಬ ಕೋಲು ಎಂದರೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ N "ಅಂತಹುದು" ಎಂದರ್ಥ. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಇದು "ಅಂತಹ", "ಅಂತಹ", ಇತ್ಯಾದಿಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಬಲ್ಲದು. ವಸ್ತುವನ್ನು ಬಲಪಡಿಸಲು, ಸೂತ್ರವನ್ನು ಜೋರಾಗಿ ಓದಿ. ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವು ಬಳಸಲು ಸರಳವಾಗಿದ್ದರೂ, ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ: ನಾವು "x" ನ ವಿಭಿನ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ (ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ: 10, 100, 1000, ಇತ್ಯಾದಿ.) ನಾವು ∞ ಅನ್ನು ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದರೆ ಛೇದದಲ್ಲಿ ∞ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದು ವಿಚಿತ್ರವಾದ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: ಆದರೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಹಾಗೆ? ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಉತ್ತರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಮಂಜಸವಾದ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಅಂಶದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ - ಇದು 1 ಆಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x ಅನ್ನು x 1 ಎಂದು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಛೇದದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯುನ್ನತ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಅಲ್ಲದೆ 1. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದ ಎರಡನ್ನೂ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ನಿಂದ ಅತ್ಯಧಿಕ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ ಭಾಗಿಸೋಣ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಾಗವನ್ನು x 1 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಮುಂದೆ, ವೇರಿಯಬಲ್ ಹೊಂದಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವು ಯಾವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. x→∞ ನಂತೆ, ಪ್ರತಿ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ಮೌಲ್ಯವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಮ್ಮ ಕೆಲಸವನ್ನು ಬರವಣಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಸಲ್ಲಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಡಿಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು: ಇದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ: ಸಹಜವಾಗಿ, x ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳು ಸೊನ್ನೆಗಳಾಗಲಿಲ್ಲ! ಆದರೆ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯವು ತುಂಬಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳದಿರಲು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಮತಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ x ಎಂದಿಗೂ 0 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ನೀವು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ರೊಫೆಸರ್ ತನ್ನ ಇತ್ಯರ್ಥದಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾನೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಷ್ಟೇ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕರು ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಅದು ಸರಿಯೇ? ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಎಲ್ಲಾ ಜನರು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತಾರೆ. ಅಗಸ್ಟೆ ಕೌಚಿ ಒಮ್ಮೆ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅತ್ಯುತ್ತಮವಾದ ಮಾರ್ಗದೊಂದಿಗೆ ಬಂದರು. ಅವರ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೆರೆಹೊರೆಯ ಕುಶಲತೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದು a ಇದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ, ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ ಅದರ ನೆರೆಹೊರೆಯು ε ("ಎಪ್ಸಿಲಾನ್") ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕೊನೆಯ ವೇರಿಯಬಲ್ ದೂರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಕೆಲವು ಅನುಕ್ರಮ x n ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಹತ್ತನೇ ಪದವು (x 10) a ನ ನೆರೆಹೊರೆಯಲ್ಲಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಈ ಸಂಗತಿಯನ್ನು ನಾವು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಗೆ ಬರೆಯಬಹುದು? x 10 ಪಾಯಿಂಟ್ a ನ ಬಲಕ್ಕೆ, ನಂತರ x 10 -a ದೂರ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. ಈಗ ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲು ಸಮಯ. ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ಅಂತಿಮ ಬಿಂದು ಎಂದು ಕರೆಯುವುದು ನ್ಯಾಯೋಚಿತವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನತೆ ε>0 ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸಿದರೆ, ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ನೆರೆಹೊರೆಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ N ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ |x n - a| ಅನುಕ್ರಮದ ಒಳಗೆ ಇರುತ್ತದೆ< ε. ಅಂತಹ ಜ್ಞಾನದಿಂದ ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಸುಲಭ, ಸಿದ್ಧ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವುದು ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸುವುದು. ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ, ಅದು ಇಲ್ಲದೆ ಅಭ್ಯಾಸ ಅಸಾಧ್ಯ. ಕೇವಲ ನಾಲ್ಕು ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿವೆ, ಇದು ಪರಿಹಾರ ಅಥವಾ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಿ: ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನೀವು ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಸೂತ್ರವು ನೀಡಿದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ. ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಿದ ನಿಯಮದ ಪ್ರಕಾರ, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಅಸಮಾನತೆ |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವನ್ನು ತೋರಿಸಲು ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಉಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಮೂಲಕ n ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸೋಣ. ಈ ಹಂತದಲ್ಲಿ, "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ಮತ್ತು "ಎನ್" ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಈಗ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. n > -3 + 1/ε ಎಂದು ಅದು ಹೇಗೆ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ. ನಾವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾದ್ದರಿಂದ, ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಚದರ ಬ್ರಾಕೆಟ್ಗಳಲ್ಲಿ ಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ದುಂಡಾದ ಮಾಡಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ, ಪಾಯಿಂಟ್ a = 0 ನ "ಎಪ್ಸಿಲಾನ್" ನೆರೆಹೊರೆಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ, ಆರಂಭಿಕ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ. ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು a ಸಂಖ್ಯೆಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ ಎಂದು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿ ಹೇಳಬಹುದು. ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಈ ಅನುಕೂಲಕರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು, ಅದು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿರಬಹುದು. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನೀವು ಕೆಲಸವನ್ನು ನೋಡಿದಾಗ ಪ್ಯಾನಿಕ್ ಮಾಡಬಾರದು. ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಿತಿಯ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ನೋಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದೇ "ಮಿನುಗುವ ಬೆಳಕು" x n = (-1) n. ಆವರ್ತಕವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಾಗುವ ಕೇವಲ ಎರಡು ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಕಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆ, ಭಾಗಶಃ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳೊಂದಿಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಕ್ರಮದ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (0/0, ∞/∞, ∞/0, ಇತ್ಯಾದಿ). ಆದಾಗ್ಯೂ, ತಪ್ಪಾದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ಸಹ ಸಂಭವಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಎರಡು ಬಾರಿ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಮೇಲೆ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು "ಏಕತಾಂತ್ರಿಕ ಅನುಕ್ರಮ" ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ಅಸಮಾನತೆ x n ಅದಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು ಎಂದು ಸರಿಯಾಗಿ ಕರೆಯಬಹುದು< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. ಈ ಎರಡು ಷರತ್ತುಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಠಿಣವಲ್ಲದ ಅಸಮಾನತೆಗಳೂ ಇವೆ. ಅದರಂತೆ, x n ≤ x n +1 (ಕಡಿಮೆಯಾಗದ ಅನುಕ್ರಮ) ಮತ್ತು x n ≥ x n +1 (ಹೆಚ್ಚಲ್ಲದ ಅನುಕ್ರಮ). ಆದರೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಇದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸುಲಭ. x n = 2+n ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ: 4, 5, 6, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನಾವು x n =1/n ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ, ನಾವು ಸರಣಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ: 1/3, ¼, 1/5, ಇತ್ಯಾದಿ. ಇದು ಏಕತಾನತೆಯಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಬೌಂಡೆಡ್ ಸೀಕ್ವೆನ್ಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವು ಅಪರಿಮಿತ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಣಿಯಾಗಿದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಮಿತಿಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಮಿತಿ ಮಾತ್ರ ಇರಬಹುದೆಂದು ನೆನಪಿಡಿ. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅಪರಿಮಿತ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ) ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ನೀವು ಅನುಕ್ರಮ ರೇಖಾಚಿತ್ರವನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸಿದರೆ, ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಅದು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವಂತೆ ತೋರುತ್ತದೆ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಸರು - ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮ. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ ಮಿತಿ ಇರಬಹುದು ಅಥವಾ ಇಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅದು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಇಲ್ಲಿಂದ ನೀವು ಮಿತಿಯ ಅನುಪಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದಾಗ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಬಹುದು. ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ, ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನತೆಯನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮುಖವು x ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ಡೈವರ್ಜೆಂಟ್ ಎನ್ನುವುದು ಅದರ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ನೈಜ ಅಥವಾ ಸಂಕೀರ್ಣವಲ್ಲ). ಇದಲ್ಲದೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೆಳಗಿನ ಮಿತಿಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗಿದ್ದರೆ ಅನುಕ್ರಮವು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯು ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಾಗಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಅನಂತವಾದ ಅನುಕ್ರಮವು ತಿಳಿದಿರುವ ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಶೂನ್ಯ). ನೀವು ಯಾವುದೇ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಸೀಮಿತವಾಗಿವೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಪರಿಮಿತಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಎರಡು ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತ, ವ್ಯತ್ಯಾಸ, ಉತ್ಪನ್ನವು ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂಶವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಿದರೆ ಕೂಡ ಒಮ್ಮುಖವಾಗಬಹುದು! ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಗಳು ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ (ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ) ಮಹತ್ವದ್ದಾಗಿವೆ: 1, 2, 15, 24, 362, ಇತ್ಯಾದಿ. ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಮೊದಲಿಗೆ, ಅಂಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಯಾವುದೇ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ಮೂರನೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿದೆ: ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದಾಗಿ, ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಮೇಲಿನ ನಾಲ್ಕನೇ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಕೆಳಗಿನ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿದೆ: n ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವಿಭಜನೆಗೆ ಇದು ನಿಜವಾಗಿದೆ: ಎರಡು ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಅಂಶದ ಮಿತಿಯು ಅವುಗಳ ಮಿತಿಗಳ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರದಿದ್ದರೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಶೂನ್ಯದಿಂದ ವಿಭಜನೆಯು ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ, ಅದು ಅಸಾಧ್ಯವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಸ್ವಲ್ಪ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ "ಅನಂತ ಸಣ್ಣ" ಮತ್ತು "ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ" ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತಹ ಪದಗುಚ್ಛಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬಾರಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗಿದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, 1/x ಅನುಕ್ರಮವಿದ್ದರೆ, ಅಲ್ಲಿ x→∞, ಅಂತಹ ಭಾಗವು ಅನಂತವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಅನುಕ್ರಮ, ಆದರೆ ಮಿತಿಯು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ (x→0) ಒಲವು ತೋರಿದರೆ, ಆಗ ಭಾಗವು ಅನಂತ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಯಾವುದೇ ಸಣ್ಣ ಅಥವಾ ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ: ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನೀವು ಸರಳ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಂತಹ ಕಷ್ಟಕರ ಕೆಲಸವಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿರತೆಯ ಮಿತಿಗಳು ಗರಿಷ್ಠ ಗಮನ ಮತ್ತು ಪರಿಶ್ರಮದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಸಹಜವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಸಾರವನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಗ್ರಹಿಸಲು ಸಾಕು. ಚಿಕ್ಕದಾಗಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಕಾಲಾನಂತರದಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೆಚ್ಚಿನ ಎತ್ತರವನ್ನು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.ಅನುಕ್ರಮ ಮಿತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು
ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಮಿತಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದನಾಮ
ಮಿತಿಯ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಮತ್ತು ಖಚಿತತೆ
ನೆರೆಹೊರೆ ಎಂದರೇನು?
ಪ್ರಮೇಯಗಳು
ಅನುಕ್ರಮಗಳ ಪುರಾವೆ
ಅಥವಾ ಬಹುಶಃ ಅವನು ಇಲ್ಲವೇ?
ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮ
ಒಮ್ಮುಖ ಮತ್ತು ಪರಿಮಿತಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ
ಏಕತಾನತೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಮಿತಿ
ಮಿತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವಿಧ ಕ್ರಮಗಳು
ಅನುಕ್ರಮ ಪ್ರಮಾಣಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು