Første niveau

Geometrisk progression. Omfattende guide med eksempler (2019)

Nummerrækkefølge

Så lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:

Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil (i vores tilfælde er der dem). Uanset hvor mange tal vi skriver, kan vi altid sige, hvilket der er først, hvilket der er andet, og så videre indtil det sidste, det vil sige, vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække:

Nummerrækkefølge er et sæt numre, som hver kan tildeles et unikt nummer.

For eksempel for vores sekvens:

Det tildelte nummer er specifikt for kun ét nummer i sekvensen. Med andre ord er der ingen tre sekunders tal i sekvensen. Det andet tal (som det th tal) er altid det samme.

Tallet med tallet kaldes det n'te medlem af sekvensen.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

I vores tilfælde:

De mest almindelige typer progression er aritmetiske og geometriske. I dette emne vil vi tale om den anden type - geometrisk progression.

Hvorfor er geometrisk progression nødvendig og dens historie?

Selv i oldtiden tog den italienske matematikermunk Leonardo af Pisa (bedre kendt som Fibonacci) sig af handelens praktiske behov. Munken stod over for opgaven med at bestemme ved hjælp af hvilken mindste beløb vægte kan du veje varerne? I sine værker beviser Fibonacci, at et sådant vægtsystem er optimalt: Dette er en af ​​de første situationer, hvor folk skulle forholde sig til en geometrisk progression, som du sikkert allerede har hørt om og har mindst generelt koncept. Når du fuldt ud forstår emnet, så tænk på, hvorfor et sådant system er optimalt?

I øjeblikket, i livspraksis, geometrisk progression Det manifesterer sig, når man investerer penge i en bank, når rentebeløbet beregnes på det beløb, der er akkumuleret på kontoen for den foregående periode. Med andre ord, hvis du sætter penge på et tidsindskud i en sparekasse, så vil indskuddet efter et år stige med det oprindelige beløb, dvs. nyt beløb vil være lig med bidraget ganget med. Om endnu et år vil dette beløb stige med, dvs. det beløb, der opnås på det tidspunkt, vil igen blive ganget med og så videre. Lignende situation beskrevet i opgaver til beregning af den såkaldte renters rente- procentsatsen tages hver gang fra det beløb, der står på kontoen under hensyntagen til tidligere renter. Vi vil tale om disse opgaver lidt senere.

Der er mange flere simple sager, hvor der anvendes geometrisk progression. For eksempel spredning af influenza: en person inficerede en anden person, de inficerede til gengæld en anden person, og dermed er den anden bølge af infektion en person, og de inficerede til gengæld en anden... og så videre.. .

Forresten er en finansiel pyramide, den samme MMM, en simpel og tør beregning baseret på egenskaberne ved en geometrisk progression. Interessant? Lad os finde ud af det.

Geometrisk progression.

Lad os sige, at vi har nummerrækkefølge:

Du vil straks svare, at dette er nemt, og navnet på en sådan sekvens er en aritmetisk progression med forskellen på dens udtryk. Hvad med dette:

Hvis du trækker det forrige fra det efterfølgende tal, vil du se det hver gang du får ny forskel(osv.), men rækkefølgen eksisterer bestemt og er nem at lægge mærke til - hver næste nummer gange mere end den forrige!

Denne type talrække kaldes geometrisk progression og er udpeget.

Geometrisk progression () er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression.

Begrænsningerne om, at det første led ( ) ikke er ens og ikke er tilfældige. Lad os antage, at der ikke er nogen, og det første led stadig er lig, og q er lig med, hmm.. lad det være, så viser det sig:

Enig i, at dette ikke længere er en progression.

Som du forstår, vil vi få de samme resultater, hvis der er et andet tal end nul, a. I disse tilfælde vil der simpelthen ikke være nogen progression, da det hele nummerserie der vil enten være alle nuller, eller et tal og alle resten nuller.

Lad os nu tale mere detaljeret om nævneren for den geometriske progression, det vil sige o.

Lad os gentage: - dette er tallet hvor mange gange ændres hvert efterfølgende led? geometrisk progression.

Hvad tror du, det kunne være? Det er rigtigt, positivt og negativt, men ikke nul (vi talte om dette lidt højere).

Lad os antage, at vores er positiv. Lad i vores tilfælde, a. Hvad er værdien af ​​det andet led og? Det kan du nemt svare på:

Det er rigtigt. Derfor, hvis, så har alle efterfølgende vilkår for progressionen samme tegn- De er positive.

Hvad hvis det er negativt? For eksempel en. Hvad er værdien af ​​det andet led og?

Dette er en helt anden historie

Prøv at tælle vilkårene for denne progression. Hvor meget fik du? Jeg har. Således, hvis, så veksler tegnene på vilkårene for den geometriske progression. Det vil sige, hvis du ser en progression med skiftende fortegn for dens medlemmer, så er dens nævner negativ. Denne viden kan hjælpe dig med at teste dig selv, når du løser problemer om dette emne.

Lad os nu øve os lidt: prøv at bestemme, hvilke talsekvenser der er en geometrisk progression, og hvilke der er en aritmetisk progression:

Forstået? Lad os sammenligne vores svar:

• Geometrisk progression - 3, 6.
• Aritmetisk progression - 2, 4.
• Det er hverken en aritmetisk eller en geometrisk progression - 1, 5, 7.

Lad os vende tilbage til vores sidste progression og prøve at finde dens medlem, ligesom i den aritmetiske. Som du måske har gættet, er der to måder at finde det på.

Vi gange successivt hvert led med.

Så det th led af den beskrevne geometriske progression er lig med.

Som du allerede har gættet, vil du nu selv udlede en formel, der vil hjælpe dig med at finde ethvert medlem af den geometriske progression. Eller har du allerede udviklet det for dig selv, og beskriver hvordan du finder det th medlem trin for trin? Hvis ja, så tjek rigtigheden af ​​din begrundelse.

Lad os illustrere dette med eksemplet på at finde det te led i denne progression:

Med andre ord:

Find selv værdien af ​​leddet for den givne geometriske progression.

sket? Lad os sammenligne vores svar:

Bemærk venligst, at du fik nøjagtig det samme tal som i den foregående metode, når vi sekventielt multiplicerede med hvert tidligere led i den geometriske progression.
Lad os prøve at "depersonalisere" denne formel- Lad os sætte det i generel form og få:

Den afledte formel er sand for alle værdier - både positive og negative. Tjek selv dette ved at beregne vilkårene for den geometriske progression med følgende forhold: , A.

Har du talt? Lad os sammenligne resultaterne:

Enig at det ville være muligt at finde et led af en progression på samme måde som et led, dog er der mulighed for at regne forkert. Og hvis vi allerede har fundet det tredje led i den geometriske progression, hvad kunne så være enklere end at bruge den "trunkerede" del af formlen.

Uendeligt faldende geometrisk progression.

For nylig talte vi om, hvad der enten kan være større eller mindre end nul, men det er der særlige betydninger for hvilket den geometriske progression kaldes uendeligt aftagende.

Hvorfor tror du, at dette navn er givet?
Lad os først nedskrive en geometrisk progression bestående af led.
Lad os sige, så:

Vi ser, at hvert efterfølgende led er mindre end det foregående med en faktor, men vil der være et tal? Du vil straks svare - "nej". Derfor er det uendeligt faldende – det falder og falder, men bliver aldrig nul.

For klart at forstå, hvordan dette ser ud visuelt, lad os prøve at tegne en graf over vores progression. Så for vores tilfælde har formlen følgende form:

På grafer er vi vant til at plotte afhængighed af, derfor:

Essensen af ​​udtrykket har ikke ændret sig: i den første post viste vi afhængigheden af ​​værdien af ​​et medlem af en geometrisk progression af dets ordenstal, og i den anden post tog vi simpelthen værdien af ​​et medlem af en geometrisk progression som , og betegnede ordenstallet ikke som, men som. Det eneste, der skal gøres, er at bygge en graf.
Lad os se, hvad du har. Her er grafen jeg kom frem til:

Ser du? Funktionen falder, har en tendens til nul, men krydser den aldrig, så den er uendeligt faldende. Lad os markere vores punkter på grafen, og samtidig hvad koordinaten og betyder:

Prøv skematisk at afbilde en graf af en geometrisk progression, hvis dens første led også er ens. Analyser, hvad er forskellen med vores tidligere graf?

Klarede du dig? Her er grafen jeg kom frem til:

Nu hvor du fuldt ud har forstået det grundlæggende i emnet geometrisk progression: du ved hvad det er, du ved hvordan du finder dets udtryk, og du ved også hvad en uendeligt faldende geometrisk progression er, lad os gå videre til dens hovedegenskab.

Egenskab for geometrisk progression.

Husker du medlemmernes ejendom aritmetisk progression? Ja, ja, hvordan finder man værdien et vist antal progression, når der er tidligere og efterfølgende værdier for medlemmerne af denne progression. Kan du huske? Det her:

Nu står vi over for præcis det samme spørgsmål for vilkårene for en geometrisk progression. At tilbagetrække en lignende formel, lad os begynde at tegne og ræsonnere. Du vil se, det er meget nemt, og hvis du glemmer det, kan du selv få det ud.

Lad os tage en anden simpel geometrisk progression, hvor vi kender og. Hvordan finder man? Med aritmetisk progression er det nemt og enkelt, men hvad med her? Faktisk er der heller ikke noget kompliceret i geometrisk - du skal bare skrive ned hver værdi givet til os i henhold til formlen.

Du kan spørge, hvad skal vi gøre ved det nu? Ja, meget simpelt. Lad os først afbilde disse formler i et billede og prøve at udføre forskellige manipulationer med dem for at nå frem til værdien.

Lad os abstrahere fra de tal, der er givet til os, lad os kun fokusere på deres udtryk gennem formlen. Vi skal finde den fremhævede værdi orange, ved at kende medlemmerne ved siden af. Lad os prøve at producere med dem forskellige handlinger, som et resultat af hvilket vi kan få.

Tilføjelse.
Lad os prøve at tilføje to udtryk, og vi får:

Fra givet udtryk, som du ser, kan vi ikke udtrykke det på nogen måde, derfor vil vi prøve en anden mulighed - subtraktion.

Subtraktion.

Som du kan se, kan vi heller ikke udtrykke dette, så lad os prøve at multiplicere disse udtryk med hinanden.

Multiplikation.

Se nu omhyggeligt på, hvad vi har ved at gange vilkårene for den geometriske progression givet os i sammenligning med det, der skal findes:

Gæt hvad jeg taler om? Det er rigtigt, for at finde vi skal tage Kvadrat rod fra de geometriske progressionstal ved siden af ​​det ønskede ganget med hinanden:

Vær så god. Du har selv udledt egenskaben ved geometrisk progression. Prøv at skrive denne formel ind generel opfattelse. sket?

Glemt betingelsen for? Tænk over, hvorfor det er vigtigt, prøv for eksempel selv at regne det ud. Hvad vil der ske i dette tilfælde? Det er rigtigt, komplet nonsens, fordi formlen ser sådan ud:

Glem derfor ikke denne begrænsning.

Lad os nu beregne, hvad det er lig

Rigtigt svar - ! Hvis du ikke har glemt den anden ved beregningen mulig betydning, så er du en fantastisk fyr og kan straks gå videre til træning, og hvis du har glemt det, så læs hvad der bliver diskuteret nedenfor og vær opmærksom på, hvorfor det er nødvendigt at skrive begge rødder ned i svaret.

Lad os tegne begge vores geometriske progressioner - den ene med en værdi og den anden med en værdi og tjekke, om de begge har ret til at eksistere:

For at kontrollere, om en sådan geometrisk progression eksisterer eller ej, er det nødvendigt at se, om det er ens mellem alle givne medlemmer? Beregn q for det første og andet tilfælde.

Se hvorfor vi skal skrive to svar? Fordi det tegn på det udtryk, du leder efter, afhænger af, om det er positivt eller negativt! Og da vi ikke ved, hvad det er, skal vi skrive begge svar med et plus og et minus.

Nu hvor du har mestret hovedpunkterne og udledt formlen for egenskaben for geometrisk progression, find, kend og

Sammenlign dine svar med de rigtige:

Hvad synes du, hvad hvis vi ikke fik værdierne af vilkårene for den geometriske progression ved siden af ​​det ønskede tal, men lige langt fra det. For eksempel skal vi finde, og givet og. Kan vi bruge den formel, vi udledte i dette tilfælde? Prøv at bekræfte eller afkræfte denne mulighed på samme måde ved at beskrive, hvad hver værdi består af, som du gjorde, da du oprindeligt udledte formlen, kl.
Hvad fik du?

Se nu grundigt igen.
og tilsvarende:

Ud fra dette kan vi konkludere, at formlen virker ikke kun med naboer med de ønskede vilkår for den geometriske progression, men også med lige langt fra det medlemmerne leder efter.

Vores indledende formel har således formen:

Det vil sige, at hvis vi i det første tilfælde sagde det, så siger vi nu, at det kan være lig med enhver naturligt tal, som er mindre. Det vigtigste er, at det er ens for begge givne tal.

Øv på konkrete eksempler, vær bare ekstremt forsigtig!

1. , . Find.
2. , . Find.
3. , . Find.

Besluttede? Jeg håber, du var yderst opmærksom og bemærkede en lille fangst.

Lad os sammenligne resultaterne.

I de første to tilfælde anvender vi roligt ovenstående formel og får følgende værdier:

I det tredje tilfælde ved nærmere undersøgelse serienumre numre givet til os, forstår vi, at de ikke er lige langt fra det tal, vi leder efter: er den foregående dato, men fjernes ved positionen, så det er ikke muligt at anvende formlen.

Hvordan løses det? Det er faktisk ikke så svært, som det ser ud til! Lad os skrive ned, hvad hvert nummer givet til os og det tal, vi leder efter, består af.

Så vi har og. Lad os se, hvad vi kan gøre med dem? Jeg foreslår at dividere med. Vi får:

Vi erstatter vores data med formlen:

Det næste skridt kan vi finde - for dette skal vi tage terningerod fra det resulterende tal.

Lad os nu se igen på, hvad vi har. Vi har det, men vi skal finde det, og det er til gengæld lig med:

Vi fandt alle de nødvendige data til beregningen. Erstat i formlen:

Vores svar: .

Prøv selv at løse et andet lignende problem:
Givet:,
Find:

Hvor meget fik du? Jeg har - .

Som du kan se, har du i det væsentlige brug for husk kun én formel- . Du kan til enhver tid selv trække alt det resterende uden besvær. For at gøre dette skal du blot skrive den enkleste geometriske progression på et stykke papir og skrive ned, hvad hvert af dets tal er lig med, ifølge formlen beskrevet ovenfor.

Summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression.

Lad os nu se på formler, der giver os mulighed for hurtigt at beregne summen af ​​led af en geometrisk progression i et givet interval:

For at udlede formlen for summen af ​​led af en endelig geometrisk progression skal du gange alle dele af ovenstående ligning med. Vi får:

Se godt efter: hvad har de to sidste formler til fælles? Det er rigtigt, f.eks. almindelige medlemmer og så videre, bortset fra første og sidste medlem. Lad os prøve at trække 1. fra 2. ligning. Hvad fik du?

Udtryk nu udtrykket for den geometriske progression gennem formlen og erstat det resulterende udtryk med vores sidste formel:

Gruppér udtrykket. Du bør få:

Det eneste, der skal gøres, er at udtrykke:

Følgelig i dette tilfælde.

Hvad hvis? Hvilken formel virker så? Forestil dig en geometrisk progression kl. Hvordan er hun? Korrekt række identiske tal, derfor vil formlen se ud på følgende måde:

Der er mange legender om både aritmetisk og geometrisk progression. En af dem er legenden om Set, skaberen af ​​skak.

Mange mennesker ved, at skakspillet blev opfundet i Indien. Da den hinduistiske konge mødte hende, var han henrykt over hendes vid og de mange forskellige positioner, der var mulige i hende. Efter at have erfaret, at det var opfundet af en af ​​hans undersåtter, besluttede kongen at belønne ham personligt. Han tilkaldte opfinderen til sig selv og beordrede ham til at bede ham om alt, hvad han ønskede, og lovede at opfylde selv det mest dygtige ønske.

Seta bad om betænkningstid, og da Seta næste dag dukkede op for kongen, overraskede han kongen med den hidtil usete beskedenhed i hans anmodning. Han bad om at give et hvedekorn til det første felt på skakbrættet, et hvedekorn til det andet, et hvedekorn til det tredje, et fjerde osv.

Kongen blev vred og drev Seth bort, idet han sagde, at tjenerens anmodning var uværdig til kongens generøsitet, men lovede, at tjeneren ville modtage sine korn til alle brættets firkanter.

Og nu spørgsmålet: ved hjælp af formlen for summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression, beregne hvor mange korn Seth skal modtage?

Lad os begynde at ræsonnere. Da Seth ifølge betingelsen bad om et hvedekorn til det første felt på skakbrættet, til det andet, til det tredje, til det fjerde osv., så ser vi det i opgaven vi taler om om geometrisk progression. Hvad er det lig i dette tilfælde?
Højre.

Samlede kvadrater af skakbrættet. Henholdsvis, . Vi har alle dataene, det eneste der er tilbage er at sætte det ind i formlen og beregne.

At forestille sig i det mindste omtrent "skalaen" givet nummer, transformer ved hjælp af gradens egenskaber:

Selvfølgelig, hvis du vil, kan du tage en lommeregner og beregne, hvilket tal du ender med, og hvis ikke, må du tage mit ord for det: den endelige værdi af udtrykket bliver.
Det er:

quintillion quadrillion billioner milliarder millioner tusinde.

Puha) Hvis du vil forestille dig, hvor meget dette tal er, så estimer, hvor stor en stald ville være nødvendig for at rumme hele mængden af ​​korn.
Hvis stalden er m høj og m bred, skulle dens længde strække sig over km, dvs. dobbelt så langt som fra Jorden til Solen.

Hvis kongen var stærk i matematik, kunne han have inviteret videnskabsmanden selv til at tælle kornene, for for at tælle en million korn, ville han have brug for mindst en dags utrættelig optælling, og givet at det er nødvendigt at tælle kvintillioner, kornene skulle tælles hele hans liv.

Lad os nu løse et simpelt problem, der involverer summen af ​​led i en geometrisk progression.
En elev fra klasse 5A Vasya blev syg af influenza, men fortsætter med at gå i skole. Hver dag inficerer Vasya to mennesker, som til gengæld inficerer yderligere to mennesker, og så videre. Der er kun mennesker i klassen. Hvor mange dage vil hele klassen være syg med influenza?

Så det første udtryk for den geometriske progression er Vasya, det vil sige en person. Det tredje led i den geometriske progression er de to mennesker, han inficerede på den første dag efter sin ankomst. total beløb medlemmer af progressionen er lig med antallet af elever i 5A. Derfor taler vi om en progression, hvor:

Lad os erstatte vores data med formlen for summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression:

Hele klassen bliver syg inden for få dage. Tror du ikke på formler og tal? Prøv selv at skildre elevernes "infektion". sket? Se hvordan det ser ud for mig:

Beregn selv, hvor mange dage det ville tage for eleverne at blive syge af influenza, hvis hver enkelt smittede en person, og der kun var én person i klassen.

Hvilken værdi fik du? Det viste sig, at alle begyndte at blive syge efter en dag.

Som du kan se, lignende opgave og tegningen til den ligner en pyramide, hvor hver efterfølgende "bringer" nye mennesker. Men før eller siden kommer der et øjeblik, hvor sidstnævnte ikke kan tiltrække nogen. I vores tilfælde, hvis vi forestiller os, at klassen er isoleret, lukker personen fra kæden (). Så hvis en person var involveret i finanspyramide, hvori der blev givet penge, hvis du medbringer to andre deltagere, så personen (eller almindelig sag) ville ikke have bragt nogen, og ville derfor have mistet alt, hvad de investerede i denne økonomiske fidus.

Alt, hvad der blev sagt ovenfor, refererer til en faldende eller stigende geometrisk progression, men som du husker, har vi særlig slags- en uendeligt faldende geometrisk progression. Hvordan beregner man summen af ​​sine medlemmer? Og hvorfor har denne type progression visse funktioner? Lad os finde ud af det sammen.

Så lad os først se igen på denne tegning af en uendeligt aftagende geometrisk progression fra vores eksempel:

Lad os nu se på formlen for summen af ​​en geometrisk progression, afledt lidt tidligere:
eller

Hvad stræber vi efter? Det er rigtigt, grafen viser, at den har en tendens til nul. Det vil sige, at, vil være næsten lige, henholdsvis, når vi beregner det udtryk, vi får næsten. I denne henseende mener vi, at når man beregner summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression, kan denne parentes negligeres, da den vil være ens.

- formel er summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression.

VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af ​​led af en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at vi skal finde summen uendelig antal medlemmer.

Hvis et bestemt tal n er angivet, så bruger vi formlen for summen af ​​n led, også hvis eller.

Lad os nu øve os.

1. Find summen af ​​de første led i den geometriske progression med og.
2. Find summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression med og.

Jeg håber, du var yderst forsigtig. Lad os sammenligne vores svar:

Nu ved du alt om geometrisk progression, og det er tid til at gå fra teori til praksis. De mest almindelige geometriske progressionsproblemer, man støder på ved eksamen, er problemer med at beregne renters rente. Det er dem, vi vil tale om.

Problemer med at beregne renters rente.

Du har sikkert hørt om den såkaldte rentesammensatte formel. Forstår du, hvad det betyder? Hvis ikke, så lad os finde ud af det, for når du først forstår selve processen, vil du straks forstå, hvad geometrisk progression har med det at gøre.

Vi går alle i banken og ved, at der er forskellige forhold på indskud: dette er sigt, og yderligere service, og renter med to forskellige veje dens beregninger - enkle og komplekse.

MED simpel rente alt er mere eller mindre klart: Der påløber renter én gang ved slutningen af ​​indbetalingsperioden. Det vil sige, hvis vi siger, at vi indbetaler 100 rubler i et år, krediteres de først i slutningen af ​​året. Derfor vil vi modtage rubler ved udgangen af ​​depositum.

Renters rente- dette er en mulighed, hvor det forekommer rentekapitalisering, dvs. deres tilføjelse til indskudsbeløbet og efterfølgende beregning af indkomst ikke fra det oprindelige, men fra det akkumulerede indskudsbeløb. Store bogstaver forekommer ikke konstant, men med en vis hyppighed. Som regel er sådanne perioder lige store, og oftest bruger banker en måned, et kvartal eller et år.

Lad os antage, at vi indbetaler de samme rubler årligt, men med månedlig kapitalisering af indskuddet. Hvad laver vi?

Forstår du alt her? Hvis ikke, så lad os finde ud af det trin for trin.

Vi bragte rubler til banken. Ved udgangen af ​​måneden skulle vi have et beløb på vores konto bestående af vores rubler plus renter på dem, det vil sige:

Enig?

Vi kan tage den ud af parentes og så får vi:

Enig, denne formel ligner allerede mere det, vi skrev i begyndelsen. Det eneste der er tilbage er at finde ud af procenterne

I problemformuleringen får vi at vide om årssatser. Som du ved, multiplicerer vi ikke med - vi konverterer procenter til decimalbrøker, det vil sige:

Højre? Nu kan du spørge, hvor kom tallet fra? Meget simpelt!
Jeg gentager: problemformuleringen siger om ÅRLIGT renter, der påløber MÅNEDLIGE. Som du ved, vil banken derfor i løbet af et år af måneder opkræve os en del af den årlige rente pr. måned:

indså det? Prøv nu at skrive, hvordan denne del af formlen ville se ud, hvis jeg sagde, at renten beregnes dagligt.
Klarede du dig? Lad os sammenligne resultaterne:

Godt klaret! Lad os vende tilbage til vores opgave: skriv, hvor meget der vil blive krediteret vores konto i den anden måned, idet der tages højde for, at der påløber renter på det akkumulerede indskudsbeløb.
Her er hvad jeg fik:

Eller med andre ord:

Jeg tror, ​​at du allerede har bemærket et mønster og set en geometrisk progression i alt dette. Skriv, hvad dets medlem vil være lig med, eller med andre ord, hvilket beløb vi vil modtage i slutningen af ​​måneden.
gjorde? Lad os tjekke!

Som du kan se, hvis du sætter penge i en bank i et år til en simpel rente, vil du modtage rubler, og hvis til en sammensat rente, vil du modtage rubler. Fordelen er lille, men dette sker kun i løbet af det år, men for flere en lang periode kapitalisering er meget mere rentabel:

Lad os overveje en anden type problem: renters rente. Efter hvad du har fundet ud af, vil det være elementært for dig. Så opgaven:

Zvezda-virksomheden begyndte at investere i industrien i 2000 med kapital i dollars. Hvert år siden 2001 har den fået et overskud, der svarer til det foregående års kapital. Hvor meget overskud vil Zvezda-virksomheden modtage ved udgangen af ​​2003, hvis overskuddet ikke blev trukket ud af omløb?

Zvezdas hovedstad i 2000.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2001.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2002.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2003.

Eller vi kan skrive kort:

For vores tilfælde:

2000, 2001, 2002 og 2003.

Henholdsvis:
rubler
Vær opmærksom på, at vi i denne opgave ikke har en division hverken efter eller efter, da procenten opgives ÅRLIGT, og den udregnes ÅRLIGT. Det vil sige, når du læser et problem om renters rente, skal du være opmærksom på, hvilken procentdel der gives, og i hvilken periode den beregnes, og først derefter gå videre til beregninger.
Nu ved du alt om geometrisk progression.

Uddannelse.

1. Find termen for den geometriske progression, hvis det er kendt, og
2. Find summen af ​​de første led i den geometriske progression, hvis det er kendt, og
3. MDM Capital-virksomheden begyndte at investere i industrien i 2003 med kapital i dollars. Hvert år siden 2004 har den fået et overskud, der svarer til det foregående års kapital. MSK firma Pengestrømme"begyndte at investere i industrien i 2005 for $10.000, og begyndte at tjene penge i 2006 på et beløb på. Hvor mange dollars er den ene virksomheds kapital større end den anden ved udgangen af ​​2007, hvis overskuddet ikke blev trukket ud af omløb?

Svar:

1. Da problemformuleringen ikke siger, at progressionen er uendelig, og du skal finde summen specifikt nummer dets medlemmer, så udføres beregningen efter formlen:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - stiger med 100%, det vil sige 2 gange.
   Henholdsvis:
   rubler
   MSK Cash Flows selskab:

   2005, 2006, 2007.
   - stiger med, det vil sige med gange.
   Henholdsvis:
   rubler
   rubler

Lad os opsummere.

1) Geometrisk progression ( ) er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression.

2) Ligningen for vilkårene for den geometriske progression er .

3) kan tage alle værdier undtagen og.

• hvis, så har alle efterfølgende vilkår for progressionen det samme fortegn - de er positive;
• hvis, så alle efterfølgende vilkår for progressionen alternative tegn;
• når - progressionen kaldes uendeligt aftagende.

4) , med - egenskab for geometrisk progression (tilstødende led)

eller
, på (lige afstande)

Når du finder det, så glem det ikke der burde være to svar.

For eksempel,

5) Summen af ​​vilkårene for den geometriske progression beregnes ved formlen:
eller

Hvis progressionen er uendeligt faldende, så:
eller

VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af ​​led af en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at vi skal finde summen uendeligt antal medlemmer.

6) Problemer, der involverer renters rente, beregnes også ved hjælp af formlen for det te led i en geometrisk progression, forudsat at kontanter ikke blev trukket ud af cirkulation:

GEOMETRISK PROGRESSION. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Geometrisk progression( ) er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal. Dette nummer kaldes nævner for en geometrisk progression.

Nævner for geometrisk progression kan tage enhver værdi undtagen og.

• Hvis så alle efterfølgende led i progressionen har det samme fortegn - de er positive;
• hvis, så skifter alle efterfølgende medlemmer af progressionen tegn;
• når - progressionen kaldes uendeligt aftagende.

Ligning af termer for geometrisk progression - .

Summen af ​​led af en geometrisk progression beregnet med formlen:
eller

NUMERISKE SEKVENSER VI

§ l48. Summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression

Indtil nu, når vi taler om summer, har vi altid antaget, at antallet af led i disse summer er endeligt (f.eks. 2, 15, 1000 osv.). Men når man løser nogle problemer (især højere matematik) har man at gøre med summen af ​​et uendeligt antal led

S= -en 1 + -en 2 + ... + -en n + ... . (1)

Hvad er disse beløb? A-priory summen af ​​et uendeligt antal led -en 1 , -en 2 , ..., -en n , ... kaldes grænsen for summen S n først P tal hvornår P -> ∞ :

S=S n = (-en 1 + -en 2 + ... + -en n ). (2)

Begrænsning (2) kan selvfølgelig eksistere eller eksisterer ikke. Derfor siger de, at summen (1) eksisterer eller ikke eksisterer.

Hvordan kan vi finde ud af, om summen (1) findes i hver konkret sag? Fælles beslutning Dette problem går langt ud over vores programs rammer. Der er dog én vigtig særlig situation, som vi nu skal overveje. Vi vil tale om at summere vilkårene for en uendeligt faldende geometrisk progression.

Lade -en 1 , -en 1 q , -en 1 q 2, ... er en uendeligt aftagende geometrisk progression. Det betyder, at | q |< 1. Сумма первых P vilkår for denne progression er lige

Fra hovedsætningerne om grænser variabler(se § 136) får vi:

Men 1 = 1, a qn = 0. Derfor

Så summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression er lig med det første led i denne progression divideret med én minus nævneren for denne progression.

1) Summen af ​​den geometriske progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... er lig med

og summen af ​​den geometriske progression er 12; -6; 3; - 3/2, ... lige

2) Enkelt periodisk fraktion 0,454545 ... konverter til alm.

For at løse dette problem, lad os forestille os givet brøk som en uendelig sum:

Højre side af denne lighed er summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis første led er lig med 45/100, og nævneren er 1/100. Derfor

Ved hjælp af den beskrevne metode kan der opnås en generel regel for omregning af simple periodiske brøker til almindelige brøker (se kapitel II, § 38):

For at konvertere en simpel periodisk brøk til en almindelig brøk, skal du gøre følgende: Sæt punktum i tælleren decimal, og nævneren er et tal bestående af ni taget lige så mange gange, som der er cifre i perioden for decimalbrøken.

3) Omregn den blandede periodiske brøk 0,58333 .... til en almindelig brøk.

Lad os forestille os denne brøk som en uendelig sum:

På højre side af denne lighed danner alle led, startende fra 3/1000, en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis første led er lig med 3/1000, og nævneren er 1/10. Derfor

Ved hjælp af den beskrevne metode kan der opnås en generel regel for omregning af blandede periodiske fraktioner til almindelige fraktioner (se kapitel II, § 38). Vi præsenterer det bevidst ikke her. Der er ingen grund til at huske denne besværlige regel. Det er meget mere nyttigt at vide, at enhver blandet periodisk fraktion kan repræsenteres som summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression og et vist tal. Og formlen

for summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression skal du selvfølgelig huske.

Som øvelse foreslår vi, at du, udover opgave nr. 995-1000, der er anført nedenfor, endnu en gang vender dig til opgave nr. 301 § 38.

Øvelser

995. Hvad kaldes summen af ​​en uendeligt aftagende geometrisk progression?

996. Find summen af ​​uendeligt faldende geometriske progressioner:

997. Til hvilke værdier x progression

er det uendeligt faldende? Find summen af ​​en sådan progression.

998.V ligesidet trekant med siden EN indskrevet ved at forbinde midtpunkterne på dens sider ny trekant; en ny trekant er indskrevet i denne trekant på samme måde, og så videre ad infinitum.

a) summen af ​​omkredsen af ​​alle disse trekanter;

b) summen af ​​deres arealer.

999. Firkantet med side EN indskrevet ved at forbinde midtpunkterne på dens sider ny plads; en firkant er indskrevet i denne firkant på samme måde, og så videre ad infinitum. Find summen af ​​omkredsen af ​​alle disse kvadrater og summen af ​​deres arealer.

1000. Komponer en uendeligt aftagende geometrisk progression, så dens sum er lig med 25/4, og summen af ​​kvadraterne af dens led er lig med 625/24.

Ved at introducere notationen i begyndelsen af ​​kapitlet undgik vi klogt spørgsmålet om uendelige summer ved i det væsentlige at sige: "Lad os lade det ligge til senere. I mellemtiden kan vi antage, at alle forekommende summer kun har et begrænset antal ikke-nul led! Men regnskabets tid er endelig kommet – det må vi se i øjnene

mængderne kan være uendelige. Og for at sige sandheden, uendelige mængder ledsaget af både behagelige og ubehagelige omstændigheder.

Først om det ubehagelige: det viser sig, at de metoder, vi brugte ved håndtering af summer, ikke altid er gyldige for uendelige summer. Og nu til de gode ting: der er et stort arrangeret klasse uendelige mængder, som alle de operationer, vi udførte, var fuldstændig lovlige. Årsagerne bag begge omstændigheder vil blive tydelige, når vi har fundet ud af det sand betydning summering.

Alle ved, hvad det er endeligt beløb: vi tilføjer alle vilkårene til totalen, den ene efter den anden, indtil de alle summeres. Men en uendelig mængde bør bestemmes mere delikat for ikke at komme i problemer.

er lig med 2, da når vi fordobler det, får vi

Men så, efter samme logik, ville vi være nødt til at beregne beløbet

lig med -1, for når vi fordobler det, får vi

Der sker noget mærkeligt: ​​hvordan kan du få det et negativt tal, opsummerer positive værdier? Det synes bedre at lade summen af ​​T være udefineret, og måske skal vi antage, at da vilkårene i T bliver større end ethvert fast endeligt tal. (Bemærk, at mængden er en anden "løsning" til ligningen; den "løser" også ligningen

Lad os prøve at give en ordentlig definition af værdien af ​​en vilkårlig sum, hvor mængden K kan være uendelig. Antag til at begynde med, at alle termer i a er ikke-negative. I dette tilfælde passende definition er ikke svært at finde: hvis der for en begrænset delmængde er en begrænsende konstant A sådan, at

så tager vi summen for at være den mindste af alle sådanne A. (Som det følger af de velkendte egenskaber ved reelle tal, indeholder mængden af ​​alle sådanne A altid det mindste element.) Men hvis en sådan begrænsende konstant A ikke eksisterer , opfatter vi dette som at hvis A -

et reelt tal, så er der et endeligt antal led af a, hvis sum overstiger A.

Definitionen i det foregående afsnit er formuleret så delikat, at den ikke afhænger af nogen rækkefølge, der måtte eksistere i indekssættet K. Derfor vil de argumenter, vi skal give, ikke kun være gyldige for summer over et sæt af heltal, men også for flere summer med mange indekser

Især når K er sættet af ikke-negative heltal, betyder vores definition for de ikke-negative udtryk, at

Og her er hvorfor: enhver ikke-aftagende sekvens af reelle tal har en grænse (muligvis lig med Hvis denne grænse er lig, et endeligt sæt af ikke-negative heltal, som alle er det; derfor er enten eller A en begrænsende konstant. Men hvis A er et tal mindre etableret grænse A, så er der sådan, at derudover en endelig mængde vidner om, at A ikke er en begrænsende konstant.

Nu kan du nemt beregne størrelsen af ​​specifikke uendelige summer i overensstemmelse med den netop givet definition. For eksempel hvis da

Især de uendelige summer og T, som blev diskuteret for et øjeblik siden, er lig med henholdsvis 2 og, som vi forventede. Et andet bemærkelsesværdigt eksempel:

Lad os nu overveje det tilfælde, hvor summen sammen med ikke-negative summer kan indeholde negative udtryk. Hvad skal der f.eks. være mængden af

Hvis vi grupperer termerne i par, får vi:

så beløbet viser sig at være lig med nul; men hvis vi begynder at gruppere i par et trin senere, får vi

dvs. summen er lig med én.

Vi kunne også prøve at indsætte formlen, da vi ved, at denne formel er gyldig for, men så vil vi være tvunget til at indrømme, at denne uendelige sum er lig, fordi den er summen af ​​heltal!

Et andet interessant eksempel er summen uendelig i begge retninger, hvori ved k 0 og ved E kan skrives som

Hvis vi beregner denne sum ved at starte fra det "centrale" element og bevæge os udad,

så får vi 1; og vi får den samme 1, hvis vi flytter alle parenteserne et element til venstre,

da summen af ​​alle tal omgivet af inderste parenteser er

Lignende ræsonnement viser, at værdien af ​​summen forbliver lig med 1, hvis disse parenteser flyttes et hvilket som helst fast antal elementer til venstre eller højre - dette styrker vores opfattelse af, at summen reelt er lig med 1. Men på den anden side, hvis vi grupperer termerne som følger:

så vil parret af indre parenteser indeholde tal

I kap. 9 vil det blive vist, at derfor, denne metode gruppering fører til ideen om, at en sum, der er uendelig i begge retninger, faktisk burde være lig med

Der er noget meningsløst over det beløb, der giver forskellige betydninger ved tilføjelse af medlemmer forskellige veje. Moderne analysemanualer inkluderer hele linjen definitioner, hvormed meningsfulde betydninger tildeles sådanne patologiske summer; men hvis vi låner disse definitioner, vil vi ikke være i stand til at operere med -notationen så frit, som vi har gjort hidtil. Formålet med denne bog er sådan, at vi ikke behøver raffinerede præciseringer af begrebet " betinget konvergens" - vi vil overholde en sådan definition af uendelige summer, som efterlader alle de operationer, vi brugte i dette kapitel, i kraft.

I bund og grund er vores definition af uendelige summer ret enkel. Lad K være et sæt, og lad a være et realværdiled af summen defineret for hver . (Faktisk kan det betyde flere indekser, så selve mængden K kan være multidimensional.) Ethvert reelt tal x kan repræsenteres som forskellen mellem dets positive og negative dele,

(Enten eller Vi har allerede forklaret, hvordan man bestemmer størrelsen af ​​uendelige summer, da de er ikke-negative. Derfor er vores generel definition er det:

medmindre begge summer på højre side er lige store. I sidstnævnte tilfælde Hleks beløb er fortsat usikkert.

Lad Tskekak og Hvis summerne er endelige, så siger de, at summen konvergerer absolut til . Hvis den er endelig, så siger de, at summen divergerer til Ligeledes, hvis den er endelig, så siger de, at den divergerer til If, så siger de ingenting.

Vi startede med en definition, der "virkede" for ikke-negative termer af summen, og udvidede den derefter til alle realværdier. Hvis medlemmerne af summen er komplekse tal, kan vores definition naturligvis udvides til dette tilfælde: summen er defineret som - reel og imaginær del a, forudsat at begge disse summer eksisterer. Ellers mængden af ​​Hkek er ikke bestemt. (Se øvelse 18.)

Det uheldige, som allerede nævnt, er, at nogle uendelige mængder skal efterlades udefinerede, fordi de operationer, vi udfører med dem, kan føre til absurditeter. (Se øvelse 34.) Det gode er, at alle operationerne fra dette kapitel er absolut gyldige, når vi har at gøre med summer, der absolut konvergerer i den forstand, der netop er etableret.

Vi kan bekræfte denne behagelige kendsgerning ved at demonstrere, at hver af vores sumtransformationsregler efterlader størrelsen af ​​enhver absolut konvergent sum uændret. Mere specifikt betyder det, at man bør kontrollere opfyldelsen af ​​de distributive, kombinations- og kommutative love, plus reglen, hvorefter man kan begynde at summere over enhver variabel; alt andet, vi gjorde i dette kapitel, kan udledes af disse fire grundlæggende sumoperationer.

Fordelingsloven (2.15) kan formuleres mere stringent som følger: hvis summen Xek a konvergerer absolut til, og hvis c er noget komplekst tal, så konvergerer Lkek absolut til Dette kan bevises ved først at dividere summen i reelle og imaginære, derefter i positive og negative dele, som de gjorde før, og bevise det særlige tilfælde, når hvert led i summen er ikke-negativ. Beviset i dette særlige tilfælde fungerer på grund af det faktum, at for enhver endelig mængde kan det sidste faktum bevises ved induktion på størrelsen af ​​mængden

Kombinationsret(2.16) kan formuleres som følger: hvis summen konvergerer absolut til henholdsvis A og B, så konvergerer summen absolut til Det viser sig, at der er tale om et specialtilfælde af mere generel sætning, hvilket vi snart vil bevise.

Der er faktisk ikke behov for at bevise den kommutative lov (2.17), da vi, da vi diskuterede formel (2.35), viste, hvordan man udleder den som et specialtilfælde almindelig regelændringer i rækkefølgen af ​​summeringen.

Definitioner og egenskaber af infinitesimale og uendeligt store funktioner i et punkt. Beviser for egenskaber og teoremer. Forholdet mellem uendeligt store og uendeligt store funktioner.

Definitioner af infinitesimal og infinitesimal funktioner

Lad x 0 er et endeligt eller uendeligt punkt: ∞, -∞ eller +∞.

Definition af en infinitesimal funktion
Funktion α (x) hedder uendelig lille som x har en tendens til x 0 0 , og det er lig nul:
.

Definition af en uendelig stor funktion
Funktion f (x) hedder uendelig stor som x har en tendens til x 0 , hvis funktionen har en grænse som x → x 0 , og det er lig med uendelig:
.

Egenskaber for infinitesimale funktioner

Egenskab for summen, forskellen og produktet af infinitesimale funktioner

Sum, forskel og produkt endeligt antal infinitesimale funktioner som x → x 0 er en infinitesimal funktion som x → x 0 .

Denne egenskab er en direkte konsekvens af de aritmetiske egenskaber for en funktions grænser.

Produktsætning begrænset funktion til uendeligt lille

Produkt af en funktion afgrænset på et eller andet punkteret kvarter til punkt x 0 , til infinitesimal, som x → x 0 , er en infinitesimal funktion som x → x 0 .

Egenskaben til at repræsentere en funktion som summen af ​​en konstant og en infinitesimal funktion

For at funktionen f (x) havde endelig grænse, det er nødvendigt og tilstrækkeligt til
,
hvor - uendeligt lille funktion som x → x 0 .

Egenskaber for uendeligt store funktioner

Sætning om summen af ​​en afgrænset funktion og en uendelig stor

Summen eller forskellen af ​​en afgrænset funktion i et eller andet punkteret område af punktet x 0 , og en uendelig stor funktion, som x → x 0 , er uendelig stor funktion som x → x 0 .

Sætning om division af en begrænset funktion med en uendelig stor

Hvis funktion f (x) er uendeligt stor som x → x 0 , og funktionen g (x)- er afgrænset til et eller andet punkteret kvarter til punkt x 0 , At
.

Sætning om divisionen af ​​en funktion, der er afgrænset nedenfor af en infinitesimal

Hvis en funktion, på nogle punkteret kvarter af punktet, ved absolut værdi afgrænset nedenfor positivt tal:
,
og funktionen er infinitesimal som x → x 0 :
,
og der er et punkteret naboskab af det punkt, hvorpå
.

Egenskab for uligheder af uendeligt store funktioner

Hvis funktionen er uendelig stor ved:
,
og funktionerne og , på nogle punkteret naboskab af punktet opfylder uligheden:
,
så er funktionen også uendelig stor ved:
.

Denne ejendom har to særlige tilfælde.

Lad, på nogle punkteret naboskab af punktet, funktionerne og tilfredsstille uligheden:
.
Så hvis , så og .
Hvis , så og .

Forholdet mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner

Af de to foregående egenskaber følger sammenhængen mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner.

Hvis en funktion er uendelig stor ved , så er funktionen uendelig lille ved .

Hvis en funktion er uendelig stor for , og , så er funktionen uendelig stor for .

Forholdet mellem en infinitesimal og en uendelig stor funktion kan udtrykkes symbolsk:
, .

Hvis en infinitesimal funktion har et bestemt fortegn ved , det vil sige, at den er positiv (eller negativ) på et punkteret område af punktet, så kan vi skrive det sådan her:
.
På samme måde, hvis en uendelig stor funktion har et bestemt fortegn ved , så skriver de:
, eller .

Så kan den symbolske sammenhæng mellem uendeligt små og uendeligt store funktioner suppleres med følgende relationer:
, ,
, .

Yderligere formler, linkende uendelighedssymboler kan findes på siden
"Peger på uendelighed og deres egenskaber."

Bevis for egenskaber og sætninger

Bevis for sætningen om produktet af en afgrænset funktion og en infinitesimal

Lad funktionen være uendelig stor for:
.
Og lad der være et punkteret naboskab af det punkt, hvorpå
kl.

Lad os tage en vilkårlig sekvens, der konvergerer til . Startende fra et eller andet nummer N, vil elementerne i sekvensen tilhøre dette kvarter:
kl.
Derefter
kl.

Ifølge definitionen af ​​grænsen for en funktion ifølge Heine,
.
Så ved egenskaben af ​​uligheder i uendeligt store sekvenser,
.
Da sekvensen er vilkårlig, konvergerer den til , så ved definitionen af ​​grænsen for en funktion ifølge Heine,
.

Ejendommen er bevist.

Referencer:
L.D. Kudryavtsev. Godt matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 2003.

For at udregn summen af ​​en serie, skal du blot tilføje elementerne i rækken et givet antal gange. For eksempel:

I eksemplet ovenfor blev dette gjort meget enkelt, da det skulle summeres et endeligt antal gange. Men hvad hvis den øvre grænse for summering er uendelig? For eksempel, hvis vi skal finde summen af ​​følgende række:

I analogi med det foregående eksempel kan vi skrive dette beløb således:

Men hvad skal man så gøre?! På dette stadium er det nødvendigt at introducere konceptet delbeløb række. Så, delsummen af ​​serien(betegnet S n) er summen af ​​de første n led i rækken. De der. i vores tilfælde:

Så kan summen af ​​den oprindelige serie beregnes som grænsen for delsummen:

Således for beregne summen af ​​en serie, er det nødvendigt på en eller anden måde at finde et udtryk for delsummen af ​​rækken (S n ). I vores særlige tilfælde er serien en aftagende geometrisk progression med en nævner på 1/3. Som du ved, beregnes summen af ​​de første n elementer i en geometrisk progression ved formlen:

her er b 1 det første element i den geometriske progression (i vores tilfælde er det 1) og q er nævneren for progressionen (i vores tilfælde 1/3). Derfor er delsummen S n for vores serie lig med:

Så er summen af ​​vores serie (S) ifølge definitionen givet ovenfor lig med:

Eksemplerne diskuteret ovenfor er ret enkle. Normalt er det meget vanskeligere at beregne summen af ​​en serie, og den største vanskelighed ligger i at finde delsummen af ​​serien. Fremhævet nedenfor online lommeregner, baseret på Wolfram Alpha-systemet, giver dig mulighed for at beregne summen af ​​ret komplekse serier. Desuden, hvis lommeregneren ikke kunne finde summen af ​​serien, er det sandsynligt, at denne serie er divergerende (i dette tilfælde viser lommeregneren en meddelelse som "sum divergerer"), dvs. Denne lommeregner hjælper også indirekte med at få en idé om konvergensen af ​​serier.

For at finde summen af ​​din serie skal du angive serievariablen, den lavere og øvre grænser summering, samt udtrykket for rækkens n. led (dvs. det faktiske udtryk for selve rækken).