Find den mindste værdi af en funktion på et segment. Hvordan finder man de største og mindste værdier af en funktion i et afgrænset lukket område? Største og mindste værdi af en funktion
Ofte i fysik og matematik skal du finde mindste værdi funktioner. Vi vil nu fortælle dig, hvordan du gør dette.
Sådan finder du den mindste værdi af en funktion: instruktioner
Find på et givet segment de punkter, hvor den afledede er lig med nul, samt alle kritiske punkter. Find derefter værdierne af funktionen på disse punkter, det vil sige løs ligningen, hvor x er lig med nul. Find ud af, hvilken værdi der er den mindste.
Bestem hvilken værdi funktionen har på endepunkter. Bestem den mindste værdi af funktionen på disse punkter.
Sammenlign de opnåede data med den laveste værdi. Det mindste af de resulterende tal vil være den mindste værdi af funktionen.
Bemærk, at hvis en funktion på et segment ikke har mindste punkter, betyder det, at det i et givet segment stiger eller falder. Derfor skal den mindste værdi beregnes på de endelige segmenter af funktionen.
I alle andre tilfælde beregnes værdien af funktionen i henhold til den angivne algoritme. På hvert punkt i algoritmen skal du løse en simpel lineær ligning med én rod. Løs ligningen ved hjælp af et billede for at undgå fejl.
Hvordan finder man den mindste værdi af en funktion på et halvåbent segment? På en halvåben eller åben periode af funktionen skal den mindste værdi findes på følgende måde. Ved endepunkterne af funktionsværdien beregnes den ensidige grænse for funktionen. Løs med andre ord en ligning, hvor tendenspunkterne er givet ved værdierne a+0 og b+0, hvor a og b er navnene kritiske punkter.
Nu ved du, hvordan du finder den mindste værdi af en funktion. Det vigtigste er at udføre alle beregninger korrekt, præcist og uden fejl.
I denne artikel vil jeg tale om, hvordan man anvender evnen til at finde til studiet af en funktion: at finde dens største eller mindste værdi. Og så skal vi løse flere problemer fra Opgave B15 fra Åben bank opgaver til.
Lad os som sædvanlig først huske teorien.
I begyndelsen af enhver undersøgelse af en funktion finder vi den
For at finde den største eller mindste værdi af en funktion, skal du undersøge, på hvilke intervaller funktionen stiger, og på hvilke den falder.
For at gøre dette skal vi finde den afledede af funktionen og undersøge dens intervaller med konstant fortegn, det vil sige de intervaller, over hvilke den afledede beholder sit fortegn.
Intervaller, over hvilke den afledede af en funktion er positiv, er intervaller med stigende funktion.
Intervaller, hvor den afledede af en funktion er negativ, er intervaller med aftagende funktion.
1 . Lad os løse opgave B15 (nr. 245184)
For at løse det, vil vi følge følgende algoritme:
a) Find funktionens definitionsdomæne
b) Lad os finde den afledede af funktionen.
c) Lad os sidestille det med nul.
d) Lad os finde intervallerne af konstant fortegn for funktionen.
e) Find det punkt, hvor funktionen tager højeste værdi.
f) Find værdien af funktionen på dette tidspunkt.
Jeg giver en detaljeret løsning på denne opgave i VIDEO TUTORIAL:
Din browser er sandsynligvis ikke understøttet. For at bruge træneren " Unified State Exam Hour", prøv at downloade Firefox
2. Lad os løse opgave B15 (nr. 282862)
Find den største værdi af funktionen på segmentet
Det er indlysende, at funktionen tager den største værdi på segmentet ved maksimumpunktet, ved x=2. Lad os finde værdien af funktionen på dette tidspunkt:
Svar: 5
3. Lad os løse opgave B15 (nr. 245180):
Find den største værdi af funktionen
1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}
2. Fordi ifølge definitionsdomænet for den oprindelige funktion title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}
3. Tæller lig med nul kl. Lad os tjekke om det hører til ODZ funktioner. For at gøre dette, lad os kontrollere, om betingelsen title="4-2x-x^2>0"> при .!}
Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,
det betyder, at punktet hører til ODZ-funktionen
Lad os undersøge tegnet for den afledede til højre og venstre for punktet:
Vi ser, at funktionen får sin største værdi på et punkt. Lad os nu finde værdien af funktionen på:
Bemærkning 1. Bemærk, at vi i denne opgave ikke fandt funktionens definitionsdomæne: vi fik kun rettet begrænsningerne og kontrolleret, om punktet, hvor den afledede er lig med nul, hører til funktionens definitionsdomæne. Dette viste sig at være tilstrækkeligt til denne opgave. Dette er dog ikke altid tilfældet. Det afhænger af opgaven.
Note 2. Når man studerer adfærd kompleks funktion du kan bruge denne regel:
hvis den ydre funktion af en kompleks funktion er stigende, så får funktionen sin største værdi på samme punkt, hvor intern funktion tager den største værdi. Dette følger af definitionen af en stigende funktion: en funktion stiger ved interval I, hvis en større værdi af argumentet fra dette interval svarer til en større værdi af funktionen.
hvis den ydre funktion af en kompleks funktion er faldende, så får funktionen sin største værdi på samme punkt, hvor den indre funktion får sin mindste værdi . Dette følger af definitionen af en faldende funktion: en funktion falder ved interval I, hvis en større værdi af argumentet fra dette interval svarer til en mindre værdi af funktionen
I vores eksempel øges den eksterne funktion gennem hele definitionsdomænet. Under fortegnet for logaritmen er der et udtryk - kvadratisk trinomium, som med en negativ førende koefficient tager den største værdi på punktet . Dernæst erstatter vi denne x-værdi i funktionsligningen og finde dens største værdi.
Standardalgoritmen til at løse sådanne problemer involverer, efter at have fundet funktionens nuller, at bestemme fortegnene for den afledte på intervallerne. Derefter beregning af værdier ved de fundne maksimum (eller minimum) punkter og ved grænsen af intervallet, afhængigt af hvilket spørgsmål der er i tilstanden.
Jeg råder dig til at gøre tingene lidt anderledes. Hvorfor? Jeg skrev om dette.
Jeg foreslår at løse sådanne problemer som følger:
1. Find den afledede. 2. Find nullerne for den afledte. 3. Bestem, hvilken af dem der hører til dette interval. 4. Vi beregner værdierne af funktionen ved grænserne for intervallet og punkterne i trin 3. 5. Vi drager en konklusion (besvar det stillede spørgsmål).
Under løsningen af de præsenterede eksempler blev løsningen ikke overvejet i detaljer andengradsligninger, du skal kunne gøre dette. Det burde de også vide.
Lad os se på eksempler:
77422. Find den største værdi af funktionen y=x 3 –3х+4 på segmentet [–2;0].
Lad os finde nullerne i den afledte:
Punktet x = –1 hører til det interval, der er angivet i betingelsen.
Vi beregner værdierne af funktionen i punkterne –2, –1 og 0:
Funktionens største værdi er 6.
Svar: 6
77425. Find den mindste værdi af funktionen y = x 3 – 3x 2 + 2 på segmentet.
Intervallet angivet i betingelsen indeholder punktet x = 2.
Vi beregner værdierne af funktionen i punkterne 1, 2 og 4:
Den mindste værdi af funktionen er –2.
Svar: -2
77426. Find den største værdi af funktionen y = x 3 – 6x 2 på segmentet [–3;3].
Lad os finde den afledede af den givne funktion:
Lad os finde nullerne i den afledte:
Punktet x = 0 hører til det interval, der er angivet i betingelsen.
Vi beregner værdierne af funktionen i punkterne –3, 0 og 3:
Funktionens mindste værdi er 0.
Svar: 0
77429. Find den mindste værdi af funktionen y = x 3 – 2x 2 + x +3 på segmentet.
Lad os finde den afledede af den givne funktion:
3x 2 – 4x + 1 = 0
Vi får rødderne: x 1 = 1 x 1 = 1/3.
Intervallet angivet i betingelsen indeholder kun x = 1.
Lad os finde værdierne af funktionen i punkt 1 og 4:
Vi fandt ud af, at den mindste værdi af funktionen er 3.
Svar: 3
77430. Find den største værdi af funktionen y = x 3 + 2x 2 + x + 3 på segmentet [– 4; -1].
Lad os finde den afledede af den givne funktion:
Lad os finde nullerne i den afledede og løse andengradsligningen:
3x 2 + 4x + 1 = 0
Lad os få rødderne:
Roden x = –1 hører til det interval, der er angivet i betingelsen.
Vi finder værdierne af funktionen i punkterne –4, –1, –1/3 og 1:
Vi fandt ud af, at den største værdi af funktionen er 3.
Svar: 3
77433. Find den mindste værdi af funktionen y = x 3 – x 2 – 40x +3 på segmentet.
Lad os finde den afledede af den givne funktion:
Lad os finde nullerne i den afledede og løse andengradsligningen:
3x 2 – 2x – 40 = 0
Lad os få rødderne:
Intervallet angivet i betingelsen indeholder roden x = 4.
Find funktionsværdierne ved punkt 0 og 4:
Vi fandt ud af, at den mindste værdi af funktionen er –109.
Svar: –109
Lad os overveje en måde at bestemme de største og mindste værdier af funktioner uden en afledt. Denne tilgang kan bruges, hvis du har store problemer. Princippet er enkelt - vi erstatter alle heltalværdier fra intervallet i funktionen (faktum er, at i alle sådanne prototyper er svaret et heltal).
77437. Find den mindste værdi af funktionen y=7+12x–x 3 på segmentet [–2;2].
Erstat punkter fra –2 til 2:
Se løsning
77434. Find den største værdi af funktionen y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 på segmentet [–2;0].
Det er alt. Held og lykke!
Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh.
P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller mig om webstedet på sociale netværk.
Problemformulering 2:
Givet en funktion, der er defineret og kontinuerlig på et bestemt interval. Du skal finde den største (mindste) værdi af funktionen på dette interval.
Hvis en funktion er defineret og kontinuerlig i et lukket interval, når den sine maksimum- og minimumværdier i dette interval.
Funktionen kan nå sine største og mindste værdier enten ved interne punkter hul eller ved dets grænser. Lad os illustrere alle de mulige muligheder.
Forklaring: 1) Funktionen når sin største værdi på den venstre grænse af intervallet ved punkt , og dens minimumværdi på den højre grænse af intervallet ved punkt . 2) Funktionen når sin største værdi ved punktet (dette er maksimumpunktet), og dens minimumværdi ved intervallets højre grænse ved punktet. 3) Funktionen når sin maksimumværdi på venstre grænse af intervallet ved punkt , og dens minimumværdi ved punkt (dette er minimumspunktet). 4) Funktionen er konstant på intervallet, dvs. den når sine minimums- og maksimumværdier på et hvilket som helst tidspunkt i intervallet, og minimums- og maksimumværdierne er lig med hinanden. 5) Funktionen når sin maksimumværdi ved punkt , og sin minimumværdi ved punkt (på trods af at funktionen har både et maksimum og et minimum på dette interval). 6) Funktionen når sin største værdi ved et punkt (dette er maksimumpunktet), og dens minimumværdi ved et punkt (dette er minimumspunktet). Kommentar:
"Maksimal" og "maksimal værdi" er forskellige ting. Dette følger af definitionen af maksimum og den intuitive forståelse af udtrykket "maksimal værdi".
Algoritme til at løse opgave 2.
4) Vælg den største (mindste) blandt de opnåede værdier og skriv svaret ned.
Eksempel 4:
Bestem den største og mindste værdi af en funktion på segmentet. Løsning: 1) Find den afledede af funktionen. 2) Find stationære punkter (og punkter mistænkt for ekstremum) ved at løse ligningen. Vær opmærksom på de punkter, hvor der ikke er nogen tosidet endelig afledt. 3) Beregn værdierne af funktionen ved stationære punkter og ved intervallets grænser.
4) Vælg den største (mindste) blandt de opnåede værdier og skriv svaret ned.
Funktionen på dette segment når sin største værdi på punktet med koordinaterne.
Funktionen på dette segment når sin minimumsværdi på punktet med koordinaterne.
Du kan verificere rigtigheden af beregningerne ved at se på grafen for den funktion, der undersøges.
Kommentar: Funktionen når sin største værdi ved maksimumpunktet og dens minimum ved segmentets grænse.
Et særligt tilfælde.
Antag, at vi skal finde maksimum og minimumsværdi nogle funktioner på et interval. Efter at have gennemført det første punkt i algoritmen, dvs. afledt beregning, bliver det tydeligt, at det fx kun tager negative værdier over hele det betragtede segment. Husk, at hvis den afledede er negativ, så falder funktionen. Vi fandt, at funktionen falder over hele segmentet. Denne situation er vist i graf nr. 1 i begyndelsen af artiklen.
Funktionen falder på segmentet, dvs. den har ingen ekstreme punkter. Fra billedet kan du se, at funktionen vil tage den mindste værdi på højre grænse af segmentet, og den største værdi til venstre. hvis den afledede på segmentet er positiv overalt, så øges funktionen. Den mindste værdi er på venstre kant af segmentet, den største er til højre.
I praksis er det ret almindeligt at bruge den afledede til at beregne den største og mindste værdi af en funktion. Vi udfører denne handling, når vi finder ud af, hvordan vi minimerer omkostningerne, øger fortjenesten, beregner den optimale belastning på produktionen osv., det vil sige i tilfælde, hvor vi skal bestemme den optimale værdi af en parameter. For at løse sådanne problemer korrekt, skal du have en god forståelse af, hvad de største og mindste værdier af en funktion er.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Typisk definerer vi disse værdier inden for et bestemt interval x, som igen kan svare til hele domænet af funktionen eller en del af den. Det kan være som et segment [a; b ] , og åbent interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), uendeligt interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) eller uendeligt interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ), (- ∞ ; + ∞) .
I dette materiale vil vi fortælle dig, hvordan du beregner de største og mindste værdier af en eksplicit defineret funktion med en variabel y=f(x) y = f (x) .
Grundlæggende definitioner
Lad os starte, som altid, med formuleringen af grundlæggende definitioner.
Definition 1
Den største værdi af funktionen y = f (x) på et bestemt interval x er værdien m a x y = f (x 0) x ∈ X, som for enhver værdi x x ∈ X, x ≠ x 0 gør uligheden f (x) ≤ f (x) gyldig 0) .
Definition 2
Den mindste værdi af funktionen y = f (x) på et bestemt interval x er værdien m i n x ∈ X y = f (x 0) , som for enhver værdi x ∈ X, x ≠ x 0 gør uligheden f(X f) (x) ≥ f (x 0).
Disse definitioner er ret indlysende. Endnu enklere kan vi sige dette: den største værdi af en funktion er dens mest stor betydning på et kendt interval ved abscisse x 0, og den mindste er den mindste accepterede værdi på det samme interval ved x 0.
Definition 3
Stationære punkter er de værdier af argumentet for en funktion, hvor dens afledte bliver 0.
Hvorfor skal vi vide, hvad stationære punkter er? For at besvare dette spørgsmål skal vi huske Fermats sætning. Det følger heraf, at et stationært punkt er det punkt, hvor yderpunktet af den differentiable funktion er placeret (dvs. dets lokale minimum eller maksimum). Følgelig vil funktionen tage den mindste eller største værdi på et bestemt interval præcist i et af de stationære punkter.
En funktion kan også antage den største eller mindste værdi på de punkter, hvor selve funktionen er defineret, og dens første afledede ikke eksisterer.
Det første spørgsmål, der opstår, når man studerer dette emne: i alle tilfælde kan vi bestemme den største eller mindste værdi af en funktion på et givet interval? Nej, det kan vi ikke, når grænserne for et givet interval falder sammen med grænserne for definitionsområdet, eller hvis vi har at gøre med et uendeligt interval. Det sker også, at en funktion i et givent segment eller ved uendelig vil tage uendeligt lille eller uendeligt store værdier. I disse tilfælde er det ikke muligt at bestemme den største og/eller mindste værdi.
Disse punkter vil blive tydeligere efter at være afbildet på graferne:
Den første figur viser os en funktion, der tager de største og mindste værdier (m a x y og m i n y) ved stationære punkter placeret på segmentet [-6; 6].
Lad os undersøge i detaljer det tilfælde, der er angivet i den anden graf. Lad os ændre værdien af segmentet til [ 1 ; 6 ] og vi finder, at den største værdi af funktionen vil blive opnået ved punktet med abscissen på højre grænse af intervallet, og den mindste ved stationært punkt.
I den tredje figur repræsenterer punkternes abscisser segmentets grænsepunkter [-3; 2]. De svarer til den største og mindste værdi af en given funktion.
Lad os nu se på det fjerde billede. I den tager funktionen m a x y (den største værdi) og m i n y (den mindste værdi) ved stationære punkter på åbent interval (- 6 ; 6) .
Hvis vi tager intervallet [1; 6), så kan vi sige, at den mindste værdi af funktionen på den vil blive opnået ved et stationært punkt. Den største værdi vil være ukendt for os. Funktionen kunne tage sin maksimale værdi ved x lig med 6, hvis x = 6 hørte til intervallet. Dette er præcis tilfældet vist i graf 5.
På graf 6 den laveste værdi denne funktion erhverver ved den rigtige grænse af intervallet (- 3; 2 ], og vi kan ikke drage sikre konklusioner om den største værdi.
I figur 7 ser vi, at funktionen vil have m a x y i et stationært punkt med en abscisse lig med 1. Funktionen vil nå sin minimumsværdi ved grænsen af intervallet c højre side. Ved minus uendeligt vil funktionsværdierne asymptotisk nærme sig y = 3.
Hvis vi tager intervallet x ∈ 2 ; + ∞ , så vil vi se, at den givne funktion hverken vil tage den mindste eller den største værdi på den. Hvis x har en tendens til 2, så vil værdierne af funktionen have en tendens til minus uendeligt, da den lige linje x = 2 er en lodret asymptote. Hvis abscissen har en tendens til plus uendelig, vil funktionsværdierne asymptotisk nærme sig y = 3. Dette er præcis tilfældet vist i figur 8.
I dette afsnit vil vi præsentere rækkefølgen af handlinger, der skal udføres for at finde den største eller mindste værdi af en funktion på et bestemt segment.
Lad os først finde definitionsdomænet for funktionen. Lad os kontrollere, om det segment, der er angivet i betingelsen, er inkluderet i det.
Lad os nu beregne de punkter, der er indeholdt i dette segment, hvor den første afledte ikke eksisterer. Oftest kan de findes i funktioner, hvis argument er skrevet under modultegnet eller i magt funktioner, hvis eksponent er et brøkmæssigt rationelt tal.
Lad os derefter finde ud af, hvilke stationære punkter der falder ind i givet segment. For at gøre dette skal du beregne den afledede af funktionen, derefter sidestille den med 0 og løse den resulterende ligning og derefter vælge de relevante rødder. Hvis vi ikke får et enkelt stationært punkt, eller de ikke falder ind i det givne segment, så går vi videre til næste trin.
Vi bestemmer, hvilke værdier funktionen vil tage ved givne stationære punkter (hvis nogen), eller på de punkter, hvor den første afledede ikke eksisterer (hvis der er nogen), eller vi beregner værdierne for x = a og x = b.
5. Vi har en række funktionsværdier, hvorfra vi nu skal vælge den største og mindste. Disse vil være de største og mindste værdier af funktionen, som vi skal finde.
Lad os se, hvordan du korrekt anvender denne algoritme, når du løser problemer.
Eksempel 1
Tilstand: funktionen y = x 3 + 4 x 2 er givet. Bestem dens største og mindste værdier på segmenterne [1; 4] og [-4; -1].
Løsning:
Lad os starte med at finde definitionsdomænet for en given funktion. I dette tilfælde vil det være mængden af alle reelle tal undtagen 0. Med andre ord, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Begge segmenter angivet i betingelsen vil være inden for definitionsområdet.
Nu beregner vi den afledede af funktionen i henhold til reglen om brøkdifferentiering:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Vi lærte, at den afledede af en funktion vil eksistere på alle punkter af segmenterne [1; 4] og [-4; -1].
Nu skal vi bestemme funktionens stationære punkter. Lad os gøre dette ved at bruge ligningen x 3 - 8 x 3 = 0. Han har kun én ægte rod, lig med 2. Det vil være et stationært punkt i funktionen og vil falde ind i det første segment [1; 4].
Lad os beregne værdierne af funktionen i enderne af det første segment og på dette tidspunkt, dvs. for x = 1, x = 2 og x = 4:
Vi fandt, at den største værdi af funktionen m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 vil blive opnået ved x = 1, og den mindste m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – ved x = 2.
Det andet segment inkluderer ikke et enkelt stationært punkt, så vi skal kun beregne funktionsværdierne i enderne af det givne segment:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Dette betyder m a x y x ∈ [-4; -1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Svar: For segmentet [1; 4] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4] = y (2) = 3, for segmentet [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; -1] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Se billede:
Før du studerer denne metode, vi råder dig til at gennemgå, hvordan du korrekt beregner den ensidige grænse og grænsen ved uendelig, samt lære de grundlæggende metoder til at finde dem. For at finde den største og/eller mindste værdi af en funktion på et åbent eller uendeligt interval skal du udføre følgende trin sekventielt.
Først skal du kontrollere, om det givne interval er en delmængde af definitionsdomænet for denne funktion.
Lad os bestemme alle punkter, der er indeholdt i det krævede interval, og hvor den første afledte ikke eksisterer. De forekommer normalt i funktioner, hvor argumentet er indesluttet i modultegnet, og i potensfunktioner med brøk rationel indikator. Hvis disse punkter mangler, kan du fortsætte til næste trin.
Lad os nu bestemme, hvilke stationære punkter der falder inden for det givne interval. Først sætter vi lighedstegn mellem den afledede og 0, løser ligningen og vælger passende rødder. Hvis vi ikke har et enkelt stationært punkt, eller de ikke falder inden for det angivne interval, går vi straks videre til yderligere handlinger. De bestemmes af typen af interval.
Hvis intervallet er af formen [ a ; b) , så skal vi beregne værdien af funktionen i punktet x = a og ensidigt grænse lim x → b - 0 f (x) .
Hvis intervallet har formen (a ; b ] , så skal vi beregne værdien af funktionen i punktet x = b og den ensidige grænse lim x → a + 0 f (x) .
Hvis intervallet har formen (a; b), så skal vi beregne de ensidige grænser lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Hvis intervallet er af formen [ a ; + ∞), så skal vi beregne værdien ved punktet x = a og grænsen ved plus uendelig lim x → + ∞ f (x) .
Hvis intervallet ser ud som (- ∞ ; b ] , beregner vi værdien i punktet x = b og grænsen ved minus uendelig lim x → - ∞ f (x) .
Hvis - ∞ ; b , så betragter vi den ensidige grænse lim x → b - 0 f (x) og grænsen ved minus uendelig lim x → - ∞ f (x)
Hvis - ∞; + ∞ , så betragter vi grænserne på minus og plus uendeligt lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
Til sidst skal du drage en konklusion baseret på de opnåede funktionsværdier og grænser. Der er mange muligheder her. Så hvis den ensidige grænse er lig med minus uendelig eller plus uendelighed, så er det umiddelbart klart, at der ikke kan siges noget om de mindste og største værdier af funktionen. Nedenfor vil vi se på et typisk eksempel. Detaljerede beskrivelser vil hjælpe dig med at forstå, hvad der er hvad. Om nødvendigt kan du vende tilbage til figur 4 - 8 i den første del af materialet.
Eksempel 2
Betingelse: givet funktion y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Beregn dens største og mindste værdi i intervallerne - ∞; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ], (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ), 2 ; +∞, [4; + ∞).
Løsning
Først og fremmest finder vi funktionens definitionsdomæne. Brøkens nævner indeholder et kvadratisk trinomium, som ikke bør blive til 0:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Vi har fået definitionsdomænet for den funktion, som alle de intervaller, der er angivet i betingelsen, tilhører.
Lad os nu differentiere funktionen og få:
y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Følgelig eksisterer afledte af en funktion gennem hele dens definitionsdomæne.
Lad os gå videre til at finde stationære punkter. Den afledede af funktionen bliver 0 ved x = - 1 2 . Dette er et stationært punkt, der ligger i intervallerne (- 3 ; 1 ] og (- 3 ; 2) .
Lad os beregne værdien af funktionen ved x = - 4 for intervallet (- ∞ ; - 4 ], samt grænsen ved minus uendelig:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
Da 3 e 1 6 - 4 > - 1 betyder det, at m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Dette tillader os ikke entydigt at bestemme den mindste værdi af funktion Vi kan kun konkludere, at der er en begrænsning under - 1, da det er til denne værdi, at funktionen nærmer sig asymptotisk ved minus uendelig.
Det særlige ved det andet interval er, at der ikke er et enkelt stationært punkt og ikke en enkelt streng grænse i det. Vi vil derfor ikke være i stand til at beregne hverken den største eller mindste værdi af funktionen. Efter at have defineret grænsen ved minus uendeligt og da argumentet har en tendens til - 3 på venstre side, får vi kun et interval af værdier:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Dette betyder, at funktionsværdierne vil være placeret i intervallet - 1; +∞
For at finde den største værdi af funktionen i det tredje interval, bestemmer vi dens værdi ved det stationære punkt x = - 1 2, hvis x = 1. Vi bliver også nødt til at kende den ensidige grænse for sagen, når argumentet har en tendens til - 3 på højre side:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Det viste sig, at funktionen vil tage den største værdi ved et stationært punkt m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Hvad angår den mindste værdi, kan vi ikke bestemme den. Alt hvad vi ved , er tilstedeværelsen af en nedre grænse til -4.
For intervallet (- 3 ; 2), tag resultaterne af den foregående beregning og beregn igen, hvad den ensidige grænse er lig med, når der er tendens til 2 på venstre side:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Det betyder, at m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, og den mindste værdi kan ikke bestemmes, og funktionens værdier begrænses nedefra af tallet - 4 .
Ud fra det, vi fik i de to foregående beregninger, kan vi sige, at på intervallet [ 1 ; 2) funktionen vil tage den største værdi ved x = 1, men det er umuligt at finde den mindste.
På intervallet (2 ; + ∞) når funktionen hverken den største eller den mindste værdi, dvs. det vil tage værdier fra intervallet - 1; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Efter at have beregnet, hvad værdien af funktionen vil være lig ved x = 4, finder vi ud af, at m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , og den givne funktion ved plus uendelig vil asymptotisk nærme sig den rette linje y = - 1 .
Lad os sammenligne, hvad vi fik i hver beregning med grafen for den givne funktion. På figuren er asymptoterne vist med stiplede linjer.
Det var alt, hvad vi ville fortælle dig om at finde de største og mindste værdier af en funktion. De handlingssekvenser, vi har givet, hjælper dig med at foretage de nødvendige beregninger så hurtigt og enkelt som muligt. Men husk, at det ofte er nyttigt først at finde ud af, med hvilke intervaller funktionen vil falde, og med hvilken den øges, hvorefter du kan drage yderligere konklusioner. På denne måde kan du mere præcist bestemme de største og mindste værdier af funktionen og retfærdiggøre de opnåede resultater.
Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter
på segmentet
. Dernæst erstatter vi denne x-værdi i funktionsligningen 
på segmentet. 
