Definer monotoniteten af en funktion. Funktionen øges ikke

stigende på intervallet $X$ hvis for enhver $x_1, x_2\i X$ sådan at \(x_1

Funktionen kaldes ikke aftagende

$\blacktriangleright$ Funktionen $f(x)$ kaldes faldende på intervallet $X$ hvis for enhver $x_1, x_2\i X$ sådan at $x_1 f(x_2)$ .

Funktionen kaldes ikke stigende på intervallet $X$ hvis for enhver $x_1, x_2\i X$ sådan at \(x_1

$\blacktriangleright$ Stigende og faldende funktioner kaldes strengt monotont, og ikke-stigende og ikke-faldende er simpelthen monotont.

$\sorttriangleright$ Grundlæggende egenskaber:

JEG. Hvis funktionen $f(x)$ er strengt monoton på $X$ , så følger den fra ligheden $x_1=x_2$ ($x_1,x_2\i X$ ) $f( x_1)= f(x_2)$ , og omvendt.

Eksempel: funktionen $f(x)=\sqrt x$ er strengt stigende for alle $x\in $ , derfor har ligningen $x^2=9$ højst én løsning på dette interval, eller rettere en: $x=-3$ .

funktionen $f(x)=-\dfrac 1(x+1)$ er strengt stigende for alle $x\in (-1;+\infty)$, så ligningen $-\dfrac 1 (x +1)=0$ har ikke mere end én løsning på dette interval, eller rettere ingen, fordi tælleren på venstre side kan aldrig være lig med nul.

III. Hvis funktionen $f(x)$ er ikke-faldende (ikke-stigende) og kontinuerlig på segmentet , og i enderne af segmentet tager den værdierne $f(a)= A, f(b)=B$ , så for $C\in $ ($C\in $ ) har ligningen $f(x)=C$ altid mindst én løsning.

Eksempel: funktionen $f(x)=x^3$ er strengt stigende (dvs. strengt monoton) og kontinuerlig for alle $x\in\mathbb(R)$ , derfor for enhver $C\ i ( -\infty;+\infty)$ har ligningen $x^3=C$ nøjagtig én løsning: $x=\sqrt(C)$ .

Opgave 1 #3153

Opgaveniveau: Nemmere end Unified State-eksamenen

har præcis to rødder.

Lad os omskrive ligningen som: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Overvej funktionen $f(t)=t^3+t$ . Så vil ligningen blive omskrevet i formen: \ Lad os studere funktionen $f(t)$ . \ Følgelig øges funktionen $f(t)$ for alle $t$ . Det betyder, at hver værdi af funktionen $f(t)$ svarer til nøjagtig én værdi af argumentet $t$ . Derfor, for at ligningen skal have rødder, er det nødvendigt: \ For at den resulterende ligning skal have to rødder, skal dens diskriminant være positiv: \

Svar:

$\left(-\infty;\dfrac1(12)\right)$

Opgave 2 #2653

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren $a$, som ligningen for \

har to rødder.

(Opgave fra abonnenter.)

Lad os lave en erstatning: $ax^2-2x=t$ , $x^2-1=u$ . Så vil ligningen antage formen: \ Overvej funktionen $f(w)=7^w+\sqrtw$ . Så vil vores ligning have formen: \

Lad os finde den afledede \ Bemærk, at for alle $w\ne 0$ er den afledte $f"(w)>0$ , da $7^w>0$ , $w^6>0$ . Bemærk også at selve funktionen $f(w)$ er defineret for alle $w$. Da $f(w)$ desuden er kontinuert, kan vi konkludere, at $f (w)$ stiger i det hele $\mathbb(R)$ .
Det betyder, at ligheden $f(t)=f(u)$ er mulig, hvis og kun hvis $t=u$ . Lad os vende tilbage til de oprindelige variable og løse den resulterende ligning:

\ For at denne ligning skal have to rødder, skal den være kvadratisk, og dens diskriminant skal være positiv:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Svar:

$(-\infty;1)\kop(1;2)$

Opgave 3 #3921

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alt positive værdier parameter $a$, som ligningen for

har mindst $2$ løsninger.

Lad os flytte alle led, der indeholder $ax$ til venstre, og dem, der indeholder $x^2$ til højre, og overveje funktionen
\

Så vil den oprindelige ligning have formen:
\

Lad os finde den afledede:
\

Fordi $(t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0$, derefter $f"(t)\geqslant 0$ for enhver $t\in \mathbb(R)$ .

Desuden er $f"(t)=0$ hvis $(t-2)^2=0$ og $1+\cos(2t)=0$ på samme tid, hvilket ikke er sandt for enhver \ (t\). Derfor $f"(t)> 0$ for enhver $t\in \mathbb(R)$ .

Således er funktionen $f(t)$ strengt stigende for alle $t\in \mathbb(R)$ .

Det betyder, at ligningen $f(ax)=f(x^2)$ svarer til ligningen $ax=x^2$ .

Ligningen $x^2-ax=0$ for $a=0$ har én rod $x=0$, og for $a\ne 0$ har den to forskellige rødder$x_1=0$ og $x_2=a$ .
Vi skal finde værdierne af $a$, hvor ligningen vil have mindst to rødder, også under hensyntagen til det faktum, at $a>0$ .
Derfor er svaret: $a\in (0;+\infty)$ .

Svar:

$(0;+\infty)$ .

Opgave 4 #1232

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren $a$ , for hver af dem ligningen \

har en unik løsning.

Lad os gange højre og venstre side af ligningen med $2^(\sqrt(x+1))$ (da $2^(\sqrt(x+1))>0$ ) og omskrive ligningen i form: \

Overvej funktionen $y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))$ for $t\geqslant 0$ (da $\sqrt(x+1)\geqslant 0$ ).

Afledte $y"=\venstre(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\højre)$.

Fordi $2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0$ for alle $t\geqslant 0$ , derefter $y"<0$ при всех $t\geqslant 0$ .

Som $t\geqslant 0$ falder funktionen $y$ derfor monotont.

Ligningen kan betragtes på formen $y(t)=y(z)$ , hvor $z=ax, t=\sqrt(x+1)$ . Af monotoniteten af funktionen følger det, at lighed kun er mulig, hvis $t=z$ .

Det betyder, at ligningen er ækvivalent med ligningen: $ax=\sqrt(x+1)$, hvilket igen svarer til systemet: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ axe \geqslant 0 \end(cases)\]

Når $a=0$ har systemet én løsning $x=-1$, der opfylder betingelsen $ax\geqslant 0$ .

Overvej sagen $a\ne 0$ . Diskriminerende af den første ligning i systemet $D=1+4a^2>0$ for alle $a$ . Som følge heraf har ligningen altid to rødder $x_1$ og $x_2$, og de har forskellige fortegn (da ifølge Vietas sætning $x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0$ ).

Det betyder, at for $a<0$ условию $ax\geqslant 0$ подходит отрицательный корень, при $a>0$ betingelsen er opfyldt med en positiv rod. Derfor har systemet altid en unik løsning.

Så $a\in \mathbb(R)$ .

Svar:

$a\in \mathbb(R)$ .

Opgave 5 #1234

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren $a$ , for hver af dem ligningen \

har mindst én rod fra segmentet $[-1;0]$ .

Overvej funktionen $f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3$ for nogle faste $a$ . Lad os finde dens afledte: $f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)$.

Bemærk, at $f"(x)\geqslant 0$ for alle værdier af $x$ og $a$ , og kun er lig med $0$ for $x=a=1 $. Men for $a=1$:
$f"(x)=6(x-1)^2 \Højrepil f(x)=2(x-1)^3 \Højrepil$ ligningen $2(x-1)^3=0$ har en enkelt rod $x=1$, der ikke opfylder betingelsen. Derfor kan $a$ ikke være lig med $1$ .

Dette betyder, at for alle $a\ne 1$ er funktionen $f(x)$ strengt stigende, derfor kan ligningen $f(x)=0$ ikke have mere end én rod. Under hensyntagen til egenskaberne af den kubiske funktion, vil grafen for $f(x)$ for nogle faste $a$ se sådan ud:

Dette betyder, at for at ligningen skal have en rod fra segmentet $[-1;0]$, er det nødvendigt: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Således $a\in [-2;0]$ .

Svar:

$a\in [-2;0]$ .

Opgave 6 #2949

Opgaveniveau: Lige til Unified State-eksamenen

Find alle værdier af parameteren $a$ , for hver af dem ligningen \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

har rødder.

(Opgave fra abonnenter)

ODZ ligninger: $2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in $. Derfor, for at en ligning skal have rødder, er det nødvendigt, at mindst en af ligningerne \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(eller)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] havde afgørelser om ODZ.

1) Overvej den første ligning \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(samlet)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(justeret) \end(samlet)\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Denne ligning skal have rødder i  . Overvej en cirkel:

Således ser vi, at for enhver $2a+2\i [\sin 0;\sin 1]$ vil ligningen have én løsning, og for alle andre vil den ikke have nogen løsninger. Derfor, hvornår $a\i \venstre[-1;-1+\sin 1\højre]$ ligningen har løsninger.

2) Overvej den anden ligning \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Overvej funktionen $f(x)=8x\sqrt(x-x^2)$ . Lad os finde dens afledte: \ På ODZ har den afledte et nul: $x=\frac34$ , som også er maksimumpunktet for funktionen $f(x)$ .
Bemærk at $f(0)=f(1)=0$ . Så skematisk ser grafen $f(x)$ sådan ud:

For at ligningen skal have løsninger, er det derfor nødvendigt, at grafen $f(x)$ skærer den rette linje $y=-a$ (figuren viser en af de egnede muligheder). Det vil sige, at det er nødvendigt \ . For disse $x$:

Funktionen $y_1=\sqrt(x-1)$ er strengt stigende. Grafen for funktionen $y_2=5x^2-9x$ er en parabel, hvis toppunkt er i punktet $x=\dfrac(9)(10)$ . For alle $x\geqslant 1$ er funktionen $y_2$ derfor også strengt stigende (den højre gren af parablen). Fordi summen af strengt stigende funktioner er strengt stigende, så er $f_a(x)$ strengt stigende (konstanten $3a+8$ påvirker ikke funktionens monotoni).

Funktionen $g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)$ for alle $x\geqslant 1$ repræsenterer en del af hyperbelens højre gren og er strengt aftagende.

At løse ligningen $f_a(x)=g_a(x)$ betyder at finde skæringspunkterne for funktionerne $f$ og $g$ . Af deres modsatte monotonitet følger, at ligningen højst kan have én rod.

Når $x\geqslant 1$ \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Derfor vil ligningen have en unik løsning, hvis:

\\kop

Svar:

\(a\in (-\infty;-1]\kop , begrænset på dette segment;

· summen af stigende (faldende) funktioner er en stigende (faldende) funktion;

· hvis funktion f stiger (falder) og n– et ulige tal, det stiger (falder også);

· Hvis f"(x)>0 for alle xО(a,b), derefter funktionen y=f(x) stiger med intervallet (a,b);

· Hvis f"(x)<0 for alle xО(a,b), derefter funktionen y=f(x) er faldende i intervallet (a,b);

· Hvis f(x) – kontinuerlig og monoton funktion på sættet x, derefter ligningen f(x)=C, Hvor MED– denne konstant kan have x ikke mere end én løsning;

· hvis på ligningens definitionsdomæne f(x)=g(x) fungere f(x)øges, og funktionen g(x) falder, så kan ligningen ikke have mere end én løsning.

Sætning. (en tilstrækkelig betingelse for en funktions monotonitet). Hvis kontinuerligt på segmentet [ a, b] funktion y = f(x) på hvert punkt i intervallet ( a, b) har en positiv (negativ) afledt, så stiger (falder) denne funktion på segmentet [ a, b].

Bevis. Lad >0 for alle xО(a,b). Lad os overveje to vilkårlige værdier x 2 > x 1, tilhører [ a, b]. Efter Lagranges formel x 1<с < х 2 . (Med) > 0 Og x 2 – x 1 > 0, derfor > 0, hvorfra > , det vil sige, at funktionen f(x) stiger med intervallet [ a, b]. Den anden del af sætningen er bevist på lignende måde.

Sætning 3. (et nødvendigt tegn på eksistensen af et ekstremum af en funktion). Hvis funktionen differentierbar i punkt c på=f(x) har et ekstremum på dette tidspunkt, så .

Bevis. Lad for eksempel funktionen på= f(x) har et maksimum i punkt c. Dette betyder, at der er et punkteret naboskab af punktet c, således at for alle punkter x dette kvarter er tilfreds f(x) < f (c), det er f(c) er den største værdi af funktionen i dette kvarter. Derefter ved Fermats sætning.

Tilfældet med et minimum i punkt c bevises på lignende måde.

Kommentar. En funktion kan have et ekstremum på et punkt, hvor dens afledte ikke eksisterer. For eksempel har en funktion et minimum ved punkt x = 0, selvom det ikke eksisterer. De punkter, hvor den afledede af en funktion er nul eller ikke eksisterer, kaldes kritiske punkter for funktionen. Funktionen har dog ikke et ekstremum på alle kritiske punkter. For eksempel funktionen y = x 3 har ingen ekstrema, selvom dens afledte =0.

Sætning 4. (et tilstrækkeligt tegn på eksistensen af et ekstremum). Hvis kontinuerlig funktion y = f(x) har en afledt på alle punkter af et bestemt interval indeholdende kritisk punkt C (undtagen måske selve dette punkt), og hvis den afledede, når argumentet passerer fra venstre mod højre gennem det kritiske punkt C, skifter fortegn fra plus til minus, så har funktionen i punkt C et maksimum, og når tegnet skifter fra minus til plus, det har et minimum .

Bevis. Lad c være et kritisk punkt og lad f.eks. når argumentet går igennem punktet c skifte fortegn fra plus til minus. Det betyder, at på et eller andet interval (c–e; c) funktionen øges, og på intervallet (c; c+e)– falder (kl e>0). Derfor har funktionen i punkt c et maksimum. Tilfældet med et minimum bevises på lignende måde.

Kommentar. Hvis den afledede ikke ændrer fortegn, når argumentet passerer gennem det kritiske punkt, så har funktionen på dette tidspunkt ikke et ekstremum.

Da definitionerne af grænse og kontinuitet for en funktion af flere variable praktisk talt falder sammen med de tilsvarende definitioner for en funktion af en variabel, så bevares for funktioner af flere variable alle egenskaberne ved grænser og kontinuerte funktioner

©2015-2019 websted
Alle rettigheder tilhører deres forfattere. Dette websted gør ikke krav på forfatterskab, men giver gratis brug.
Sidens oprettelsesdato: 2016-02-12

Lektion og oplæg i algebra i 10. klasse om emnet: "Undersøgelse af en funktion for monotoni. Forskningsalgoritme"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral-onlinebutikken til klasse 10 fra 1C
Algebraiske problemer med parametre, karaktererne 9-11
Softwaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hvad vi vil studere:
1. Faldende og stigende funktioner.
2. Sammenhæng mellem afledte og monotoniske af en funktion.
3. To vigtige teoremer om monotoni.
4. Eksempler.

Gutter, tidligere kiggede vi på en masse forskellige funktioner og byggede deres grafer. Lad os nu introducere nye regler, der fungerer for alle de funktioner, som vi har overvejet og fortsat vil overveje.

Formindskelse og forøgelse af funktioner

Lad os se på konceptet med stigende og faldende funktioner. Gutter, hvad er en funktion?

En funktion er en overensstemmelse y= f(x), hvor hver værdi af x er forbundet med en enkelt værdi af y.

Lad os se på grafen for en funktion:

Vores graf viser: jo større x, jo mindre y. Så lad os definere en faldende funktion. En funktion kaldes aftagende, hvis en større værdi af argumentet svarer til en mindre værdi af funktionen.

Hvis x2 > x1, så f(x2) Lad os nu se på grafen for denne funktion:
Denne graf viser, at jo større x, jo større y. Så lad os definere en stigende funktion. En funktion kaldes stigende, hvis den større værdi af argumentet svarer til højere værdi funktioner.
Hvis x2 > x1, så f(x2 > f(x1) eller: jo større x, jo større y.

Hvis en funktion stiger eller falder over et bestemt interval, så siges det det er monotont på dette interval.

Forholdet mellem afledte og monotoni af en funktion

Gutter, lad os nu tænke på, hvordan du kan anvende begrebet afledet, når du studerer funktionsgrafer. Lad os tegne en graf med en stigende differentierbar funktion og tegne et par tangenter til vores graf.

Hvis du ser på vores tangenter eller visuelt tegner en hvilken som helst anden tangent, vil du bemærke, at vinklen mellem tangenten og den positive retning af x-aksen vil være spids. Det betyder, at tangenten har en positiv hældning. Tangensens vinkelkoefficient er lig med værdien af den afledede i tangenspunktets abscisse. Værdien af den afledte er således positiv på alle punkter i vores graf. For en stigende funktion gælder følgende ulighed: f"(x) ≥ 0, for ethvert punkt x.

Gutter, lad os nu se på grafen for en aftagende funktion og konstruere tangenter til grafen for funktionen.

Lad os se på tangenterne og visuelt tegne enhver anden tangent. Vi vil bemærke, at vinklen mellem tangenten og x-aksens positive retning er stump, hvilket betyder, at tangenten har en negativ hældning. Værdien af den afledte er således negativ på alle punkter i vores graf. For en faldende funktion gælder følgende ulighed: f"(x) ≤ 0, for ethvert punkt x.

Så monotoniteten af en funktion afhænger af tegnet for den afledede:

Hvis en funktion stiger på et interval og har en afledt på dette interval, så vil denne afledede ikke være negativ.

Hvis en funktion falder på et interval og har en afledt på dette interval, så vil denne afledede ikke være positiv.

Vigtig, så de intervaller, som vi betragter funktionen på, er åbne!

To vigtige teoremer om monotoni

Sætning 1. Hvis uligheden f'(x) ≥ 0 gælder i alle punkter i et åbent interval X (og ligheden af den afledte til nul enten ikke gælder eller gælder, men kun ved et endeligt sæt af punkter), så funktion y= f(x) stiger med intervallet X.

Sætning 2. Hvis uligheden f'(x) ≤ 0 gælder i alle punkter i et åbent interval X (og ligheden af den afledte til nul enten ikke gælder eller gælder, men kun ved et endeligt sæt af punkter), så funktion y= f(x) falder i intervallet X.

Sætning 3. Hvis på alle punkter af det åbne interval X er ligheden
f’(x)= 0, så er funktionen y= f(x) konstant på dette interval.

Eksempler på at studere en funktion for monotoni

1) Bevis at funktionen y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 er stigende på hele tallinjen.

Løsning: Lad os finde den afledede af vores funktion: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Da graden ved x er lige, så power funktion tager kun positive værdier. Så y" > 0 for ethvert x, hvilket betyder ved sætning 1, at vores funktion stiger på hele tallinjen.

2) Bevis, at funktionen er aftagende: y= sin(2x) - 3x.

Lad os finde den afledede af vores funktion: y"= 2cos(2x) - 3.
Lad os løse uligheden:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Fordi -1 ≤ cos(x) ≤ 1, hvilket betyder, at vores ulighed er opfyldt for enhver x, så falder funktionen y= sin(2x) - 3x ved sætning 2.

3) Undersøg monotoniteten af funktionen: y= x 2 + 3x - 1.

Løsning: Lad os finde den afledede af vores funktion: y"= 2x + 3.
Lad os løse uligheden:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Så øges vores funktion for x ≥ -3/2, og falder for x ≤ -3/2.
Svar: For x ≥ -3/2 øges funktionen, for x ≤ -3/2 falder funktionen.

4) Undersøg monotoniteten af funktionen: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Løsning: Lad os finde den afledede af vores funktion: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Lad os løse uligheden: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Vores ulighed er større end eller lig med nul:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Lad os løse uligheden:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Men dette er umuligt, fordi Kvadrat rod er kun defineret for positive udtryk, hvilket betyder, at vores funktion ikke har nogen faldende intervaller.
Svar: for x ≥ 1/3 øges funktionen.

Problemer, der skal løses selvstændigt

a) Bevis at funktionen y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 er stigende langs hele tallinjen.
b) Bevis at funktionen er aftagende: y= cos(5x) - 7x.
c) Undersøg monotoniteten af funktionen: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Undersøg monotoniteten af funktionen: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Definer monotoniteten af ​​en funktion. Funktionen øges ikke

Lektion og oplæg i algebra i 10. klasse om emnet: "Undersøgelse af en funktion for monotoni. Forskningsalgoritme"

Formindskelse og forøgelse af funktioner

Forholdet mellem afledte og monotoni af en funktion

To vigtige teoremer om monotoni

Eksempler på at studere en funktion for monotoni

Problemer, der skal løses selvstændigt

Definer monotoniteten af en funktion. Funktionen øges ikke