Processen med at søge efter de mindste og største værdier af en funktion på et segment minder om en fascinerende flyvning rundt om et objekt (graf af en funktion) i en helikopter, der skyder på bestemte punkter fra en langdistancekanon og vælger meget særlige point fra disse punkter til kontrolskud. Point udvælges på en bestemt måde og iflg visse regler. Efter hvilke regler? Vi vil tale om dette yderligere.
Hvis funktionen y = f(x) er kontinuerlig i intervallet [ -en, b] , så når den på dette segment mindst Og højeste værdier . Dette kan ske enten i ekstreme punkter, eller i slutningen af segmentet. Derfor at finde mindst Og de største værdier af funktionen , kontinuerlig i intervallet [ -en, b] , skal du beregne dens værdier i alt kritiske punkter og i enderne af segmentet, og vælg derefter den mindste og største fra dem.
Lad, for eksempel, skal du bestemme højeste værdi funktioner f(x) på segmentet [ -en, b] . For at gøre dette skal du finde alle dets kritiske punkter, der ligger på [ -en, b] .
Kritisk punkt kaldet det punkt, hvor funktion defineret, og hende afledte enten lig med nul eller eksisterer ikke. Derefter skal du beregne værdierne af funktionen på de kritiske punkter. Og endelig bør man sammenligne værdierne af funktionen på kritiske punkter og i enderne af segmentet ( f(-en) Og f(b)). Det største af disse tal vil være den største værdi af funktionen på segmentet [-en, b] .
Problemer med at finde mindste funktionsværdier .
Vi leder efter de mindste og største værdier af funktionen sammen
Eksempel 1. Find de mindste og største værdier af en funktion 
på segmentet [-1, 2]
.
Løsning. Find den afledede af denne funktion. Lad os sidestille den afledede til nul () og få to kritiske punkter: og . For at finde de mindste og største værdier af en funktion på bag dette segment det er nok at beregne dets værdier i enderne af segmentet og ved punktet, da punktet ikke hører til segmentet [-1, 2]. Disse funktionsværdier er: , , . Den følger det mindste værdi funktioner(angivet med rødt på grafen nedenfor), lig med -7, opnås i højre ende af segmentet - ved punkt , og størst(også rød på grafen), er lig med 9,- på det kritiske punkt.
Hvis en funktion er kontinuert i et bestemt interval, og dette interval ikke er et segment (men er f.eks. et interval; forskellen mellem et interval og et segment: grænsepunkterne for intervallet er ikke inkluderet i intervallet, men segmentets grænsepunkter er inkluderet i segmentet), så er der blandt funktionens værdier muligvis ikke at være den mindste og den største. Så for eksempel er funktionen vist i figuren nedenfor kontinuerlig på ]-∞, +∞[ og har ikke den største værdi.
Men for ethvert interval (lukket, åbent eller uendeligt) er følgende egenskab for kontinuerlige funktioner sand.
Eksempel 4. Find de mindste og største værdier af en funktion på segmentet [-1, 3] .
Løsning. Vi finder den afledede af denne funktion som den afledede af kvotienten:
.
Vi sidestiller den afledte med nul, hvilket giver os et kritisk punkt: . Det hører til segmentet [-1, 3] . For at finde de mindste og største værdier af en funktion på et givet segment, finder vi dens værdier i enderne af segmentet og på det fundne kritiske punkt:
Lad os sammenligne disse værdier. Konklusion: lig med -5/13, ved punkt og højeste værdi lig med 1 i punktet.
Vi fortsætter med at lede efter de mindste og største værdier af funktionen sammen
Der er lærere, som med hensyn til at finde de mindste og største værdier af en funktion, ikke giver eleverne eksempler at løse, der er mere komplekse end de netop omtalte, dvs. dem, hvor funktionen er et polynomium eller en brøk, hvis tæller og nævner er polynomier. Men vi vil ikke begrænse os til sådanne eksempler, da der blandt lærere er dem, der kan lide at tvinge eleverne til at tænke fuldt ud (tabellen over derivater). Derfor vil logaritmen og den trigonometriske funktion blive brugt.
Eksempel 6. Find de mindste og største værdier af en funktion på segmentet .
Løsning. Vi finder den afledede af denne funktion som afledt af produktet :
Vi sidestiller den afledte med nul, hvilket giver et kritisk punkt:. Det hører til segmentet. For at finde de mindste og største værdier af en funktion på et givet segment, finder vi dens værdier i enderne af segmentet og på det fundne kritiske punkt:
Resultat af alle handlinger: funktionen når sin minimumsværdi, lig med 0, ved punktet og ved punktet og højeste værdi, lige e², på punktet.
Eksempel 7. Find de mindste og største værdier af en funktion 
på segmentet .
Løsning. Find den afledede af denne funktion:
Vi sidestiller den afledte med nul:
Det eneste kritiske punkt tilhører segmentet. For at finde de mindste og største værdier af en funktion på et givet segment, finder vi dens værdier i enderne af segmentet og på det fundne kritiske punkt:
Konklusion: funktionen når sin minimumsværdi, lig med , på punktet og højeste værdi, lige , på punktet .
I anvendte ekstreme problemer kommer det at finde de mindste (maksimum) værdier af en funktion som regel ned til at finde minimum (maksimum). Men det er ikke selve minimums- eller maksimumsværdierne, der er af større praktisk interesse, men de værdier af argumentet, hvorved de opnås. Ved løsning af anvendte problemer opstår det yderligere vanskelighed- kompilering af funktioner, der beskriver det pågældende fænomen eller proces.
Eksempel 8. Et reservoir med en kapacitet på 4, der har form som et parallelepipedum med kvadratisk base og åben i toppen, du skal tin den. Hvad skal tankens dimensioner være, så den tager mindste beløb materiale?
Løsning. Lade x- base side, h- tank højde, S- dets overfladeareal uden dækning, V- dens volumen. Tankens overfladeareal er udtrykt ved formlen, dvs. er en funktion af to variable. At udtrykke S som funktion af én variabel bruger vi det faktum, at , hvorfra . Erstatning af det fundne udtryk h ind i formlen for S:
Lad os undersøge denne funktion til sit yderste. Den er defineret og differentierbar overalt i ]0, +∞[ og
.
Vi sætter lighedstegn mellem den afledede og nul () og finder det kritiske punkt. Hertil kommer, at når den afledte ikke eksisterer, men denne værdi ikke er inkluderet i definitionsdomænet og derfor ikke kan være et ekstremumpunkt. Så dette er det eneste kritiske punkt. Lad os tjekke det for tilstedeværelsen af et ekstremum ved at bruge det andet tilstrækkelige tegn. Lad os finde den anden afledede. Når den anden afledede er større end nul (). Det betyder, at når funktionen når et minimum 
. Siden dette minimum er det eneste ekstremum af denne funktion, det er dens mindste værdi. Så siden af bunden af tanken skal være 2 m, og dens højde skal være .
Eksempel 9. Fra punkt EN placeret på jernbanen, til punktet MED, placeret i afstand fra den l, gods skal transporteres. Omkostningerne ved at transportere en vægtenhed pr. afstandsenhed med jernbane er lig med , og med motorvej er den lig med . Til hvilket punkt M linjer jernbane der skal bygges en motorvej til at transportere gods fra EN V MED var den mest økonomiske (afsnit AB jernbane antages at være lige)?
Hvad er et ekstremum af en funktion, og hvad er den nødvendige betingelse for et ekstremum?
Det yderste af en funktion er maksimum og minimum af funktionen.
Forudsætning Maksimum og minimum (ekstremum) af en funktion er som følger: hvis funktionen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den afledede på dette tidspunkt enten nul eller uendelig, eller eksisterer ikke.
Denne betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Den afledte i punktet x = a kan gå til nul, uendelig eller ikke eksistere uden at funktionen har et ekstremum på dette punkt.
Hvad er den tilstrækkelige betingelse for yderpunktet af en funktion (maksimum eller minimum)?
Første betingelse:
Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er positiv til venstre for a og negativ til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a maksimum
Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er negativ til venstre for a og positiv til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a minimum forudsat at funktionen f(x) her er kontinuert.
I stedet kan du bruge den anden tilstrækkelig stand ekstremum af funktionen:
Lad i punktet x = a den første afledte f?(x) forsvinde; hvis den anden afledede f??(a) er negativ, så har funktionen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så har den et minimum.
Hvad er det kritiske punkt ved en funktion, og hvordan finder man det?
Dette er værdien af funktionsargumentet, hvor funktionen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For at finde det har du brug for find den afledede funktion f?(x) og ved at ligne den med nul, løse ligningen f?(x) = 0. Rødderne af denne ligning, såvel som de punkter, hvor den afledede af denne funktion ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. værdier af argumentet, hvor der kan være et ekstremum. De kan let identificeres ved at kigge på afledt graf: Vi er interesserede i de værdier af argumentet, hvor grafen for funktionen skærer abscisse-aksen (Ox-aksen), og dem, hvor grafen lider af diskontinuiteter.
Lad os f.eks. finde ekstremum af en parabel.
Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Afledt af funktionen: y?(x) = 6x + 2
Løs ligningen: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
I I dette tilfælde det kritiske punkt er x0=-1/3. Det er med denne argumentværdi, funktionen har ekstremum. Til ham Find, erstatte det fundne tal i udtrykket med funktionen i stedet for "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Hvordan bestemmer man maksimum og minimum af en funktion, dvs. dens største og mindste værdier?
Hvis fortegnet for den afledte, når den passerer gennem det kritiske punkt x0 ændres fra "plus" til "minus", så er x0 maksimum point; hvis fortegnet for den afledede ændres fra minus til plus, så er x0 minimumspunkt; hvis tegnet ikke ændrer sig, så er der i punkt x0 hverken et maksimum eller et minimum.
For det betragtede eksempel:
Lad os tage det vilkårlig værdi argument til venstre for kritisk punkt: x = -1
Ved x = -1 vil værdien af den afledede være y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. tegnet er "minus").
Nu tager vi en vilkårlig værdi af argumentet til højre for det kritiske punkt: x = 1
Ved x = 1 vil værdien af den afledede være y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. tegnet er "plus").
Som du kan se, ændrede den afledte fortegn fra minus til plus, når den passerede gennem det kritiske punkt. Det betyder, at vi ved den kritiske værdi x0 har et minimumspunkt.
Største og mindste værdi af en funktion på intervallet(på et segment) findes ved hjælp af samme procedure, kun under hensyntagen til det faktum, at måske ikke alle kritiske punkter vil ligge inden for det angivne interval. De kritiske punkter, der ligger uden for intervallet, skal udelukkes fra overvejelse. Hvis der kun er ét kritisk punkt inden for intervallet, vil det have enten et maksimum eller et minimum. I dette tilfælde, for at bestemme de største og mindste værdier af funktionen, tager vi også højde for funktionens værdier i enderne af intervallet.
Lad os for eksempel finde de største og mindste værdier af funktionen
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
med mellemrum:
Så den afledede af funktionen er
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Vi finder kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ikke inkluderet i intervallet)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ikke inkluderet i intervallet)
Funktionens værdier finder vi på kritiske værdier argument:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Det kan ses, at på intervallet [-9; 9] funktionen har den største værdi ved x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
og den mindste - ved x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
På intervallet [-6; -3] har vi kun ét kritisk punkt: x = -4,88. Værdien af funktionen ved x = -4,88 er lig med y = 5,398.
Find værdien af funktionen i enderne af intervallet:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
På intervallet [-6; -3] har vi den største værdi af funktionen
y = 5,398 ved x = -4,88
mindste værdi -
y = 1,077 ved x = -3
Hvordan finder man bøjningspunkterne for en funktionsgraf og bestemmer de konvekse og konkave sider?
For at finde alle bøjningspunkterne for linjen y = f(x), skal du finde den anden afledede, sidestille den med nul (løs ligningen) og teste alle de værdier af x, for hvilke den anden afledede er nul, uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gennem en af disse værdier, den anden afledede skifter fortegn, så har grafen for funktionen en bøjning på dette punkt. Hvis det ikke ændrer sig, så er der ingen bøjning.
Rødderne af ligningen f? (x) = 0, såvel som mulige diskontinuitetspunkter for funktionen og den anden afledede, opdeler funktionens definitionsdomæne i et antal intervaller. Konveksiteten på hvert af deres intervaller bestemmes af tegnet for den anden afledede. Hvis den anden afledede i et punkt på det undersøgte interval er positiv, så er linjen y = f(x) konkav opad, og hvis negativ, så nedad.
Hvordan finder man yderpunkterne for en funktion af to variable?
For at finde yderpunkterne for funktionen f(x,y), der kan differentieres i specifikationens domæne, skal du bruge:
1) find de kritiske punkter, og til dette - løs ligningssystemet
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) for hvert kritisk punkt P0(a;b) undersøg, om fortegnet for forskel forbliver uændret
for alle punkter (x;y) tilstrækkelig tæt på P0. Hvis forskellen forbliver positiv, så har vi ved punkt P0 et minimum, hvis negativt, så har vi et maksimum. Hvis forskellen ikke bevarer sit fortegn, er der ikke noget ekstremum ved punkt P0.
Funktionens yderpunkter bestemmes på samme måde for mere argumenter.
Hvad handler tegnefilmen "Shrek Forever After" om?
Tegnefilm: "Shrek Forever After" Udgivelsesår: 2010 Premiere (Russisk Føderation): 20. maj 2010 Land: USA Instruktør: Michael Pitchel Manuskript: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: familiekomedie, fantasy, eventyr Officiel hjemmeside: www.shrekforeverafter .com Mule plot
Er det muligt at donere blod under menstruation?
Læger anbefaler ikke at donere blod under menstruation, fordi... blodtab, selvom det ikke er i væsentlige mængder, er fyldt med et fald i hæmoglobinniveauet og en forringelse af kvindens velbefindende. Under bloddonationsproceduren kan situationen med dit helbred forværres, indtil der opstår blødning. Derfor bør kvinder undlade at donere blod under menstruation. Og allerede på den 5. dag efter deres afslutning
Hvor mange kcal/time forbruges der ved gulvvask?
Slags fysisk aktivitet Energiforbrug, kcal/time Madlavning 80 Påklædning 30 Kørsel 50 Støvning 80 Spisning 30 Havearbejde 135 Strygning 45 Redning af sengen 130 Indkøb 80 Stillesiddende arbejde 75 Skæring af træ 300 Vask gulve 130 Køn 100-150 Lav-intensiv dans aer
Hvad betyder ordet "skurk"?
En svindler er en tyv, der er involveret i småtyveri, eller en snedig person, der er tilbøjelig til svigagtige tricks. Denne definition bekræftes i etymologisk ordbog Krylov, ifølge hvilken ordet "svindler" er dannet af ordet "zhal" (tyv, svindler), relateret til verbet &la
Hvad er navnet på den sidst offentliggjorte historie af Strugatsky-brødrene?
en novelle Arkady og Boris Strugatsky "On the Question of Cyclotation" blev første gang udgivet i april 2008 i skønlitterære antologi "Noon. XXI Century" (et supplement til magasinet "Around the World", udgivet under redaktion af Boris Strugatsky). Udgivelsen var tidsbestemt til at falde sammen med Boris Strugatskys 75-års jubilæum.
Hvor kan du læse historier fra Work And Travel USA-programdeltagere?
Arbejde og Rejse USA (arbejde og rejse i USA) - populært program udveksling af studerende, ifølge hvilken du kan tilbringe sommeren i Amerika, lovligt arbejde i servicesektoren og rejse. Historien om programmet Work & Travel er inkluderet i det mellemstatslige udvekslingsprogram Cultural Exchange Pro
Øre. Kulinarisk og historisk baggrund I mere end to og et halvt århundrede er ordet "ukha" blevet brugt til at betegne supper eller et afkog af frisk fisk. Men der var engang, hvor dette ord blev fortolket bredere. Det betød suppe - ikke kun fisk, men også kød, ærter og endda sødt. Så ind historisk dokument — «
Informations- og rekrutteringsportaler Superjob.ru - rekrutteringsportalen Superjob.ru opererer på russisk marked online rekruttering siden 2000 og er førende blandt ressourcer, der tilbyder job- og personalesøgning. Hver dag tilføjes mere end 80.000 CV'er af specialister og mere end 10.000 ledige stillinger til sidens database.
Hvad er motivation
Definition af motivation Motivation (fra latin moveo - jeg bevæger mig) - et incitament til handling; en dynamisk fysiologisk og psykologisk proces, der kontrollerer menneskelig adfærd, bestemmer dens retning, organisation, aktivitet og stabilitet; en persons evne til at tilfredsstille sine behov gennem arbejde. Motivac
Hvem er Bob Dylan
Bob Dylan (engelsk Bob Dylan, rigtige navn - Robert Allen Zimmerman engelsk. Robert Allen Zimmerman; født 24. maj 1941) er en amerikansk sangskriver, der ifølge en meningsmåling i magasinet Rolling Stone er den anden (
Sådan transporteres indendørs planter
Efter indkøb af indendørs planter står gartneren over for opgaven med at levere de købte eksotiske blomster uskadt. Kendskab til de grundlæggende regler for pakning og transport af indendørs planter vil hjælpe med at løse dette problem. Planter skal pakkes for at kunne transporteres eller transporteres. Uanset hvor kort afstand planterne transporteres, kan de blive beskadiget, tørre ud, og om vinteren &m
Nogle gange er der i opgave B15 "dårlige" funktioner, som det er svært at finde en afledt til. Tidligere skete dette kun under prøveprøver, men nu er disse opgaver så almindelige, at de ikke længere kan ignoreres, når man forbereder sig til den rigtige Unified State-eksamen.
I dette tilfælde virker andre teknikker, hvoraf den ene er monotone.
En funktion f (x) siges at være monotont stigende på segmentet, hvis følgende gælder for nogle punkter x 1 og x 2 i dette segment:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
En funktion f (x) siges at være monotont aftagende på segmentet, hvis følgende gælder for nogle punkter x 1 og x 2 i dette segment:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Med andre ord, for en stigende funktion, jo større x, jo større f(x). For en aftagende funktion gælder det modsatte: jo større x, er mindre f(x).
For eksempel stiger logaritmen monotont, hvis grundtallet a > 1, og monotont falder, hvis 0< a < 1. Не забывайте про область acceptable værdier logaritme: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Den aritmetiske kvadratrod (og ikke kun kvadrat) stiger monotont over hele definitionsdomænet:
Eksponentialfunktionen opfører sig på samme måde som logaritmen: den stiger for a > 1 og falder for 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, eksponentiel funktion defineret for alle tal, ikke kun x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Endelig grader med negativ indikator. Du kan skrive dem som en brøk. De har et brudpunkt, hvor monotonien brydes.
Alle disse funktioner findes aldrig i ren form. De tilføjer polynomier, brøker og andet nonsens, hvilket gør det svært at beregne den afledede. Lad os se på, hvad der sker i denne sag.
Parabolens toppunkts koordinater
Oftest erstattes funktionsargumentet med kvadratisk trinomium af formen y = ax 2 + bx + c. Dens graf er en standardparabel, som vi er interesserede i:
- En parabels grene kan gå op (for en > 0) eller ned (a< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- En parabels toppunkt er ekstremumpunktet for en kvadratisk funktion, hvor denne funktion tager sit minimum (for en > 0) eller maksimum (a< 0) значение.
Af størst interesse er toppunkt af parablen, hvis abscisse beregnes ved formlen:
Så vi har fundet ekstremumpunktet for den kvadratiske funktion. Men hvis den oprindelige funktion er monoton, for den vil punktet x 0 også være et ekstremumpunkt. Lad os derfor formulere hovedreglen:
Ekstrempunkter kvadratisk trinomium Og kompleks funktion, som den indgår i, falder sammen. Derfor kan du kigge efter x 0 for et kvadratisk trinomium og glemme alt om funktionen.
Ud fra ovenstående ræsonnement forbliver det uklart, hvilket punkt vi får: maksimum eller minimum. Opgaverne er dog specifikt tilrettelagt, så det ikke betyder noget. Bedøm selv:
- Der er intet segment i problemformuleringen. Derfor er der ikke behov for at beregne f(a) og f(b). Det er tilbage kun at overveje ekstremumpunkterne;
- Men der er kun et sådant punkt - dette er toppunktet for parablen x 0, hvis koordinater beregnes bogstaveligt talt mundtligt og uden nogen derivater.
Således er løsningen af problemet meget forenklet og kommer ned til kun to trin:
- Skriv ligningen for parablen y = ax 2 + bx + c og find dens toppunkt ved hjælp af formlen: x 0 = −b /2a ;
- Find værdien af den oprindelige funktion på dette tidspunkt: f (x 0). Hvis nej yderligere betingelser nej, det vil være svaret.
Ved første øjekast kan denne algoritme og dens begrundelse virke kompleks. Jeg poster med vilje ikke et "nøgent" løsningsdiagram, da tankeløs anvendelse af sådanne regler er fyldt med fejl.
Lad os se på reelle problemer fra prøve Unified State Exam i matematik – lige præcis dér denne teknik forekommer oftest. Samtidig vil vi sørge for, at mange B15-problemer på denne måde bliver næsten orale.
Under roden står kvadratisk funktion y = x 2 + 6x + 13. Grafen for denne funktion er en parabel med forgreninger opad, da koefficienten a = 1 > 0.
Parablens toppunkt:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Da parablens grene er rettet opad, får funktionen y = x 2 + 6x + 13 sin minimumsværdi i punktet x 0 = −3.
Roden stiger monotont, hvilket betyder, at x 0 er minimumspunktet for hele funktionen. Vi har:
Opgave. Find den mindste værdi af funktionen:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Under logaritmen er der igen en andengradsfunktion: y = x 2 + 2x + 9. Grafen er en parabel med grene op, fordi a = 1 > 0.
Parablens toppunkt:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Så ved punktet x 0 = −1 antager den kvadratiske funktion sin minimumsværdi. Men funktionen y = log 2 x er monoton, så:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Eksponenten indeholder den kvadratiske funktion y = 1 − 4x − x 2 . Lad os omskrive det i normal form: y = −x 2 − 4x + 1.
Det er klart, at grafen for denne funktion er en parabel, der forgrener sig (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Den oprindelige funktion er eksponentiel, den er monoton, så den største værdi vil være ved det fundne punkt x 0 = −2:
En opmærksom læser vil sandsynligvis bemærke, at vi ikke har skrevet rækken af tilladte værdier af roden og logaritmen. Men dette var ikke påkrævet: indeni er der funktioner, hvis værdier altid er positive.
Følger fra en funktions domæne
Nogle gange er det ikke nok at finde parablens toppunkt til at løse opgave B15. Den værdi, du leder efter, kan ligge i slutningen af segmentet, og slet ikke på yderpunktet. Hvis problemet slet ikke angiver et segment, så se på række acceptable værdier original funktion. Nemlig:
Bemærk venligst igen: nul kan godt være under roden, men aldrig i logaritmen eller nævneren af en brøk. Lad os se, hvordan dette fungerer med specifikke eksempler:
Opgave. Find den største værdi af funktionen:
Under roden er der igen en andengradsfunktion: y = 3 − 2x − x 2 . Dens graf er en parabel, men forgrener sig, fordi a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический Kvadrat rod af et negativt tal findes ikke.
Vi skriver intervallet af tilladte værdier (APV):
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Lad os nu finde toppunktet for parablen:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
Punktet x 0 = −1 hører til ODZ-segmentet - og det er godt. Nu beregner vi værdien af funktionen ved punktet x 0, såvel som i enderne af ODZ:
y(−3) = y(1) = 0
Så vi fik tallene 2 og 0. Vi bliver bedt om at finde den største - dette er tallet 2.
Opgave. Find den mindste værdi af funktionen:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Inde i logaritmen er der en andengradsfunktion y = 6x − x 2 − 5. Dette er en parabel med forgreninger ned, men i en logaritme kan der ikke være negative tal, så vi skriver ODZ'en ud:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Bemærk venligst: uligheden er streng, så enderne tilhører ikke ODZ. Dette adskiller logaritmen fra roden, hvor enderne af segmentet passer os ret godt.
Vi leder efter parablens toppunkt:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Parablens toppunkt passer i henhold til ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Men da vi ikke er interesseret i enderne af segmentet, beregner vi værdien af funktionen kun ved punktet x 0:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
Ofte i fysik og matematik er det nødvendigt at finde den mindste værdi af en funktion. Vi vil nu fortælle dig, hvordan du gør dette.
Sådan finder du den mindste værdi af en funktion: instruktioner
- For at beregne den mindste værdi kontinuerlig funktion på et givet segment skal du følge følgende algoritme:
- Find den afledede af funktionen.
- Find på et givet segment de punkter, hvor den afledede er lig med nul, samt alle kritiske punkter. Find derefter værdierne af funktionen på disse punkter, det vil sige løs ligningen, hvor x er lig med nul. Find ud af, hvilken værdi der er den mindste.
- Bestem hvilken værdi funktionen har på endepunkter. Bestem den mindste værdi af funktionen på disse punkter.
- Sammenlign de opnåede data med den laveste værdi. Det mindste af de resulterende tal vil være den mindste værdi af funktionen.
Bemærk, at hvis en funktion på et segment ikke har mindste punkter, betyder det, at det i et givet segment stiger eller falder. Derfor skal den mindste værdi beregnes på de endelige segmenter af funktionen.
I alle andre tilfælde beregnes værdien af funktionen i henhold til den angivne algoritme. På hvert punkt af algoritmen skal du løse en simpel lineær ligning med én rod. Løs ligningen ved hjælp af et billede for at undgå fejl.
Hvordan finder man den mindste værdi af en funktion på et halvåbent segment? På en halvåben eller åben periode af funktionen skal den mindste værdi findes på følgende måde. Ved endepunkterne af funktionsværdien beregnes den ensidige grænse for funktionen. Løs med andre ord en ligning, hvor tendenspunkterne er givet ved værdierne a+0 og b+0, hvor a og b er navnene på de kritiske punkter.
Nu ved du, hvordan du finder den mindste værdi af en funktion. Det vigtigste er at udføre alle beregninger korrekt, præcist og uden fejl.
Hvad er et ekstremum af en funktion, og hvad er den nødvendige betingelse for et ekstremum?
Det yderste af en funktion er maksimum og minimum af funktionen.
Den nødvendige betingelse for maksimum og minimum (ekstremum) af en funktion er følgende: hvis funktionen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den afledede på dette tidspunkt enten nul eller uendelig, eller gør ikke-eksisterende.
Denne betingelse er nødvendig, men ikke tilstrækkelig. Den afledte i punktet x = a kan gå til nul, uendelig eller ikke eksistere uden at funktionen har et ekstremum på dette punkt.
Hvad er den tilstrækkelige betingelse for yderpunktet af en funktion (maksimum eller minimum)?
Første betingelse:
Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er positiv til venstre for a og negativ til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a maksimum
Hvis den afledte f?(x) i tilstrækkelig nærhed af punktet x = a er negativ til venstre for a og positiv til højre for a, så har funktionen f(x) i punktet x = a minimum forudsat at funktionen f(x) her er kontinuert.
I stedet kan du bruge den anden tilstrækkelige betingelse for en funktions ekstremum:
Lad i punktet x = a den første afledte f?(x) forsvinde; hvis den anden afledede f??(a) er negativ, så har funktionen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så har den et minimum.
Hvad er det kritiske punkt ved en funktion, og hvordan finder man det?
Dette er værdien af funktionsargumentet, hvor funktionen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For at finde det har du brug for find den afledede funktion f?(x) og ved at ligne den med nul, løse ligningen f?(x) = 0. Rødderne af denne ligning, såvel som de punkter, hvor den afledede af denne funktion ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. værdier af argumentet, hvor der kan være et ekstremum. De kan let identificeres ved at kigge på afledt graf: Vi er interesserede i de værdier af argumentet, hvor grafen for funktionen skærer abscisse-aksen (Ox-aksen), og dem, hvor grafen lider af diskontinuiteter.
Lad os f.eks. finde ekstremum af en parabel.
Funktion y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Afledt af funktionen: y?(x) = 6x + 2
Løs ligningen: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
I dette tilfælde er det kritiske punkt x0=-1/3. Det er med denne argumentværdi, funktionen har ekstremum. Til ham Find, erstatte det fundne tal i udtrykket med funktionen i stedet for "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Hvordan bestemmer man maksimum og minimum af en funktion, dvs. dens største og mindste værdier?
Hvis fortegnet for den afledte, når den passerer gennem det kritiske punkt x0 ændres fra "plus" til "minus", så er x0 maksimum point; hvis fortegnet for den afledede ændres fra minus til plus, så er x0 minimumspunkt; hvis tegnet ikke ændrer sig, så er der i punkt x0 hverken et maksimum eller et minimum.
For det betragtede eksempel:
Vi tager en vilkårlig værdi af argumentet til venstre for det kritiske punkt: x = -1
Ved x = -1 vil værdien af den afledede være y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. tegnet er "minus").
Nu tager vi en vilkårlig værdi af argumentet til højre for det kritiske punkt: x = 1
Ved x = 1 vil værdien af den afledede være y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. tegnet er "plus").
Som du kan se, ændrede den afledte fortegn fra minus til plus, når den passerede gennem det kritiske punkt. Det betyder, at vi ved den kritiske værdi x0 har et minimumspunkt.
Største og mindste værdi af en funktion på intervallet(på et segment) findes ved hjælp af samme procedure, kun under hensyntagen til det faktum, at måske ikke alle kritiske punkter vil ligge inden for det angivne interval. De kritiske punkter, der ligger uden for intervallet, skal udelukkes fra overvejelse. Hvis der kun er ét kritisk punkt inden for intervallet, vil det have enten et maksimum eller et minimum. I dette tilfælde, for at bestemme de største og mindste værdier af funktionen, tager vi også højde for funktionens værdier i enderne af intervallet.
Lad os for eksempel finde de største og mindste værdier af funktionen
y(x) = 3sin(x) - 0,5x
med mellemrum:
Så den afledede af funktionen er
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arccos(0,16667) + 2πk.
Vi finder kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (ikke inkluderet i intervallet)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (ikke inkluderet i intervallet)
Vi finder funktionsværdierne ved kritiske værdier af argumentet:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Det kan ses, at på intervallet [-9; 9] funktionen har den største værdi ved x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
og den mindste - ved x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
På intervallet [-6; -3] har vi kun ét kritisk punkt: x = -4,88. Værdien af funktionen ved x = -4,88 er lig med y = 5,398.
Find værdien af funktionen i enderne af intervallet:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
På intervallet [-6; -3] har vi den største værdi af funktionen
y = 5,398 ved x = -4,88
mindste værdi -
y = 1,077 ved x = -3
Hvordan finder man bøjningspunkterne for en funktionsgraf og bestemmer de konvekse og konkave sider?
For at finde alle bøjningspunkterne for linjen y = f(x), skal du finde den anden afledede, sidestille den med nul (løs ligningen) og teste alle de værdier af x, for hvilke den anden afledede er nul, uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gennem en af disse værdier, den anden afledede skifter fortegn, så har grafen for funktionen en bøjning på dette punkt. Hvis det ikke ændrer sig, så er der ingen bøjning.
Rødderne af ligningen f? (x) = 0, såvel som mulige diskontinuitetspunkter for funktionen og den anden afledede, opdeler funktionens definitionsdomæne i et antal intervaller. Konveksiteten på hvert af deres intervaller bestemmes af tegnet for den anden afledede. Hvis den anden afledede i et punkt på det undersøgte interval er positiv, så er linjen y = f(x) konkav opad, og hvis negativ, så nedad.
Hvordan finder man yderpunkterne for en funktion af to variable?
For at finde yderpunkterne for funktionen f(x,y), der kan differentieres i specifikationens domæne, skal du bruge:
1) find de kritiske punkter, og til dette - løs ligningssystemet
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) for hvert kritisk punkt P0(a;b) undersøg, om fortegnet for forskel forbliver uændret
for alle punkter (x;y) tilstrækkelig tæt på P0. Hvis forskellen forbliver positiv, så har vi ved punkt P0 et minimum, hvis negativt, så har vi et maksimum. Hvis forskellen ikke bevarer sit fortegn, er der ikke noget ekstremum ved punkt P0.
Yderpunkterne af en funktion bestemmes på samme måde for et større antal argumenter.