Skiftende rækker. Leibniz' tegn.
Absolut og betinget konvergens
For at forstå eksemplerne i denne lektion skal du have en god forståelse af positive talserier: forstå, hvad en serie er, kende det nødvendige tegn for konvergensen af en serie, være i stand til at anvende sammenligningstest, d'Alemberts test , Cauchys test. Emnet kan rejses næsten fra bunden ved konsekvent at studere artiklerne Rækker til dummies Og D'Alemberts tegn. Cauchys tegn. Logisk set er denne lektion den tredje i rækken, og den giver dig mulighed for ikke kun at forstå de skiftende rækker, men også at konsolidere det allerede dækkede materiale! Der vil være lidt nyhed, og det vil ikke være svært at mestre de skiftende rækker. Alt er enkelt og tilgængeligt.
Hvad er en alternerende serie? Dette er klart eller næsten tydeligt af selve navnet. Bare et simpelt eksempel.
Lad os se på serien og beskrive den mere detaljeret:
Og nu kommer der en morderkommentar. Medlemmerne af en vekslende serie har vekslende fortegn: plus, minus, plus, minus, plus, minus osv. til evighed.
Justering giver en multiplikator: hvis lige, så vil der være et plustegn, hvis ulige, vil der være et minustegn (som du husker fra lektionen om talrækker, kaldes denne ting et "blinkende lys"). En alternerende serie er således "identificeret" med minus en i graden "en".
I praktiske eksempler kan vekslen af vilkårene i serien ikke kun leveres af multiplikatoren, men også af dens søskende: , , , …. For eksempel:
Faldgruben er "bedrag": , osv. - sådanne multiplikatorer ikke give tegnskifte. Det er helt klart, at for enhver naturlig: , , . Rækker med bedrag er ikke kun slynget til særligt begavede elever, de opstår fra tid til anden "af sig selv" under løsningen funktionel serie.
Hvordan undersøger man en alternerende serie for konvergens? Brug Leibniz's test. Jeg vil ikke sige noget om den tyske tankekæmpe Gottfried Wilhelm Leibniz, da han ud over matematiske værker skrev flere bind om filosofi. Farligt for hjernen.
Leibniz' test: Hvis medlemmerne af en vekslende serie monotont fald i modul, så konvergerer serien.
Eller i to punkter:
1) Serien er vekslende.
2) Seriens vilkår falder i modul: , og falder monotont.
Hvis disse betingelser er opfyldt, så konvergerer serien.
Kort information om modulet er angivet i manualen Hot formler for skole matematik kursus, men for nemheds skyld endnu en gang:
Hvad betyder "modulo"? Modulet, som vi husker fra skolen, "spiser" minustegnet. Lad os gå tilbage til rækken 
. Slet mentalt alle tegnene med et viskelæder og lad os se på tallene. Det vil vi se hver næste seriemedlem mindre end den forrige. Således betyder følgende sætninger det samme:
– Medlemmer af serien uanset tegn er faldende.
– Medlemmer af serien falder modulo.
– Medlemmer af serien falder Ved absolut værdi.
– modul den fælles term for serien har en tendens til nul:
// Slut på hjælp
Lad os nu tale lidt om monotoni. Monotoni er kedelig konsistens.
Medlemmer af serien strengt monotont fald i modul hvis HVER NÆSTE medlem af serien modulo MINDRE end tidligere:. For en række Den strenge monotoni af aftagende er opfyldt det kan beskrives i detaljer: 
Eller vi kan kort sige: hvert næste medlem af serien modulo mindre end den forrige:.
Medlemmer af serien ikke strengt monotont fald i modulo, hvis HVER FØLGENDE medlem af serien modulo IKKE er STØRRE end det foregående: . Overvej en serie med factorial: 
Her er der en løs monotoni, da de to første led i rækken er identiske i modul. Det vil sige hvert næste medlem af serien modulo ikke mere end den forrige:.
Under betingelserne i Leibniz' sætning skal faldende monotoni være opfyldt (det er lige meget om det er strengt eller ikke-strengt). Derudover kan medlemmer af serien endda stigning i modul i nogen tid, men seriens "hale" må nødvendigvis være monotont aftagende.
Der er ingen grund til at være bange for, at det, jeg har hobet op, vil sætte alt på sin plads:
Eksempel 1
Seriens almindelige term inkluderer faktoren , og dette giver anledning til en naturlig idé at kontrollere, om betingelserne for Leibniz-testen er opfyldt:
1) Kontrol af rækken for vekslen. Normalt på dette tidspunkt er beslutningsrækken beskrevet i detaljer 
og afsige dommen "Serien veksler."
2) Falder seriens vilkår i absolut værdi? Her skal du løse grænsen, som oftest er meget enkel.
– seriens vilkår falder ikke i modul, og dette indebærer automatisk dens divergens – af den grund, at grænsen 
eksisterer ikke *, det vil sige, at det nødvendige kriterium for seriens konvergens ikke er opfyldt.
Eksempel 9
Undersøg serien for konvergens
Eksempel 10
Undersøg serien for konvergens 
Efter en højkvalitets undersøgelse af numeriske positive og vekslende serier kan man med god samvittighed gå videre til funktionelle serier, som ikke er mindre monotone og monotont interessante.
Hvis for en vekslende nummerserie
To betingelser er opfyldt:
1. Seriens vilkår falder i absolut værdi u 1>u 2>…>u n>…,
2. 
så konvergerer serie (19), og dens sum er positiv og overstiger ikke rækkens første led.
Følge. Resten af Leibniz-serien har tegnet af dens første led og er mindre end den i absolut værdi, dvs.
Hvis rækkens led monotont falder i absolutte værdier i en vekslende serie og imU n =0 (nà∞), så konvergerer rækken.
Givet: U 1 >U 2 >U 3 >... ; imU n =0 (nà∞); U1-U2+U3-U4+..., Ui >0
Bevis: S 2 n ¾ lige delsum:
S2n =+Ui-U2+U3-U4+...-U2n;
S2n =(Ui-U2)+(U3-U4)+...+(U2n-1-U2n);
S 2n >0 ¾ stiger.
S2n=U1-(U2-U3)-(U4-U5)-...-U2n; S 2n 0; imS 2n =S (nà∞)
fiimS 2n+1 (nà∞) = fiim(S 2n +U 2n+1)=S;
Lige og ulige summer med samme grænse => rækken konvergerer.
1) Bemærk at S>0, dvs. summens fortegn falder sammen med det første leds fortegn.
38.Absolut og betinget konvergens.
O. Se serier 
(1)
kaldet vekslens tegn.
Leibniz' test(tegn symbolet for rækken).
For at få serie (1) сх-я er det nok, at de absolutte værdier falder og →0, når n stiger, dvs.
O. Hvis en serie består af absolutte værdier af mængder 
cx-xia, så siges serien at være absolut konvergent.
Sætning: Hvis rækken er absolut cx-xia, så er den oprindelige serie xx-xia.
Dokument: 1 sammenligningstegn
Overvej rækken 
- en række absolutte værdier af mængder
sx er blevet bevist baseret på det 2. sammenligningskriterium, hvorefter ref-serien sx er absolut.
A. Hvis en serie, et billede fra de absolutte værdier af dens mængder, er exp-xia, og den oprindelige serie er cx-xia, så kaldes det betinget xx-xia.
39.Konceptet med en power-serie. Området for konvergens af magtrækken. Abels sætning.
Serier af formen, hvor er tal kaldet seriekoefficienter, x– variabel, kaldet bedøve næste. Intervallet (-R;R) kaldes intervallet for trinrækken. Bemærk, at for x €(-R;R) konvergerer rækken absolut, og i punkterne x= ± R kan potensrækken konvergere eller divergere. For at finde konvergensradius kan du bruge D'Alemberts eller Cauchys tests. Sætning. Hvis der er | an+1/an |=L, derefter R=1/L= | a n/a n +1 |. (Dok. Betragt serien a n x n. Anvend d’Alemberts test på den. | a n +1 x n +1 / a n x n |= | a n +1 / a n |∙| x | =L∙| x |. Det følger, at hvis L ∙|<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, så divergerer rækken. Sætningen er bevist.) Bemærk, at hvis L=0, for enhver | x | derefter R=∞. Hvis L=∞, for enhver x≠0, så er R=0. Hvis R=0, så konvergerer rækken i et enkelt punkt x 0 =0; hvis R=∞, så konvergerer rækken på hele tallinjen. Så intervallet for konvergens af serien a n x n er (-R;R) . For at finde konvergensområdet for serien er det nødvendigt at undersøge konvergensen separat ved punkterne x=R og x=-R; afhængigt af resultaterne af denne forskning, kan seriens landbrugsregion være et af intervallerne: [-R;R],(-R;R),[-R;R],(-R;R]. Abels sætning: 1) Hvis potensrækken a n x n konvergerer ved x=x 0, så konvergerer den absolut for alle x, der opfylder uligheden |x|<|x 0 |. 2) Если же ряд a n x n расходится при x=x 1 , то он расходится при всех x, удовлетворяющих условию |x|>|x 1 |. (Dok. 1) Da talrækken a n x 0 n konvergerer, så er a n x 0 n =0. Det betyder, at talrækken (a n x 0 n ) er begrænset. Derefter omskriver vi potensrækken i formen a 0 + a 1 x 0 (x/x 0) + a 2 x 0 2 (x 2 /x 0 2). +…+… = a n x 0 n (x/x 0) 2 . Lad os overveje en række absolutte værdier. |a 0 | + |a 1 x 0 (x/x 0) | + |a 2 x 0 2 (x 2/x 0 2) | +…+…<= M + M| x/x 0 | + M| x/x 0 | 2 +…= M(1+q+ q 2 +…). Это геометрическая прогрессия с q=(x/x 0)<1-сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда. 2)От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x * , | x * |>x 1. Men så konvergerer potensrækken ifølge sætningens 1. del for alle | x |< x * . В том числе должен сходится и при x= x 0 , так как | x |< | x * | . Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.)
Definition. En række vekslende tegn kaldes vekslende, hvis dens naboled har forskellige tegn.
Eksempler på vekslende serier er geometriske progressioner med negative nævnere.
For serier af alternerende tegn er der en ret generel, følsom og praktisk test af konvergens, på grund af Leibniz.
Sætning (Leibniz konvergenstest). Hvis de absolutte værdier af vilkårene i den skiftende serie
danne en monotont ikke-tiltagende sekvens, der har en tendens til nul, dvs. hvis
derefter konvergerer serier (4.32).
Bevis. Vi har noget for enhver smag
eller ved at kombinere medlemmer i grupper (summen indeholder kun et begrænset antal led, og derfor er de grundlæggende handlingslove gyldige her uden begrænsninger),
Baseret på den ikke-stigende sekvens af absolutte værdier af termerne i serien, indeholder alle parenteser ikke-negative tal. Derfor,
Derfor udgør de partielle summer af serier (4.32) med lige tal en afgrænset sekvens.
På den anden side på grund af samme monotoni
og derfor er sekvensen af delsummer med lige tal ikke faldende. Derfor har denne sekvens en grænse
Begge grænser til højre eksisterer, og den anden af dem er lig med nul ved betingelse. Derfor er der en grænse til venstre, og for det
Sammen med (4.35) giver dette os
hvilket var det, der krævedes.
Følge. For en alternerende serie, der opfylder Leibniz-konvergenstesten, kan resten estimeres ovenfra i absolut værdi:
Faktisk kan resten betragtes som summen af serien
som, som følger af den beviste sætning, ikke overstiger dets første led i absolut værdi, hvilket i dette tilfælde er
Eksempel. Anvendt på en serie
Leibniz' tegn giver
hvilket betyder, at serien konvergerer. (Denne konvergens blev etableret ved direkte beregninger i § 2.)
Vi ser, at Leibniz' konvergenstest er ret bred i anvendelighed, meget praktisk og ideelt set følsom. Dette modsiger ikke, hvad der blev sagt i slutningen af § 5 i kapitel 3: den betingede konvergens af en vekslende serie er "i gennemsnit", så at sige, et bredere faktum end konvergensen af en serie med positive termer; derfor viser det sig i en eller anden forstand at være lettere at genkende det.
Lad os endelig bemærke, at Leibniz' kriterium ikke kun er et tilstrækkeligt, men også et nødvendigt konvergenskriterium for rækker af alternerende fortegn med monotont aftagende led: hvis så, baseret på det nødvendige konvergenskriterium fra § 6 i kapitel 2, serier.
kan ikke konvergere.
Sætningen er formuleret som følger. Skiftende serie
konvergerer, hvis begge betingelser er opfyldt:
Følge
En konsekvens følger af Leibniz' sætning, der giver os mulighed for at estimere fejlen ved beregning af en ufuldstændig sum af en serie:
Resten af en konvergent alternerende serie R n = S − S n vil være mindre i absolut værdi end den første kasserede term:
Kilder
- Bronshtein I. N., Semendyaev K.A. Håndbog i matematik. - Ed. 7., stereotypisk. - M.: Statens Forlag for Teknisk og Teoretisk Litteratur, 1967. - S. 296.
Wikimedia Foundation. 2010.
Se, hvad "Leibniz-tegnet" er i andre ordbøger:
Dirichlet-testen er et teorem, der angiver tilstrækkelige betingelser for konvergens af ukorrekte integraler og summerbarheden af uendelige rækker. Opkaldt efter den tyske matematiker Lejeune Dirichlet. Indhold... Wikipedia
Dini-testen er en test for punktvis konvergens af en Fourier-serie. På trods af at Fourier-rækken af en funktion fra konvergerer til den i normens betydning, er den slet ikke forpligtet til at konvergere til den punktvis (selv i tilfælde af en kontinuerlig funktion). Men med nogle... ... Wikipedia
Et sammenligningstegn er et udsagn om samtidigheden af divergens eller konvergens af to serier, baseret på en sammenligning af vilkårene i disse serier. Indhold 1 Formulering 2 Bevis ... Wikipedia
En test for konvergensen af en talserie, foreslået af Lobachevsky mellem 1834 og 1836. Lad der være en faldende sekvens af positive tal, så konvergerer eller divergerer rækken samtidigt med rækken... Wikipedia
Et tegn på konvergens af Fourierrækker: hvis en periodisk funktion har begrænset variation på et segment, så konvergerer dens Fourierrække ved hvert punkt til et tal; hvis funktionen er kontinuerlig på segmentet... Wikipedia
- (Raabe Duhamels test) en test for konvergens af positive talserier, etableret af Joseph Ludwig Raabe og uafhængigt af Jean Marie Duhamel. Indhold 1 Formulering 2 Formler ... Wikipedia
En test for konvergens af talserier med positive udtryk, etableret af Joseph Bertrand. Indhold 1 Formulering 2 Formulering i ekstrem form ... Wikipedia
Et generelt kriterium for konvergens af talserier med positive led, etableret i 1812 af Carl Gauss, da han studerede konvergensen af en hypergeometrisk række. Formulering Lad en række og en begrænset numerisk rækkefølge angives. Så hvis... ... Wikipedia
En test for konvergens af talserier med positive udtryk, etableret af Vasily Ermakov. Dens specificitet ligger i, at den overgår alle andre tegn i sin følsomhed. Dette arbejde blev offentliggjort i artiklerne: "Generel teori... ... Wikipedia
En test for konvergens af talserier med positive udtryk, etableret af Pierre Jamet. Indhold 1 Formulering 2 Formulering i ekstrem form ... Wikipedia