Plan:

Introduktion

• 1 Summen af ​​de første n led i rækken
  • 1.1 Nogle delsumværdier
  • 1.2 Eulers formel
  • 1.3 Talteoretiske egenskaber ved delsummer
• 2 Konvergens af serier
  • 2.1 Oresme's bevis
  • 2.2 Alternativt bevis for divergens
• 3 Delbeløb
• 4 forbundne rækker
  • 4.1 Dirichlet-serien
  • 4.2 Skiftende serie
  • 4.3 Tilfældig harmonisk serie
  • 4.4 "Fortyndet" harmonisk serie
Noter

Introduktion

I matematik er en harmonisk række en sum, der består af et uendeligt antal led, de gensidige af successive tal i den naturlige række:

.

Serien er navngivet harmonisk, da hver af dens led, startende fra den anden, er det harmoniske gennemsnit af to nabostillede.

1. Summen af ​​de første n led i rækken

Individuelle medlemmer af serien har en tendens til nul, men deres sum afviger. Den n'te partielle sum s n af en harmonisk række er det n'te harmoniske tal:

1.1. Nogle delsumværdier

1.2. Eulers formel

I 1740 opnåede L. Euler et asymptotisk udtryk for summen af ​​de første n led i rækken:

,

hvor er Euler-Mascheroni-konstanten, og ln er den naturlige logaritme.

Når værdien derfor er for stor n:

- Eulers formel for summen af ​​de første n led i den harmoniske række.

1.3. Talteoretiske egenskaber ved delsummer

2. Konvergens af serien

på

Den harmoniske række divergerer meget langsomt (for at delsummen skal overstige 100, kræves der ca. 10 43 elementer af serien).

Divergensen af ​​den harmoniske serie kan demonstreres ved at sammenligne den med den teleskopiske serie:

,

hvis delsum åbenbart er lig med:

.

2.1. Oresme's bevis

Beviset for divergens kan konstrueres ved at gruppere termerne som følger:

Den sidste række afviger tydeligvis. Dette bevis kommer fra middelalderforskeren Nicholas Orem (ca. 1350).

2.2. Alternativt bevis for divergens

Antag, at den harmoniske række konvergerer til summen:

Hvis vi derefter omarrangerer brøkerne, får vi:

Lad os tage det ud af den anden parentes:

Udskift det andet beslag med:

Lad os flytte det til venstre side:

Lad os erstatte summen af ​​serien:

Denne ligning er åbenlyst forkert, da en er større end halvdelen, en tredjedel er større end en fjerdedel og så videre. Vores antagelse om seriens konvergens er således forkert, og serien divergerer.

ikke lig med 0, fordi hver af parenteserne er positive.

Dette betyder, at S er uendelig, og vores operationer med at lægge til eller trække det fra begge sider af ligheden er uacceptable.

3. Delbeløb

n delsummen af ​​den harmoniske række,

hedder n-th harmonisk tal.

Forskel mellem n harmoniske tal og naturlig logaritme n konvergerer til Euler-Mascheroni konstanten.

Forskellen mellem forskellige harmoniske tal er aldrig lig med et helt tal og intet harmonisk tal undtagen H 1 = 1 er ikke et heltal.

4. Sammenkædede rækker

4.1. Dirichlet-serien

En generaliseret harmonisk serie (eller Dirichlet-serie) er en serie

.

Den generaliserede harmoniske række divergerer for α≤1 og konvergerer for α>1.

Summen af ​​den generaliserede harmoniske række af orden α er lig med værdien af ​​Riemann zeta-funktionen:

For lige tal er denne værdi tydeligt udtrykt gennem tallet pi, for eksempel, og allerede for α=3 er dens værdi analytisk ukendt.

4.2. Skiftende serie

De første 14 delsummer af den alternerende harmoniske række (sorte segmenter), der viser konvergens til den naturlige logaritme af 2 (rød linje).

I modsætning til den harmoniske række, hvor alle led er taget med et "+"-tegn, er rækken

konvergerer efter Leibniz' kriterium. Derfor siger de, at sådan en serie har betinget konvergens. Dens sum er lig med den naturlige logaritme af 2:

Denne formel er et specialtilfælde af Mercator-serien ( engelsk), Taylor-serien for den naturlige logaritme.

En lignende serie kan fås fra Taylor-serien for arctangensen:

Dette er kendt som Leibniz-serien.

4.3. Tilfældig harmonisk serie

Biron Shmuland fra University of Alberta undersøgte egenskaberne af en tilfældig serie

Hvor s n uafhængige, identisk fordelte stokastiske variable, der tager værdierne +1 og -1 med samme sandsynlighed på ½. Det er vist, at denne sum har sandsynlighed 1, og summen af ​​rækken er en stokastisk variabel med interessante egenskaber. For eksempel har sandsynlighedstæthedsfunktionen beregnet ved punkterne +2 eller −2 en værdi på 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 ..., der adskiller sig fra mindre end - 2 fra − 2. Shmulands papir forklarer, hvorfor denne værdi er tæt på, men ikke lig med, 1/8.

4.4. "Fortyndet" harmonisk serie

Kempner-serien ( engelsk)

Hvis vi betragter en harmonisk række, hvor der kun er led tilbage, hvis nævnere ikke indeholder tallet 9, så viser det sig, at den resterende sum konvergerer til tallet<80. , точнее - к 22,92067 66192 64150 34816. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.

1.1. Talrækker og dens sum

Definition 1. Lad en talrække blive givet. Lad os danne et udtryk

(1)

som hedder nummerserie. Tal hedder medlemmer af et nummer, og udtrykket
 fælles medlem række .

Eksempel 1. Find det fælles udtryk for serien
.

på
,

på

Det er let at se, at den fælles betegnelse for serien .

Derfor kan den nødvendige serie skrives som følger

.

Lad os konstruere en sekvens ud fra vilkårene i rækken (1) på denne måde :

;

;

;

Hvert medlem af denne sekvens repræsenterer summen af ​​det tilsvarende antal af de første medlemmer af talserien.

Definition 2. Summen af ​​først P medlemmer af serie (1) kaldes n -te delbeløb nummerserie .

Definition 3. Nummerrække hedder konvergent, hvis
, hvor nummeret hedder summen af ​​serien, og skriv
. Hvis

grænsen for delsummer er uendelig eller eksisterer ikke, så kaldes rækken divergerende.

Eksempel 2. Tjek serier for konvergens
.

For at beregne n-te delbeløb lad os forestille os et fælles udtryk
række i form af summen af ​​simple brøker

Sammenligning af koefficienter ved samme grader n, får vi et system af lineære algebraiske ligninger for ukendte koefficienter EN Og I

Herfra finder vi det
, A
.

Derfor har den generelle term for serien formen

Derefter delbeløbet kan repræsenteres i formen

Efter at have åbnet parenteserne og bragt lignende udtryk, vil det tage formen

.

Lad os beregne summen af ​​serien

Da grænsen er lig med et endeligt tal, konvergerer denne serie .

Eksempel 2. Tjek serier for konvergens

- uendelig geometrisk progression.

Som det er kendt, summen af ​​den første P medlemmer af den geometriske progression kl q 1 er lig
.

Så har vi følgende sager :

1. Hvis
, At

2. Hvis
, At
, dvs. rækken divergerer.

3. Hvis
, så skal serien da ses
, dvs. rækken divergerer.

4. Hvis
, så skal serien da ses
, hvis delsummen har et lige antal led og
, hvis tallet er ulige, dvs.
eksisterer ikke, derfor divergerer rækken.

Definition 4. Forskellen mellem summen af ​​serien S og delbeløb hedder resten af ​​serien og er udpeget
, dvs.
.

Siden for konvergerende serier
, At
,

de der. bliver b.m.v. på
. Så værdien er en omtrentlig værdi af summen af ​​serien.

Fra definitionen af ​​summen af ​​en serie følger egenskaberne for konvergerende serier:

1. Hvis rækkerne Og konvergere, dvs. har tilsvarende beløb S Og Q, så konvergerer serien, hvor
, og dens sum er lig EN S + B Q.

2. Hvis serien konvergerer , så konvergerer rækken opnået herfra

række ved at droppe eller tilføje et begrænset antal led. Det modsatte er også sandt.

1.2. Et nødvendigt tegn på konvergens. Harmonisk serie

Sætning. Hvis rækken konvergerer, så har rækkens fællesled en tendens til nul som
, dvs.
.

Det har vi faktisk

Derefter , hvilket var det, der skulle bevises.

Følge. Hvis
, så divergerer serien . Det modsatte er generelt set ikke sandt, som det vil blive vist nedenfor.

Definition 5. Se serier hedder harmonisk.

For denne serie er den nødvendige egenskab opfyldt, da
.

Samtidig er det divergerende. Lad os vise det

Således divergerer den harmoniske række.

Emne 2 : Tilstrækkelige tegn på seriekonvergens

med positive vilkår

2.1. Tegn på sammenligning

Lad to serier med positive udtryk gives:

Tegn på sammenligning. Hvis for alle medlemmer af serie (1) og (2), startende fra et vist antal, uligheden
og serie (2) konvergerer, så konvergerer serie (1) også. Ligeledes hvis
og serie (2) divergerer, så divergerer serie (1) også.

Lade Og henholdsvis delsummer af rækker (1-2), og Q summen af ​​serier (2). Så til stor nok P vi har

Fordi
og begrænset altså
, dvs. serie (1) konvergerer.

Den anden del af tegnet er bevist på lignende måde.

Eksempel 3. Undersøg serien for konvergens

.

Lad os sammenligne med medlemmerne af serien
.

Begyndende med
, vi har
.

Siden serien konvergerer
, så konvergerer denne serie også.

I praksis er det ofte mere bekvemt at bruge det såkaldte begrænsende kriterium til sammenligning, som følger af det foregående.

Grænse for sammenligning. Hvis for to serier (1-2) med positive udtryk, er betingelsen opfyldt

, At

fra konvergensen af ​​serie (1) følger konvergensen af ​​serie (2), og fra divergensen af ​​serie (1) følger divergensen af ​​serie (2) , de der. rækkerne opfører sig ens.

Eksempel 4. Undersøg serien for konvergens
.

Som en serie til sammenligning, lad os tage den harmoniske serie,

som er divergerende.

og derfor divergerer vores serie.

Kommentar. Det er ofte praktisk at bruge den såkaldte generaliseret harmonisk række , der, som det vil blive vist nedenfor, konvergerer kl
og divergerer kl
.

Harmonisk serie- en sum bestående af et uendeligt antal led, invers af successive tal i den naturlige række:

texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots .

Summen af ​​de første n led i rækken

Individuelle medlemmer af serien har en tendens til nul, men deres sum afviger. Den n'te partielle sum s n af en harmonisk række er det n'te harmoniske tal:

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)

Nogle delsumværdier

Eulers formel

På Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc betyder Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \varepsilon _n \rightarrow 0 derfor for store Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc :

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Eulers formel for summen af ​​den første Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): n medlemmer af den harmoniske serie.

En mere nøjagtig asymptotisk formel for delsummen af ​​den harmoniske række:

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Hvor Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): B_(2k)- Bernoulli tal.

Denne serie divergerer, men fejlen i dens beregninger overstiger aldrig halvdelen af ​​den første kasserede term.

Talteoretiske egenskaber ved delsummer

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)

Divergens af serier

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): s_n\højrepil \infty på Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): n\højrepil \infty

Den harmoniske række divergerer meget langsomt (for at delsummen skal overstige 100, kræves der ca. 10 43 elementer i serien).

Divergensen af ​​den harmoniske serie kan demonstreres ved at sammenligne den med den teleskopiske serie:

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n) ,

hvis delsum åbenbart er lig med:

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n .

Oresme's bevis

Beviset for divergens kan konstrueres ved at gruppere termerne som følger:

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \venstre[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \venstre[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \venstre[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \venstre [\frac(1)(2)\højre] + \venstre[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\højre] + \venstre[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \venstre[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(align)

Den sidste række afviger tydeligvis. Dette bevis kommer fra middelalderforskeren Nicholas Orem (ca. 1350).

Alternativt bevis for divergens

Forskel mellem Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): n harmoniske tal og naturlig logaritme Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): n konvergerer til Euler-Mascheroni konstanten.

Forskellen mellem forskellige harmoniske tal er aldrig lig med et helt tal og intet harmonisk tal undtagen Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): H_1=1, er ikke et heltal.

Relaterede serier

Dirichlet-serien

En generaliseret harmonisk serie (eller Dirichlet-serie) er en serie

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots .

Den generaliserede harmoniske række divergerer kl Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): \alpha \leqslant 1 og konvergerer kl Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): \alpha > 1 .

Summen af ​​generaliserede harmoniske rækkefølger Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): \alpha lig med værdien af ​​Riemann zeta-funktionen:

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)

For lige tal er denne værdi eksplicit udtrykt i pi, f.eks. Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), og allerede for α=3 er dens værdi analytisk ukendt.

En anden illustration af divergensen af ​​den harmoniske række kan være relationen Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n .

Skiftende serie

I modsætning til den harmoniske række, hvor alle led er taget med et "+"-tegn, er rækken

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.

Denne formel er et specialtilfælde af Mercator-serien ( engelsk), Taylor-serien for den naturlige logaritme.

En lignende serie kan udledes af Taylor-serien for arctangensen:

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).

Dette forhold er kendt som Leibniz-serien.

Tilfældig harmonisk serie

I 2003 blev en tilfældig series egenskaber undersøgt

Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),

Hvor Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): s_n- uafhængige, identisk fordelte stokastiske variable, der tager værdierne +1 og -1 med samme sandsynlighed på ½. Det er vist, at denne serie konvergerer med sandsynlighed 1, og summen af ​​rækken er en stokastisk variabel med interessante egenskaber. For eksempel har sandsynlighedstæthedsfunktionen beregnet ved punkterne +2 eller -2 værdien:

0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7 642 …,

afviger fra ⅛ med mindre end 10 −42.

"Fortyndet" harmonisk serie

Kempner-serien ( engelsk)

Hvis vi betragter en harmonisk række, hvor der kun er led tilbage, hvis nævnere ikke indeholder tallet 9, så viser det sig, at den resterende sum konvergerer til tallet<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README for opsætningshjælp.): n, bliver der taget færre og færre udtryk for summen af ​​den "udtyndede" serie. Det vil sige i sidste ende, at det overvældende flertal af led, der danner summen af ​​den harmoniske række, kasseres for ikke at overskride den geometriske progressionsbegrænsning ovenfra.

Skriv en anmeldelse om artiklen "Harmonisk serie"

Noter

Se denne skabelon Sekvenser og serier Sekvenser Rækker, hoved Nummerrække (handlinger med nummerserier) Funktionel serie Andre typer rækker Tegn på konvergens Se denne skabelon Tegn på seriekonvergens For alle rækker Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum^\infty_(n=1)a_n For positive tegn rækker For dem, der skiftes til rækker For rækker af formularen Ude af stand til at parse udtryk (eksekverbar fil texvc ikke fundet; Se matematik/README - hjælp til opsætning.): \sum^\infty_(n=1)a_n b_n Til funktionsrækker Til Fourier-serien

Et uddrag, der karakteriserer Harmonic-serien

Den frygtelige dag var ved at være slut. Jeg sad ved det åbne vindue og mærkede og hørte ingenting. Verden blev frossen og glædesløs for mig. Det så ud til, at han eksisterede hver for sig, ikke på vej ind i min trætte hjerne og ikke rørte mig på nogen måde... I vindueskarmen, legede, hvinede de rastløse "romerske" spurve stadig. Nedenunder var der menneskestemmer og den sædvanlige dagsstøj i en travl by. Men alt dette kom til mig gennem en meget tæt "mur", som næsten ikke tillod lyde at passere igennem... Min sædvanlige indre verden var tom og døv. Han blev helt fremmed og mørk... Den søde, kærlige far eksisterede ikke længere. Han fulgte efter Girolamo...
Men jeg havde stadig Anna. Og jeg vidste, at jeg var nødt til at leve for i det mindste at redde hende fra en sofistikeret morder, der kaldte sig selv "Guds stedfortræder", den hellige pave... Det var svært overhovedet at forestille sig, hvis Caraffa bare var hans "vicekonge, ” hvad for et dyr skal så vise sig at være denne hans elskede Gud?!. Jeg forsøgte at komme ud af min "frosne" tilstand, men som det viste sig, var det ikke så let - kroppen adlød slet ikke, ville ikke komme til live, og den trætte sjæl ledte kun efter fred. Da jeg så, at intet godt virkede, besluttede jeg bare at lade mig være i fred og lade alt gå sin gang.
Uden at tænke andet, og uden at beslutte noget, "fløj jeg bare væk" derhen, hvor min sårede Sjæl stræbte, for at blive frelst... For at hvile og glemme i det mindste lidt, gå langt fra den onde "jordiske" verden hvor kun lyset herskede...
Jeg vidste, at Caraffa ikke ville lade mig være alene længe, ​​på trods af det, jeg lige havde været igennem, tværtimod - han ville mene, at smerten havde svækket og afvæbnet mig, og måske ville han i dette øjeblik forsøge at tvinge mig til at overgive sig pr. at påføre en slags - endnu et skræmmende slag...
Dagene gik. Men til min største overraskelse dukkede Caraffa ikke op... Dette var en kæmpe lettelse, men desværre tillod det mig ikke at slappe af. For hvert øjeblik forventede jeg, hvilken ny ondskab hans mørke, onde sjæl ville finde på til mig...
Smerterne forsvandt gradvist hver dag, hovedsageligt takket være en uventet og glædelig hændelse, der skete for et par uger siden, og som fuldstændig bedøvede mig - jeg havde mulighed for at høre min afdøde far!..
Jeg kunne ikke se ham, men jeg hørte og forstod hvert ord meget tydeligt, som om min far var ved siden af ​​mig. Først troede jeg ikke på det, og tænkte, at jeg bare var vild af fuldstændig udmattelse. Men opkaldet blev gentaget... Det var så sandelig faderen.
Af glæde kunne jeg ikke komme til fornuft og var stadig bange for, at han pludselig lige nu bare ville op og forsvinde!.. Men min far forsvandt ikke. Og da jeg var faldet lidt til ro, kunne jeg endelig svare ham...
– Er det virkelig dig!? Hvor er du nu?.. Hvorfor kan jeg ikke se dig?
– Min datter... Du ser ikke, fordi du er helt udmattet, skat. Anna kan se, at jeg var sammen med hende. Og du vil se, kære. Du skal bare have tid til at falde til ro.
Ren, velkendt varme spredte sig over hele min krop og omslutter mig i glæde og lys...
- Hvordan har du det, far!? Fortæl mig, hvordan det ser ud, dette andet liv?.. Hvordan er det?
– Hun er vidunderlig, kære!.. Kun hun er stadig usædvanlig. Og så forskellig fra vores tidligere jordiske!.. Her lever mennesker i deres egne verdener. Og de er så smukke, disse "verdener"!.. Men jeg kan stadig ikke gøre det. Tilsyneladende er det stadig for tidligt for mig... – stemmen forstummede et sekund, som om hun besluttede sig for at tale videre.
- Din Girolamo mødte mig, datter... Han er lige så levende og kærlig, som han var på Jorden... Han savner dig meget og længes. Og han bad mig fortælle dig, at han elsker dig lige så højt der... Og venter på dig, når du kommer... Og din mor er også med os. Vi elsker alle og venter på dig, kære. Vi savner dig virkelig... Pas på dig selv, datter. Lad ikke Karaffa have glæden ved at håne dig.
– Vil du komme til mig igen, far? Hører jeg dig igen? – bange for, at han pludselig skulle forsvinde, bad jeg.
- Rolig, datter. Nu er det her min verden. Og Caraffas magt rækker ikke til ham. Jeg vil aldrig forlade dig eller Anna. Jeg kommer til dig, når du ringer. Rolig, kære.
- Hvordan har du det, far? Føler du noget?.. – lidt flov over mit naive spørgsmål, spurgte jeg alligevel.
– Jeg mærker alt, hvad jeg følte på Jorden, kun meget lysere. Forestil dig en blyantstegning, der pludselig er fyldt med farver – alle mine følelser, alle mine tanker er meget stærkere og mere farverige. Og en ting mere... Følelsen af ​​frihed er fantastisk!.. Det lader til, at jeg er den samme, som jeg altid har været, men samtidig helt anderledes... Jeg ved ikke, hvordan jeg skal forklare det for dig mere præcist, kære... Som om jeg straks kan omfavne alt i verden, eller bare flyve langt, langt, til stjernerne... Alt virker muligt, som om jeg kan gøre alt, hvad jeg vil! Det er meget svært at sige, at sætte ord på... Men tro mig, datter, det er vidunderligt! Og en ting mere... Jeg husker nu hele mit liv! Jeg husker alt, der engang skete for mig... Det hele er fantastisk. Dette "andet" liv, som det viste sig, er ikke så slemt ... Derfor, vær ikke bange, datter, hvis du skal komme her, venter vi alle på dig.
– Sig mig, far... Venter der virkelig også et vidunderligt liv på mennesker som Caraffa der?.. Men i så fald er det igen en frygtelig uretfærdighed!.. Vil alt virkelig blive som på Jorden igen?!. ... Er han virkelig aldrig vil modtage gengældelse?!!
- Åh nej, min glæde, der er ikke plads til Karaffa her. Jeg har hørt folk som ham gå ind i en frygtelig verden, men jeg har ikke været der endnu. De siger, at det her er, hvad de fortjener!.. Jeg ville gerne se det, men jeg har ikke haft tid endnu. Bare rolig, datter, han får, hvad han fortjener, når han kommer her.
“Kan du hjælpe mig derfra, far?” spurgte jeg med skjult håb.
– Jeg ved det ikke, kære... Jeg har ikke forstået denne verden endnu. Jeg er som et barn, der tager sine første skridt... Jeg skal først "lære at gå", før jeg kan svare dig... Og nu skal jeg gå. Undskyld skat. Først skal jeg lære at leve mellem vores to verdener. Og så kommer jeg oftere til dig. Tag mod til dig, Isidora, og giv aldrig efter for Karaffa. Han vil helt sikkert få, hvad han fortjener, tro mig.
Min fars stemme blev mere stille, indtil den blev helt tynd og forsvandt... Min sjæl faldt til ro. Det var virkelig HAM!.. Og han levede igen, først nu i sin egen, for mig stadig ukendte, posthumte verden... Men han tænkte og følte stadig, som han selv lige havde sagt - endda meget lysere, end da han levede videre Jorden. Jeg kunne ikke længere være bange for, at jeg aldrig ville vide noget om ham... At han havde forladt mig for altid.
Men min feminine sjæl sørgede trods alt stadig over ham... Om at jeg ikke bare kunne kramme ham som et menneske, når jeg følte mig ensom... At jeg ikke kunne skjule min melankoli og frygt på hans brede bryst, der vil have fred... At hans stærke, blide håndflade ikke længere kunne stryge mit trætte hoved, som om han sagde, at alt ville ordne sig, og alt ville helt sikkert blive godt... Jeg savnede desperat disse små og tilsyneladende ubetydelige, men sådanne kære, rent "menneskelige" glæder, og sjælen hungrede efter dem, ude af stand til at finde fred. Ja, jeg var en kriger... Men jeg var også en kvinde. Hans eneste datter, som altid vidste, at selvom det værste skete, ville min far altid være der, altid være sammen med mig... Og jeg savnede smerteligt alt dette...
På en eller anden måde rystede jeg den stigende sorg af mig og tvang mig selv til at tænke på Karaffa. Sådanne tanker gjorde mig straks ædru og tvang mig til at samle mig internt, da jeg udmærket forstod, at denne "fred" kun var et midlertidigt pusterum...
Men til min største overraskelse dukkede Caraffa stadig ikke op...
Dagene gik, og angsten voksede. Jeg forsøgte at komme med en forklaring på hans fravær, men desværre kom der ikke noget alvorligt til at tænke på... Jeg følte, at han forberedte noget, men jeg kunne ikke gætte hvad. Udmattede nerver gav efter. Og for ikke at blive helt amok af at vente, begyndte jeg at gå rundt i paladset hver dag. Jeg fik ikke forbud mod at gå ud, men det blev heller ikke godkendt, derfor, da jeg ikke ville blive ved med at være spærret inde, besluttede jeg selv, at jeg ville gå en tur... på trods af, at der måske var nogen, der ikke kunne lide det. Paladset viste sig at være enormt og usædvanligt rigt. Værelsernes skønhed forbløffede fantasien, men personligt kunne jeg aldrig leve i så iøjnefaldende luksus... Forgyldningen af ​​vægge og lofter var knugende, krænkede håndværket af de fantastiske fresker og kvælede i det glitrende miljø af gyldne toner. Jeg hyldede med glæde talentet hos de kunstnere, der malede dette vidunderlige hjem, beundrede deres kreationer i timevis og oprigtigt beundrede det fineste håndværk. Indtil videre har ingen generet mig, ingen har nogensinde stoppet mig. Skønt der altid var nogle mennesker, som efter at have mødt hinanden, bukkede sig respektfuldt og gik videre, hver for sig. På trods af en sådan falsk "frihed" var alt dette alarmerende, og hver ny dag bragte mere og mere angst. Denne "ro" kunne ikke vare evigt. Og jeg var næsten sikker på, at det helt sikkert ville "føde" en frygtelig og smertefuld ulykke for mig...

Et nødvendigt kriterium for konvergens af serier (bevis).

Sætning 1.(en nødvendig betingelse for konvergens af en talserie). Hvis nummerrækken konvergerer, At .

Bevis. Serien konvergerer, dvs. der er en grænse. Læg mærke til det .

Lad os overveje. Derefter . Herfra, .

Konsekvens 1.Hvis betingelsen ikke er opfyldt, så serien divergerer.

Note 1. Betingelsen er ikke tilstrækkelig til konvergens af en talserie. For eksempel, harmoniske serier divergerer, selvom det forekommer.

Definition 1. Nummerrække en n +1 +en n+2 +…=, opnået fra en given række ved at kassere den første P medlemmer kaldes n- m resten af denne række og er udpeget Rn.

Sætning 2.Hvis nummerrækken konvergerer, så konvergerer enhver rest. Tilbage:Hvis mindst én rest af serien konvergerer, så konvergerer serien selv. Desuden for enhver n PÅ ligheden S=S n+Rn .

Konsekvens 2. Konvergensen eller divergensen af ​​en talserie ændres ikke, hvis du fjerner eller tilføjer de første par termer.

Konsekvens 3..

32. Sammenligningskriterier og fortegn for positive serier

Sætning 1(et tegn på at sammenligne serier med positive udtryk i uligheder) . LadeOg - serier med ikke-negative udtryk, og for hver n PÅ betingelse a n er opfyldt£ mia. Derefter:

1) fra seriens konvergensmed store termer konvergerer serienmed mindre medlemmer;

2) fra seriens divergensmed mindre termer afviger serienmed store pikke.

Note 1. Sætningen er sand, hvis betingelsen og n£ b n udført fra et eller andet nummer NÎ N .

Sætning 2(et tegn på sammenligning af serier med positive udtryk i grænseform) .

LadeOg - serier med ikke-negative udtryk, og der er . Så konvergerer eller divergerer disse serier samtidigt .

33. D'Alemberts test for konvergens af positive tegnserier

Sætning 1(D'Alemberts tegn). Lade - der findes en serie med positive udtryk .

Så konvergerer serien ved q<1 og divergerer ved q>1 .

Bevis. Lade q<1. Зафиксируем число R sådan at q<s< 1. По определению grænse for nummerrækken, fra et eller andet nummer NÎ N ulighed holder en n +1 /en n<p, de der. en n +1 <p×a n. Derefter et N +1 < p×aN, en N +2 <p2xaN. Det er let at vise ved induktion, at for evt kÎ N ulighed sand a N+k<pk xaN. Men serien konvergerer som en geometrisk række ( s<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд konvergerer også. Følgelig konvergerer rækken også (ved sætning 2.2).

Lade q>1. Så fra et eller andet nummer NÎ N ulighed sand en n +1 /en n>1, dvs. en n +1 >en n. Derfor ud fra nummeret N efterfølgen ( en n) er stigende, og tilstanden er ikke opfyldt. Herfra følger af Corollary 2.1, at serien divergerer kl q>1.

Note 1. Ved hjælp af integraltesten er det nemt at kontrollere, at talrækken konvergerer hvis EN>1, og divergerer if -en£1. Række hedder harmoniske serier, og serien med vilkårlig -enÎ R hedder generaliserede harmoniske serier.

34. Skiftende rækker. Leibniz test for konvergens af fortegn for alternerende serier

Studiet af serier med vilkår for vilkårlige tegn er en vanskeligere opgave, men i to tilfælde er der praktiske tegn: for rækker af alternerende tegn - Leibniz' sætning; For absolut konvergerende serier anvender vi ethvert tegn på at studere serier med ikke-negative termer.

Definition 1. Nummerrækken kaldes signalvekslende, hvis to tilstødende led har modsatte fortegn, dvs. serien har formen eller , hvor en n>0 for hver nÎ N .

Sætning 1(Leibniz). En alternerende serie konvergerer, hvis:

1) (en n) - ikke-tiltagende rækkefølge;

2) på.

I dette tilfælde overstiger modulet af summen af ​​den alternerende række ikke modulet af dets første led, dvs.|S|£ -en 1 .

Rækker til dummies. Eksempler på løsninger

Jeg byder alle overlevende velkommen til det andet år! I denne lektion, eller rettere sagt, i en række lektioner, lærer vi, hvordan man administrerer rækker. Emnet er ikke særlig kompliceret, men at mestre det vil kræve viden fra det første år, især skal du forstå hvad er en grænse, og være i stand til at finde de enkleste grænser. Det er dog okay, som jeg forklarer, vil jeg give relevante links til de nødvendige lektioner. For nogle læsere kan emnet matematiske serier, løsningsmetoder, tegn, sætninger virke ejendommeligt, og endda prætentiøst, absurd. I dette tilfælde behøver du ikke være for "belastet", vi accepterer fakta, som de er, og lærer simpelthen at løse typiske, almindelige opgaver.

1) Rækker til dummies, og for samovarer straks indhold :)

For superhurtig forberedelse til emnet Der er et ekspreskursus i pdf-format, ved hjælp af hvilket du virkelig kan "hæve" din praksis bogstaveligt talt på en dag.

Begrebet en talrække

Generelt nummerserie kan skrives sådan her:.
Her:
– matematisk sumikon;
– seriens fælles betegnelse(husk dette simple udtryk);
– "tæller" variabel. Notationen betyder, at summeringen udføres fra 1 til "plus uendelig", dvs. først har vi , derefter , derefter , og så videre - til uendelig. I stedet for en variabel bruges nogle gange en variabel eller. Summation starter ikke nødvendigvis fra én; i nogle tilfælde kan den starte fra nul, fra to eller fra en hvilken som helst naturligt tal.

I overensstemmelse med "tæller"-variablen kan enhver serie udvides:
- og så videre, i det uendelige.

Komponenter - Det her TAL som kaldes medlemmer række. Hvis de alle er ikke-negative (større end eller lig med nul), så hedder sådan en serie positive talrækker.

Eksempel 1

Dette er forresten allerede en "kamp" opgave - i praksis er det ret ofte nødvendigt at nedskrive flere udtryk i en serie.

Først, så:
Så, så:
Så, så:

Processen kan fortsættes i det uendelige, men ifølge betingelsen var det påkrævet at skrive de første tre led i serien, så vi skriver svaret ned:

Bemærk venligst den grundlæggende forskel fra talrække,
hvor vilkårene ikke er opsummeret, men betragtes som sådan.

Eksempel 2

Skriv de første tre led i serien ned

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd, svaret er i slutningen af ​​lektionen

Selv for en serie, der er kompleks ved første øjekast, er det ikke svært at beskrive den i udvidet form:

Eksempel 3

Skriv de første tre led i serien ned

Faktisk udføres opgaven mundtligt: mentalt substituere i seriens almindelige term først, så og. Til sidst:

Vi efterlader svaret som følger: Det er bedre ikke at forenkle de resulterende serieudtryk, det er ikke udføre handlinger: , , . Hvorfor? Svaret er i formularen det er meget nemmere og mere bekvemt for læreren at tjekke.

Nogle gange opstår den modsatte opgave

Eksempel 4

Der er ingen klar løsningsalgoritme her, du skal bare se mønsteret.
I dette tilfælde:

For at kontrollere kan den resulterende serie "skrives tilbage" i udvidet form.

Her er et eksempel, der er lidt mere kompliceret at løse på egen hånd:

Eksempel 5

Skriv summen ned i sammenklappet form med rækkens fællesled

Udfør en kontrol ved igen at skrive serien i udvidet form

Konvergens af talrækker

Et af hovedmålene med emnet er undersøgelse af serier til konvergens. I dette tilfælde er to tilfælde mulige:

1) Rækkedivergerer. Det betyder, at en uendelig sum er lig med uendelig: eller summer generelt eksisterer ikke, som for eksempel i serien
(her er i øvrigt et eksempel på en serie med negative udtryk). Et godt eksempel på en divergerende talserie blev fundet i begyndelsen af ​​lektionen: . Her er det helt tydeligt, at hvert næste medlem af serien er større end det forrige, derfor og derfor divergerer serien. Et endnu mere trivielt eksempel: .

2) Rækkekonvergerer. Det betyder, at en uendelig sum er lig med nogle begrænset antal: . Vær venlig: – denne serie konvergerer, og dens sum er nul. Som et mere meningsfuldt eksempel kan vi nævne uendeligt aftagende geometrisk progression, kendt af os siden skolen: . Summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression beregnes ved hjælp af formlen: , hvor er det første led i progressionen, og er dens basis, som normalt skrives på formen korrekt brøker I dette tilfælde: , . Dermed: Der opnås et endeligt tal, hvilket betyder, at rækken konvergerer, hvilket er det, der skulle bevises.

Dog i langt de fleste tilfælde find summen af ​​rækken er ikke så simpelt, og derfor i praksis, for at studere konvergensen af ​​en serie, bruges specielle tegn, der er bevist teoretisk.

Der er flere tegn på seriekonvergens: nødvendig test for konvergens af en serie, sammenligningstests, D'Alemberts test, Cauchys tests, Leibniz' tegn og nogle andre tegn. Hvornår skal man bruge hvilket skilt? Det afhænger billedligt talt af seriens fælles medlem af seriens "fyldning". Og meget snart vil vi ordne alt.

! For at lære lektien yderligere, skal du forstå godt hvad er en grænse, og det er godt at kunne afsløre usikkerheden ved en type. For at gennemgå eller studere materialet, se venligst artiklen Grænser. Eksempler på løsninger.

Et nødvendigt tegn på konvergens af en serie

Hvis en serie konvergerer, har dens almindelige term en tendens til nul: .

Det modsatte er ikke sandt i det generelle tilfælde, dvs. hvis , så kan rækken enten konvergere eller divergere. Og derfor bruges dette tegn til at retfærdiggøre divergenser række:

Hvis den fælles betegnelse for serien har ikke tendens til nul, så divergerer serien

Eller kort sagt: hvis , så divergerer rækken. Især er en situation mulig, hvor grænsen slet ikke eksisterer, som f.eks. begrænse. Så de retfærdiggjorde straks divergensen i en serie :)

Men meget oftere er grænsen for en divergerende serie lig med uendelig, og i stedet for "x" fungerer den som en "dynamisk" variabel. Lad os genopfriske vores viden: grænser med "x" kaldes grænser for funktioner, og grænser med variablen "en" kaldes grænser for numeriske sekvenser. Den åbenlyse forskel er, at variablen "en" tager diskrete (diskontinuerlige) naturværdier: 1, 2, 3 osv. Men denne kendsgerning har ringe indflydelse på metoder til løsning af grænser og metoder til at afsløre usikkerheder.

Lad os bevise, at rækken fra det første eksempel divergerer.
Fælles medlem af serien:

Konklusion: række divergerer

Den nødvendige funktion bruges ofte i virkelige praktiske opgaver:

Eksempel 6

Vi har polynomier i tæller og nævner. Den, der omhyggeligt læste og forstod metoden til at afsløre usikkerhed i artiklen Grænser. Eksempler på løsninger, det har jeg nok fanget når den højeste potens af tæller og nævner lige, så er grænsen begrænset antal .

Divider tæller og nævner med

Serie under undersøgelse divergerer, da det nødvendige kriterium for seriens konvergens ikke er opfyldt.

Eksempel 7

Undersøg serien for konvergens

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen

Så når vi får en hvilken som helst nummerserie, for det første vi tjekker (mentalt eller på et udkast): har dens almindelige term tendens til nul? Hvis det ikke gør det, formulerer vi en løsning ud fra eksempel nr. 6, 7 og giver et svar på, at rækken divergerer.

Hvilke typer tilsyneladende divergerende serier har vi overvejet? Det er umiddelbart klart, at serier kan lide eller divergerer. Serierne fra eksempel nr. 6, 7 afviger også: når tælleren og nævneren indeholder polynomier, og tællerens ledende potens er større end eller lig med nævnerens ledende potens. I alle disse tilfælde, når vi løser og forbereder eksempler, bruger vi det nødvendige tegn på konvergens af serien.

Hvorfor hedder skiltet nødvendig? Forstå på den mest naturlige måde: for at en serie kan konvergere, nødvendig, så dens almindelige term har en tendens til nul. Og alt ville være fantastisk, men der er mere ikke nok. Med andre ord, hvis fællesleddet for en serie har en tendens til nul, BETYDER DETTE IKKE, at rækken konvergerer– det kan både konvergere og divergere!

Møde:

Denne serie kaldes harmoniske serier. Husk venligst! Blandt nummerserierne er han prima ballerina. Mere præcist, en ballerina =)

Det er nemt at se det , MEN. I teorien om matematisk analyse er det blevet bevist, at harmoniske serier divergerer.

Du bør også huske konceptet med en generaliseret harmonisk serie:

1) Denne række divergerer kl. For eksempel er serien , , divergerende.
2) Denne række konvergerer kl. For eksempel konvergerer serien , , . Jeg understreger endnu en gang, at det i næsten alle praktiske opgaver slet ikke er vigtigt for os, hvad summen af ​​f.eks. serien er lig med, selve dets konvergens er vigtigt.

Dette er elementære fakta fra teorien om serier, som allerede er blevet bevist, og når du løser ethvert praktisk eksempel, kan du roligt henvise til for eksempel divergensen af ​​en serie eller konvergensen af ​​en serie.

Generelt minder det pågældende materiale meget om undersøgelse af ukorrekte integraler, og det vil være lettere for dem, der har studeret dette emne. Nå, for dem, der ikke har studeret det, er det dobbelt nemmere :)

Så hvad skal man gøre, hvis det fælles udtryk for serien TENDER til nul? I sådanne tilfælde skal du bruge andre for at løse eksempler, tilstrækkelig tegn på konvergens/divergens:

Sammenligningskriterier for positive talserier

Jeg henleder din opmærksomhed, at der her kun er tale om positive talrækker (med ikke-negative udtryk).

Der er to tegn på sammenligning, et af dem vil jeg blot kalde et tegn på sammenligning, en anden - grænse for sammenligning.

Lad os først overveje sammenligningstegn eller rettere, den første del af den:

Overvej to positive talserier og . Hvis kendt, at serien – konvergerer, og startende fra et tal, er uligheden opfyldt, derefter rækken konvergerer også.

Med andre ord: Fra konvergensen af ​​serien med større led følger konvergensen af ​​serien med mindre led. I praksis gælder uligheden ofte for alle værdier:

Eksempel 8

Undersøg serien for konvergens

Først, lad os tjekke(mentalt eller i udkast) udførelse:
, hvilket betyder, at det ikke var muligt at "komme af sted med lidt blod."

Vi ser ind i "pakken" af den generaliserede harmoniske serie, og med fokus på den højeste grad finder vi en lignende serie: Det er kendt fra teorien, at den konvergerer.

For alle naturlige tal gælder den åbenlyse ulighed:

og større nævnere svarer til mindre brøker:
, hvilket betyder, baseret på sammenligningskriteriet, den undersøgte serie konvergerer sammen med ved siden af ​​.

Hvis du er i tvivl, kan du altid beskrive uligheden i detaljer! Lad os nedskrive den konstruerede ulighed for flere tal "da":
Hvis så
Hvis så
Hvis så
Hvis så
….
og nu er det helt klart, at uligheden opfyldt for alle naturlige tal "en".

Lad os analysere sammenligningskriteriet og det løste eksempel fra en uformel synsvinkel. Alligevel, hvorfor konvergerer serien? Her er hvorfor. Hvis en serie konvergerer, så har den nogle endelig beløb: . Og da alle medlemmer af serien mindre tilsvarende led i rækken, så er det klart, at summen af ​​rækken ikke kan være større end tallet, og endnu mere, ikke kan være lig med uendelig!

På samme måde kan vi bevise konvergensen af ​​"lignende" serier: , , etc.

! Bemærk, at vi i alle tilfælde har "pluser" i nævnerne. Tilstedeværelsen af ​​mindst et minus kan alvorligt komplicere brugen af ​​det pågældende produkt. sammenligningstegn. For eksempel, hvis en række sammenlignes på samme måde med en konvergent række (skriv flere uligheder ud for de første led), så vil betingelsen slet ikke være opfyldt! Her kan du for eksempel undvige og vælge en anden konvergent serie til sammenligning, men det vil medføre unødvendige forbehold og andre unødvendige vanskeligheder. Derfor er det meget nemmere at bruge for at bevise konvergensen af ​​en serie grænse for sammenligning(se næste afsnit).

Eksempel 9

Undersøg serien for konvergens

Og i dette eksempel foreslår jeg, at du selv overvejer anden del af sammenligningsattributten:

Hvis kendt, at serien – divergerer, og startende fra et eller andet tal (ofte fra den allerførste), uligheden er opfyldt, derefter serien divergerer også.

Med andre ord: Fra divergensen af ​​en serie med mindre led følger divergensen af ​​en serie med større led.

Hvad skal der gøres?
Det er nødvendigt at sammenligne den undersøgte serie med en divergerende harmonisk serie. For en bedre forståelse, konstruer flere specifikke uligheder og sørg for, at uligheden er retfærdig.

Løsningen og prøvedesignet er i slutningen af ​​lektionen.

Som allerede nævnt anvendes det netop omtalte sammenligningskriterium i praksis sjældent. Den egentlige arbejdshest af nummerserier er grænse for sammenligning, og med hensyn til brugsfrekvens kan den kun konkurrere med d'Alemberts tegn.

Limit test til sammenligning af numerisk positive serier

Overvej to positive talserier og . Hvis grænsen for forholdet mellem de fælles udtryk i disse serier er lig med endeligt ikke-nul tal: , så konvergerer eller divergerer begge serier samtidigt.

Hvornår anvendes det begrænsende kriterium? Det begrænsende kriterium for sammenligning bruges, når "fyldningen" af serien er polynomier. Enten et polynomium i nævneren eller polynomier i både tæller og nævner. Valgfrit kan polynomier placeres under rødderne.

Lad os beskæftige os med rækken, hvor det tidligere sammenligningsskilt er gået i stå.

Eksempel 10

Undersøg serien for konvergens

Lad os sammenligne denne serie med en konvergent serie. Vi bruger det begrænsende kriterium til sammenligning. Det er kendt, at serien konvergerer. Hvis vi kan vise, at det er lig endelig, ikke-nul antal, vil det blive bevist, at serien også konvergerer.

Et endeligt ikke-nul tal opnås, hvilket betyder, at den serie, der undersøges, er konvergerer sammen med ved siden af ​​.

Hvorfor blev serien valgt til sammenligning? Hvis vi havde valgt en hvilken som helst anden serie fra "buret" af den generaliserede harmoniske serie, så ville vi ikke være lykkedes med grænsen endelig, ikke-nul tal (du kan eksperimentere).

Bemærk: når vi bruger det begrænsende sammenligningskriterium, betyder ikke noget, i hvilken rækkefølge forholdet mellem fælles medlemmer skal sammensættes, i det betragtede eksempel, kunne forholdet sammensættes omvendt: - dette ville ikke ændre sagens væsen.