I den foregående lektion beskæftigede vi os med faktorisering. Vi har mestret to metoder: at tage ud fælles multiplikator ud over parentes og gruppering. I denne lektion - den følgende kraftfulde metode: forkortede multiplikationsformler. Kort sagt - FSU.
Forkortede multiplikationsformler (sum- og differenskvadrat, sum- og differensterning, differens af kvadrater, sum og differens af terninger) er yderst nødvendige i alle grene af matematikken. De bruges til at simplificere udtryk, løse ligninger, multiplicere polynomier, reducere brøker, løse integraler osv. og så videre. Der er kort sagt al mulig grund til at forholde sig til dem. Forstå, hvor de kommer fra, hvorfor de er nødvendige, hvordan du husker dem, og hvordan du bruger dem.
Forstår vi?)
Hvor kommer forkortede multiplikationsformler fra?
Ligning 6 og 7 er ikke skrevet på en særlig velkendt måde. Det er lidt det modsatte. Dette er med vilje.) Enhver ligestilling virker både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre. Denne post gør det tydeligere, hvor FSU'erne kommer fra.
De er taget fra multiplikation.) For eksempel:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Det er det, ingen videnskabelige tricks. Vi multiplicerer blot parenteserne og giver lignende. Sådan bliver det alle forkortede multiplikationsformler. Forkortet multiplikation skyldes, at der i selve formlerne ikke er multiplikation af parenteser og reduktion af lignende. Forkortet.) Resultatet gives straks.
FSU skal kendes udenad. Uden tre første du behøver ikke drømme om et C, uden resten - om et B eller A.)
Hvorfor har vi brug for forkortede multiplikationsformler?
Der er to grunde til at lære, endda huske, disse formler. Den første er, at et færdigt svar automatisk reducerer antallet af fejl. Men dette er ikke det mest hovedårsagen. Men den anden...
Hvis du kan lide denne side...
Forresten har jeg et par flere interessante sider til dig.)
Du kan øve dig i at løse eksempler og finde ud af dit niveau. Test med øjeblikkelig verifikation. Lad os lære - med interesse!)
Du kan stifte bekendtskab med funktioner og afledte.
2015. A2B system tilsluttet telefoni til CRM
A2B-virksomhedsstyringssystemet har integreret sit CRM med SKOROZVON-telefonitjenesten. Nu kan du ringe til kunder med et enkelt klik fra kun 40 kopek i minuttet. Praktiske opkald og hurtig registrering af resultater giver ledere mulighed for ikke at spilde tid på at søge efter nummeret på en kontaktperson og ringe det ind i telefonen. SKOROZVON-tjenesten giver mulighed for at optage telefonsamtaler og opbevarer dem i op til 1 år (afhængig af takst). A2B-systemet giver dig også mulighed for at styre projekter, styre ordrer og udføre planlægning. Omkostningerne forbliver fra 500 rubler/måned for hele virksomheden.
2015. CRM A2B har udvidet analyser og implementeret adgangsindstillinger
A2B-forretningsstyringssystemet udgav flere væsentlige opdateringer til CRM-modulet i marts: Analyser blev udvidet, tilpasning af salgsstadier blev implementeret, og muligheden for at konfigurere adgang for ledere blev tilføjet. Avancerede rapporter viser ledernes arbejde, salgsprognose, produktpopularitet, tragt for enhver tidsperiode i grafisk og tabelform. Yderligere filtre hjælper dig med at finjustere rapporten til aktuelle forespørgsler. Nu kan hver virksomhed sætte sine egne regler for adgang til kundedatabasen, salg og interaktioner for sine ledere. Du kan konfigurere det fra muligheden for at se til evnen til at slette visse poster i databasen. Som før koster CRM-modulet, som er en del af A2B-systemet, fra 500 rubler/måned for hele virksomheden. Systemet er gratis for tre brugere.
2015. A2B har nu et elektronisk dokumenthåndteringssystem
A2B-forretningsstyringssystemet inkluderer nu et elektronisk dokumentstyringsmodul, tilgængeligt både online og i en boksversion. EDMS-modulet indeholder de mest populære funktioner til styring af virksomhedens interne dokumentflow og er designet til at reducere tiden til godkendelse og kontrol af relevante ordrer. Systemet giver dig mulighed for hurtigt at finde ethvert dokument, se historik og forenkle genereringen af rapporter. EDMS A2B er velegnet til små og mellemstore virksomheder, samt store virksomheder med forenklede programkrav. Omkostningerne ved EDMS-modulet er fra 500 rubler/måned for hele virksomheden (op til tre brugere kan bruge det gratis).
2014. En samler er dukket op i A2B E-mail
A2B business management system giver dig nu mulighed for at indsamle enkelt adgang opgaver til salg, projekter, virksomhedsudviklingsplaner. Nu her kan du også arbejde med via e-mail. Mail collector giver dig mulighed for at se beskeder fra flere på én gang postkasser, læs, send, besvar og videresend e-mails fra A2B-grænsefladen. Fuldtekstsøgning efter adresser, emne og brevtekst er også implementeret. Ved at bruge opsamleren kan du reducere tidsforbruget med at arbejde med breve og opgaver markant: du behøver ikke at åbne forskellige mailkonti og indtaste logins/adgangskoder eller se postkasser, selvom der ikke er nye breve. Nu kan du kun holde én fane åben - A2B. Her er opgaver, planer og mail.
2014. A2B business management system har tilføjet en gratis version
Nu er SaaS A2B-administrationssystemet tilgængeligt gratis for tre brugere. Den gratis konfiguration er ikke begrænset i funktionalitet og inkluderer CRM, projektstyring og planlægning, kontrol af ordrer og regnskab for ideer, kalender og dokumentopbevaring. Gratis version A2B vil være af interesse for både virksomheder, der starter deres virksomhed, og dem, der allerede er i konstant udvikling, såvel som små projekthold. Med den gratis plan kan du kun vælge de moduler til brug, der er nødvendige for virksomhedens arbejde. 5 GB diskplads er tilgængelig til at gemme filer. Vi bemærker også, at systemet for nylig tilføjede et EDMS-modul for at automatisere dokumentflowet. ***
2014. A2B opdateret CRM-modul
Kundemodulet (CRM) er blevet væsentligt opdateret i A2B online business management system. Nu er listen over kunder, salg og interaktioner tilgængelig i et enkelt vindue. Salgsarbejde omfatter registrering af varer og tjenester, udstedelse af fakturaer og betaling. En bekvem forbindelse af kunder, kontaktpersoner, salg og interaktioner giver dig mulighed for hurtigt at se alt det gennemførte og planlagte salgsarbejde. Detaljerede rapporter viser resultaterne af ledernes arbejde i repræsentationen af salgstragten, ledere, transaktioner, produkter/tjenester, og ABC-analyse præsenteres også. Al CRM-funktionalitet er tilgængelig fra 500 rubler/måned for hele virksomheden. Derudover begyndte A2B at sælge udgave i æske systemer til et ubegrænset antal brugere. Boksen er tilgængelig for RUB 100.000.
2013. A2B-virksomheden har udgivet en ny version af ordremodulet
"Ordre"-modulet i A2B's online business management system er blevet fuldstændig opdateret. Ud over den nye grænseflade er der tilføjet ny funktionalitet. Nu er det blevet mere bekvemt at arbejde med ordrer: al information er på én skærm. I ny version observatørrollen er blevet tilføjet, dynamikken i udførelsen af ordren vises, hurtig søgning. Nu vil forfattere og udfører af opgaver være i stand til at arbejde mere effektivt med opgaver: diskutere, vedhæfte filer, rapportere og godkende med et enkelt klik. Hele historien om arbejdet med ordren er noteret i journalen. Alle trin til at delegere opgaven som helhed eller en del af den vil også blive vist på opgavekortet. Derudover kan der udstedes instruktioner fra et projekt eller dokument. Grundlaget for ordren er også vist på dets kort.
2013. Et skemamodul er dukket op i A2B-tjenesten
A2B dukkede op i virksomhedsledelsessystemet nyt modul"Schedules", som kan fungere som en central planlægger i en virksomhed, der samler information om tidsplaner et enkelt sted. I modulet "Tidsplaner" kan du planlægge ferieplaner, vagtplaner, personaleuddannelse, produktionsplaner aktiviteter, timeplaner, patientmodtagelse, trafik, eventuelle andre borde, der bruges i virksomhedens aktuelle aktiviteter. I det nye modul er det praktisk at tildele ansvar og spore udførelsen af planlagte begivenheder, planlægge aktiviteter for en person, afdeling eller enhver ekstern enhed, opbygge tidsplaner og tidsplaner i den velkendte "skak"-repræsentation.
2013. A2B - teoretisk korrekt system virksomhedsledelse
Hvis du er uddannet med udmærkelse fra ethvert ledelsesinstitut og nemt kan navigere i lærebøger strategisk ledelse virksomhed, hvis du tror, at virksomheden har brug for automatisering frem for socialt legetøj, så vil du virkelig kunne lide det nye A2B SaaS-system. Alt i den er udført korrekt. Se på diagrammet ovenfor. Sådan skal det se ud optimalt system virksomhedsautomatisering. Det hele starter med mål. Du sætter mål, udvikler derefter planer for at nå dem, og derefter, baseret på disse planer, oprettes projekter, hvor ledere ifølge hierarkiet tildeler instruktioner til deres underordnede og kontrollerer deres implementering. Efter afslutning af opgaven skal medarbejderen indberette, eller han kan uddelegere opgaven til en anden medarbejder. I takt med at du udfører opgaver og projekter, kan du som leder til enhver tid bestemme, hvor mange procent hvert mål er nået, og sammenligne planen med fakta.
>>Matematik: Forkortede multiplikationsformler
Forkortede multiplikationsformler
Der er flere tilfælde, hvor multiplikation af et polynomium med et andet giver et kompakt resultat, der er let at huske. I disse tilfælde er det at foretrække ikke at gange med én hver gang polynomium på den anden, og brug færdigt resultat. Lad os overveje disse sager.
1. Kvadratsum og kvadratisk forskel:
Eksempel 1. Udvid parenteserne i udtrykket:
a) (Zx + 2) 2;
b) (5a 2 - 4b 3) 2
a) Lad os bruge formel (1), under hensyntagen til, at rollen som a er 3x, og rollen som b er tallet 2.
Vi får:
(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.
b) Lad os bruge formel (2), under hensyntagen til det i rollen EN står 5a 2, og i rollen b står 4b 3. Vi får:
(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.
Når du bruger den kvadratiske sum eller kvadratiske differensformler, skal du huske på det
(-a - b) 2 = (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .
Dette følger af, at (- a) 2 = a 2.
Bemærk, at formlerne (1) og (2) er baseret på nogle matematiske tricks, der giver dig mulighed for at udføre mentale beregninger.
For eksempel kan du næsten verbalt kvadrere tal, der ender på 1 og 9. Faktisk
71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.
Nogle gange kan du hurtigt kvadre et tal, der ender på 2 eller 8. F.eks.
102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;
48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.
Men det mest elegante trick involverer at kvadrere tal, der ender på 5.
Lad os udføre den tilsvarende begrundelse for 85 2 .
Vi har:
85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.
Vi bemærker, at for at beregne 85 2 var det nok at gange 8 med 9 og tilføje 25 til højre til det resulterende resultat. Du kan gøre det samme i andre tilfælde. For eksempel, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 og 25 blev tilføjet til det resulterende tal til højre);
652 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 og 25 blev tilføjet til det resulterende tal til højre).
Da vi taler om forskellige mærkelige omstændigheder relateret til de kedelige (ved første øjekast) formler (1) og (2), vil vi supplere denne samtale med følgende geometriske ræsonnement. Lad a og b være positive tal. Betragt en firkant med siden a + b og skær ud i de to hjørner firkanter med sider lig med henholdsvis a og b (fig. 4).
Arealet af et kvadrat med siden a + b er lig med (a + b) 2. Men vi skærer denne firkant i fire dele: et kvadrat med siden a (dets areal er lig med a 2), et kvadrat med siden b (dets areal er lig med b 2), to rektangler med siderne a og b (arealet af hvert sådant rektangel er lig med ab). Det betyder (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, dvs. vi får formel (1).
Multiplicer binomialet a + b med binomiet a - b. Vi får:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Så
Enhver lighed i matematik bruges fra venstre mod højre (dvs. venstre side lighed erstattes af dens højre side) og fra højre mod venstre (dvs. den højre side af ligheden erstattes af dens venstre side). Hvis formel C) bruges fra venstre mod højre, giver den dig mulighed for at erstatte produktet (a + b) (a - b) med det færdige resultat a 2 - b 2. Den samme formel kan bruges fra højre mod venstre, så giver den dig mulighed for at erstatte forskellen mellem kvadrater a 2 - b 2 med produktet (a + b) (a - b). Formel (3) i matematik får et særligt navn - forskel på kvadrater.
Kommentar.
Forveksle ikke udtrykkene "forskel af kvadrater" med "forskel i kvadrat". Forskellen på kvadrater er a 2 - b 2, hvilket betyder vi taler om omkring formel (3); kvadratet af forskellen er (a- b) 2, hvilket betyder, at vi taler om formel (2). I almindeligt sprog læses formel (3) "fra højre mod venstre" sådan:
forskellen mellem kvadraterne af to tal (udtryk) er lig med produktet af summen af disse tal (udtryk) og deres forskel,
Eksempel 2. Udfør multiplikation
(3x- 2y)(3x+ 2y)
Løsning. Vi har:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.
Eksempel 3. Udtryk binomialet 16x 4 - 9 som et produkt af binomialer.
Løsning. Vi har: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, hvilket betyder, at det givne binomiale er forskellen på kvadrater, dvs. formel (3) kan anvendes på det, læst fra højre mod venstre. Så får vi:
16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)
Formel (3) bruges ligesom formlerne (1) og (2) til matematiske tricks. Se:
79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.
Lad os afslutte samtalen om formlen for forskellen mellem kvadrater med en interessant geometrisk begrundelse. Lad a og b være positive tal, og a > b. Betragt et rektangel med siderne a + b og a - b (fig. 5). Dens areal er (a + b) (a - b). Lad os skære et rektangel med siderne b og a - b og lim det til den resterende del som vist i figur 6. Det er tydeligt, at den resulterende figur har det samme areal, altså (a + b) (a - b). Men dette tal kan være
byg sådan: fra en firkant med side a skæres en firkant ud med side b (dette ses tydeligt på fig. 6). Det betyder, at arealet af den nye figur er a 2 - b 2. Så (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, dvs. vi fik formel (3).
3. Forskel på terninger og sum af terninger
Gang binomialet a - b med trinomiet a 2 + ab + b 2 .
Vi får:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 - b 3.
Ligeledes
(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3
(tjek det selv ud). Så,
Formel (4) kaldes normalt forskel på terninger, formel (5) - summen af terninger. Lad os prøve at oversætte formlerne (4) og (5) til almindeligt sprog. Før du gør dette, skal du bemærke, at udtrykket a 2 + ab + b 2 ligner udtrykket a 2 + 2ab + b 2, som optrådte i formel (1) og gav (a + b) 2; udtrykket a 2 - ab + b 2 ligner udtrykket a 2 - 2ab + b 2, som optrådte i formel (2) og gav (a - b) 2.
For at skelne (i sproget) disse udtrykspar fra hinanden kaldes hvert af udtrykkene a 2 + 2ab + b 2 og a 2 - 2ab + b 2 perfekt firkant(summer eller forskelle), og hvert af udtrykkene a 2 + ab + b 2 og a 2 - ab + b 2 kaldes et ufuldstændigt kvadrat (sum eller forskel). Så får vi følgende oversættelse af formlerne (4) og (5) (læs “fra højre mod venstre”) til almindeligt sprog:
forskellen mellem kuberne af to tal (udtryk) er lig med produktet af forskellen mellem disse tal (udtryk) med det ufuldstændige kvadrat af deres sum; summen af kuberne af to tal (udtryk) er lig med produktet af summen af disse tal (udtryk) og det ufuldstændige kvadrat af deres forskel.
Kommentar. Alle formler (1)-(5) opnået i dette afsnit bruges både fra venstre mod højre og fra højre mod venstre, kun i det første tilfælde (fra venstre mod højre) siger de, at (1)-(5) er forkortet multiplikation formler, og i det andet tilfælde (fra højre mod venstre) siger de, at (1)-(5) er faktoriseringsformler.
Eksempel 4. Udfør multiplikation (2x - 1) (4x 2 + 2x +1).
Løsning. Da den første faktor er forskellen mellem monomialerne 2x og 1, og den anden faktor er det ufuldstændige kvadrat af deres sum, kan vi bruge formel (4). Vi får:
(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.
Eksempel 5. Repræsenter binomiet 27a 6 + 8b 3 som et produkt af polynomier.
Løsning. Vi har: 27a 6 = (For 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. Det betyder, at det givne binomium er summen af terninger, det vil sige, at formel 95 kan anvendes på det, læst fra højre mod venstre. Så får vi:
27a 6 + 8b 3 = (For 2) 3 + (2b) 3 = (For 2 + 2b) ((For 2) 2 - For 2 2b + (2b) 2) = (For 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).
Hjælp til skolebørn online, Matematik til download af 7. klasse, kalender og tematisk planlægning
A. V. Pogorelov, Geometri for klasse 7-11, Lærebog for uddannelsesinstitutioner
Lektionens indhold lektionsnoter understøttende frame lektion præsentation acceleration metoder interaktive teknologier Øve sig opgaver og øvelser selvtest workshops, træninger, cases, quests hjemmeopgaver kontroversielle spørgsmål retoriske spørgsmål fra studerende Illustrationer lyd, videoklip og multimedier fotografier, billeder, grafik, tabeller, diagrammer, humor, anekdoter, vittigheder, tegneserier, lignelser, ordsprog, krydsord, citater Tilføjelser abstracts artikler tricks for de nysgerrige krybber lærebøger grundlæggende og supplerende ordbog over begreber andet Forbedring af lærebøger og lektionerrette fejl i lærebogen opdatering af et fragment i en lærebog, elementer af innovation i lektionen, udskiftning af forældet viden med ny Kun for lærere perfekte lektioner kalenderplan for et år retningslinier diskussionsprogrammer Integrerede lektionerForkortede udtryksformler bruges meget ofte i praksis, så det er tilrådeligt at lære dem alle udenad. Indtil dette øjeblik vil det tjene os trofast, som vi anbefaler at printe ud og altid have for øjnene af dig:
De første fire formler fra den kompilerede tabel med forkortede multiplikationsformler giver dig mulighed for at kvadrere og kubere summen eller forskellen af to udtryk. Den femte er beregnet til kort at gange forskellen og summen af to udtryk. Og den sjette og syvende formel bruges til at gange summen af to udtryk a og b med deres ufuldstændige kvadrat af forskellen (det er hvad et udtryk for formen a 2 −a b+b 2 kaldes) og forskellen af to udtryk a og b ved det ufuldstændige kvadrat af deres sum (a 2 + a·b+b 2 ).
Det er værd at bemærke separat, at hver lighed i tabellen er en identitet. Dette forklarer, hvorfor forkortede multiplikationsformler også kaldes forkortede multiplikationsidentiteter.
Når man løser eksempler, især hvor polynomiet er faktoriseret, bruges FSU ofte i form med venstre og højre side ombyttet:
De sidste tre identiteter i tabellen har deres egne navne. Formlen a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) kaldes formel for forskel på kvadrater, a 3 + b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - summen af terninger formel, A a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - formel for forskel på terninger. Bemærk venligst, at vi ikke navngav de tilsvarende formler med omarrangerede dele fra den foregående tabel.
Yderligere formler
Det ville ikke skade at tilføje et par flere identiteter til tabellen over forkortede multiplikationsformler.
Anvendelsesområder for forkortede multiplikationsformler (FSU) og eksempler
Hovedformålet med forkortede multiplikationsformler (fsu) forklares med deres navn, det vil sige, det består i kort at multiplicere udtryk. Imidlertid er anvendelsesområdet for FSU meget bredere og er ikke begrænset til kort multiplikation. Lad os liste de vigtigste retninger.
Utvivlsomt blev den centrale anvendelse af den forkortede multiplikationsformel fundet ved at udføre identiske transformationer af udtryk. Oftest bruges disse formler i processen forenkling af udtryk.
Eksempel.
Forenkle udtrykket 9·y−(1+3·y) 2 .
Løsning.
I dette udtryk kvadrering kan ske i stenografi, har vi 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Det eneste, der er tilbage, er at åbne parenteserne og bringe lignende udtryk: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.