Første niveau

Geometrisk progression. Omfattende guide med eksempler (2019)

Nummerrækkefølge

Så lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel:

Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil (i vores tilfælde er der dem). Uanset hvor mange tal vi skriver, kan vi altid sige, hvilket der er først, hvilket der er nummer to, og så videre indtil det sidste, det vil sige, vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække:

Nummerrækkefølge er et sæt numre, som hver kan tildeles et unikt nummer.

For eksempel for vores sekvens:

Det tildelte nummer er specifikt for kun ét nummer i sekvensen. Med andre ord er der ingen tre sekunders tal i sekvensen. Det andet tal (som det th tal) er altid det samme.

Tallet med tallet kaldes det n'te medlem af sekvensen.

Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: .

I vores tilfælde:

De mest almindelige typer progression er aritmetiske og geometriske. I dette emne vil vi tale om den anden type - geometrisk progression.

Hvorfor er geometrisk progression nødvendig og dens historie?

Selv i oldtiden tog den italienske matematikermunk Leonardo af Pisa (bedre kendt som Fibonacci) sig af handelens praktiske behov. Munken stod over for opgaven med at bestemme, hvad er det mindste antal vægte, der kan bruges til at veje et produkt? I sine værker beviser Fibonacci, at et sådant vægtsystem er optimalt: Dette er en af ​​de første situationer, hvor folk skulle håndtere en geometrisk progression, som du sikkert allerede har hørt om og i det mindste har en generel forståelse af. Når du fuldt ud forstår emnet, så tænk på, hvorfor et sådant system er optimalt?

I øjeblikket, i livspraksis, manifesterer geometrisk progression sig, når man investerer penge i en bank, når rentebeløbet påløber det beløb, der er akkumuleret på kontoen for den foregående periode. Med andre ord, hvis du sætter penge på et tidsindskud i en sparekasse, så vil indskuddet efter et år stige med det oprindelige beløb, dvs. det nye beløb vil svare til bidraget ganget med. Om endnu et år vil dette beløb stige med, dvs. det beløb, der opnås på det tidspunkt, vil igen blive ganget med og så videre. En lignende situation er beskrevet i problemer med at beregne den såkaldte renters rente- procentsatsen tages hver gang fra det beløb, der står på kontoen under hensyntagen til tidligere renter. Vi vil tale om disse opgaver lidt senere.

Der er mange flere simple tilfælde, hvor geometrisk progression anvendes. For eksempel spredning af influenza: en person inficerede en anden person, de inficerede til gengæld en anden person, og dermed er den anden bølge af infektion en person, og de inficerede til gengæld en anden... og så videre.. .

Forresten er en finansiel pyramide, den samme MMM, en simpel og tør beregning baseret på egenskaberne ved en geometrisk progression. Interessant? Lad os finde ud af det.

Geometrisk progression.

Lad os sige, at vi har en talrække:

Du vil straks svare, at dette er nemt, og navnet på en sådan sekvens er en aritmetisk progression med forskellen på dens udtryk. Hvad med dette:

Hvis du trækker det forrige tal fra det næste tal, vil du se, at du hver gang får en ny forskel (og så videre), men rækkefølgen eksisterer bestemt og er let at bemærke - hvert efterfølgende tal er gange større end det forrige!

Denne type talrække kaldes geometrisk progression og er udpeget.

Geometrisk progression () er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression.

Begrænsningerne om, at det første led ( ) ikke er ens og ikke er tilfældige. Lad os antage, at der ikke er nogen, og det første led stadig er lig, og q er lig med, hmm.. lad det være, så viser det sig:

Enig i at dette ikke længere er en progression.

Som du forstår, vil vi få de samme resultater, hvis der er et andet tal end nul, a. I disse tilfælde vil der simpelthen ikke være nogen progression, da hele talrækken enten vil være alle nuller, eller ét tal, og resten vil være nuller.

Lad os nu tale mere detaljeret om nævneren for den geometriske progression, det vil sige o.

Lad os gentage: - dette er tallet hvor mange gange ændres hvert efterfølgende led? geometrisk progression.

Hvad tror du, det kunne være? Det er rigtigt, positivt og negativt, men ikke nul (vi talte om dette lidt højere).

Lad os antage, at vores er positiv. Lad i vores tilfælde, en. Hvad er værdien af ​​det andet led og? Det kan du nemt svare på:

Det er rigtigt. Derfor, hvis, så har alle efterfølgende vilkår for progressionen det samme tegn - de er positive.

Hvad hvis det er negativt? For eksempel en. Hvad er værdien af ​​det andet led og?

Det er en helt anden historie

Prøv at tælle vilkårene for denne progression. Hvor meget fik du? Jeg har. Således, hvis, så veksler tegnene på vilkårene for den geometriske progression. Det vil sige, hvis du ser en progression med skiftende fortegn for dens medlemmer, så er dens nævner negativ. Denne viden kan hjælpe dig med at teste dig selv, når du løser problemer om dette emne.

Lad os nu øve os lidt: prøv at bestemme, hvilke talsekvenser der er en geometrisk progression, og hvilke der er en aritmetisk progression:

Forstået? Lad os sammenligne vores svar:

• Geometrisk progression - 3, 6.
• Aritmetisk progression - 2, 4.
• Det er hverken en aritmetisk eller en geometrisk progression - 1, 5, 7.

Lad os vende tilbage til vores sidste progression og prøve at finde dens medlem, ligesom i den aritmetiske. Som du måske har gættet, er der to måder at finde det på.

Vi gange successivt hvert led med.

Så det th led af den beskrevne geometriske progression er lig med.

Som du allerede har gættet, vil du nu selv udlede en formel, der vil hjælpe dig med at finde ethvert medlem af den geometriske progression. Eller har du allerede udviklet det for dig selv, og beskriver hvordan du finder det th medlem trin for trin? Hvis ja, så tjek rigtigheden af ​​din begrundelse.

Lad os illustrere dette med eksemplet på at finde det te led i denne progression:

Med andre ord:

Find selv værdien af ​​leddet for den givne geometriske progression.

sket? Lad os sammenligne vores svar:

Bemærk venligst, at du fik nøjagtig det samme tal som i den foregående metode, når vi sekventielt multiplicerede med hvert tidligere led i den geometriske progression.
Lad os prøve at "depersonalisere" denne formel - lad os sætte den i generel form og få:

Den afledte formel er sand for alle værdier - både positive og negative. Tjek selv dette ved at beregne vilkårene for den geometriske progression med følgende betingelser: , a.

Har du talt? Lad os sammenligne resultaterne:

Enig at det ville være muligt at finde et led af en progression på samme måde som et led, dog er der mulighed for at regne forkert. Og hvis vi allerede har fundet det tredje led i den geometriske progression, hvad kunne så være enklere end at bruge den "trunkerede" del af formlen.

Uendeligt faldende geometrisk progression.

For nylig talte vi om, at det enten kan være større eller mindre end nul, men der er specielle værdier, for hvilke den geometriske progression kaldes uendeligt aftagende.

Hvorfor tror du, at dette navn er givet?
Lad os først nedskrive en geometrisk progression bestående af led.
Lad os sige, så:

Vi ser, at hvert efterfølgende led er mindre end det foregående med en faktor, men vil der være et tal? Du vil straks svare - "nej". Derfor er det uendeligt faldende – det falder og falder, men bliver aldrig nul.

For klart at forstå, hvordan dette ser ud visuelt, lad os prøve at tegne en graf over vores progression. Så for vores tilfælde har formlen følgende form:

På grafer er vi vant til at plotte afhængighed af, derfor:

Essensen af ​​udtrykket har ikke ændret sig: i den første post viste vi afhængigheden af ​​værdien af ​​et medlem af en geometrisk progression af dets ordenstal, og i den anden post tog vi simpelthen værdien af ​​et medlem af en geometrisk progression som , og betegnede ordenstallet ikke som, men som. Det eneste, der skal gøres, er at bygge en graf.
Lad os se, hvad du har. Her er grafen jeg kom frem til:

Ser du? Funktionen falder, har en tendens til nul, men krydser den aldrig, så den er uendeligt faldende. Lad os markere vores punkter på grafen, og samtidig hvad koordinaten og betyder:

Prøv skematisk at afbilde en graf af en geometrisk progression, hvis dens første led også er ens. Analyser, hvad er forskellen med vores tidligere graf?

Klarede du dig? Her er grafen jeg kom frem til:

Nu hvor du fuldt ud har forstået det grundlæggende i emnet geometrisk progression: du ved hvad det er, du ved hvordan du finder dets udtryk, og du ved også hvad en uendeligt faldende geometrisk progression er, lad os gå videre til dens hovedegenskab.

Egenskab for geometrisk progression.

Kan du huske egenskaben for vilkårene for en aritmetisk progression? Ja, ja, hvordan finder man værdien af ​​et bestemt antal af en progression, når der er tidligere og efterfølgende værdier af vilkårene for denne progression. Kan du huske? Det her:

Nu står vi over for præcis det samme spørgsmål for vilkårene for en geometrisk progression. For at udlede en sådan formel, lad os begynde at tegne og ræsonnere. Du vil se, det er meget nemt, og hvis du glemmer det, kan du selv få det ud.

Lad os tage en anden simpel geometrisk progression, hvor vi kender og. Hvordan finder man? Med aritmetisk progression er det nemt og enkelt, men hvad med her? Faktisk er der heller ikke noget kompliceret i geometrisk - du skal bare skrive ned hver værdi givet til os i henhold til formlen.

Du kan spørge, hvad skal vi gøre ved det nu? Ja, meget simpelt. Lad os først afbilde disse formler i et billede og prøve at udføre forskellige manipulationer med dem for at nå frem til værdien.

Lad os abstrahere fra de tal, der er givet til os, lad os kun fokusere på deres udtryk gennem formlen. Vi skal finde den værdi, der er fremhævet med orange, ved at kende de termer, der støder op til den. Lad os prøve at udføre forskellige handlinger med dem, som et resultat af hvilket vi kan få.

Tilføjelse.
Lad os prøve at tilføje to udtryk, og vi får:

Fra dette udtryk, som du kan se, kan vi ikke udtrykke det på nogen måde, derfor vil vi prøve en anden mulighed - subtraktion.

Subtraktion.

Som du kan se, kan vi heller ikke udtrykke dette, så lad os prøve at multiplicere disse udtryk med hinanden.

Multiplikation.

Se nu omhyggeligt på, hvad vi har ved at gange vilkårene for den geometriske progression givet os i sammenligning med det, der skal findes:

Gæt hvad jeg taler om? Korrekt, for at finde, skal vi tage kvadratroden af ​​de geometriske progressionstal ved siden af ​​det ønskede ganget med hinanden:

Vær så god. Du har selv udledt egenskaben ved geometrisk progression. Prøv at skrive denne formel i generel form. sket?

Glemt betingelsen for? Tænk over, hvorfor det er vigtigt, prøv for eksempel selv at regne det ud. Hvad vil der ske i dette tilfælde? Det er rigtigt, komplet nonsens, fordi formlen ser sådan ud:

Glem derfor ikke denne begrænsning.

Lad os nu beregne, hvad det er lig

Rigtigt svar - ! Hvis du ikke har glemt den anden mulige værdi under beregningen, så er du fantastisk og kan straks gå videre til træning, og hvis du har glemt det, så læs hvad der diskuteres nedenfor og vær opmærksom på, hvorfor det er nødvendigt at skrive begge rødder ned i svaret.

Lad os tegne begge vores geometriske progressioner - den ene med en værdi og den anden med en værdi og tjekke, om de begge har ret til at eksistere:

For at kontrollere, om en sådan geometrisk progression eksisterer eller ej, er det nødvendigt at se, om alle dens givne udtryk er ens? Beregn q for det første og andet tilfælde.

Se hvorfor vi skal skrive to svar? Fordi det tegn på det udtryk, du leder efter, afhænger af, om det er positivt eller negativt! Og da vi ikke ved, hvad det er, skal vi skrive begge svar med et plus og et minus.

Nu hvor du har mestret hovedpunkterne og udledt formlen for egenskaben for geometrisk progression, find, kend og

Sammenlign dine svar med de rigtige:

Hvad synes du, hvad hvis vi ikke fik værdierne af vilkårene for den geometriske progression ved siden af ​​det ønskede tal, men lige langt fra det. For eksempel skal vi finde, og givet og. Kan vi bruge den formel, vi udledte i dette tilfælde? Prøv at bekræfte eller afkræfte denne mulighed på samme måde ved at beskrive, hvad hver værdi består af, som du gjorde, da du oprindeligt udledte formlen, kl.
Hvad fik du?

Se nu grundigt igen.
og tilsvarende:

Ud fra dette kan vi konkludere, at formlen virker ikke kun med naboer med de ønskede vilkår for den geometriske progression, men også med lige langt fra det medlemmerne søger.

Vores indledende formel har således formen:

Det vil sige, at hvis vi i det første tilfælde sagde det, så siger vi nu, at det kan være lig med ethvert naturligt tal, der er mindre. Det vigtigste er, at det er ens for begge givne tal.

Øv dig med specifikke eksempler, bare vær ekstremt forsigtig!

1. , . Find.
2. , . Find.
3. , . Find.

Besluttede? Jeg håber, du var yderst opmærksom og bemærkede en lille fangst.

Lad os sammenligne resultaterne.

I de første to tilfælde anvender vi roligt ovenstående formel og får følgende værdier:

I det tredje tilfælde, ved omhyggelig undersøgelse af serienumrene på de numre, vi har fået, forstår vi, at de ikke er lige langt fra det nummer, vi leder efter: det er det forrige nummer, men fjernes ved en position, så det er ikke muligt at anvende formlen.

Hvordan løses det? Det er faktisk ikke så svært, som det ser ud til! Lad os skrive ned, hvad hvert nummer givet til os og det tal, vi leder efter, består af.

Så vi har og. Lad os se, hvad vi kan gøre med dem? Jeg foreslår at dividere med. Vi får:

Vi erstatter vores data med formlen:

Det næste trin, vi kan finde, er - til dette skal vi tage terningroden af ​​det resulterende tal.

Lad os nu se igen på, hvad vi har. Vi har det, men vi skal finde det, og det er til gengæld lig med:

Vi fandt alle de nødvendige data til beregningen. Erstat i formlen:

Vores svar: .

Prøv selv at løse et andet lignende problem:
Givet:,
Find:

Hvor meget fik du? Jeg har - .

Som du kan se, har du i det væsentlige brug for husk kun én formel- . Du kan til enhver tid selv trække alt det resterende uden besvær. For at gøre dette skal du blot skrive den enkleste geometriske progression på et stykke papir og skrive ned, hvad hvert af dets tal er lig med, ifølge formlen beskrevet ovenfor.

Summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression.

Lad os nu se på formler, der giver os mulighed for hurtigt at beregne summen af ​​led af en geometrisk progression i et givet interval:

For at udlede formlen for summen af ​​led af en endelig geometrisk progression skal du gange alle dele af ovenstående ligning med. Vi får:

Se godt efter: hvad har de to sidste formler til fælles? Det er rigtigt, f.eks. almindelige medlemmer og så videre, bortset fra første og sidste medlem. Lad os prøve at trække 1. fra 2. ligning. Hvad fik du?

Udtryk nu udtrykket for den geometriske progression gennem formlen og erstat det resulterende udtryk med vores sidste formel:

Gruppér udtrykket. Du bør få:

Det eneste, der skal gøres, er at udtrykke:

Følgelig i dette tilfælde.

Hvad hvis? Hvilken formel virker så? Forestil dig en geometrisk progression kl. Hvordan er hun? En række identiske tal er korrekte, så formlen vil se sådan ud:

Der er mange legender om både aritmetisk og geometrisk progression. En af dem er legenden om Set, skaberen af ​​skak.

Mange mennesker ved, at skakspillet blev opfundet i Indien. Da den hinduistiske konge mødte hende, var han henrykt over hendes vid og de mange forskellige positioner, der var mulige i hende. Efter at have erfaret, at det var opfundet af en af ​​hans undersåtter, besluttede kongen at belønne ham personligt. Han tilkaldte opfinderen til sig selv og beordrede ham til at bede ham om alt, hvad han ønskede, og lovede at opfylde selv det mest dygtige ønske.

Seta bad om betænkningstid, og da Seta næste dag dukkede op for kongen, overraskede han kongen med den hidtil usete beskedenhed i hans anmodning. Han bad om at give et hvedekorn til det første felt på skakbrættet, et hvedekorn til det andet, et hvedekorn til det tredje, et fjerde osv.

Kongen blev vred og drev Seth bort, idet han sagde, at tjenerens anmodning var uværdig til kongens generøsitet, men lovede, at tjeneren ville modtage sine korn til alle brættets firkanter.

Og nu spørgsmålet: ved hjælp af formlen for summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression, beregne hvor mange korn Seth skal modtage?

Lad os begynde at ræsonnere. Da Seth ifølge betingelsen bad om et hvedekorn til det første felt på skakbrættet, til det andet, til det tredje, til det fjerde osv., så ser vi, at problemet handler om en geometrisk progression. Hvad er det lig i dette tilfælde?
Højre.

Samlede kvadrater af skakbrættet. Henholdsvis, . Vi har alle dataene, det eneste der er tilbage er at sætte det ind i formlen og beregne.

For at forestille os i det mindste tilnærmelsesvis "skalaen" af et givet tal, transformerer vi ved hjælp af egenskaberne for grad:

Selvfølgelig, hvis du vil, kan du tage en lommeregner og beregne, hvilket tal du ender med, og hvis ikke, må du tage mit ord for det: den endelige værdi af udtrykket bliver.
Det er:

quintillion quadrillion billioner milliarder millioner tusinde.

Puha) Hvis du vil forestille dig, hvor meget dette tal er, så estimer, hvor stor en stald ville være nødvendig for at rumme hele mængden af ​​korn.
Hvis stalden er m høj og m bred, skulle dens længde strække sig over km, dvs. dobbelt så langt som fra Jorden til Solen.

Hvis kongen var stærk i matematik, kunne han have inviteret videnskabsmanden selv til at tælle kornene, for for at tælle en million korn, ville han have brug for mindst en dags utrættelig optælling, og givet at det er nødvendigt at tælle kvintillioner, kornene skulle tælles hele hans liv.

Lad os nu løse et simpelt problem, der involverer summen af ​​led i en geometrisk progression.
En elev fra klasse 5A Vasya blev syg af influenza, men fortsætter med at gå i skole. Hver dag inficerer Vasya to mennesker, som til gengæld inficerer yderligere to mennesker, og så videre. Der er kun mennesker i klassen. Hvor mange dage vil hele klassen være syg med influenza?

Så det første udtryk for den geometriske progression er Vasya, det vil sige en person. Det tredje led i den geometriske progression er de to mennesker, han inficerede på den første dag efter sin ankomst. Den samlede sum af progressionsterminerne er lig med antallet af 5A-elever. Derfor taler vi om en progression, hvor:

Lad os erstatte vores data med formlen for summen af ​​vilkårene for en geometrisk progression:

Hele klassen bliver syg inden for få dage. Tror du ikke på formler og tal? Prøv selv at skildre elevernes "infektion". sket? Se hvordan det ser ud for mig:

Beregn selv, hvor mange dage det ville tage for eleverne at blive syge af influenza, hvis hver enkelt smittede en person, og der kun var én person i klassen.

Hvilken værdi fik du? Det viste sig, at alle begyndte at blive syge efter en dag.

Som du kan se, ligner en sådan opgave og tegningen til den en pyramide, hvor hver efterfølgende "bringer" nye mennesker. Men før eller siden kommer der et øjeblik, hvor sidstnævnte ikke kan tiltrække nogen. I vores tilfælde, hvis vi forestiller os, at klassen er isoleret, lukker personen fra kæden (). Således, hvis en person var involveret i en finansiel pyramide, hvori der blev givet penge, hvis du tog to andre deltagere med, så ville personen (eller generelt) ikke bringe nogen, og derfor ville miste alt, hvad de investerede i denne finansielle fidus.

Alt, hvad der blev sagt ovenfor, refererer til en aftagende eller stigende geometrisk progression, men som du husker, har vi en speciel type - en uendeligt aftagende geometrisk progression. Hvordan beregner man summen af ​​sine medlemmer? Og hvorfor har denne type progression visse karakteristika? Lad os finde ud af det sammen.

Så lad os først se igen på denne tegning af en uendeligt aftagende geometrisk progression fra vores eksempel:

Lad os nu se på formlen for summen af ​​en geometrisk progression, afledt lidt tidligere:
eller

Hvad stræber vi efter? Det er rigtigt, grafen viser, at den har en tendens til nul. Det vil sige, at, vil være næsten lige, henholdsvis, når vi beregner det udtryk, vi får næsten. I denne henseende mener vi, at når man beregner summen af ​​en uendeligt faldende geometrisk progression, kan denne parentes negligeres, da den vil være ens.

- formel er summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression.

VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af ​​led af en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at vi skal finde summen uendelig antal medlemmer.

Hvis et bestemt tal n er angivet, så bruger vi formlen for summen af ​​n led, også hvis eller.

Lad os nu øve os.

1. Find summen af ​​de første led i den geometriske progression med og.
2. Find summen af ​​vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression med og.

Jeg håber, du var yderst forsigtig. Lad os sammenligne vores svar:

Nu ved du alt om geometrisk progression, og det er tid til at gå fra teori til praksis. De mest almindelige geometriske progressionsproblemer, man støder på ved eksamen, er problemer med at beregne renters rente. Det er dem, vi vil tale om.

Problemer med at beregne renters rente.

Du har sikkert hørt om den såkaldte rentesammensatte formel. Forstår du, hvad det betyder? Hvis ikke, så lad os finde ud af det, for når du først forstår selve processen, vil du straks forstå, hvad geometrisk progression har med det at gøre.

Vi går alle i banken og ved, at der er forskellige betingelser for indskud: Dette inkluderer en løbetid, yderligere tjenester og renter med to forskellige måder at beregne det på - enkelt og komplekst.

MED simpel rente alt er mere eller mindre klart: Der påløber renter én gang ved slutningen af ​​indbetalingsperioden. Det vil sige, hvis vi siger, at vi indbetaler 100 rubler i et år, krediteres de først i slutningen af ​​året. Derfor vil vi modtage rubler ved udgangen af ​​depositum.

Renters rente- dette er en mulighed, hvor det forekommer rentekapitalisering, dvs. deres tilføjelse til indskudsbeløbet og efterfølgende beregning af indkomst ikke fra det oprindelige, men fra det akkumulerede indskudsbeløb. Store bogstaver forekommer ikke konstant, men med en vis hyppighed. Som regel er sådanne perioder lige store, og oftest bruger banker en måned, et kvartal eller et år.

Lad os antage, at vi indbetaler de samme rubler årligt, men med månedlig kapitalisering af indskuddet. Hvad laver vi?

Forstår du alt her? Hvis ikke, så lad os finde ud af det trin for trin.

Vi bragte rubler til banken. Ved udgangen af ​​måneden skulle vi have et beløb på vores konto bestående af vores rubler plus renter på dem, det vil sige:

Enig?

Vi kan tage den ud af parentes og så får vi:

Enig, denne formel ligner allerede mere det, vi skrev i begyndelsen. Det eneste der er tilbage er at finde ud af procenterne

I problemformuleringen får vi at vide om årssatser. Som du ved, multiplicerer vi ikke med - vi konverterer procenter til decimalbrøker, det vil sige:

Højre? Nu kan du spørge, hvor kom tallet fra? Meget simpelt!
Jeg gentager: problemformuleringen siger om ÅRLIGT renter, der påløber MÅNEDLIGE. Som du ved, vil banken derfor i løbet af et år af måneder opkræve os en del af den årlige rente pr. måned:

indså det? Prøv nu at skrive, hvordan denne del af formlen ville se ud, hvis jeg sagde, at renten beregnes dagligt.
Klarede du dig? Lad os sammenligne resultaterne:

Godt klaret! Lad os vende tilbage til vores opgave: skriv, hvor meget der vil blive krediteret vores konto i den anden måned, idet der tages højde for, at der påløber renter på det akkumulerede indskudsbeløb.
Her er hvad jeg fik:

Eller med andre ord:

Jeg tror, ​​at du allerede har bemærket et mønster og set en geometrisk progression i alt dette. Skriv, hvad dets medlem vil være lig med, eller med andre ord, hvilket beløb vi vil modtage i slutningen af ​​måneden.
gjorde? Lad os tjekke!

Som du kan se, hvis du sætter penge i en bank i et år til en simpel rente, vil du modtage rubler, og hvis til en sammensat rente, vil du modtage rubler. Fordelen er lille, men dette sker kun i løbet af det år, men i en længere periode er kapitalisering meget mere rentabel:

Lad os se på en anden type problem, der involverer renters rente. Efter hvad du har fundet ud af, vil det være elementært for dig. Så opgaven:

Zvezda-virksomheden begyndte at investere i industrien i 2000 med kapital i dollars. Hvert år siden 2001 har den fået et overskud, der svarer til det foregående års kapital. Hvor meget overskud vil Zvezda-virksomheden modtage ved udgangen af ​​2003, hvis overskuddet ikke blev trukket ud af omløb?

Zvezdas hovedstad i 2000.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2001.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2002.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2003.

Eller vi kan skrive kort:

For vores tilfælde:

2000, 2001, 2002 og 2003.

Henholdsvis:
rubler
Vær opmærksom på, at vi i denne opgave ikke har en division hverken efter eller efter, da procenten opgives ÅRLIGT, og den udregnes ÅRLIGT. Det vil sige, når du læser et problem om renters rente, skal du være opmærksom på, hvilken procentdel der gives, og i hvilken periode den beregnes, og først derefter gå videre til beregninger.
Nu ved du alt om geometrisk progression.

Uddannelse.

1. Find termen for den geometriske progression, hvis det er kendt, og
2. Find summen af ​​de første led i den geometriske progression, hvis det er kendt, og
3. MDM Capital-virksomheden begyndte at investere i industrien i 2003 med kapital i dollars. Hvert år siden 2004 har den fået et overskud, der svarer til det foregående års kapital. MSK Cash Flows-selskabet begyndte at investere i industrien i 2005 for et beløb på $10.000, og begyndte at tjene penge i 2006 på et beløb på. Hvor mange dollars er den ene virksomheds kapital større end den anden ved udgangen af ​​2007, hvis overskuddet ikke blev trukket ud af omløb?

Svar:

1. Da problemformuleringen ikke siger, at progressionen er uendelig, og det er nødvendigt at finde summen af ​​et bestemt antal af dens led, udføres beregningen i henhold til formlen:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - stiger med 100%, det vil sige 2 gange.
   Henholdsvis:
   rubler
   MSK Cash Flows selskab:

   2005, 2006, 2007.
   - stiger med, det vil sige med gange.
   Henholdsvis:
   rubler
   rubler

Lad os opsummere.

1) Geometrisk progression ( ) er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression.

2) Ligningen for vilkårene for den geometriske progression er .

3) kan tage alle værdier undtagen og.

• hvis, så har alle efterfølgende vilkår for progressionen det samme fortegn - de er positive;
• hvis, så alle efterfølgende vilkår for progressionen alternative tegn;
• når - progressionen kaldes uendeligt aftagende.

4) , med - egenskab for geometrisk progression (tilstødende led)

eller
, på (lige afstande)

Når du finder det, så glem det ikke der burde være to svar.

For eksempel,

5) Summen af ​​vilkårene for den geometriske progression beregnes ved formlen:
eller

Hvis progressionen er uendeligt faldende, så:
eller

VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af ​​led af en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at vi skal finde summen af ​​et uendeligt antal led.

6) Problemer med renters rente beregnes også ved hjælp af formlen for det th led af en geometrisk progression, forudsat at midler ikke er blevet trukket ud af cirkulation:

GEOMETRISK PROGRESSION. KORT OM DE VIGTIGSTE TING

Geometrisk progression( ) er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal. Dette nummer kaldes nævner for en geometrisk progression.

Nævner for geometrisk progression kan tage enhver værdi undtagen og.

• Hvis så alle efterfølgende led i progressionen har det samme fortegn - de er positive;
• hvis, så skifter alle efterfølgende medlemmer af progressionen tegn;
• når - progressionen kaldes uendeligt aftagende.

Ligning af termer for geometrisk progression - .

Summen af ​​led i en geometrisk progression beregnet med formlen:
eller

En geometrisk progression er en numerisk sekvens, hvis første led er ikke-nul, og hvert efterfølgende led er lig med det foregående led ganget med det samme ikke-nul tal.

Begrebet geometrisk progression

Geometrisk progression betegnes b1,b2,b3, …, bn, ….

Forholdet mellem ethvert led i den geometriske fejl og dets tidligere led er lig med det samme tal, det vil sige b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Dette følger direkte af definitionen af ​​en aritmetisk progression. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression. Normalt er nævneren for en geometrisk progression angivet med bogstavet q.

Summen af ​​en uendelig geometrisk progression for |q|<1

En af måderne at specificere en geometrisk progression på er at specificere dens første led b1 og nævneren for den geometriske fejl q. For eksempel, b1=4, q=-2. Disse to betingelser definerer den geometriske progression 4, -8, 16, -32, ….

Hvis q>0 (q er ikke lig med 1), så er progressionen en monoton sekvens. For eksempel er sekvensen 2, 4,8,16,32, ... en monotont stigende sekvens (b1=2, q=2).

Hvis nævneren i den geometriske fejl er q=1, så vil alle led i den geometriske progression være lig med hinanden. I sådanne tilfælde siges progressionen at være en konstant sekvens.

For at en talsekvens (bn) skal være en geometrisk progression, er det nødvendigt, at hvert af dets medlemmer, startende fra det andet, er det geometriske middelværdi af naboelementer. Det vil sige, at det er nødvendigt at opfylde følgende ligning
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), for enhver n>0, hvor n tilhører mængden af ​​naturlige tal N.

Lad os nu sætte (Xn) - en geometrisk progression. Nævneren af ​​den geometriske progression q, og |q|∞).
Hvis vi nu med S betegner summen af ​​en uendelig geometrisk progression, så vil følgende formel være gældende:
S=xl/(1-q).

Lad os se på et simpelt eksempel:

Find summen af ​​den uendelige geometriske progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

For at finde S bruger vi formlen for summen af ​​en uendelig aritmetisk progression. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Matematik er hvadmennesker kontrollerer naturen og sig selv.

Sovjetisk matematiker, akademiker A.N. Kolmogorov

Geometrisk progression.

Sammen med problemer om aritmetiske progressioner er problemer relateret til begrebet geometrisk progression også almindelige i optagelsesprøver i matematik. For at løse sådanne problemer med succes skal du kende egenskaberne ved geometriske progressioner og have gode færdigheder i at bruge dem.

Denne artikel er afsat til præsentationen af ​​de grundlæggende egenskaber ved geometrisk progression. Eksempler på løsning af typiske problemer er også givet her., lånt fra opgaverne ved optagelsesprøver i matematik.

Lad os først bemærke de grundlæggende egenskaber ved den geometriske progression og huske de vigtigste formler og udsagn, relateret til dette koncept.

Definition. En talrække kaldes en geometrisk progression, hvis hvert tal, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal. Tallet kaldes nævneren for en geometrisk progression.

Til geometrisk progressionformlerne er gyldige

, (1)

Hvor . Formel (1) kaldes formlen for det generelle udtryk for en geometrisk progression, og formel (2) repræsenterer hovedegenskaben for en geometrisk progression: hvert led i progressionen falder sammen med det geometriske middelværdi af dets naboled og .

Bemærk, at det netop er på grund af denne egenskab, at den pågældende progression kaldes "geometrisk".

Ovenstående formler (1) og (2) er generaliseret som følger:

, (3)

For at beregne beløbet først medlemmer af en geometrisk progressionformel gælder

Hvis vi betegner, så

Hvor . Da formel (6) er en generalisering af formel (5).

I tilfælde af hvornår og geometrisk progressioner uendeligt faldende. For at beregne beløbetaf alle led i en uendeligt aftagende geometrisk progression, anvendes formlen

. (7)

For eksempel , ved hjælp af formel (7) kan vi vise, Hvad

Hvor . Disse ligheder opnås fra formel (7) under den betingelse, at , (første lighed) og , (anden lighed).

Sætning. Hvis så

Bevis. Hvis så

Sætningen er blevet bevist.

Lad os gå videre til at overveje eksempler på løsning af problemer om emnet "Geometrisk progression".

Eksempel 1. Givet: , og . Find .

Løsning. Hvis vi anvender formel (5), så

Svar: .

Eksempel 2. Lad det være. Find .

Løsning. Siden og , bruger vi formlerne (5), (6) og opnår et ligningssystem

Hvis den anden ligning af system (9) divideres med den første, derefter eller . Det følger heraf, at . Lad os overveje to tilfælde.

1. Hvis, så fra den første ligning af system (9) har vi.

2. Hvis , så .

Eksempel 3. Lad , og . Find .

Løsning. Af formel (2) følger, at eller . Siden , dengang eller .

Efter betingelse. Dog derfor. Siden og så har vi her et ligningssystem

Hvis systemets anden ligning divideres med den første, så eller .

Siden har ligningen en unik passende rod. I dette tilfælde følger det af systemets første ligning.

Under hensyntagen til formel (7), opnår vi.

Svar: .

Eksempel 4. Givet: og . Find .

Løsning. Siden da.

Siden , dengang eller

Ifølge formel (2) har vi . I denne henseende opnår vi fra lighed (10) eller .

Dog efter betingelse altså.

Eksempel 5. Det er kendt, at. Find .

Løsning. Ifølge sætningen har vi to ligheder

Siden , dengang eller . Fordi altså.

Svar: .

Eksempel 6. Givet: og . Find .

Løsning. Under hensyntagen til formel (5), opnår vi

Siden da. Siden , og , derefter .

Eksempel 7. Lad det være. Find .

Løsning. Ifølge formel (1) kan vi skrive

Derfor har vi eller . Det er kendt, at og , derfor og .

Svar: .

Eksempel 8. Find nævneren for en uendelig aftagende geometrisk progression if

Og .

Løsning. Af formel (7) følger Og . Herfra og ud fra problemets betingelser får vi et ligningssystem

Hvis systemets første ligning er kvadreret, og divider derefter den resulterende ligning med den anden ligning, så får vi

Eller .

Svar: .

Eksempel 9. Find alle værdier, hvor sekvensen , , er en geometrisk progression.

Løsning. Lad , og . Ifølge formel (2), som definerer hovedegenskaben ved en geometrisk progression, kan vi skrive eller .

Herfra får vi andengradsligningen, hvis rødder er Og .

Lad os tjekke: hvis, derefter , og ; hvis , så og .

I det første tilfælde har vi og , og i den anden – og .

Svar: , .

Eksempel 10.Løs ligningen

, (11)

hvor og.

Løsning. Den venstre side af ligning (11) er summen af ​​en uendelig aftagende geometrisk progression, hvori og , underlagt: og .

Af formel (7) følger, Hvad . I denne henseende har ligning (11) formen eller . Egnet rod andengradsligning er

Svar: .

Eksempel 11. P sekvens af positive taldanner en aritmetisk progression, A - geometrisk progression, hvad har det at gøre med . Find .

Løsning. Fordi aritmetisk rækkefølge, At (hovedegenskaben ved aritmetisk progression). Fordi, derefter eller . Dette indebærer, at den geometriske progression har formen. Ifølge formel (2), så skriver vi det ned.

Siden og , da . I dette tilfælde udtrykket antager formen eller . Efter betingelse, så fra lign.vi opnår en unik løsning på det aktuelle problem, dvs. .

Svar: .

Eksempel 12. Beregn sum

. (12)

Løsning. Multiplicer begge sider af lighed (12) med 5 og få

Hvis vi trækker (12) fra det resulterende udtryk, At

eller .

For at beregne erstatter vi værdierne i formlen (7) og får . Siden da.

Svar: .

De eksempler på problemløsning, der er givet her, vil være nyttige for ansøgere, når de forbereder sig til optagelsesprøver. Til en dybere undersøgelse af problemløsningsmetoder, relateret til geometrisk progression, Du kan bruge selvstudier fra listen over anbefalet litteratur.

1. Opsamling af opgaver i matematik for ansøgere til gymnasier / Udg. M.I. Scanavi. – M.: Mir og Uddannelse, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematik for gymnasieelever: yderligere afsnit af skolens læseplan. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medynsky M.M. Et komplet kursus i elementær matematik i problemer og øvelser. Bog 2: Talfølger og progressioner. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Har du stadig spørgsmål?

Tilmeld dig for at få hjælp fra en vejleder.

hjemmeside, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til kilden.

Lektion og oplæg om emnet: "Talsekvenser. Geometrisk progression"

Yderligere materialer
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.

Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 9. klasse
Potenser og rødder Funktioner og grafer

Gutter, i dag vil vi stifte bekendtskab med en anden type progression.
Emnet for dagens lektion er geometrisk progression.

Geometrisk progression

Definition. En numerisk rækkefølge, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med produktet af det foregående, og et eller andet fast tal kaldes en geometrisk progression.
Lad os definere vores sekvens rekursivt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
hvor b og q er bestemte givne tal. Tallet q kaldes forløbets nævner.

Eksempel. 1,2,4,8,16... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med en, og $q=2$.

Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med otte,
og $q=1$.

Eksempel. 3,-3,3,-3,3... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med tre,
og $q=-1$.

Geometrisk progression har monotoniens egenskaber.
Hvis $b_(1)>0$, $q>1$,
så er rækkefølgen stigende.
Hvis $b_(1)>0$, $0 Sekvensen er normalt angivet i formen: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Ligesom i en aritmetisk progression, hvis antallet af elementer i en geometrisk progression er endeligt, så kaldes progressionen en endelig geometrisk progression.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Bemærk, at hvis en sekvens er en geometrisk progression, så er rækken af ​​kvadrater af led også en geometrisk progression. I den anden sekvens er det første led lig med $b_(1)^2$, og nævneren er lig med $q^2$.

Formel for det n. led i en geometrisk progression

Geometrisk progression kan også specificeres i analytisk form. Lad os se, hvordan du gør dette:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Vi bemærker let mønsteret: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Vores formel kaldes "formlen for det n'te led i en geometrisk progression."

Lad os vende tilbage til vores eksempler.

Eksempel. 1,2,4,8,16... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med en,
og $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Eksempel. 16,8,4,2,1,1/2... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med seksten, og $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med otte, og $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Eksempel. 3,-3,3,-3,3... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med tre, og $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Eksempel. Givet en geometrisk progression $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Det er kendt, at $b_(1)=6, q=3$. Find $b_(5)$.
b) Det er kendt, at $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Find n.
c) Det er kendt, at $q=-2, b_(6)=96$. Find $b_(1)$.
d) Det er kendt, at $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Find q.

Løsning.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, da $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Eksempel. Forskellen mellem det syvende og femte led i den geometriske progression er 192, summen af ​​det femte og sjette led af progressionen er 192. Find det tiende led i denne progression.

Løsning.
Vi ved, at: $b_(7)-b_(5)=192$ og $b_(5)+b_(6)=192$.
Vi kender også: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Derefter:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Vi modtog et ligningssystem:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Ved at sidestille vores ligninger får vi:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Vi har to løsninger q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substituer sekventielt i den anden ligning:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ingen løsninger.
Vi fik det: $b_(1)=4, q=2$.
Lad os finde det tiende led: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Summen af ​​en endelig geometrisk progression

Lad os have en endelig geometrisk progression. Lad os, ligesom for en aritmetisk progression, beregne summen af ​​dens led.

Lad en endelig geometrisk progression gives: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$.
Lad os introducere betegnelsen for summen af ​​dets led: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
I det tilfælde, hvor $q=1$. Alle led i den geometriske progression er lig med det første led, så er det tydeligt, at $S_(n)=n*b_(1)$.
Lad os nu overveje sagen $q≠1$.
Lad os gange ovenstående beløb med q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Bemærk:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Vi har fået formlen for summen af ​​en endelig geometrisk progression.

Eksempel.
Find summen af ​​de første syv led i en geometrisk progression, hvis første led er 4 og nævneren er 3.

Løsning.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Eksempel.
Find det femte led af den geometriske progression, der er kendt: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

Løsning.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Karakteristisk egenskab ved geometrisk progression

Gutter, en geometrisk progression er givet. Lad os se på de tre på hinanden følgende medlemmer: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Vi ved det:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Derefter:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Hvis progressionen er endelig, gælder denne lighed for alle led undtagen den første og den sidste.
Hvis det ikke er kendt på forhånd, hvilken form sekvensen har, men det vides at: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Så kan vi roligt sige, at der er tale om en geometrisk progression.

En talsekvens er kun en geometrisk progression, når kvadratet af hvert element er lig med produktet af de to tilstødende medlemmer af progressionen. Glem ikke, at for en endelig progression er denne betingelse ikke opfyldt for de første og sidste vilkår.

Lad os se på denne identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ kaldes det geometriske middelværdi af tallene a og b.

Modulet for ethvert led i en geometrisk progression er lig med det geometriske middelværdi af dets to naboled.

Eksempel.
Find x sådan, at $x+2; 2x+2; 3x+3$ var tre på hinanden følgende led af en geometrisk progression.

Løsning.
Lad os bruge den karakteristiske egenskab:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ og $x_(2)=-1$.
Lad os sekventielt erstatte vores løsninger med det originale udtryk:
Med $x=2$ fik vi sekvensen: 4;6;9 – en geometrisk progression med $q=1,5$.
For $x=-1$ får vi sekvensen: 1;0;0.
Svar: $x=2.$

Problemer, der skal løses selvstændigt

1. Find det ottende første led i den geometriske progression 16;-8;4;-2….
2. Find det tiende led af den geometriske progression 11,22,44….
3. Det er kendt, at $b_(1)=5, q=3$. Find $b_(7)$.
4. Det er kendt, at $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Find n.
5. Find summen af ​​de første 11 led i den geometriske progression 3;12;48….
6. Find x sådan, at $3x+4; 2x+4; x+5$ er tre på hinanden følgende led af en geometrisk progression.

Nogle problemer i fysik og matematik kan løses ved hjælp af egenskaberne for talserier. De to enkleste talsekvenser, der undervises i i skoler, er algebraiske og geometriske. I denne artikel vil vi se nærmere på spørgsmålet om, hvordan man finder summen af ​​en uendelig aftagende geometrisk progression.

Progression geometrisk

Disse ord betyder en række reelle tal, hvis elementer a i opfylder udtrykket:

Her er i tallet på grundstoffet i rækken, r er et konstant tal kaldet nævneren.

Denne definition viser, at ved at kende ethvert medlem af progressionen og dens nævner, kan du gendanne hele rækken af ​​tal. For eksempel, hvis det 10. element er kendt, så vil det at dividere det med r få det 9. element, hvis det derefter divideres igen, vil det få det 8. og så videre. Disse simple argumenter giver os mulighed for at nedskrive et udtryk, der er gyldigt for rækken af ​​tal, der overvejes:

Et eksempel på en progression med en nævner på 2 ville være følgende serie:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Hvis nævneren er lig med -2, opnås en helt anden serie:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Geometrisk progression er meget hurtigere end algebraisk progression, det vil sige, dens termer stiger hurtigt og falder hurtigt.

Summen af ​​i udtryk for progression

For at løse praktiske problemer er det ofte nødvendigt at beregne summen af ​​flere elementer i den numeriske rækkefølge. I dette tilfælde er følgende formel gyldig:

Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Det kan ses, at for at beregne summen af ​​i-led skal du kun kende to tal: a 1 og r, hvilket er logisk, da de entydigt bestemmer hele sekvensen.

Aftagende rækkefølge og summen af ​​dens led

Lad os nu se på et særligt tilfælde. Vi vil antage, at modulus af nævneren r ikke overstiger én, altså -1

En aftagende geometrisk progression er interessant at overveje, fordi den uendelige sum af dens vilkår har tendens til et endeligt reelt tal.

Lad os få formlen for summen.Dette er let at gøre, hvis du skriver udtrykket for S i givet i det foregående afsnit. Vi har:

Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)

Lad os overveje tilfældet, når i->∞. Da nævnerens modul er mindre end 1, vil det give nul ved at hæve det til en uendelig potens. Dette kan kontrolleres ved at bruge eksemplet med r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Som et resultat vil summen af ​​vilkårene for en uendelig aftagende geometrisk progression have formen:

Denne formel bruges ofte i praksis, for eksempel til at beregne arealer af figurer. Det bruges også til at løse paradokset Zeno af Elea med skildpadden og Achilleus.

Det er indlysende, at betragtning af summen af ​​en uendelig geometrisk stigende progression (r>1) vil føre til resultatet S ∞ = +∞.

Opgaven med at finde det første led i en progression

Lad os vise, hvordan man anvender ovenstående formler ved hjælp af et eksempel på løsning af et problem. Det er kendt, at summen af ​​en uendelig geometrisk progression er 11. Desuden er dens 7. led 6 gange mindre end det tredje led. Hvad er det første element for denne talrække?

Lad os først skrive to udtryk for at bestemme det 7. og 3. element. Vi får:

Ved at dividere det første udtryk med det andet og udtrykke nævneren, har vi:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Da forholdet mellem det syvende og tredje led er angivet i problemformuleringen, kan du erstatte det og finde r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Vi beregnede r til fem decimaler. Da den resulterende værdi er mindre end én, er progressionen faldende, hvilket retfærdiggør brugen af ​​formlen for dens uendelige sum. Lad os skrive udtrykket for det første led gennem summen S ∞:

Vi erstatter kendte værdier i denne formel og får svaret:

a1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Zenos berømte paradoks med den hurtige Achilleus og den langsomme skildpadde

Zeno af Elea er en berømt græsk filosof, der levede i det 5. århundrede f.Kr. e. En række af dens højdepunkter eller paradokser er nået til nutiden, hvor problemet med det uendeligt store og det uendeligt små i matematikken er formuleret.

Et af Zenos berømte paradokser er konkurrencen mellem Achilleus og skildpadden. Zeno mente, at hvis Achilles gav skildpadden en vis fordel i afstand, ville han aldrig være i stand til at indhente den. Lad for eksempel Achilleus løbe 10 gange hurtigere end et dyr, der kravler, som for eksempel er 100 meter foran ham. Når krigeren løber 100 meter, kravler skildpadden væk 10 meter. Efter at have løbet 10 meter igen, ser Achilles, at skildpadden kravler yderligere 1 meter. Du kan argumentere på denne måde i det uendelige, afstanden mellem konkurrenterne vil faktisk falde, men skildpadden vil altid være foran.

Ledte Zeno til den konklusion, at bevægelse ikke eksisterer, og alle omgivende bevægelser af objekter er en illusion. Selvfølgelig tog den antikke græske filosof fejl.

Løsningen på paradokset ligger i, at en uendelig sum af konstant faldende segmenter har tendens til et endeligt tal. I ovenstående tilfælde, for den distance, som Achilleus løb, får vi:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Ved at anvende formlen for summen af ​​en uendelig geometrisk progression får vi:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111.111 meter

Dette resultat viser, at Achilleus vil indhente skildpadden, når den kun kravler 11.111 meter.

De gamle grækere vidste ikke, hvordan de skulle arbejde med uendelige mængder i matematik. Dette paradoks kan dog løses, hvis vi ikke er opmærksomme på det uendelige antal huller, som Achilleus skal overvinde, men på det begrænsede antal skridt, løberen skal bruge for at nå sit mål.