Svar: serien divergerer.

Eksempel nr. 3

Find summen af ​​serien $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Da den nedre grænse for summering er 1, skrives rækkens fællesled under sumtegnet: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Lad os lave den n'te delsum af rækken, dvs. Lad os summere de første $n$ led i en given talserie:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Hvorfor jeg skriver præcis $\frac(2)(3\cdot 5)$, og ikke $\frac(2)(15)$, vil fremgå af den videre fortælling. At nedskrive et delvist beløb bragte os dog ikke en tøddel tættere på vores mål. Vi skal finde $\lim_(n\to\infty)S_n$, men hvis vi bare skriver:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

så vil denne optegnelse, fuldstændig korrekt i form, ikke give os noget i det væsentlige. For at finde grænsen skal udtrykket for delsummen først forenkles.

Der er en standard transformation for dette, som består i at dekomponere brøken $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, som repræsenterer rækkens generelle led, til elementære brøker. Et separat emne er viet til spørgsmålet om nedbrydning af rationelle brøker til elementære (se f.eks. eksempel nr. 3 på denne side). Udvider brøken $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ til elementære brøker, vil vi have:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Vi sætter lighedstegn mellem tællere af brøkerne på venstre og højre side af den resulterende lighed:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Der er to måder at finde værdierne af $A$ og $B$. Du kan åbne parenteserne og omarrangere vilkårene, eller du kan blot erstatte nogle passende værdier i stedet for $n$. Bare for variation vil vi i dette eksempel gå den første vej, og i den næste vil vi erstatte private værdier $n$. Når vi åbner parenteserne og omarrangerer vilkårene, får vi:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

På venstre side af ligheden er $n$ foran et nul. Hvis du vil, for klarhedens skyld, kan venstre side af ligheden repræsenteres som $0\cdot n+ 2$. Da der på venstre side af ligheden $n$ er foranstillet af nul, og på højre side af ligheden er $n$ foran $2A+2B$, har vi den første ligning: $2A+2B=0$. Lad os straks dividere begge sider af denne ligning med 2, hvorefter vi får $A+B=0$.

Da frileddet på venstre side af ligheden er lig med 2, og på højre side af ligheden er frileddet lig med $3A+B$, så er $3A+B=2$. Så vi har et system:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Vi vil udføre beviset ved hjælp af metoden matematisk induktion. Ved det første trin skal du kontrollere, om den lighed, der bevises, er sand $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ for $n=1$. Vi ved, at $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, men vil udtrykket $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ give værdien $\frac( 2 )(15)$, hvis vi erstatter $n=1$ i det? Lad os tjekke:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Så for $n=1$ er ligheden $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ opfyldt. Dette fuldender det første trin i metoden til matematisk induktion.

Lad os antage, at for $n=k$ er ligheden opfyldt, dvs. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Lad os bevise, at den samme lighed vil være opfyldt for $n=k+1$. For at gøre dette skal du overveje $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Siden $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, derefter $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Ifølge antagelsen ovenfor er $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, derfor formlen $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ vil tage formen:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Konklusion: formlen $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ er korrekt for $n=k+1$. Derfor, ifølge metoden for matematisk induktion, er formlen $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ sand for enhver $n\in N$. Ligestilling er bevist.

I et standardkursus i højere matematik er de normalt tilfredse med at "strege ud" annulleringsvilkår uden at kræve noget bevis. Så vi fik udtrykket for den n'te delsum: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Lad os finde værdien af ​​$\lim_(n\to\infty)S_n$:

Konklusion: den givne serie konvergerer og dens sum er $S=\frac(1)(3)$.

Den anden måde at forenkle formlen for en delsum.

Helt ærligt, jeg foretrækker selv denne metode :) Lad os skrive delmængden ned i en forkortet version:

$$ S_n=\sum\grænser_(k=1)^(n)u_k=\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Vi fik tidligere, at $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, derfor:

$$ S_n=\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\grænser_(k=1)^(n)\venstre (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Summen $S_n$ indeholder et begrænset antal led, så vi kan omarrangere dem, som vi vil. Jeg vil først tilføje alle led i formen $\frac(1)(2k+1)$, og først derefter gå videre til termer af formen $\frac(1)(2k+3)$. Det betyder, at vi præsenterer delbeløbet som følger:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\venstre(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Selvfølgelig er den udvidede notation ekstremt ubelejlig, så ovenstående lighed kan skrives mere kompakt:

$$ S_n=\sum\grænser_(k=1)^(n)\venstre(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\grænser_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Lad os nu omdanne udtrykkene $\frac(1)(2k+1)$ og $\frac(1)(2k+3)$ til én form. Jeg synes, det er praktisk at reducere det til en større fraktion (selvom det er muligt at bruge en mindre, er det en smagssag). Da $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (jo større nævneren, jo mindre brøken), vil vi give brøken $\frac(1)(2k+) 3) $ til formen $\frac(1)(2k+1)$.

Jeg vil præsentere udtrykket i nævneren af ​​brøken $\frac(1)(2k+3)$ som følger:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Og summen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ kan nu skrives som følger:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\grænser_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Hvis ligheden $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) 1) $ rejser ingen spørgsmål, så lad os gå videre. Hvis du har spørgsmål, bedes du udvide noten.

Hvordan fik vi det konverterede beløb? vis\skjul

Vi havde en serie $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Lad os introducere en ny variabel i stedet for $k+1$ - for eksempel $t$. Så $t=k+1$.

Hvordan ændrede den gamle variabel $k$ sig? Og det ændrede sig fra 1 til $n$. Lad os finde ud af, hvordan den nye variabel $t$ vil ændre sig. Hvis $k=1$, så $t=1+1=2$. Hvis $k=n$, så $t=n+1$. Så udtrykket $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ bliver nu: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\grænser_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$

Vi har summen $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Spørgsmål: betyder det noget, hvilket bogstav der bruges i dette beløb? :) Hvis du blot skriver bogstavet $k$ i stedet for $t$, får vi følgende:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Sådan får vi ligheden $\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\grænser_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Således kan delsummen repræsenteres som følger:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\grænser_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Bemærk, at summen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ og $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ afviger kun i summeringsgrænserne. Lad os gøre disse grænser ens. At "tage væk" det første element fra summen $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ vil vi have:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Takker" det sidste element fra summen $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, får vi:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\grænser_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Så vil udtrykket for delsummen have formen:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\grænser_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\venstre(\sum\grænser_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\grænser_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\grænser_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Hvis du springer alle forklaringerne over, vil processen med at finde en forkortet formel for den n'te delsum tage følgende form:

$$ S_n=\sum\grænser_(k=1)^(n)u_k =\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\grænser_(k=1)^(n)\venstre(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\højre)=\\ =\sum\grænser_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\grænser_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\venstre(\sum\grænser_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Lad mig minde dig om, at vi reducerede brøken $\frac(1)(2k+3)$ til formen $\frac(1)(2k+1)$. Du kan selvfølgelig gøre det modsatte, dvs. repræsentere brøken $\frac(1)(2k+1)$ som $\frac(1)(2k+3)$. Det endelige udtryk for delsummen ændres ikke. I dette tilfælde vil jeg skjule processen med at finde delbeløbet under en seddel.

Hvordan finder man $S_n$, hvis den konverteres til en anden brøk? vis\skjul

$$ S_n =\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\sum\grænser_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\grænser_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\grænser_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\venstre(\sum\grænser_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Så $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Find grænsen $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Den givne serie konvergerer og dens sum $S=\frac(1)(3)$.

Svar: $S=\frac(1)(3)$.

Fortsættelsen af ​​emnet med at finde summen af ​​en serie vil blive diskuteret i anden og tredje del.

Grundlæggende definitioner

Definition. Summen af ​​led i en uendelig talrække kaldes en talrække.

I dette tilfælde vil vi kalde numrene for medlemmer af serien, og un - den fælles betegnelse for serien.

Definition. Summer, n = 1, 2, ... kaldes private (delvise) summer af rækken.

Det er således muligt at betragte sekvenser af delsummer af rækkerne S1, S2, …, Sn, …

Definition. En serie kaldes konvergent, hvis rækkefølgen af ​​dens partielle summer konvergerer. Summen af ​​en konvergent serie er grænsen for rækkefølgen af ​​dens partielle summer.

Definition. Hvis rækkefølgen af ​​partielle summer af en række divergerer, dvs. har ingen grænse, eller har en uendelig grænse, så kaldes rækken divergent, og der er ikke tildelt nogen sum.

Rækkeegenskaber

1) Konvergensen eller divergensen af ​​serien vil ikke blive krænket, hvis du ændrer, kasserer eller tilføjer et begrænset antal led i serien.

2) Betragt to serier og, hvor C er et konstant tal.

Sætning. Hvis en serie konvergerer, og dens sum er lig med S, så konvergerer rækken også, og dens sum er lig med CS. (C 0)

3) Overvej to rækker og. Summen eller forskellen af ​​disse rækker vil blive kaldt en række, hvor elementerne opnås som et resultat af addition (subtraktion) af de oprindelige elementer med de samme tal.

Sætning. Hvis rækken og konvergerer og deres summer er lig med henholdsvis S, så konvergerer rækken også, og dens sum er lig med S +.

Forskellen mellem to konvergent serier vil også være en konvergent serie.

Summen af ​​en konvergent og en divergent række er en divergent række.

Det er umuligt at udtale sig generelt om summen af ​​to divergerende rækker.

Når de studerer serier, løser de hovedsageligt to problemer: at studere konvergens og finde summen af ​​rækken.

Cauchy kriterium.

(nødvendige og tilstrækkelige betingelser for seriens konvergens)

For at en sekvens kan være konvergent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at der for enhver eksisterer et tal N, således at for n > N og enhver p > 0, hvor p er et heltal, vil uligheden være gældende:

Bevis. (nødvendighed)

Lad så for ethvert tal er der et tal N sådan at uligheden

er opfyldt, når n>N. For n>N og ethvert heltal p>0 gælder uligheden også. Under hensyntagen til begge uligheder opnår vi:

Behovet er bevist. Vi vil ikke overveje beviset for tilstrækkelighed.

Lad os formulere Cauchy-kriteriet for serien.

For at en serie kan være konvergent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at der for enhver eksisterer et tal N, således at for n>N og enhver p>0 vil uligheden holde

I praksis er det dog ikke særlig bekvemt at bruge Cauchy-kriteriet direkte. Derfor anvendes som regel enklere konvergenstest:

1) Hvis rækken konvergerer, så er det nødvendigt, at fællesleddet un tenderer mod nul. Denne betingelse er dog ikke tilstrækkelig. Vi kan kun sige, at hvis den fælles term ikke har en tendens til nul, så divergerer rækken bestemt. For eksempel er den såkaldte harmoniske serie divergent, selvom dens almindelige term har en tendens til nul.

En talrække er en sekvens, der betragtes sammen med en anden sekvens (det kaldes også en sekvens af delsummer). Lignende begreber bruges i matematisk og kompleks analyse.

Summen af ​​en talserie kan nemt beregnes i Excel ved hjælp af funktionen SERIE.SUM. Lad os se på et eksempel på, hvordan denne funktion fungerer, og derefter bygge en graf over funktionerne. Lad os lære at bruge talrækken i praksis ved beregning af kapitalvækst. Men først lidt teori.

Nummerseriesum

Talrækken kan betragtes som et system af tilnærmelser til tal. For at udpege det, brug formlen:

Her er den indledende rækkefølge af tal i serien og summeringsreglen:

• ∑ - matematisk tegn på summen;
• a i - generelt argument;
• i er en variabel, en regel for ændring af hvert efterfølgende argument;
• ∞ er uendelighedstegnet, den "grænse", op til hvilken summeringen udføres.

Notationen betyder: naturlige tal fra 1 til "plus uendelig" summeres. Da i = 1, starter beregningen af ​​summen fra en. Hvis der var et andet tal her (for eksempel 2, 3), ville vi begynde at summere fra det (fra 2, 3).

I overensstemmelse med variablen i kan rækken skrives udvidet:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (op til "plus uendelig").

Definitionen af ​​summen af ​​en talserie er givet gennem "del-summer". I matematik betegnes de Sn. Lad os skrive vores talrække i form af delsummer:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Summen af ​​en talserie er grænsen for delsummer S n . Hvis grænsen er begrænset, taler vi om en "konvergent" serie. Uendelig - om "divergent".

Lad os først finde summen af ​​talrækken:

Lad os nu bygge en tabel med værdier af seriemedlemmer i Excel:

Vi tager det generelle første argument fra formlen: i=3.

Vi finder alle følgende værdier af i ved hjælp af formlen: =B4+$B$1. Placer markøren i nederste højre hjørne af celle B5 og multiplicer formlen.

Lad os finde værdierne. Gør celle C4 aktiv, og indtast formlen: =SUM(2*B4+1). Kopier celle C4 til det angivne område.

Værdien af ​​summen af ​​argumenter opnås ved hjælp af funktionen: =SUM(C4:C11). Hurtigtastkombination ALT+“+” (plus på tastaturet).



ROW.SUM funktion i Excel

For at finde summen af ​​en talserie i Excel skal du bruge den matematiske funktion SERIE.SUM. Programmet bruger følgende formel:

Funktionsargumenter:

• x – variabel værdi;
• n – grad for det første argument;
• m er det trin, hvormed graden øges for hvert efterfølgende semester;
• a er koefficienterne for de tilsvarende potenser af x.

Vigtige betingelser for, at funktionen fungerer:

• alle argumenter er påkrævet (det vil sige, at alle skal udfyldes);
• alle argumenter er NUMERISKE værdier;
• vektoren af ​​koefficienter har en fast længde (grænsen for "uendelighed" vil ikke fungere);
• antal "koefficienter" = antal argumenter.

Beregning af summen af ​​en serie i Excel

Den samme SERIES.SUM-funktion fungerer med power-serier (en af ​​varianterne af funktionelle serier). I modsætning til numeriske er deres argumenter funktioner.

Funktionelle serier bruges ofte i den finansielle og økonomiske sfære. Man kan sige, at dette er deres anvendelsesområde.

For eksempel indsatte de et bestemt beløb (a) i banken i en bestemt periode (n). Vi har en årlig betaling på x pct. For at beregne det påløbne beløb ved slutningen af ​​den første periode, bruges formlen:

S1 = a (1 + x).

I slutningen af ​​den anden og efterfølgende perioder er udtryksformen som følger:

S2 = a (1 + x)2; S 3 = a (1 + x) 2 osv.

Sådan finder du totalen:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Delsummer i Excel kan findes ved hjælp af BS()-funktionen.

Indledende parametre for træningsopgaven:

Ved hjælp af en standard matematisk funktion finder vi den akkumulerede mængde i slutningen af ​​terminen. For at gøre dette bruger vi i celle D2 formlen: =B2*GRAD(1+B3;4)

Nu vil vi i celle D3 løse det samme problem ved hjælp af den indbyggede Excel-funktion: =BS(B3;B1;;-B2)

Resultaterne er de samme, som det burde være.

Sådan udfyldes argumenterne for BS()-funktionen:

1. "Rate" er den rente, som indbetalingen er foretaget til. Da procentformatet er indstillet i celle B3, specificerede vi blot et link til denne celle i argumentfeltet. Hvis et tal var angivet, ville det blive skrevet som en hundrededel af det (20/100).
2. "Nper" er antallet af perioder for rentebetalinger. I vores eksempel – 4 år.
3. "Plt" - periodiske betalinger. I vores tilfælde er der ingen. Derfor udfylder vi ikke argumentfeltet.
4. "Ps" - "nutidsværdi", beløbet for depositum. Da vi skiller os af med disse penge i et stykke tid, angiver vi parameteren med et "-"-tegn.

Således hjalp BS-funktionen os med at finde summen af ​​den funktionelle række.

Excel har andre indbyggede funktioner til at finde forskellige parametre. Typisk er disse funktioner til at arbejde med investeringsprojekter, værdipapirer og afskrivningsbetalinger.

Plot funktioner af summen af ​​en talrække

Lad os bygge en funktionsgraf, der afspejler kapitalvækst. For at gøre dette skal vi konstruere en graf for en funktion, der er summen af ​​den konstruerede række. Lad os som et eksempel tage de samme data om indbetalingen:

Den første linje viser det akkumulerede beløb efter et år. I den anden - i to. Og så videre.

Lad os oprette en anden kolonne, hvor vi afspejler overskuddet:

Som vi troede - i formellinjen.

Ud fra de opnåede data vil vi konstruere en graf over funktioner.

Lad os vælge 2 områder: A5:A9 og C5:C9. Gå til fanen "Indsæt" - værktøjet "Diagrammer". Vælg det første diagram:

Lad os gøre problemet endnu mere "anvendt". I eksemplet brugte vi renters rente. De periodiseres på det beløb, der er påløbet i den foregående periode.

Lad os tage simple renter til sammenligning. Simpel renteformel i Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Lad os tilføje de opnåede værdier til diagrammet "Kapitalvækst".

Det er indlysende, hvilke konklusioner investoren vil drage.

Matematisk formel for delsummen af ​​en funktionel række (med simpel rente): S n = a (1 + x*n), hvor a er det oprindelige indskudsbeløb, x er renter, n er periode.

For at udregn summen af ​​en serie, skal du blot tilføje elementerne i rækken et givet antal gange. For eksempel:

I eksemplet ovenfor blev dette gjort meget enkelt, da det skulle summeres et endeligt antal gange. Men hvad hvis den øvre grænse for summering er uendelig? For eksempel, hvis vi skal finde summen af ​​følgende række:

I analogi med det foregående eksempel kan vi skrive dette beløb således:

Men hvad skal man så gøre?! På dette stadium er det nødvendigt at introducere konceptet delsummen af ​​serien. Så, delsummen af ​​serien(betegnet S n) er summen af ​​de første n led i rækken. De der. i vores tilfælde:

Så kan summen af ​​den oprindelige serie beregnes som grænsen for delsummen:

Således for beregne summen af ​​en serie, er det nødvendigt på en eller anden måde at finde et udtryk for delsummen af ​​rækken (S n ). I vores særlige tilfælde er serien en aftagende geometrisk progression med en nævner på 1/3. Som du ved, beregnes summen af ​​de første n elementer i en geometrisk progression ved formlen:

her er b 1 det første element i den geometriske progression (i vores tilfælde er det 1) og q er nævneren for progressionen (i vores tilfælde 1/3). Derfor er delsummen S n for vores serie lig med:

Så er summen af ​​vores serie (S) ifølge definitionen givet ovenfor lig med:

Eksemplerne diskuteret ovenfor er ret enkle. Normalt er det meget vanskeligere at beregne summen af ​​en serie, og den største vanskelighed ligger i at finde delsummen af ​​serien. Online-beregneren, der præsenteres nedenfor, skabt på basis af Wolfram Alpha-systemet, giver dig mulighed for at beregne summen af ​​ret komplekse serier. Desuden, hvis lommeregneren ikke kunne finde summen af ​​en serie, er det sandsynligt, at serien er divergerende (i hvilket tilfælde lommeregneren viser en meddelelse som "sum divergerer"), dvs. Denne lommeregner hjælper også indirekte med at få en idé om konvergensen af ​​serier.

For at finde summen af ​​din serie skal du angive seriens variable, de nedre og øvre grænser for summeringen samt udtrykket for det n'te led i serien (dvs. det faktiske udtryk for selve serien) .

Grundlæggende definitioner.

Definition. Summen af ​​led i en uendelig talrække kaldes nummerserie.

Samtidig tallene
vi vil kalde dem medlemmer af serien, og u n– et fælles medlem af serien.

Definition. Beløb
,n = 1, 2, … hedder private (del)beløb række.

Det er således muligt at overveje sekvenser af delsummer af rækken S 1 , S 2 , …, S n , …

Definition. Række
hedder konvergent, hvis rækkefølgen af ​​dens delsummer konvergerer. Summen af ​​konvergerende serier er grænsen for rækkefølgen af ​​dens delsummer.

Definition. Hvis rækkefølgen af ​​partielle summer af en række divergerer, dvs. har ingen grænse, eller har en uendelig grænse, så kaldes serien divergerende og der er ikke afsat noget beløb hertil.

Egenskaber for rækker.

1) Konvergensen eller divergensen af ​​serien vil ikke blive krænket, hvis du ændrer, kasserer eller tilføjer et begrænset antal led i serien.

2) Overvej to rækker
Og
, hvor C er et konstant tal.

Sætning. Hvis rækken
konvergerer, og dens sum er ligS, så serien
konvergerer også, og dens sum er lig med CS. (C  0)

3) Overvej to rækker
Og
.Beløb eller forskel af disse serier vil blive kaldt en serie
, hvor elementerne opnås ved at addere (fratrække) de oprindelige elementer med de samme tal.

Sætning. Hvis rækkerne
Og
konvergerer, og deres summer er henholdsvis lige storeSOg , så serien
konvergerer også, og dens sum er ligS +  .

Forskellen mellem to konvergent serier vil også være en konvergent serie.

Summen af ​​en konvergent og en divergent række er en divergent række.

Det er umuligt at udtale sig generelt om summen af ​​to divergerende rækker.

Når de studerer serier, løser de hovedsageligt to problemer: at studere konvergens og finde summen af ​​rækken.

Cauchy kriterium.

(nødvendige og tilstrækkelige betingelser for seriens konvergens)

For rækkefølgen
var konvergent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at for evt
der var sådan et nummerN, at kln > Nog evts> 0, hvor p er et heltal, vil følgende ulighed være gældende:

.

Bevis. (nødvendighed)

Lade
, derefter for et hvilket som helst tal
der er et tal N sådan, at uligheden

er opfyldt, når n>N. For n>N og ethvert heltal p>0 gælder uligheden også
. Under hensyntagen til begge uligheder opnår vi:

Behovet er bevist. Vi vil ikke overveje beviset for tilstrækkelighed.

Lad os formulere Cauchy-kriteriet for serien.

I rækkefølge til serien
var konvergent, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at for evt
der var et nummerNsådan at kln> Nog evts>0 ville uligheden holde

.

I praksis er det dog ikke særlig bekvemt at bruge Cauchy-kriteriet direkte. Derfor anvendes som regel enklere konvergenstest:

1) Hvis rækken
konvergerer, så er det nødvendigt, at fællesbegrebet u n tendens til nul. Denne betingelse er dog ikke tilstrækkelig. Vi kan kun sige, at hvis den fælles term ikke har en tendens til nul, så divergerer rækken bestemt. For eksempel den såkaldte harmoniske serie er divergent, selvom dens almindelige term har en tendens til nul.

Eksempel. Undersøg konvergensen af ​​serien

Vi finder
- det nødvendige kriterium for konvergens er ikke opfyldt, hvilket betyder, at serien divergerer.

2) Hvis en serie konvergerer, så er rækkefølgen af ​​dens partielle summer afgrænset.

Dette tegn er dog heller ikke tilstrækkeligt.

For eksempel divergerer rækken 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +…, fordi rækkefølgen af ​​dens delsummer afviger på grund af det faktum, at

Rækkefølgen af ​​delsummer er dog begrænset, fordi
på enhver n.

Serier med ikke-negative udtryk.

Når vi studerer serier med konstant fortegn, vil vi begrænse os til at overveje serier med ikke-negative udtryk, fordi simpelthen at gange med –1 fra disse serier kan give serier med negative led.

Sætning. For seriens konvergens
med ikke-negative udtryk er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at seriens delsummer afgrænses.

Et tegn til at sammenligne serier med ikke-negative termer.

Lad to rækker blive givet
Og
på u n , v n  0 .

Sætning. Hvis u n  v n på enhver n, derefter fra seriens konvergens
serien konvergerer
, og fra seriens divergens
serien divergerer
.

Bevis. Lad os betegne med S n Og  n delsummer af serier
Og
. Fordi i henhold til betingelserne for sætningen, rækken
konvergerer, så er dens delsummer afgrænset, dvs. foran alle n n  M, hvor M er et bestemt tal. Men fordi u n  v n, At S n   n derefter seriens delsummer
er også begrænsede, og dette er tilstrækkeligt til konvergens.

Eksempel. Undersøg serien for konvergens

Fordi
, og den harmoniske serie divergerer, så divergerer serien
.

Eksempel.

Fordi
, og serien
konvergerer (som en aftagende geometrisk progression), så serien
konvergerer også.

Følgende konvergenstegn bruges også:

Sætning. Hvis
og der er en grænse
, Hvorh– et andet tal end nul, derefter rækken
Og
opføre sig identisk med hensyn til konvergens.

D'Alemberts tegn.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - fransk matematiker)

Hvis det er en serie
med positive udtryk er der sådan et talq<1, что для всех достаточно больших nulighed holder

så en serie
konvergerer, hvis der for alle er tilstrækkeligt storenbetingelse er opfyldt

så en serie
divergerer.

D'Alemberts begrænsende tegn.

D'Alemberts begrænsende kriterium er en konsekvens af ovenstående D'Alembert-kriterium.

Hvis der er en grænse
, hvornår så < 1 ряд сходится, а при  > 1 – divergerer. Hvis = 1, så kan spørgsmålet om konvergens ikke besvares.

Eksempel. Bestem konvergensen af ​​serien .

Konklusion: serien konvergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen af ​​serien

Konklusion: serien konvergerer.

Cauchys tegn. (radikalt tegn)

Hvis det er en serie
med ikke-negative udtryk er der et sådant talq<1, что для всех достаточно больших nulighed holder

,

så en serie
konvergerer, hvis der for alle er tilstrækkeligt storenulighed holder

så en serie
divergerer.

Følge. Hvis der er en grænse
, hvornår så<1 ряд сходится, а при >Række 1 divergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen af ​​serien
.

Konklusion: serien konvergerer.

Eksempel. Bestem konvergensen af ​​serien
.

De der. Cauchy-testen besvarer ikke spørgsmålet om seriens konvergens. Lad os kontrollere, at de nødvendige konvergensbetingelser er opfyldt. Som nævnt ovenfor, hvis en serie konvergerer, så har den fælles term for serien en tendens til nul.

,

Den nødvendige betingelse for konvergens er således ikke opfyldt, hvilket betyder, at serien divergerer.

Integral Cauchy test.

Hvis (x) er en kontinuerlig positiv funktion, der aftager over intervallet Og
derefter integralerne
Og
opføre sig identisk med hensyn til konvergens.

Skiftende serie.

Skiftende rækker.

En skiftende serie kan skrives som:

Hvor

Leibniz' tegn.

Hvis tegnet på den vekslende række absolutte værdieru jeg er faldende
og det almindelige udtryk har en tendens til nul
, så konvergerer serien.

Absolut og betinget konvergens af serier.

Lad os overveje nogle vekslende serier (med vilkår for vilkårlige tegn).

(1)

og en serie sammensat af de absolutte værdier af medlemmerne af serien (1):

(2)

Sætning. Fra konvergensen af ​​serie (2) følger konvergensen af ​​serie (1).

Bevis. Serie (2) er en serie med ikke-negative udtryk. Hvis serie (2) konvergerer, så er der ved Cauchy-kriteriet for enhver >0 et tal N, således at for n>N og ethvert heltal p>0 er følgende ulighed sand:

Ifølge egenskaben ved absolutte værdier:

Det vil sige, ifølge Cauchy-kriteriet, fra konvergensen af ​​serie (2) følger konvergensen af ​​serie (1).

Definition. Række
hedder absolut konvergent, hvis serien konvergerer
.

Det er indlysende, at for serier af konstant fortegn falder begreberne konvergens og absolut konvergens sammen.

Definition. Række
hedder betinget konvergent, hvis det konvergerer og serien
divergerer.

D'Alemberts og Cauchys tests for alternerende serier.

Lade
- skiftende serier.

D'Alemberts tegn. Hvis der er en grænse
, hvornår så<1 ряд
vil være absolut konvergent, og hvornår>

Cauchys tegn. Hvis der er en grænse
, hvornår så<1 ряд
vil være absolut konvergent, og hvis >1 vil rækken være divergent. Når =1, giver tegnet ikke svar om rækkens konvergens.

Egenskaber for absolut konvergerende serier.

1) Sætning. For absolut konvergens af serien
det er nødvendigt og tilstrækkeligt, at det kan repræsenteres som forskellen mellem to konvergerende rækker med ikke-negative led.

Følge. En betinget konvergent serie er forskellen mellem to divergerende serier med ikke-negative led, der har en tendens til nul.

2) I en konvergent serie bevarer enhver gruppering af seriens termer, der ikke ændrer deres rækkefølge, seriens konvergens og størrelse.

3) Hvis en serie konvergerer absolut, så konvergerer rækken opnået fra den ved enhver permutation af vilkår også absolut og har den samme sum.

Ved at omarrangere vilkårene for en betinget konvergent række, kan man opnå en betinget konvergent række med en hvilken som helst forudbestemt sum, og endda en divergerende række.

4) Sætning. For enhver gruppering af medlemmer af en absolut konvergent række (i dette tilfælde kan antallet af grupper være enten endeligt eller uendeligt, og antallet af medlemmer i en gruppe kan være enten endeligt eller uendeligt), opnås en konvergent række, summen hvoraf er lig med summen af ​​den oprindelige serie.

5) Hvis rækkerne Og konvergerer absolut, og deres summer er hhv S og , derefter en serie sammensat af alle produkter af formen
taget i en hvilken som helst rækkefølge, konvergerer også absolut og dens sum er lig med S - produktet af summen af ​​den multiplicerede række.

Hvis man multiplicerer betinget konvergerende rækker, kan man få en divergerende række som resultat.

Funktionelle sekvenser.

Definition. Hvis seriens medlemmer ikke er tal, men funktioner af x, så hedder serien funktionelle.

Studiet af konvergensen af ​​funktionelle serier er mere kompliceret end studiet af numeriske serier. Den samme funktionelle serie kan, med de samme variabelværdier x konvergere, og med andre - divergere. Derfor kommer spørgsmålet om konvergens af funktionelle serier ned til at bestemme disse værdier af variablen x, hvor serien konvergerer.

Sættet af sådanne værdier kaldes konvergensområdet.

Da grænsen for hver funktion inkluderet i seriens konvergensregion er et vist tal, vil grænsen for den funktionelle sekvens være en bestemt funktion:

Definition. Efterfølgen ( f n (x) } konvergerer at fungere f(x) på segmentet hvis for et hvilket som helst tal >0 og et hvilket som helst punkt x fra det undersøgte segment er der et tal N = N(, x), således at uligheden

er opfyldt, når n>N.

Med den valgte værdi >0 har hvert punkt i segmentet sit eget nummer, og derfor vil der være et uendeligt antal tal svarende til alle punkter i segmentet. Hvis du vælger det største af alle disse tal, så vil dette tal være egnet til alle punkter i segmentet, dvs. vil være fælles for alle punkter.

Definition. Efterfølgen ( f n (x) } konvergerer ensartet at fungere f(x) på segmentet, hvis der for et hvilket som helst tal >0 er et tal N = N(), således at uligheden

er opfyldt for n>N for alle punkter i segmentet.

Eksempel. Overvej rækkefølgen

Denne sekvens konvergerer på hele tallinjen til funktionen f(x)=0 , fordi

Lad os bygge grafer af denne sekvens:

sinx

Som det kan ses, med stigende antal n sekvensgrafen nærmer sig aksen x.

Funktionel serie.

Definition. Private (delvise) beløb funktionelt område
funktioner kaldes

Definition. Funktionelt område
hedder konvergent på et tidspunkt ( x=x 0 ), hvis rækkefølgen af ​​dens delsummer konvergerer på dette tidspunkt. Sekvensgrænse
hedder beløb række
på punktet x 0 .

Definition. Sæt med alle værdier x, som serien konvergerer for
hedder konvergensområdet række.

Definition. Række
hedder ensartet konvergent på intervallet, hvis sekvensen af ​​delsummer i denne serie konvergerer ensartet på dette interval.

Sætning. (Cauchy-kriterium for ensartet konvergens af serier)

For ensartet konvergens af serien
det er nødvendigt og tilstrækkeligt for ethvert antal >0 et sådant tal eksisteredeN( ), som kln> Nog enhver helheds>0 ulighed

ville holde for alle x i intervallet [-en, b].

Sætning. (Weierstrass-test for ensartet konvergens)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – tysk matematiker)

Række
konvergerer ensartet og absolut i intervallet [-en, b], hvis modulerne af dens led på samme segment ikke overstiger de tilsvarende led i en konvergent talserie med positive led:

de der. der er en ulighed:

.

De siger også, at i dette tilfælde den funktionelle serie
er hovedfag nummerserie
.

Eksempel. Undersøg serien for konvergens
.

Fordi
altid, det er indlysende, at
.

Desuden er det kendt, at den generelle harmoniske serie når =3>1 konvergerer, så konvergerer den undersøgte serie i overensstemmelse med Weierstrass-testen ensartet og desuden i ethvert interval.

Eksempel. Undersøg serien for konvergens .

På intervallet [-1,1] gælder uligheden
de der. ifølge Weierstrass-kriteriet konvergerer den undersøgte serie på dette segment, men divergerer på intervallerne (-, -1)  (1, ).

Egenskaber for ensartet konvergerende serier.

1) Sætning om kontinuiteten af ​​summen af ​​en række.

Hvis seriens medlemmer
- kontinuerlig på segmentet [-en, b] funktion og rækken konvergerer ensartet, derefter dens sumS(x) er en kontinuerlig funktion i intervallet [-en, b].

2) Sætning om term-for-term integration af en serie.

Ensartet konvergerende på segmentet [-en, b] en serie med kontinuerte led kan integreres led for led på dette interval, dvs. en serie sammensat af integraler af dens led over segmentet [-en, b] , konvergerer til integralet af summen af ​​serien over dette segment.

3) Sætning om term-for-term differentiering af en række.

Hvis seriens medlemmer
konvergerer på segmentet [-en, b] repræsenterer kontinuerte funktioner med kontinuerte derivater og en række sammensat af disse derivater
konvergerer ensartet på dette segment, så konvergerer denne serie ensartet og kan differentieres led for led.

Baseret på det faktum, at summen af ​​rækken er en eller anden funktion af variablen x, kan du udføre operationen med at repræsentere en funktion i form af en serie (udvidelse af en funktion til en serie), som er meget brugt i integration, differentiering og andre operationer med funktioner.

I praksis anvendes ofte effektserieudvidelse af funktioner.

Power serie.

Definition. Power serie kaldes en række af formen

.

For at studere konvergensen af ​​magtrækker er det praktisk at bruge D'Alemberts test.

Eksempel. Undersøg serien for konvergens

Vi anvender d'Alemberts tegn:

.

Vi finder, at denne serie konvergerer kl
og divergerer kl
.

Nu bestemmer vi konvergensen ved grænsepunkterne 1 og –1.

For x = 1:
Serien konvergerer ifølge Leibniz' kriterium (se Leibniz' tegn.).

Ved x = -1:
rækken divergerer (harmoniske serier).

Abels sætninger.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – norsk matematiker)

Sætning. Hvis magtserien
konvergerer klx = x 1 , så konvergerer det og i øvrigt for absolut alle
.

Bevis. Ifølge sætningens betingelser, da rækkens vilkår er begrænsede, altså

Hvor k- et konstant tal. Følgende ulighed er sand:

Af denne ulighed er det klart, at når x< x 1 de numeriske værdier af vilkårene i vores serie vil være mindre (i hvert fald ikke mere) end de tilsvarende vilkår i serien på højre side af uligheden skrevet ovenfor, som danner en geometrisk progression. Nævneren af ​​denne progression ifølge sætningens betingelser er den mindre end én, derfor er denne progression en konvergent række.

Derfor konkluderer vi på baggrund af sammenligningskriteriet, at serien
konvergerer, hvilket betyder serien
konvergerer absolut.

Således, hvis magt serien
konvergerer på et punkt x 1 , så konvergerer den absolut på ethvert punkt i intervallet af længde 2 centreret i et punkt x = 0.

Følge. Hvis kl x = x 1 serien divergerer, så divergerer den for alle
.

For hver potensrække er der således et positivt tal R, således at for alle x sådan at
serien er absolut konvergent, og for alle
rækken divergerer. I dette tilfælde kaldes tallet R konvergensradius. Intervallet (-R, R) kaldes konvergensinterval.

Bemærk, at dette interval kan lukkes på den ene eller begge sider eller ikke lukkes.

Konvergensradius kan findes ved hjælp af formlen:

Eksempel. Find seriens konvergensområde

Finde konvergensradius
.

Derfor konvergerer denne serie for enhver værdi x. Den fælles term for denne serie har en tendens til nul.

Sætning. Hvis magtserien
konvergerer for en positiv værdi x=x 1 , så konvergerer den ensartet i ethvert interval indeni
.

Handlinger med power-serier.