En geometrisk progression er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert efterfølgende led er lig med det foregående led ganget med det samme lig med nul nummer.
Begrebet geometrisk progression
Geometrisk progression betegnes b1,b2,b3, …, bn, ….
Forholdet mellem ethvert led i den geometriske fejl og dets tidligere led er lig med det samme tal, det vil sige b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Dette følger direkte af definitionen aritmetisk progression. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression. Normalt er nævneren for en geometrisk progression angivet med bogstavet q.
Summen af en uendelig geometrisk progression for |q|<1
En af måderne at specificere en geometrisk progression på er at specificere dens første led b1 og nævneren for den geometriske fejl q. For eksempel, b1=4, q=-2. Disse to betingelser definerer den geometriske progression 4, -8, 16, -32, ….
Hvis q>0 (q er ikke lig med 1), så er progressionen monoton sekvens. For eksempel er sekvensen 2, 4,8,16,32, ... en monotont stigende sekvens (b1=2, q=2).
Hvis nævneren i den geometriske fejl er q=1, så vil alle led i den geometriske progression være lig med hinanden. I sådanne tilfælde siges progressionen at være en konstant sekvens.
For at en talsekvens (bn) skal være en geometrisk progression, er det nødvendigt, at hver af dens medlemmer, startende fra den anden, er det geometriske middelværdi af naboelementer. Det vil sige, at det er nødvendigt at opfylde følgende ligning
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), for enhver n>0, hvor n tilhører mængden af naturlige tal N.
Lad os nu sætte (Xn) - geometrisk progression. Nævneren af den geometriske progression q, og |q|∞).
Hvis vi nu med S betegner summen af en uendelig geometrisk progression, så har vi følgende formel:
S=xl/(1-q).
Lad os se på et simpelt eksempel:
Find summen af den uendelige geometriske progression 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….
For at finde S bruger vi formlen for summen af en uendelig aritmetisk progression. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.
Hvis for hvert naturligt tal n matche et reelt tal en n , så siger de, at det er givet talrække :
-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n , . . . .
Så talrækken er en funktion af det naturlige argument.
Nummer -en 1 hedder første led i sekvensen , nummer -en 2 — andet led i sekvensen , nummer -en 3 — tredje og så videre. Nummer en n hedder n'te termin sekvenser , og et naturligt tal n — hans nummer .
Fra to tilstødende medlemmer en n Og en n +1 sekvensmedlem en n +1 hedder efterfølgende (hen imod en n ), A en n — Tidligere (hen imod en n +1 ).
For at definere en sekvens skal du angive en metode, der giver dig mulighed for at finde et medlem af sekvensen med et hvilket som helst tal.
Ofte er rækkefølgen angivet vha n. leds formler , det vil sige en formel, der giver dig mulighed for at bestemme et medlem af en sekvens ved dets nummer.
For eksempel,
sekvens af positiv ulige tal kan gives ved formlen
en n= 2n- 1,
og sekvensen af alternerende 1 Og -1 - formel
b n = (-1)n +1 . ◄
Rækkefølgen kan bestemmes tilbagevendende formel, det vil sige en formel, der udtrykker ethvert medlem af sekvensen, begyndende med nogle, gennem de foregående (et eller flere) medlemmer.
For eksempel,
Hvis -en 1 = 1 , A en n +1 = en n + 5
-en 1 = 1,
-en 2 = -en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,
-en 3 = -en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,
-en 4 = -en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,
-en 5 = -en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.
Hvis en 1= 1, en 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , derefter de første syv medlemmer talrække installere som følger:
en 1 = 1,
en 2 = 1,
en 3 = en 1 + en 2 = 1 + 1 = 2,
en 4 = en 2 + en 3 = 1 + 2 = 3,
en 5 = en 3 + en 4 = 2 + 3 = 5,
-en 6 = -en 4 + -en 5 = 3 + 5 = 8,
-en 7 = -en 5 + -en 6 = 5 + 8 = 13. ◄
Sekvenser kan være endelig Og endeløs .
Rækkefølgen kaldes ultimative hvis hun har endeligt nummer medlemmer. Rækkefølgen kaldes endeløs , hvis den har uendeligt mange medlemmer.
For eksempel,
sekvens af tocifrede naturlige tal:
10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99
endelig.
Rækkefølge af primtal:
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
endeløs. ◄
Rækkefølgen kaldes stigende , hvis hvert af dets medlemmer, startende fra det andet, er større end det foregående.
Rækkefølgen kaldes faldende , hvis hvert af dets medlemmer, startende fra det andet, er mindre end det foregående.
For eksempel,
2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — stigende rækkefølge;
1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — faldende rækkefølge. ◄
En sekvens, hvis elementer ikke falder, når antallet stiger, eller omvendt ikke stiger, kaldes monoton sekvens .
Monotoniske sekvenser er især stigende sekvenser og faldende sekvenser.
Aritmetisk progression
Aritmetisk progression er en sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående, hvortil det samme tal tilføjes.
-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . , en n, . . .
er en aritmetisk progression, hvis for nogen naturligt tal n betingelsen er opfyldt:
en n +1 = en n + d,
Hvor d - et vist antal.
Således er forskellen mellem de efterfølgende og tidligere led i en given aritmetisk progression altid konstant:
en 2 - -en 1 = en 3 - -en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.
Nummer d hedder forskel i aritmetisk progression.
For at definere en aritmetisk progression er det nok at angive dens første led og forskel.
For eksempel,
Hvis -en 1 = 3, d = 4 , så finder vi de første fem led i sekvensen som følger:
en 1 =3,
en 2 = en 1 + d = 3 + 4 = 7,
en 3 = en 2 + d= 7 + 4 = 11,
en 4 = en 3 + d= 11 + 4 = 15,
-en 5 = -en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄
For en aritmetisk progression med det første led -en 1 og forskellen d hende n
en n = en 1 + (n- 1)d.
For eksempel,
find det tredivte led i den aritmetiske progression
1, 4, 7, 10, . . .
en 1 =1, d = 3,
en 30 = en 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄
en n-1 = en 1 + (n- 2)d,
en n= en 1 + (n- 1)d,
en n +1 = -en 1 + nd,
så åbenbart
| en n=
| a n-1 + a n+1
|
| 2
|
Hvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra den anden, er lig med det aritmetiske gennemsnit af de foregående og efterfølgende medlemmer.
tallene a, b og c er successive led i en eller anden aritmetisk progression, hvis og kun hvis en af dem er lig med det aritmetiske middelværdi af de to andre.
For eksempel,
en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progression.
Lad os bruge ovenstående udsagn. Vi har:
en n = 2n- 7,
en n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,
a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.
Derfor,
| a n+1 + a n-1
| =
| 2n- 5 + 2n- 9
| = 2n- 7 = en n,
|
| 2
| 2
|
◄
Noter det n Det th led af en aritmetisk progression kan findes ikke kun gennem -en 1 , men også alle tidligere en k
en n = en k + (n- k)d.
For eksempel,
Til -en 5 kan skrives ned
en 5 = en 1 + 4d,
en 5 = en 2 + 3d,
en 5 = en 3 + 2d,
en 5 = en 4 + d. ◄
en n = en n-k + kd,
en n = a n+k - kd,
så åbenbart
| en n=
| -en n-k
+ a n+k
|
| 2
|
ethvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra den anden, er lig med halvdelen af summen af de lige fordelte medlemmer af denne aritmetiske progression.
Derudover gælder følgende lighed for enhver aritmetisk progression:
a m + a n = a k + a l,
m + n = k + l.
For eksempel,
i aritmetisk progression
1) -en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (-en 9 + -en 11 )/2;
2) 28 = en 10 = en 3 + 7d= 7 + 73 = 7 + 21 = 28;
3) en 10= 28 = (19 + 37)/2 = (en 7 + en 13)/2;
4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi
en 2 + en 12= 4 + 34 = 38,
en 5 + en 9 = 13 + 25 = 38. ◄
S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ en n,
først n led af en aritmetisk progression er lig med produktet af halvdelen af summen af ekstreme led og antallet af led:
Herfra følger det især, at hvis du skal summere vilkårene
en k, en k +1 , . . . , en n,
så bevarer den forrige formel sin struktur:
For eksempel,
i aritmetisk progression 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .
S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;
10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄
Hvis der er givet en aritmetisk progression, så er mængderne -en 1 , en n, d, n OgS n forbundet med to formler:
Derfor, hvis betydning af tre af disse mængder er givet, så bestemmes de tilsvarende værdier af de to andre mængder ud fra disse formler, kombineret til et system af to ligninger med to ukendte.
En aritmetisk progression er en monoton sekvens. Hvori:
- Hvis d > 0 , så er det stigende;
- Hvis d < 0 , så er det aftagende;
- Hvis d = 0 , så vil sekvensen være stationær.
Geometrisk progression
Geometrisk progression er en sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal.
b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .
er en geometrisk progression, hvis for et hvilket som helst naturligt tal n betingelsen er opfyldt:
b n +1 = b n · q,
Hvor q ≠ 0 - et vist antal.
Således er forholdet mellem det efterfølgende led af en given geometrisk progression og den foregående et konstant tal:
b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.
Nummer q hedder nævner for geometrisk progression.
For at definere en geometrisk progression er det nok at angive dens første led og nævner.
For eksempel,
Hvis b 1 = 1, q = -3 , så finder vi de første fem led i sekvensen som følger:
b 1 = 1,
b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,
b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,
b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,
b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄
b 1 og nævner q hende n Udtrykket kan findes ved hjælp af formlen:
b n = b 1 · qn -1 .
For eksempel,
find det syvende led i den geometriske progression 1, 2, 4, . . .
b 1 = 1, q = 2,
b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄
b n-1 = b 1 · qn -2 ,
b n = b 1 · qn -1 ,
b n +1 = b 1 · qn,
så åbenbart
b n 2 = b n -1 · b n +1 ,
hvert medlem af den geometriske progression, startende fra den anden, er lig med det geometriske middelværdi (proportionalt) af de foregående og efterfølgende elementer.
Da det modsatte også er sandt, gælder følgende udsagn:
tallene a, b og c er på hinanden følgende led af en eller anden geometrisk progression, hvis og kun hvis kvadratet af en af dem lig med produktet de to andre, det vil sige, at et af tallene er den geometriske middelværdi af de to andre.
For eksempel,
Lad os bevise, at sekvensen givet af formlen b n= -3 2 n , er en geometrisk progression. Lad os bruge ovenstående udsagn. Vi har:
b n= -3 2 n,
b n -1 = -3 2 n -1 ,
b n +1 = -3 2 n +1 .
Derfor,
b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,
hvilket beviser det ønskede udsagn. ◄
Noter det n Det th led af en geometrisk progression kan findes ikke kun gennem b 1 , men også ethvert tidligere medlem b k , hvortil det er nok at bruge formlen
b n = b k · qn - k.
For eksempel,
Til b 5 kan skrives ned
b 5 = b 1 · q 4 ,
b 5 = b 2 · q 3,
b 5 = b 3 · q 2,
b 5 = b 4 · q. ◄
b n = b k · qn - k,
b n = b n - k · q k,
så åbenbart
b n 2 = b n - k· b n + k
kvadratet af ethvert led i en geometrisk progression, startende fra den anden, er lig med produktet af led i denne progression lige langt fra den.
Derudover er ligheden sand for enhver geometrisk progression:
b m· b n= b k· b l,
m+ n= k+ l.
For eksempel,
i geometrisk progression
1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;
2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;
3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;
4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi
b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,
b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄
S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n
først n medlemmer af en geometrisk progression med nævner q ≠ 0 beregnet med formlen:
Og når q = 1 - efter formlen
S n= nb 1
Bemærk, at hvis du skal summere vilkårene
b k, b k +1 , . . . , b n,
så bruges formlen:
| S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · | 1 - qn -
k +1
| . |
| 1 - q
|
For eksempel,
i geometrisk progression 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .
S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;
64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄
Hvis der er givet en geometrisk progression, så er mængderne b 1 , b n, q, n Og S n forbundet med to formler:
Derfor, hvis værdierne af tre af disse mængder er givet, så bestemmes de tilsvarende værdier af de to andre mængder ud fra disse formler, kombineret til et system af to ligninger med to ukendte.
For en geometrisk progression med det første led b 1 og nævner q følgende finder sted egenskaber ved monotoni :
- progressionen er stigende, hvis en af følgende betingelser er opfyldt:
b 1 > 0 Og q> 1;
b 1 < 0 Og 0 < q< 1;
- Progressionen er faldende, hvis en af følgende betingelser er opfyldt:
b 1 > 0 Og 0 < q< 1;
b 1 < 0 Og q> 1.
Hvis q< 0 , så er den geometriske progression vekslende: dens vilkår med ulige tal har samme fortegn som dens første led, og led med lige tal har det modsatte fortegn. Det er klart, at en vekslende geometrisk progression ikke er monoton.
Produkt af den første n vilkår for en geometrisk progression kan beregnes ved hjælp af formlen:
Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .
For eksempel,
1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;
3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄
Uendeligt faldende geometrisk progression
Uendeligt faldende geometrisk progression kaldet en uendelig geometrisk progression, hvis nævnermodul er mindre 1 , det er
|q| < 1 .
Bemærk, at en uendeligt faldende geometrisk progression muligvis ikke er en faldende sekvens. Det passer til lejligheden
1 < q< 0 .
Med sådan en nævner er rækkefølgen vekslende. For eksempel,
1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .
Summen af en uendeligt faldende geometrisk progression benævn det tal, som summen af de første nærmer sig uden grænser n medlemmer af en progression med en ubegrænset stigning i antallet n . Dette tal er altid endeligt og udtrykkes ved formlen
| S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = | b 1
| . |
| 1 - q
|
For eksempel,
10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,
10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄
Sammenhæng mellem aritmetiske og geometriske progressioner
Aritmetiske og geometriske progressioner er tæt beslægtede. Lad os kun se på to eksempler.
-en 1 , -en 2 , -en 3 , . . . d , At
b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .
For eksempel,
1, 3, 5, . . . - aritmetisk progression med forskel 2 Og
7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrisk progression med nævner 7 2 . ◄
b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrisk progression med nævner q , At
log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetisk progression med forskel log aq .
For eksempel,
2, 12, 72, . . . - geometrisk progression med nævner 6 Og
lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetisk progression med forskel lg 6 . ◄
Nogle problemer i fysik og matematik kan løses ved hjælp af egenskaberne nummerserie. De to enkleste talsekvenser, der undervises i i skoler, er algebraiske og geometriske. I denne artikel vil vi se nærmere på spørgsmålet om, hvordan man finder summen af endelig progression geometrisk aftagende.
Progression geometrisk
Disse ord betyder følgende serie reelle tal, hvis elementer a i opfylder udtrykket:
Her er i tallet på elementet i rækken, r er konstant tal, som kaldes nævneren.
Denne definition viser, at ved at kende ethvert medlem af progressionen og dens nævner, kan du gendanne hele rækken af tal. For eksempel, hvis det 10. element er kendt, så vil det at dividere det med r få det 9. element, hvis det derefter divideres igen, vil det få det 8. og så videre. Disse simpelt ræsonnement tillad os at skrive et udtryk, der er gyldigt for rækken af tal, der overvejes:
Et eksempel på en progression med en nævner på 2 ville være følgende serie:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Hvis nævneren er lig med -2, opnås en helt anden serie:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geometrisk progression er meget hurtigere end algebraisk progression, det vil sige, dens termer stiger hurtigt og falder hurtigt.
Summen af i udtryk for progression
For løsninger praktiske problemer Ofte skal man beregne summen af flere elementer i den pågældende numeriske rækkefølge. I dette tilfælde er følgende formel gyldig:
Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Det kan ses, at for at beregne summen af i-led skal du kun kende to tal: a 1 og r, hvilket er logisk, da de entydigt bestemmer hele sekvensen.
Aftagende rækkefølge og summen af dens led
Lad os nu overveje særlig situation. Vi vil antage, at modulus af nævneren r ikke overstiger én, altså -1 En aftagende geometrisk progression er interessant at overveje, fordi den uendelige sum af dens vilkår har tendens til et endeligt reelt tal. Lad os få formlen for summen.Dette er let at gøre, hvis du skriver udtrykket for S i givet i det foregående afsnit. Vi har: Si = a 1 *(r i -1)/(r-1) Lad os overveje tilfældet, når i->∞. Da nævnerens modul er mindre end 1, vil det give nul ved at hæve det til en uendelig potens. Dette kan kontrolleres ved at bruge eksemplet med r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Som et resultat vil summen af vilkårene for en uendelig aftagende geometrisk progression have formen: Denne formel bruges ofte i praksis, for eksempel til at beregne arealer af figurer. Det bruges også til at løse paradokset Zeno af Elea med skildpadden og Achilleus. Naturligvis mængden taget i betragtning endeløs progression geometrisk stigende (r>1), vil føre til resultatet S ∞ = +∞. Lad os vise, hvordan man anvender ovenstående formler ved hjælp af et eksempel på løsning af et problem. Det er kendt, at summen af en uendelig geometrisk progression er 11. Desuden er dens 7. led 6 gange mindre end det tredje led. Hvad er det første element for denne talrække? Lad os først skrive to udtryk for at bestemme det 7. og 3. element. Vi får: Ved at dividere det første udtryk med det andet og udtrykke nævneren, har vi: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Da forholdet mellem det syvende og tredje led er angivet i problemformuleringen, kan du erstatte det og finde r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Vi beregnede r til fem decimaler. Da den resulterende værdi er mindre end én, er progressionen faldende, hvilket retfærdiggør brugen af formlen for dens uendelige sum. Lad os skrive udtrykket for det første led gennem summen S ∞: Vi erstatter kendte værdier i denne formel og får svaret: a1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zeno af Elea er en berømt græsk filosof, der levede i det 5. århundrede f.Kr. e. En række af dens højdepunkter eller paradokser er nået til nutiden, hvor problemet med det uendeligt store og det uendeligt små i matematikken er formuleret. Et af Zenos berømte paradokser er konkurrencen mellem Achilleus og skildpadden. Zeno mente, at hvis Achilles gav skildpadden en vis fordel i afstand, ville han aldrig være i stand til at indhente den. Lad for eksempel Achilleus løbe 10 gange hurtigere end et dyr, der kravler, som for eksempel er 100 meter foran ham. Når krigeren løber 100 meter, kravler skildpadden væk 10 meter. Efter at have løbet 10 meter igen, ser Achilles, at skildpadden kravler yderligere 1 meter. Du kan argumentere på denne måde i det uendelige, afstanden mellem konkurrenterne vil faktisk falde, men skildpadden vil altid være foran. Ledte Zeno til den konklusion, at bevægelse ikke eksisterer, og alle omgivende bevægelser af objekter er en illusion. Selvfølgelig tog den antikke græske filosof fejl. Løsningen på paradokset ligger i, at en uendelig sum af konstant faldende segmenter har tendens til et endeligt tal. I ovenstående tilfælde, for den distance, som Achilleus løb, får vi: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Ved at anvende formlen for summen af en uendelig geometrisk progression får vi: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111.111 meter Dette resultat viser, at Achilleus vil indhente skildpadden, når den kun kravler 11.111 meter. De gamle grækere vidste ikke, hvordan de skulle arbejde med uendelige mængder i matematik. Dette paradoks kan dog løses, hvis vi ikke er opmærksomme på det uendelige antal huller, som Achilleus skal overvinde, men på det begrænsede antal skridt, løberen skal bruge for at nå sit mål. Yderligere materialer Pædagogiske hjælpemidler og simulatorer i Integral-onlinebutikken til 9. klasse
Gutter, i dag vil vi stifte bekendtskab med en anden type progression. Eksempel. 1,2,4,8,16... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med en, og $q=2$. Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med otte, Eksempel. 3,-3,3,-3,3... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med tre, Geometrisk progression har monotoniens egenskaber. Ligesom i en aritmetisk progression, hvis antallet af elementer i en geometrisk progression er endeligt, så kaldes progressionen en endelig geometrisk progression. $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$. Lad os vende tilbage til vores eksempler. Eksempel. 1,2,4,8,16... Geometrisk progression, hvor det første led er lig med en, Eksempel. 16,8,4,2,1,1/2... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med seksten, og $q=\frac(1)(2)$. Eksempel. 8,8,8,8... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med otte, og $q=1$. Eksempel. 3,-3,3,-3,3... En geometrisk progression, hvor det første led er lig med tre, og $q=-1$. Eksempel. Givet en geometrisk progression $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $. Løsning. Eksempel. Forskellen mellem det syvende og femte led i den geometriske progression er 192, summen af det femte og sjette led af progressionen er 192. Find det tiende led i denne progression. Løsning. Lad en endelig geometrisk progression gives: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$. $S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$. $S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. $S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$. Vi har fået formlen for summen af en endelig geometrisk progression. Løsning. Eksempel. Løsning. $S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$. En talsekvens er kun en geometrisk progression, når kvadratet af hvert element er lig med produktet af de to tilstødende medlemmer af progressionen. Glem ikke, at for en endelig progression er denne betingelse ikke opfyldt for de første og sidste vilkår. Modulet for ethvert led i en geometrisk progression er lig med det geometriske middelværdi af dets to naboled. Løsning. Lektion om emnet "Uendeligt faldende geometrisk progression" (algebra, 10. klasse)
Formålet med lektionen: introducerer eleverne til en ny type sekvens - en uendeligt faldende geometrisk progression. Udstyr: projektor, lærred. Lektionstype: lektion - læring nyt emne. Under timerne jeg
. Org. øjeblik. Angiv emnet og formålet med lektionen. II
. Opdatering af elevernes viden. I 9. klasse studerede du aritmetiske og geometriske progressioner. Spørgsmål 1. Definition af aritmetisk progression. (En aritmetisk progression er en sekvens, hvor hvert medlem, startende fra det andet, er lig med det forrige medlem tilføjet til det samme tal). 2. Formel n led af den aritmetiske progression ( 3. Formel for summen af den første n udtryk for en aritmetisk progression. ( 4. Definition af geometrisk progression. (En geometrisk progression er en sekvens af ikke-nul tal, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående led ganget med det samme tal). 5. Formel n led af den geometriske progression ( 6. Formel for summen af den første n medlemmer af en geometrisk progression. ( 7. Hvilke andre formler kender du? ( 5. Til geometrisk progression 6. Til geometrisk progression 7. Eksponentielt b
3
= 8
Og b
5
= 2
. Find b
4
. (4) 8. Eksponentielt b
3
= 8
Og b
5
= 2
. Find b
1
Og
q
. 9. Eksponentielt b
3
= 8
Og b
5
= 2
. Find S
5
. (62) III
. At lære et nyt emne(demonstration af præsentation). Betragt en firkant med en side lig med 1. Lad os tegne en anden firkant, hvis side er halvt så stor som den første firkant, så en anden, hvis side er halvdelen af den anden, så den næste osv. Hver gang er siden af den nye firkant lig med halvdelen af den forrige. Som et resultat modtog vi en række sider af firkanter Og hvad der er meget vigtigt, jo mere vi bygger sådanne firkanter, jo mindre vil siden af firkanten være. For eksempel, De der. Når tallet n stiger, nærmer vilkårene for progressionen sig nul. Ved hjælp af denne figur kan du overveje en anden sekvens. For eksempel rækkefølgen af områder af kvadrater: Lad os se på et andet eksempel. Ligesidet trekant med en side svarende til 1 cm. Lad os konstruere den næste trekant med toppunkter i midtpunkterne af siderne i den 1. trekant, ifølge sætningen om midtlinje trekant - siden af 2. er lig med halvdelen af siden af den første, side af 3. er lig med halvdelen af side af 2. osv. Igen får vi en sekvens af længder af siderne i trekanter. Hvis vi betragter en geometrisk progression med en negativ nævner. Så igen med stigende antal n i forhold til progression nærmer sig nul. Lad os være opmærksomme på nævnerne i disse sekvenser. Overalt var nævnerne mindre end 1 i absolut værdi. Vi kan konkludere: en geometrisk progression vil være uendeligt faldende, hvis modulus af dens nævner er mindre end 1. Definition:
En geometrisk progression siges at være uendeligt aftagende, hvis modulus for dens nævner er mindre end én. Ved hjælp af definitionen kan du afgøre, om en geometrisk progression er uendeligt aftagende eller ej. Opgave Er sekvensen en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis den er givet ved formlen: Løsning: denne geometriske progression er uendeligt aftagende. b) denne sekvens er ikke en uendeligt aftagende geometrisk progression. Overvej en firkant med en side lig med 1. Del den i to, en af halvdelene i to osv. Arealerne af alle de resulterende rektangler danner en uendeligt aftagende geometrisk progression: Summen af arealerne af alle rektangler opnået på denne måde vil være lig med arealet af det 1. kvadrat og lig med 1.
Opgaven med at finde det første led i en progression
Zenos berømte paradoks med den hurtige Achilleus og den langsomme skildpadde
Lektion og oplæg om emnet: "Talsekvenser. Geometrisk progression"
Kære brugere, glem ikke at efterlade dine kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er blevet kontrolleret af et antivirusprogram.
Potenser og rødder Funktioner og grafer
Emnet for dagens lektion er geometrisk progression.Geometrisk progression
Definition. En numerisk sekvens, hvor hvert led, startende fra det andet, er lig med produktet af det foregående, og et eller andet fast tal kaldes en geometrisk progression.
Lad os definere vores sekvens rekursivt: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
hvor b og q er bestemte givne tal. Tallet q kaldes forløbets nævner.
og $q=1$.
og $q=-1$.
Hvis $b_(1)>0$, $q>1$,
så er rækkefølgen stigende.
Hvis $b_(1)>0$, $0 Sekvensen er normalt angivet i formen: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
Bemærk, at hvis en sekvens er en geometrisk progression, så er rækken af kvadrater af led også en geometrisk progression. I den anden sekvens er det første led lig med $b_(1)^2$, og nævneren er lig med $q^2$.Formel for det n. led i en geometrisk progression
Geometrisk progression kan også specificeres i analytisk form. Lad os se, hvordan du gør dette:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Vi bemærker let mønsteret: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Vores formel kaldes "formlen for det n'te led i en geometrisk progression."
og $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
a) Det er kendt, at $b_(1)=6, q=3$. Find $b_(5)$.
b) Det er kendt, at $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Find n.
c) Det er kendt, at $q=-2, b_(6)=96$. Find $b_(1)$.
d) Det er kendt, at $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Find q.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, da $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
Vi ved, at: $b_(7)-b_(5)=192$ og $b_(5)+b_(6)=192$.
Vi kender også: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Derefter:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Vi modtog et ligningssystem:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Ved at sidestille vores ligninger får vi:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Vi har to løsninger q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Substituer sekventielt i den anden ligning:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ ingen løsninger.
Vi fik det: $b_(1)=4, q=2$.
Lad os finde det tiende led: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.Summen af en endelig geometrisk progression
Lad os have en endelig geometrisk progression. Lad os, ligesom for en aritmetisk progression, beregne summen af dens led.
Lad os introducere betegnelsen for summen af dets led: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
I det tilfælde, hvor $q=1$. Alle led i den geometriske progression er lig med det første led, så er det tydeligt, at $S_(n)=n*b_(1)$.
Lad os nu overveje sagen $q≠1$.
Lad os gange ovenstående beløb med q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Bemærk:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
Eksempel.
Find summen af de første syv led i en geometrisk progression, hvis første led er 4 og nævneren er 3.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
Find det femte led af den geometriske progression, der er kendt: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.Karakteristisk egenskab ved geometrisk progression
Gutter, en geometrisk progression er givet. Lad os se på de tre på hinanden følgende medlemmer: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Vi ved det:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Derefter:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Hvis progressionen er endelig, gælder denne lighed for alle led undtagen den første og den sidste.
Hvis det ikke er kendt på forhånd, hvilken form sekvensen har, men det vides at: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Så kan vi roligt sige, at der er tale om en geometrisk progression.
Lad os se på denne identitet: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ kaldes gennemsnittet geometriske tal a og b.
Eksempel.
Find x sådan, at $x+2; 2x+2; 3x+3$ var tre på hinanden følgende led af en geometrisk progression.
Lad os bruge den karakteristiske egenskab:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ og $x_(2)=-1$.
Lad os sekventielt erstatte vores løsninger med det originale udtryk:
Med $x=2$ fik vi sekvensen: 4;6;9 – en geometrisk progression med $q=1,5$.
For $x=-1$ får vi sekvensen: 1;0;0.
Svar: $x=2.$Problemer, der skal løses selvstændigt
1. Find det ottende første led i den geometriske progression 16;-8;4;-2….
2. Find det tiende led af den geometriske progression 11,22,44….
3. Det er kendt, at $b_(1)=5, q=3$. Find $b_(7)$.
4. Det er kendt, at $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Find n.
5. Find summen af de første 11 led i den geometriske progression 3;12;48….
6. Find x sådan, at $3x+4; 2x+4; x+5$ er tre på hinanden følgende led af en geometrisk progression. 
)
eller 
)
)
)
, Hvor 
; 
; 
; 
, 
)
find det femte led. 
Find n medlem. 
danner en geometrisk progression med nævneren.
. Og igen, hvis n stiger i det uendelige, så nærmer området sig nul så tæt som du vil.
på 
.
.
; 
.. Vi finder q
.
; 
; 
; 
.
