Der gives et bevis for Weierstrass' grænsesætning monoton sekvens. Tilfældene af afgrænsede og ubundne sekvenser tages i betragtning. Et eksempel betragtes, hvor det er nødvendigt, ved hjælp af Weierstrass' sætning, at bevise sekvenskonvergens og find dens grænse.
Enhver monoton afgrænset sekvens (xn) Det har endelig grænse, lig med den nøjagtige øvre grænse, sup(xn) for ikke-faldende og nøjagtige nedre grænse, inf(xn) for en ikke-stigende sekvens.
Enhver monoton ubegrænset rækkefølge Det har uendelig grænse, lig med plus uendeligt for en ikke-faldende sekvens og minus uendelig for en ikke-stigende sekvens.
Bevis
1) ikke aftagende begrænset rækkefølge .
(1.1)
.
Da sekvensen er afgrænset, har den en stram øvre grænse
.
Det betyder at:
- for alle n,
(1.2) ;
(1.3) .
.
Her brugte vi også (1.3). Ved at kombinere med (1.2) finder vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Den første del af teoremet er blevet bevist.
2)
Lad nu rækkefølgen være ikke-tiltagende afgrænset sekvens:
(2.1)
for alle n.
Da sekvensen er afgrænset, har den en stram nedre grænse
.
Det betyder følgende:
- for alle n gælder følgende uligheder:
(2.2) ; - for enhver positivt tal, er der et tal, afhængig af ε, for hvilket
(2.3) .
.
Her brugte vi også (2.3). Under hensyntagen til (2.2) finder vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Det betyder, at tallet er grænsen for rækkefølgen.
Den anden del af sætningen er bevist.
Overvej nu ubegrænsede sekvenser.
3)
Lad rækkefølgen være ubegrænset ikke-faldende sekvens.
Da sekvensen ikke er faldende, gælder følgende uligheder for alle n:
(3.1)
.
Da sekvensen er ikke-aftagende og ubegrænset, er den ubegrænset med højre side. Så for ethvert tal M er der et tal, afhængigt af M, for hvilket
(3.2)
.
Da rækkefølgen ikke er faldende, så når vi har:
.
Her brugte vi også (3.2).
.
Det betyder, at grænsen for sekvensen er plus uendelig:
.
Den tredje del af sætningen er bevist.
4) Overvej endelig sagen hvornår ubegrænset ikke-stigende sekvens.
Svarende til den forrige, da sekvensen altså ikke er stigende
(4.1)
for alle n.
Da sekvensen ikke er stigende og ubegrænset, er den ubegrænset på venstre side. Så for ethvert tal M er der et tal, afhængigt af M, for hvilket
(4.2)
.
Da rækkefølgen ikke er stigende, så når vi har:
.
Så for ethvert tal M er der sådan naturligt tal, afhængig af M, så for alle tal gælder følgende uligheder:
.
Det betyder, at sekvensens grænse er lig med minus uendelig:
.
Sætningen er bevist.
Eksempel på problemløsning
Brug Weierstrass' sætning til at bevise konvergensen af sekvensen:
,
,
. . . ,
,
. . .
Så find dens grænse.
Lad os repræsentere sekvensen i form af tilbagevendende formler:
,
.
Lad os bevise det givet rækkefølge begrænset ovenfor af værdien
(P1) .
Vi udfører bevisningen ved hjælp af metoden matematisk induktion.
.
Lad . Derefter
.
Ulighed (A1) er bevist.
Lad os bevise, at rækkefølgen stiger monotont.
;
(P2) .
Siden , så er nævneren af brøken og den første faktor i tælleren positive. På grund af begrænsningen af sekvensens vilkår ved ulighed (A1), er den anden faktor også positiv. Derfor
.
Det vil sige, at rækkefølgen er strengt stigende.
Da sekvensen er stigende og afgrænset ovenfor, er den en afgrænset sekvens. Derfor har den ifølge Weierstrass' sætning en grænse.
Lad os finde denne grænse. Lad os betegne det med et:
.
Lad os bruge det faktum
.
Lad os anvende dette på (A2) ved at bruge de aritmetiske egenskaber for grænser for konvergente sekvenser:
.
Betingelsen er opfyldt ved roden.
Definition 1. Rækkefølgen kaldes faldende
(ikke stigende
), hvis for alle 
ulighed holder 
.
Definition 2. Konsistens 
hedder stigende
(ikke aftagende
), hvis for alle 
ulighed holder 
.
Definition 3. Faldende, ikke-stigende, stigende og ikke-faldende sekvenser kaldes monotont sekvenser, faldende og stigende sekvenser kaldes også strengt monotont sekvenser.
Det er klart, at en ikke-faldende sekvens er afgrænset nedefra, og en ikke-stigende sekvens er afgrænset ovenfra. Derfor er enhver monoton sekvens naturligvis begrænset på den ene side.
Eksempel 1. Konsistens 
stiger, falder ikke, 
falder 
stiger ikke 
– ikke-monotonisk sekvens.
For monotone sekvenser spiller følgende en vigtig rolle:
Sætning 1. Hvis en ikke-aftagende (ikke-forøgende) sekvens er afgrænset over (nedenunder), så konvergerer den.
Bevis. Lad sekvensen 
aftager ikke og er afgrænset ovenfra, dvs. 
og mange 
begrænset fra oven. Ved Sætning 1 § 2 er der 
. Lad os bevise det 
.
Lad os tage 
vilkårligt. Fordi EN– nøjagtig øvre grænse, der er et tal N
sådan at 
. Da rækkefølgen ikke er faldende, så for alle 
vi har, dvs. 
, Derfor 
for alle 
, og det betyder det 
.
For en ikke-forøgende sekvens afgrænset nedenfor, svarer beviset til ( studerende kan bevise dette udsagn hjemme på egen hånd). Sætningen er bevist.
Kommentar. Sætning 1 kan formuleres anderledes.
Sætning 2. For at en monoton sekvens kan konvergere, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at den er afgrænset.
Tilstrækkelighed fastslås i sætning 1, nødvendighed – i sætning 2 i § 5.
Monotonicitetsbetingelsen er ikke nødvendig for konvergensen af en sekvens, da en konvergent sekvens ikke nødvendigvis er monoton. For eksempel rækkefølgen 
ikke monotont, men konvergerer til nul.
Følge. Hvis rækkefølgen 
stiger (falder) og begrænses fra oven (nedefra), så 
(
).
Faktisk ved sætning 1 
(
).
Definition 4. Hvis 
på 
, så kaldes sekvensen kontraherende system af indlejrede segmenter
.
Sætning 3 (princippet om indlejrede segmenter). Hvert kontraherende system af indlejrede segmenter har, og desuden, et unikt punkt Med, der tilhører alle segmenter af dette system.
Bevis. Lad os bevise, at pointen Med eksisterer. Fordi 
, At 
og derfor rækkefølgen 
falder ikke, men rækkefølgen 
stiger ikke. Hvori 
Og 
begrænset pga. Så ved sætning 1 eksisterer der 
Og 
, men siden 
, At 
=
. Fundet punkt Med hører til alle segmenter af systemet, da i følge sætning 1 
,
, dvs. 
for alle værdier n.
Lad os nu vise, at pointen Med- den eneste ene. Lad os antage, at der er to sådanne punkter: Med Og d og lad for sikkerhed 
. Derefter segmentet 
hører til alle segmenter 
, dvs. 
for alle n, hvilket er umuligt, da 
og derfor med udgangspunkt i et vist antal, 
. Sætningen er bevist.
Bemærk, at det væsentlige her er, at der tages hensyn til lukkede intervaller, dvs. segmenter. Hvis vi betragter et system med kontraherende intervaller, så er princippet generelt set forkert. For eksempel intervaller 
, åbenbart kontrakt til et punkt 
dog punkt 
hører ikke til noget interval i dette system.
Lad os nu overveje eksempler på konvergerende monotone sekvenser.
1) Antal e.
Lad os nu overveje rækkefølgen 
. Hvordan opfører hun sig? Grundlag
grader 
, Derfor 
? På den anden side, 
, A 
, Derfor 
? Eller er der ingen grænse?
For at besvare disse spørgsmål skal du overveje hjælpesekvensen 
. Lad os bevise, at det aftager og er afgrænset nedenfor. Samtidig får vi brug for
Lemma. Hvis 
, så for alle naturværdier n vi har
(Bernoullis ulighed).
Bevis. Lad os bruge metoden til matematisk induktion.
Hvis 
, At 
, dvs. uligheden er sand.
Lad os antage, at det er sandt for 
og bevise dens gyldighed for 
+1.
Højre 
. Lad os gange denne ulighed med 
:
Dermed, . Dette betyder, ifølge princippet om matematisk induktion, at Bernoullis ulighed gælder for alle naturlige værdier n. Lemmaet er bevist.
Lad os vise, at rækkefølgen 
falder. Vi har
׀Bernoullis ulighed׀ 
, og det betyder, at sekvensen 
falder.
Afgrænsethed nedefra følger af uligheden 
׀Bernoullis ulighed׀ 
for alle naturværdier n.
Ved sætning 1 er der 
, som er betegnet med bogstavet e. Derfor 
.
Nummer e irrationel og transcendental, e= 2,718281828… . Det er som bekendt basis for naturlige logaritmer.
Noter. 1) Bernoullis ulighed kan bruges til at bevise det 
på 
. Faktisk, hvis 
, At 
. Derefter, ifølge Bernoullis ulighed, med 
. Derfor kl 
vi har 
, det er 
på 
.
2) I eksemplet diskuteret ovenfor, grundlaget for graden 
har tendens til 1, og eksponenten n- Til 
, det vil sige, at der er usikkerhed om formen 
. Usikkerhed af denne art, som vi har vist, afsløres af den bemærkelsesværdige grænse 
.
2)
(*)
Lad os bevise, at denne sekvens konvergerer. For at gøre dette viser vi, at det er afgrænset nedefra og ikke øges. I dette tilfælde bruger vi uligheden 
for alle 
, som er en konsekvens af uligheden 
.
Vi har 
se uligheden er højere 
, dvs. rækkefølgen er afgrænset nedenfor af tallet 
.
Yderligere, 
siden 
, dvs. rækkefølgen øges ikke.
Ved sætning 1 er der 
, som vi betegner x. Passer i ligestilling (*) til grænsen kl 
, vi får
, dvs. 
, hvor 
(vi tager plustegnet, da alle led i sekvensen er positive).
Sekvensen (*) bruges i beregningen 
rundt regnet. Bag 
tage ethvert positivt tal. Lad os f.eks. finde 
. Lade 
. Derefter 
,. Dermed, 
.
3)
.
Vi har 
. Fordi 
på 
, der er et nummer N, sådan for alle 
ulighed holder 
. Altså rækkefølgen 
, startende fra et eller andet tal N, falder og er afgrænset nedenfor, siden 
for alle værdier n. Det betyder, at der ved sætning 1 er 
. Fordi 
, vi har 
.
Så, 
.
4)
, til højre - n
rødder.
Ved hjælp af metoden til matematisk induktion vil vi vise det 
for alle værdier n. Vi har 
. Lade 
. Herfra får vi en erklæring baseret på princippet om matematisk induktion. Ved at bruge dette faktum finder vi, dvs. efterfølgen 
øges og afgrænses ovenfra. Derfor eksisterer den pga 
.
Dermed, 
.