Hvis alle naturligt tal n er tildelt nogle reelle tal x n , så siger de, at det er givet talrække
x 1 , x 2 , … x n , …
Nummer x 1 kaldes et medlem af sekvensen med nummer 1 eller første led i sekvensen, nummer x 2 - medlem af sekvensen med nummer 2 eller det andet medlem af sekvensen osv. Tallet x n kaldes medlem af sekvensen med nummer n.
Der er to måder at angive talrækker på - med og med tilbagevendende formel.
Sekvens ved hjælp af formler for det generelle udtryk for en sekvens– dette er en sekvensopgave
x 1 , x 2 , … x n , …
ved at bruge en formel, der udtrykker afhængigheden af udtrykket xn af dets tal n.
Eksempel 1. Nummerrækkefølge
1, 4, 9, … n 2 , …
givet ved hjælp af fællesbegrebsformlen
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …
At angive en sekvens ved hjælp af en formel, der udtrykker et sekvenselement x n gennem sekvenselementerne med forudgående tal, kaldes at specificere en sekvens vha. tilbagevendende formel.
x 1 , x 2 , … x n , …
hedder i stigende rækkefølge, mere tidligere medlem.
Med andre ord for alle n
x n + 1 >x n
Eksempel 3. Rækkefølge af naturlige tal
1, 2, 3, … n, …
er stigende rækkefølge.
Definition 2. Talrækkefølge
x 1 , x 2 , … x n , …
hedder faldende rækkefølge hvis hvert medlem af denne sekvens mindre tidligere medlem.
Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt
x n + 1 < x n
Eksempel 4. Efterfølgende
givet af formlen
er faldende rækkefølge.
Eksempel 5. Nummerrækkefølge
1, - 1, 1, - 1, …
givet af formlen
x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …
er ikke hverken stigende eller faldende rækkefølge.
Definition 3. Stigende og faldende talrækker kaldes monotone sekvenser.
Afgrænsede og ubundne sekvenser
Definition 4. Talrække
x 1 , x 2 , … x n , …
hedder afgrænset ovenfor, hvis der er et tal M, således at hvert medlem af denne sekvens mindre numrene M.
Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt
Definition 5. Talrække
x 1 , x 2 , … x n , …
hedder afgrænset nedenfor, hvis der er et tal m, således at hvert medlem af denne rækkefølge mere tal m.
Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt
Definition 6. Talrækkefølge
x 1 , x 2 , … x n , …
kaldes begrænset, hvis det begrænset både over og under.
Med andre ord er der tal M og m sådan, at for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt
m< x n < M
Definition 7. Numeriske sekvenser, der er ikke begrænset, hedder ubegrænsede sekvenser.
Eksempel 6. Nummerrækkefølge
1, 4, 9, … n 2 , …
givet af formlen
x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,
afgrænset nedenfor, for eksempel tallet 0. Men denne sekvens ubegrænset fra oven.
Eksempel 7. Efterfølgende
givet af formlen
er begrænset rækkefølge , fordi for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt
På vores hjemmeside kan du også gøre dig bekendt med undervisningsmateriale udviklet af lærere fra Resolventa træningscenter til forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam i matematik.
For skoleelever, der ønsker at forberede sig godt og bestå Unified State Examination i matematik eller russisk sprog på højeste score, Uddannelsescenteret"Resolventa" udfører
| forberedende kurser for skoleelever i 10. og 11. klassetrin |
Vida y= f(x), x OM N, Hvor N– et sæt naturlige tal (eller en funktion af et naturligt argument), betegnet y=f(n) eller y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Værdier y 1 ,y 2 ,y 3 ,… kaldes henholdsvis det første, andet, tredje, ... medlem af sekvensen.
For eksempel til funktionen y= n 2 kan skrives:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Metoder til at specificere sekvenser. Sekvenser kan specificeres forskellige veje, hvoraf tre er særligt vigtige: analytisk, beskrivende og tilbagevendende.
1. En sekvens er givet analytisk, hvis dens formel er givet n medlem:
y n=f(n).
Eksempel. y n= 2n – 1 – række af ulige tal: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Beskrivende måde at indstille på talrække er, at den forklarer, ud fra hvilke elementer sekvensen er bygget op.
Eksempel 1. "Alle led i rækkefølgen er lig med 1." Det betyder, vi taler om om den stationære sekvens 1, 1, 1, …, 1, ….
Eksempel 2. “En sekvens består af alle Primtal i stigende rækkefølge". Den givne rækkefølge er således 2, 3, 5, 7, 11, …. Med denne metode til at specificere rækkefølgen i i dette eksempel det er svært at svare på, hvad f.eks. det 1000. element i sekvensen er lig med.
3. Den tilbagevendende metode til at specificere en sekvens er at angive en regel, der giver dig mulighed for at beregne n-th medlem af en sekvens, hvis dens tidligere medlemmer er kendt. Navnet tilbagevendende metode kommer fra latinske ord tilbagevendende- kom tilbage. Oftest er der i sådanne tilfælde angivet en formel, der gør det muligt at udtrykke n medlem af sekvensen gennem de foregående, og angiv 1-2 indledende medlemmer af sekvensen.
Eksempel 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 hvis n = 2, 3, 4,….
Her y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Du kan se, at sekvensen opnået i dette eksempel også kan specificeres analytisk: y n= 4n – 1.
Eksempel 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 hvis n = 3, 4,….
Her: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Sekvensen sammensat i dette eksempel er specielt undersøgt i matematik, da den har et antal interessante egenskaber og applikationer. Den kaldes Fibonacci-sekvensen, opkaldt efter den italienske matematiker fra det 13. århundrede. Det er meget nemt at definere Fibonacci-sekvensen tilbagevendende, men meget vanskeligt analytisk. n Det th Fibonacci-tal udtrykkes gennem dets serienummer følgende formel.
Ved første øjekast formlen for n det th Fibonacci-tal virker usandsynligt, da formlen, der specificerer rækkefølgen af naturlige tal alene indeholder kvadratrødder, men du kan kontrollere "manuelt" gyldigheden af denne formel for de første par n.
Egenskaber for talrækker.
Nummerrækkefølge – særlig situation numerisk funktion, derfor tages der også hensyn til en række egenskaber ved funktioner for sekvenser.
Definition . Efterfølgen ( y n} kaldes stigende, hvis hver af dens led (undtagen den første) er større end den foregående:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Definition.Sequence ( y n} kaldes faldende, hvis hver af dens termer (undtagen den første) er mindre end den foregående:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .
Stigende og faldende sekvenser kombineres generel udtryk– monotone sekvenser.
Eksempel 1. y 1 = 1; y n= n 2 – stigende rækkefølge.
Således er følgende sætning sand (en karakteristisk egenskab ved en aritmetisk progression). En talrække er aritmetisk, hvis og kun hvis hver af dens led undtagen den første (og den sidste i kasus endelig rækkefølge), er lig med det aritmetiske middelværdi af de foregående og efterfølgende led.
Eksempel. Til hvilken værdi x tal 3 x + 2, 5x– 4 og 11 x+ 12 danner en endelig aritmetisk progression?
Ifølge karakteristisk egenskab, skal de givne udtryk tilfredsstille relationen
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Løsning af denne ligning giver x= –5,5. Til denne værdi x givne udtryk 3 x + 2, 5x– 4 og 11 x+ 12 tager henholdsvis værdierne –14,5, –31,5, –48,5. Det her - aritmetisk progression, dens forskel er -17.
Geometrisk progression.
En numerisk sekvens, hvis led alle er ikke-nul, og hvis led, startende fra det andet, fås fra det foregående led ved at gange med det samme tal q, hedder geometrisk progression, og nummeret q- nævneren for en geometrisk progression.
En geometrisk progression er således en talfølge ( b n), defineret rekursivt af relationerne
b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b Og q – givne tal, b ≠ 0, q ≠ 0).
Eksempel 1. 2, 6, 18, 54, ... – stigende geometrisk progression b = 2, q = 3.
Eksempel 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrisk progression b= 2,q= –1.
Eksempel 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrisk progression b= 8, q= 1.
En geometrisk progression er en stigende sekvens if b 1 > 0, q> 1, og faldende if b 1 > 0, 0 q
En af de åbenlyse egenskaber ved en geometrisk progression er, at hvis rækkefølgen er en geometrisk progression, så er rækkefølgen af kvadrater også det, dvs.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... er en geometrisk progression, hvis første led er lig med b 1 2 , og nævneren er q 2 .
Formel n- det th led af den geometriske progression har formen
b n= b 1 qn- 1 .
Du kan få en formel for summen af led i en endelig geometrisk progression.
Lad en endelig geometrisk progression gives
b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n
lade S n – summen af dets medlemmer, dvs.
S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.
Det er accepteret q nr. 1. At bestemme S n gælder kunstig modtagelse: nogle er henrettet geometriske transformationer udtryk S n q.
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .
Dermed, S n q= S n +b n q – b 1 og derfor
Dette er formlen med umma n med hensyn til geometrisk progression for sagen hvornår q≠ 1.
På q= 1 formlen behøver ikke udledes separat; det er indlysende, at i dette tilfælde S n= -en 1 n.
Progressionen kaldes geometrisk, fordi hvert led i det, undtagen det første, er lig med det geometriske middelværdi af de foregående og efterfølgende led. Faktisk siden
bn=bn- 1 q;
bn = bn+ 1 /q,
derfor, b n 2=bn– 1 bn+ 1 og følgende sætning er sand (en karakteristisk egenskab ved en geometrisk progression):
en talsekvens er en geometrisk progression, hvis og kun hvis kvadratet af hver af dens led, undtagen den første (og den sidste i tilfælde af en endelig række), lig med produktet tidligere og efterfølgende medlemmer.
Konsistensgrænse.
Lad der være en sekvens ( c n} = {1/n}. Denne sekvens kaldes harmonisk, da hver af dens led, startende fra den anden, er den harmoniske middelværdi mellem de foregående og efterfølgende led. Gennemsnit geometriske tal -en Og b der er et nummer
I Ellers rækkefølgen kaldes divergent.
Ud fra denne definition kan man f.eks. bevise eksistensen af en grænse A=0 for den harmoniske sekvens ( c n} = {1/n). Lad ε være vilkårligt lille positivt tal. Forskellen tages i betragtning
Findes sådan noget? N det er for alle n ≥ N ulighed 1 gælder /N ? Hvis vi tager det som N ethvert naturligt tal større end 1/ε , så for alle n ≥ N ulighed 1 gælder /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.
Det kan nogle gange være meget vanskeligt at bevise tilstedeværelsen af en grænse for en bestemt sekvens. De hyppigst forekommende sekvenser er velundersøgte og er opført i opslagsbøger. Ledig vigtige teoremer, så man kan drage en konklusion om tilstedeværelsen af en grænse for en given sekvens (og endda beregne den), baseret på allerede studerede sekvenser.
Sætning 1. Hvis en sekvens har en grænse, så er den afgrænset.
Sætning 2. Hvis en sekvens er monoton og afgrænset, så har den en grænse.
Sætning 3. Hvis rækkefølgen ( en n} har en grænse EN, derefter sekvenserne ( kan}, {en n+ c) og (| en n|} har grænser cA, EN +c, |EN| i overensstemmelse hermed (her c– vilkårligt nummer).
Sætning 4. Hvis sekvenserne ( en n} og ( b n) har grænser lig med EN Og B pa n + qbn) har en grænse pA+ qB.
Sætning 5. Hvis sekvenserne ( en n) Og ( b n)have grænser lig med EN Og B i overensstemmelse hermed, derefter sekvensen ( a n b n) har en grænse AB.
Sætning 6. Hvis sekvenserne ( en n} og ( b n) har grænser lig med EN Og B i overensstemmelse hermed, og desuden b n ≠ 0 og B≠ 0, derefter sekvensen ( a n / b n) har en grænse A/B.
Anna Chugainova
Definitionen af en numerisk rækkefølge er givet. Eksempler på uendeligt stigende, konvergerende og divergerende sekvenser betragtes. En sekvens, der indeholder alle rationelle tal, betragtes.
Definition .
Numerisk rækkefølge (xn)
er en lov (regel), ifølge hvilken, for hvert naturligt tal n = 1, 2, 3, . . .
et bestemt tal x n tildeles.
Elementet x n kaldes n'te termin eller et element i en sekvens.
Sekvensen er betegnet som det n'te led omgivet af krøllede parenteser:. Følgende betegnelser er også mulige: . De angiver eksplicit, at indekset n tilhører mængden af naturlige tal, og sekvensen i sig selv har et uendeligt antal led. Her er nogle eksempler på sekvenser:
,
,
.
Med andre ord er en talrække en funktion, hvis definitionsdomæne er mængden af naturlige tal. Antallet af elementer i sekvensen er uendeligt. Blandt elementerne kan der også være medlemmer, der har samme værdier. En sekvens kan også betragtes som et nummereret sæt tal, der består af et uendeligt antal medlemmer.
Vi vil hovedsageligt være interesseret i spørgsmålet om, hvordan sekvenser opfører sig, når n tenderer mod det uendelige: . Dette materiale præsenteres i afsnittet Grænse for en sekvens - grundlæggende sætninger og egenskaber. Her vil vi se på nogle eksempler på sekvenser.
Sekvenseksempler
Eksempler på uendeligt stigende sekvenser
Overvej rækkefølgen. Det fælles medlem af denne sekvens er . Lad os skrive de første par termer ned:
.
Det kan ses, at når tallet n stiger, stiger elementerne i det uendelige mod positive værdier. Vi kan sige, at denne sekvens har en tendens til: for .
Overvej nu en sekvens med et fælles udtryk. Her er de første par medlemmer:
.
Efterhånden som tallet n stiger, stiger elementerne i denne sekvens uendeligt i absolut værdi, men har ikke konstant tegn. Det vil sige, at denne sekvens har en tendens til: kl.
Eksempler på sekvenser, der konvergerer til et endeligt tal
Overvej rækkefølgen. Hendes fælles medlem. De første udtryk har følgende form:
.
Det kan ses, at når tallet n stiger, nærmer elementerne i denne sekvens sig deres grænseværdi a = 0
: kl. Så hvert efterfølgende led er tættere på nul end det foregående. På en måde kan vi overveje, at der er en omtrentlig værdi for tallet a = 0
med fejl. Det er klart, at når n stiger, har denne fejl en tendens til nul, det vil sige, ved at vælge n kan fejlen gøres så lille som ønsket. Desuden for enhver given fejl ε > 0
du kan angive et tal N således, at for alle elementer med tal større end N:, vil tallets afvigelse fra grænseværdien a ikke overstige fejlen ε:.
Overvej derefter rækkefølgen. Hendes fælles medlem. Her er nogle af dets første medlemmer:
.
I denne rækkefølge er led med lige tal lig med nul. Led med ulige n er lige store. Derfor, når n stiger, nærmer deres værdier sig grænseværdien a = 0
. Dette følger også af, at
.
Ligesom i det foregående eksempel kan vi angive en vilkårligt lille fejl ε > 0
, for hvilket det er muligt at finde et tal N således, at elementer med tal større end N vil afvige fra grænseværdien a = 0
med et beløb, der ikke overstiger den angivne fejl. Derfor konvergerer denne sekvens til værdien a = 0
: kl.
Eksempler på divergerende sekvenser
Overvej en sekvens med følgende almindelige term:
Her er dets første medlemmer:
.
Det kan ses, at udtryk med lige tal:
,
konvergere til værdien a 1 = 0
. Medlemmer med ulige tal:
,
konvergere til værdien a 2 = 2
. Selve sekvensen, når n vokser, konvergerer ikke til nogen værdi.
Sekvens med led fordelt i intervallet (0;1)
Lad os nu se på en mere interessant sekvens. Lad os tage et segment på tallinjen. Lad os dele det i to. Vi får to segmenter. Lade
.
Lad os dele hvert af segmenterne i to igen. Vi får fire segmenter. Lade
.
Lad os dele hvert segment i to igen. Lad os tage
.
Og så videre.
Som et resultat opnår vi en sekvens, hvis elementer er fordelt i åbent interval (0; 1) . Uanset hvilket punkt vi tager fra det lukkede interval , kan vi altid finde medlemmer af sekvensen, der vil være vilkårligt tæt på dette punkt eller falde sammen med det.
Så fra den oprindelige sekvens kan man vælge en undersekvens, der vil konvergere til vilkårligt punkt fra intervallet . Det vil sige, at efterhånden som tallet n stiger, vil medlemmerne af undersekvensen komme tættere og tættere på det forudvalgte punkt.
For eksempel til punkt a = 0
du kan vælge følgende efterfølge:
.
= 0
.
For punkt a = 1
Lad os vælge følgende efterfølge:
.
Betingelserne i denne undersekvens konvergerer til værdien a = 1
.
Da der er delsekvenser, der konvergerer til forskellige betydninger, så konvergerer selve den oprindelige sekvens ikke til noget tal.
Sekvens, der indeholder alle rationelle tal
Lad os nu konstruere en sekvens, der indeholder alle rationelle tal. Desuden vil hvert rationelt tal optræde i en sådan sekvens et uendeligt antal gange.
Et rationelt tal r kan repræsenteres i følgende formular:
,
hvor er et heltal; - naturligt.
Vi skal associere hvert naturligt tal n med et talpar p og q, så ethvert par p og q er inkluderet i vores rækkefølge.
For at gøre dette skal du tegne p- og q-akserne på planet. Vi tegner gitterlinjer gennem heltalværdierne af p og q. Så vil hver node i dette gitter svare til rationelt tal. Hele sættet af rationelle tal vil blive repræsenteret af et sæt noder. Vi skal finde en måde at nummerere alle noderne, så vi ikke går glip af nogen noder. Dette er nemt at gøre, hvis du nummererer noderne efter firkanter, hvis centre er placeret ved punktet (0; 0) (se billedet). I dette tilfælde er de nederste dele af firkanterne med q < 1 vi har ikke brug for det. Derfor er de ikke vist på figuren.
Så for den øverste side af den første firkant har vi:
.
Dernæst nummererer vi øverste del følgende firkant:
.
Vi nummererer den øverste del af følgende firkant:
.
Og så videre.
På denne måde får vi en sekvens, der indeholder alle rationelle tal. Du kan bemærke, at ethvert rationelt tal optræder i denne rækkefølge et uendeligt antal gange. Faktisk vil denne sekvens sammen med noden også omfatte noder , hvor er et naturligt tal. Men alle disse noder svarer til det samme rationelle tal.
Så ud fra den sekvens, vi har konstrueret, kan vi vælge en undersekvens (som har et uendeligt antal elementer), hvis elementer alle er lig med et forudbestemt rationelt tal. Da den sekvens, vi konstruerede, har undersekvenser, der konvergerer til forskellige tal, så konvergerer sekvensen ikke til noget tal.
Konklusion
Her har vi givet en præcis definition af talrækken. Vi rejste også spørgsmålet om dets konvergens, baseret på intuitive ideer. Præcis definition konvergens diskuteres på siden Bestemmelse af grænsen for en sekvens. Beslægtede egenskaber og sætninger er angivet på siden
Begrebet en talrække.
Lad hvert naturligt tal n svare til et tal a n, så siger vi, at der er givet en funktion a n =f(n), som kaldes en talfølge. Betegnes med et n ,n=1,2,... eller (a n ).
Tallene a 1 , a 2 , ... kaldes medlemmer af sekvensen eller dens elementer, a n er det generelle medlem af sekvensen, n er nummeret på elementet a n .
Per definition indeholder enhver sekvens uendeligt sæt elementer.
Eksempler på talrækker.
Aritmetik progression – numerisk progression af formularen:
det vil sige en sekvens af tal (udtryk for progressionen), som hver, startende fra den anden, opnås fra den foregående ved at tilføje et konstant tal d (trin eller forskel i progressionen): 
.
Ethvert led i progressionen kan beregnes ved hjælp af den generelle termformel:
Ethvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra den anden, er det aritmetiske gennemsnit af de foregående og næste medlemmer af progressionen: 
Summen af de første n led af en aritmetisk progression kan udtrykkes med formlerne: 
Summen af n på hinanden følgende led af en aritmetisk progression, der starter med led k: 
Et eksempel på summen af en aritmetisk progression er summen af en række naturlige tal op til n inklusive:
Geometrisk progression - rækkefølge af tal 
(medlemmer af en progression), hvor hvert efterfølgende tal, startende fra det andet, opnås fra det foregående ved at gange det med et bestemt tal q (nævneren af progressionen), hvor 
,
:
Ethvert led i en geometrisk progression kan beregnes ved hjælp af formlen: 
Hvis b 1 > 0 og q > 1, er progressionen en stigende sekvens, hvis 0 Progressionen har fået sit navn fra sin karakteristiske egenskab: Produktet af de første n led af en geometrisk progression kan beregnes ved hjælp af formlen: Produktet af led i en geometrisk progression, der starter med det k-te led og slutter med det n-te led, kan beregnes ved hjælp af formlen: Summen af de første n led af en geometrisk progression: Hvis Konsistensgrænse. En sekvens kaldes stigende, hvis hvert medlem er større end det foregående. En sekvens kaldes aftagende, hvis hvert medlem er mindre end det foregående. En sekvens x n kaldes afgrænset, hvis der er tal m og M, således at betingelsen for ethvert naturligt tal n er opfyldt Det kan ske, at alle medlemmer af sekvensen (a n ) med ubegrænset vækst af tallet n vil nærme sig et eller andet tal m. Et tal a kaldes grænsen for sekvensen X n, hvis der for hver Ε>0 er et tal (afhængigt af Ε) n 0 =n o (Ε), således at for I dette tilfælde skriver de Konvergens af sekvenser. En sekvens, hvis grænse er endelig, siges at konvergere til en: Hvis en sekvens ikke har en endelig (tællig) grænse, vil den blive kaldt divergent. Geometrisk betydning. Hvis Sætning 1) Om grænsens unikke karakter: Hvis sekvensen konvergerer, det vil sige har en grænse, så er denne grænse unik. Sætning 2) Hvis sekvensen a n konvergerer til a: Sætning 3) Forudsætning eksistensen af en grænse. Hvis en sekvens konvergerer, det vil sige har en grænse, så er den afgrænset. Bevis: lad os vælge n>N sådan, at: Sætning 4) Tilstrækkelig betingelse for eksistensen af en grænse. Hvis en sekvens er monoton og afgrænset, så har den en grænse. . Sætning 5) Lade Tre sekvens sætning. Hvis Begrænsningsegenskaber. Hvis (xn) og (yn) har grænser, så: Grænse for forholdet mellem polynomier (brøker). Lad x n og y n være polynomier i henholdsvis grad k, dvs. x n =P k (n)=a O n k +a 1 n k-1 +…+a k, y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +...+b m Grænsen for forholdet mellem polynomier er lig med grænsen for forholdet mellem deres ledende led: Hvis graden af tælleren er lig med graden af nævneren, så er grænsen lig med forholdet mellem koefficienterne ved højere grader. Hvis graden af tælleren er mindre end graden af nævneren, er grænsen nul. Hvis graden af tælleren er større end graden af nævneren, tenderer grænsen til uendelig.
det vil sige, at hvert led er lig med dets naboers geometriske middelværdi.
, hvornår så 
, Og
på 
.
.
ulighed holder 
for alle (naturlige)n>n 0 .
eller 
.
, så vil alle medlemmer af denne sekvens, med undtagelse af det sidste tal, falde ind i et vilkårligt Ε-kvarter til punkt a. Geometrisk betyder afgrænsningen af en sekvens, at alle dens værdier ligger på et bestemt segment.
, derefter enhver efterfølgelse af det 
har samme grænse.
∎
og lad betingelsen x n ≤y n være opfyldt for enhver n, derefter 
og for sekvenser x n , y n , z n er betingelsen x n ≤ y n ≤z n opfyldt, så for 
bør 
.
