Karakteristisk funktion tilfældig variabel x kaldes Fourier-transformationen af fordelingen af en stokastisk variabel:
Ejendomme
Bevis.
Bevis.
Naturligt, denne egenskab strækker sig til et større antal termer:
.
φ (t) er ensartet kontinuerlig.
Bevis.
Det resulterende endelige udtryk afhænger kun af h. For en kontinuert stokastisk variabel kan vi skrive
.
Bevis. Hvis eksisterer k størrelsesmoment x, så ved hjælp af differentiering under integraltegn (hvilket er muligt, da s(x) eksisterer), får vi
Med hver efterfølgende differentiering bliver det "ført væk" jeg E[ x], så efter k differentieringer vi får jeg k E[ x k]. Dette resultat kan repræsenteres i formularen
.
Den karakteristiske funktion bestemmer entydigt fordelingen af en tilfældig variabel.
Bevis for særlige tilfælde
Lade x - heltal diskret tilfældig variabel ( k Z), derefter (invers Fourier-transformation)
(Fourier-serier, hvis koefficienter er s k), Derefter
Alle vilkår for hvilke k≠m, giver 0 (ved ortogonalitet), og forbliver
.
Lade φ (t) er absolut integrerbar på den rigtige linje, og der er en distributionstæthed s(x) 11 .
Lad os prøve udtrykke s(x) gennem den karakteristiske funktion. Lad os skrive den inverse Fourier-transformation af funktionen φ :
.
Med det i tankerne
Fordi
Ved at ændre variable får vi
og derfor
.
Hvis i (*) i det andet integral har begge integrationsgrænser de samme fortegn, får vi 0; hvis forskelligt - et endeligt tal. Det vil sige, at der er en ikke-nul grænse ved -en<y<b. I dette tilfælde vises integralet fra −∞ til ∞, lig med π . Herfra
Fik:
,
derfor, s er fuldstændig bestemt af den karakteristiske funktion.
.
Bevis..
Karakteristisk funktionskriterium
Fungere φ x (t) - karakteristisk for en stokastisk variabel x hvis og kun hvis:
φ x (0) = 1,
φ x (t) positiv bestemt.
Fungere φ (t) Hedder positiv bestemt(positivbestemt), hvis
og lighed til nul opnås kun når z jeg = 0jeg. Hvis vi svækker betingelsen for at opnå ligestilling til nul, får vi ikke-negativ bestemt fungere.
Lad os tjekke at den karakteristiske funktion er positiv bestemt:
Begrundelse. Ved ejendom 5),
På k= 1, vi får,
På k= 2 -.
Hvis E x= 0.D x=E[ x
2 ] = 1,
.
20.2 Eksempler
Løsning. Lad os reducere udtrykket til formen
Det er ikke svært at se det 
. Efter transformationen kan du skrive 
.
Lad os se på værdierne s jeg :
Konklusion:cos 2 t er den karakteristiske funktion af en diskret stokastisk variabel, der tager værdien 0 med sandsynlighed 1/2, og værdierne 2 og -2 med sandsynlighed 1/4.
Beregn karakteristisk funktion degenerere tilfældig variabel: P(x= 0) = 1.
Løsning..
Hvis P(x=C) = 1, får vi.
Løsning. Lad os reducere udtrykket til formen
.
Lad os se på værdierne s jeg :
Fik: Dette er den karakteristiske funktion af en diskret stokastisk variabel.
Løsning. Lade Y=x–x′ , Derefter
Konklusion: kvadratet af modulet af enhver karakteristisk funktion er igen en karakteristisk funktion.
Lade x,Y - stokastiske variable med karakteristiske funktioner φ x (t) Og φ Y (t);-en,b> 0 - konstanter sådan, at -en+b= 1. Overvej funktionen
Er den karakteristisk, og hvis ja, for hvilken stokastisk variabel?
Svar: Ja det er. Lad den tilsvarende fordeling fungere x Og Y - F x (x) Og F Y (y). Lad os overveje funktionen. Dette er naturligvis en distributionsfunktion, da
Derefter sandsynlighedstætheden
Hvis φ (t) - karakteristisk funktion x, At φ (−t) - karakteristisk funktion (– x). (fra eksempel 4)).
Lade φ (tx, så er
f (t) =Re[ φ (t)]
Løsning. Naturligvis,
Lade φ (t) svarer til fordelingsfunktionen F x (x), derefter for Re[ φ (t)]:
Lade φ (t) - karakteristisk funktion af mængden x, så er
f (t) =Jeg[ φ (t)]
karakteristisk funktion af en tilfældig variabel?
Løsning. Nej, det er det ikke, fordi f (0) = 0.
x ~ N(0, 1):
Find den karakteristiske funktion af normalfordelingen.
Lad os tælle φ (t), der differentierer under integraltegn:
Lad os løse differentialligningen 
med starttilstand φ
(0) = 1:
x~N(-en,σ 2): lad os sammenligne denne værdi med x 0 ~N(0, 1). Det er nemt at se det x=-en+σ x 0 . Derefter, efter ejendom 2)
Matematisk forventning og dens egenskaber.
Numeriske karakteristika for stokastiske variable.
Karakteristisk funktion.
Foredrag nr. 5
Afsnit 2. Tilfældige variable.
Emne 1. Fordelingsfunktion, sandsynlighedstæthed og numeriske karakteristika for en stokastisk variabel.
Formålet med foredraget: give viden om måder at beskrive stokastiske variable på.
Forelæsningsspørgsmål:
Litteratur:
L1 - Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Sandsynlighedsteori. Matematik statistik. - 2. udg. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 296 s.
L2 - Gmurman, V. E. Sandsynlighedsteori og matematisk statistik: Lærebog. manual for universiteter/V. E. Gmurman. - 9. udg., slettet. - M.: Højere. skole, 2005. - 479 s.: ill.
L3 - Nakhman A.D., Kosenkova I.V. Rækker. Sandsynlighedsteori og matematisk statistik. Metodiske udviklinger. – Tambov: TSTU Publishing House, 2009.
L4 - Plotnikova S.V. Matematik statistik. Metodiske udviklinger. – Tambov: TSTU Publishing House, 2005. (pdf-fil)
Når man løser mange problemer, i stedet for distributionsfunktionen F(x) og p.v. p(x) den karakteristiske funktion anvendes. Ved hjælp af denne egenskab viser det sig at være tilrådeligt, for eksempel at bestemme nogle numeriske karakteristika ved ordet. og z.r. funktioner s.v.
Karakteristisk funktion sl.v. kaldes Fourier-transformationen af dens a.e. p(x):
, (2.6.1)
hvor er parameteren der er argumentet for den karakteristiske funktion, - m.o. sl.v. (se § 2.8.).
Ved at anvende den inverse Fourier-transformation får vi en formel, der bestemmer a.e. sl.v. ved sin karakteristiske funktion
. (2.6.2)
Siden dimensionen p(x) omvendt af dimension x, så er mængden og derfor dimensionsløse. Argumentet har den omvendte dimension x.
Brug af repræsentation (2.5.7) a.e. p(x) i form af en sum af deltafunktioner kan vi udvide formel (1) til diskret r.v.
. (2.6.3)
Nogle gange, i stedet for den karakteristiske funktion, viser det sig at være praktisk at bruge logaritmen af den:
Y
. (2.6.4)
Fungere Y kan kaldes den anden ( logaritmisk)karakteristisk funktion sl.v. .
Lad os bemærke de vigtigste egenskaber ved den karakteristiske funktion.
| |
. (2.6.5)
2. For symmetrisk fordeling, hvornår p(x)= p(-x), den imaginære del i (1) er nul, og derfor er den karakteristiske funktion en reel lige funktion 
. Tværtimod, hvis det kun tager reelle værdier, så er det lige, og den tilsvarende fordeling er symmetrisk.
3. Hvis s.v. er en lineær funktion af r.v. , så bestemmes dens karakteristiske funktion af udtrykket
, (2.6.6)
Hvor -en Og b- permanent.
4. Karakteristisk funktion af summen 
selvstændig s.v. er lig med produktet af termernes karakteristiske funktioner, dvs. hvis
. (2.6.7)
Denne egenskab er især nyttig, da man ellers finder a.e. mængde sl.v. er forbundet med flere gentagelser af foldning, hvilket nogle gange forårsager vanskeligheder.
Under hensyntagen til det entydige forhold mellem fordelingsfunktionen, sandsynlighedstætheden og karakteristisk funktion, kan sidstnævnte således også bruges til at beskrive r.v.
| |
Diskret s.v. kan tage tre værdier (ingen af pulserne er undertrykt), (en puls er undertrykt), (begge pulser er undertrykt). Sandsynligheden for disse værdier er henholdsvis ens:
Du har i øvrigt lige slået til lyd for, at eleven ikke skulle vide noget om ensartet kontinuitet, og nu tilbyder du ham deltafunktioner? Tilstrækkeligt, jeg vil ikke sige noget.
Jeg er glad for at se dig igen om emnet med en vilje til at diskutere uanset de karakteristika, der vedrører mig personligt. Jeg er interesseret i dig. Eleven skal vide alt, hvad han kan spørges om, men først og fremmest skal han mestre begrebssystemet, deres karakterisering og relationerne mellem dem og bør ikke begrænses til den snævre kreds af det afsnit af disciplinen, han er. studerer i øjeblikket og burde heller ikke være en gående opslagsbog , som konstant husker en lang række funktioner, der ikke opfylder den ene eller anden betingelse.
I den oprindelige opgave var det nødvendigt at fastslå, om den givne HF-funktion var en tilfældig variabel. Eleven får sådan en opgave, når begrebet HF introduceres. Og målet med at løse sådanne problemer er at konsolidere en forståelse af forholdet mellem CP og PR, samt at konsolidere viden om egenskaberne ved CP.
Der er to måder at vise, at en given funktion er en HF: enten skal du finde den funktion, der svarer til den ifølge Fourier og kontrollere, at den opfylder normaliseringsbetingelsen og er positiv, eller du skal bevise den ikke-negative bestemthed af den givne. funktion og referer til Bochner-Khinchin-sætningen. Samtidig bidrager brugen af sætninger om at repræsentere en SV i form af en lineær kombination af andre Rademacher SV'er ikke på nogen måde til forståelsen af de grundlæggende egenskaber ved HF; desuden indeholder din løsning, som jeg antydede ovenfor, en tilsløret Fourier-serie, det vil sige, den svarer faktisk til den første metode.
Når det er påkrævet at vise, at en given funktion ikke kan være en HF af nogen SV, så er det nok at fastslå fejlen i en af egenskaberne for HF: en enhedsværdi ved nul, afgrænset modul af én, opnåelse af korrekte værdier for øjeblikke af PDF, ensartet kontinuitet. Kontrol af rigtigheden af værdierne af momenter beregnet gennem en given funktion er matematisk ækvivalent med kontrol af ensartet kontinuitet i den forstand, at manglende opfyldelse af nogen af disse egenskaber kan tjene som det samme grundlag for at anerkende uegnetheden af en given funktion. Kontrol af rigtigheden af øjebliksværdierne er dog formaliseret: differentier og kontroller. Ensartet kontinuitet, i det generelle tilfælde, skal bevises, hvilket gør succesen med at løse et problem afhængig af elevens kreative potentiale, af hans evne til at "gætte".
Som en del af diskussionen om "konstruktionen" af en SV, foreslår jeg at overveje et simpelt problem: lad os konstruere en SV med en HF af formen: 
Hvor
α k | (y)= | MIN | +∞∫ ϕ k | (x) | (x)dx; | ||||||
µk(y) | ∫ (ϕ (x) | f(x)dx. | |||||||||
Karakteristisk funktion af en stokastisk variabel | |||||||||||
Lad Y = e itX, hvor | X - | stokastisk variabel med en kendt lov |
|||||||||
fordeling, t – parameter, i = | − 1. | ||||||||||
Karakteristisk funktion tilfældig variabel Hedder |
|||||||||||
matematisk forventning til funktionen Y = e itX: | |||||||||||
∑ e itx k p k , for DSV, | |||||||||||
k = 1 | |||||||||||
υ X (t) = M = | |||||||||||
∫ e itX f (x )dx , for NSV. | |||||||||||
Altså karakteristikken | υ X(t) | og distributionsloven |
|||||||||
tilfældige variabler er entydigt relaterede Fourier transformation. For eksempel er fordelingstætheden f (x) af en stokastisk variabel X entydigt udtrykt gennem dens karakteristiske funktion vha. invers Fourier-transformation:
f(x)= | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π−∞ ∫ | ||||
Grundlæggende egenskaber ved den karakteristiske funktion: | ||||
Karakteristisk funktion af størrelsen Z = aX + b, hvor X er tilfældig |
||||
værdien af den karakteristiske funktion υ X (t) er lig med | ||||
υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) . | ||||
Det indledende moment af den k. orden af den stokastiske variabel X er lig med | ||||
α k (x )= υ X (k ) (0)i − k , | ||||
hvor υ X (k) (0) er værdien af den k'te afledede af den karakteristiske funktion ved t = 0.
3. Karakteristisk funktion af summen | Y = ∑ X k uafhængig |
k = 1 |
tilfældige variable er lig med produktet af de karakteristiske funktioner af vilkårene:
υ Y(t ) = ∏ υ Xi | (t). | ||
i = 1 | |||
4. Karakteristisk funktion af normal | tilfældig variabel med |
||
parametre m og σ er lig med: | |||
υ X (t) = eitm − | t 2 σ 2 | ||
FOREDRAG 8 Todimensionelle stokastiske variable. Todimensionel distributionslov
En todimensionel tilfældig variabel (X,Y) er et sæt af to endimensionelle tilfældige variable, der tager værdier som et resultat af det samme eksperiment.
Todimensionelle stokastiske variable er karakteriseret ved værdisæt Ω X , Ω Y af deres komponenter og en fælles (todimensionel) distributionslov. Afhængigt af typen af komponenter skelnes X, Y, diskrete, kontinuerte og blandede todimensionelle stokastiske variable.
En todimensionel tilfældig variabel (X, Y) kan repræsenteres geometrisk som et tilfældigt punkt (X, Y) på x0y-planet eller som en tilfældig vektor rettet fra udgangspunktet til punktet (X, Y).
Todimensionel fordelingsfunktion todimensionel tilfældig variabel
(X ,Y ) er lig med sandsynligheden for fælles udførelse af to hændelser (X<х } и {Y < у }:
F(x, y) = p(( X< x} { Y< y} ) .
Geometrisk todimensionel fordelingsfunktion F(x, y)
hit af et tilfældigt punkt (X,Y) i | ||||
endeløs | kvadrant med | at sætte fast |
||
punkt (x,y), der ligger til venstre og under det. | ||||
Komponent X overtog værdierne | ||||
mindre end det reelle tal x, dette er | ||||
fordeling | F X (x), og | |||
Y-komponent – mindre end reel | ||||
tal y, | fordeling | |||
FY(y). | ||||
Egenskaber for den todimensionelle fordelingsfunktion:
1. 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1.
er sandsynligheden
. (x,y)
Bevis. Egenskaben følger af definitionen af fordelingsfunktionen som en sandsynlighed: sandsynlighed er et ikke-negativt tal, der ikke overstiger 1.
2. F (–∞, y) = F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.
3. F (x1,y) < F (x2,y), hvis x2 >x1;F (x,y1) < F (x,y2), hvis y2 >y1.
Bevis. Lad os bevise, at F (x ,y ) er en ikke-aftagende funktion mht
variabel x. Overvej sandsynligheden
p(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
Siden p(X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≤ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
Ligeledes for y.
4. Overgang til endimensionelle egenskaber:
F (x ,∞ )= p (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞ ,y )= p (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. Sandsynlighed for at ramme et rektangulært område | |||||||||||
p (α≤ X ≤ β; δ≤ Υ≤ γ) = | |||||||||||
F (β,γ) -F (β,δ) -F (α,γ) +F (α,δ). | (β,γ) | ||||||||||
Distributionsfunktion - de fleste | |||||||||||
universel | |||||||||||
fordeling | |||||||||||
Brugt | beskrivelser af hvordan | (β,δ) | |||||||||
sammenhængende, | og diskret | (α,δ) | |||||||||
todimensionelle stokastiske variable. | |||||||||||
Fordelingsmatrix
En todimensionel tilfældig variabel (X,Y) er diskret, hvis værdisættene af dens komponenter Ω X og Ω Y er tællelige sæt. For at beskrive de probabilistiske karakteristika for sådanne størrelser anvendes en todimensionel fordelingsfunktion og en fordelingsmatrix.
Fordelingsmatrix er en rektangulær tabel, der indeholder værdierne af komponenten X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ), værdierne af komponenten Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) og sandsynligheden for alle mulige værdipar p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.
xi\yj | ||||
Xi)= ∑ pij,i = 1, ...,n. | ||||
j= 1 | ||||
3. Overgang til sandsynlighedsfordelingsrækken for komponenten Y: | ||||
pj = p (Y = yj) = ∑ pij,j = 1, ...,m. | ||||
i=1
Todimensionel fordelingstæthed
En todimensionel stokastisk variabel (X ,Y ) er kontinuert, hvis den
fordelingsfunktionen F (x,y) er en kontinuerlig, differentierbar funktion for hvert af argumenterne, og der er en anden
blandet derivat ∂ 2 F (x, y).
∂ x ∂y
Todimensionel fordelingstæthed f(x, y ) karakteriserer sandsynlighedstætheden i nærheden af et punkt med koordinater ( x, y ) og er lig med den anden blandede afledte af fordelingsfunktionen:
∫∫ f(x, y) dxdy.
Egenskaber for todimensionel tæthed:
1. f (x ,y )≥ 0.
2. Normaliseringstilstand:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .