Definitionen af den endelige grænse for en sekvens er givet. Beslægtede egenskaber og tilsvarende definition diskuteres. Der gives en definition på, at punkt a ikke er grænsen for rækkefølgen. Der overvejes eksempler, hvor eksistensen af en grænse er bevist ved hjælp af definitionen.
Her vil vi se på definitionen af den endelige grænse for en sekvens. Tilfældet med en sekvens, der konvergerer til det uendelige, diskuteres på siden "Definition af en uendelig stor sekvens".
Definition .
(xn), hvis for et hvilket som helst positivt tal ε > 0
der er et naturligt tal N ε afhængigt af ε, således at for alle naturlige tal n > N ε er uligheden
| x n - a|< ε
.
Sekvensgrænsen er angivet som følger:
.
Eller kl.
Lad os transformere uligheden:
;
;
.
Et åbent interval (a - ε, a + ε) kaldes ε - naboskab til punkt a.
En sekvens, der har en grænse kaldes konvergent sekvens. Det siges også, at rækkefølgen konvergerer til en. En sekvens, der ikke har nogen grænse kaldes divergerende.
Af definitionen følger det, at hvis en sekvens har en grænse a, uanset hvilket ε-kvarter til punkt a vi vælger, uden for den kan der kun være et begrænset antal elementer i sekvensen, eller slet ingen (det tomme sæt) . Og ethvert ε-kvarter indeholder et uendeligt antal elementer. Faktisk, efter at have givet et bestemt tal ε, har vi dermed tallet . Så alle elementer i sekvensen med tal er per definition placeret i ε-nabolaget af punkt a . De første elementer kan placeres hvor som helst. Det vil sige, at der uden for ε-kvarteret ikke kan være mere end elementer - altså et endeligt tal.
Vi bemærker også, at forskellen ikke behøver at monotont vende mod nul, det vil sige falde hele tiden. Det kan have en tendens til at nulstilles ikke-monotont: det kan enten stige eller falde med lokale maksima. Disse maksima bør dog, når n stiger, have en tendens til nul (muligvis heller ikke monotont).
Ved at bruge de logiske symboler på eksistens og universalitet kan definitionen af en grænse skrives som følger:
(1)
.
At fastslå, at a ikke er en grænse
Overvej nu det omvendte udsagn om, at tallet a ikke er grænsen for rækkefølgen.
Nummer a er ikke grænsen for rækkefølgen, hvis der er sådan, at der for ethvert naturligt tal n er sådan et naturligt m > n, Hvad
.
Lad os skrive dette udsagn ved hjælp af logiske symboler.
(2)
.
Udtalelse at nummer a er ikke grænsen for rækkefølgen, betyder at
du kan vælge sådan et ε - naboskab til punkt a, uden for hvilket der vil være et uendeligt antal elementer i sekvensen.
Lad os se på et eksempel. Lad en sekvens med et fælles element være givet
(3)
Ethvert område af et punkt indeholder et uendeligt antal elementer. Dette punkt er dog ikke grænsen for sekvensen, da ethvert område af punktet også indeholder et uendeligt antal elementer. Lad os tage ε - et kvarter til et punkt med ε = 1
. Dette vil være intervallet (-1, +1)
. Alle elementer undtagen det første med lige n hører til dette interval. Men alle elementer med ulige n er uden for dette interval, da de opfylder uligheden x n > 2
. Da antallet af ulige elementer er uendeligt, vil der være et uendeligt antal elementer uden for det valgte kvarter. Derfor er pointen ikke grænsen for sekvensen.
Nu vil vi vise dette under nøje overholdelse af erklæring (2). Pointen er ikke en grænse for rækkefølgen (3), da der eksisterer sådan, at der for enhver naturlig n er en ulige, for hvilken uligheden gælder
.
Det kan også vises, at ethvert punkt a ikke kan være en grænse for denne sekvens. Vi kan altid vælge et ε - naboskab til punkt a, der ikke indeholder hverken punkt 0 eller punkt 2. Og så uden for det valgte naboskab vil der være et uendeligt antal elementer i sekvensen.
Tilsvarende definition
Vi kan give en tilsvarende definition af grænsen for en sekvens, hvis vi udvider begrebet ε - naboskab. Vi vil opnå en ækvivalent definition, hvis den i stedet for et ε-kvarter indeholder et hvilket som helst naboskab til punktet a.
Bestemmelse af området til et punkt
Kvarter til punkt a ethvert åbent interval, der indeholder dette punkt, kaldes. Matematisk defineres nabolaget som følger: , hvor ε 1
og ε 2
- vilkårlige positive tal.
Så vil definitionen af grænsen være som følger.
Tilsvarende definition af sekvensgrænse
Tallet a kaldes sekvensens grænse, hvis der for et kvarter af det er et naturligt tal N, således at alle elementer i sekvensen med tal hører til dette kvarter.
Denne definition kan også præsenteres i udvidet form.
Tallet a kaldes sekvensens grænse, hvis for nogle positive tal og der eksisterer et naturligt tal N afhængigt af og sådan, at ulighederne gælder for alle naturlige tal
.
Bevis for ækvivalens af definitioner
Lad os bevise, at de to definitioner af grænsen for en sekvens præsenteret ovenfor er ækvivalente.
Lad tallet a være grænsen for rækkefølgen ifølge den første definition. Det betyder, at der er en funktion, så for ethvert positivt tal ε er følgende uligheder opfyldt:
(4)
kl.
Lad os vise, at tallet a er grænsen for rækkefølgen ved den anden definition. Det vil sige, at vi skal vise, at der er en sådan funktion, at for alle positive tal ε 1
og ε 2
følgende uligheder er opfyldt:
(5)
kl.
Lad os have to positive tal: ε 1
og ε 2
. Og lad ε være den mindste af dem:. Derefter ; ; . Lad os bruge dette i (5):
.
Men ulighederne er tilfredsstillet for . Så er uligheder (5) også opfyldt for .
Det vil sige, at vi har fundet en funktion, for hvilken uligheder (5) er opfyldt for eventuelle positive tal ε 1
og ε 2
.
Den første del er blevet bevist.
Lad nu tallet a være grænsen for rækkefølgen ifølge den anden definition. Det betyder, at der er en funktion sådan, at for eventuelle positive tal ε 1
og ε 2
følgende uligheder er opfyldt:
(5)
kl.
Lad os vise, at tallet a er grænsen for rækkefølgen ved den første definition. For at gøre dette skal du sætte . Så når følgende uligheder holder:
.
Dette svarer til den første definition med .
Ækvivalensen af definitionerne er blevet bevist.
Eksempler
Her vil vi se på flere eksempler, hvor vi skal bevise, at et givet tal a er grænsen for en sekvens. I dette tilfælde skal du angive et vilkårligt positivt tal ε og definere en funktion N af ε, således at uligheden .
Eksempel 1
Bevis det .
(1)
.
I vores tilfælde;
.
.
Lad os bruge egenskaberne ved uligheder. Så hvis og , så
.
.
Derefter
kl.
Det betyder, at tallet er grænsen for den givne sekvens:
.
Eksempel 2
Brug definitionen af grænsen for en sekvens, bevis det
.
Lad os nedskrive definitionen af grænsen for en sekvens:
(1)
.
I vores tilfælde, ;
.
Indtast positive tal og :
.
Lad os bruge egenskaberne ved uligheder. Så hvis og , så
.
Det vil sige, for enhver positiv kan vi tage ethvert naturligt tal større end eller lig med:
.
Derefter
kl.
.
Eksempel 3
.
Vi introducerer notationen .
Lad os forvandle forskellen:
.
For naturlig n = 1, 2, 3, ...
vi har:
.
Lad os nedskrive definitionen af grænsen for en sekvens:
(1)
.
Indtast positive tal og :
.
Så hvis og , så
.
Det vil sige, for enhver positiv kan vi tage ethvert naturligt tal større end eller lig med:
.
Hvori
kl.
Det betyder, at tallet er grænsen for rækkefølgen:
.
Eksempel 4
Brug definitionen af grænsen for en sekvens, bevis det
.
Lad os nedskrive definitionen af grænsen for en sekvens:
(1)
.
I vores tilfælde, ;
.
Indtast positive tal og :
.
Så hvis og , så
.
Det vil sige, for enhver positiv kan vi tage ethvert naturligt tal større end eller lig med:
.
Derefter
kl.
Det betyder, at tallet er grænsen for rækkefølgen:
.
Referencer:
L.D. Kudryavtsev. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.
I dag i klassen vil vi se på streng sekvensering Og stram definition af grænsen for en funktion, og også lære at løse relevante problemstillinger af teoretisk karakter. Artiklen er primært beregnet til førsteårsstuderende i naturvidenskab og ingeniørspecialiteter, som begyndte at studere teorien om matematisk analyse og stødte på vanskeligheder med at forstå denne del af højere matematik. Derudover er materialet ret tilgængeligt for gymnasieelever.
Gennem årene siden eksisterede, har jeg modtaget et dusin breve med cirka følgende indhold: "Jeg forstår ikke matematisk analyse godt, hvad skal jeg gøre?", "Jeg forstår slet ikke matematik, jeg er overvejer at stoppe mit studie” osv. Og det er faktisk matanen, der ofte tynder ud i elevgruppen efter den første session. Hvorfor er dette tilfældet? Fordi emnet er ufatteligt komplekst? Slet ikke! Teorien om matematisk analyse er ikke så svær, som den er ejendommelig. Og du skal acceptere og elske hende for den hun er =)
Lad os starte med den sværeste sag. Det første og vigtigste er, at du ikke behøver at opgive dine studier. Forstå det rigtigt, du kan altid holde op;-) Selvfølgelig, hvis du efter et år eller to føler dig syg fra dit valgte speciale, så ja, du skal tænke over det (og bliv ikke sur!) om en aktivitetsændring. Men indtil videre er det værd at fortsætte. Og glem venligst sætningen "Jeg forstår ikke noget" - det sker ikke, at du SLET ikke forstår noget.
Hvad skal man gøre, hvis teorien er dårlig? Dette gælder i øvrigt ikke kun for matematisk analyse. Hvis teorien er dårlig, så skal du først SERIØST fokusere på praksis. I dette tilfælde løses to strategiske opgaver på én gang:
– For det første opstod en betydelig del af teoretisk viden gennem praksis. Og derfor forstår mange mennesker teorien gennem... – det er rigtigt! Nej, nej, det tænker du ikke på =)
– Og for det andet vil praktiske færdigheder højst sandsynligt "trække" dig igennem eksamen, selvom... men lad os ikke blive så begejstrede! Alt er ægte og alt kan "hæves" på ret kort tid. Matematisk analyse er min yndlingsdel af højere matematik, og derfor kunne jeg simpelthen ikke lade være med at give dig en hjælpende hånd:
I begyndelsen af 1. semester er sekvensgrænser og funktionsgrænser normalt dækket. Forstår du ikke, hvad disse er, og ved ikke, hvordan du løser dem? Start med artiklen Funktionsgrænser, hvor selve konceptet undersøges "på fingrene", og de simpleste eksempler analyseres. Dernæst gennemarbejde andre lektioner om emnet, herunder en lektion om inden for sekvenser, som jeg faktisk allerede har formuleret en stram definition på.
Hvilke symboler udover ulighedstegn og modul kender du?
– en lang lodret pind lyder således: "sådan det", "sådan det", "sådan det" eller "sådan det", i vores tilfælde taler vi naturligvis om et tal - derfor "sådan det";
– for alle "en" større end ;
– modultegnet betyder afstand, dvs. denne post fortæller os, at afstanden mellem værdier er mindre end epsilon.
Nå, er det dødsens svært? =)
Efter at have mestret praksis, ser jeg frem til at se dig i næste afsnit:
Og faktisk, lad os tænke lidt - hvordan man formulerer en streng definition af sekvens? ...Det første, der kommer til at tænke på i verden praktisk lektion: "grænsen for en sekvens er det antal, som medlemmerne af sekvensen nærmer sig uendeligt tæt på."
Okay, lad os skrive det ned efterfølgen :
Det er ikke svært at forstå det efterfølgen 
nærme sig uendeligt tæt på tallet –1 og lige tal 
- til en".
Eller er der måske to grænser? Men hvorfor kan nogen sekvens så ikke have ti eller tyve af dem? Du kan nå langt på denne måde. I den forbindelse er det logisk at antage det hvis en sekvens har en grænse, så er den unik.
Bemærk : sekvensen har ingen grænse, men der kan skelnes to undersekvenser fra den (se ovenfor), som hver har sin egen grænse.
Ovenstående definition viser sig således at være uholdbar. Ja, det virker til sager som f.eks (som jeg ikke brugte helt korrekt i forenklede forklaringer af praktiske eksempler), men nu skal vi finde en stram definition.
Forsøg to: "grænsen for en sekvens er det antal, som ALLE medlemmer af sekvensen nærmer sig, undtagen måske deres endelig mængder." Dette er tættere på sandheden, men stadig ikke helt nøjagtigt. Altså for eksempel rækkefølgen 
halvdelen af termerne nærmer sig slet ikke nul - de er simpelthen lig med det =) I øvrigt tager det "blinkende lys" generelt to faste værdier.
Formuleringen er ikke svær at afklare, men så opstår et andet spørgsmål: hvordan skriver man definitionen i matematiske symboler? Den videnskabelige verden kæmpede med dette problem i lang tid, indtil situationen var løst berømte maestro, som i det væsentlige formaliserede klassisk matematisk analyse i al dens stringens. Cauchy foreslog operation omgivelser , hvilket forbedrede teorien markant.
Overvej et eller andet punkt og dets vilkårlig-omgivelser:
Værdien af "epsilon" er altid positiv, og desuden, vi har ret til selv at vælge det. Lad os antage, at der i dette kvarter er mange medlemmer (ikke nødvendigvis alle) en eller anden rækkefølge. Hvordan skriver man ned, at for eksempel tiende termin er i nabolaget? Lad det være på højre side af det. Så skal afstanden mellem punkterne og være mindre end "epsilon": . Men hvis "x tiendedel" er placeret til venstre for punkt "a", så vil forskellen være negativ, og derfor skal tegnet tilføjes til det modul: .
Definition: et tal kaldes grænsen for en sekvens if for enhver sine omgivelser (forudvalgt) der er et naturligt tal SÅDAN ALLE medlemmer af sekvensen med højere tal vil være inde i nabolaget:
Eller kort sagt: hvis
Med andre ord, uanset hvor lille "epsilon"-værdien vi tager, vil den "uendelige hale" af sekvensen før eller siden HELT være i dette nabolag.
For eksempel den "uendelige hale" af sekvensen vil FULDSTÆNDIG komme ind i et hvilket som helst vilkårligt lille område af punktet. Så denne værdi er grænsen for sekvensen per definition. Lad mig minde dig om, at en sekvens, hvis grænse er nul, kaldes uendelig lille.
Det skal bemærkes, at for en sekvens er det ikke længere muligt at sige "endeløs hale" vil komme ind“- medlemmer med ulige tal er faktisk lig nul og “gå ikke nogen steder” =) Derfor bruges verbet “vil dukke op” i definitionen. Og selvfølgelig, medlemmerne af en sekvens som denne "går ingen vegne." Tjek forresten, om antallet er grænsen.
Nu vil vi vise, at sekvensen ikke har nogen grænse. Overvej for eksempel et område af punktet. Det er helt klart, at der ikke er et sådant tal, hvorefter ALLE termer ender i et givet kvarter - ulige udtryk vil altid "springe ud" til "minus en". Af samme grund er der ingen grænse på dette punkt.
Lad os konsolidere materialet med praksis:
Eksempel 1
Bevis, at grænsen for sekvensen er nul. Angiv det nummer, hvorefter alle medlemmer af sekvensen er garanteret at være inden for et hvilket som helst vilkårligt lille område af punktet.
Bemærk : For mange sekvenser afhænger det nødvendige naturlige tal af værdien - deraf notationen .
Løsning: overveje vilkårlig er der nogen nummer – sådan at ALLE medlemmer med højere tal vil være i dette nabolag:
For at vise eksistensen af det nødvendige nummer udtrykker vi det gennem .
Da for enhver værdi af "en", kan modultegnet fjernes:
Vi bruger "skole"-handlinger med uligheder, som jeg gentog i klassen Lineære uligheder Og Funktion Domæne. I dette tilfælde er en vigtig omstændighed, at "epsilon" og "en" er positive:
Da vi taler om naturlige tal til venstre, og højre side generelt er fraktioneret, skal det afrundes:
Bemærk : nogle gange tilføjes en enhed til højre for at være på den sikre side, men i virkeligheden er dette overkill. Relativt set, hvis vi svækker resultatet ved at runde ned, så vil det nærmeste passende tal (“tre”) stadig opfylde den oprindelige ulighed.
Nu ser vi på ulighed og husker, hvad vi oprindeligt overvejede vilkårlig-kvarter, dvs. "epsilon" kan være lig med nogen som helst et positivt tal.
Konklusion: for ethvert vilkårligt lille -nabolag af et punkt blev værdien fundet 
. Således er et tal per definition grænsen for en sekvens. Q.E.D.
Forresten, fra det opnåede resultat 
et naturligt mønster er tydeligt synligt: Jo mindre kvarteret er, jo større er tallet, hvorefter ALLE medlemmer af sekvensen vil være i dette kvarter. Men uanset hvor lille "epsilonen" er, vil der altid være en "uendelig hale" inde og ude - også selvom den er stor endelig antal medlemmer.
Hvordan er dine indtryk? =) Jeg er enig i, at det er lidt mærkeligt. Men strengt taget! Læs venligst igen og tænk over alt igen.
Lad os se på et lignende eksempel og stifte bekendtskab med andre tekniske teknikker:
Eksempel 2
Løsning: ved definition af en sekvens er det nødvendigt at bevise det (sig det højt!!!).
Lad os overveje vilkårlig-nabolag af punkt og check, eksisterer det naturligt tal – sådan at for alle større tal gælder følgende ulighed: 
For at vise eksistensen af en sådan skal du udtrykke "en" gennem "epsilon". Vi forenkler udtrykket under modultegnet: 
Modulet ødelægger minustegnet: 
Nævneren er positiv for enhver "en", derfor kan pindene fjernes:
Bland: 
Nu skal vi udtrække kvadratroden, men fangsten er, at for nogle "epsilon" vil højre side være negativ. For at undgå disse problemer lad os styrke ulighed efter modul: 
Hvorfor kan dette lade sig gøre? Hvis det relativt set viser sig, at , så vil betingelsen også være opfyldt. Modulet kan bare øgeønsket nummer, og det passer også til os! Groft sagt, hvis den hundrededel er passende, så er den tohundrededel også egnet! Ifølge definitionen skal du vise selve det faktum, at nummeret eksisterer(mindst nogle), hvorefter alle medlemmer af sekvensen vil være i -nabolaget. Det er i øvrigt derfor, vi ikke er bange for den sidste runding af højre side opad.
Udtræk af roden: 
Og rund resultatet: 
Konklusion: fordi værdien "epsilon" blev valgt vilkårligt, så for ethvert vilkårligt lille kvarter af punktet blev værdien fundet 
, sådan at for alle større tal gælder uligheden 
. Dermed, 
a-priory. Q.E.D.
jeg rådgiver især at forstå styrkelsen og svækkelsen af uligheder er en typisk og meget almindelig teknik i matematisk analyse. Det eneste, du skal overvåge, er rigtigheden af denne eller hin handling. Altså for eksempel ulighed 
det er under ingen omstændigheder muligt løsne, fratrække, sige, en: 
Igen, betinget: Hvis tallet passer nøjagtigt, så passer det forrige muligvis ikke længere.
Følgende eksempel for en uafhængig løsning:
Eksempel 3
Brug definitionen af en sekvens, bevis det 
En kort løsning og svar i slutningen af lektionen.
Hvis rækkefølgen uendelig stor, så er definitionen af en grænse formuleret på lignende måde: et punkt kaldes en grænse for en sekvens, hvis for nogen, så stor som du vil antal, er der et tal, således at for alle større tal vil uligheden være opfyldt. Nummeret ringes op nærhed af punktet "plus uendelig":
Med andre ord, uanset hvor stor værdien vi tager, vil den "uendelige hale" af sekvensen nødvendigvis gå ind i -nabolaget af punktet, hvilket kun efterlader et begrænset antal led til venstre.
Standard eksempel:
Og forkortet notation: , if
Skriv selv definitionen ned. Den korrekte version er i slutningen af lektionen.
Når du har fået hovedet omkring praktiske eksempler og fundet ud af definitionen af grænsen for en sekvens, kan du henvende dig til litteraturen om calculus og/eller din forelæsningsbog. Jeg anbefaler at downloade bind 1 af Bohan (enklere - for korrespondancestuderende) og Fichtenholtz (mere detaljeret og detaljeret). Blandt andre forfattere anbefaler jeg Piskunov, hvis kursus henvender sig til tekniske universiteter.
Prøv samvittighedsfuldt at studere de teoremer, der vedrører rækkefølgens grænse, deres beviser, konsekvenser. I starten kan teorien virke "overskyet", men det er normalt - du skal bare vænne dig til det. Og mange vil endda få smag for det!
Strenge definition af grænsen for en funktion
Lad os starte med det samme – hvordan formulerer man dette koncept? Den verbale definition af grænsen for en funktion er formuleret meget enklere: "et tal er grænsen for en funktion, hvis "x" har en tendens til (både venstre og højre), de tilsvarende funktionsværdier har en tendens til » (se tegning). Alt ser ud til at være normalt, men ord er ord, mening er mening, et ikon er et ikon, og der er ikke nok strenge matematiske notationer. Og i andet afsnit vil vi stifte bekendtskab med to tilgange til at løse dette problem.
Lad funktionen defineres på et bestemt interval, med mulig undtagelse af punktet. I pædagogisk litteratur er det almindeligt accepteret, at funktionen der Ikke defineret: 
Dette valg understreger essensen af grænsen for en funktion: "x" uendeligt tæt på tilgange , og de tilsvarende værdier for funktionen er uendeligt tæt på Til . Med andre ord indebærer begrebet en grænse ikke "nøjagtig tilgang" til point, men nemlig uendelig tæt tilnærmelse, er det lige meget om funktionen er defineret på punktet eller ej.
Den første definition af grænsen for en funktion er, ikke overraskende, formuleret ved hjælp af to sekvenser. For det første er begreberne relaterede, og for det andet studeres funktionsgrænser normalt efter sekvensgrænser.
Overvej rækkefølgen 
point (ikke på tegningen), der hører til intervallet og forskellig fra, hvilken konvergerer Til . Så danner de tilsvarende funktionsværdier også en numerisk sekvens, hvis medlemmer er placeret på ordinataksen.
Grænse for en funktion ifølge Heine for enhver rækkefølge af punkter 
(tilhørende og forskellig fra), som konvergerer til punktet , konvergerer den tilsvarende sekvens af funktionsværdier til .
Eduard Heine er en tysk matematiker. ...Og der er ingen grund til at tænke sådan noget, der er kun én homoseksuel i Europa - Gay-Lussac =)
Den anden definition af grænsen blev skabt... ja, ja, du har ret. Men lad os først forstå dets design. Overvej et vilkårligt kvarter af punktet ("sort" kvarter). Baseret på det foregående afsnit betyder posten, at en vis værdi funktion er placeret inde i "epsilon"-kvarteret.
Nu finder vi det -kvarter, der svarer til det givne -kvarter (tegn mentalt sorte stiplede linjer fra venstre mod højre og derefter fra top til bund). Bemærk, at værdien er valgt langs længden af det mindre segment, i dette tilfælde - langs længden af det kortere venstre segment. Desuden kan "hindbær"-kvarteret til et punkt endda reduceres, da i den følgende definition selve eksistensen er vigtig dette kvarter. Og på samme måde betyder notationen, at en vis værdi er inden for "delta"-kvarteret.
Cauchy funktionsgrænse: et tal kaldes grænsen for en funktion ved et punkt if for enhver forudvalgt kvarter (så lille du kan lide), eksisterer- punktets kvarter, SÅDAN, at: SOM KUN værdier (tilhører) inkluderet i dette område: (røde pile)– SÅ STRAKS vil de tilsvarende funktionsværdier med garanti komme ind i -kvarteret: (blå pile).
Jeg må advare dig om, at jeg for overskuelighedens skyld improviserede lidt, så overbrug ikke =)
Kort indtastning: , hvis
Hvad er essensen af definitionen? Billedligt talt, ved at formindske -nabolaget uendeligt, "ledsagerer" vi funktionsværdierne til deres grænse, og efterlader dem ikke noget alternativ til at henvende sig et andet sted. Helt usædvanligt, men igen strengt! For fuldt ud at forstå ideen, genlæse ordlyden igen.
! Opmærksomhed: hvis du kun skal formulere dig Heines definition eller bare Cauchy definition glem det ikke væsentlig foreløbige kommentarer: "Betragt en funktion, der er defineret på et bestemt interval, med den mulige undtagelse af et punkt". Jeg sagde det en gang i begyndelsen og gentog det ikke hver gang.
Ifølge den tilsvarende teorem for matematisk analyse er Heine- og Cauchy-definitionerne ækvivalente, men den anden mulighed er den mest berømte (ville stadig!), som også kaldes "sproggrænsen":
Eksempel 4
Brug definitionen af grænse, bevis det 
Løsning: funktionen er defineret på hele tallinjen undtagen punktet. Ved hjælp af definitionen beviser vi eksistensen af en grænse på et givet punkt.
Bemærk : værdien af "delta"-kvarteret afhænger af "epsilon", deraf betegnelsen
Lad os overveje vilkårlig-omgivelser. Opgaven er at bruge denne værdi til at kontrollere, om eksisterer det-omgivelser, SÅDAN, som fra uligheden 
ulighed følger 
.
Forudsat at , transformerer vi den sidste ulighed: 
(udvidede det kvadratiske trinomium)
Konstant tal EN hedder begrænse sekvenser(x n ), hvis for et hvilket som helst vilkårligt lille positivt talε > 0 der er et tal N, der har alle værdierne x n, for hvilke n>N, opfylder uligheden
|x n - a|< ε. (6.1)
Skriv det ned som følger: eller x n → en.
Ulighed (6.1) svarer til den dobbelte ulighed
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
hvilket betyder, at pointene x n, startende fra et tal n>N, ligger inden for intervallet (a- e, a+ e ), dvs. falde i nogen småε -naboskab af et punkt EN.
En sekvens med en grænse kaldes konvergent, Ellers - divergerende.
Begrebet funktionsgrænse er en generalisering af begrebet sekvensgrænse, da grænsen for en sekvens kan betragtes som grænsen for en funktion x n = f(n) af et heltalsargument n.
Lad funktionen f(x) være givet og lad -en - grænsepunkt definitionsdomæne for denne funktion D(f), dvs. et sådant punkt, hvor ethvert kvarter indeholder punkter i mængden D(f) bortset fra -en. Prik -en kan eller kan ikke tilhøre mængden D(f).
Definition 1.Det konstante tal A kaldes begrænse funktioner f(x) på x→a, hvis for en sekvens (x n ) af argumentværdier, der har tendens til EN, har de tilsvarende sekvenser (f(x n)) den samme grænse A.
Denne definition kaldes ved at definere grænsen for en funktion ifølge Heine, eller " i rækkefølge sprog”.
Definition 2. Det konstante tal A kaldes begrænse funktioner f(x) på x→a, hvis, ved at angive et vilkårligt vilkårligt lille positivt tal ε, kan man finde sådanne δ>0 (afhængig af ε), som er for alle x, liggende iε-kvarterer af nummeret EN, dvs. Til x, der tilfredsstiller uligheden
0 <
x-a< ε
, vil værdierne af funktionen f(x) ligge iε-kvarter af tallet A, dvs.|f(x)-A|<
ε.
Denne definition kaldes ved at definere grænsen for en funktion ifølge Cauchy, eller “på sproget ε - δ “.
Definition 1 og 2 er ækvivalente. Hvis funktionen f(x) som x →a har begrænse, lig med A, skrives dette i formen
. (6.3)
I tilfælde af at sekvensen (f(x n)) stiger (eller falder) uden begrænsning for nogen tilnærmelsesmetode x til din grænse EN, så vil vi sige, at funktionen f(x) har uendelig grænse, og skriv det i formularen:
En variabel (dvs. en sekvens eller funktion), hvis grænse er nul kaldes uendeligt lille.
En variabel, hvis grænse er lig med uendelig, kaldes uendelig stor.
For at finde grænsen i praksis anvendes følgende sætninger.
Sætning 1 . Hvis enhver grænse eksisterer
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Kommentar. Udtryk som 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - er usikre, for eksempel forholdet mellem to uendeligt små eller uendeligt store mængder, og at finde en grænse af denne type kaldes "afdækning af usikkerheder."
Sætning 2. (6.7)
de der. man kan gå til grænsen baseret på effekten med en konstant eksponent, især, 
;
(6.8)
(6.9)
Sætning 3.
(6.10)
(6.11)
Hvor e » 2,7 - basis af naturlig logaritme. Formlerne (6.10) og (6.11) kaldes de første vidunderlig grænse og den anden bemærkelsesværdige grænse.
Konsekvenserne af formel (6.11) bruges også i praksis:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
især grænsen,
Hvis x → a og samtidig x > a, så skriv x→a + 0. Hvis især a = 0, så skriv +0 i stedet for symbolet 0+0. Tilsvarende hvis x→a og på samme tid x 
og kaldes i overensstemmelse hermed højre grænse Og venstre grænse funktioner f(x) på punktet EN. For at der skal være en grænse for funktionen f(x) som x→a er nødvendigt og tilstrækkeligt, således at 
. Funktionen f(x) kaldes sammenhængende på punktet x 0 hvis grænse
. (6.15)
Betingelse (6.15) kan omskrives som:
,
det vil sige, at passage til grænsen under tegnet af en funktion er mulig, hvis den er kontinuert i et givet punkt.
Hvis ligestillingen (6.15) krænkes, så siger vi det på x = xo fungere f(x) Det har hul Overvej funktionen y = 1/x. Definitionsdomænet for denne funktion er sættet R, bortset fra x = 0. Punktet x = 0 er et grænsepunkt for mængden D(f), da i et hvilket som helst naboskab af det, dvs. i ethvert åbent interval, der indeholder punktet 0, er der punkter fra D(f), men det tilhører ikke selv dette sæt. Værdien f(x o)= f(0) er ikke defineret, så i punktet x o = 0 har funktionen en diskontinuitet.
Funktionen f(x) kaldes kontinuerligt til højre ved punktet x o hvis grænsen
,
Og gennemgående til venstre ved punktet x o, hvis grænsen
.
Kontinuitet af en funktion i et punkt xo svarer til dens kontinuitet på dette punkt både til højre og til venstre.
For at funktionen skal være kontinuerlig på punktet xo, for eksempel til højre, er det nødvendigt for det første, at der er en endelig grænse, og for det andet, at denne grænse er lig med f(x o). Derfor, hvis mindst én af disse to betingelser ikke er opfyldt, vil funktionen have en diskontinuitet.
1. Hvis grænsen eksisterer og ikke er lig med f(x o), så siger de det fungere f(x) på punktet x o har brud af den første slags, eller springe.
2. Hvis grænsen er+∞ eller -∞ eller eksisterer ikke, så siger de det i punkt xo funktionen har en diskontinuitet anden slags.
For eksempel funktion y = barneseng x ved x→ +0 har en grænse lig med +∞, hvilket betyder, at den i punktet x=0 har en diskontinuitet af den anden slags. Funktion y = E(x) (heltalsdel af x) på punkter med hele abscisser har diskontinuiteter af den første slags, eller spring.
En funktion, der er kontinuerlig på hvert punkt i intervallet, kaldes sammenhængende V . En kontinuert funktion er repræsenteret ved en fast kurve.
Mange problemer forbundet med den fortsatte vækst af en vis mængde fører til den anden bemærkelsesværdige grænse. Sådanne opgaver omfatter fx: vækst af forekomster efter renters rentelov, vækst i landets befolkning, henfald af radioaktive stoffer, spredning af bakterier mv.
Lad os overveje eksempel på Ya. I. Perelman, hvilket giver en fortolkning af nummeret e i renters renteproblematikken. Nummer e der er en grænse 
. I sparekasser tillægges rentepenge til den anlægskapital, der årligt er. Hvis tiltrædelsen foretages oftere, vokser kapitalen hurtigere, da et større beløb er involveret i rentedannelsen. Lad os tage et rent teoretisk, meget forenklet eksempel. Lad 100 deniers blive indsat i banken. enheder baseret på 100 % om året. Hvis rentepenge først tillægges den faste kapital efter et år, så til denne periode 100 den. enheder vil blive til 200 monetære enheder. Lad os nu se, hvad 100 denize bliver til. enheder, hvis der tilføres rentepenge til fast kapital hvert halve år. Efter seks måneder, 100 den. enheder vil vokse til 100×
1,5 = 150, og efter yderligere seks måneder - 150×
1,5 = 225 (den. enheder). Sker tiltrædelsen hver 1/3 af året, så efter et år 100 den. enheder bliver til 100× (1 +1/3) 3" 237 (den. enheder). Vi hæver vilkårene for at tilføje rentepenge til 0,1 år, til 0,01 år, til 0,001 år osv. Så ud af 100 den. enheder efter et år vil det være:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. enheder),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den.enheder),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. enheder).
Med en ubegrænset nedsættelse af vilkårene for tillæg af renter vokser den opsparede kapital ikke i det uendelige, men nærmer sig en vis grænse svarende til ca. blev tilføjet hovedstaden hvert sekund, fordi grænsen
Eksempel 3.1.Brug definitionen af grænsen for en talrække, og bevis, at rækkefølgen x n =(n-1)/n har en grænse lig med 1.
Løsning.Det skal vi bevise, uanset hvadε > 0, uanset hvad vi tager, for det er der et naturligt tal N, således at uligheden gælder for alle n N|xn-1|< ε.
Lad os tage enhver e > 0. Siden ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, så for at finde N er det nok at løse uligheden 1/n< e. Derfor n>1/ e og derfor kan N tages som en heltal del af 1/ e, N = E(1/e ). Vi har dermed bevist, at grænsen.
Eksempel 3.2
. Find grænsen for en rækkefølge givet af et fælles led 
.
Løsning.Lad os anvende grænsen for sumsætningen og finde grænsen for hvert led. Når n→ ∞ tælleren og nævneren for hvert led har en tendens til uendelig, og vi kan ikke direkte anvende kvotientgrænsesætningen. Derfor transformerer vi først x n, dividere tælleren og nævneren for det første led med n 2, og den anden på n. Ved at anvende grænsen for kvotienten og grænsen for sumsætningen finder vi:
.
Eksempel 3.3. 
. Find .
Løsning. 
.
Her brugte vi gradgrænsesætningen: grænsen for en grad er lig med graden af grænsen for basen.
Eksempel 3.4
. Find ( 
).
Løsning.Det er umuligt at anvende differensgrænsesætningen, da vi har en usikkerhed på formen ∞-∞ . Lad os omdanne den generelle udtryksformel:
.
Eksempel 3.5 . Funktionen f(x)=2 1/x er givet. Bevis, at der ikke er nogen grænse.
Løsning.Lad os bruge definition 1 af grænsen for en funktion gennem en sekvens. Lad os tage en sekvens ( x n ), der konvergerer til 0, dvs. Lad os vise, at værdien f(x n)= opfører sig forskelligt for forskellige sekvenser. Lad x n = 1/n. Selvfølgelig, så grænsen 
Lad os nu vælge som x n en sekvens med et fælles led x n = -1/n, som også har en tendens til nul. 
Derfor er der ingen grænse.
Eksempel 3.6 . Bevis, at der ikke er nogen grænse.
Løsning.Lad x 1 , x 2 ,..., x n ,... være en sekvens for hvilken
. Hvordan opfører sekvensen (f(x n)) = (sin x n) sig for forskellige x n → ∞
Hvis x n = p n, så er sin x n = sin p n = 0 for alle n og grænsen If
xn=2 p n+ p /2, så sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 for alle n og dermed grænsen. Så det eksisterer ikke.
Widget til beregning af grænser online
I det øverste vindue skal du i stedet for sin(x)/x indtaste den funktion, hvis grænse du vil finde. I det nederste vindue skal du indtaste det tal, som x har en tendens til, og klik på knappen Calcular, få den ønskede grænse. Og hvis du i resultatvinduet klikker på Vis trin i øverste højre hjørne, får du en detaljeret løsning.
Regler for indtastning af funktioner: sqrt(x) - kvadratrod, cbrt(x) - terningrod, exp(x) - eksponent, ln(x) - naturlig logaritme, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangent, cot(x) - cotangens, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tegn: * multiplikation, / division, ^ eksponentiering, i stedet uendelighed Uendelighed. Eksempel: funktionen indtastes som sqrt(tan(x/2)).
Matematik er den videnskab, der bygger verden. Både videnskabsmanden og den almindelige mand - ingen kan undvære det. Først bliver små børn undervist i at tælle, derefter addere, trække fra, gange og dividere; ved ungdomsskolen kommer bogstavsymboler i spil, og i gymnasiet kan de ikke længere undgås.
Men i dag vil vi tale om, hvad al kendt matematik er baseret på. Om et fællesskab af tal kaldet "sekvensgrænser".
Hvad er sekvenser, og hvor er deres grænse?
Betydningen af ordet "sekvens" er ikke svær at fortolke. Dette er et arrangement af ting, hvor nogen eller noget er placeret i en bestemt rækkefølge eller kø. For eksempel er køen til billetter til zoologisk have en sekvens. Og der kan kun være én! Hvis du for eksempel ser på køen i butikken, er dette én sekvens. Og hvis en person fra denne kø pludselig forlader, så er dette en anden kø, en anden rækkefølge.
Ordet "grænse" er også let at fortolke - det er enden på noget. Men i matematik er grænserne for sekvenser de værdier på tallinjen, som en talfølge har en tendens til. Hvorfor stræber det og slutter ikke? Det er enkelt, tallinjen har ingen ende, og de fleste sekvenser, som stråler, har kun en begyndelse og ser sådan ud:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Derfor er definitionen af en sekvens en funktion af det naturlige argument. Med enklere ord er dette en række medlemmer af et bestemt sæt.
Hvordan er talrækken opbygget?
Et simpelt eksempel på en talrække kunne se sådan ud: 1, 2, 3, 4, …n...
I de fleste tilfælde, til praktiske formål, er sekvenser bygget af tal, og hvert næste medlem af serien, lad os betegne det X, har sit eget navn. For eksempel:
x 1 er det første medlem af sekvensen;
x 2 er det andet led i sekvensen;
x 3 er det tredje led;
x n er det n. led.
I praktiske metoder er rækkefølgen givet af en generel formel, hvori der er en bestemt variabel. For eksempel:
X n =3n, så vil selve talrækken se sådan ud:
Det er værd at huske, at når du skriver sekvenser generelt, kan du bruge alle latinske bogstaver, ikke kun X. For eksempel: y, z, k osv.
Aritmetisk progression som en del af sekvenser
Før man leder efter sekvensernes grænser, er det tilrådeligt at kaste sig dybere ned i selve konceptet med sådan en nummerserie, som alle stødte på, da de gik i mellemskolen. En aritmetisk progression er en række tal, hvor forskellen mellem tilstødende led er konstant.
Problem: "Lad a 1 = 15, og progressionstrinnet i talserien d = 4. Konstruer de første 4 led i denne serie"
Løsning: a 1 = 15 (efter betingelse) er det første led i progressionen (talrækken).
og 2 = 15+4=19 er det andet led i progressionen.
og 3 =19+4=23 er det tredje led.
og 4 =23+4=27 er det fjerde led.
Men ved at bruge denne metode er det svært at nå store værdier, for eksempel op til en 125. . Specielt for sådanne tilfælde blev der udledt en formel, der var praktisk til praksis: a n =a1 +d(n-1). I dette tilfælde er en 125 =15+4(125-1)=511.
Typer af sekvenser
De fleste af sekvenserne er uendelige, det er værd at huske resten af dit liv. Der er to interessante typer af talserier. Den første er givet ved formlen a n =(-1) n. Matematikere kalder ofte denne sekvens for en blink. Hvorfor? Lad os tjekke dens nummerserie.
1, 1, -1, 1, -1, 1 osv. Med et eksempel som dette bliver det tydeligt, at tal i sekvenser sagtens kan gentages.
Faktoriel rækkefølge. Det er nemt at gætte - formlen, der definerer rækkefølgen, indeholder en faktor. For eksempel: a n = (n+1)!
Så ser sekvensen således ud:
a2 = 1x2x3 = 6;
og 3 = 1x2x3x4 = 24 osv.
En sekvens defineret af en aritmetisk progression kaldes uendeligt aftagende, hvis uligheden -1 er opfyldt for alle dens led og 3 = - 1/8 osv. Der er endda en sekvens bestående af det samme tal. Så n =6 består af et uendeligt antal seksere. Sekvensgrænser har længe eksisteret i matematik. Selvfølgelig fortjener de deres eget kompetente design. Så, tid til at lære definitionen af sekvensgrænser. Lad os først se på grænsen for en lineær funktion i detaljer: Det er let at forstå, at definitionen af grænsen for en sekvens kan formuleres som følger: dette er et vist tal, som alle medlemmer af sekvensen nærmer sig uendeligt. Et simpelt eksempel: a x = 4x+1. Så vil selve sekvensen se sådan ud. 5, 9, 13, 17, 21…x… Således vil denne sekvens øges i det uendelige, hvilket betyder, at dens grænse er lig med uendelig som x→∞, og den skal skrives sådan: Hvis vi tager en lignende sekvens, men x har en tendens til 1, får vi: Og rækken af tal vil være sådan: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 osv. Hver gang skal du erstatte tallet tættere på én (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Fra denne serie er det klart, at grænsen for funktionen er fem. Fra denne del er det værd at huske, hvad grænsen for en numerisk sekvens er, definitionen og metoden til at løse simple problemer. Efter at have undersøgt grænsen for en talsekvens, dens definition og eksempler, kan du gå videre til et mere komplekst emne. Absolut alle grænser for sekvenser kan formuleres med én formel, som normalt analyseres i første semester. Så hvad betyder dette sæt bogstaver, moduler og ulighedstegn? ∀ er en universel kvantifier, der erstatter sætningerne "for alle", "for alt" osv. ∃ er en eksistentiel kvantifier, i dette tilfælde betyder det, at der er en eller anden værdi N, der hører til mængden af naturlige tal. En lang lodret pind efter N betyder, at det givne sæt N er "sådan." I praksis kan det betyde ”sådan det”, ”sådan det” osv. For at forstærke materialet skal du læse formlen højt. Metoden til at finde grænsen for sekvenser, som blev diskuteret ovenfor, selvom den er enkel at bruge, er ikke så rationel i praksis. Prøv at finde grænsen for denne funktion: Hvis vi erstatter forskellige værdier af "x" (stiger hver gang: 10, 100, 1000 osv.), så får vi ∞ i tælleren, men også ∞ i nævneren. Dette resulterer i en ret mærkelig brøkdel: Men er det virkelig sådan? At beregne grænsen for en talrække i dette tilfælde virker ret let. Det ville være muligt at lade alt være som det er, fordi svaret er klar, og det er modtaget under rimelige betingelser, men der er en anden måde specifikt for sådanne sager. Lad os først finde den højeste grad i brøkens tæller - dette er 1, da x kan repræsenteres som x 1. Lad os nu finde den højeste grad i nævneren. Også 1. Lad os dividere både tælleren og nævneren med variablen i højeste grad. I dette tilfælde skal du dividere brøken med x 1. Dernæst vil vi finde ud af, hvilken værdi hvert led, der indeholder en variabel, har en tendens til. I dette tilfælde overvejes fraktioner. Som x→∞ har værdien af hver brøk en tendens til nul. Når du indsender dit arbejde skriftligt, skal du lave følgende fodnoter: Dette resulterer i følgende udtryk: De brøker, der indeholder x, blev naturligvis ikke til nul! Men deres værdi er så lille, at det er helt tilladt ikke at tage hensyn til det i beregninger. Faktisk vil x aldrig være lig med 0 i dette tilfælde, fordi du ikke kan dividere med nul. Antag, at professoren har til sin rådighed en kompleks sekvens, givet af en lige så kompleks formel. Professoren har fundet svaret, men er det rigtigt? Når alt kommer til alt, begår alle mennesker fejl. Auguste Cauchy fandt engang på en fremragende måde at bevise grænserne for sekvenser. Hans metode blev kaldt nabolagsmanipulation. Antag, at der er et bestemt punkt a, dets naboskab i begge retninger på tallinjen er lig med ε ("epsilon"). Da den sidste variabel er afstand, er dens værdi altid positiv. Lad os nu definere en sekvens x n og antage, at det tiende led i sekvensen (x 10) er inkluderet i nærheden af a. Hvordan kan vi skrive dette faktum i matematisk sprog? Lad os sige, at x 10 er til højre for punkt a, derefter afstanden x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Nu er det tid til i praksis at forklare formelen diskuteret ovenfor. Det er rimeligt at kalde et bestemt tal for endepunktet af en sekvens, hvis uligheden ε>0 for en af dens grænser er opfyldt, og hele nabolaget har sit eget naturlige tal N, således at alle medlemmer af sekvensen med højere tal vil være inde i rækkefølgen |x n - a|< ε. Med en sådan viden er det nemt at løse rækkefølgegrænserne, bevise eller modbevise det færdige svar. Sætninger om sekvensernes grænser er en vigtig komponent i teorien, uden hvilken praksis er umulig. Der er kun fire hovedsætninger, der husker, hvilke kan gøre løsningen eller beviset meget nemmere: Nogle gange er du nødt til at løse et omvendt problem for at bevise en given grænse for en numerisk rækkefølge. Lad os se på et eksempel. Bevis, at grænsen for rækkefølgen givet af formlen er nul. Ifølge reglen diskuteret ovenfor er uligheden |x n - a| for enhver sekvens<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Lad os udtrykke n gennem "epsilon" for at vise eksistensen af et bestemt tal og bevise tilstedeværelsen af en grænse for sekvensen. På dette tidspunkt er det vigtigt at huske, at "epsilon" og "en" er positive tal og ikke er lig med nul. Nu er det muligt at fortsætte yderligere transformationer ved at bruge den viden om uligheder, man har opnået i gymnasiet. Hvordan viser det sig, at n > -3 + 1/ε. Da det er værd at huske på, at vi taler om naturlige tal, kan resultatet afrundes ved at sætte det i firkantede parenteser. Det blev således bevist, at for enhver værdi af "epsilon"-kvarteret af punktet a = 0, blev der fundet en værdi, således at den oprindelige ulighed er opfyldt. Herfra kan vi roligt sige, at tallet a er grænsen for en given sekvens. Q.E.D. Denne bekvemme metode kan bruges til at bevise grænsen for en numerisk sekvens, uanset hvor kompleks den kan være ved første øjekast. Det vigtigste er ikke at gå i panik, når du ser opgaven. Eksistensen af en konsistensgrænse er ikke nødvendig i praksis. Du kan nemt støde på rækker af tal, der virkelig ingen ende har. For eksempel, det samme "blinkende lys" x n = (-1) n. det er indlysende, at en sekvens bestående af kun to cifre, gentaget cyklisk, ikke kan have en grænse. Den samme historie gentages med sekvenser bestående af ét tal, brøkdele, med usikkerhed af enhver rækkefølge under beregninger (0/0, ∞/∞, ∞/0 osv.). Det skal dog huskes, at der også forekommer forkerte beregninger. Nogle gange vil dobbelttjek af din egen løsning hjælpe dig med at finde rækkefølgegrænsen. Adskillige eksempler på sekvenser og metoder til at løse dem blev diskuteret ovenfor, og lad os nu prøve at tage et mere specifikt tilfælde og kalde det en "monotonisk sekvens." Definition: enhver sekvens kan med rette kaldes monotont stigende, hvis den strenge ulighed x n gælder for det< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn+1. Sammen med disse to forhold er der også lignende ikke-strenge uligheder. Følgelig er xn ≤ xn+1 (ikke-aftagende sekvens) og xn ≥ xn+1 (ikke-stigende sekvens). Men det er nemmere at forstå dette med eksempler. Rækkefølgen givet af formlen x n = 2+n danner følgende talrække: 4, 5, 6 osv. Dette er en monotont stigende rækkefølge. Og hvis vi tager x n =1/n, får vi rækken: 1/3, ¼, 1/5 osv. Dette er en monotont aftagende sekvens. En afgrænset sekvens er en sekvens, der har en grænse. En konvergent sekvens er en række tal, der har en uendelig grænse. Grænsen for en afgrænset sekvens er således et hvilket som helst reelt eller komplekst tal. Husk at der kun kan være én grænse. Grænsen for en konvergent sekvens er en uendelig lille (reel eller kompleks) størrelse. Hvis du tegner et sekvensdiagram, vil det på et bestemt tidspunkt synes at konvergere, have tendens til at blive til en bestemt værdi. Deraf navnet - konvergent sekvens. Der kan være en grænse for en sådan sekvens. For det første er det nyttigt at forstå, hvornår det eksisterer; herfra kan du starte med at bevise fraværet af en grænse. Blandt monotone sekvenser skelnes konvergent og divergent. Konvergent er en sekvens, der er dannet af mængden x og har en reel eller kompleks grænse i dette sæt. Divergent er en sekvens, der ikke har nogen grænse i sit sæt (hverken reel eller kompleks). Desuden konvergerer sekvensen, hvis dens øvre og nedre grænser konvergerer i en geometrisk repræsentation. Grænsen for en konvergent sekvens kan være nul i mange tilfælde, da enhver infinitesimal sekvens har en kendt grænse (nul). Uanset hvilken konvergent sekvens du tager, er de alle afgrænsede, men ikke alle afgrænsede sekvenser konvergerer. Summen, forskellen, produktet af to konvergente sekvenser er også en konvergent sekvens. Kvotienten kan dog også være konvergent, hvis den er defineret! Sekvensgrænser er lige så signifikante (i de fleste tilfælde) som cifre og tal: 1, 2, 15, 24, 362 osv. Det viser sig, at nogle operationer kan udføres med grænser. For det første, ligesom cifre og tal, kan grænserne for enhver sekvens tilføjes og trækkes fra. Baseret på den tredje sætning om sekvensernes grænser gælder følgende lighed: grænsen for summen af sekvenser er lig med summen af deres grænser. For det andet, baseret på den fjerde sætning om sekvensernes grænser, er følgende lighed sand: grænsen for produktet af det n'te antal sekvenser er lig med produktet af deres grænser. Det samme gælder for division: grænsen for kvotienten af to sekvenser er lig med kvotienten af deres grænser, forudsat at grænsen ikke er nul. Når alt kommer til alt, hvis grænsen for sekvenser er lig med nul, vil division med nul resultere, hvilket er umuligt. Det ser ud til, at grænsen for den numeriske sekvens allerede er blevet diskuteret i nogen detaljer, men sætninger som "uendeligt små" og "uendeligt store" tal er nævnt mere end én gang. Det er klart, hvis der er en sekvens 1/x, hvor x→∞, så er en sådan brøk uendelig, og hvis den samme sekvens, men grænsen har en tendens til nul (x→0), så bliver brøken en uendelig stor værdi. Og sådanne mængder har deres egne karakteristika. Egenskaberne for grænsen for en sekvens med små eller store værdier er som følger: Faktisk er det ikke så vanskelig en opgave at beregne grænsen for en sekvens, hvis du kender en simpel algoritme. Men grænserne for konsistens er et emne, der kræver maksimal opmærksomhed og vedholdenhed. Selvfølgelig er det nok blot at forstå essensen af løsningen på sådanne udtryk. Hvis du starter i det små, kan du opnå store højder over tid.Bestemmelse af sekvensgrænsen
Generel betegnelse for sekvensgrænsen
Usikkerhed og sikkerhed for grænsen
Hvad er et kvarter?
Sætninger
Bevis for sekvenser
Eller er han der måske ikke?
Monotonisk sekvens
Grænse for en konvergent og afgrænset sekvens
Grænse for en monoton sekvens
Forskellige handlinger med grænser
Egenskaber for sekvensmængder