Parallel overførsel.
OVERSÆTTELSE LANGS Y-AKSEN
f(x) => f(x) - b
Antag, at du vil bygge en graf for funktionen y = f(x) - b. Det er let at se, at ordinaterne af denne graf for alle værdier af x på |b| enheder mindre end de tilsvarende ordinater af funktionsgrafen y = f(x) for b>0 og |b| enheder mere - ved b 0 eller op ved b For at plotte grafen for funktionen y + b = f(x), skal du konstruere en graf for funktionen y = f(x) og flytte x-aksen til |b| enheder op ved b>0 eller med |b| enheder nede ved b
TRANSFER LANGS ABSCISSAKSEN
f(x) => f(x + a)
Antag, at du vil plotte funktionen y = f(x + a). Overvej funktionen y = f(x), som på et tidspunkt tager x = x1 værdien y1 = f(x1). Det er klart, at funktionen y = f(x + a) vil have samme værdi i punktet x2, hvis koordinat bestemmes ud fra ligheden x2 + a = x1, dvs. x2 = x1 - a, og den betragtede lighed er gyldig for totaliteten af alle værdier fra funktionens definitionsdomæne. Derfor kan grafen for funktionen y = f(x + a) opnås ved parallelt at flytte grafen for funktionen y = f(x) langs x-aksen til venstre med |a| enheder for a > 0 eller til højre ved |a| enheder for a For at konstruere en graf for funktionen y = f(x + a), skal du konstruere en graf for funktionen y = f(x) og flytte ordinataksen til |a| enheder til højre, når a>0 eller ved |a| enheder til venstre ved a
Eksempler:
1.y=f(x+a)
2.y=f(x)+b
Afspejling.
KONSTRUKTION AF EN GRAF AF EN FUNKTION AF FORMEN Y = F(-X)
f(x) => f(-x)
Det er indlysende, at funktionerne y = f(-x) og y = f(x) har lige store værdier på punkter, hvis abscisser er ens i absolut værdi, men modsat i fortegn. Med andre ord vil ordinaterne af grafen for funktionen y = f(-x) i området med positive (negative) værdier af x være lig med ordinaterne af grafen for funktionen y = f(x) for de tilsvarende negative (positive) værdier af x i absolut værdi. Således får vi følgende regel.
For at plotte funktionen y = f(-x), skal du plotte funktionen y = f(x) og afspejle den i forhold til ordinaten. Den resulterende graf er grafen for funktionen y = f(-x)
KONSTRUKTION AF EN GRAF AF EN FUNKTION AF FORMEN Y = - F(X)
f(x) => - f(x)
Ordinaterne på grafen for funktionen y = - f(x) for alle værdier af argumentet er lige i absolut værdi, men modsat fortegn til ordinaterne på grafen for funktionen y = f(x) for samme værdier af argumentet. Således får vi følgende regel.
For at plotte en graf for funktionen y = - f(x), skal du plotte en graf af funktionen y = f(x) og afspejle den i forhold til x-aksen.
Eksempler:
1.y=-f(x)
2.y=f(-x)
3.y=-f(-x)
Deformation.
GRAF DEFORMATION LANGS Y-AKSEN
f(x) => k f(x)
Overvej en funktion på formen y = k f(x), hvor k > 0. Det er let at se, at med lige værdier af argumentet, vil ordinaterne af grafen for denne funktion være k gange større end ordinaterne af grafen for funktionen y = f(x) for k > 1 eller 1/k gange mindre end ordinaterne af grafen for funktionen y = f(x) for k At konstruere en graf for funktionen y = k f(x ), skal du konstruere en graf af funktionen y = f(x) og øge dens ordinater med k gange for k > 1 (stræk grafen langs ordinataksen ) eller reducere dens ordinater med 1/k gange ved k
k > 1- strækker sig fra okseaksen
0 - kompression til OX-aksen
GRAF DEFORMATION LANGS ABSCISSAKSEN
f(x) => f(k x)
Lad det være nødvendigt at konstruere en graf for funktionen y = f(kx), hvor k>0. Betragt funktionen y = f(x), som i et vilkårligt punkt x = x1 tager værdien y1 = f(x1). Det er indlysende, at funktionen y = f(kx) har samme værdi i punktet x = x2, hvis koordinat er bestemt af ligheden x1 = kx2, og denne lighed er gyldig for totaliteten af alle værdier af x fra funktionens definitionsdomæne. Følgelig viser grafen for funktionen y = f(kx) sig at være komprimeret (for k 1) langs abscisseaksen i forhold til grafen for funktionen y = f(x). Dermed får vi reglen.
For at konstruere en graf af funktionen y = f(kx), skal du konstruere en graf af funktionen y = f(x) og reducere dens abscisse med k gange for k>1 (komprimer grafen langs abscisse-aksen) eller øge dens abscisse med 1/k gange for k
k > 1- kompression til Oy-aksen
0 - strækker sig fra OY-aksen
Arbejdet blev udført af Alexander Chichkanov, Dmitry Leonov under vejledning af T.V. Tkach, S.M. Vyazov, I.V.
©2014
Grundlæggende elementære funktioner i deres rene form uden transformation er sjældne, så oftest skal du arbejde med elementære funktioner, der blev opnået fra de vigtigste ved at tilføje konstanter og koefficienter. Sådanne grafer er konstrueret ved hjælp af geometriske transformationer af givne elementære funktioner.
Lad os betragte eksemplet med en kvadratisk funktion af formen y = - 1 3 x + 2 3 2 + 2, hvis graf er parablen y = x 2, som er komprimeret tre gange i forhold til Oy og symmetrisk mht. til Ox, og forskudt med 2 3 langs Ox til højre, op 2 enheder langs Oy. På en koordinatlinje ser det sådan ud:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Geometriske transformationer af grafen for en funktion
Ved at anvende geometriske transformationer af en given graf opnår vi, at grafen er afbildet med en funktion af formen ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b, når k 1 > 0, k 2 > 0 er kompressionskoefficienter ved 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1, k 2 > 1 langs O y og O x. Tegnet foran koefficienterne k 1 og k 2 angiver en symmetrisk visning af grafen i forhold til akserne, a og b forskyder den langs O x og langs O y.
Definition 1
Der er 3 typer geometriske transformationer af grafen:
- Skalering langs O x og O y. Dette påvirkes af koefficienterne k 1 og k 2, forudsat at de ikke er lig med 1, når 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1, så strækkes grafen langs O y og komprimeres langs O x.
- Symmetrisk visning i forhold til koordinatakser. Hvis der er et "-"-tegn foran k 1, er symmetrien i forhold til O x, og foran k 2 er den i forhold til O y. Hvis "-" mangler, springes punktet over ved løsning;
- Parallel overførsel (skift) langs O x og O y. Transformationen udføres, hvis der er koefficienter a og b ulige med 0. Hvis a er positiv, flyttes grafen til venstre med | en | enheder, hvis a er negativ, så til højre i samme afstand. b-værdien bestemmer bevægelsen langs O y-aksen, hvilket betyder, at når b er positiv, bevæger funktionen sig op, og når b er negativ, bevæger den sig ned.
Lad os se på løsninger ved hjælp af eksempler, startende med en potensfunktion.
Eksempel 1
Transformer y = x 2 3 og plot funktionen y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .
Løsning
Lad os repræsentere funktionerne på denne måde:
y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3
Hvor k 1 = 2, er det værd at være opmærksom på tilstedeværelsen af "-", a = - 1 2, b = 3. Herfra får vi, at geometriske transformationer udføres ved at strække sig langs O y to gange, vist symmetrisk i forhold til O x, forskudt til højre med 1 2 og opad med 3 enheder.
Hvis vi afbilder den oprindelige magtfunktion, får vi det
når den strækkes to gange langs O y har vi det
Kortlægningen, symmetrisk med hensyn til O x, har formen
og flyt til højre med 1 2
en bevægelse på 3 enheder op ser ud
Lad os se på transformationer af eksponentielle funktioner ved hjælp af eksempler.
Eksempel 2
Konstruer en graf af eksponentialfunktionen y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8.
Løsning.
Lad os transformere funktionen baseret på egenskaberne for en potensfunktion. Så får vi det
y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8
Ud fra dette kan vi se, at vi får en kæde af transformationer y = 1 2 x:
y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8
Vi finder, at den oprindelige eksponentialfunktion har formen
Klem to gange langs O y giver
Strækker sig langs O x
Symmetrisk kortlægning med hensyn til O x
Kortlægningen er symmetrisk i forhold til O y
Flyt 8 enheder op
Lad os overveje løsningen ved at bruge eksemplet med en logaritmisk funktion y = ln (x).
Eksempel 3
Konstruer funktionen y = ln e 2 · - 1 2 x 3 vha. transformationen y = ln (x) .
Løsning
For at løse det er det nødvendigt at bruge egenskaberne for logaritmen, så får vi:
y = ln e 2 · - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2
Transformationerne af en logaritmisk funktion ser således ud:
y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2
Lad os plotte den oprindelige logaritmiske funktion
Vi komprimerer systemet i henhold til O y
Vi strækker os langs O x
Vi udfører en kortlægning med hensyn til O y
Vi rykker op med 2 enheder, får vi
For at transformere graferne for en trigonometrisk funktion er det nødvendigt at tilpasse løsninger af formen ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b til skemaet. Det er nødvendigt, at k 2 er lig med T k 2 . Herfra får vi den 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.
Lad os se på eksempler på løsning af problemer med transformationer y = sin x.
Eksempel 4
Konstruer en graf af y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 ved hjælp af transformationer af funktionen y=sinx.
Løsning
Det er nødvendigt at reducere funktionen til formen ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. For det:
y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2
Det kan ses, at k 1 = 3, k 2 = 1 2, a = - 3, b = - 2. Da der er en "-" før k 1, men ikke før k 2, får vi en kæde af transformationer af formen:
y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2
Detaljeret sinusbølgetransformation. Når man plotter den oprindelige sinusform y = sin (x), finder vi, at den mindste positive periode anses for at være T = 2 π. Finde maksimum i punkterne π 2 + 2 π · k; 1, og minimum - - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z.
O y strækkes tre gange, hvilket betyder, at stigningen i amplituden af svingninger vil stige med 3 gange. T = 2 π er den mindste positive periode. Maksima går til π 2 + 2 π · k; 3, k ∈ Z, minima - - π 2 + 2 π · k; - 3, k ∈ Z.
Når vi strækker langs O x med det halve, finder vi, at den mindste positive periode øges 2 gange og er lig med T = 2 π k 2 = 4 π. Maksima går til π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, minimum – i - π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.
Billedet er fremstillet symmetrisk i forhold til O x. Den mindste positive periode i dette tilfælde ændres ikke og er lig med T = 2 π k 2 = 4 π. Den maksimale overgang ser ud som - π + 4 π · k; 3, k ∈ Z, og minimum er π + 4 π · k; - 3, k ∈ Z.
Grafen flyttes ned med 2 enheder. Den mindste fælles periode ændres ikke. Finde maksima med overgang til punkter - π + 3 + 4 π · k; 1, k ∈ Z, minimum - π + 3 + 4 π · k; -5, k∈Z.
På dette stadium betragtes grafen for den trigonometriske funktion som transformeret.
Lad os overveje en detaljeret transformation af funktionen y = cos x.
Eksempel 5
Konstruer en graf for funktionen y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 ved hjælp af en funktionstransformation af formen y = cos x.
Løsning
Ifølge algoritmen er det nødvendigt at reducere den givne funktion til formen ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b. Så får vi det
y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1
Af betingelsen fremgår det, at k 1 = 3 2, k 2 = 2, a = - 1, b = 1, hvor k 2 har "-", men før k 1 er den fraværende.
Af dette ser vi, at vi får en graf over en trigonometrisk funktion af formen:
y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1
Trin-for-trin cosinus transformation med grafisk illustration.
Givet grafen y = cos(x), er det klart, at den korteste samlede periode er T = 2π. Finde maksima i 2 π · k ; 1, k ∈ Z, og der er π + 2 π · k minima; - 1, k ∈ Z.
Når den strækkes langs Oy med 3 2 gange, øges amplituden af oscillationer med 3 2 gange. T = 2 π er den mindste positive periode. Finde maksima i 2 π · k ; 3 2, k ∈ Z, minimum i π + 2 π · k; - 3 2 , k ∈ Z .
Når den komprimeres langs O x med det halve, finder vi, at den mindste positive periode er tallet T = 2 π k 2 = π. Overgangen af maksima til π · k sker; 3 2 , k ∈ Z , minimum - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .
Symmetrisk kortlægning med hensyn til Oy. Da grafen er ulige, ændres den ikke.
Når grafen forskydes med 1 . Der er ingen ændringer i den mindste positive periode T = π. Finde maksima i π · k + 1 ; 3 2, k ∈ Z, minimum - π 2 + 1 + π · k; - 3 2 , k ∈ Z .
Når den forskydes med 1, er den mindste positive periode lig med T = π og ændres ikke. Finde maksima i π · k + 1 ; 5 2, k ∈ Z, minima i π 2 + 1 + π · k; - 1 2 , k ∈ Z .
Cosinusfunktionstransformationen er fuldført.
Lad os overveje transformationer ved at bruge eksemplet y = t g x.
Eksempel 6
Konstruer en graf for funktionen y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 ved hjælp af transformationer af funktionen y = t g (x) .
Løsning
Til at begynde med er det nødvendigt at reducere den givne funktion til formen ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b, hvorefter vi får det
y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
Det ses tydeligt, at k 1 = 1 2, k 2 = 2 3, a = - π 2, b = π 3, og foran koefficienterne k 1 og k 2 er der et “-”. Det betyder, at efter transformation af tangentsoiderne får vi
y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3
Trin-for-trin transformation af tangenter med grafisk repræsentation.
Vi har, at den oprindelige graf er y = t g (x) . Ændringen i positiv periode er lig med T = π. Definitionsdomænet anses for at være - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z.
Vi komprimerer den 2 gange langs Oy. T = π betragtes som den mindste positive periode, hvor definitionsdomænet har formen - π 2 + π · k; π 2 + π · k, k ∈ Z.
Stræk langs O x 3 2 gange. Lad os beregne den mindste positive periode, og den var lig med T = π k 2 = 3 2 π . Og definitionsdomænet for funktionen med koordinater er 3 π 4 + 3 2 π · k; 3 π 4 + 3 2 π · k, k ∈ Z, kun definitionsdomænet ændres.
Symmetri går på O x-siden. Perioden ændres ikke på nuværende tidspunkt.
Det er nødvendigt at vise koordinatakser symmetrisk. Definitionsdomænet er i dette tilfælde uændret. Tidsplanen falder sammen med den forrige. Dette tyder på, at tangentfunktionen er ulige. Hvis vi tildeler en symmetrisk afbildning af O x og O y til en ulige funktion, så transformerer vi den til den oprindelige funktion.
Opsummering af algebratime og begyndelse af analyse i 10. klasse
om emnet: "Transformation af grafer for trigonometriske funktioner"
Formålet med lektionen: at systematisere viden om emnet "Egenskaber og grafer for trigonometriske funktioner y=sin (x), y=cos (x)".
Lektionens mål:
- gentag egenskaberne for trigonometriske funktioner y=sin (x), y=cos (x);
- gentag reduktionsformler;
- konvertering af grafer for trigonometriske funktioner;
- udvikle opmærksomhed, hukommelse, logisk tænkning; intensivere mental aktivitet, evnen til at analysere, generalisere og ræsonnere;
- fremme hårdt arbejde, flid i at nå mål, interesse for emnet.
Lektionsudstyr: IKT
Lektionstype: lære nye ting
Under timerne
Inden lektionen tegner 2 elever grafer fra deres lektier på tavlen.
Organiseringstid:
Hej gutter!
I dag i lektionen vil vi transformere graferne for trigonometriske funktioner y=sin (x), y=cos (x).
Mundtligt arbejde:
Tjek lektier.
løse gåder.
At lære nyt stof
Alle transformationer af funktionsgrafer er universelle - de er velegnede til alle funktioner, inklusive trigonometriske. Her vil vi begrænse os til en kort påmindelse om de vigtigste transformationer af grafer.
Transformation af funktionsgrafer.
Funktionen y = f (x) er givet. Vi begynder at bygge alle grafer fra grafen for denne funktion, så udfører vi handlinger med den.
Fungere
Hvad skal man gøre med tidsplanen
y = f(x) + a
Vi hæver alle punkterne i den første graf med en enhed op.
y = f(x) – a
Vi sænker alle punkterne i den første graf ned ad en enhed.
y = f(x + a)
Vi flytter alle punkter i den første graf med en enhed til venstre.
y = f (x – a)
Vi flytter alle punkter i den første graf med en enhed til højre.
y = a*f (x),a>1
Vi sætter nullerne på plads, flytter de øverste punkter flere gange højere og sænker de nederste flere gange.
Grafen vil "strække" op og ned, nullerne forbliver på plads.
y = a*f(x), a<1
Vi fikser nullerne, de øverste punkter vil gå ned en gang, de nederste vil stige flere gange. Grafen vil "krympe" mod x-aksen.
y = -f(x)
Spejl den første graf om x-aksen.
y = f (akse), a<1
Fix et punkt på ordinataksen. Hvert segment på abscisseaksen øges med en gange. Grafen vil strække sig fra ordinataksen i forskellige retninger.
y = f (ax), a >1
Fix et punkt på ordinataksen, reducer hvert segment på abscisseaksen med en faktor. Grafen vil "krympe" mod y-aksen på begge sider.
y = | f(x)|
De dele af grafen, der er placeret under abscisseaksen, er spejlet. Hele grafen vil være placeret i det øverste halvplan.
Løsningsordninger.
1)y = sin x + 2.
Vi bygger en graf y = sin x. Vi hæver hvert punkt på grafen opad med 2 enheder (også nuller).
2)y = cos x – 3.
Vi bygger en graf y = cos x. Vi sænker hvert punkt på grafen med 3 enheder.
3)y = cos (x - /2)
Vi bygger en graf y = cos x. Vi flytter alle punkter med p/2 til højre.
4)y = 2 sinx.
Vi bygger en graf y = sin x. Vi forlader nullerne på plads, hæver de øverste punkter med 2 gange og sænker de nederste med samme mængde.
PRAKTISK ARBEJDE Plotning af grafer for trigonometriske funktioner ved hjælp af programmet Advanced Grapher.
Lad os plotte funktionen y = -cos 3x + 2.
- Lad os plotte funktionen y = cos x.
- Lad os afspejle det i forhold til abscisseaksen.
- Denne graf skal komprimeres tre gange langs x-aksen.
- Til sidst skal en sådan graf hæves op med tre enheder langs y-aksen.
y = 0,5 sin x.
y = 0,2 for x-2
y = 5cos 0 .5 x
y= -3sin(x+π).
2) Find fejlen og ret den.
V. Historisk materiale. En besked om Euler.
Leonhard Euler er den største matematiker i det 18. århundrede. Født i Schweiz. I mange år boede og arbejdede han i Rusland, medlem af St. Petersborgs Akademi.
Hvorfor skal vi kende og huske navnet på denne videnskabsmand?
I begyndelsen af det 18. århundrede var trigonometri stadig ikke tilstrækkeligt udviklet: der var ingen symboler, formler blev skrevet i ord, det var vanskeligt at lære dem, spørgsmålet om tegnene på trigonometriske funktioner i forskellige fjerdedele af en cirkel var uklart, og argumentet for en trigonometrisk funktion betød kun vinkler eller buer. Kun i Eulers værker fik trigonometri sin moderne form. Det var ham, der begyndte at overveje den trigonometriske funktion af et tal, dvs. Argumenter begyndte ikke kun at blive forstået som buer eller grader, men også som tal. Euler udledte alle trigonometriske formler fra flere grundlæggende og strømlinede spørgsmålet om tegnene på den trigonometriske funktion i forskellige fjerdedele af cirklen. For at betegne trigonometriske funktioner introducerede han symbolikken: sin x, cos x, tan x, ctg x.
På tærsklen til det 18. århundrede dukkede en ny retning op i udviklingen af trigonometri - analytisk. Hvis før dette hovedmålet med trigonometri blev anset for at være løsningen af trekanter, så betragtede Euler trigonometri som videnskaben om trigonometriske funktioner. Den første del: læren om funktioner er en del af den generelle lære om funktioner, som studeres i matematisk analyse. Anden del: at løse trekanter - kapitlet om geometri. Sådanne innovationer blev lavet af Euler.
VI. Gentagelse
Uafhængigt arbejde "Tilføj formlen."
VII. Lektionsopsummering:
1) Hvad nyt lærte du i klassen i dag?
2) Hvad vil du ellers vide?
3) Karaktergivning.