For enhver monoton afgrænset sekvens eksisterer. Talrækker

Definition 1. En sekvens kaldes ikke-faldende [ikke-stigende], hvis hvert element i sekvensen, startende fra det andet, ikke er mindre end [ikke mere end] dets forrige element, dvs. hvis uligheden er sand for alle tal

Definition 2. En sekvens kaldes monotonisk, hvis den enten er ikke-faldende eller ikke-tiltagende.

Hvis elementerne i en ikke-aftagende sekvens for alle tal opfylder en streng ulighed, kaldes denne sekvens stigende.

Tilsvarende, hvis elementerne i en ikke-stigende sekvens for alle tal opfylder en streng ulighed, så kaldes denne sekvens faldende.

Bemærk, at hver monoton sekvens åbenlyst er afgrænset på den ene side (enten oppefra eller nedefra). Faktisk er enhver ikke-faldende sekvens afgrænset nedefra (værdien af ​​dets første element kan tages som den nedre grænse), og enhver ikke-stigende sekvens er afgrænset over (værdien af ​​dets første element kan også tages som den øvre grænse). bundet).

Det følger heraf, at en ikke-faldende sekvens vil være afgrænset på begge sider, eller blot afgrænset, hvis og kun hvis den er afgrænset ovenfor, og en ikke-stigende sekvens vil være begrænset, hvis og kun hvis den er afgrænset nedenfor.

Lad os se på eksempler på monotone sekvenser.

1. Sekvensen er ikke faldende. Det er begrænset nedefra af værdien af ​​dets første element, men er ikke begrænset fra oven.

2. Rækkefølgen er aftagende. Det er begrænset på begge sider: ovenfra af værdien af ​​dets første element 2 og nedefra, for eksempel af tallet 1.

Definition. Rækkefølgen (x n) kaldes begrænset, hvis der er et tal M>0 sådan, at for evt n uligheden er sand:

de der. alle medlemmer af sekvensen tilhører intervallet (-M; M).

For eksempel er sekvenserne 2 0), 3 0), 4 0), 5 0) begrænset, og sekvensen 1 0) er ubegrænset.

Sætningen følger direkte af definitionen af ​​en afgrænset sekvens og definitionen af ​​grænsen for en sekvens:

Sætning. Hvis x n ® a, så er sekvensen (x n ) afgrænset.

Det skal bemærkes, at det omvendte udsagn ikke er sandt, dvs. afgrænsningen af ​​en sekvens indebærer ikke dens konvergens.

For eksempel rækkefølgen har dog ingen grænse


Definition. Rækkefølgen (x n) kaldes afgrænset ovenfor, hvis for nogen n der er et tal M, således at x n £ M.


Eksempel.(x n ) = 3n – afgrænset nedenfor (3, 6, 9, …).

Monotone sekvenser.

Definition. 1) Hvis x n +1 > x n for alle n, så er rækkefølgen stigende.

2) Hvis x n +1 ³ x n for alle n, så er rækkefølgen ikke aftagende.

3) Hvis x n +1< x n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Hvis x n +1 £ x n for alle n, så er sekvensen ikke stigende

Alle disse sekvenser kaldes monotont. Stigende og faldende sekvenser kaldes strengt monotont.

Eksempel.(x n ) = 1/n – aftagende og begrænset

(x n ) = n – stigende og ubegrænset.

Eksempel. Bevis at sekvensen (x n )= er monotont stigende.

Løsning. Lad os finde et medlem af sekvensen (x n +1 )=

Lad os finde fortegnet for forskellen: (x n)-(x n +1)=

, fordi nÎN, så er nævneren positiv for enhver n.

Således xn+1 > xn. Rækkefølgen er stigende, hvilket burde have været bevist.

Eksempel. Find ud af, om rækkefølgen er stigende eller faldende

Løsning. Lad os finde det. Lad os finde forskellen



Fordi nÎN, derefter 1 – 4n<0, т.е. х n+1 < x n . Последовательность монотонно убывает.

Det skal bemærkes, at monotone sekvenser er begrænset på mindst én side.

Sætning. En monoton afgrænset sekvens har en grænse.

Bevis. Overvej en monoton ikke-aftagende sekvens

x 1 £ x 2 £ x 3 £ … £ x n £ x n +1 £ …

Denne sekvens er afgrænset fra oven: x n £ M, hvor M er et vist tal.

Fordi Ethvert numerisk sæt afgrænset ovenfor har en klar øvre grænse, så for enhver e>0 er der et tal N sådan, at x N > a - e, hvor a er en øvre grænse af mængden.

Fordi (x n) er en ikke-aftagende sekvens, så for N > n a - e< x N £ x n ,

Derfor a - e< x n < a + e

E< x n – a < e или ôx n - aô< e, т.е. lim x n = a.

For andre monotone sekvenser er beviset det samme.

Sætningen er blevet bevist.

§3. Nummer e.

Overvej rækkefølgen (x n ) = .

Hvis sekvensen (x n) er monoton og afgrænset, så har den en endelig grænse.

Ifølge Newtons binomiale formel:

Eller hvad er det samme

Lad os vise, at rækkefølgen (x n ) er stigende. Faktisk, lad os skrive udtrykket x n +1 ned og sammenligne det med udtrykket x n:

Hvert led i udtrykket x n +1 er større end den tilsvarende værdi x n, og derudover har x n +1 tilføjet endnu et positivt led. Således er sekvensen (x n ) stigende.

Lad os nu bevise, at for enhver n dens vilkår ikke overstiger tre: x n< 3.

Så sekvensen er monotont stigende og afgrænset ovenfra, dvs. har en begrænset grænse. Denne grænse er normalt angivet med bogstavet e.

Af uligheden følger det, at e £ 3. Hvis vi kasserer alle led i ligheden for (x n), startende fra den fjerde, har vi:

passerer til grænsen, får vi

Således er tallet e indeholdt mellem tallene 2,5 og 3. Hvis du tager flere led af rækken, kan du få et mere præcist estimat af værdien af ​​tallet e.

Det kan vises, at tallet e er irrationelt og dets værdi er 2,71828...

På samme måde kan det påvises , udvide kravene til x til et hvilket som helst reelt tal:

Lad os antage:

Tallet e er basis for den naturlige logaritme.

Ovenfor er grafen for funktionen y = lnx.

Forholdet mellem naturlige og decimallogaritmer.

Lad x = 10 y, så lnx = ln10 y, derfor lnx = yln10

y = , hvor M = 1/ln10 » 0,43429… er overgangsmodulet.

§4. Begrebet grænsen for en funktion.

4.1. Grænse for en funktion i et punkt.

y f(x)

0 a - D a a + D x

Lad funktionen f(x) være defineret i et bestemt område af punktet x = a (dvs. ved punktet x = a er funktionen muligvis ikke defineret)

Definition. Tallet A kaldes begrænse funktion f(x) for x®a, hvis der for nogen e>0 er et tal D>0, således at for alle x, således at

ïx - aï< D

uligheden ïf(x) - Aï er sand< e.

Den samme definition kan skrives i en anden form:

Hvis en - D< x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.

At skrive grænsen for en funktion i et punkt:

Grundlæggende teoremer om grænser.

Sætning 1. , hvor C = konst.

Følgende sætninger er gyldige under den antagelse, at funktionerne f(x) og g(x) har endelige grænser for x®a.

Sætning 2.

Beviset for denne sætning vil blive givet nedenfor.

Sætning 3.

Følge.

Sætning 4. på

Sætning 5. Hvis f(x)>0 nær punktet x = a og , så A>0.

Grænsens fortegn ved f(x) bestemmes på samme måde< 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0.

Sætning 6. Hvis g(x) £ f(x) £ u(x) nær punktet x = a og , derefter og .

Definition. Funktionen f(x) kaldes begrænset nær punktet x = a, hvis der er et tal M>0, således at ïf(x)ï

Sætning 7. Hvis funktionen f(x) har en endelig grænse ved x®a, så er den begrænset nær punktet x = a.

Bevis. Lad , dvs. , Derefter

Hvor M = e + ïАï

Sætningen er blevet bevist.

4.2. Ensidige grænser.

Definition. Hvis f(x) ® A 1 ved x ® a kun ved x< a, то - называется begrænse funktion f(x) i punkt x = a venstre, og hvis f(x) ® A 2 for x ® a kun for x > a, så hedder begrænse funktion f(x) i punkt x = a til højre.

på

Ovenstående definition refererer til det tilfælde, hvor funktionen f(x) ikke er defineret i punktet x = a selv, men er defineret i et eller andet vilkårligt lille område af dette punkt.

Grænserne A 1 og A 2 kaldes også envejsgrænser funktion f(x) i punkt x = a. Det siges også, at A - endelig grænse funktioner f(x).

4.3.Grænsen for en funktion som argument har en tendens til uendelig.

Definition. Tallet A kaldes begrænse funktion f(x) for x®¥, hvis der for et hvilket som helst tal e>0 er et tal M>0, således at uligheden gælder for alle x, ïxï>M

Definition 1. Rækkefølgen kaldes faldende (ikke stigende ), hvis for alle
ulighed holder
.

Definition 2. Konsistens
hedder stigende (ikke aftagende ), hvis for alle
ulighed holder
.

Definition 3. Faldende, ikke-stigende, stigende og ikke-faldende sekvenser kaldes monotont sekvenser, faldende og stigende sekvenser kaldes også strengt monotont sekvenser.

Det er klart, at en ikke-faldende sekvens er afgrænset nedefra, og en ikke-stigende sekvens er afgrænset ovenfra. Derfor er enhver monoton sekvens naturligvis begrænset på den ene side.

Eksempel 1. Konsistens
stiger, falder ikke,
falder
stiger ikke
– ikke-monotonisk sekvens.

For monotone sekvenser spiller følgende en vigtig rolle:

Sætning 1. Hvis en ikke-aftagende (ikke-forøgende) sekvens er afgrænset over (nedenunder), så konvergerer den.

Bevis. Lad sekvensen
aftager ikke og er afgrænset ovenfra, dvs.
og mange
begrænset fra oven. Ved Sætning 1 § 2 er der
. Lad os bevise det
.

Lad os tage
vilkårligt. Fordi EN– nøjagtig øvre grænse, der er et tal N sådan at
. Da rækkefølgen ikke er faldende, så for alle
vi har, dvs.
, Derfor
for alle
, og det betyder det
.

For en ikke-stigende sekvens afgrænset nedenfor, svarer beviset til ( studerende kan bevise dette udsagn hjemme på egen hånd). Sætningen er blevet bevist.

Kommentar. Sætning 1 kan formuleres anderledes.

Sætning 2. For at en monoton sekvens kan konvergere, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at den er afgrænset.

Tilstrækkelighed fastslås i sætning 1, nødvendighed – i sætning 2 i § 5.

Monotonicitetsbetingelsen er ikke nødvendig for konvergensen af ​​en sekvens, da en konvergent sekvens ikke nødvendigvis er monoton. For eksempel rækkefølgen
ikke monotont, men konvergerer til nul.

Følge. Hvis rækkefølgen
stiger (falder) og begrænses fra oven (nedefra), så
(
).

Faktisk ved sætning 1
(
).

Definition 4. Hvis
på
, så kaldes sekvensen kontraherende system af indlejrede segmenter .

Sætning 3 (princippet om indlejrede segmenter). Hvert kontraherende system af indlejrede segmenter har, og desuden, et unikt punkt Med, der tilhører alle segmenter af dette system.

Bevis. Lad os bevise, at pointen Med eksisterer. Fordi
, At
og derfor rækkefølgen
falder ikke, men rækkefølgen
stiger ikke. Hvori
Og
begrænset pga. Så ved sætning 1 eksisterer der
Og
, men siden
, At
=
. Fundet punkt Med hører til alle segmenter af systemet, da i følge sætning 1
,
, dvs.
for alle værdier n.

Lad os nu vise, at pointen Med- den eneste ene. Lad os antage, at der er to sådanne punkter: Med Og d og lad for sikkerhed
. Derefter segmentet
hører til alle segmenter
, dvs.
for alle n, hvilket er umuligt, da
og derfor med udgangspunkt i et vist antal,
. Sætningen er blevet bevist.

Bemærk, at det væsentlige her er, at der tages hensyn til lukkede intervaller, dvs. segmenter. Hvis vi betragter et system med kontraherende intervaller, så er princippet generelt set forkert. For eksempel intervaller
, åbenbart kontrakt til et punkt
dog punkt
hører ikke til noget interval i dette system.

Lad os nu overveje eksempler på konvergerende monotone sekvenser.

1) Antal e.

Lad os nu overveje rækkefølgen
. Hvordan opfører hun sig? Grundlag

grader
, Derfor
? På den anden side,
, A
, Derfor
? Eller er der ingen grænse?

For at besvare disse spørgsmål skal du overveje hjælpesekvensen
. Lad os bevise, at det aftager og er afgrænset nedenfor. Samtidig får vi brug for

Lemma. Hvis
, så for alle naturværdier n vi har

(Bernoullis ulighed).

Bevis. Lad os bruge metoden til matematisk induktion.

Hvis
, At
, dvs. uligheden er sand.

Lad os antage, at det er sandt for
og bevise dens gyldighed for
+1.

Højre
. Lad os gange denne ulighed med
:

Dermed, . Dette betyder, ifølge princippet om matematisk induktion, at Bernoullis ulighed gælder for alle naturlige værdier n. Lemmaet er bevist.

Lad os vise, at rækkefølgen
falder. Vi har

‌‌‌׀Bernoullis ulighed׀
, og det betyder, at sekvensen
falder.

Afgrænsethed nedefra følger af uligheden
‌‌‌׀Bernoullis ulighed׀
for alle naturværdier n.

Ved sætning 1 er der
, som er betegnet med bogstavet e. Derfor
.

Nummer e irrationel og transcendental, e= 2,718281828… . Det er som bekendt basis for naturlige logaritmer.

Noter. 1) Bernoullis ulighed kan bruges til at bevise det
på
. Faktisk, hvis
, At
. Derefter, ifølge Bernoullis ulighed, med
. Derfor kl
vi har
, det er
på
.

2) I eksemplet diskuteret ovenfor, grundlaget for graden har tendens til 1, og eksponenten n- Til , det vil sige, at der er usikkerhed om formen . Usikkerhed af denne art, som vi har vist, afsløres af den bemærkelsesværdige grænse
.

2)
(*)

Lad os bevise, at denne sekvens konvergerer. For at gøre dette viser vi, at det er afgrænset nedefra og ikke øges. I dette tilfælde bruger vi uligheden
for alle
, hvilket er en konsekvens af uligheden
.

Vi har
 se ulighed er højere
, dvs. rækkefølgen er afgrænset nedenfor af tallet
.

Yderligere,
 siden

, dvs. rækkefølgen øges ikke.

Ved sætning 1 er der
, som vi betegner x. Passering i ligestilling (*) til grænsen kl
, vi får

, dvs.
, hvor
(vi tager plustegnet, da alle led i sekvensen er positive).

Sekvensen (*) bruges i beregningen
rundt regnet. Bag tage ethvert positivt tal. Lad os f.eks. finde
. Lade
. Derefter
,. Dermed,
.

3)
.

Vi har
. Fordi
på
, der er et nummer N, sådan for alle
ulighed holder
. Altså rækkefølgen
, startende fra et eller andet tal N, falder og er afgrænset nedenfor, siden
for alle værdier n. Det betyder, at der ved sætning 1 er
. Fordi
, vi har
.

Så,
.

4)
, til højre - n rødder.

Ved hjælp af metoden til matematisk induktion vil vi vise det
for alle værdier n. Vi har
. Lade
. Herfra får vi en erklæring baseret på princippet om matematisk induktion. Ved at bruge dette faktum finder vi, dvs. efterfølgen
øges og afgrænses ovenfra. Derfor eksisterer den pga
.

Dermed,
.

Hvis elementerne ikke falder med stigende antal, eller omvendt ikke stiger. Sådanne sekvenser støder man ofte på i forskning og har en række karakteristiske træk og yderligere egenskaber. En sekvens med ét tal kan ikke betragtes som stigende eller faldende.

Encyklopædisk YouTube

  • 1 / 5

    Lad der være et sæt X (\displaystyle X), hvorpå ordrerelationen introduceres.

    Rækkefølge af sætelementer X (\displaystyle X) hedder ikke aftagende , hvis hvert element i denne sekvens ikke er større end det næste.

    ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- ikke faldende ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩽ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\leqslant x_(n+1))

    Efterfølgende ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) elementer i sættet X (\displaystyle X) hedder ikke stigende , hvis hvert næste element i denne sekvens ikke overstiger det foregående.

    ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- ikke stigende ⇔ ∀ n ∈ N: x n ⩾ x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)\geqslant x_(n+1))

    Efterfølgende ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) elementer i sættet X (\displaystyle X) hedder stigende , hvis hvert næste element i denne sekvens er større end det foregående.

    ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- stigende ⇔ ∀ n ∈ N: x n< x n + 1 {\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}

    Efterfølgende ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\)) elementer i sættet X (\displaystyle X) hedder faldende , hvis hvert element i denne sekvens er større end det næste.

    ( x n ) (\displaystyle \(x_(n)\))- faldende ⇔ ∀ n ∈ N: x n > x n + 1 (\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb (N) \colon x_(n)>x_(n+1))

    monotont, hvis den er ikke-faldende eller ikke-stigende.

    Rækkefølgen kaldes strengt monotont, hvis den er stigende eller faldende.

    Det er klart, at en strengt monoton sekvens er monoton.

    Nogle gange bruges en variant af terminologi, hvor udtrykket "stigende sekvens" betragtes som et synonym for udtrykket "ikke-aftagende sekvens", og udtrykket "aftagende sekvens" betragtes som et synonym for udtrykket "ikke-stigende sekvens". ". I et sådant tilfælde kaldes de stigende og faldende sekvenser fra ovenstående definition henholdsvis "strengt stigende" og "strengt faldende".

    Intervaller af monotoni

    Det kan vise sig, at ovenstående betingelser ikke er opfyldt for alle tal n ∈ N (\displaystyle n\in \mathbb (N) ), men kun for tal fra et bestemt område

    I = ( n ∈ N ∣ N − ⩽ n< N + } {\displaystyle I=\{n\in \mathbb {N} \mid N_{-}\leqslant n

    (her er det tilladt at vende den højre kant N + (\displaystyle N_(+)) til evighed). I dette tilfælde kaldes sekvensen monoton i intervallet I (\displaystyle I) , og selve rækken I (\displaystyle I) hedder et interval af monotoni sekvenser.

    Hvis hvert naturligt tal n er forbundet med et eller andet reelt tal x n, så siger vi, at det givne talrække

    x 1 , x 2 , … x n , …

    Nummer x 1 kaldes et medlem af sekvensen med nummer 1 eller første led i sekvensen, nummer x 2 - medlem af sekvensen med nummer 2 eller det andet medlem af sekvensen osv. Tallet x n kaldes medlem af sekvensen med nummer n.

    Der er to måder at angive talrækker på - med og med tilbagevendende formel.

    Sekvens ved hjælp af formler for det generelle udtryk for en sekvens– dette er en sekvensopgave

    x 1 , x 2 , … x n , …

    ved at bruge en formel, der udtrykker afhængigheden af ​​udtrykket xn af dets tal n.

    Eksempel 1. Nummerrækkefølge

    1, 4, 9, … n 2 , …

    givet ved hjælp af fællesbegrebsformlen

    x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

    At angive en sekvens ved hjælp af en formel, der udtrykker et sekvenselement x n gennem sekvenselementerne med forudgående tal, kaldes at specificere en sekvens vha. tilbagevendende formel.

    x 1 , x 2 , … x n , …

    hedder i stigende rækkefølge, mere tidligere medlem.

    Med andre ord for alle n

    x n + 1 >x n

    Eksempel 3. Rækkefølge af naturlige tal

    1, 2, 3, … n, …

    er stigende rækkefølge.

    Definition 2. Talrækkefølge

    x 1 , x 2 , … x n , …

    hedder faldende rækkefølge hvis hvert medlem af denne sekvens mindre tidligere medlem.

    Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt

    x n + 1 < x n

    Eksempel 4. Efterfølgende

    givet af formlen

    er faldende rækkefølge.

    Eksempel 5. Nummerrækkefølge

    1, - 1, 1, - 1, …

    givet af formlen

    x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

    er ikke hverken stigende eller faldende rækkefølge.

    Definition 3. Stigende og faldende talrækker kaldes monotone sekvenser.

    Afgrænsede og ubundne sekvenser

    Definition 4. Talrækkefølge

    x 1 , x 2 , … x n , …

    hedder begrænset fra oven, hvis der er et tal M, således at hvert medlem af denne sekvens mindre numrene M.

    Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt

    Definition 5. Talrækkefølge

    x 1 , x 2 , … x n , …

    hedder afgrænset nedenfor, hvis der er et tal m, således at hvert medlem af denne rækkefølge mere tal m.

    Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt

    Definition 6. Talrækkefølge

    x 1 , x 2 , … x n , …

    kaldes begrænset, hvis det begrænset både over og under.

    Med andre ord er der tal M og m sådan, at for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt

    m< x n < M

    Definition 7. Numeriske sekvenser, der er ikke begrænset, hedder ubegrænsede sekvenser.

    Eksempel 6. Nummerrækkefølge

    1, 4, 9, … n 2 , …

    givet af formlen

    x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

    afgrænset nedenfor, for eksempel tallet 0. Men denne sekvens ubegrænset fra oven.

    Eksempel 7. Efterfølgende

    givet af formlen

    er begrænset rækkefølge, fordi for alle n= 1, 2, 3, … uligheden er opfyldt

    På vores hjemmeside kan du også gøre dig bekendt med undervisningsmateriale udviklet af lærere fra Resolventa træningscenter til forberedelse til Unified State Exam og Unified State Exam i matematik.

    For skoleelever, der ønsker at forberede sig godt og bestå Unified State Examination i matematik eller russisk sprog for en høj score, udfører Resolventa træningscenter

    forberedende kurser for skoleelever i 10. og 11. klassetrin