Primtals definition og egenskaber. Naturlige primtal

Et primtal er et naturligt tal, der kun er deleligt med sig selv og et.

De resterende tal kaldes sammensatte tal.

Naturlige primtal

Men ikke alle naturlige tal er primtal.

Naturlige primtal er kun dem, der kun er delelige med sig selv og en.

Eksempler på primtal:

2; 3; 5; 7; 11; 13;...

Prime Heltal

Det følger heraf, at kun naturlige tal er primtal.

Det betyder, at primtal nødvendigvis er naturlige tal.

Men alle naturlige tal er også heltal.

Altså er alle primtal heltal.

Eksempler på primtal:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...

Selv primtal

Der er kun ét lige primtal – tallet to.

Alle andre primtal er ulige.

Hvorfor kan et lige tal større end to ikke være et primtal?

Men fordi ethvert lige tal større end to vil være deleligt af sig selv, ikke med en og med to, det vil sige, at et sådant tal altid vil have tre divisorer, og muligvis flere.

Ilyas svar er korrekt, men ikke særlig detaljeret. I 1700-tallet blev man i øvrigt stadig betragtet som et primtal. For eksempel så store matematikere som Euler og Goldbach. Goldbach er forfatter til et af årtusindets syv problemer - Goldbach-hypotesen. Den oprindelige formulering siger, at hvert lige tal kan repræsenteres som summen af ​​to primtal. Desuden blev 1 oprindeligt taget i betragtning som et primtal, og vi ser dette: 2 = 1+1. Dette er det mindste eksempel, der opfylder den oprindelige formulering af hypotesen. Senere blev det rettet, og formuleringen fik en moderne form: "hvert lige tal, der starter med 4, kan repræsenteres som summen af ​​to primtal."

Lad os huske definitionen. Et primtal er et naturligt tal p, der kun har 2 forskellige naturlige divisorer: p selv og 1. Følge af definitionen: et primtal p har kun én primtal divisor - p selv.

Lad os nu antage, at 1 er et primtal. Per definition har et primtal kun én primtal divisor - sig selv. Så viser det sig, at ethvert primtal større end 1 er deleligt med et primtal forskelligt fra det (med 1). Men to forskellige primtal kan ikke divideres med hinanden, pga ellers er de ikke primtal, men sammensatte tal, og det er i modstrid med definitionen. Med denne tilgang viser det sig, at der kun er 1 primtal - selve enheden. Men det her er absurd. Derfor er 1 ikke et primtal.

1, såvel som 0, danner en anden klasse af tal - klassen af ​​neutrale elementer med hensyn til n-ære operationer i en delmængde af det algebraiske felt. Med hensyn til driften af ​​addition er 1 desuden også et genererende element for ringen af ​​heltal.

Med denne betragtning er det ikke svært at opdage analoger af primtal i andre algebraiske strukturer. Antag, at vi har en multiplikativ gruppe dannet af potenser 2, startende fra 1: 2, 4, 8, 16, ... osv. 2 fungerer her som et dannelseselement. Et primtal i denne gruppe er et tal større end det mindste element og kun deleligt med sig selv og det mindste element. I vores gruppe har kun 4 sådanne egenskaber. Der er ikke flere primtal i vores gruppe.

Hvis 2 også var et primtal i vores gruppe, så se første afsnit - igen skulle det vise sig, at kun 2 er et primtal.

Opdelingen af ​​naturlige tal i primtal og sammensatte tal tilskrives den antikke græske matematiker Pythagoras. Og hvis du følger Pythagoras, så kan mængden af ​​naturlige tal opdeles i tre klasser: (1) - et sæt bestående af et tal - et; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) – sæt af primtal; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – et sæt af sammensatte tal.

Det andet sæt gemmer på mange forskellige mysterier. Men lad os først finde ud af, hvad et primtal er. Vi åbner "Mathematical Encyclopedic Dictionary" (Yu. V. Prokhorov, forlag "Sovjet Encyclopedia", 1988) og læser:

"Et primtal er et positivt heltal større end et, som ikke har andre divisorer end sig selv og en: 2,3,5,7,11,13,

Begrebet et primtal er grundlæggende i studiet af naturlige tals delelighed; aritmetikkens grundsætning siger nemlig, at hvert positivt heltal undtagen 1 kan dekomponeres entydigt til et produkt af primtal (faktorernes rækkefølge tages ikke i betragtning). Der er uendeligt mange primtal (denne påstand, kaldet Euklids sætning, var kendt af oldgræske matematikere; beviset heraf kan findes i bog 9 af Euklids elementer). P. Dirichlet (1837) fastslog, at i den aritmetiske progression a + bx for x = 1. ,2,c med coprime heltal a og b indeholder også uendeligt mange primtal.

At finde primtal fra 1 til x, er kendt fra det 3. århundrede. f.Kr e. Eratosthenes' sigtemetode. En undersøgelse af rækkefølgen (*) af primtal fra 1 til x viser, at når x stiger, bliver det i gennemsnit sjældnere. Der er vilkårligt lange segmenter af en række naturlige tal, blandt hvilke der ikke er et enkelt primtal (sætning 4). Samtidig er der sådanne primtal, hvor forskellen mellem dem er lig med 2 (såkaldte tvillinger). Det er stadig uvist (1987), om sættet af sådanne tvillinger er endeligt eller uendeligt. Tabeller med primtal inden for de første 11 millioner naturlige tal viser tilstedeværelsen af ​​meget store tvillinger (f.eks. 10.006.427 og 10.006.429).

At finde ud af fordelingen af ​​primtal i den naturlige talrække er et meget vanskeligt problem i talteorien. Det er formuleret som studiet af den asymptotiske adfærd af en funktion, der angiver antallet af primtal, der ikke overstiger et positivt tal x. Ud fra Euklids sætning er det klart, at hvornår. L. Euler introducerede zeta-funktionen i 1737.

Han beviste også, at når

Hvor summeringen udføres over alle naturlige tal, og produktet overtages alle primtal. Denne identitet og dens generaliseringer spiller en grundlæggende rolle i teorien om fordeling af primtal. Baseret på dette beviste L. Euler, at serien og produktet med hensyn til prime p divergerer. Desuden konstaterede L. Euler, at der er "mange" primtal, fordi

Og samtidig er næsten alle naturlige tal sammensatte, da kl.

og for enhver (dvs. hvad der vokser som en funktion). Kronologisk er det næste væsentlige resultat, der forfiner Chebyshevs sætning, det såkaldte. den asymptotiske lov om fordelingen af ​​primtal (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), som fastslog, at grænsen for forholdet til er lig med 1. Efterfølgende blev der rettet betydelige anstrengelser fra matematikere for at tydeliggøre det asymptotiske loven om fordeling af primtal. Spørgsmål om fordelingen af ​​primtal studeres ved hjælp af både elementære metoder og metoder til matematisk analyse."

Her giver det mening at give et bevis på nogle af sætningerne i artiklen.

Lemma 1. Hvis gcd(a, b)=1, så eksisterer der heltal x, y sådan.

Bevis. Lad a og b være relativt primtal. Overvej mængden J af alle naturlige tal z, der kan repræsenteres i formen, og vælg det mindste tal d i det.

Lad os bevise, at a er deleligt med d. Divider a med d med resten: og lad. Da det har formen,

Det ser vi.

Da vi antog, at d er det mindste tal i J, får vi en modsigelse. Det betyder, at a er deleligt med d.

Lad os på samme måde bevise, at b er delelig med d. Så d=1. Lemmaet er bevist.

Sætning 1. Hvis tallene a og b er coprime og produktet bx er deleligt med a, så er x deleligt med a.

Bevis 1. Vi skal bevise, at ax er deleligt med b og gcd(a,b)=1, så er x deleligt med b.

Ved Lemma 1 eksisterer der x, y sådan. Så er det åbenbart deleligt med b.

Bevis 2. Betragt mængden J af alle naturlige tal z således, at zc er delelig med b. Lad d være det mindste tal i J. Det er let at se. I lighed med beviset for Lemma 1 er det bevist, at a er deleligt med d og b er deleligt med d

Lemma 2. Hvis tallene q,p1,p2,pn er primtal og produktet er deleligt med q, så er et af tallene pi lig med q.

Bevis. Bemærk først og fremmest, at hvis et primtal p er deleligt med q, så er p=q. Dette følger umiddelbart efter udsagnet af lemmaet for n=1. For n=2 følger det direkte af sætning 1: hvis p1p2 er deleligt med et primtal q, og så er p2 deleligt med q(dvs.).

Vi vil bevise lemmaet for n=3 som følger. Lad p1 p2 p3 divideres med q. Hvis p3 =q, så er alt bevist. Hvis, så ifølge sætning 1, er p1 p2 deleligt med q. Således reducerede vi tilfældet n=3 til det allerede overvejede tilfælde n=2.

På samme måde kan vi fra n=3 gå til n=4, derefter til n=5, og generelt, hvis vi antager, at n=k-sætningen af ​​lemmaet er bevist, kan vi nemt bevise det for n=k+ 1. Dette overbeviser os om, at lemmaet er sandt for alle n.

Grundlæggende sætning for aritmetik. Hvert naturligt tal kan faktoriseres på en unik måde.

Bevis. Antag, at der er to nedbrydninger af tallet a til primfaktorer:

Da højre side er delelig med q1, så skal venstre side af ligheden være delelig med q1. Ifølge Lemma 2 er et af tallene lig med q1. Lad os annullere begge sider af ligheden med q1.

Lad os udføre den samme begrundelse for q2, så for q3, for qi. I sidste ende vil alle faktorerne til højre annullere, og 1 vil naturligvis forblive til venstre, undtagen én. Fra dette konkluderer vi, at de to udvidelser og kun kan afvige i rækkefølgen af ​​faktorerne. Sætningen er blevet bevist.

Euklids sætning. Rækken af ​​primtal er uendelig.

Bevis. Antag, at rækken af ​​primtal er endelig, og vi betegner det sidste primtal med bogstavet N. Lad os sammensætte produktet

Lad os tilføje 1 til det.

Dette tal, der er et heltal, skal indeholde mindst én primtal, dvs. det skal være deleligt med mindst ét ​​primtal. Men alle primtal overstiger ved antagelse ikke N, og tallet M+1 er ikke deleligt uden en rest med nogen af ​​primtallene mindre end eller lig med N - hver gang resten er 1. Sætningen er bevist.

Sætning 4. Udsnit af sammensatte tal mellem primtal kan være af enhver længde. Vi vil nu bevise, at rækken består af n på hinanden følgende sammensatte tal.

Disse tal kommer direkte efter hinanden i den naturlige række, da hver næste er 1 mere end den foregående. Det er tilbage at bevise, at de alle er sammensatte.

Første nummer

Lige, da begge dets udtryk indeholder en faktor på 2. Og hvert lige tal større end 2 er sammensat.

Det andet tal består af to led, som hver er et multiplum af 3. Det betyder, at dette tal er sammensat.

På samme måde fastslår vi, at det næste tal er et multiplum af 4 osv. Med andre ord indeholder hvert tal i vores række en faktor, der er forskellig fra enhed og sig selv; den er derfor sammensat. Sætningen er blevet bevist.

Efter at have studeret beviserne for sætningerne fortsætter vi vores overvejelse af artiklen. Dens tekst nævnte Eratosthenes' sigtemetode som en måde at finde primtal på. Lad os læse om denne metode fra den samme ordbog:

”Eratosthenes-sien er en metode udviklet af Eratosthenes, der giver dig mulighed for at frase sammensatte tal fra den naturlige række. Essensen af ​​sigten af ​​Eratosthenes er som følger. Enheden er overstreget. Nummer to er primtal. Alle naturlige tal, der er delelige med 2, er streget over Nummer 3 - det første tal, der ikke er overstreget, vil være primtal. Dernæst er alle naturlige tal, der er delelige med 3, streget over Tallet 5 - det næste ikke-overstregede tal - vil være primtal. Ved at fortsætte lignende beregninger kan du finde et vilkårligt langt segment af en sekvens af primtal. Sigten af ​​Eratosthenes som en teoretisk metode til at studere talteori er udviklet af V. Brun (1919).

Her er det største antal i øjeblikket kendt for at være prime:

Dette tal har omkring syv hundrede decimaler. Beregningerne, hvorved det blev fastslået, at dette tal er prime, blev udført på moderne computere.

"Riemann zeta-funktionen, -funktion, er en analytisk funktion af en kompleks variabel, for σ>1 bestemt absolut og ensartet af en konvergent Dirichlet-række:

For σ>1 er repræsentationen i form af Euler-produktet gyldig:

(2) hvor p løber gennem alle primtal.

Identiteten af ​​serie (1) og produkt (2) er en af ​​zeta-funktionens hovedegenskaber. Det giver os mulighed for at opnå forskellige sammenhænge, ​​der forbinder zeta-funktionen med de vigtigste talteoretiske funktioner. Derfor spiller zeta-funktionen en stor rolle i talteorien.

Zeta-funktionen blev introduceret som en funktion af en reel variabel af L. Euler (1737, publ. 1744), som angav dens placering i produktet (2). Derefter blev zeta-funktionen overvejet af P. Dirichlet og især med succes af P. L. Chebyshev i forbindelse med studiet af loven om fordeling af primtal. Men de mest dybtgående egenskaber ved zeta-funktionen blev opdaget efter arbejdet af B. Riemann, som for første gang i 1859 betragtede zeta-funktionen som en funktion af en kompleks variabel, han introducerede også navnet "zeta-funktionen" og betegnelse """.

Men spørgsmålet opstår: hvilken praktisk anvendelse er der for alt dette arbejde med primtal? Der er faktisk næsten ingen brug for dem, men der er et område, hvor primtal og deres egenskaber bruges den dag i dag. Dette er kryptografi. Her bruges primtal i krypteringssystemer uden at overføre nøgler.

Desværre er det alt, hvad man ved om primtal. Der er stadig mange mysterier tilbage. For eksempel vides det ikke, om mængden af ​​primtal, der kan repræsenteres som to kvadrater, er uendelig.

"SVÆRE PRIMMER".

Jeg besluttede at lave lidt research for at finde svar på nogle spørgsmål om primtal. Først og fremmest kompilerede jeg et program, der producerer alle på hinanden følgende primtal mindre end 1.000.000.000. Derudover kompilerede jeg et program, der afgør, om det indtastede tal er primtal. For at studere problemerne med primtal konstruerede jeg en graf, der indikerer afhængigheden af ​​værdien af ​​et primtal af ordenstallet Som en yderligere forskningsplan besluttede jeg at bruge artiklen af ​​I. S. Zeltser og B. A. Kordemsky "Interessante flokke af primtal. tal." Forfatterne identificerede følgende forskningsveje:

1. 168 pladser i de første tusinde naturlige tal er optaget af primtal. Af disse er 16 tal palindromiske - hver er lig med dens inverse: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 9.

Der er kun 1061 firecifrede primtal, og ingen af ​​dem er palindromiske.

Der er mange femcifrede palindromiske primtal. De omfatter sådanne skønheder: 13331, 15551, 16661, 19991. Der er utvivlsomt flokke af denne type: ,. Men hvor mange eksemplarer er der i hver sådan flok?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

Det kan ses, at summen af ​​tallenes cifre er delelig med 3, derfor er disse tal i sig selv også delelige med 3.

Hvad angår formnumre, er primtallene blandt dem 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.

2. I de første tusinde tal er der fem "kvartetter" bestående af på hinanden følgende primtal, hvis sidste cifre danner rækkefølgen 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

Hvor mange sådanne kvartetter er der blandt n-cifrede primtal for n›3?

Ved hjælp af det program, jeg skrev, blev der fundet en kvartet, som forfatterne savnede: (479, 467, 463, 461) og kvartetter for n = 4, 5, 6. For n = 4 er der 11 kvartetter

3. En flok med ni primtal: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 er attraktiv, ikke kun fordi den repræsenterer en aritmetisk progression med en forskel på 210, men også fordi den kan passe ind i ni celler, så der dannes et magisk kvadrat med en konstant lig med forskellen mellem to primtal: 3119 – 2:

Den næste, tiende periode af progressionen under overvejelse, 2089, er også et primtal. Hvis du fjerner tallet 199 fra flokken, men inkluderer 2089, så kan flokken selv i denne sammensætning danne en magisk firkant - et emne at søge efter.

Det skal bemærkes, at der er andre magiske firkanter, der består af primtal:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

Den foreslåede plads er interessant pga

1. Det er en 7x7 magisk firkant;

2. Den indeholder en 5x5 magisk firkant;

3. Den 5x5 magiske firkant indeholder en 3x3 magisk firkant;

4. Alle disse firkanter har ét fælles centralt tal - 3407;

5. Alle 49 tal inkluderet i en 7x7 firkantet ende med tallet 7;

6. Alle 49 tal inkluderet i en 7x7 kvadrat er primtal;

7. Hvert af de 49 tal inkluderet i en 7x7 kvadrat kan repræsenteres som 30n + 17.

De anvendte programmer er skrevet af mig i programmeringssproget Dev-C++, og jeg giver deres tekster i appendiks (se filer med filtypenavnet .srr). Ud over alt det ovenstående skrev jeg et program, der nedbryder på hinanden følgende naturlige tal i primtal (se Divisorer 1. срр) og et program, der kun dekomponerer det indtastede tal i primtal (se Divisorer 2. срр). Da disse programmer fylder for meget i kompileret form, er kun deres tekster angivet. Alle kan dog kompilere dem, hvis de har det rigtige program.

BIOGRAFIER OM VIDENSKABER, DER ER INDRIVERET I PROBLEMET MED PRIMES

EUCLIDES

(ca. 330 f.Kr. – ca. 272 ​​f.Kr.)

Meget få pålidelige oplysninger er blevet bevaret om livet for antikkens mest berømte matematiker. Det menes, at han studerede i Athen, hvilket forklarer hans strålende beherskelse af geometri, udviklet af Platons skole. Men tilsyneladende var han ikke bekendt med Aristoteles' værker. Han underviste i Alexandria, hvor han fik stor ros for sine undervisningsaktiviteter under Ptolemæus I Soters regeringstid. Der er en legende om, at denne konge krævede, at han skulle opdage en måde at opnå hurtig succes i matematik, hvortil Euklid svarede, at der ikke er nogen kongelige måder i geometri (en lignende historie fortælles dog også om Menchem, som angiveligt blev spurgt om det samme af Alexander den Store). Traditionen har bevaret mindet om Euklid som en velvillig og beskeden person. Euclid er forfatter til afhandlinger om forskellige emner, men hans navn er hovedsageligt forbundet med en af ​​afhandlingerne kaldet Elementerne. Det handler om en samling af værker af matematikere, der arbejdede før ham (den mest berømte af dem var Hippokrates fra Kos), hvis resultater han bragte til perfektion takket være hans evne til at generalisere og hårdt arbejde.

EULER LEONARD

(Basel, Schweiz 1707 – St. Petersborg, 1783)

Matematiker, mekaniker og fysiker. Født i familien til en fattig præst, Paul Euler. Han modtog sin uddannelse først fra sin far og i 1720-24 på universitetet i Basel, hvor han deltog i forelæsninger om matematik af I. Bernoulli.

I slutningen af ​​1726 blev Euler inviteret til Sankt Petersborgs Videnskabsakademi og i maj 1727 ankom han til Sankt Petersborg. I det nyligt organiserede akademi fandt Euler gunstige betingelser for videnskabelig aktivitet, som tillod ham straks at begynde at studere matematik og mekanik. I løbet af de 14 år af den første St. Petersborg-periode af sit liv forberedte Euler omkring 80 værker til udgivelse og udgav over 50. I St. Petersborg studerede han det russiske sprog.

Euler deltog i mange aktivitetsområder af St. Petersburg Academy of Sciences. Han forelæste for studerende på det akademiske universitet, deltog i forskellige tekniske undersøgelser, arbejdede på at kompilere kort over Rusland og skrev en offentligt tilgængelig "Manual to Arithmetic" (1738-40). På særlige instruktioner fra akademiet forberedte Euler til udgivelsen "Nautical Science" (1749), et grundlæggende værk om teorien om skibsbygning og navigation.

I 1741 tog Euler imod tilbuddet fra den preussiske kong Frederik II om at flytte til Berlin, hvor omorganiseringen af ​​Videnskabsakademiet skulle finde sted. Ved Berlins Videnskabsakademi indtog Euler posten som direktør for matematikklassen og medlem af bestyrelsen, og efter dets første præsident P. Maupertuis død, ledede han i flere år (fra 1759) faktisk akademiet. I løbet af de 25 år af sit liv i Berlin udarbejdede han omkring 300 værker, herunder en række store monografier.

Mens han boede i Berlin, holdt Euler ikke op med at arbejde intensivt for St. Petersborgs Videnskabsakademi og bevarede titlen som dets æresmedlem. Han førte omfattende videnskabelig og videnskabelig-organisatorisk korrespondance, især korresponderede han med M. Lomonosov, som han værdsatte højt. Euler redigerede den matematiske afdeling af det russiske akademiske videnskabelige organ, hvor han i løbet af denne tid udgav næsten lige så mange artikler som i "Memoirs" fra Berlin Academy of Sciences. Han deltog aktivt i uddannelsen af ​​russiske matematikere; Fremtidige akademikere S. Kotelnikov, S. Rumovsky og M. Sofronov blev sendt til Berlin for at studere under hans ledelse. Euler ydede stor hjælp til Sankt Petersborgs Videnskabsakademi, indkøbte videnskabelig litteratur og udstyr til det, forhandlede med kandidater til stillinger ved akademiet mv.

17. juli (28) 1766 vendte Euler og hans familie tilbage til St. Petersborg. På trods af sin høje alder og den næsten fuldstændige blindhed, der ramte ham, arbejdede han produktivt indtil slutningen af ​​sit liv. I løbet af de 17 år af sit andet ophold i Sankt Petersborg udarbejdede han omkring 400 værker, herunder flere store bøger. Euler fortsatte med at deltage i akademiets organisatoriske arbejde. I 1776 var han en af ​​eksperterne i projektet med en enkeltbuet bro over Neva, foreslået af I. Kulibin, og af hele kommissionen var han den eneste, der gav bred støtte til projektet.

Eulers fortjenester som stor videnskabsmand og organisator af videnskabelig forskning blev højt værdsat i hans levetid. Ud over akademierne i St. Petersborg og Berlin var han medlem af de største videnskabelige institutioner: Videnskabernes Akademi i Paris, Royal Society of London m.fl.

Et af de karakteristiske aspekter ved Eulers arbejde er hans enestående produktivitet. Alene i løbet af hans levetid blev omkring 550 af hans bøger og artikler udgivet (listen over Eulers værker indeholder cirka 850 titler). I 1909 begyndte Swiss Natural Science Society at udgive Eulers samlede værker, som blev afsluttet i 1975; den består af 72 bind. Eulers kolossale videnskabelige korrespondance (ca. 3.000 breve) er også af stor interesse, den er indtil videre kun delvist offentliggjort.

Eulers aktivitetsområde var usædvanligt bredt og dækkede alle afdelinger af moderne matematik og mekanik, elasticitetsteori, matematisk fysik, optik, musikteori, maskinteori, ballistik, havvidenskab, forsikring osv. Omkring 3/5 af Eulers værker vedrører til matematik, de resterende 2/5 hovedsagelig til dets anvendelser. Videnskabsmanden systematiserede sine resultater og resultaterne opnået af andre i en række klassiske monografier, skrevet med forbløffende klarhed og forsynet med værdifulde eksempler. Disse er for eksempel "Mekanik, eller videnskaben om bevægelse, præsenteret analytisk" (1736), "Introduktion til analyse" (1748), "Differentialregning" (1755), "Teori om stiv kropsbevægelse" (1765), “Universal Arithmetic” (1768–69), som gennemgik omkring 30 udgaver på 6 sprog, “Integral Calculus” (1768–94) osv. I det 18. århundrede. , og dels i 1800-tallet. De offentligt tilgængelige "Breve om forskellige fysiske og filosofiske spørgsmål, skrevet til en vis tysk prinsesse," blev ekstremt populær. "(1768–74), som gennemgik over 40 udgaver på 10 sprog. Det meste af indholdet i Eulers monografier indgik derefter i lærebøger for højere og delvist gymnasier. Det er umuligt at opregne alle Eulers sætninger, metoder og formler, der stadig er i brug, hvoraf kun få optræder i litteraturen under hans navn [for eksempel Eulers stiplede linjemetode, Eulers substitutioner, Eulers konstant, Eulers ligninger, Eulers formler, Eulers funktion, Eulers tal, Eulers formel - Maclaurin, Euler–Fourier formler, Euler karakteristik, Euler integraler, Euler vinkler].

I Mekanik skitserede Euler først dynamikken i et punkt ved hjælp af matematisk analyse: et punkts frie bevægelse under påvirkning af forskellige kræfter både i tomhed og i et medium med modstand; bevægelse af et punkt langs en given linje eller overflade; bevægelse under indflydelse af centrale kræfter. I 1744 formulerede han først korrekt det mekaniske princip om mindste handling og viste dets første anvendelser. I The Theory of Rigid Body Motion udviklede Euler kinematik og dynamik af et stivt legeme og gav ligningerne for dets rotation omkring et fast punkt, hvilket lagde grundlaget for teorien om gyroskoper. I sin teori om skibet gav Euler værdifulde bidrag til teorien om stabilitet. Eulers opdagelser var væsentlige inden for himmelmekanik (for eksempel i teorien om Månens bevægelse), kontinuummekanik (de grundlæggende bevægelsesligninger for en ideel væske i Eulers form og i de såkaldte Lagrange-variable, gassvingninger i rør , etc.). I optik gav Euler (1747) formlen for en bikonveks linse og foreslog en metode til beregning af et mediums brydningsindeks. Euler holdt sig til bølgeteorien om lys. Han mente, at forskellige farver svarer til forskellige bølgelængder af lys. Euler foreslog måder at eliminere kromatiske aberrationer af linser og gav metoder til at beregne de optiske komponenter i et mikroskop. Euler viede en omfattende række værker, der blev påbegyndt i 1748, til matematisk fysik: problemer med vibrationer af en streng, plade, membran osv. Alle disse undersøgelser stimulerede udviklingen af ​​teorien om differentialligninger, omtrentlige analysemetoder og specielle teknikker . funktioner, differentialgeometri osv. Mange af Eulers matematiske opdagelser er indeholdt i disse værker.

Eulers vigtigste arbejde som matematiker var udviklingen af ​​matematisk analyse. Han lagde grundlaget for flere matematiske discipliner, som kun var i deres rudimentære form eller var fuldstændig fraværende i I. Newtons, G. Leibniz' og Bernoulli-brødrenes infinitesimalregning. Således var Euler den første til at introducere funktioner af et komplekst argument og undersøge egenskaberne af de grundlæggende elementære funktioner i en kompleks variabel (eksponentielle, logaritmiske og trigonometriske funktioner); især udledte han formler, der forbinder trigonometriske funktioner med eksponentielle funktioner. Eulers arbejde i denne retning lagde grundlaget for teorien om funktioner af en kompleks variabel.

Euler var skaberen af ​​variationsregningen, som er beskrevet i værket "Metode til at finde buede linjer, der har egenskaberne af et maksimum eller minimum. "(1744). Metoden, hvormed Euler i 1744 udledte den nødvendige betingelse for yderpunktet af en funktionel - Euler-ligningen - var prototypen på de direkte metoder til variationskalkylen fra det 20. århundrede. Euler skabte teorien om almindelige differentialligninger som en selvstændig disciplin og lagde grundlaget for teorien om partielle differentialligninger. Her er han ansvarlig for et stort antal opdagelser: den klassiske metode til at løse lineære ligninger med konstante koefficienter, metoden til at variere vilkårlige konstanter, belyse de grundlæggende egenskaber af Riccati-ligningen, integrere lineære ligninger med variable koefficienter ved hjælp af uendelige rækker, kriterier for specialløsninger, læren om den integrerende faktor, forskellige tilnærmede metoder og en række teknikker til løsning af partielle differentialligninger. Euler samlede en væsentlig del af disse resultater i sin "Integralregning".

Euler berigede også differential- og integralregning i ordets snævre betydning (f.eks. læren om ændringer af variable, sætningen om homogene funktioner, begrebet dobbeltintegral og beregningen af ​​mange specielle integraler). I "Differential Calculus" udtrykte og understøttede Euler med eksempler sin tro på det tilrådelige i at bruge divergerende serier og foreslåede metoder til generaliseret summering af serier, idet han foregriber ideerne fra den moderne strenge teori om divergerende serier, der blev skabt ved skiftet til det 19. 20. århundrede. Derudover opnåede Euler mange konkrete resultater i serieteori. Han opdagede den såkaldte. Euler-Maclaurin summationsformlen, foreslog serietransformationen, der bærer hans navn, bestemte summen af ​​et stort antal serier og introducerede vigtige nye serier i matematik (for eksempel trigonometriske serier). Dette omfatter også Eulers forskning i teorien om fortsatte fraktioner og andre uendelige processer.

Euler er grundlæggeren af ​​teorien om særlige funktioner. Han var den første til at betragte sinus og cosinus som funktioner og ikke som segmenter i en cirkel. Han opnåede næsten alle klassiske udvidelser af elementære funktioner til uendelige serier og produkter. Hans værker skabte teorien om γ-funktionen. Han studerede egenskaberne af elliptiske integraler, hyperbolske og cylindriske funktioner, ζ-funktionen, nogle θ-funktioner, integrallogaritmen og vigtige klasser af specielle polynomier.

Ifølge P. Chebyshev lagde Euler grundlaget for al den forskning, der udgør den generelle del af talteorien. Således beviste Euler en række udsagn fra P. Fermat (for eksempel Fermats lille sætning), udviklede grundlaget for teorien om magtrester og teorien om kvadratiske former, opdagede (men beviste ikke) den kvadratiske reciprocitetslov, og studerede en række problemer i Diophantine analyse. I sine værker om opdelingen af ​​tal i termer og om teorien om primtal var Euler den første til at bruge analysemetoder og blev derved skaberen af ​​den analytiske talteori. Især introducerede han ζ-funktionen og beviste den såkaldte. Eulers identitet forbinder primtal med alle naturlige tal.

Euler også gjort store resultater på andre områder af matematik. I algebra skrev han værker om løsning af ligninger af højere grader i radikaler og om ligninger med to ukendte, samt de såkaldte. Eulers firkantede identitet. Euler avancerede betydeligt analytisk geometri, især læren om andenordens overflader. I differentialgeometri studerede han i detaljer egenskaberne af geodætiske linjer, var den første til at anvende naturlige kurveligninger, og vigtigst af alt, lagde han grundlaget for teorien om overflader. Han introducerede begrebet hovedretninger i et punkt på en overflade, beviste deres ortogonalitet, udledte en formel for krumningen af ​​enhver normal sektion, begyndte studiet af fremkaldelige overflader osv.; i et posthumt offentliggjort værk (1862) forudså han delvist K. Gauss' forskning i overfladernes indre geometri. Euler beskæftigede sig også med visse spørgsmål om topologi og beviste for eksempel en vigtig sætning om konvekse polyedre. Matematikeren Euler karakteriseres ofte som en genial "regnemaskine". Faktisk var han en uovertruffen mester i formelle beregninger og transformationer i sine værker, mange matematiske formler og symbolik fik et moderne udseende (for eksempel ejede han notationen for e og π). Imidlertid introducerede Euler også en række dybsindige ideer i videnskaben, som nu er strengt underbyggede og tjener som et eksempel på dybden af ​​indtrængen i forskningsemnet.

Ifølge P. Laplace var Euler lærer i matematikere i anden halvdel af det 18. århundrede.

DIRICHLET PETER GUSTAV

(Düren, nu Tyskland, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)

Han studerede i Paris og opretholdt venskabelige forbindelser med fremragende matematikere, især med Fourier. Efter at have modtaget sin akademiske grad var han professor ved universiteterne i Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) og Göttingen, hvor han blev leder af instituttet for matematik efter videnskabsmanden Carl Friedrich Gauss død. Hans mest fremragende bidrag til videnskaben vedrører talteori, primært studiet af serier. Dette tillod ham at udvikle teorien om serier foreslået af Fourier. Skabte sin egen version af beviset for Fermats sætning, brugte analytiske funktioner til at løse aritmetiske problemer og introducerede konvergenskriterier for serier. Inden for matematisk analyse forbedrede han definitionen og begrebet af en funktion inden for teoretisk mekanik, han fokuserede på studiet af systemernes stabilitet og på Newtons potentialebegreb.

CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH

Russisk matematiker, grundlægger af Sankt Petersborgs videnskabelige skole, akademiker ved Sankt Petersborgs Videnskabsakademi (1856). Chebyshevs værker lagde grundlaget for udviklingen af ​​mange nye grene af matematikken.

Chebyshevs mest talrige værker er inden for matematisk analyse. Især en afhandling om retten til at holde foredrag blev viet ham, hvor Chebyshev undersøgte integrerbarheden af ​​visse irrationelle udtryk i algebraiske funktioner og logaritmer. Chebyshev viede også en række andre værker til integrationen af ​​algebraiske funktioner. I en af ​​dem (1853) blev der opnået en velkendt sætning om integreringsbetingelser i elementære funktioner af et differentialt binomium. Et vigtigt forskningsområde inden for matematisk analyse består af hans arbejde med konstruktionen af ​​en generel teori om ortogonale polynomier. Årsagen til dens oprettelse var parabolsk interpolation ved hjælp af mindste kvadraters metode. Chebyshevs forskning i problemet med momenter og kvadraturformler støder op til den samme række af ideer. Med henblik på at reducere beregninger foreslog Chebyshev (1873) at overveje kvadraturformler med lige koefficienter (omtrentlig integration). Forskning i kvadraturformler og teorien om interpolation var tæt forbundet med de opgaver, der blev stillet til Chebyshev i artilleriafdelingen i den militærvidenskabelige komité.

I sandsynlighedsteori tilskrives Chebyshev systematisk at indføre stokastiske variable i betragtningen og skabe en ny teknik til at bevise grænsesætninger i sandsynlighedsteori - den såkaldte. moments metode (1845, 1846, 1867, 1887). Han beviste loven om store tal i en meget generel form; Desuden er hans bevis slående i sin enkelhed og elementaritet. Chebyshev bragte ikke undersøgelsen af ​​betingelserne for konvergensen af ​​fordelingsfunktioner af summer af uafhængige tilfældige variable til normalloven for at fuldføre færdiggørelsen. Men gennem nogle tilføjelser til Chebyshevs metoder lykkedes det A. A. Markov at gøre dette. Uden strenge konklusioner skitserede Chebyshev også muligheden for at præcisere denne grænsesætning i form af asymptotiske udvidelser af fordelingsfunktionen af ​​summen af ​​uafhængige led i potenser af n21/2, hvor n er antallet af led. Chebyshevs arbejde med sandsynlighedsteori udgør et vigtigt trin i dens udvikling; derudover var de grundlaget, hvorpå den russiske sandsynlighedsteoriskole voksede, som oprindeligt bestod af Chebyshevs direkte elever.

RIEMANN GEORG FRIEDRIGG BERNHARD

(Breselenz, Niedersachsen, 1826 - Selaska, nær Intra, Italien 66)

tysk matematiker. I 1846 kom han ind på universitetet i Göttingen: han lyttede til forelæsninger af K. Gauss, mange af hvis ideer blev udviklet af ham senere. 1847–49 deltog han i forelæsninger ved universitetet i Berlin; i 1849 vendte han tilbage til Göttingen, hvor han kom tæt på Gauss’ samarbejdspartner, fysikeren W. Weber, som vakte en dyb interesse hos ham for spørgsmål om matematisk videnskab.

I 1851 forsvarede han sin doktorafhandling "Fundamentals of the general theory of functions of one complex variable." Siden 1854, privatdozent, siden 1857, professor ved universitetet i Göttingen.

Riemanns værker havde stor indflydelse på matematikkens udvikling i 2. halvdel af 1800-tallet. og i det 20. århundrede. Riemann lagde i sin doktordisputats grunden til den geometriske retning af teorien om analytiske funktioner; han introducerede de såkaldte Riemann-overflader, som er vigtige i studiet af funktioner med flere værdier, udviklede teorien om konforme kortlægninger og gav i denne forbindelse de grundlæggende ideer om topologi, studerede betingelserne for eksistensen af ​​analytiske funktioner inden for domæner af forskellige typer (det såkaldte Dirichlet-princip) osv. Metoder udviklet af Riemann blev i vid udstrækning brugt i hans videre værker om teorien om algebraiske funktioner og integraler, om den analytiske teori om differentialligninger (især ligninger, der definerer hypergeometriske funktioner), om analytisk talteori (for eksempel angav Riemann sammenhængen mellem fordelingen af ​​primtal og egenskaberne af ζ-funktionen, især med fordelingen af ​​dens nuller i det komplekse område - den såkaldte Riemann-hypotese, hvis gyldighed endnu ikke er bevist) osv.

Riemann undersøgte i en række værker funktioners nedbrydelighed i trigonometriske rækker og fastlagde i forbindelse hermed nødvendige og tilstrækkelige betingelser for integrerbarhed i riemannsk forstand, hvilket var vigtigt for teorien om mængder og funktioner for en reel variabel. Riemann foreslog også metoder til at integrere partielle differentialligninger (for eksempel ved at bruge de såkaldte Riemann-invarianter og Riemann-funktionen).

I sit berømte foredrag fra 1854 "Om hypoteserne som ligger til grund for geometri" (1867) gav Riemann en generel idé om matematisk rum (med hans ord "manifolder"), herunder funktionelle og topologiske rum. Her betragtede han geometri i bred forstand som studiet af kontinuerlige n-dimensionelle manifolder, dvs. samlinger af homogene objekter, og ved at generalisere Gauss' resultater på en overflades indre geometri gav han det generelle begreb om et lineært element ( differensen af ​​afstanden mellem punkter i manifolden), og definerer derved det, der kaldes Finsler-rum. Riemann undersøgte mere detaljeret de såkaldte Riemannske rum, generaliserede rummene i euklidisk, Lobachevsky og Riemannsk elliptisk geometri, karakteriseret ved en særlig type lineært element, og udviklede læren om deres krumning. Riemann diskuterede anvendelsen af ​​sine ideer til det fysiske rum, rejste spørgsmålet om "årsagerne til de metriske egenskaber" af det, som om han foregreb, hvad der blev gjort i den generelle relativitetsteori.

De ideer og metoder, der blev foreslået af Riemann, åbnede nye veje i udviklingen af ​​matematik og fandt anvendelse i mekanik og den generelle relativitetsteori. Videnskabsmanden døde i 1866 af tuberkulose.

• Oversættelse

Egenskaberne ved primtal blev først undersøgt af matematikere fra det antikke Grækenland. Matematikere fra den pythagoræiske skole (500 - 300 f.Kr.) var primært interesserede i de mystiske og numerologiske egenskaber ved primtal. De var de første, der kom med ideer om perfekte og venlige tal.

Et perfekt tal har en sum af sine egne divisorer lig med sig selv. For eksempel er de rigtige divisorer for tallet 6 1, 2 og 3. 1 + 2 + 3 = 6. Divisorerne for tallet 28 er 1, 2, 4, 7 og 14. Desuden er 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Tal kaldes venlige, hvis summen af ​​de rigtige divisorer af et tal er lig med et andet, og omvendt - for eksempel 220 og 284. Vi kan sige, at et perfekt tal er venligt over for sig selv.

På tidspunktet for Euklids elementer i 300 f.Kr. Flere vigtige fakta om primtal er allerede blevet bevist. I Elementernes Bog IX beviste Euklid, at der er et uendeligt antal primtal. Dette er i øvrigt et af de første eksempler på at bruge bevis ved modsigelse. Han beviser også aritmetikkens grundlæggende sætning - hvert heltal kan repræsenteres unikt som et produkt af primtal.

Han viste også, at hvis tallet 2n-1 er primtal, så vil tallet 2n-1 * (2n-1) være perfekt. En anden matematiker, Euler, var i stand til at vise i 1747, at alle lige perfekte tal kan skrives i denne form. Den dag i dag er det uvist, om der findes ulige perfekte tal.

I år 200 f.Kr. Den græske Eratosthenes kom op med en algoritme til at finde primtal kaldet Eratosthenes Sieve.

Og så var der et stort gennembrud i historien om studiet af primtal, forbundet med middelalderen.

Følgende opdagelser blev gjort allerede i begyndelsen af ​​det 17. århundrede af matematikeren Fermat. Han beviste Albert Girards formodning om, at ethvert primtal af formen 4n+1 kan skrives entydigt som summen af ​​to kvadrater, og formulerede også sætningen om, at ethvert tal kan skrives som summen af ​​fire kvadrater.

Han udviklede en ny metode til faktorisering af store tal og demonstrerede den på tallet 2027651281 = 44021 × 46061. Han beviste også Fermats lille sætning: hvis p er et primtal, så vil det for ethvert heltal a være sandt, at a p = et modulo s.

Dette udsagn beviser halvdelen af ​​det, der var kendt som den "kinesiske formodning" og går 2000 år tilbage: et helt tal n er primtal, hvis og kun hvis 2 n -2 er deleligt med n. Den anden del af hypotesen viste sig at være falsk - for eksempel er 2.341 - 2 deleligt med 341, selvom tallet 341 er sammensat: 341 = 31 × 11.

Fermats lille sætning tjente som grundlag for mange andre resultater inden for talteori og metoder til at teste om tal er primtal – hvoraf mange stadig bruges i dag.

Fermat korresponderede meget med sine samtidige, især med en munk ved navn Maren Mersenne. I et af sine breve antog han, at tal på formen 2 n +1 altid vil være primtal, hvis n er en potens af to. Han testede dette for n = 1, 2, 4, 8 og 16 og var overbevist om, at i det tilfælde, hvor n ikke var en potens af to, var tallet ikke nødvendigvis primtal. Disse tal kaldes Fermats tal, og kun 100 år senere viste Euler, at det næste tal, 2 32 + 1 = 4294967297, er deleligt med 641, og derfor ikke er primtal.

Tal på formen 2 n - 1 har også været genstand for forskning, da det er let at vise, at hvis n er sammensat, så er selve tallet også sammensat. Disse tal kaldes Mersenne-numre, fordi han studerede dem indgående.

Men ikke alle tal på formen 2 n - 1, hvor n er primtal, er primtal. For eksempel, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Dette blev først opdaget i 1536.

I mange år har tal af denne art givet matematikere de største kendte primtal. At M 19 blev bevist af Cataldi i 1588, og i 200 år var det største kendte primtal, indtil Euler beviste, at M 31 også var primtal. Denne rekord stod i yderligere hundrede år, og så viste Lucas, at M 127 er prime (og dette er allerede et tal på 39 cifre), og derefter fortsatte forskningen med computernes fremkomst.

I 1952 blev numrene M 521, M 607, M 1279, M 2203 og M 2281 bevist.

I 2005 var der fundet 42 Mersenne-primtal. Den største af dem, M 25964951, består af 7816230 cifre.

Eulers arbejde havde en enorm indflydelse på teorien om tal, herunder primtal. Han udvidede Fermats lille sætning og introducerede φ-funktionen. Faktoriserede det 5. Fermat nummer 2 32 +1, fandt 60 par venlige tal og formulerede (men kunne ikke bevise) den kvadratiske gensidighedslov.

Han var den første til at introducere metoder til matematisk analyse og udvikle analytisk talteori. Han beviste, at ikke kun den harmoniske række ∑ (1/n), men også en række af formen

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Resultatet opnået ved summen af ​​de reciproke primtal afviger også. Summen af ​​n led af den harmoniske række vokser omtrent som log(n), og den anden række divergerer langsommere som log[ log(n) ]. Det betyder, at for eksempel summen af ​​de reciproke af alle primtal fundet til dato kun vil give 4, selvom rækken stadig divergerer.

Ved første øjekast ser det ud til, at primtal er fordelt ret tilfældigt blandt heltal. For eksempel er der blandt de 100 tal umiddelbart før 10000000 9 primtal, og blandt de 100 tal umiddelbart efter denne værdi er der kun 2. Men over store segmenter er primtallene fordelt ret ligeligt. Legendre og Gauss beskæftigede sig med spørgsmål om deres distribution. Gauss fortalte engang en ven, at han i alle frie 15 minutter altid tæller antallet af primtal i de næste 1000 tal. Ved slutningen af ​​sit liv havde han talt alle primtal op til 3 millioner. Legendre og Gauss beregnede ligeledes, at for store n er primtætheden 1/log(n). Legendre estimerede antallet af primtal i området fra 1 til n as

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Og Gauss er som et logaritmisk integral

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Med et integrationsinterval fra 2 til n.

Udsagnet om tætheden af ​​primtal 1/log(n) er kendt som Prime Distribution Theorem. De forsøgte at bevise det gennem det 19. århundrede, og fremskridt blev opnået af Chebyshev og Riemann. De forbandt det med Riemann-hypotesen, en stadig ubevist hypotese om fordelingen af ​​nuller af Riemann-zeta-funktionen. Tætheden af ​​primtal blev samtidigt bevist af Hadamard og Vallée-Poussin i 1896.

Der er stadig mange uløste spørgsmål i primtalsteorien, hvoraf nogle er hundreder af år gamle:

• Tvillingprimhypotesen handler om et uendeligt antal par af primtal, der adskiller sig fra hinanden med 2
• Goldbachs formodning: ethvert lige tal, der starter med 4, kan repræsenteres som summen af ​​to primtal
• Er der et uendeligt antal primtal på formen n 2 + 1?
• Er det altid muligt at finde et primtal mellem n 2 og (n + 1) 2? (det faktum, at der altid er et primtal mellem n og 2n blev bevist af Chebyshev)
• Er antallet af Fermat-primtal uendeligt? Er der nogen Fermat-primtal efter 4?
• er der en aritmetisk progression af på hinanden følgende primtal for en given længde? for eksempel for længde 4: 251, 257, 263, 269. Den maksimale fundet længde er 26.
• Er der et uendeligt antal sæt af tre på hinanden følgende primtal i en aritmetisk progression?
• n 2 - n + 41 er et primtal for 0 ≤ n ≤ 40. Er der et uendeligt antal af sådanne primtal? Det samme spørgsmål for formlen n 2 - 79 n + 1601. Disse tal er primtal for 0 ≤ n ≤ 79.
• Er der et uendeligt antal primtal på formen n# + 1? (n# er resultatet af at gange alle primtal mindre end n)
• Er der et uendeligt antal primtal på formen n# -1?
• Er der et uendeligt antal primtal på formen n? + 1?
• Er der et uendeligt antal primtal på formen n? - 1?
• hvis p er primtal, indeholder 2 p -1 så ikke primtals kvadrater blandt sine faktorer?
• indeholder Fibonacci-sekvensen et uendeligt antal primtal?

De største tvillingeprimtal er 2003663613 × 2 195000 ± 1. De består af 58711 cifre og blev opdaget i 2007.

Det største faktorielle primtal (af typen n! ± 1) er 147855! - 1. Den består af 142891 cifre og blev fundet i 2002.

Det største primtal (et tal på formen n# ± 1) er 1098133# + 1.