Nummerrækkefølge.
Lad os først tænke på selve ordet: hvad er sekvens? Sekvens er, når noget følger efter noget. For eksempel en sekvens af handlinger, en sekvens af sæsoner. Eller når nogen er placeret bag nogen. For eksempel en sekvens af mennesker i en kø, en sekvens af elefanter på stien til et vandhul.
Lad os afklare med det samme karakteristiske træk sekvenser. For det første, sekvensmedlemmer er lokaliseret strengt i i en bestemt rækkefølge . Så hvis to personer i køen er byttet om, vil dette allerede være det Andet efterfølgen. For det andet alle sekvensmedlem Du kan tildele et serienummer:
Det er det samme med tal. Lade til hver naturværdi efter en eller anden regel kompatibel reelle tal. Så siger de, at der er givet en numerisk rækkefølge.
Ja, i matematiske problemer I modsætning til livssituationer rækkefølgen indeholder næsten altid uendeligt mange tal.
Hvori:
Hedder første medlem sekvenser;
– andet medlem sekvenser;
– tredje medlem sekvenser;
– nth eller fælles medlem sekvenser;
I praksis er rækkefølgen normalt givet fællesbegrebsformel, For eksempel:
– sekvens af positive lige tal:
Således bestemmer posten entydigt alle medlemmer af sekvensen - dette er reglen (formlen), hvormed naturværdier 
numre sættes i korrespondance. Derfor er sekvensen ofte kort betegnet med et almindeligt udtryk, og i stedet for "x" kan andre bruges bogstaver, For eksempel:
Rækkefølge af positive ulige tal:
En anden almindelig sekvens:
Som mange sikkert har bemærket, spiller "en"-variablen rollen som en slags tæller.
Faktisk beskæftigede vi os med talrækker tilbage i mellemskolen. Lad os huske aritmetisk progression. Jeg vil ikke omskrive definitionen; lad os berøre essensen med et specifikt eksempel. Lad være den første periode, og – trin aritmetisk progression. Derefter:
– anden periode i denne progression;
– tredje semester i denne progression;
- fjerde;
- femte;
Og selvfølgelig er det n'te udtryk givet tilbagevendende formel
Bemærk: V tilbagevendende formel hvert efterfølgende medlem udtrykkes gennem det forrige medlem eller endda gennem et helt sæt af tidligere medlemmer.
Den resulterende formel er af ringe nytte i praksis - for at komme, f.eks. til , skal du gennemgå alle de foregående udtryk. Og i matematik er et mere bekvemt udtryk for det n. led i en aritmetisk progression blevet udledt: 
. I vores tilfælde:
Erstat naturlige tal i formlen, og kontroller rigtigheden af det, der er konstrueret ovenfor talrække.
Lignende beregninger kan laves for geometrisk progression, hvis n. led er givet af formlen , hvor er det første led, og – nævner progression. I matematikopgaver er første led ofte lig med én.
Eksempler:
progression sætter rækkefølgen 
;
progression 
indstiller rækkefølgen;
progression 
indstiller rækkefølgen 
;
progression 
indstiller rækkefølgen 
.
Jeg håber, at alle ved, at -1 til en ulige potens er lig med -1, og til en lige potens - en.
Progression kaldes uendeligt aftagende, hvis (sidste to tilfælde).
Lad os tilføje to nye venner til vores liste, hvoraf den ene lige har banket på skærmens matrix:
Sekvensen i matematisk jargon kaldes et "blinker":
Dermed, sekvensmedlemmer kan gentages. Så i det betragtede eksempel består sekvensen af to uendeligt alternerende tal.
Sker det, at sekvensen består af identiske tal? Sikkert. For eksempel spørger den uendeligt antal"tre". For æsteter er der et tilfælde, hvor "en" stadig formelt optræder i formlen:
Faktoriel:
Blot en fortættet optagelse af værket:
Slet ikke en grafomani, det vil være nyttigt til opgaver;-) Jeg anbefaler at forstå det, huske det og endda kopiere det til en notesbog. ... Et spørgsmål kom til at tænke på: hvorfor laver ingen så nyttig graffiti? En mand kører på et tog, kigger ud af vinduet og studerer factorials. Punkere hviler =)
Måske nogle læsere stadig ikke helt forstår, hvordan man beskriver medlemmerne af en sekvens, idet de kender det fælles medlem. At sjældent tilfælde, når kontrolskuddet vender tilbage til livet:
Lad os beskæftige os med rækkefølgen 
.
Lad os først erstatte værdien i det n'te led og omhyggeligt udføre beregningerne:
Så tilslutter vi følgende nummer:
Fire:
Nå, nu er der ingen skam i at tjene en fremragende karakter:
Konceptet med en rækkefølgegrænse.
For bedre at forstå følgende information, er det tilrådeligt at FORSTÅ, hvad det er grænse for en funktion. Selvfølgelig i standardforløbet matematisk analyse først overvejer de grænsen for sekvensen og først derefter grænsen for funktionen, men faktum er, at jeg allerede har talt detaljeret om selve essensen af grænsen. Desuden betragtes en talrække i teorien som et specialtilfælde af en funktion, og folk, der er bekendt med grænsen for en funktion, vil have det meget sjovere.
Lad os invitere en simpel ven til at danse:
Hvad sker der, når "en" stiger til det uendelige? Det er klart, at medlemmerne af sekvensen vil være det uendeligt tæt på nærme sig nul. Dette er grænsen for denne sekvens, som er skrevet som følger:
Hvis grænsen for sekvensen lig med nul, så hedder det uendelig lille.
I teorien om matematisk analyse er det givet streng definition af rækkefølgegrænsen gennem det såkaldte epsilon-kvarter. Den næste artikel vil blive afsat til denne definition, men lad os nu se på dens betydning:
Lad os afbilde på tallinjen vilkårene for sekvensen og kvarteret symmetrisk med hensyn til nul (grænse):
Klem nu det blå område sammen med kanterne af dine håndflader og begynd at reducere det, og træk det mod grænsen (rødt punkt). Et tal er grænsen for en sekvens, hvis FOR ENHVER forudvalgt -nabolag (så lille du kan lide) vil være inde i den uendeligt mange medlemmer af sekvensen, og UDENFOR den - kun endelig antal medlemmer (eller slet ingen). Det vil sige, at epsilon-kvarteret kan være mikroskopisk og endnu mindre, men den "uendelige hale" af sekvensen skal før eller siden helt ind i dette nabolag.
Der er endda sådan en opgave - bevis grænsen for rækkefølgen ved hjælp af definitionen.
Sekvensen er også uendelig lille: med den forskel, at dens medlemmer ikke hopper frem og tilbage, men nærmer sig grænsen udelukkende fra højre.
Naturligvis kan grænsen være lig med enhver anden begrænset antal, elementært eksempel:
Her har brøken en tendens til nul, og derfor er grænsen lig med "to".
Hvis rækkefølgen eksisterer endelig grænse , så hedder det konvergent(i særdeleshed, uendelig lille kl). I Ellers – divergerende, i dette tilfælde er to muligheder mulige: enten eksisterer grænsen slet ikke, eller også er den uendelig. I sidstnævnte tilfælde rækkefølgen kaldes uendelig stor. Lad os galoppere gennem eksemplerne i første afsnit:
Sekvenser 
er uendelig stor, mens deres medlemmer trygt bevæger sig mod "plus uendelighed":
En aritmetisk progression med det første led og trin er også uendeligt stort:
Forresten afviger enhver aritmetisk progression, med undtagelse af tilfældet med nul trin - hvornår specifikt nummer tilføjes uendeligt. Grænsen for en sådan sekvens eksisterer og falder sammen med det første led.
Sekvenserne har en lignende skæbne:
Enhver uendeligt faldende geometrisk progression, som det fremgår tydeligt af navnet, uendeligt lille:
Hvis nævneren for den geometriske progression er , så er sekvensen uendelig stor:
Hvis f.eks. så eksisterer grænsen slet ikke, da medlemmerne utrætteligt hopper enten til "plus uendeligt" eller til "minus uendeligt". EN sund fornuft og Matans sætninger antyder, at hvis noget stræber et eller andet sted, så er dette det eneste elskede sted.
Efter en lille åbenbaring 
det bliver tydeligt, at det "blinkende lys" er skyld i det ukontrollerbare kast, som i øvrigt divergerer af sig selv.
For en sekvens er det faktisk nemt at vælge et -kvarter, der f.eks. kun klemmer tallet –1. Som et resultat vil et uendeligt antal sekvensmedlemmer ("plus en") forblive uden for dette nabolag. Men per definition skal den "uendelige hale" af sekvensen fra et bestemt øjeblik (naturligt tal). fuldt ud gå ind i ENHVER nærhed af din grænse. Konklusion: himlen er grænsen.
Faktoriel er uendelig stor rækkefølge:
Desuden vokser det med stormskridt, så det er et tal, der har mere end 100 cifre (cifre)! Hvorfor lige præcis 70? På den beder min tekniske mikroberegner om nåde.
Med et kontrolskud er alt lidt mere kompliceret, og vi er lige kommet til den praktiske del af foredraget, hvor vi vil analysere kampeksempler:
Sådan finder du grænsen for en sekvens.
Men nu er det nødvendigt at kunne løse grænserne for funktioner, i det mindste på niveau med to grundlæggende lektioner: Grænser. Eksempler på løsninger Og Vidunderlige grænser. Fordi mange løsningsmetoder vil ligne hinanden. Men lad os først og fremmest analysere de grundlæggende forskelle mellem grænsen for en sekvens og grænsen for en funktion:
I grænsen af sekvensen kan den "dynamiske" variabel "en" have tendens til kun til "plus uendelig"– mod stigende naturlige tal 
.
I grænsen af funktionen kan "x" rettes hvor som helst - til "plus/minus uendeligt" eller til et vilkårligt reelt tal.
Efterfølgende diskret(diskontinuerlig), dvs. den består af individuelle isolerede medlemmer. En, to, tre, fire, fem gik kaninen ud og gå en tur. Argumentet for en funktion er karakteriseret ved kontinuitet, det vil sige, at "X" jævnt, uden hændelser, tenderer til en eller anden værdi. Og følgelig vil funktionsværdierne også løbende nærme sig deres grænse.
På grund af diskrethed inden for sekvenserne er der deres egne signatur-ting, såsom factorials, "blinkende lys", progressioner osv. Og nu vil jeg forsøge at analysere de grænser, der er specifikke for sekvenser.
Lad os starte med progressioner:
Eksempel 1
Løsning: noget der ligner en uendeligt aftagende geometrisk progression, men er det virkelig det? For klarhedens skyld, lad os skrive de første par udtryk ned: 
Siden da taler vi om beløb udtryk for en uendeligt faldende geometrisk progression, som beregnes af formlen.
Lad os tage en beslutning:
Vi bruger formlen for summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression:. I I dette tilfælde: – det første led, – nævneren for progressionen.
Det vigtigste er at klare fire-etagers brøkdel:
Spise.
Eksempel 2
Skriv de første fire led i rækkefølgen og find dens grænse 
Dette er et eksempel på selvstændig beslutning. For at eliminere usikkerheden i tælleren skal du anvende formlen for summen af de første led i en aritmetisk progression:
, hvor er det første og a er det n'te led i progressionen.
Da inden for sekvenser "en" altid har en tendens til "plus uendelighed", er det ikke overraskende, at usikkerhed er en af de mest populære.
Og mange eksempler løses på nøjagtig samme måde som funktionsgrænser!
Hvordan beregner man disse grænser? Se eksempel nr. 1-3 i lektionen Grænser. Eksempler på løsninger.
Eller måske noget mere kompliceret som 
? Tjek eksempel nr. 3 i artiklen Metoder til at løse grænser.
Fra et formelt synspunkt vil forskellen kun være i ét bogstav - "x" her og "en" her.
Teknikken er den samme - tæller og nævner skal divideres med "en" i højeste grad.
Også usikkerhed inden for sekvenser er ret almindelig. Hvordan man løser grænser som 
findes i eksempel nr. 11-13 i samme artikel.
For at forstå grænsen, se eksempel nr. 7 i lektionen Vidunderlige grænser(anden vidunderlig grænse gælder også for det diskrete tilfælde). Løsningen bliver igen som en karbonkopi med et enkelt bogstavs forskel.
De næste fire eksempler (nr. 3-6) er også "two-faced", men i praksis er de af en eller anden grund mere karakteristiske for rækkefølgegrænser end for funktionsgrænser:
Eksempel 3
Find grænsen for rækkefølgen
Løsning: først komplet løsning, og derefter trin-for-trin kommentarer:
(1) I tælleren bruger vi formlen to gange.
(2) Vi præsenterer lignende vilkår i tælleren.
(3) For at eliminere usikkerhed skal du dividere tælleren og nævneren med ("en" i højeste grad).
Som du kan se, intet kompliceret.
Eksempel 4
Find grænsen for rækkefølgen
Dette er et eksempel for dig at løse på egen hånd, forkortede multiplikationsformler at hjælpe.
Inden for s vejledende Sekvenser bruger en lignende metode til at dividere tæller og nævner:
Eksempel 5
Find grænsen for rækkefølgen
Løsning Lad os arrangere det efter samme skema:
(1) Brug af egenskaber ved grader, lad os fjerne alt unødvendigt fra indikatorerne og efterlader kun "en" der.
(2) Vi ser på hvilke eksponentielle sekvenser der er i grænsen: og vælger en sekvens med den største grundlag: . For at eliminere usikkerhed skal du dividere tæller og nævner med .
(3) Vi foretager terminsvis opdeling i tæller og nævner. Da det er uendeligt faldende geometrisk progression, så har den en tendens til nul. Og endnu mere har konstanten divideret med den stigende progression tendens til nul: . Vi laver de relevante notater og skriver svaret ned.
Eksempel 6
Find grænsen for rækkefølgen
Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd.
På en eller anden måde, ufortjent, forblev stilfuld håndskrift, der kun er iboende til grænsen af konsistens, i glemslen. Det er tid til at rette op på situationen:
Eksempel 7
Find grænsen for rækkefølgen
Løsning: for at slippe af med den "evige rival" skal du skrive factorials i form af produkter. Men før vi starter med matematisk graffiti, lad os overveje konkret eksempel, For eksempel: .
Den sidste faktor i produktet er seks. Hvad skal der gøres for at få den forrige multiplikator? Træk en fra: 6 – 1 = 5. For at få en multiplikator, som er placeret endnu længere, skal du trække en fra fem igen: 5 – 1 = 4. Og så videre.
Bare rolig, dette er ikke en lektion i første klasse. kriminalskole, Faktisk vi stifter bekendtskab med en vigtig og universel algoritme berettiget " hvordan man udvider enhver factorial" Lad os håndtere den mest ondsindede oversvømmelse i vores chat:
Den sidste faktor i produktet vil naturligvis være .
Hvordan får man den forrige multiplikator? Træk en fra:
Hvordan får man oldefar? Træk en fra igen:.
Nå, lad os gå et skridt dybere:
Således vil vores monster underskrive som følger:
Med tællerfaktorer er alt enklere, okay, små hooligans.
Lad os tage en beslutning:
(1) Vi beskriver factorials
(2) Tælleren har TO led. Vi tager alt ud af beslag, der kan tages ud, i dette tilfælde er dette arbejdet. Firkantede parenteser, som jeg sagde et sted et par gange, adskiller sig kun fra parenteser i deres firkantethed.
(3) Reducer tælleren og nævneren med .... ...hmmm, der er virkelig meget fnug her.
(4) Forenkle tælleren
(5) Reducer tælleren og nævneren med . Her i i et vist omfang heldig. I almindelig sagøverst og nederst får du almindelige polynomier, hvorefter du skal udføre standardhandlingen - dividere tæller og nævner med "en" til højeste potens.
Mere avancerede elever, der nemt kan nedbryde factorials i hovedet, kan løse eksemplet meget hurtigere. På det første trin dividerer vi tælleren med nævneren led for led og udfører mentalt forkortelserne:
Men nedbrydningsmetoden er stadig mere grundig og pålidelig.
Eksempel 8
Find grænsen for rækkefølgen
Som i ethvert samfund er der blandt talrækkerne ekstravagante individer.
Sætning: arbejde begrænset rækkefølge til en infinitesimal sekvens - der er en infinitesimal sekvens.
Hvis du ikke rigtig forstår udtrykket "begrænsning", så læs venligst artiklen om elementære funktioner og grafer.
Et lignende teorem gælder i øvrigt for funktioner: produktet begrænset funktion på ubestemt tid lille funktion- er en infinitesimal funktion.
Eksempel 9
Find grænsen for rækkefølgen
Løsning: sekvens – begrænset: 
, og rækkefølgen er uendelig lille, hvilket betyder ifølge den tilsvarende sætning: 
Definitionen af en numerisk rækkefølge er givet. Eksempler på uendeligt stigende, konvergerende og divergerende sekvenser betragtes. En sekvens, der indeholder alle rationelle tal, betragtes.
Definition .
Numerisk rækkefølge (xn)
kaldet loven (reglen), ifølge hvilken alle naturligt tal n= 1, 2, 3, . . .
et bestemt tal x n tildeles.
Elementet x n kaldes n'te termin eller et element i en sekvens.
Sekvensen er betegnet som det n'te led omgivet af krøllede parenteser:. Følgende betegnelser er også mulige: . De angiver eksplicit, at indekset n tilhører mængden af naturlige tal, og sekvensen i sig selv har et uendeligt antal led. Her er nogle eksempler på sekvenser:
,
,
.
Med andre ord er en talrække en funktion, hvis definitionsdomæne er mængden af naturlige tal. Antallet af elementer i sekvensen er uendeligt. Blandt elementerne kan der også være medlemmer, der har samme værdier. En sekvens kan også betragtes som et nummereret sæt tal, der består af et uendeligt antal medlemmer.
Vi vil hovedsageligt være interesseret i spørgsmålet om, hvordan sekvenser opfører sig, når n tenderer mod det uendelige: . Dette materiale præsenteres i afsnittet Grænse for en sekvens - grundlæggende sætninger og egenskaber. Her vil vi se på nogle eksempler på sekvenser.
Sekvenseksempler
Eksempler på uendeligt stigende sekvenser
Overvej rækkefølgen. Det fælles medlem af denne sekvens er . Lad os skrive de første par termer ned:
.
Det kan ses, at når tallet n stiger, stiger elementerne i det uendelige mod positive værdier. Vi kan sige, at denne sekvens har en tendens til: for .
Overvej nu en sekvens med et fælles udtryk. Her er de første par medlemmer:
.
Efterhånden som tallet n stiger, stiger elementerne i denne sekvens uendeligt i absolut værdi, men har ikke konstant tegn. Det vil sige, at denne sekvens har en tendens til: kl.
Eksempler på sekvenser, der konvergerer til et endeligt tal
Overvej rækkefølgen. Hendes fælles medlem. De første udtryk har følgende form:
.
Det kan ses, at når tallet n stiger, nærmer elementerne i denne sekvens sig deres grænseværdi a = 0
: kl. Så hvert efterfølgende led er tættere på nul end det foregående. På en måde kan vi overveje, at der er en omtrentlig værdi for tallet a = 0
med fejl. Det er klart, at når n stiger, har denne fejl en tendens til nul, det vil sige, ved at vælge n kan fejlen gøres så lille som ønsket. Desuden for enhver given fejl ε > 0
du kan angive et tal N således, at for alle elementer med tal større end N:, vil tallets afvigelse fra grænseværdien a ikke overstige fejlen ε:.
Overvej derefter rækkefølgen. Hendes fælles medlem. Her er nogle af dets første medlemmer:
.
I denne rækkefølge er led med lige tal lig med nul. Led med ulige n er lige store. Derfor, når n stiger, nærmer deres værdier sig grænseværdien a = 0
. Dette følger også af, at
.
Ligesom i det foregående eksempel kan vi angive en vilkårligt lille fejl ε > 0
, for hvilket det er muligt at finde et tal N således, at elementer med tal større end N vil afvige fra grænseværdien a = 0
med et beløb, der ikke overstiger den angivne fejl. Derfor konvergerer denne sekvens til værdien a = 0
: kl.
Eksempler på divergerende sekvenser
Overvej en sekvens med følgende almindelige term:
Her er dens første medlemmer:
.
Det kan ses, at udtryk med lige tal:
,
konvergere til værdien a 1 = 0
. Medlemmer med ulige tal:
,
konvergere til værdien a 2 = 2
. Selve sekvensen, når n vokser, konvergerer ikke til nogen værdi.
Sekvens med led fordelt i intervallet (0;1)
Lad os nu se på en mere interessant sekvens. Lad os tage et segment på tallinjen. Lad os dele det i to. Vi får to segmenter. Lade
.
Lad os dele hvert af segmenterne i to igen. Vi får fire segmenter. Lade
.
Lad os dele hvert segment i to igen. Lad os tage
.
Og så videre.
Som et resultat opnår vi en sekvens, hvis elementer er fordelt i åbent interval (0; 1) . Uanset hvilket punkt vi tager fra det lukkede interval , kan vi altid finde medlemmer af sekvensen, der vil være vilkårligt tæt på dette punkt eller falde sammen med det.
Så fra den oprindelige sekvens kan man vælge en undersekvens, der vil konvergere til vilkårligt punkt fra intervallet . Det vil sige, at efterhånden som tallet n stiger, vil medlemmerne af undersekvensen komme tættere og tættere på det forudvalgte punkt.
For eksempel til punkt a = 0
du kan vælge følgende efterfølge:
.
= 0
.
For punkt a = 1
Lad os vælge følgende efterfølge:
.
Betingelserne i denne undersekvens konvergerer til værdien a = 1
.
Da der er delsekvenser, der konvergerer til forskellige betydninger, så konvergerer selve den oprindelige sekvens ikke til noget tal.
Sekvens, der indeholder alle rationelle tal
Lad os nu konstruere en sekvens, der indeholder alle rationelle tal. Desuden vil hvert rationelt tal optræde i en sådan sekvens et uendeligt antal gange.
Et rationelt tal r kan repræsenteres i følgende formular:
,
hvor er et heltal; - naturligt.
Vi skal associere hvert naturligt tal n med et talpar p og q, så ethvert par p og q er inkluderet i vores rækkefølge.
For at gøre dette skal du tegne p- og q-akserne på planet. Vi tegner gitterlinjer gennem heltalværdierne af p og q. Så vil hver node i dette gitter svare til rationelt tal. Hele sættet af rationelle tal vil blive repræsenteret af et sæt noder. Vi skal finde en måde at nummerere alle noderne, så vi ikke går glip af nogen noder. Dette er nemt at gøre, hvis du nummererer noderne efter firkanter, hvis centre er placeret ved punktet (0; 0) (se billedet). I dette tilfælde er de nederste dele af firkanterne med q < 1 vi har ikke brug for det. Derfor er de ikke vist på figuren.
Så for den øverste side af den første firkant har vi:
.
Dernæst nummererer vi øverste del følgende firkant:
.
Vi nummererer den øverste del af følgende firkant:
.
Og så videre.
På denne måde får vi en sekvens, der indeholder alle rationelle tal. Du kan bemærke, at ethvert rationelt tal optræder i denne rækkefølge et uendeligt antal gange. Faktisk vil denne sekvens sammen med noden også omfatte noder , hvor er et naturligt tal. Men alle disse noder svarer til det samme rationelle tal.
Så ud fra den sekvens, vi har konstrueret, kan vi vælge en undersekvens (som har et uendeligt antal elementer), hvis elementer alle er lig med et forudbestemt rationelt tal. Da den sekvens, vi konstruerede, har undersekvenser, der konvergerer til forskellige tal, så konvergerer sekvensen ikke til noget tal.
Konklusion
Her har vi givet en præcis definition af talrækken. Vi rejste også spørgsmålet om dets konvergens, baseret på intuitive ideer. Præcis definition konvergens diskuteres på siden Bestemmelse af grænsen for en sekvens. Beslægtede egenskaber og sætninger er angivet på siden
Numerisk rækkefølge er en numerisk funktion defineret på mængden af naturlige tal .
Hvis funktionen er defineret på mængden af naturlige tal 
, så vil sættet af funktionsværdier kunne tælles og hvert tal 
matcher antallet 
. I dette tilfælde siger de, at det er givet talrække. Tal kaldes elementer eller medlemmer af en sekvens, og nummeret 
– generelt eller 
-th medlem af sekvensen. Hvert element 
har et efterfølgende element 
. Dette forklarer brugen af udtrykket "sekvens".
Rækkefølgen specificeres normalt enten ved at angive dens elementer eller ved at angive den lov, hvorved elementet med tal beregnes 
, dvs. angiver dens formel 
- medlem 
.
Eksempel.Efterfølgende
kan gives ved formlen:
.
Sædvanligvis er sekvenser angivet som følger: osv., hvor formlen for det er angivet i parentes 
medlem.
Eksempel.Efterfølgende
‑dette er en sekvens
Sættet af alle elementer i en sekvens 
betegnet med 
.
Lade 
Og 
- to sekvenser.
MED ummah sekvenser 
Og 
kaldet en sekvens 
, Hvor 
, dvs.
R forskel af disse sekvenser kaldes en sekvens 
, Hvor 
, dvs.
Hvis 
Og
‑
konstanter, derefter rækkefølgen
,
hedder lineær kombination
sekvenser 
Og 
, dvs.
Arbejdet sekvenser 
Og 
kaldes sekvensen med 
- medlem 
, dvs. 
.
Hvis 
, så kan vi bestemme privat
.
Sum, forskel, produkt og kvotient af sekvenser 
Og 
de kaldes algebraiskkompositioner.
Eksempel.Overvej sekvenserne 
Og 
, Hvor. Derefter 
, dvs. efterfølgen 
har alle elementer lig med nul.
,
, dvs. alle elementer i produktet og kvotienten er ens 
.
Hvis du overstreger nogle elementer i sekvensen 
så det forbliver uendeligt sæt elementer, så får vi en anden sekvens kaldet efterfølgen sekvenser 
. Hvis du overstreger de første par elementer i sekvensen 
, At ny sekvens hedder resten.
Efterfølgende 
begrænsetover(nedefra), hvis sættet 
begrænset fra oven (nedefra). Rækkefølgen kaldes begrænset, hvis den er afgrænset over og under. En sekvens er begrænset, hvis og kun hvis nogen af dens rester er afgrænset.
Konvergerende sekvenser
Det siger de efterfølgen 
konvergerer, hvis der er et tal 
sådan for enhver 
der er sådan noget 
det for enhver 
, uligheden gælder: 
.
Nummer 
hedder rækkefølgens grænse
. Samtidig skriver de ned 
eller 
.
Eksempel.
.
Lad os vise det 
. Lad os sætte et hvilket som helst tal 
. Ulighed 
udført for 
, sådan at 
, at definitionen af konvergens udføres for antallet 
. Midler, 
.
Med andre ord 
betyder, at alle medlemmer af sekvensen 
med tilstrækkeligt store tal adskiller sig lidt fra antallet 
, dvs. startende fra et eller andet tal 
(hvis) elementerne i sekvensen er i intervallet 
som hedder 
– punktets nabolag 
.
Efterfølgende 
, hvis grænse er nul ( 
, eller 
på 
) Hedder uendelig lille.
I forhold til infinitesimals er følgende udsagn sande:
Summen af to infinitesimaler er infinitesimal;
Produktet af en infinitesimal og en finit størrelse er uendelig.
Sætning
.For rækkefølgen 
havde en grænse, det var nødvendigt og tilstrækkeligt til 
, Hvor 
– konstant; 
– uendelig lille
.
Grundlæggende egenskaber ved konvergerende sekvenser:
Egenskaber 3. og 4. er generaliseret til tilfældet med et hvilket som helst antal konvergerende sekvenser.
Bemærk, at når man beregner grænsen for en brøk, hvis tæller og nævner er lineære kombinationer af potenser 
, brøkgrænse lig med grænsen seniormedlemmers forhold (dvs. medlemmer, der indeholder de største grader 
tæller og nævner).
Efterfølgende 
hedder:
Alle sådanne sekvenser kaldes monotont.
Sætning
.
Hvis rækkefølgen 
monotont stigende og afgrænset ovenfor, så konvergerer den, og dens grænse er lig med dens nøjagtige øverste kant; hvis sekvensen er aftagende og afgrænset nedenfor, så konvergerer den til sit infimum.
Begrebet en talrække.
Lad hvert naturligt tal n svare til et tal a n, så siger vi, at der er givet en funktion a n =f(n), som kaldes en talfølge. Betegnes med et n ,n=1,2,... eller (a n ).
Tallene a 1 , a 2 , ... kaldes medlemmer af sekvensen eller dens elementer, a n er det generelle medlem af sekvensen, n er nummeret på elementet a n .
Per definition indeholder enhver sekvens et uendeligt antal elementer.
Eksempler på talrækker.
Aritmetik progression – numerisk progression af formularen:
det vil sige en sekvens af tal (udtryk for progressionen), som hver, startende fra den anden, opnås fra den foregående ved at tilføje et konstant tal d (trin eller forskel i progressionen): 
.
Ethvert led i progressionen kan beregnes ved hjælp af den generelle termformel:
Ethvert medlem af en aritmetisk progression, startende fra den anden, er det aritmetiske gennemsnit af de foregående og næste medlemmer af progressionen: 
Summen af de første n led af en aritmetisk progression kan udtrykkes med formlerne: 
Summen af n på hinanden følgende led af en aritmetisk progression, der starter med led k: 
Et eksempel på summen af en aritmetisk progression er summen af en række naturlige tal op til n inklusive:
Geometrisk progression - rækkefølge af tal 
(medlemmer af en progression), hvor hvert efterfølgende tal, startende fra det andet, opnås fra det foregående ved at gange det med et bestemt tal q (nævneren af progressionen), hvor 
,
:
Ethvert led i en geometrisk progression kan beregnes ved hjælp af formlen: 
Hvis b 1 > 0 og q > 1, er progressionen en stigende sekvens, hvis 0 Progressionen har fået sit navn fra sin karakteristiske egenskab: Produktet af de første n led af en geometrisk progression kan beregnes ved hjælp af formlen: Produktet af led i en geometrisk progression, der starter med det k-te led og slutter med det n-te led, kan beregnes ved hjælp af formlen: Summen af de første n led af en geometrisk progression: Hvis Konsistensgrænse. En sekvens kaldes stigende, hvis hvert medlem er større end det foregående. En sekvens kaldes aftagende, hvis hvert medlem er mindre end det foregående. En sekvens x n kaldes afgrænset, hvis der er tal m og M, således at betingelsen for ethvert naturligt tal n er opfyldt Det kan ske, at alle medlemmer af sekvensen (a n ) med ubegrænset vækst af tallet n vil nærme sig et eller andet tal m. Et tal a kaldes grænsen for sekvensen X n, hvis der for hver Ε>0 er et tal (afhængigt af Ε) n 0 =n o (Ε), således at for I dette tilfælde skriver de Konvergens af sekvenser. En sekvens, hvis grænse er endelig, siges at konvergere til en: Hvis en sekvens ikke har en endelig (tællig) grænse, vil den blive kaldt divergent. Geometrisk betydning. Hvis Sætning 1) Om grænsens unikke karakter: Hvis sekvensen konvergerer, det vil sige har en grænse, så er denne grænse unik. Sætning 2) Hvis sekvensen a n konvergerer til a: Sætning 3) Forudsætning eksistensen af en grænse. Hvis en sekvens konvergerer, det vil sige har en grænse, så er den afgrænset. Bevis: lad os vælge n>N sådan, at: Sætning 4) Tilstrækkelig betingelse for eksistensen af en grænse. Hvis en sekvens er monoton og afgrænset, så har den en grænse. . Sætning 5) Lade Tre sekvens sætning. Hvis Begrænsningsegenskaber. Hvis (xn) og (yn) har grænser, så: Grænse for forholdet mellem polynomier (brøker). Lad x n og y n være polynomier i henholdsvis grad k, dvs. x n =P k (n)=a O n k +a 1 n k-1 +…+a k, y n =Q m (n)=b 0 n m +b 1 n m-1 +...+b m Grænsen for forholdet mellem polynomier er lig med grænsen for forholdet mellem deres ledende led: Hvis graden af tælleren er lig med graden af nævneren, så er grænsen lig med forholdet mellem koefficienterne ved højere grader. Hvis graden af tælleren er mindre end graden af nævneren, er grænsen nul. Hvis graden af tælleren er større end graden af nævneren, tenderer grænsen til uendelig.
det vil sige, at hvert led er lig med dets naboers geometriske middelværdi.
, hvornår så 
, Og
på 
.
.
ulighed holder 
for alle (naturlige)n>n 0 .
eller 
.
, så vil alle medlemmer af denne sekvens, med undtagelse af det sidste tal, falde ind i et vilkårligt Ε-kvarter til punkt a. Geometrisk betyder afgrænsningen af en sekvens, at alle dens værdier ligger på et bestemt segment.
, derefter enhver efterfølgelse af det 
har samme grænse.
∎
og lad betingelsen x n ≤y n være opfyldt for enhver n, derefter 
og for sekvenser x n , y n , z n er betingelsen x n ≤ y n ≤z n opfyldt, så for 
bør 
.
