Funktionsgrænsen er 0. Grænser

Funktionsgrænse- nummer -en vil være grænsen for en variabel mængde, hvis denne variable mængde nærmer sig uendeligt under ændringsprocessen -en.

Eller med andre ord, antallet EN er grænsen for funktionen y = f(x) på punktet x 0, hvis for enhver sekvens af punkter fra domænet for definition af funktionen , ikke ens x 0, og som konvergerer til punktet x 0 (lim x n = x0), sekvensen af ​​tilsvarende funktionsværdier konvergerer til tallet EN.

Grafen for en funktion, hvis grænse, givet et argument, der har en tendens til uendelig, er lig med L:

Betyder EN er grænse (grænseværdi) for funktionen f(x) på punktet x 0 i tilfælde af enhver sekvens af punkter , som konvergerer til x 0, men som ikke indeholder x 0 som et af dets elementer (dvs. i den punkterede nærhed x 0), rækkefølge af funktionsværdier konvergerer til EN.

Grænse for en Cauchy-funktion.

Betyder EN vil være grænse for funktionen f(x) på punktet x 0 hvis for ethvert ikke-negativt tal taget på forhånd ε det tilsvarende ikke-negative tal vil blive fundet δ = δ(ε) sådan at for hvert argument x, der opfylder betingelsen 0 < | x - x0 | < δ , vil uligheden blive tilfredsstillet | f(x)A |< ε .

Det vil være meget enkelt, hvis du forstår essensen af ​​grænsen og de grundlæggende regler for at finde den. Hvad er grænsen for funktionen f (x) på x stræber efter -en lige med EN, er skrevet sådan:

Desuden den værdi, som variablen tenderer til x, kan ikke kun være et tal, men også uendelig (∞), nogle gange +∞ eller -∞, eller der er måske ingen grænse overhovedet.

At forstå hvordan find grænserne for en funktion, er det bedst at se på eksempler på løsninger.

Det er nødvendigt at finde grænserne for funktionen f (x) = 1/x på:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Lad os finde en løsning på den første grænse. For at gøre dette kan du blot erstatte x det tal den plejer, dvs. 2 får vi:

Lad os finde den anden grænse for funktionen. Her erstattes rent 0 i stedet for x det er umuligt, fordi Du kan ikke dividere med 0. Men vi kan tage værdier tæt på nul, for eksempel 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 og så videre, og værdien af ​​funktionen f (x) vil stige: 100; 1000; 10.000; 100.000 og så videre. Det kan således forstås, at når x→ 0 værdien af ​​den funktion, der er under grænsetegnet, vil stige uden grænse, dvs. stræbe mod det uendelige. Hvilket betyder:

Med hensyn til den tredje grænse. Den samme situation som i det foregående tilfælde er umulig at erstatte ∞ i sin reneste form. Vi er nødt til at overveje tilfældet med ubegrænset stigning x. Vi erstatter 1000 én efter én; 10.000; 100000 og så videre, vi har den værdi af funktionen f (x) = 1/x vil falde: 0,001; 0,0001; 0,00001; og så videre, med en tendens til nul. Derfor:

Det er nødvendigt at beregne grænsen for funktionen

Når vi begynder at løse det andet eksempel, ser vi usikkerhed. Herfra finder vi den højeste grad af tæller og nævner - dette er x 3, tager vi det ud af parentes i tælleren og nævneren og reducerer det derefter med:

Svar

Det første skridt ind at finde denne grænse, erstatter værdien 1 i stedet for x, hvilket resulterer i usikkerhed. For at løse det, lad os faktorisere tælleren og gøre dette ved at bruge metoden til at finde rødderne til en andengradsligning x 2 + 2x - 3:

D = 22 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ xl = -3;x 2= 1.

Så tælleren bliver:

Svar

Dette er definitionen af ​​dens specifikke værdi eller et bestemt område, hvor funktionen falder, hvilket er begrænset af grænsen.

Følg reglerne for at løse grænser:

Efter at have forstået essensen og hovedet regler for løsning af grænsen, får du en grundlæggende forståelse for, hvordan du løser dem.

Grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Bestemmelse af Cauchy-grænsen
Lad funktionen f (x) er defineret i et bestemt område af punktet ved uendelig, med |x| > Tallet a kaldes grænsen for funktionen f (x) da x har en tendens til uendelig (), hvis for et hvilket som helst, dog lille, positivt tal ε > 0 , er der et tal N ε >K, afhængig af ε, som for alle x, |x| > N ε, funktionsværdierne tilhører ε-kvarteret til punkt a:
|f (x)-a|< ε .
Grænsen for en funktion ved uendelig er angivet som følger:
.
Eller kl.

Følgende notation bruges også ofte:
.

Lad os skrive denne definition ved hjælp af de logiske symboler på eksistens og universalitet:
.
Dette forudsætter, at værdierne tilhører funktionens domæne.

Ensidige grænser

Venstre grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Der er ofte tilfælde, hvor funktionen kun er defineret for positive eller negative værdier af variablen x (mere præcist i nærheden af ​​punktet eller ). Også grænserne ved uendelig for positive og negative værdier af x kan have forskellige værdier. Derefter bruges ensidige grænser.

Venstre grænse ved uendelig eller grænsen som x har en tendens til minus uendelig () er defineret som følger:
.
Højre grænse i det uendelige eller grænsen som x har en tendens til plus uendelig ():
.
Ensidige grænser ved uendelig betegnes ofte som følger:
; .

Uendelig grænse for en funktion ved uendelig

Uendelig grænse for en funktion ved uendelig:
|f(x)| > M for |x| > N

Definition af den uendelige grænse ifølge Cauchy
Lad funktionen f (x) er defineret i et bestemt område af punktet ved uendelig, med |x| > K, hvor K er et positivt tal. Funktionsgrænse f (x) da x har en tendens til uendelig (), er lig med uendelig, hvis for et hvilket som helst vilkårligt stort antal M > 0 , der er sådan et nummer N M >K, afhængig af M, som for alle x, |x| > N M , funktionsværdierne hører til området for punktet ved uendelig:
|f (x) | > M.
Den uendelige grænse, da x har en tendens til uendelig, betegnes som følger:
.
Eller kl.

Ved at bruge de logiske symboler på eksistens og universalitet kan definitionen af ​​en funktions uendelige grænse skrives som følger:
.

På samme måde introduceres definitioner af uendelige grænser for visse tegn, der er lig med og:
.
.

Definitioner af ensidige grænser i det uendelige.
Venstre grænser.
.
.
.
Retlige grænser.
.
.
.

Bestemmelse af grænsen for en funktion ifølge Heine

Lad funktionen f (x) defineret på et eller andet område af punktet x ved uendelig 0 , hvor eller eller .
Tallet a (endeligt eller uendeligt) kaldes grænsen for funktionen f (x) i punkt x 0 :
,
hvis for enhver sekvens (xn), konvergerende til x 0 : ,
hvis elementer hører til kvarteret, sekvens (f(xn)) konvergerer til en:
.

Hvis vi tager som et kvarter naboskabet til et usigneret punkt ved uendelig: , så får vi definitionen af ​​grænsen for en funktion, da x har en tendens til uendelig, . Hvis vi tager et venstre- eller højresidet naboskab af punktet x ved uendelig 0 : eller , så får vi definitionen af ​​grænsen, da x har en tendens til henholdsvis minus uendeligt og plus uendeligt.

Heine og Cauchy definitioner af grænse er ækvivalente.

Eksempler

Eksempel 1

Bruger Cauchys definition til at vise det
.

Lad os introducere følgende notation:
.
Lad os finde definitionsdomænet for funktionen. Da brøkens tæller og nævner er polynomier, er funktionen defineret for alle x undtagen de punkter, hvor nævneren forsvinder. Lad os finde disse punkter. Løsning af en andengradsligning. ;
.
Ligningens rødder:
; .
Siden , dengang og .
Derfor er funktionen defineret ved . Det vil vi bruge senere.

Lad os nedskrive definitionen af ​​den endelige grænse for en funktion ved uendelig ifølge Cauchy:
.
Lad os forvandle forskellen:
.
Divider tæller og nævner med og gang med -1 :
.

Lad .
Derefter
;
;
;
.

Så vi fandt ud af, at når,
.
.
Den følger det
kl , og .

Da du altid kan øge det, lad os tage . Så for enhver,
kl.
Det betyder at .

Eksempel 2

Lad .
Brug Cauchy-definitionen af ​​en grænse, og vis, at:
1) ;
2) .

1) Løsning som x har en tendens til minus uendelig

Da er funktionen defineret for alle x.
Lad os nedskrive definitionen af ​​grænsen for en funktion lig med minus uendeligt:
.

Lad . Derefter
;
.

Så vi fandt ud af, at når,
.
Indtast positive tal og :
.
Det følger heraf, at for ethvert positivt tal M er der et tal, så for ,
.

Det betyder at .

2) Løsning som x har en tendens til plus uendelig

Lad os omdanne den oprindelige funktion. Multiplicer brøkens tæller og nævner med og anvend kvadratforskellens formel:
.
Vi har:

.
Lad os nedskrive definitionen af ​​funktionens højre grænse ved:
.

Lad os introducere notationen:.
Lad os forvandle forskellen:
.
Gang tælleren og nævneren med:
.

Lade
.
Derefter
;
.

Så vi fandt ud af, at når,
.
Indtast positive tal og :
.
Den følger det
kl og .

Da dette gælder for ethvert positivt tal, altså
.

Referencer:
CM. Nikolsky. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 1983.

Den første bemærkelsesværdige grænse er følgende lighed:

\begin(ligning)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)

Da vi for $\alpha\to(0)$ har $\sin\alpha\to(0)$, siger de, at den første bemærkelsesværdige grænse afslører en usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Generelt kan man i formel (1) i stedet for variablen $\alpha$ placere ethvert udtryk under sinustegnet og i nævneren, så længe to betingelser er opfyldt:

  1. Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren tenderer samtidigt til nul, dvs. der er usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$.
  2. Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren er de samme.

Følger fra den første bemærkelsesværdige grænse bruges også ofte:

\begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning) \begin(ligning) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(ligning)

Elleve eksempler er løst på denne side. Eksempel nr. 1 er afsat til beviset for formlerne (2)-(4). Eksempel nr. 2, nr. 3, nr. 4 og nr. 5 indeholder løsninger med uddybende kommentarer. Eksempler nr. 6-10 indeholder løsninger med stort set ingen kommentarer, fordi der er givet detaljerede forklaringer i tidligere eksempler. Løsningen bruger nogle trigonometriske formler, der kan findes.

Lad mig bemærke, at tilstedeværelsen af ​​trigonometriske funktioner kombineret med usikkerheden $\frac (0) (0)$ ikke nødvendigvis betyder anvendelsen af ​​den første bemærkelsesværdige grænse. Nogle gange er simple trigonometriske transformationer tilstrækkelige - se f.eks.

Eksempel nr. 1

Bevis at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Siden $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, så:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Da $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ og $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$, At:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Lad os foretage ændringen $\alpha=\sin(y)$. Siden $\sin(0)=0$, så har vi fra betingelsen $\alpha\to(0)$ $y\to(0)$. Derudover er der et kvarter på nul, hvor $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, så:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Ligheden $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ er blevet bevist.

c) Lad os erstatte $\alpha=\tg(y)$. Da $\tg(0)=0$, så er betingelserne $\alpha\to(0)$ og $y\to(0)$ ækvivalente. Derudover er der et kvarter på nul, hvor $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, derfor vil vi, baseret på resultaterne af punkt a), have:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Ligheden $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ er blevet bevist.

Ligheder a), b), c) bruges ofte sammen med den første bemærkelsesværdige grænse.

Eksempel nr. 2

Beregn grænsen $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.

Siden $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ og $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, dvs. og både brøkens tæller og nævner har en tendens til nul samtidigt, så har vi her at gøre med en usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$, dvs. Færdig. Derudover er det klart, at udtrykkene under sinustegnet og i nævneren falder sammen (dvs. og er opfyldt):

Så begge betingelser anført i begyndelsen af ​​siden er opfyldt. Det følger heraf, at formlen er anvendelig, dvs. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\højre))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Svar: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\venstre(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Eksempel nr. 3

Find $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Da $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ og $\lim_(x\to(0))x=0$, så har vi at gøre med en usikkerhed af formen $\frac (0 )(0)$, dvs. Færdig. Udtrykkene under sinustegnet og i nævneren er dog ikke sammenfaldende. Her skal du justere udtrykket i nævneren til den ønskede form. Vi skal bruge udtrykket $9x$ til at være i nævneren, så bliver det sandt. I bund og grund mangler vi en faktor på $9$ i nævneren, hvilket ikke er så svært at indtaste – multiplicer blot udtrykket i nævneren med $9$. For at kompensere for multiplikation med $9$, skal du naturligvis straks dividere med $9$:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$

Nu falder udtrykkene i nævneren og under sinustegnet sammen. Begge betingelser for grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ er opfyldt. Derfor er $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Og det betyder at:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Eksempel nr. 4

Find $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Da $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ og $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, har vi her at gøre med formusikkerheden $\frac(0)(0)$. Formen for den første bemærkelsesværdige grænse er dog overtrådt. En tæller, der indeholder $\sin(5x)$, kræver en nævner på $5x$. I denne situation er den nemmeste måde at dividere tælleren med $5x$ og straks gange med $5x$. Derudover vil vi udføre en lignende operation med nævneren, gange og dividere $\tg(8x)$ med $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Reducerer vi med $x$ og tager konstanten $\frac(5)(8)$ uden for grænsetegnet, får vi:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Bemærk, at $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ fuldt ud opfylder kravene til den første bemærkelsesværdige grænse. For at finde $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ er følgende formel anvendelig:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x) )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Eksempel nr. 5

Find $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Siden $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (husk at $\cos(0)=1$) og $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, så har vi at gøre med usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Men for at anvende den første bemærkelsesværdige grænse, bør du slippe af med cosinus i tælleren, gå videre til sinus (for derefter at anvende formlen) eller tangenter (for derefter at anvende formlen). Dette kan gøres med følgende transformation:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Lad os gå tilbage til grænsen:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\venstre(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$

Brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ er allerede tæt på den form, der kræves for den første bemærkelsesværdige grænse. Lad os arbejde lidt med brøken $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, justere den til den første bemærkelsesværdige grænse (bemærk, at udtrykkene i tælleren og under sinus skal matche):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\venstre(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Lad os vende tilbage til den pågældende grænse:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Eksempel nr. 6

Find grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Siden $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ og $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, så vi har at gøre med usikkerhed $\frac(0)(0)$. Lad os afsløre det ved hjælp af den første bemærkelsesværdige grænse. For at gøre dette, lad os gå fra cosinus til sinus. Siden $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, så:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Går vi til sinus i den givne grænse, vil vi have:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\venstre|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\venstre(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\højre)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Eksempel nr. 7

Beregn grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ underlagt $\alpha\neq \ beta$.

Detaljerede forklaringer blev givet tidligere, men her bemærker vi blot, at der igen er usikkerhed $\frac(0)(0)$. Lad os gå fra cosinus til sinus ved hjælp af formlen

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Ved hjælp af denne formel får vi:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\venstre|\frac(0)( 0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\venstre(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\venstre(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\venstre(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Eksempel nr. 8

Find grænsen $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Siden $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (husk at $\sin(0)=\tg(0)=0$) og $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, så har vi her at gøre med usikkerhed af formen $\frac(0)(0)$. Lad os opdele det som følger:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\venstre(\frac(1)(\cos(x))-1\højre))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\venstre(\frac(\sin(x))(x)\cdot\venstre(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Svar: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Eksempel nr. 9

Find grænsen $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Siden $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ og $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, så er der usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Før du fortsætter til dens udvidelse, er det praktisk at foretage en ændring af variabel på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (bemærk, at i formlerne er variablen $\alpha \to 0$). Den nemmeste måde er at introducere variablen $t=x-3$. Men af ​​hensyn til bekvemmeligheden ved yderligere transformationer (denne fordel kan ses i løbet af løsningen nedenfor), er det værd at foretage følgende udskiftning: $t=\frac(x-3)(2)$. Jeg bemærker, at begge udskiftninger er gældende i dette tilfælde, det er bare, at den anden udskiftning giver dig mulighed for at arbejde mindre med fraktioner. Siden $x\to(3)$, derefter $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\venstre|\frac (0)(0)\højre| =\venstre|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ til(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\venstre(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Svar: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Eksempel nr. 10

Find grænsen $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.

Endnu en gang har vi at gøre med usikkerhed $\frac(0)(0)$. Før du fortsætter til dens udvidelse, er det praktisk at foretage en ændring af variabel på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (bemærk, at i formlerne er variablen $\alpha\to(0)$). Den nemmeste måde er at introducere variablen $t=\frac(\pi)(2)-x$. Siden $x\to\frac(\pi)(2)$, derefter $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\venstre|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\venstre(\frac(\pi)(2)-t\højre))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\venstre(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2) ) =\frac(1)(2). $$

Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Eksempel nr. 11

Find grænserne $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

I dette tilfælde behøver vi ikke bruge den første vidunderlige grænse. Bemærk, at både den første og anden grænse kun indeholder trigonometriske funktioner og tal. Ofte er det i eksempler af denne art muligt at forenkle udtrykket placeret under grænsetegnet. Desuden forsvinder usikkerheden efter den førnævnte forenkling og reduktion af nogle faktorer. Jeg gav dette eksempel kun med ét formål: at vise, at tilstedeværelsen af ​​trigonometriske funktioner under grænsetegnet ikke nødvendigvis betyder brugen af ​​den første bemærkelsesværdige grænse.

Siden $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (husk at $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) og $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (lad mig minde dig om, at $\cos\frac(\pi)(2)=0$), så har vi beskæftiger sig med usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Det betyder dog ikke, at vi skal bruge den første vidunderlige grænse. For at afsløre usikkerheden er det nok at tage højde for, at $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\venstre|\frac(0)(0)\højre| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Der er en lignende løsning i Demidovichs løsningsbog (nr. 475). Med hensyn til den anden grænse, som i de foregående eksempler i dette afsnit, har vi en usikkerhed på formen $\frac(0)(0)$. Hvorfor opstår det? Det opstår fordi $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ og $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Vi bruger disse værdier til at transformere udtrykkene i tælleren og nævneren. Målet med vores handlinger er at skrive summen ned i tæller og nævner som et produkt. I øvrigt er det ofte inden for en lignende type praktisk at ændre en variabel, lavet på en sådan måde, at den nye variabel har en tendens til nul (se f.eks. eksempler nr. 9 eller nr. 10 på denne side). Men i dette eksempel er der ingen mening i at erstatte, selvom det ikke er svært at implementere, hvis det ønskes, at erstatte variablen $t=x-\frac(2\pi)(3)$.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ til\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\venstre(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \venstre(x-\frac(2\pi)(3)\højre))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3) ))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\højre))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3) ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3) ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$

Som du kan se, behøvede vi ikke at anvende den første vidunderlige grænse. Det kan du selvfølgelig gøre, hvis du vil (se note nedenfor), men det er ikke nødvendigt.

Hvad er løsningen med den første bemærkelsesværdige grænse? vis\skjul

Ved at bruge den første bemærkelsesværdige grænse får vi:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\venstre(\frac(\sin\venstre(x-\frac(2\pi)(3)\ højre))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Svar: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Vi fortsætter med at analysere færdige svar på teorien om grænser, og i dag vil vi kun fokusere på det tilfælde, hvor en variabel i en funktion eller et tal i en sekvens har en tendens til uendelig. Instruktioner til beregning af grænsen for en variabel, der tenderer mod uendelighed, blev givet tidligere; her vil vi kun dvæle ved individuelle tilfælde, der ikke er indlysende og enkle for alle.

Eksempel 35. Vi har en sekvens i form af en brøk, hvor tæller og nævner indeholder rodfunktioner.
Vi skal finde grænsen, når tallet har en tendens til uendelig.
Her er der ingen grund til at afsløre irrationaliteten i tælleren, men kun omhyggeligt analysere rødderne og finde ud af, hvor en højere potens af tallet er indeholdt.
I den første er tællerens rødder multiplikator n^4, det vil sige, at n^2 kan tages ud af parentes.
Lad os gøre det samme med nævneren.
Dernæst vurderer vi betydningen af ​​radikale udtryk, når vi går til grænsen.

Vi fik divisioner med nul, hvilket er forkert i skoleforløbet, men i overgangen til grænsen er det acceptabelt.
Kun med et ændringsforslag "for at vurdere, hvor funktionen er på vej hen."
Derfor er det ikke alle lærere, der kan fortolke ovenstående notation som korrekt, selvom de forstår, at det resulterende resultat ikke vil ændre sig.
Lad os se på svaret, der er udarbejdet i henhold til lærernes krav i henhold til teorien.
For at forenkle vil vi kun evaluere de vigtigste tilføjelser under roden

Yderligere er potensen i tælleren lig med 2, i nævneren 2/3, derfor vokser tælleren hurtigere, hvilket betyder, at grænsen har en tendens til uendelig.
Dens fortegn afhænger af faktorerne n^2, n^(2/3), så det er positivt.

Eksempel 36. Overvej et eksempel på en grænse for opdelingen af ​​eksponentielle funktioner. Der er få praktiske eksempler af denne art, så det er ikke alle elever, der lige kan afsløre de usikkerheder, der opstår.
Den maksimale faktor for tælleren og nævneren er 8^n, og vi forenkler med det

Dernæst evaluerer vi bidraget fra hvert semester
Betingelserne 3/8 har en tendens til nul, da variablen går til det uendelige, da 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Eksempel 37. Grænsen for en sekvens med faktorialer afsløres ved at nedskrive faktoren til den største fælles faktor for tæller og nævner.
Dernæst reducerer vi den og evaluerer grænsen ud fra værdien af ​​talindikatorerne i tælleren og nævneren.
I vores eksempel vokser nævneren hurtigere, så grænsen er nul.


Her bruges følgende

faktoriel ejendom.

Eksempel 38. Uden at anvende L'Hopitals regler sammenligner vi de maksimale indikatorer for variablen i brøkens tæller og nævner.
Da nævneren indeholder den højeste eksponent for variablen 4>2, vokser den hurtigere.
Ud fra dette konkluderer vi, at grænsen for funktionen har en tendens til nul.

Eksempel 39. Vi afslører det særlige ved formen uendelighed divideret med uendeligt ved at fjerne x^4 fra brøkens tæller og nævner.
Som et resultat af at passere til grænsen opnår vi uendelighed.

Eksempel 40. Vi har en division af polynomier, vi skal bestemme grænsen, da variablen har en tendens til uendelig.
Den højeste grad af variablen i tælleren og nævneren er lig med 3, hvilket betyder, at grænsen eksisterer og er lig med den nuværende.
Lad os tage x^3 ud og udføre passagen til det yderste

Eksempel 41. Vi har en singularitet af type et til uendelighedens magt.
Det betyder, at udtrykket i parentes og selve indikatoren skal bringes under den anden vigtige grænse.
Lad os skrive tælleren ned for at fremhæve det udtryk i den, der er identisk med nævneren.
Dernæst går vi videre til et udtryk, der indeholder et plus et led.
Graden skal skelnes med faktoren 1/(term).
Således får vi eksponenten i potensen af ​​grænsen for brøkfunktionen.

For at evaluere singulariteten brugte vi den anden grænse:

Eksempel 42. Vi har en singularitet af type et til uendelighedens magt.
For at afsløre det, bør man reducere funktionen til den anden bemærkelsesværdige grænse.
Hvordan man gør dette er vist i detaljer i den følgende formel


Du kan finde mange lignende problemer. Deres essens er at opnå den nødvendige grad i eksponenten, og den er lig med den omvendte værdi af udtrykket i parentes ved én.
Ved hjælp af denne metode får vi eksponenten. Yderligere beregning reduceres til at beregne grænsen for eksponentgraden.
Her har eksponentialfunktionen en tendens til uendelig, da værdien er større end én e=2,72>1.

Eksempel 43 I nævneren af ​​brøken har vi en usikkerhed af typen uendelig minus uendelighed, som faktisk er lig med division med nul.
For at slippe af med roden multiplicerer vi med det konjugerede udtryk og bruger derefter formlen for kvadratforskellen til at omskrive nævneren.
Vi får uendelighedens usikkerhed divideret med uendeligheden, så vi tager variablen ud i størst grad og reducerer den med den.
Dernæst vurderer vi bidraget fra hvert led og finder grænsen for funktionen ved uendelig

Teorien om grænser er en af ​​grene af matematisk analyse. Spørgsmålet om at løse grænser er ret omfattende, da der er snesevis af metoder til at løse grænser af forskellige typer. Der er snesevis af nuancer og tricks, der giver dig mulighed for at løse denne eller hin grænse. Ikke desto mindre vil vi stadig forsøge at forstå de hovedtyper af grænser, man oftest støder på i praksis.

Lad os starte med selve konceptet om en grænse. Men først en kort historisk baggrund. Der boede en franskmand, Augustin Louis Cauchy, i det 19. århundrede, som gav strenge definitioner til mange af begreberne matan og lagde dets grundlag. Det skal siges, at denne respekterede matematiker var, er og vil være i mareridt for alle studerende i fysik og matematikafdelinger, da han beviste et stort antal matematiske analysers teoremer, og den ene sætning er mere dødelig end den anden. I denne forbindelse vil vi ikke overveje endnu bestemmelse af Cauchy-grænsen, men lad os prøve at gøre to ting:

1. Forstå, hvad en grænse er.
2. Lær at løse hovedtyperne af grænser.

Jeg undskylder for nogle uvidenskabelige forklaringer, det er vigtigt at materialet er forståeligt selv for en tekande, hvilket faktisk er projektets opgave.

Så hvad er grænsen?

Og lige et eksempel på hvorfor man lurvede bedstemor....

Enhver grænse består af tre dele:

1) Det velkendte grænseikon.
2) Indtastninger under grænseikonet, i dette tilfælde . Indlægget lyder "X har tendens til en." Oftest - nøjagtigt, selvom der i stedet for "X" i praksis er andre variabler. I praktiske opgaver kan stedet for en være absolut et hvilket som helst tal, såvel som uendeligt ().
3) Fungerer under grænsetegnet, i dette tilfælde .

Selve optagelsen lyder sådan her: "grænsen for en funktion som x har en tendens til enhed."

Lad os se på det næste vigtige spørgsmål - hvad betyder udtrykket "x"? stræber efter til en"? Og hvad betyder "stræbe" overhovedet?
Begrebet en grænse er et begreb, så at sige, dynamisk. Lad os bygge en sekvens: først , derefter , , …, , ….
Det vil sige udtrykket "x stræber efter til én" skal forstås som følger: "x" antager konsekvent værdierne som nærmer sig enhed uendeligt tæt og praktisk talt falder sammen med den.

Hvordan løses ovenstående eksempel? Baseret på ovenstående skal du blot erstatte en i funktionen under grænsetegnet:

Så den første regel: Når der gives en grænse, prøver vi først blot at tilslutte nummeret til funktionen.

Vi har overvejet den enkleste grænse, men disse forekommer også i praksis, og ikke så sjældent!

Eksempel med uendelighed:

Lad os finde ud af, hvad det er? Dette er tilfældet, når det stiger uden grænser, det vil sige: først, så, så, så og så videre i det uendelige.

Hvad sker der med funktionen på dette tidspunkt?
, , , …

Så: hvis , så har funktionen en tendens til minus uendelig:

Groft sagt, ifølge vores første regel, i stedet for "X" erstatter vi uendelighed i funktionen og får svaret.

Et andet eksempel med uendelighed:

Igen begynder vi at øge til det uendelige og ser på funktionens adfærd:

Konklusion: når funktionen øges uden grænser:

Og endnu en række eksempler:

Prøv venligst at mentalt analysere følgende for dig selv og husk de enkleste typer grænser:

, , , , , , , , ,
Er du i tvivl nogen steder, kan du tage en lommeregner og øve dig lidt.
I tilfælde af at , prøv at konstruere sekvensen , , . Hvis så , , .

! Bemærk: Strengt taget er denne tilgang til at konstruere sekvenser af flere tal forkert, men til at forstå de enkleste eksempler er den ganske velegnet.

Vær også opmærksom på følgende ting. Selvom en grænse er givet med et stort tal øverst eller endda med en million: , så er det det samme , da "X" før eller siden begynder at antage så gigantiske værdier, at en million i sammenligning vil være en rigtig mikrobe.

Hvad skal du huske og forstå ud fra ovenstående?

1) Når der er givet en grænse, prøver vi først blot at erstatte tallet i funktionen.

2) Du skal forstå og straks løse de simpleste grænser, som f.eks , , etc.

Desuden har grænsen en meget god geometrisk betydning. For en bedre forståelse af emnet anbefaler jeg, at du læser undervisningsmaterialet Grafer og egenskaber for elementære funktioner. Efter at have læst denne artikel, vil du ikke kun endelig forstå, hvad en grænse er, men også blive bekendt med interessante tilfælde, hvor grænsen for en funktion generelt eksisterer ikke!

I praksis er der desværre få gaver. Og derfor går vi videre til at overveje mere komplekse grænser. Forresten, om dette emne er der intensivt kursus i pdf-format, hvilket især er nyttigt, hvis du har MEGET lidt tid til at forberede dig. Men hjemmesidens materialer er selvfølgelig ikke værre:


Nu vil vi overveje gruppen af ​​grænser når , og funktionen er en brøk, hvis tæller og nævner indeholder polynomier

Eksempel:

Beregn grænse

Ifølge vores regel vil vi forsøge at erstatte uendelighed i funktionen. Hvad får vi på toppen? Uendelighed. Og hvad sker der nedenfor? Også uendelighed. Dermed har vi det, man kalder artsusikkerhed. Man kunne tro, at , og svaret er klar, men i det generelle tilfælde er dette slet ikke tilfældet, og det er nødvendigt at anvende en eller anden løsningsteknik, som vi nu vil overveje.

Hvordan løser man grænser af denne type?

Først ser vi på tælleren og finder den højeste potens:

Den førende potens i tælleren er to.

Nu ser vi på nævneren og finder den også i højeste styrke:

Den højeste grad af nævneren er to.

Så vælger vi den højeste potens af tælleren og nævneren: i dette eksempel er de ens og lig med to.

Så løsningsmetoden er som følger: For at afsløre usikkerheden er det nødvendigt at dividere tælleren og nævneren med den højeste potens.



Her er det, svaret, og slet ikke uendeligheden.

Hvad er grundlæggende vigtigt i udformningen af ​​en beslutning?

Først angiver vi usikkerhed, hvis nogen.

For det andet er det tilrådeligt at afbryde løsningen for mellemliggende forklaringer. Jeg plejer at bruge tegnet, det har ikke nogen matematisk betydning, men betyder at løsningen afbrydes for en mellemliggende forklaring.

For det tredje, i grænsen er det tilrådeligt at markere, hvad der skal hvor. Når arbejdet er tegnet i hånden, er det mere bekvemt at gøre det på denne måde:

Det er bedre at bruge en simpel blyant til noter.

Selvfølgelig skal du ikke gøre noget af dette, men så vil læreren måske påpege mangler i løsningen eller begynde at stille yderligere spørgsmål til opgaven. Har du brug for det?

Eksempel 2

Find grænsen
Igen i tælleren og nævneren finder vi i højeste grad:

Maksimal grad i tæller: 3
Maksimal grad i nævner: 4
Vælge størst værdi, i dette tilfælde fire.
Ifølge vores algoritme, for at afsløre usikkerhed, dividerer vi tælleren og nævneren med .
Hele opgaven kan se sådan ud:

Divider tæller og nævner med

Eksempel 3

Find grænsen
Maksimal grad af "X" i tælleren: 2
Maksimal grad af "X" i nævneren: 1 (kan skrives som)
For at afsløre usikkerheden er det nødvendigt at dividere tæller og nævner med . Den endelige løsning kan se sådan ud:

Divider tæller og nævner med

Notation betyder ikke division med nul (du kan ikke dividere med nul), men division med et uendeligt lille tal.

Ved at afdække artsusikkerhed kan vi således muligvis endeligt nummer, nul eller uendelig.


Grænser med usikkerhed om type og metode til at løse dem

Den næste gruppe af grænser ligner lidt de grænser, der lige er blevet betragtet: tælleren og nævneren indeholder polynomier, men "x" har ikke længere en tendens til uendelig, men til begrænset antal.

Eksempel 4

Løs grænse
Lad os først prøve at erstatte -1 i brøken:

I dette tilfælde opnås den såkaldte usikkerhed.

Generel regel: hvis tælleren og nævneren indeholder polynomier, og der er usikkerhed om formen, så for at afsløre det du skal faktorisere tæller og nævner.

For at gøre dette skal du oftest løse en andengradsligning og/eller bruge forkortede multiplikationsformler. Hvis disse ting er blevet glemt, så besøg siden Matematiske formler og tabeller og læs undervisningsmaterialet Hot formler for skole matematik kursus. Forresten er det bedst at printe det ud, det er påkrævet meget ofte, og information absorberes bedre fra papir.

Så lad os løse vores grænse

Faktor tæller og nævner

For at faktorisere tælleren skal du løse andengradsligningen:

Først finder vi diskriminanten:

Og kvadratroden af ​​det:.

Hvis diskriminanten er stor, for eksempel 361, bruger vi en lommeregner; funktionen til at udtrække kvadratroden er på den enkleste lommeregner.

! Hvis roden ikke udtrækkes i sin helhed (der fås et brøktal med komma), er det meget sandsynligt, at diskriminanten er beregnet forkert, eller der har været en tastefejl i opgaven.

Dernæst finder vi rødderne:

Dermed:

Alle. Tælleren er faktoriseret.

Nævner. Nævneren er allerede den enkleste faktor, og der er ingen måde at forenkle den på.

Det kan naturligvis forkortes til:

Nu erstatter vi -1 i det udtryk, der forbliver under grænsetegnet:

Naturligvis bliver løsningen aldrig beskrevet så detaljeret i en test, test eller eksamen. I den endelige version skulle designet se sådan ud:

Lad os faktorisere tælleren.





Eksempel 5

Beregn grænse

Først den "finish"-version af løsningen

Lad os faktorisere tælleren og nævneren.

Tæller:
Nævner:



,

Hvad er vigtigt i dette eksempel?
For det første skal du have en god forståelse for, hvordan tælleren afsløres, først tog vi 2 ud af parentes, og brugte derefter formlen for forskellen på kvadrater. Dette er den formel, du skal kende og se.

Henstilling: Hvis det i en grænse (af næsten enhver type) er muligt at tage et antal ud af parentes, så gør vi det altid.
Desuden er det tilrådeligt at flytte sådanne tal ud over grænseikonet. For hvad? Ja, bare for at de ikke kommer i vejen. Det vigtigste er ikke at miste disse tal senere under løsningen.

Bemærk venligst, at i sidste fase af løsningen tog jeg de to ud af grænseikonet og derefter minus.

! Vigtig
Under opløsningen forekommer typefragmentet meget ofte. Reducer denne fraktiondet er forbudt . Først skal du ændre tegnet for tælleren eller nævneren (sæt -1 ud af parenteser).
, det vil sige, at der vises et minustegn, som tages i betragtning ved beregning af grænsen, og det er slet ikke nødvendigt at miste det.

Generelt lagde jeg mærke til, at man oftest ved at finde grænser af denne type skal løse to andengradsligninger, det vil sige, at både tælleren og nævneren indeholder kvadratiske trinomier.


Metode til at gange tæller og nævner med det konjugerede udtryk

Vi fortsætter med at overveje usikkerheden i formen

Den næste type grænser ligner den forrige type. Det eneste, udover polynomier, vil vi tilføje rødder.

Eksempel 6

Find grænsen

Lad os begynde at beslutte.

Først forsøger vi at erstatte 3 i udtrykket under grænsetegnet
Jeg gentager endnu en gang - dette er den første ting du skal gøre for ENHVER grænse. Denne handling udføres normalt mentalt eller i udkast.

Der er opnået en usikkerhed om formen, som skal fjernes.

Som du sikkert har bemærket, indeholder vores tæller forskellen på rødderne. Og i matematik er det kutyme at slippe af med rødder, hvis det er muligt. For hvad? Og livet er lettere uden dem.