Reglen for at trække to brøker fra med samme nævnere. "tillægge og trække brøker med ens nævnere"

Lektionens indhold

Tilføjelse af brøker med ens nævnere

Der er to typer addition af fraktioner:

  1. Tilføjelse af brøker med ens nævnere
  2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere

Lad os først lære at tilføje brøker med ens nævnere. Alt er enkelt her. For at tilføje brøker med de samme nævnere, skal du tilføje deres tællere og lade nævneren være uændret. Lad os f.eks. tilføje brøkerne og . Tilføj tællere og lad nævneren være uændret:

Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i fire dele. Tilføjer du pizza til pizza, får du pizza:

Eksempel 2. Tilføj brøker og .

Svaret viste sig at være en upassende brøk. Når slutningen af ​​opgaven kommer, er det sædvanligt at slippe af med ukorrekte fraktioner. For at slippe af med en ukorrekt fraktion skal du vælge hele delen af ​​den. I vores tilfælde er hele delen let isoleret - to divideret med to er lig med en:

Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker om en pizza, der er opdelt i to dele. Tilføjer du mere pizza til pizzaen, får du en hel pizza:

Eksempel 3. Tilføj brøker og .

Igen lægger vi tællerne sammen og lader nævneren være uændret:

Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i tre dele. Tilføjer du mere pizza til pizzaen, får du pizza:

Eksempel 4. Find værdien af ​​et udtryk

Dette eksempel er løst på nøjagtig samme måde som de foregående. Tællerne skal tilføjes og nævneren forblive uændret:

Lad os prøve at skildre vores løsning ved hjælp af en tegning. Tilføjer du pizzaer til en pizza og tilføjer flere pizzaer, får du 1 hel pizza og flere pizzaer.

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved at tilføje brøker med de samme nævnere. Det er nok at forstå følgende regler:

  1. For at tilføje brøker med samme nævner, skal du tilføje deres tællere og lade nævneren være uændret;

Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere

Lad os nu lære, hvordan man tilføjer brøker med forskellige nævnere. Ved sammenlægning af brøker skal nævnerne for brøkerne være de samme. Men de er ikke altid ens.

For eksempel kan brøker tilføjes, fordi de har de samme nævnere.

Men brøker kan ikke tilføjes med det samme, da disse brøker har forskellige nævnere. I sådanne tilfælde skal brøker reduceres til samme (fælles)nævner.

Der er flere måder at reducere brøker til den samme nævner. I dag vil vi kun se på en af ​​dem, da de andre metoder kan virke komplicerede for en begynder.

Essensen af ​​denne metode er, at først LCM af nævnerne af begge fraktioner søges. LCM divideres derefter med nævneren af ​​den første brøk for at opnå den første yderligere faktor. De gør det samme med den anden brøk - LCM divideres med nævneren for den anden brøk, og en anden yderligere faktor opnås.

Brøkernes tællere og nævnere ganges derefter med deres yderligere faktorer. Som et resultat af disse handlinger bliver brøker, der havde forskellige nævnere, til brøker, der har de samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man tilføjer sådanne brøker.

Eksempel 1. Lad os tilføje brøkerne og

Først og fremmest finder vi det mindste fælles multiplum af nævnerne i begge brøker. Nævneren i den første brøk er tallet 3, og nævneren i den anden brøk er tallet 2. Det mindste fælles multiplum af disse tal er 6

LCM (2 og 3) = 6

Lad os nu vende tilbage til brøker og . Del først LCM med nævneren af ​​den første brøk og få den første ekstra faktor. LCM er tallet 6, og nævneren i den første brøk er tallet 3. Divider 6 med 3, så får vi 2.

Det resulterende tal 2 er den første ekstra multiplikator. Vi skriver det ned til den første brøk. For at gøre dette skal du lave en lille skrå linje over brøken og nedskrive den ekstra faktor, der findes over den:

Vi gør det samme med den anden brøk. Vi dividerer LCM med nævneren af ​​den anden brøk og får den anden ekstra faktor. LCM er tallet 6, og nævneren i den anden brøk er tallet 2. Divider 6 med 2, så får vi 3.

Det resulterende tal 3 er den anden ekstra multiplikator. Vi skriver det ned til den anden brøk. Igen laver vi en lille skrå linje over den anden brøk og skriver den ekstra faktor, der findes over den, ned:

Nu har vi alt klar til tilføjelse. Det er tilbage at gange brøkernes tællere og nævnere med deres yderligere faktorer:

Se nøje på, hvad vi er kommet til. Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man tilføjer sådanne brøker. Lad os tage dette eksempel til slutningen:

Dette fuldender eksemplet. Det viser sig at tilføje .

Lad os prøve at skildre vores løsning ved hjælp af en tegning. Tilføjer du pizza til en pizza, får du en hel pizza og en anden sjettedel af en pizza:

Reduktion af brøker til den samme (fælles)nævner kan også afbildes ved hjælp af et billede. Ved at reducere brøkerne og til en fællesnævner fik vi brøkerne og . Disse to fraktioner vil være repræsenteret af de samme stykker pizza. Den eneste forskel vil være, at de denne gang bliver delt i lige store andele (reduceret til samme nævner).

Den første tegning repræsenterer en brøk (fire stykker ud af seks), og den anden tegning repræsenterer en brøkdel (tre stykker ud af seks). Tilføjelse af disse stykker får vi (syv stykker ud af seks). Denne brøkdel er ukorrekt, så vi fremhævede hele delen af ​​den. Som et resultat fik vi (en hel pizza og en anden sjette pizza).

Bemærk venligst, at vi har beskrevet dette eksempel for meget detaljeret. I uddannelsesinstitutioner er det ikke sædvanligt at skrive så detaljeret. Du skal hurtigt kunne finde LCM for både nævnere og yderligere faktorer til dem, samt hurtigt gange de fundne yderligere faktorer med dine tællere og nævnere. Hvis vi var i skole, skulle vi skrive dette eksempel som følger:

Men der er også en anden side af mønten. Hvis du ikke tager detaljerede noter i de første faser af at studere matematik, begynder spørgsmål af den slags at dukke op. "Hvor kommer det tal fra?", "Hvorfor bliver brøker pludselig til helt andre brøker? «.

For at gøre det nemmere at tilføje brøker med forskellige nævnere kan du bruge følgende trinvise instruktioner:

  1. Find LCM for nævnerne af brøker;
  2. Divider LCM med nævneren af ​​hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk;
  3. Multiplicer tællere og nævnere af brøker med deres yderligere faktorer;
  4. Tilføj brøker, der har de samme nævnere;
  5. Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøk, så vælg hele dens del;

Eksempel 2. Find værdien af ​​et udtryk .

Lad os bruge instruktionerne ovenfor.

Trin 1. Find LCM for nævnerne af brøkerne

Find LCM for nævnerne af begge brøker. Nævnerne for brøker er tallene 2, 3 og 4

Trin 2. Divider LCM med nævneren for hver brøk og få en ekstra faktor for hver brøk

Divider LCM med nævneren af ​​den første brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den første brøk er tallet 2. Divider 12 med 2, vi får 6. Vi fik den første ekstra faktor 6. Vi skriver den over den første brøk:

Nu dividerer vi LCM med nævneren af ​​den anden brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den anden brøk er tallet 3. Divider 12 med 3, vi får 4. Vi får den anden yderligere faktor 4. Vi skriver den over den anden brøk:

Nu dividerer vi LCM med nævneren af ​​den tredje brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den tredje brøk er tallet 4. Divider 12 med 4, vi får 3. Vi får den tredje ekstra faktor 3. Vi skriver den over den tredje brøk:

Trin 3. Multiplicer brøkernes tællere og nævnere med deres yderligere faktorer

Vi multiplicerer tællere og nævnere med deres yderligere faktorer:

Trin 4. Tilføj brøker med de samme nævnere

Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde de samme (fælles)nævnere. Tilbage er blot at tilføje disse fraktioner. Tilføj det:

Tilføjelsen passede ikke på én linje, så vi flyttede det resterende udtryk til den næste linje. Dette er tilladt i matematik. Når et udtryk ikke passer på én linje, flyttes det til næste linje, og det er nødvendigt at sætte et lighedstegn (=) i slutningen af ​​den første linje og i begyndelsen af ​​den nye linje. Lighedstegnet på den anden linje indikerer, at dette er en fortsættelse af det udtryk, der var på den første linje.

Trin 5. Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøk, så vælg hele delen af ​​det

Vores svar viste sig at være en ukorrekt brøkdel. Vi skal fremhæve en hel del af det. Vi fremhæver:

Vi fik svar

At trække brøker fra med ens nævnere

Der er to typer subtraktion af brøker:

  1. At trække brøker fra med ens nævnere
  2. Fratræk brøker med forskellige nævnere

Lad os først lære, hvordan man trækker brøker fra med ens nævnere. Alt er enkelt her. For at trække en anden fra en brøk, skal du trække tælleren for den anden brøk fra tælleren i den første brøk, men lade nævneren være den samme.

Lad os f.eks. finde værdien af ​​udtrykket . For at løse dette eksempel skal du trække tælleren for den anden brøk fra tælleren i den første brøk og lade nævneren være uændret. Lad os gøre det:

Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i fire dele. Hvis du skærer pizzaer fra en pizza, får du pizzaer:

Eksempel 2. Find værdien af ​​udtrykket.

Igen, fra tælleren for den første brøk, trækker du tælleren fra den anden brøk, og lad nævneren være uændret:

Dette eksempel kan let forstås, hvis vi husker pizzaen, som er opdelt i tre dele. Hvis du skærer pizzaer fra en pizza, får du pizzaer:

Eksempel 3. Find værdien af ​​et udtryk

Dette eksempel er løst på nøjagtig samme måde som de foregående. Fra tælleren for den første brøk skal du trække tællerne for de resterende brøker fra:

Som du kan se, er der ikke noget kompliceret ved at trække brøker fra med de samme nævnere. Det er nok at forstå følgende regler:

  1. For at trække en anden fra en brøk, skal du trække tælleren for den anden brøk fra tælleren i den første brøk og lade nævneren være uændret;
  2. Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøkdel, skal du fremhæve hele delen af ​​det.

Fratræk brøker med forskellige nævnere

For eksempel kan du trække en brøk fra en brøk, fordi brøkerne har de samme nævnere. Men du kan ikke trække en brøk fra en brøk, da disse brøker har forskellige nævnere. I sådanne tilfælde skal brøker reduceres til samme (fælles)nævner.

Fællesnævneren findes ved at bruge det samme princip, som vi brugte, når vi tilføjede brøker med forskellige nævnere. Først og fremmest skal du finde LCM for nævnerne af begge brøker. Derefter divideres LCM med nævneren af ​​den første brøk, og den første yderligere faktor opnås, som er skrevet over den første brøk. På samme måde divideres LCM med nævneren for den anden brøk, og der opnås en anden yderligere faktor, som er skrevet over den anden brøk.

Brøkerne ganges derefter med deres yderligere faktorer. Som et resultat af disse operationer konverteres brøker, der havde forskellige nævnere, til brøker, der har de samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man trækker sådanne brøker fra.

Eksempel 1. Find betydningen af ​​udtrykket:

Disse brøker har forskellige nævnere, så du skal reducere dem til den samme (fælles)nævner.

Først finder vi LCM for nævnerne af begge brøker. Nævneren i den første brøk er tallet 3, og nævneren i den anden brøk er tallet 4. Det mindste fælles multiplum af disse tal er 12

LCM (3 og 4) = 12

Lad os nu vende tilbage til brøker og

Lad os finde en ekstra faktor for den første brøk. For at gøre dette skal du dividere LCM med nævneren af ​​den første brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den første brøk er tallet 3. Divider 12 med 3, vi får 4. Skriv en firer over den første brøk:

Vi gør det samme med den anden brøk. Divider LCM med nævneren af ​​den anden brøk. LCM er tallet 12, og nævneren for den anden brøk er tallet 4. Divider 12 med 4, vi får 3. Skriv en treer over den anden brøk:

Nu er vi klar til subtraktion. Det er tilbage at gange brøkerne med deres yderligere faktorer:

Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde samme nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man trækker sådanne brøker fra. Lad os tage dette eksempel til slutningen:

Vi fik svar

Lad os prøve at skildre vores løsning ved hjælp af en tegning. Hvis du skærer pizza fra en pizza, får du pizza

Dette er den detaljerede version af løsningen. Hvis vi var i skolen, skulle vi løse dette eksempel kortere. En sådan løsning vil se sådan ud:

Reduktion af brøker til en fællesnævner kan også afbildes ved hjælp af et billede. Reducerer disse brøker til en fællesnævner, fik vi brøkerne og . Disse brøker vil være repræsenteret af de samme pizzaskiver, men denne gang vil de blive opdelt i lige store dele (reduceret til samme nævner):

Det første billede viser en brøk (otte stykker ud af tolv), og det andet billede viser en brøk (tre stykker ud af tolv). Ved at skære tre stykker fra otte stykker får vi fem stykker ud af tolv. Brøken beskriver disse fem stykker.

Eksempel 2. Find værdien af ​​et udtryk

Disse brøker har forskellige nævnere, så først skal du reducere dem til den samme (fælles) nævner.

Lad os finde LCM for nævnerne af disse brøker.

Brøkernes nævnere er tallene 10, 3 og 5. Det mindste fælles multiplum af disse tal er 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nu finder vi yderligere faktorer for hver brøkdel. For at gøre dette skal du dividere LCM med nævneren for hver brøk.

Lad os finde en ekstra faktor for den første brøk. LCM er tallet 30, og nævneren for den første brøk er tallet 10. Divider 30 med 10, vi får den første ekstra faktor 3. Vi skriver den over den første brøk:

Nu finder vi en ekstra faktor for den anden fraktion. Divider LCM med nævneren af ​​den anden brøk. LCM er tallet 30, og nævneren for den anden brøk er tallet 3. Divider 30 med 3, vi får den anden ekstra faktor 10. Vi skriver den over den anden brøk:

Nu finder vi en ekstra faktor for den tredje fraktion. Divider LCM med nævneren af ​​den tredje brøk. LCM er tallet 30, og nævneren for den tredje brøk er tallet 5. Divider 30 med 5, vi får den tredje ekstra faktor 6. Vi skriver den over den tredje brøk:

Nu er alt klar til subtraktion. Det er tilbage at gange brøkerne med deres yderligere faktorer:

Vi kom til den konklusion, at brøker, der havde forskellige nævnere, blev til brøker, der havde de samme (fælles)nævnere. Og vi ved allerede, hvordan man trækker sådanne brøker fra. Lad os afslutte dette eksempel.

Fortsættelsen af ​​eksemplet vil ikke passe på én linje, så vi flytter fortsættelsen til næste linje. Glem ikke lighedstegnet (=) på den nye linje:

Svaret viste sig at være en almindelig brøkdel, og alt ser ud til at passe os, men det er for besværligt og grimt. Vi bør gøre det enklere. Hvad kan gøres? Du kan forkorte denne brøkdel.

For at reducere en brøk skal du dividere dens tæller og nævner med (GCD) af tallene 20 og 30.

Så vi finder gcd af tallene 20 og 30:

Nu vender vi tilbage til vores eksempel og dividerer brøkens tæller og nævner med den fundne gcd, det vil sige med 10

Vi fik svar

At gange en brøk med et tal

For at gange en brøk med et tal, skal du gange tælleren for den givne brøk med det tal og lade nævneren være den samme.

Eksempel 1. Gang en brøkdel med tallet 1.

Gang brøkens tæller med tallet 1

Optagelsen kan forstås som at den tager halv 1 gang. Tager du fx pizza én gang, får du pizza

Fra multiplikationslovene ved vi, at hvis multiplikaden og faktoren byttes om, vil produktet ikke ændre sig. Hvis udtrykket skrives som , så vil produktet stadig være lig med . Igen fungerer reglen for at gange et helt tal og en brøk:

Denne notation kan forstås som at tage halvdelen af ​​en. For eksempel, hvis der er 1 hel pizza, og vi tager halvdelen af ​​den, så vil vi have pizza:

Eksempel 2. Find værdien af ​​et udtryk

Gang brøkens tæller med 4

Svaret var en upassende brøk. Lad os fremhæve hele delen af ​​det:

Udtrykket kan forstås som at det tager to kvarter 4 gange. Tager du for eksempel 4 pizzaer, får du to hele pizzaer

Og hvis vi bytter multiplikanten og multiplikatoren, får vi udtrykket . Det vil også være lig med 2. Dette udtryk kan forstås som at tage to pizzaer fra fire hele pizzaer:

Multiplikation af brøker

For at gange brøker skal du gange deres tællere og nævnere. Hvis svaret viser sig at være en ukorrekt brøkdel, skal du fremhæve hele den del af det.

Eksempel 1. Find værdien af ​​udtrykket.

Vi fik svar. Det er tilrådeligt at reducere denne fraktion. Fraktionen kan reduceres med 2. Så vil den endelige opløsning have følgende form:

Udtrykket kan forstås som at tage en pizza fra en halv pizza. Lad os sige, at vi har en halv pizza:

Hvordan tager man to tredjedele fra denne halvdel? Først skal du dele denne halvdel i tre lige store dele:

Og tag to fra disse tre stykker:

Vi laver pizza. Husk hvordan pizza ser ud, når den er opdelt i tre dele:

Et stykke af denne pizza og de to stykker, vi tog, vil have samme dimensioner:

Vi taler med andre ord om pizza af samme størrelse. Derfor er værdien af ​​udtrykket

Eksempel 2. Find værdien af ​​et udtryk

Multiplicer tælleren for den første brøk med tælleren i den anden brøk og nævneren for den første brøk med nævneren i den anden brøk:

Svaret var en upassende brøk. Lad os fremhæve hele delen af ​​det:

Eksempel 3. Find værdien af ​​et udtryk

Multiplicer tælleren for den første brøk med tælleren i den anden brøk og nævneren for den første brøk med nævneren i den anden brøk:

Svaret viste sig at være en almindelig brøk, men det ville være godt, hvis det blev forkortet. For at reducere denne brøk skal du dividere tælleren og nævneren for denne brøk med den største fælles divisor (GCD) af tallene 105 og 450.

Så lad os finde gcd'en for tallene 105 og 450:

Nu dividerer vi tælleren og nævneren for vores svar med den gcd, som vi nu har fundet, det vil sige med 15

Repræsenterer et helt tal som en brøk

Ethvert helt tal kan repræsenteres som en brøk. For eksempel kan tallet 5 repræsenteres som . Dette vil ikke ændre betydningen af ​​fem, da udtrykket betyder "tallet fem divideret med en", og dette er, som vi ved, lig med fem:

Gensidige tal

Nu vil vi stifte bekendtskab med et meget interessant emne i matematik. Det kaldes "omvendte tal".

Definition. Vend til nummer-en er et tal, der ganges med-en giver en.

Lad os erstatte i denne definition i stedet for variablen -en nummer 5 og prøv at læse definitionen:

Vend til nummer 5 er et tal, der ganges med 5 giver en.

Er det muligt at finde et tal, der, når det ganges med 5, giver et? Det viser sig, at det er muligt. Lad os forestille os fem som en brøk:

Derefter ganges denne brøk med sig selv, bare skift tæller og nævner. Med andre ord, lad os gange brøken med sig selv, kun på hovedet:

Hvad vil der ske som følge af dette? Hvis vi fortsætter med at løse dette eksempel, får vi et:

Det betyder, at det omvendte af tallet 5 er tallet, da når du gange 5 med, får du en.

Den reciproke af et tal kan også findes for ethvert andet heltal.

Du kan også finde den reciproke af enhver anden brøk. For at gøre dette skal du bare vende den om.

At dividere en brøk med et tal

Lad os sige, at vi har en halv pizza:

Lad os dele det ligeligt mellem to. Hvor meget pizza får hver person?

Det kan ses, at man efter at have delt halvdelen af ​​pizzaen opnåede to lige store stykker, som hver udgør en pizza. Så alle får en pizza.

Opdeling af brøker udføres ved hjælp af reciproke. Gensidige tal giver dig mulighed for at erstatte division med multiplikation.

For at dividere en brøk med et tal, skal du gange brøken med det omvendte af divisoren.

Ved hjælp af denne regel vil vi skrive ned opdelingen af ​​vores halvdel af pizzaen i to dele.

Så du skal dividere brøken med tallet 2. Her er udbyttet brøken og divisor er tallet 2.

For at dividere en brøk med tallet 2, skal du gange denne brøk med den reciproke af divisor 2. Den reciproke af divisor 2 er brøken. Så du skal gange med

En af de vigtigste videnskaber, hvis anvendelse kan ses i discipliner som kemi, fysik og endda biologi, er matematik. At studere denne videnskab giver dig mulighed for at udvikle nogle mentale kvaliteter og forbedre din koncentrationsevne. Et af de emner, der fortjener særlig opmærksomhed i matematikkurset, er at lægge og trække brøker fra. Mange studerende har svært ved at studere. Måske vil vores artikel hjælpe dig med bedre at forstå dette emne.

Hvordan man trækker brøker, hvis nævnere er de samme

Brøker er de samme tal, som du kan udføre forskellige operationer med. Deres forskel fra hele tal ligger i tilstedeværelsen af ​​en nævner. Det er derfor, når du udfører operationer med brøker, skal du studere nogle af deres funktioner og regler. Det enkleste tilfælde er subtraktionen af ​​almindelige brøker, hvis nævnere er repræsenteret som det samme tal. Det vil ikke være svært at udføre denne handling, hvis du kender en simpel regel:

  • For at trække et sekund fra en brøk, er det nødvendigt at trække tælleren for den subtraherede brøk fra tælleren for den brøk, der reduceres. Vi skriver dette tal ind i tælleren af ​​forskellen, og lader nævneren være den samme: k/m - b/m = (k-b)/m.

Eksempler på at trække brøker fra, hvis nævnere er ens

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Fra tælleren for brøken "7" trækker vi tælleren for brøken "3", der skal trækkes fra, vi får "4". Vi skriver dette tal i tælleren for svaret, og i nævneren sætter vi det samme tal, som var i nævnerne af den første og anden brøk - "19".

Billedet nedenfor viser flere lignende eksempler.

Lad os overveje et mere komplekst eksempel, hvor brøker med ens nævnere trækkes fra:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Fra tælleren for brøken "29" er reduceret ved at trække tællerne for alle efterfølgende brøker fra - "3", "8", "2", "7". Som et resultat får vi resultatet "9", som vi skriver ned i tælleren af ​​svaret, og i nævneren skriver vi ned det tal, der er i nævnerne af alle disse brøker - "47".

Tilføjelse af brøker, der har samme nævner

Tilføjelse og subtrahering af almindelige brøker følger samme princip.

  • For at tilføje brøker, hvis nævnere er de samme, skal du tilføje tællere. Det resulterende tal er tælleren af ​​summen, og nævneren forbliver den samme: k/m + b/m = (k + b)/m.

Lad os se, hvordan det ser ud ved at bruge et eksempel:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Til tælleren for det første led i brøken - "1" - tilføj tælleren for det andet led i brøken - "2". Resultatet - "3" - skrives ind i tælleren af ​​summen, og nævneren efterlades den samme som den, der findes i brøkerne - "4".

Brøker med forskellige nævnere og deres subtraktion

Vi har allerede overvejet operationen med brøker, der har samme nævner. Som du kan se, er det ret nemt at kende enkle regler, at løse sådanne eksempler. Men hvad nu hvis du skal udføre en operation med brøker, der har forskellige nævnere? Mange gymnasieelever er forvirrede over sådanne eksempler. Men selv her, hvis du kender princippet i løsningen, vil eksemplerne ikke længere være svære for dig. Der er også en regel her, uden hvilken det simpelthen er umuligt at løse sådanne brøker.

    For at trække brøker med forskellige nævnere skal de reduceres til den samme mindste nævner.

    Vi vil tale mere detaljeret om, hvordan man gør dette.

    Egenskab for en brøkdel

    For at bringe flere brøker til den samme nævner, skal du bruge hovedegenskaben for en brøk i løsningen: efter at have divideret eller ganget tælleren og nævneren med det samme tal, får du en brøk lig med den givne.

    Så for eksempel kan brøken 2/3 have nævnere som "6", "9", "12" osv., det vil sige, den kan have form af ethvert tal, der er et multiplum af "3". Efter at vi har ganget tælleren og nævneren med "2", får vi brøken 4/6. Efter at vi har ganget tælleren og nævneren af ​​den oprindelige brøk med "3", får vi 6/9, og hvis vi udfører en lignende operation med tallet "4", får vi 8/12. En ligestilling kan skrives som følger:

    2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

    Sådan konverteres flere brøker til den samme nævner

    Lad os se på, hvordan man reducerer flere brøker til den samme nævner. Lad os for eksempel tage brøkerne vist på billedet nedenfor. Først skal du bestemme, hvilket tal der kan blive nævneren for dem alle. For at gøre tingene lettere, lad os faktorisere de eksisterende nævnere.

    Nævneren af ​​brøken 1/2 og brøkdelen 2/3 kan ikke faktoriseres. Nævneren 7/9 har to faktorer 7/9 = 7/(3 x 3), nævneren for brøken 5/6 = 5/(2 x 3). Nu skal vi bestemme, hvilke faktorer der vil være de mindste for alle disse fire fraktioner. Da den første brøk har tallet "2" i nævneren, betyder det, at den skal være til stede i alle nævnere, i brøken 7/9 er der to trillinger, hvilket betyder, at begge også skal være til stede i nævneren. Under hensyntagen til ovenstående bestemmer vi, at nævneren består af tre faktorer: 3, 2, 3 og er lig med 3 x 2 x 3 = 18.

    Lad os overveje den første brøk - 1/2. Der er en "2" i dens nævner, men der er ikke en enkelt "3", men der burde være to. For at gøre dette multiplicerer vi nævneren med to tripler, men ifølge egenskaben af ​​en brøk skal vi gange tælleren med to tripler:
    1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

    Vi udfører de samme operationer med de resterende brøker.

    • 2/3 - en tre og en to mangler i nævneren:
      2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
    • 7/9 eller 7/(3 x 3) - nævneren mangler en toer:
      7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
    • 5/6 eller 5/(2 x 3) - nævneren mangler en treer:
      5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

    Alt sammen ser det sådan ud:

    Hvordan man trækker og adderer brøker, der har forskellige nævnere

    Som nævnt ovenfor, for at tilføje eller subtrahere brøker, der har forskellige nævnere, skal de reduceres til samme nævner, og derefter bruge reglerne for fratrækning af brøker, der har samme nævner, som allerede er blevet diskuteret.

    Lad os se på dette som et eksempel: 4/18 - 3/15.

    Find multiplum af tallene 18 og 15:

    • Tallet 18 består af 3 x 2 x 3.
    • Tallet 15 består af 5 x 3.
    • Det fælles multiplum vil være følgende faktorer: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

    Efter at nævneren er fundet, er det nødvendigt at beregne den faktor, der vil være forskellig for hver brøk, det vil sige det tal, som det vil være nødvendigt at gange ikke kun nævneren, men også tælleren. For at gøre dette skal du dividere det tal, vi fandt (det fælles multiplum) med nævneren for den brøk, som yderligere faktorer skal bestemmes for.

    • 90 divideret med 15. Det resulterende tal "6" vil være en multiplikator for 3/15.
    • 90 divideret med 18. Det resulterende tal "5" vil være en multiplikator for 4/18.

    Næste trin i vores løsning er at reducere hver brøk til nævneren "90".

    Vi har allerede talt om, hvordan dette gøres. Lad os se, hvordan dette er skrevet i et eksempel:

    (4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

    Hvis brøker har små tal, så kan du bestemme fællesnævneren, som i eksemplet vist på billedet nedenfor.

    Det samme gælder for dem med forskellige nævnere.

    Subtraktion og have heltalsdele

    Vi har allerede diskuteret i detaljer subtraktionen af ​​brøker og deres addition. Men hvordan trækker man fra, hvis en brøk har en heltalsdel? Igen, lad os bruge et par regler:

    • Konverter alle brøker, der har en heltalsdel, til uægte. Med enkle ord, fjern en hel del. For at gøre dette skal du gange tallet på heltalsdelen med nævneren af ​​brøken og tilføje det resulterende produkt til tælleren. Tallet, der kommer ud efter disse handlinger, er tælleren for den uægte brøk. Nævneren forbliver uændret.
    • Hvis brøker har forskellige nævnere, skal de reduceres til den samme nævner.
    • Udfør addition eller subtraktion med de samme nævnere.
    • Når du modtager en ukorrekt fraktion, skal du vælge hele delen.

    Der er en anden måde, hvorpå du kan tilføje og trække brøker med hele dele. For at gøre dette udføres handlinger separat med hele dele og handlinger med fraktioner separat, og resultaterne registreres sammen.

    Det givne eksempel består af brøker, der har samme nævner. I det tilfælde, hvor nævnerne er forskellige, skal de bringes til samme værdi, og derefter udføre handlingerne som vist i eksemplet.

    At trække brøker fra hele tal

    En anden type operation med brøker er tilfældet, når en brøk skal trækkes fra. Umiddelbart ser sådan et eksempel ud til at være svært at løse. Alt er dog ret simpelt her. For at løse det, skal du konvertere hele tallet til en brøk, og med den samme nævner, som er i den subtraherede brøk. Dernæst udfører vi en subtraktion svarende til subtraktion med identiske nævnere. I et eksempel ser det sådan ud:

    7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

    Subtraktionen af ​​brøker (karakter 6), der præsenteres i denne artikel, er grundlaget for at løse mere komplekse eksempler, der er dækket i efterfølgende karakterer. Kendskab til dette emne bruges efterfølgende til at løse funktioner, afledte og så videre. Derfor er det meget vigtigt at forstå og forstå operationerne med fraktioner diskuteret ovenfor.

§ 87. Tilføjelse af brøker.

Tilføjelse af brøker har mange ligheder med at tilføje hele tal. Addition af brøker er en handling, der består i, at flere givne tal (led) kombineres til ét tal (sum), der indeholder alle enheder og brøker af ledenhederne.

Vi vil overveje tre sager sekventielt:

1. Tilføjelse af brøker med ens nævnere.
2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.
3. Tilføjelse af blandede tal.

1. Tilføjelse af brøker med ens nævnere.

Overvej et eksempel: 1/5 + 2/5.

Lad os tage segment AB (fig. 17), tage det som ét og dele det i 5 lige store dele, så vil del AC af dette segment være lig med 1/5 af segment AB, og en del af samme segment CD vil være lig med 2/5 AB.

Fra tegningen er det klart, at hvis vi tager segmentet AD, vil det være lig med 3/5 AB; men segmentet AD er netop summen af ​​segmenterne AC og CD. Så vi kan skrive:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

I betragtning af disse vilkår og den resulterende sum, ser vi, at tælleren af ​​summen blev opnået ved at tilføje tællere af vilkårene, og nævneren forblev uændret.

Fra dette får vi følgende regel: For at tilføje brøker med de samme nævnere, skal du tilføje deres tællere og lade den samme nævner stå.

Lad os se på et eksempel:

2. Tilføjelse af brøker med forskellige nævnere.

Lad os tilføje brøkerne: 3 / 4 + 3 / 8 Først skal de reduceres til den laveste fællesnævner:

Mellemleddet 6/8 + 3/8 kunne ikke skrives; vi har skrevet det her for klarhedens skyld.

For at tilføje brøker med forskellige nævnere skal du derfor først reducere dem til den laveste fællesnævner, tilføje deres tællere og mærke fællesnævneren.

Lad os overveje et eksempel (vi vil skrive yderligere faktorer over de tilsvarende brøker):

3. Tilføjelse af blandede tal.

Lad os tilføje tallene: 2 3/8 + 3 5/6.

Lad os først bringe brøkdelene af vores tal til en fællesnævner og omskrive dem igen:

Nu tilføjer vi heltal og brøkdele sekventielt:

§ 88. Fradrag af brøker.

At trække brøker fra er defineret på samme måde som at trække hele tal fra. Dette er en handling, ved hjælp af hvilken, givet summen af ​​to led og et af dem, findes et andet led. Lad os overveje tre sager efter hinanden:

1. Fratræk brøker med ens nævnere.
2. Subtrahering af brøker med forskellige nævnere.
3. Subtraktion af blandede tal.

1. Fratræk brøker med ens nævnere.

Lad os se på et eksempel:

13 / 15 - 4 / 15

Lad os tage segmentet AB (fig. 18), tage det som en enhed og dele det i 15 lige store dele; så vil del AC af dette segment repræsentere 1/15 af AB, og del AD af samme segment vil svare til 13/15 AB. Lad os afsætte endnu et segment ED svarende til 4/15 AB.

Vi skal trække brøken 4/15 fra 13/15. På tegningen betyder det, at segment ED skal trækkes fra segment AD. Som følge heraf forbliver segment AE, hvilket er 9/15 af segment AB. Så vi kan skrive:

Eksemplet vi lavede viser, at tælleren for forskellen blev opnået ved at trække tællerne fra, men nævneren forblev den samme.

Derfor, for at trække brøker med ens nævnere, skal du trække subtrahendens tæller fra minuendens tæller og lade den samme nævner være.

2. Subtrahering af brøker med forskellige nævnere.

Eksempel. 3/4 - 5/8

Lad os først reducere disse brøker til den laveste fællesnævner:

Den mellemliggende 6 / 8 - 5 / 8 er skrevet her for klarhedens skyld, men kan springes over senere.

For at trække en brøk fra en brøk skal du altså først reducere dem til den laveste fællesnævner, derefter trække minuendens tæller fra minuendens tæller og underskrive fællesnævneren under deres differens.

Lad os se på et eksempel:

3. Subtraktion af blandede tal.

Eksempel. 10 3/4 - 7 2/3.

Lad os reducere brøkdelene af minuenden og subtrahend til den laveste fællesnævner:

Vi trækker en hel fra en hel og en brøk fra en brøk. Men der er tilfælde, hvor brøkdelen af ​​subtrahenden er større end brøkdelen af ​​minuenden. I sådanne tilfælde skal du tage en enhed fra hele minuenden, opdele den i de dele, hvor brøkdelen er udtrykt, og tilføje den til brøkdelen af ​​minuenden. Og så vil subtraktionen blive udført på samme måde som i det foregående eksempel:

§ 89. Multiplikation af brøker.

Når vi studerer brøkmultiplikation, vil vi overveje følgende spørgsmål:

1. Gang en brøk med et helt tal.
2. Finde brøkdelen af ​​et givet tal.
3. Gang et helt tal med en brøk.
4. Multiplicer en brøk med en brøk.
5. Multiplikation af blandede tal.
6. Rentebegrebet.
7. Finde procentdelen af ​​et givet tal. Lad os overveje dem sekventielt.

1. Gang en brøk med et helt tal.

At gange en brøk med et helt tal har samme betydning som at gange et helt tal med et heltal. At gange en brøk (multiplikand) med et heltal (faktor) betyder at skabe en sum af identiske led, hvor hvert led er lig med multiplikanten, og antallet af led er lig med multiplikatoren.

Det betyder, at hvis du skal gange 1/9 med 7, så kan det gøres sådan her:

Vi opnåede let resultatet, da handlingen blev reduceret til at tilføje brøker med de samme nævnere. Derfor,

Overvejelse af denne handling viser, at gange en brøk med et helt tal svarer til at øge denne brøk med lige så mange gange som antallet af enheder i hele tallet. Og da forøgelse af en brøk opnås enten ved at øge dens tæller

eller ved at reducere dens nævner , så kan vi enten gange tælleren med et heltal eller dividere nævneren med det, hvis en sådan division er mulig.

Herfra får vi reglen:

For at gange en brøk med et helt tal, multiplicerer du tælleren med det hele tal og lader nævneren være den samme, eller hvis det er muligt, dividerer du nævneren med det tal, så tælleren forbliver uændret.

Ved multiplikation er forkortelser mulige, for eksempel:

2. Finde brøkdelen af ​​et givet tal. Der er mange problemer, hvor du skal finde eller beregne en del af et givet tal. Forskellen mellem disse problemer og andre er, at de giver antallet af nogle objekter eller måleenheder, og du skal finde en del af dette tal, som også er angivet her med en bestemt brøkdel. For at lette forståelsen vil vi først give eksempler på sådanne problemer og derefter introducere en metode til at løse dem.

Opgave 1. Jeg havde 60 rubler; Jeg brugte 1/3 af disse penge på at købe bøger. Hvor meget kostede bøgerne?

Opgave 2. Toget skal køre en afstand mellem byerne A og B svarende til 300 km. Han har allerede tilbagelagt 2/3 af denne distance. Hvor mange kilometer er dette?

Opgave 3. Der er 400 huse i landsbyen, 3/4 af dem er mursten, resten er af træ. Hvor mange murstenshuse er der i alt?

Dette er nogle af de mange problemer, vi støder på for at finde en del af et givet tal. De kaldes normalt problemer for at finde brøkdelen af ​​et givet tal.

Løsning på problem 1. Fra 60 rub. Jeg brugte 1/3 på bøger; Det betyder, at for at finde prisen på bøger skal du dividere tallet 60 med 3:

Løsning af problem 2. Pointen med problemet er, at du skal finde 2/3 af 300 km. Lad os først beregne 1/3 af 300; dette opnås ved at dividere 300 km med 3:

300: 3 = 100 (det er 1/3 af 300).

For at finde to tredjedele af 300 skal du fordoble den resulterende kvotient, dvs. gange med 2:

100 x 2 = 200 (det er 2/3 af 300).

Løsning af problem 3. Her skal du bestemme antallet af murstenshuse, der udgør 3/4 af 400. Lad os først finde 1/4 af 400,

400: 4 = 100 (det er 1/4 af 400).

For at beregne tre fjerdedele af 400 skal den resulterende kvotient tredobles, dvs. ganges med 3:

100 x 3 = 300 (det er 3/4 af 400).

Baseret på løsningen på disse problemer kan vi udlede følgende regel:

For at finde værdien af ​​en brøk fra et givet tal, skal du dividere dette tal med nævneren af ​​brøken og gange den resulterende kvotient med dens tæller.

3. Gang et helt tal med en brøk.

Tidligere (§ 26) blev det fastslået, at multiplikationen af ​​heltal skulle forstås som addition af identiske led (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). I dette afsnit (punkt 1) blev det fastslået, at multiplikation af en brøk med et heltal betyder, at man finder summen af ​​identiske led, der er lig med denne brøk.

I begge tilfælde bestod multiplikationen i at finde summen af ​​identiske led.

Nu går vi videre til at gange et helt tal med en brøk. Her vil vi for eksempel støde på multiplikation: 9 2 / 3. Det er klart, at den tidligere definition af multiplikation ikke gælder for dette tilfælde. Dette fremgår af det faktum, at vi ikke kan erstatte en sådan multiplikation ved at lægge lige tal sammen.

På grund af dette bliver vi nødt til at give en ny definition af multiplikation, dvs., med andre ord, besvare spørgsmålet om, hvad der skal forstås ved multiplikation med en brøk, hvordan denne handling skal forstås.

Betydningen af ​​at gange et helt tal med en brøk fremgår klart af følgende definition: at gange et heltal (multiplikand) med en brøk (multiplikand) betyder at finde denne brøkdel af multiplikanden.

At gange 9 med 2/3 betyder nemlig at finde 2/3 af ni enheder. I det foregående afsnit blev sådanne problemer løst; så det er nemt at regne ud, at vi ender med 6.

Men nu opstår et interessant og vigtigt spørgsmål: hvorfor kaldes sådanne tilsyneladende forskellige operationer, såsom at finde summen af ​​lige tal og finde brøkdelen af ​​et tal, i aritmetik med det samme ord "multiplikation"?

Dette sker, fordi den forrige handling (gentagelse af et tal med udtryk flere gange) og den nye handling (at finde brøkdelen af ​​et tal) giver svar på homogene spørgsmål. Det betyder, at vi her går ud fra de betragtninger, at homogene spørgsmål eller opgaver løses ved samme handling.

For at forstå dette, overvej følgende problem: "1 m klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 4 m sådan klud koste?

Dette problem løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (4), dvs. 50 x 4 = 200 (rubler).

Lad os tage det samme problem, men i det vil mængden af ​​klud blive udtrykt som en brøkdel: "1 m klud koster 50 rubler. Hvor meget vil 3/4 m af et sådant klæde koste?"

Dette problem skal også løses ved at gange antallet af rubler (50) med antallet af meter (3/4).

Du kan ændre tallene i den flere gange uden at ændre betydningen af ​​problemet, for eksempel tag 9/10 m eller 2 3/10 m osv.

Da disse problemer har det samme indhold og kun adskiller sig i tal, kalder vi de handlinger, der bruges til at løse dem, det samme ord - multiplikation.

Hvordan ganger man et helt tal med en brøk?

Lad os tage tallene i den sidste opgave:

Ifølge definitionen skal vi finde 3/4 af 50. Lad os først finde 1/4 af 50, og derefter 3/4.

1/4 af 50 er 50/4;

3/4 af tallet 50 er .

Derfor.

Lad os overveje et andet eksempel: 12 5 / 8 =?

1/8 af tallet 12 er 12/8,

5/8 af tallet 12 er .

Derfor,

Herfra får vi reglen:

For at gange et helt tal med en brøk, skal du gange hele tallet med brøkens tæller og gøre dette produkt til tælleren, og underskrive nævneren af ​​denne brøk som nævneren.

Lad os skrive denne regel med bogstaver:

For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan betragtes som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at gange et tal med en kvotient, som blev opstillet i § 38

Det er vigtigt at huske, at før du udfører multiplikation, skal du gøre (hvis muligt) reduktioner, For eksempel:

4. Multiplicer en brøk med en brøk. At multiplicere en brøk med en brøk har samme betydning som at gange et helt tal med en brøk, dvs., når du multiplicerer en brøk med en brøk, skal du finde den brøk, der er i faktoren fra den første brøk (multipikanet).

At gange 3/4 med 1/2 (halvdelen) betyder nemlig at finde halvdelen af ​​3/4.

Hvordan ganger man en brøk med en brøk?

Lad os tage et eksempel: 3/4 ganget med 5/7. Det betyder, at du skal finde 5/7 af 3/4. Lad os først finde 1/7 af 3/4 og derefter 5/7

1/7 af tallet 3/4 vil blive udtrykt som følger:

5/7 tal 3/4 vil blive udtrykt som følger:

Dermed,

Et andet eksempel: 5/8 ganget med 4/9.

1/9 af 5/8 er ,

4/9 af tallet 5/8 er .

Dermed,

Ud fra disse eksempler kan følgende regel udledes:

For at gange en brøk med en brøk, skal du gange tælleren med tælleren og nævneren med nævneren, og gøre det første produkt til tælleren, og det andet produkt til produktets nævner.

Denne regel kan skrives i generel form som følger:

Ved multiplikation er det nødvendigt at foretage (om muligt) reduktioner. Lad os se på eksempler:

5. Multiplikation af blandede tal. Da blandede tal nemt kan erstattes af uægte brøker, bruges denne omstændighed normalt ved multiplikation af blandede tal. Det betyder, at i tilfælde, hvor multiplikatoren eller multiplikatoren eller begge faktorer er udtrykt som blandede tal, erstattes de af uægte brøker. Lad os gange f.eks. blandede tal: 2 1/2 og 3 1/5. Lad os omdanne hver af dem til en uægte brøk og derefter gange de resulterende brøker i henhold til reglen for at gange en brøk med en brøk:

Herske. For at gange blandede tal skal du først konvertere dem til uægte brøker og derefter gange dem i henhold til reglen for at gange brøker med brøker.

Bemærk. Hvis en af ​​faktorerne er et heltal, så kan multiplikationen udføres baseret på fordelingsloven som følger:

6. Rentebegrebet. Når vi løser opgaver og udfører forskellige praktiske beregninger, bruger vi alle slags brøker. Men det skal huskes, at mange mængder tillader ikke bare nogen, men naturlige opdelinger for dem. For eksempel kan du tage en hundrededel (1/100) af en rubel, det vil være en kopek, to hundrededele er 2 kopek, tre hundrededele er 3 kopek. Du kan tage 1/10 af en rubel, det vil være "10 kopek, eller et stykke ti kopek. Du kan tage en fjerdedel af en rubel, dvs. 25 kopek, en halv rubel, dvs. 50 kopek (halvtreds kopek). Men de tager det praktisk talt ikke, for eksempel 2/7 af en rubel, fordi rublen ikke er opdelt i syvendedele.

Vægtenheden, altså kilogrammet, tillader primært decimaldelinger, for eksempel 1/10 kg eller 100 g. Og sådanne fraktioner af et kilogram som 1/6, 1/11, 1/13 er ikke almindelige.

Generelt er vores (metriske) mål decimaler og tillader decimaldelinger.

Det skal dog bemærkes, at det er yderst nyttigt og bekvemt i en lang række tilfælde at bruge den samme (ensartede) metode til underinddeling af mængder. Mange års erfaring har vist, at en så velbegrundet opdeling er den "hundrede" division. Lad os overveje flere eksempler, der vedrører de mest forskellige områder af menneskelig praksis.

1. Prisen på bøger er faldet med 12/100 af den tidligere pris.

Eksempel. Den tidligere pris for bogen var 10 rubler. Det faldt med 1 rubel. 20 kopek

2. Sparekasser betaler indskydere 2/100 af det indskudte beløb til opsparing i løbet af året.

Eksempel. 500 rubler deponeres i kasseapparatet, indkomsten fra dette beløb for året er 10 rubler.

3. Antallet af dimittender fra én skole var 5/100 af det samlede antal elever.

EKSEMPEL Der var kun 1.200 elever på skolen, hvoraf 60 dimitterede.

Den hundrededel af et tal kaldes en procentdel.

Ordet "procent" er lånt fra latin, og dets rod "cent" betyder hundrede. Sammen med præpositionen (pro centum) betyder dette ord "for hundrede." Betydningen af ​​dette udtryk følger af den kendsgerning, at renter oprindeligt i det gamle Rom blev navnet på de penge, som skyldneren betalte til långiveren "for hvert hundrede." Ordet "cent" høres i sådanne velkendte ord: centner (et hundrede kilo), centimeter (f.eks. centimeter).

For eksempel, i stedet for at sige, at anlægget i løbet af den seneste måned producerede 1/100 af alle produkter, som det producerede, var defekte, vil vi sige dette: I løbet af den seneste måned producerede anlægget én procent af fejlene. I stedet for at sige: anlægget producerede 4/100 flere produkter end den fastlagte plan, vil vi sige: anlægget overskred planen med 4 procent.

Ovenstående eksempler kan udtrykkes forskelligt:

1. Prisen på bøger er faldet med 12 procent af den tidligere pris.

2. Sparekasser betaler indskyderne 2 procent om året af det indskudte beløb på opsparing.

3. Antallet af dimittender fra én skole var 5 procent af alle skoleelever.

For at forkorte bogstavet er det sædvanligt at skrive %-symbolet i stedet for ordet "procent".

Du skal dog huske, at i beregninger skrives %-tegnet normalt ikke, det kan skrives i problemformuleringen og i det endelige resultat. Når du udfører beregninger, skal du skrive en brøk med en nævner på 100 i stedet for et helt tal med dette symbol.

Du skal være i stand til at erstatte et heltal med det angivne ikon med en brøk med en nævner på 100:

Omvendt skal du vænne dig til at skrive et heltal med det angivne symbol i stedet for en brøk med en nævner på 100:

7. Finde procentdelen af ​​et givet tal.

Opgave 1. Skolen fik 200 kubikmeter. m brænde, hvor birkebrænde udgør 30 %. Hvor meget birkebrænde var der?

Meningen med denne problemstilling er, at birkebrænde kun udgjorde en del af det brænde, der blev leveret til skolen, og denne del er udtrykt i brøken 30/100. Det betyder, at vi har en opgave med at finde en brøkdel af et tal. For at løse det skal vi gange 200 med 30/100 (problemer med at finde brøkdelen af ​​et tal løses ved at gange tallet med brøken.).

Det betyder, at 30 % af 200 er lig med 60.

Fraktionen 30/100, der stødes på i dette problem, kan reduceres med 10. Det ville være muligt at foretage denne reduktion helt fra begyndelsen; løsningen på problemet ville ikke have ændret sig.

Opgave 2. Der var 300 børn i forskellige aldre i lejren. Børn på 11 år udgjorde 21 %, børn på 12 år udgjorde 61 % og endelig udgjorde børn på 13 år 18 %. Hvor mange børn i hver alder var der i lejren?

I denne opgave skal du udføre tre beregninger, dvs. sekventielt finde antallet af børn på 11 år, derefter 12 år og til sidst 13 år.

Det betyder, at du her skal finde brøkdelen af ​​tallet tre gange. Lad os gøre det:

1) Hvor mange 11-årige børn var der?

2) Hvor mange 12-årige børn var der?

3) Hvor mange 13-årige børn var der?

Efter at have løst problemet, er det nyttigt at tilføje de fundne tal; deres sum skal være 300:

63 + 183 + 54 = 300

Det skal også bemærkes, at summen af ​​procenterne i problemformuleringen er 100:

21% + 61% + 18% = 100%

Dette tyder på, at det samlede antal børn i lejren blev taget til 100 %.

3 a d a h a 3. Arbejderen modtog 1.200 rubler om måneden. Heraf brugte han 65 % på mad, 6 % på lejligheder og varme, 4 % på gas, el og radio, 10 % på kulturelle behov og 15 % sparet. Hvor mange penge blev der brugt på de behov, der er angivet i problemet?

For at løse dette problem skal du finde brøkdelen af ​​1.200 5 gange. Lad os gøre dette.

1) Hvor mange penge blev der brugt på mad? Problemet siger, at denne udgift er 65 % af den samlede indtjening, dvs. 65/100 af tallet 1.200. Lad os lave beregningen:

2) Hvor mange penge har du betalt for en lejlighed med varme? På samme måde som den foregående kommer vi frem til følgende beregning:

3) Hvor mange penge betalte du for gas, elektricitet og radio?

4) Hvor mange penge blev brugt på kulturelle behov?

5) Hvor mange penge sparede arbejderen?

For at kontrollere, er det nyttigt at lægge tallene sammen i disse 5 spørgsmål. Beløbet skal være 1.200 rubler. Al indtjening tages som 100 %, hvilket er let at kontrollere ved at lægge de procenttal, der er angivet i problemformuleringen sammen.

Vi løste tre problemer. På trods af at disse problemer handlede om forskellige ting (levering af brænde til skolen, antallet af børn i forskellige aldre, arbejderens udgifter), blev de løst på samme måde. Dette skete, fordi det i alle problemer var nødvendigt at finde flere procent af givne tal.

§ 90. Brøkdeling.

Når vi studerer brøkdeling, vil vi overveje følgende spørgsmål:

1. Divider et heltal med et heltal.
2. At dividere en brøk med et helt tal
3. At dividere et helt tal med en brøk.
4. At dividere en brøk med en brøk.
5. Division af blandede tal.
6. At finde et tal fra dets givne brøk.
7. Find et tal ved dets procentdel.

Lad os overveje dem sekventielt.

1. Divider et heltal med et heltal.

Som det blev angivet i afdelingen for heltal, er division den handling, der består i, at givet produktet af to faktorer (dividende) og en af ​​disse faktorer (divisor), findes en anden faktor.

Vi så på at dividere et heltal med et heltal i afsnittet om heltal. Vi stødte på to tilfælde af division der: division uden en rest, eller "helt" (150: 10 = 15), og division med en rest (100: 9 = 11 og 1 rest). Vi kan derfor sige, at i feltet med heltal er nøjagtig division ikke altid mulig, fordi udbyttet ikke altid er produktet af divisor med heltal. Efter at have introduceret multiplikation med en brøk, kan vi overveje ethvert tilfælde af at dividere heltal muligt (kun division med nul er udelukket).

For eksempel betyder at dividere 7 med 12 at finde et tal, hvis produkt med 12 ville være lig med 7. Et sådant tal er brøken 7 / 12, fordi 7 / 12 12 = 7. Et andet eksempel: 14: 25 = 14 / 25, fordi 14 / 25 25 = 14.

For at dividere et helt tal med et helt tal skal du således oprette en brøk, hvis tæller er lig med udbyttet, og nævneren er lig med divisor.

2. At dividere en brøk med et helt tal.

Divider brøken 6 / 7 med 3. Ifølge definitionen af ​​division ovenfor har vi her produktet (6 / 7) og en af ​​faktorerne (3); det er nødvendigt at finde en anden faktor, der, når ganget med 3, ville give det givne produkt 6/7. Det skal naturligvis være tre gange mindre end dette produkt. Det betyder, at opgaven var at reducere brøken 6/7 med 3 gange.

Vi ved allerede, at reduktion af en brøk kan gøres enten ved at mindske dens tæller eller ved at øge dens nævner. Derfor kan du skrive:

I dette tilfælde er tælleren 6 delelig med 3, så tælleren skal reduceres med 3 gange.

Lad os tage et andet eksempel: 5 / 8 divideret med 2. Her er tælleren 5 ikke delelig med 2, hvilket betyder, at nævneren skal ganges med dette tal:

Ud fra dette kan der laves en regel: For at dividere en brøk med et helt tal, skal du dividere brøkens tæller med det hele tal.(hvis det er muligt), efterlader den samme nævner, eller gang brøkens nævner med dette tal, så den samme tæller efterlades.

3. At dividere et helt tal med en brøk.

Lad det være nødvendigt at dividere 5 med 1/2, dvs. find et tal, der efter at gange med 1/2 vil give produktet 5. Dette tal skal naturligvis være større end 5, da 1/2 er en egen brøk , og når man multiplicerer et tal, skal produktet af en egen brøk være mindre end produktet, der ganges. For at gøre dette klarere, lad os skrive vores handlinger som følger: 5: 1 / 2 = x , hvilket betyder x 1/2 = 5.

Sådan et nummer skal vi finde x , som, hvis ganget med 1/2, ville give 5. Da multiplicering af et bestemt tal med 1/2 betyder at finde 1/2 af dette tal, så derfor 1/2 af det ukendte tal x er lig med 5, og hele tallet x dobbelt så meget, dvs. 5 2 = 10.

Så 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

Lad os tjekke:

Lad os se på et andet eksempel. Lad os sige, at du vil dividere 6 med 2/3. Lad os først prøve at finde det ønskede resultat ved hjælp af tegningen (fig. 19).

Fig.19

Lad os tegne et segment AB svarende til 6 enheder, og opdele hver enhed i 3 lige store dele. I hver enhed er tre tredjedele (3/3) af hele segmentet AB 6 gange større, dvs. e. 18/3. Ved hjælp af små beslag forbinder vi de 18 resulterende segmenter af 2; Der vil kun være 9 segmenter. Det betyder, at brøkdelen 2/3 er indeholdt i 6 enheder 9 gange, eller med andre ord, brøken 2/3 er 9 gange mindre end 6 hele enheder. Derfor,

Hvordan får man dette resultat uden en tegning alene ved hjælp af beregninger? Lad os ræsonnere sådan her: vi skal dividere 6 med 2/3, dvs. vi skal besvare spørgsmålet, hvor mange gange 2/3 er indeholdt i 6. Lad os først finde ud af: hvor mange gange 1/3 er indeholdt i 6? I en hel enhed er der 3 tredjedele, og i 6 enheder er der 6 gange mere, altså 18 tredjedele; for at finde dette tal skal vi gange 6 med 3. Det betyder, at 1/3 er indeholdt i b-enheder 18 gange, og 2/3 er indeholdt i b-enheder ikke 18 gange, men halvt så mange gange, dvs. 18: 2 = 9 . Derfor gjorde vi følgende, når vi dividerede 6 med 2/3:

Herfra får vi reglen for at dividere et helt tal med en brøk. For at dividere et helt tal med en brøk, skal du gange dette hele tal med nævneren for den givne brøk, og for at gøre dette produkt til tælleren skal du dividere det med tælleren for den givne brøk.

Lad os skrive reglen med bogstaver:

For at gøre denne regel fuldstændig klar, skal det huskes, at en brøk kan betragtes som en kvotient. Derfor er det nyttigt at sammenligne den fundne regel med reglen for at dividere et tal med en kvotient, som blev opstillet i § 38. Bemærk venligst, at den samme formel blev opnået der.

Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:

4. At dividere en brøk med en brøk.

Lad os sige, at vi skal dividere 3/4 med 3/8. Hvad vil det tal, der er resultatet af division betyde? Det vil besvare spørgsmålet, hvor mange gange brøken 3/8 er indeholdt i brøken 3/4. For at forstå dette problem, lad os lave en tegning (fig. 20).

Lad os tage et segment AB, tage det som et, dele det i 4 lige store dele og markere 3 sådanne dele. Segment AC vil være lig med 3/4 af segment AB. Lad os nu dele hvert af de fire oprindelige segmenter i to, så vil segmentet AB blive delt i 8 lige store dele og hver sådan del vil være lig med 1/8 af segmentet AB. Lad os forbinde 3 sådanne segmenter med buer, så vil hvert af segmenterne AD og DC være lig med 3/8 af segmentet AB. Tegningen viser, at et segment lig med 3/8 er indeholdt i et segment lig med 3/4 nøjagtigt 2 gange; Det betyder, at resultatet af division kan skrives som følger:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Lad os se på et andet eksempel. Lad os sige, at vi skal dividere 15/16 med 3/32:

Vi kan ræsonnere sådan her: Vi skal finde et tal, der efter at have ganget med 3/32 vil give et produkt lig med 15/16. Lad os skrive beregningerne sådan her:

15 / 16: 3 / 32 = x

3 / 32 x = 15 / 16

3/32 ukendt nummer x er 15/16

1/32 af et ukendt antal x er,

32/32 numre x makeup .

Derfor,

For at dividere en brøk med en brøk, skal du gange tælleren for den første brøk med nævneren af ​​den anden, og gange nævneren af ​​den første brøk med tælleren i den anden, og gøre det første produkt til tælleren, og den anden nævneren.

Lad os skrive reglen med bogstaver:

Ved opdeling er forkortelser mulige, for eksempel:

5. Division af blandede tal.

Ved deling af blandede tal skal de først omregnes til uægte brøker, og derefter skal de resulterende brøker deles efter reglerne for brøkdeling. Lad os se på et eksempel:

Lad os konvertere blandede tal til uægte brøker:

Lad os nu dele:

For at dividere blandede tal skal du konvertere dem til uægte brøker og derefter dividere ved hjælp af reglen for at dividere brøker.

6. At finde et tal fra dets givne brøk.

Blandt de forskellige brøkproblemer er der nogle gange dem, hvor værdien af ​​en brøkdel af et ukendt tal er givet, og du skal finde dette tal. Denne type problem vil være det omvendte af problemet med at finde brøkdelen af ​​et givet tal; der blev der givet et tal, og det var nødvendigt at finde en brøkdel af dette tal, her blev der givet en brøkdel af et tal, og det var påkrævet at finde dette tal selv. Denne idé vil blive endnu tydeligere, hvis vi vender os til at løse denne type problemer.

Opgave 1. Den første dag glaserede glarmestrene 50 vinduer, hvilket er 1/3 af alle vinduerne i det byggede hus. Hvor mange vinduer er der i dette hus?

Løsning. Problemet siger, at 50 glasruder udgør 1/3 af alle husets vinduer, hvilket betyder, at der er 3 gange flere vinduer i alt, dvs.

Huset havde 150 vinduer.

Opgave 2. Butikken solgte 1.500 kg mel, hvilket er 3/8 af det samlede mellager butikken havde. Hvad var butikkens oprindelige forsyning af mel?

Løsning. Af problemets forhold fremgår det klart, at 1.500 kg solgt mel udgør 3/8 af det samlede lager; Det betyder, at 1/8 af denne reserve vil være 3 gange mindre, dvs. for at beregne den skal du reducere 1500 med 3 gange:

1.500: 3 = 500 (dette er 1/8 af reserven).

Det er klart, at hele udbuddet vil være 8 gange større. Derfor,

5008 = 4.000 (kg).

Det oprindelige lager af mel i butikken var 4.000 kg.

Ud fra overvejelser om dette problem kan følgende regel udledes.

For at finde et tal fra en given værdi af dens brøk, er det nok at dividere denne værdi med brøkens tæller og gange resultatet med nævneren af ​​brøken.

Vi løste to problemer ved at finde et tal givet dets brøk. Sådanne problemer, som det især tydeligt ses af den sidste, løses ved to handlinger: division (når en del findes) og multiplikation (når hele tallet findes).

Men efter at vi har lært brøkdelingen, kan ovenstående problemer løses med én handling, nemlig: division med brøk.

For eksempel kan den sidste opgave løses i én handling som denne:

I fremtiden vil vi løse problemer med at finde et tal fra dets brøk med én handling - division.

7. Find et tal ved dets procentdel.

I disse problemer skal du finde et tal, der kender nogle få procent af det tal.

Opgave 1. I begyndelsen af ​​dette år modtog jeg 60 rubler fra sparekassen. indtægt fra det beløb, jeg lagde i opsparing for et år siden. Hvor mange penge har jeg lagt i sparekassen? (Kasseskrankerne giver indskydere et afkast på 2 % om året.)

Pointen med problemet er, at jeg lagde en vis sum penge i en sparekasse og blev der i et år. Efter et år modtog jeg 60 rubler fra hende. indkomst, hvilket er 2/100 af de penge, jeg indsatte. Hvor mange penge har jeg lagt ind?

Ved at kende en del af disse penge, udtrykt på to måder (i rubler og brøker), må vi følgelig finde hele det endnu ukendte beløb. Dette er et almindeligt problem med at finde et tal givet dets brøk. Følgende problemer løses ved division:

Det betyder, at der blev indsat 3.000 rubler i sparekassen.

Opgave 2. Fiskerne opfyldte den månedlige plan med 64 % på to uger og høstede 512 tons fisk. Hvad var deres plan?

Fra problemets forhold vides det, at fiskerne gennemførte en del af planen. Denne del svarer til 512 tons, hvilket er 64% af planen. Vi ved ikke, hvor mange tons fisk, der skal tilberedes efter planen. At finde dette nummer vil være løsningen på problemet.

Sådanne problemer løses ved division:

Det betyder, at der efter planen skal tilberedes 800 tons fisk.

Opgave 3. Toget gik fra Riga til Moskva. Da han passerede den 276. kilometer, spurgte en af ​​passagererne en forbipasserende konduktør, hvor meget af rejsen de allerede havde tilbagelagt. Til dette svarede konduktøren: "Vi har allerede dækket 30% af hele rejsen." Hvad er afstanden fra Riga til Moskva?

Fra problemforholdene er det klart, at 30% af ruten fra Riga til Moskva er 276 km. Vi skal finde hele afstanden mellem disse byer, dvs. for denne del skal vi finde helheden:

§ 91. Gensidige tal. At erstatte division med multiplikation.

Lad os tage brøken 2/3 og erstatte tælleren i stedet for nævneren, vi får 3/2. Vi har det omvendte af denne brøk.

For at få det omvendte af en given brøk, skal du sætte dens tæller i stedet for nævneren og nævneren i stedet for tælleren. På denne måde kan vi få den gensidige af enhver brøk. For eksempel:

3/4, omvendt 4/3; 5/6, omvendt 6/5

To brøker, der har den egenskab, at tælleren af ​​den første er nævneren af ​​den anden, og nævneren af ​​den første er tælleren af ​​den anden, kaldes indbyrdes omvendt.

Lad os nu tænke på, hvilken brøkdel der vil være den gensidige af 1/2. Det vil naturligvis være 2/1, eller bare 2. Ved at lede efter den omvendte brøkdel af den givne, fik vi et heltal. Og denne sag er ikke isoleret; tværtimod, for alle brøker med en tæller på 1 (en), vil de reciproke tal være heltal, for eksempel:

1/3, omvendt 3; 1/5, omvendt 5

Da vi ved at finde gensidige brøker også stødte på heltal, vil vi i det følgende ikke tale om gensidige brøker, men om gensidige tal.

Lad os finde ud af, hvordan man skriver det omvendte af et heltal. For brøker kan dette løses enkelt: du skal sætte nævneren i stedet for tælleren. På samme måde kan du få det omvendte af et heltal, da ethvert heltal kan have en nævner på 1. Det betyder, at det inverse af 7 bliver 1/7, fordi 7 = 7/1; for tallet 10 vil det omvendte være 1/10, da 10 = 10/1

Denne idé kan udtrykkes anderledes: det reciproke af et givet tal fås ved at dividere et med et givet tal. Dette udsagn gælder ikke kun for hele tal, men også for brøker. Faktisk, hvis vi skal skrive det omvendte af brøken 5/9, så kan vi tage 1 og dividere det med 5/9, dvs.

Lad os nu påpege én ting ejendom gensidige tal, som vil være nyttige for os: produktet af gensidige tal er lig med en. Ja:

Ved at bruge denne egenskab kan vi finde gensidige tal på følgende måde. Lad os sige, at vi skal finde det omvendte af 8.

Lad os betegne det med bogstavet x , derefter 8 x = 1, derfor x = 1/8. Lad os finde et andet tal, der er det omvendte af 7/12 og angive det med bogstavet x , derefter 7/12 x = 1, derfor x = 1: 7 / 12 eller x = 12 / 7 .

Vi introducerede her begrebet gensidige tal for lidt at supplere informationen om at dividere brøker.

Når vi dividerer tallet 6 med 3/5, gør vi følgende:

Vær særlig opmærksom på udtrykket og sammenlign det med det givne: .

Hvis vi tager udtrykket separat, uden sammenhæng med det foregående, så er det umuligt at løse spørgsmålet om, hvor det kom fra: ved at dividere 6 med 3/5 eller fra at gange 6 med 5/3. I begge tilfælde sker det samme. Derfor kan vi sige at dividere et tal med et andet kan erstattes ved at gange udbyttet med det omvendte af divisoren.

De eksempler, vi giver nedenfor, bekræfter fuldt ud denne konklusion.

Find tæller og nævner. En brøk omfatter to tal: tallet, der er placeret over linjen, kaldes tælleren, og tallet, der er placeret under linjen, kaldes nævneren. Nævneren angiver det samlede antal dele, som en helhed er opdelt i, og tælleren er antallet af sådanne dele, der tages i betragtning.

  • For eksempel i brøken ½ er tælleren 1 og nævneren er 2.

Bestem nævneren. Hvis to eller flere brøker har en fællesnævner, har sådanne brøker det samme tal under linjen, det vil sige, i dette tilfælde er en bestemt helhed opdelt i det samme antal dele. At tilføje brøker med en fællesnævner er meget simpelt, da nævneren for den samlede brøk vil være den samme som de brøker, der tilføjes. For eksempel:

  • Brøkerne 3/5 og 2/5 har en fællesnævner på 5.
  • Brøkerne 3/8, 5/8, 17/8 har en fællesnævner på 8.

  • Bestem tællere. For at tilføje brøker med en fællesnævner skal du tilføje deres tællere og skrive resultatet over nævneren for de brøker, der tilføjes.

    • Brøkerne 3/5 og 2/5 har tæller 3 og 2.
    • Brøk 3/8, 5/8, 17/8 har tællere 3, 5, 17.

  • Læg tællere sammen. I opgave 3/5 + 2/5 skal du tilføje tællere 3 + 2 = 5. I opgave 3/8 + 5/8 + 17/8 tilføjes tællere 3 + 5 + 17 = 25.

  • Skriv den samlede brøk ned. Husk, at når du tilføjer brøker med en fællesnævner, forbliver den uændret - kun tællere tilføjes.

    • 3/5 + 2/5 = 5/5
    • 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

  • Konverter brøken om nødvendigt. Nogle gange kan en brøk skrives som et helt tal i stedet for som en brøk eller decimal. For eksempel konverteres brøken 5/5 let til 1, da enhver brøk, hvis tæller er lig med dens nævner, er 1. Forestil dig en tærte skåret i tre dele. Hvis du spiser alle tre dele, har du spist hele (én) tærte.

    • Enhver brøk kan konverteres til en decimal; For at gøre dette skal du dividere tælleren med nævneren. For eksempel kan brøken 5/8 skrives som følger: 5 ÷ 8 = 0,625.

  • Hvis det er muligt, forenkle brøken. En forenklet brøk er en brøk, hvis tæller og nævner ikke har fælles faktorer.

    • Overvej f.eks. brøken 3/6. Her har både tæller og nævner en fælles divisor lig med 3, det vil sige, at tæller og nævner er fuldstændig delelige med 3. Derfor kan brøken 3/6 skrives således: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

  • Om nødvendigt konverter en uægte brøk til en blandet brøk (blandet tal). En uegen brøk har en tæller, der er større end dens nævner, for eksempel 25/8 (en egen brøk har en tæller, der er mindre end dens nævner). En uægte brøk kan konverteres til en blandet brøk, som består af en heltalsdel (det vil sige et helt tal) og en brøkdel (det vil sige en egenbrøk). Følg disse trin for at konvertere en uægte brøk, såsom 25/8, til et blandet tal:

    • Divider tælleren for en uægte brøk med dens nævner; skriv delkvotienten (hele svaret) ned. I vores eksempel: 25 ÷ 8 = 3 plus noget resterende. I dette tilfælde er hele svaret hele delen af ​​det blandede tal.
    • Find resten. I vores eksempel: 8 x 3 = 24; trække det resulterende resultat fra den oprindelige tæller: 25 - 24 = 1, det vil sige, at resten er 1. I dette tilfælde er resten tælleren for brøkdelen af ​​det blandede tal.
    • Skriv en blandet brøk. Nævneren ændrer sig ikke (det vil sige, den er lig med nævneren for den uægte brøk), så 25/8 = 3 1/8.

    • Offentlig lektion

    i matematik klasse 6b (hjælpeklasse VIII venlig)

    om emnet:

    Tilføjelse af brøker

    med de samme nævnere.

    Lektionstype: lære nyt materiale.

    Lektionstype: lektion - eventyr.

    Klasse: 6,7 "B".

    Mål:

      Introducer eleverne til operationerne med at addere og trække brøker med ens nævnere;

    Opgaver:

    Kriminalforsorgen - pædagogisk:

      Udvikle færdigheder i at tilføje brøker med ens nævnere;

    Korrigerende - udviklingsmæssigt:

      Korrigere udviklingen af ​​logisk og matematisk tænkning, mens du reciterer algoritmen til at tilføje brøker med ens nævnere, og når du laver skriftligt arbejde i en notesbog;

      Korrektion af udviklingen af ​​elevernes kognitive aktivitet gennem udførelse af opgaver i ikke-standardiserede situationer;

      Udvikle færdigheder til opmærksomhed og selvkontrol.

    Kriminelle og pædagogiske:

      Skab interesse for emnet baseret på forbindelser med liv og praksis;

      Dannelse af en matematisk talekultur (korrekt udtale af brøker);

      Udvikle selvværdsfærdigheder;

    Under timerne

      Org. Øjeblik.

    1.Hilsen

    "Dejligt at se jer. Hvordan har du det? Husk, hvis noget virker svært og ikke fungerer, så er det ikke et problem, vi lærer alt sammen!

    2.gør klar til at arbejde

    Gutter, er I klar til lektionen?

    Jeg regner med jer, venner!

    Du er en god, venlig klasse,

    Alt ordner sig for os!

    Vores lektion i dag er usædvanlig; vi tager dig med på en rejse gennem et eventyr, vi kender og elsker.

    Der er mange eventyr i verden

    Trist og sjovt.

    Og leve i verden

    Vi kan ikke leve uden dem!

    Lad eventyrets helte

    De giver os varme

    Må godhed for evigt

    Ondskaben vinder!

      Verbal optælling.

    I det 30. rige boede zaren og hans datter Vasilisa den Vise, og i det 30. rige boede Ivan Tsarevich. Forresten, hvilket tal ser du på tavlen? Lad mig hjælpe dig:

    Enhver kan en kilometer væk

    Se fraktioneret linjen.

    Over linjen – tæller , ved godt,

    Under linjen - nævner.

    Sikkert en brøkdel af den slags

    Du skal ringe almindelig.

    Men kongen ønskede ikke at give sin Vasilisa til den første person, han mødte. Han besluttede at give Ivan en opgave, som han ikke kunne klare. Og han siger til Ivan: "Gå derhen - jeg ved ikke hvor, kom med dette, jeg ved ikke hvad." Ivan anstrengte sig, sørgede og gik på jagt. Men hvor skal man hen, hvor skal man lede?

    Ivan tog sammen med den grå ulv af sted på vejen. De besluttede først at henvende sig til Baba Yaga. Og Baba Yaga forberedte en opgave.

    Mundtlige regneopgaver. Men gutter, Ivan Tsarevich var ikke god til matematik, skal vi hjælpe ham?

      Angiv brøkens tæller og nævner

      Hvad viser tælleren, og hvad viser nævneren? (Nævneren viser, hvor mange andele der er opdelt, og tælleren viser, hvor mange sådanne andele der tages).

    Sammenligning af brøker:

    og 1 og og 1

    Og
    5/5 og
    Og     .

    Godt gået, du har fuldført opgaven. Og lad os nu følge den magiske bold videre, til den udødelige Koshchei selv.

    III. Opdatering af grundlæggende viden.

    Du skal komme til Koshchei gennem en labyrint af brøktal.

    Skriv disse brøker på to linjer: ,, , , , . Korrekt: , , .

    Ukorrekt: , , .

    Godt gået, du har også fuldført denne opgave.

    Så den magiske kugle bragte Ivan og den grå ulv til Koshchei. Og Koschey siger: "Jeg keder mig at bo her alene, men hvis du morer mig, så hjælper jeg. Fuldfør mine opgaver."

    1. Opgave nr. 1 . Fysisk træning.

    Fizminutka :

    Bjørnen kom ud af hulen.

    Han løftede benene en og to gange.

    Han satte sig ned og rejste sig. Han satte sig ned og rejste sig.

    Han lagde poterne bag ryggen.

    Forskudt, vendt om

    Og han strakte sig lidt.

    1.Tegn en cirkel med radiusr= 2 cm.

    2. Mal over

    cirkel - gul

    cirkel - blå.

    Skriv ned, hvilken del af cirklen der er skraveret, og hvilken del der ikke er skraveret.

    Skraveret- __________

    Ikke overmalet - _________

    Tænk over, hvordan du kan bruge handlingstegn til at lave tal Og , få nummer . EN ?

    Vi hvilede os, satte os lige ned og gik i gang.

    Opgave nr. 2. Kort nr. 1 (Problemopgave).

    Så hvad skal vi lave i klassen i dag? Lad os skrive ned i vores notesbøger antallet og emnet for lektionen "At tilføje og trække brøker fra med samme nævner." Vores mål er at lære at addere og trække brøker med de samme nævnere. Lad os se på et eksempel:

    Algoritme til at tilføje brøker med ens nævnere : For at tilføje eller subtrahere brøker med ens nævnere skal du tilføje eller trække deres tællere fra og lade nævneren være den samme.

    VI. Dannelse af elevers færdigheder og evner.

    Så den magiske kugle bragte Ivan og den grå ulv til slangen Gorynych. Han havde en æske, og ingen vidste, hvad der var i den. Men Slangen Gorynych vil ikke bare give æsken til Ivan. Vi skal hjælpe Ivan Tsarevich, og for dette skal alle arbejde selvstændigt, og opgaverne til selvstændigt arbejde er i kassen (de går til kassen og tager opgaverne). Kort nr. 2 (selvstændigt arbejde). Når du er færdig med opgaverne, tjekker du og jeg svarene og finder ud af, om vi har hjulpet Ivan Tsarevich eller ej.

    Arbejde i notesbøger:lektier : Løs et problem fra et andet eventyr.

      Lektionsopsummering. Bedømmelse.

    Så her slutter eventyret. Fortæl mig, hvad har vi lavet i dag? Lad os gentage reglen igen.

    Dagens lektion er slut,

    Men alle burde vide:

    Viden, vedholdenhed og arbejde,
    De vil føre dig til succes i livet!

    VI . Afspejling.

    Gutter, kunne du lide lektionen? Vælg det passende humørikon og sæt det på tavlen. Tak for lektionen. Farvel