Kontroller det ukorrekte integral for konvergens. Ukorrekt integral med uendelig integrationsgrænse

Bestemt integral som grænsen for integralsummen

kun kan eksistere (dvs. have en vis endelig værdi), hvis betingelserne er opfyldt

Hvis mindst en af disse betingelser overtrædes, mister definitionen sin betydning. Faktisk, i tilfælde af et uendeligt segment, f.eks. -en; ) det kan ikke opdeles i P dele af begrænset længde
, som desuden ville have en tendens til nul med en stigning i antallet af segmenter. I tilfælde af ubegrænset på et tidspunkt Med[-en; b] kravet om vilkårlig punktudvælgelse overtrædes på delsegmenter – kan ikke vælges =Med, da værdien af funktionen på dette tidspunkt er udefineret. Men selv i disse tilfælde er det muligt at generalisere begrebet et bestemt integral ved at indføre en anden passage til grænsen. Integraler over uendelige intervaller og over diskontinuerlige (ubegrænsede) funktioner kaldes ikke din egen.

Definition.

Lad funktionen
er defineret på intervallet [ -en; ) og kan integreres på ethvert endeligt interval [ -en; b], dvs. eksisterer
for enhver b > -en. Typegrænse
hedder ukorrekt integral første slags (eller et ukorrekt integral over et uendeligt interval) og betegne
.

Således per definition,
=
.

Hvis grænsen til højre eksisterer og er begrænset, så er det ukorrekte integral
hedder konvergent . Hvis denne grænse er uendelig, eller slet ikke eksisterer, så siger de, at den ukorrekte integral divergerer .

På samme måde kan vi introducere begrebet et ukorrekt integral af funktionen
langs intervallet (–; b]:

=
.

Og det forkerte integral af funktionen
over intervallet (–; +) er defineret som summen af integralerne introduceret ovenfor:

=
+
,

Hvor EN– vilkårligt punkt. Dette integral konvergerer, hvis begge led konvergerer, og divergerer, hvis mindst en af termerne divergerer.

Fra et geometrisk synspunkt er integralet
,
, bestemmer den numeriske værdi af arealet af et uendeligt krumt trapez afgrænset ovenfor af grafen for funktionen
, venstre – lige
, nedefra – ved OX-aksen. Konvergensen af integralet betyder eksistensen af et begrænset område af en sådan trapez og dets lighed til grænsen af arealet af en krumt trapez med en bevægelig højre væg
.

Til tilfældet med et integral med en uendelig grænse kan vi generalisere Newton-Leibniz formel:

=
=F( + ) – F( -en),

hvor F( + ) =
. Hvis denne grænse eksisterer, så konvergerer integralet, ellers divergerer det.

Vi betragtede en generalisering af begrebet et bestemt integral til tilfældet med et uendeligt interval.

Lad os nu overveje en generalisering for tilfældet med en ubegrænset funktion.

Definition

Lad funktionen
er defineret på intervallet [ -en; b), er ubegrænset i nogle områder af punktet b, og er kontinuerlig på ethvert interval
, hvor>0 (og derfor er integrerbar på dette interval, dvs.
findes). Typegrænse
hedder upassende integral af den anden slags (eller et ukorrekt integral af en ubegrænset funktion) og er angivet
.

Således det ukorrekte integral af det ubegrænsede på punktet b funktioner eksisterer pr. definition

=
.

Hvis grænsen til højre eksisterer og er endelig, kaldes integralet konvergent. Hvis der ikke er nogen endelig grænse, kaldes det ukorrekte integral divergerende.

På samme måde kan vi definere det ukorrekte integral af funktionen
har en uendelig diskontinuitet på punktet EN:

=
.

Hvis funktionen
har et uendeligt mellemrum ved det indre punkt Med
, så defineres det ukorrekte integral som følger

=
+
=
+
.

Dette integral konvergerer, hvis begge led konvergerer, og divergerer, hvis mindst et led divergerer.

Fra et geometrisk synspunkt karakteriserer det ukorrekte integral af en ubegrænset funktion også arealet af en ubegrænset buet trapez:

Da et ukorrekt integral er afledt ved at gå til grænsen fra et bestemt integral, kan alle egenskaberne for et bestemt integral overføres (med passende justeringer) til ukorrekte integraler af den første og anden art.

I mange problemer, der fører til ukorrekte integraler, er det ikke nødvendigt at vide, hvad dette integral er lig med, det er nok bare at verificere dets konvergens eller divergens. Til dette bruger de tegn på konvergens. Tegn på konvergens af ukorrekte integraler:

1) Sammenligningstegn.

Lad det være for alle x

. Så hvis
konvergerer, konvergerer derefter
, og

. Hvis
divergerer, divergerer derefter og
.

2) Hvis konvergerer
, konvergerer derefter og
(det sidste integral i dette tilfælde kaldes absolut konvergent).

Tegnene på konvergens og divergens af ukorrekte integraler af ubundne funktioner svarer til dem, der er formuleret ovenfor.

Eksempler på problemløsning.

Eksempel 1.

EN)
; b)
; V)

G)
; d)
.

Løsning.

a) Per definition har vi:

b) Ligeledes

Derfor konvergerer dette integral og er lig med .

c) Per definition
=
+
, og EN– vilkårligt nummer. Lad os sætte i vores sag
, så får vi:

Dette integral konvergerer.

Det betyder, at dette integral divergerer.

e) Lad os overveje
. For at finde antiderivatet af integranden er det nødvendigt at anvende metoden til integration af dele. Så får vi:

Da hverken
, heller ikke
eksisterer ikke, så eksisterer ikke og

Derfor divergerer dette integral.

Eksempel 2.

Undersøg konvergensen af integralet afhængigt af P.

Løsning.

På
vi har:

Hvis
, At
Og. Derfor divergerer integralet.

Hvis
, At
, A
, Derefter

Derfor konvergerer integralet.

Hvis
, At

derfor divergerer integralet.

Dermed,

Eksempel 3.

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens:

EN)
; b)
; V)
.

Løsning.

a) Integral
er et upassende integral af den anden art, da integranden
ikke begrænset på et tidspunkt

. Så pr. definition,

Integralet konvergerer og er lig med .

b) Overvej
. Heller ikke her er integranden begrænset på det punkt
. Derfor er dette integral upassende af den anden art og pr. definition,

Derfor divergerer integralet.

c) Overvej
. Integrand
lider af et uendeligt hul på to punkter:
Og
, hvoraf den første hører til integrationsintervallet
. Følgelig er dette integral et upassende integral af den anden art. Så per definition

=

=

Derfor konvergerer integralet og er lig med
.

Er du her nu? =) Nej, jeg forsøgte ikke at skræmme nogen, det er bare, at emnet ukorrekte integraler er en meget god illustration af, hvor vigtigt det er ikke at negligere højere matematik og andre eksakte videnskaber. Alt hvad du behøver for at lære lektien er på hjemmesiden - i en detaljeret og tilgængelig form, hvis du ønsker det...

Så lad os starte med. Billedligt talt er et ukorrekt integral et "avanceret" bestemt integral, og faktisk er der ikke så mange vanskeligheder med dem, og desuden har det ukorrekte integral en meget god geometrisk betydning.

Hvad vil det sige at vurdere et ukorrekt integral?

Beregn ukorrekt integral - det betyder at finde NUMMERET(nøjagtig det samme som i det bestemte integral), eller bevise, at det afviger(det vil sige, at du ender med uendelighed i stedet for et tal).

Der er to typer ukorrekte integraler.

Ukorrekt integral med uendelige grænser for integration

Nogle gange kaldes et sådant upassende integral upassende integral af den første slags. Generelt ser et ukorrekt integral med en uendelig grænse oftest sådan ud: . Hvordan adskiller det sig fra et bestemt integral? Ved den øvre grænse. Det er uendeligt: .

Mindre almindelige er integraler med en uendelig nedre grænse eller med to uendelige grænser: , og vi vil se på dem senere - når du får styr på det :)

Nå, lad os nu se på den mest populære sag. I langt de fleste eksempler er integrand-funktionen sammenhængende ind imellem, og denne vigtigt faktum bør kontrolleres først! For hvis der er huller, så er der yderligere nuancer. Lad os for bestemthed antage, at selv da den typiske buet trapez vil se sådan ud:

Bemærk, at den er uendelig (ikke afgrænset til højre), og ukorrekt integral numerisk lig med dens areal. Følgende muligheder er mulige:

1) Den første tanke, der kommer til at tænke på: “da figuren er uendelig, altså ", området er med andre ord også uendeligt. Det kan være sådan. I dette tilfælde siger de, at den ukorrekte integral divergerer.

2) Men. Hvor paradoksalt det end kan lyde, kan arealet af en uendelig figur være lig med ... et endeligt tal! For eksempel: . Kunne dette være sandt? Let. I det andet tilfælde, det ukorrekte integral konvergerer.

3) Om den tredje mulighed lidt senere.

I hvilke tilfælde divergerer et ukorrekt integral, og i hvilke tilfælde konvergerer det? Dette afhænger af integranden, og vi vil meget snart se på specifikke eksempler.

Hvad sker der, hvis en uendelig buet trapez er placeret under aksen? I dette tilfælde, den ukorrekte integral (divergerer) eller er lig med et endeligt negativt tal.

Dermed, ukorrekt integral kan være negativ.

Vigtig! Når du får NOGET upassende integral at løse, så generelt set, der er ingen snak om noget område, og der er ingen grund til at bygge en tegning. Jeg forklarede den geometriske betydning af det ukorrekte integral kun for at gøre det lettere at forstå materialet.

Da det ukorrekte integral er meget lig det bestemte integral, lad os huske Newton-Leibniz formlen: . Faktisk er formlen også anvendelig til ukorrekte integraler, kun den skal ændres lidt. Hvad er forskellen? Ved den uendelige øvre grænse for integration: . Sandsynligvis gættede mange, at dette allerede lugter af anvendelsen af teorien om grænser, og formlen vil blive skrevet sådan: .

Hvad er forskellen fra et bestemt integral? Ikke noget specielt! Som i det bestemte integral skal du være i stand til at finde den antiafledte funktion (ubestemt integral), og være i stand til at anvende Newton-Leibniz formlen. Det eneste, der er tilføjet, er beregningen af grænsen. Den, der har det dårligt med dem, skal lære en lektie Funktionsgrænser. Eksempler på løsninger, fordi det er bedre sent end i hæren.

Lad os se på to klassiske eksempler:

Eksempel 1

For klarhedens skyld vil jeg tegne en tegning, selvom jeg endnu en gang understreger, på praksis Der er ingen grund til at bygge tegninger i denne opgave.

Integrand-funktionen er kontinuerlig på halv-intervallet, hvilket betyder, at alt er i orden, og det forkerte integral kan beregnes efter "standard"-metoden.

Anvendelse af vores formel og løsningen på problemet ser sådan ud:

Det vil sige, at det ukorrekte integral divergerer, og arealet af den skraverede buede trapez er lig med uendelig.

I det betragtede eksempel har vi det enkleste tabelintegral og den samme teknik til at anvende Newton-Leibniz formlen som i det bestemte integral. Men denne formel vil blive anvendt under grænsens tegn. I stedet for det sædvanlige bogstav i en "dynamisk" variabel, vises bogstavet "be". Dette bør ikke forvirre eller forvirre, fordi ethvert bogstav ikke er værre end standard "X".

Hvis du ikke forstår hvorfor ved , så er dette meget dårligt, enten forstår du ikke de simpleste grænser (og forstår generelt ikke, hvad en grænse er), eller også ved du ikke, hvordan grafen for en logaritmisk funktion ser ud. I det andet tilfælde skal du deltage i en lektion Grafer og egenskaber for elementære funktioner.

Når du løser ukorrekte integraler, er det meget vigtigt at vide, hvordan graferne for grundlæggende elementære funktioner ser ud!

Den færdige opgave skulle se sådan ud:

“

! Når vi udarbejder et eksempel, afbryder vi altid løsningen og angiver, hvad der sker med integranden – er det kontinuerligt på integrationsintervallet eller ej?. Med dette identificerer vi typen af upassende integral og retfærdiggør yderligere handlinger.

Eksempel 2

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Lad os lave tegningen:

Først bemærker vi følgende: integranden er kontinuert på halv-intervallet. Hætte. Vi løser ved hjælp af formlen :

(1) Vi tager det enkleste integral af en potensfunktion (dette specielle tilfælde er i mange tabeller). Det er bedre straks at flytte minustegnet ud over grænsetegnet, så det ikke kommer i vejen i yderligere beregninger.

(2) Vi erstatter de øvre og nedre grænser ved hjælp af Newton-Leibniz formlen.

(3) Vi angiver, at ved (Mine herrer, dette burde have været forstået for længe siden) og forenkler svaret.

Her er arealet af en uendelig buet trapezoid et endeligt tal! Utroligt men sandt.

Det færdige eksempel skulle se sådan ud:

“

Integrand-funktionen er konstant tændt

“

Hvad skal du gøre, hvis du støder på et integreret like - med brudpunkt på integrationsintervallet? Det betyder, at der er en tastefejl i eksemplet. (Højst sandsynlig), eller om et avanceret uddannelsesniveau. I sidstnævnte tilfælde, pga additivitetsegenskaber, bør vi overveje to ukorrekte integraler på intervaller og derefter beskæftige os med summen.

Nogle gange, på grund af en tastefejl eller hensigt, kan et ukorrekt integral eksisterer slet ikke, så hvis du f.eks. sætter kvadratroden af "x" i nævneren af ovenstående integral, vil en del af integrationsintervallet slet ikke blive inkluderet i integrandens definitionsdomæne.

Desuden eksisterer det uhensigtsmæssige integral måske ikke selv med alt det "tilsyneladende velvære". Klassisk eksempel:. På trods af cosinusets bestemthed og kontinuitet eksisterer et sådant upassende integral ikke! Hvorfor? Det er meget enkelt, fordi:
- eksisterer ikke passende grænse.

Og sådanne eksempler, selvom de er sjældne, forekommer i praksis! Ud over konvergens og divergens er der således også et tredje resultat af løsningen med et gyldigt svar: "der er ikke noget forkert integral."

Det skal også bemærkes, at den strenge definition af et upassende integral er givet netop gennem grænsen, og de, der ønsker det, kan sætte sig ind i det i undervisningslitteraturen. Nå, vi fortsætter den praktiske lektion og går videre til mere meningsfulde opgaver:

Eksempel 3

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Lad os først prøve at finde den antiderivative funktion (ubestemt integral). Hvis vi undlader at gøre dette, så vil vi naturligvis heller ikke være i stand til at løse det uhensigtsmæssige integral.

Hvilken af tabelintegralerne ligner integranden? Det minder mig om en arctangens: . Disse overvejelser tyder på, at det ville være rart med en firkant i nævneren. Dette sker ved udskiftning.

Lad os erstatte:

Det ubestemte integral er fundet; i dette tilfælde giver det ingen mening at tilføje en konstant.

Det er altid nyttigt at kontrollere udkastet, det vil sige at differentiere det opnåede resultat:

Den oprindelige integrand er opnået, hvilket betyder, at det ubestemte integral er fundet korrekt.

Nu finder vi det ukorrekte integral:

(1) Vi skriver løsningen i overensstemmelse med formlen . Det er bedre straks at flytte konstanten ud over grænsetegnet, så det ikke forstyrrer yderligere beregninger.

(2) Vi erstatter de øvre og nedre grænser i overensstemmelse med Newton-Leibniz formlen. Hvorfor kl ? Se arctangens-grafen i den allerede anbefalede artikel.

(3) Vi får det endelige svar. Et faktum, der er nyttigt at kunne udenad.

Avancerede studerende finder muligvis ikke det ubestemte integral separat og bruger ikke erstatningsmetoden, men bruger snarere metoden til at erstatte funktionen under differentialtegnet og løse det ukorrekte integral "med det samme." I dette tilfælde skal løsningen se sådan ud:

“

Integranden er kontinuerlig på .

“

Eksempel 4

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

! Dette er et typisk eksempel, og lignende integraler findes meget ofte. Træn det godt! Antiderivatfunktionen her findes ved hjælp af metoden til at vælge et komplet kvadrat; flere detaljer om metoden kan findes i lektionen Integrering af nogle brøker.

Eksempel 5

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Dette integral kan løses i detaljer, dvs. find først det ubestemte integral ved at foretage en ændring af variabel. Eller du kan løse det "med det samme" - ved at subsumere funktionen under differentialtegnet. Hvem har nogen matematisk uddannelse?

Fuldstændige løsninger og svar i slutningen af lektionen.

Eksempler på løsninger på ukorrekte integraler med en uendelig nedre grænse for integration kan findes på siden Effektive metoder til at løse ukorrekte integraler. Der analyserede vi også tilfældet, hvor begge grænser for integration er uendelige.

Ukorrekte integraler af ubegrænsede funktioner

Eller uhensigtsmæssige integraler af den anden slags. Ukorrekte integraler af den anden slags er snigende "krypteret" under det sædvanlige bestemte integral og ser nøjagtigt ens ud: Men i modsætning til det bestemte integral lider integranden af en uendelig diskontinuitet (findes ikke): 1) ved punktet , 2) eller på punktet, 3) eller på begge punkter på én gang, 4) eller endda på integrationssegmentet. Vi vil se på de første to cases; for case 3-4 er der i slutningen af artiklen et link til en ekstra lektion.

Bare et eksempel for at gøre det klart: . Det ser ud til at være et klart integral. Men faktisk er dette et ukorrekt integral af den anden slags; hvis vi erstatter værdien af den nedre grænse i integranden, så går vores nævner til nul, det vil sige, at integraden simpelthen ikke eksisterer på dette tidspunkt!

Generelt, når man analyserer et ukorrekt integral du skal altid erstatte begge integrationsgrænser i integranden. Lad os i denne forbindelse tjekke den øvre grænse: . Alt er fint her.

Den krumlinjede trapez for den type ukorrekte integral, der overvejes, ser grundlæggende sådan ud:

Her er alt næsten det samme som i integralet af den første slags.

Vores integral er numerisk lig med arealet af den skraverede buede trapez, som ikke er afgrænset ovenfra. I dette tilfælde kan der være to muligheder*: det ukorrekte integral divergerer (området er uendeligt) eller det ukorrekte integral er lig med et endeligt tal (det vil sige, at arealet af en uendelig figur er endeligt!).

* som standard antager vi normalt, at det ukorrekte integral eksisterer

Tilbage er kun at ændre Newton-Leibniz-formlen. Det er også modificeret ved hjælp af en grænse, men grænsen har ikke længere en tendens til uendelig, men til værdien til højre. Det er let at følge ud fra tegningen: langs aksen skal vi nærme os bristepunktet uendeligt tæt til højre.

Lad os se, hvordan dette implementeres i praksis.

Eksempel 6

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Integranden har en uendelig diskontinuitet på et tidspunkt (glem ikke at kontrollere verbalt eller på et udkast, at alt er i orden med den øvre grænse!)

Lad os først beregne det ubestemte integral:

Udskiftning:

Hvis du har problemer med udskiftning, se venligst lektionen Substitutionsmetode i ubestemt integral.

Lad os beregne det ukorrekte integral:

(1) Hvad er nyt her? Der er praktisk talt intet i forhold til løsningsteknologi. Det eneste, der er ændret, er indtastningen under grænseikonet: . Tilføjelsen betyder, at vi stræber efter værdien til højre (hvilket er logisk - se grafen). En sådan grænse i teorien om grænser kaldes ensidig grænse. I dette tilfælde har vi højre grænse.

(2) Vi erstatter de øvre og nedre grænser ved hjælp af Newton-Leibniz formlen.

(3) Lad os behandle kl. Hvordan bestemmer man, hvor et udtryk skal hen? Groft sagt skal du blot erstatte værdien i den, erstatte tre fjerdedele og angive, at . Lad os finkæmme svaret.

I dette tilfælde er det ukorrekte integral lig med et negativt tal. Der er ingen forbrydelse i dette, blot den tilsvarende buede trapez er placeret under aksen.

Og nu to eksempler på selvstændige løsninger.

Eksempel 7

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Eksempel 8

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Hvis integranden ikke eksisterer på det tidspunkt

En uendelig buet trapez til et sådant ukorrekt integral ser grundlæggende sådan ud.

Bestemte integraler online på webstedet for studerende og skolebørn til at konsolidere det materiale, de har dækket. Og træne dine praktiske færdigheder. En komplet løsning af bestemte integraler online til dig i løbet af få øjeblikke vil hjælpe dig med at bestemme alle faser af processen Online integraler - bestemt integral online. Visse integraler online på webstedet for studerende og skolebørn til fuldt ud at konsolidere det materiale, de har dækket, og træne deres praktiske færdigheder. En komplet løsning af bestemte integraler online til dig i løbet af få øjeblikke vil hjælpe dig med at bestemme alle faser af processen Online integraler - bestemt integral online. For os ser det ikke ud til at være noget super naturligt at tage et bestemt integral online, efter at have studeret dette emne fra en bog af fremragende forfattere. Vi takker dem meget og udtrykker vores respekt for disse personer. En onlinetjeneste til beregning af sådanne problemer hjælper dig med at bestemme et bestemt integral på ingen tid. Bare giv de korrekte oplysninger, og alt vil være godt! Ethvert konkret integral som løsning på et problem vil forbedre elevernes læsefærdigheder. Enhver doven person drømmer om dette, og vi er ingen undtagelse, vi indrømmer det ærligt. Hvis det alligevel lykkes dig at beregne et decideret integral online med en løsning gratis, så skriv venligst hjemmesidens adresse til alle, der ønsker at bruge det. Som de siger, hvis du deler et nyttigt link, vil gode mennesker belønne dig med en gave. Spørgsmålet om at analysere et problem, hvor et bestemt integral vil blive løst af lommeregneren alene, og ikke ved at spilde din dyrebare tid, vil være meget interessant. Det er derfor, de er maskiner, til at arbejde for mennesker. At løse visse integraler online er dog ikke noget alle websteder kan håndtere, og det er nemt at kontrollere, nemlig bare tag et komplekst eksempel og forsøg at løse det ved hjælp af hver sådan tjeneste. Du vil mærke forskellen på egen hånd. Ofte bliver det ret svært at finde et bestemt integral online uden nogen indsats, og dit svar vil se latterligt ud på baggrund af det samlede billede af resultatet. Det ville være bedre først at tage et kursus for en ung fighter. Enhver løsning på ukorrekte integraler online reduceres først til at beregne ubestemtheden og derefter bruge teorien om grænser til som regel at beregne ensidige grænser fra de resulterende udtryk med substituerede grænser A og B. Efter at have undersøgt det bestemte integral, angav du online med en detaljeret løsning, konkluderede vi, at du tog fejl på det femte trin, nemlig når du brugte Chebyshev variable erstatningsformlen. Vær meget forsigtig i din videre beslutning. Hvis online-beregneren ikke kunne tage dit specifikke integral første gang, så skal du først og fremmest dobbelttjekke de skrevne data i de relevante formularer på hjemmesiden. Sørg for, at alt er i orden og gå, Go-Go! For hver elev er forhindringen at beregne forkerte integraler online med læreren selv, da dette enten er en eksamen eller et kollokvium eller bare en test på et par.. Så snart den givne ukorrekte integrale online-beregner er til din rådighed, Indtast derefter straks den givne funktion, udskift de givne grænser for integration og klik på knappen Løsning, hvorefter du får adgang til et fuldstændigt, detaljeret svar. Alligevel er det godt, når der er sådan et vidunderligt websted som et websted, fordi det er gratis, nemt at bruge og også indeholder en masse sektioner. som eleverne bruger hver dag, en af dem er et klart integral online med en løsning i fuld form. I samme afsnit kan du beregne det forkerte integral online med en detaljeret løsning til yderligere anvendelser af svaret både på instituttet og i ingeniørarbejde. Det ser ud til, at bestemmelse af et bestemt integral online er en simpel sag for alle, hvis du løser et sådant eksempel på forhånd uden en øvre og nedre grænse, det vil sige ikke et Leibniz-integral, men et ubestemt integral. Men her er du og jeg kategorisk uenige, da dette ved første øjekast kan virke præcis sådan, men der er en væsentlig forskel, lad os ordne det hele. Løsningen giver ikke et så bestemt integral eksplicit, men som en konsekvens af at omdanne udtrykket til en grænseværdi. Med andre ord skal du først løse integralet ved at erstatte grænsernes symbolske værdier og derefter beregne grænsen enten ved uendelig eller ved et bestemt punkt. At beregne et bestemt integral online med en gratis løsning betyder derfor ikke andet end at præsentere den nøjagtige løsning ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen. Hvis vi overvejer vores definitive integralberegner, vil den hjælpe dig med at beregne den på få sekunder lige foran dine øjne. Dette hastværk er nødvendigt for alle, der ønsker at løse opgaven så hurtigt som muligt og frigøre til personlige anliggender. Du bør ikke søge på internettet efter websteder, der vil bede dig om at registrere dig og derefter tilføje penge til din saldo, alt sammen af hensyn til en smart fyr, der forbereder løsninger til visse integraler, der angiveligt er online. Husk adressen Math24 er en gratis service til løsning af mange matematiske problemer, herunder vil vi hjælpe dig med at finde et bestemt integral online, og for at sikre dig dette, bedes du tjekke vores erklæring med specifikke eksempler. Indtast integranden i det relevante felt, og angiv derefter enten uendelige grænseværdier (i dette tilfælde vil løsningen af ukorrekte integraler blive beregnet og opnået online), eller angiv dine numeriske eller symbolske grænser og det definitive integral online med en detaljeret løsning vil blive vist på siden efter klik på knappen "Løsning". Er det ikke - det er meget enkelt, det kræver ingen unødvendige handlinger fra dig, det er gratis, hvilket er det vigtigste, og samtidig er det effektivt. Du kan selv bruge tjenesten, så en bestemt online integreret lommeregner giver dig maksimalt udbytte, og du får en behagelig tilstand uden at stresse over kompleksiteten af alle beregningsprocesser. Lad os gøre alt for dig og demonstrere den fulde kraft af computerteknologi i moderne verden. Hvis du dykker ned i junglen af komplekse formler og studerer beregningen af upassende integraler online på egen hånd, så er dette prisværdigt, og du kan kvalificere dig til muligheden for at skrive en ph.d.-afhandling, men lad os vende tilbage til realiteterne i studielivet. Hvem er studerende? Først og fremmest er han en ung mand, energisk og munter, som gerne vil have tid til at slappe af og lave sit hjemmearbejde! Derfor tog vi os af studerende, der forsøger at finde en upassende integreret online-beregner på det globale netværks vidde, og her er det til din opmærksomhed - siden er den mest nyttige online-løser for unge mennesker. Forresten, selvom vores service præsenteres som en assistent for studerende og skolebørn, er den fuldt egnet til enhver ingeniør, fordi vi er i stand til enhver form for problem, og deres løsning præsenteres i et professionelt format. For eksempel tilbyder vi et decideret integral online med en komplet løsning i etaper, det vil sige, at hver logisk blok (delopgave) får en separat post med alle beregningerne under den samlede løsningsproces. Dette forenkler naturligvis opfattelsen af flertrins sekventielle layouts, og det er således en fordel ved webstedsprojektet frem for lignende tjenester til at finde upassende integraler online med en detaljeret løsning.

Ukorrekt integral med uendelig integrationsgrænse

Nogle gange kaldes et sådant upassende integral også for et uegentligt integral af den første slags..gif" width="49" height="19 src=">.

Mindre almindelige er integraler med en uendelig nedre grænse eller med to uendelige grænser: .

Vi vil overveje den mest populære sag https://pandia.ru/text/80/057/images/image005_1.gif" width="63" height="51"> ? Nej ikke altid. Integrandhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image007_0.gif" width="47" height="23 src=">

Lad os på tegningen afbilde grafen for integrandfunktionen. En typisk graf og buet trapez for dette tilfælde ser sådan ud:

Ukorrekt integralhttps://pandia.ru/text/80/057/images/image009_0.gif" width="100" height="51">", med andre ord er området også uendeligt. Det kan være sådan. I dette tilfælde siger de, at den ukorrekte integral divergerer.

2) Men. Hvor paradoksalt det end kan lyde, kan arealet af en uendelig figur være lig med ... et endeligt tal! For eksempel: .. I det andet tilfælde, det ukorrekte integral konvergerer.

Hvad sker der, hvis en uendelig buet trapez er placeret under aksen?.gif" width="217" height="51 src=">.

: .

Eksempel 1

Integrand-funktionen https://pandia.ru/text/80/057/images/image017_0.gif" width="43" height="23">, hvilket betyder, at alt er i orden, og det forkerte integral kan beregnes ved hjælp af " standardmetoden.

Anvendelse af vores formel https://pandia.ru/text/80/057/images/image018_0.gif" width="356" height="49">

Det vil sige, at det ukorrekte integral divergerer, og arealet af den skraverede buede trapez er lig med uendelig.

Når du løser ukorrekte integraler, er det meget vigtigt at vide, hvordan graferne for grundlæggende elementære funktioner ser ud!

Eksempel 2

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Lad os lave tegningen:

Først bemærker vi følgende: integranden er kontinuert på halv-intervallet. God..gif" width="327" height="53">

(2) Vi erstatter de øvre og nedre grænser ved hjælp af Newton-Leibniz formlen.

(3) Vi gør opmærksom på, at https://pandia.ru/text/80/057/images/image024.gif" width="56" height="19 src="> (Mine herrer, dette skal forstås længe tid siden) og forenkle svaret.

Her er arealet af en uendelig buet trapezoid et endeligt tal! Utroligt men sandt.

Eksempel 3

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Integranden er kontinuerlig på .

Lad os først prøve at finde den antiderivative funktion (ubestemt integral).

Hvilken af tabelintegralerne ligner integranden? Det minder mig om en arctangens: . Disse overvejelser tyder på, at det ville være rart med en firkant i nævneren. Dette sker ved udskiftning.

Lad os erstatte:

Det er altid nyttigt at udføre en kontrol, det vil sige at differentiere det opnåede resultat:

Nu finder vi det ukorrekte integral:

(1) Vi skriver løsningen i overensstemmelse med formlen . Det er bedre straks at flytte konstanten ud over grænsetegnet, så det ikke forstyrrer yderligere beregninger.

(2) Vi erstatter de øvre og nedre grænser i overensstemmelse med Newton-Leibniz-formlen..gif" width="56" height="19 src=">? Se arctangens-grafen i den allerede gentagne gange anbefalede artikel.

(3) Vi får det endelige svar. Et faktum, der er nyttigt at kunne udenad.

“

Integrand-funktionen er kontinuerlig på https://pandia.ru/text/80/057/images/image041.gif" width="337" height="104">
“

Eksempel 4

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

! Dette er et typisk eksempel, og lignende integraler findes meget ofte. Træn det godt! Antiderivatfunktionen findes her ved hjælp af metoden til at isolere et komplet kvadrat.

Eksempel 5

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Ukorrekte integraler af ubegrænsede funktioner

Nogle gange kaldes sådanne uegentlige integraler uegentlige integraler af den anden slags. Ukorrekte integraler af den anden slags er snigende "krypteret" under det sædvanlige bestemte integral og ser nøjagtigt ens ud: ..gif" width="39" height="15 src=">, 2) eller ved punkt , 3) eller på begge punkter på én gang, 4) eller endda på integrationssegmentet. Vi vil overveje de to første tilfælde, for tilfælde 3-4 i slutningen af artiklen er der et link til en ekstra lektion.

Bare et eksempel for at gøre det klart: https://pandia.ru/text/80/057/images/image048.gif" width="65 height=41" height="41">, så går vores nævner til nul, det vil sige, at integranden simpelthen ikke eksisterer på dette tidspunkt!

Generelt, når man analyserer et ukorrekt integral du skal altid erstatte begge integrationsgrænser i integranden..jpg" alt="Ukorrekt integral, diskontinuitetspunkt ved den nedre grænse for integration" width="323" height="380">!}

Her er alt næsten det samme som i integralet af den første slags.
Vores integral er numerisk lig med arealet af den skraverede buede trapez, som ikke er afgrænset ovenfra. I dette tilfælde kan der være to muligheder: det ukorrekte integral divergerer (området er uendeligt) eller det ukorrekte integral er lig med et endeligt tal (det vil sige, at arealet af en uendelig figur er endeligt!).

Tilbage er kun at ændre Newton-Leibniz-formlen. Det er også modificeret ved hjælp af en grænse, men grænsen har ikke længere en tendens til uendelig, men At værdsættehttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> til højre.

Eksempel 6

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Integranden har en uendelig diskontinuitet på et tidspunkt (glem ikke at kontrollere verbalt eller på et udkast, at alt er i orden med den øvre grænse!)

Lad os først beregne det ubestemte integral:

Udskiftning:

Lad os beregne det ukorrekte integral:

(1) Hvad er nyt her? Der er praktisk talt intet i forhold til løsningsteknologi. Det eneste, der er ændret, er indtastningen under grænseikonet: . Tilføjelsen betyder, at vi stræber efter værdien til højre (hvilket er logisk - se grafen). En sådan grænse i teorien om grænser kaldes en ensidig grænse. I dette tilfælde har vi en højrehåndsgrænse.

(2) Vi erstatter de øvre og nedre grænser ved hjælp af Newton-Leibniz formlen.

(3) Lad os forstå https://pandia.ru/text/80/057/images/image058.gif" width="69" height="41 src=">. Hvordan bestemmer man, hvor udtrykket skal hen? Groft sagt , i skal du bare erstatte værdien , erstatte tre fjerdedele og angive, at .. Vi finkæmmer svaret.

I dette tilfælde er det ukorrekte integral lig med et negativt tal.

Eksempel 7

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Eksempel 8

Beregn det ukorrekte integral eller beregn dets divergens.

Hvis integranden ikke eksisterer på det tidspunkt

En uendelig buet trapez til et sådant ukorrekt integral ser grundlæggende sådan ud:

Her er alt fuldstændig det samme, bortset fra at vores grænse har en tendens til At værdsættehttps://pandia.ru/text/80/057/images/image052.gif" width="28" height="19"> vi skal nærme os uendeligt tæt på bristepunktet venstre.

Ukorrekte integraler af den første slags: udvidelse af begrebet et bestemt integral til tilfælde af integraler med uendelige øvre eller nedre grænser for integration, eller begge grænser for integration er uendelige.

Ukorrekte integraler af den anden slags: udvidelse af begrebet et bestemt integral til tilfælde af integraler af ubegrænsede funktioner; integranden eksisterer ikke ved et begrænset antal punkter i et endeligt integrationssegment, der vender til uendeligt.

Til sammenligning. Ved indførelse af begrebet et bestemt integral antog man, at funktionen f(x) er kontinuerlig i intervallet [ -en, b], og integrationssegmentet er begrænset, det vil sige, at det er begrænset af tal og ikke af uendeligt. Nogle opgaver fører til behovet for at opgive disse restriktioner. Sådan fremstår ukorrekte integraler.

Geometrisk betydning af det ukorrekte integral Det viser sig ganske enkelt. I det tilfælde, hvor grafen for en funktion y = f(x) er over aksen Okse, det bestemte integral udtrykker arealet af en krumt trapez afgrænset af en kurve y = f(x) , x-akse og ordinater x = -en , x = b. Til gengæld udtrykker det ukorrekte integral arealet af et ubegrænset (uendeligt) krumt trapez indesluttet mellem linjerne y = f(x) (på billedet nedenfor - rød), x = -en og abscisseaksen.

Ukorrekte integraler defineres på samme måde for andre uendelige intervaller:

Arealet af en uendelig buet trapez kan være et endeligt tal, i hvilket tilfælde det ukorrekte integral kaldes konvergent. Området kan også være uendeligt, og i dette tilfælde kaldes det ukorrekte integral divergent.

Brug af grænsen for et integral i stedet for selve det ukorrekte integral. For at vurdere det ukorrekte integral skal du bruge grænsen for det bestemte integral. Hvis denne grænse eksisterer og er endelig (ikke lig med uendelig), kaldes det ukorrekte integral konvergent og ellers - divergent. Hvad en variabel har en tendens til under grænsetegnet afhænger af, om vi har at gøre med et ukorrekt integral af den første slags eller af den anden slags. Lad os finde ud af dette nu.

Ukorrekte integraler af den første slags - med uendelige grænser og deres konvergens

Ukorrekte integraler med uendelig øvre grænse

Så at skrive et ukorrekt integral adskiller sig fra det sædvanlige definitive integral ved, at den øvre grænse for integration er uendelig.

Definition. Et ukorrekt integral med en uendelig øvre grænse for integration af en kontinuerlig funktion f(x) i intervallet fra -en Før ∞ grænsen for integralet af denne funktion med den øvre grænse for integration kaldes b og den nedre grænse for integration -en forudsat at den øvre grænse for integration vokser uden grænser, dvs.

Hvis denne grænse eksisterer og er lig med et eller andet tal snarere end uendeligt, så et ukorrekt integral kaldes konvergent, og det tal, som grænsen er lig med, tages som værdi. Ellers et ukorrekt integral kaldes divergent og der tillægges det ingen mening.

Eksempel 1. Beregn ukorrekt integral(hvis det konvergerer).

Løsning. Baseret på definitionen af det upassende integral, finder vi

Da grænsen eksisterer og er lig med 1, så er dette ukorrekt integral konvergerer og er lig med 1.

I det følgende eksempel er integranden næsten den samme som i eksempel 1, kun graden x er ikke to, men bogstavet alfa, og opgaven er at studere det ukorrekte integral for konvergens. Det vil sige, spørgsmålet mangler at blive besvaret: ved hvilke værdier af alfa konvergerer dette ukorrekte integral, og til hvilke værdier divergerer det?

Eksempel 2. Undersøg det ukorrekte integral for konvergens(den nedre grænse for integration er større end nul).

Løsning. Lad os først antage, at

I det resulterende udtryk bevæger vi os til grænsen ved:

Det er let at se, at grænsen på højre side eksisterer og er lig med nul, når, det vil sige, og ikke eksisterer, når, dvs.

I det første tilfælde, altså når . Hvis så og eksisterer ikke.

Konklusionen på vores undersøgelse er som følger: dette ukorrekt integral konvergerer kl og divergerer kl.

Anvendelse af Newton-Leibniz-formlen på typen af ukorrekt integral, der studeres , kan du udlede følgende formel, som minder meget om den:

Dette er en generaliseret Newton-Leibniz formel.

Eksempel 3. Beregn ukorrekt integral(hvis det konvergerer).

Grænsen for dette integral eksisterer:

Det andet integral, der udgør summen, der udtrykker det oprindelige integral:

Grænsen for dette integral eksisterer også:

Vi finder summen af to integraler, som også er værdien af det oprindelige ukorrekte integral med to uendelige grænser:

Ukorrekte integraler af den anden slags - fra ubegrænsede funktioner og deres konvergens

Lad funktionen f(x) givet på segmentet fra -en Før b og er ubegrænset på det. Antag, at funktionen går til uendelig ved punktet b , mens det på alle andre punkter i segmentet er kontinuerligt.

Definition. Et ukorrekt integral af en funktion f(x) på segmentet fra -en Før b grænsen for integralet af denne funktion med den øvre grænse for integration kaldes c , hvis når man stræber c Til b funktionen øges uden begrænsning, og på punktet x = b funktion ikke defineret, dvs.

Hvis denne grænse eksisterer, kaldes det ukorrekte integral af den anden slags konvergent, ellers kaldes det divergent.

Ved hjælp af Newton-Leibniz-formlen udleder vi.