For at udregn summen af en serie, skal du blot tilføje elementerne i rækken et givet antal gange. For eksempel:
I eksemplet ovenfor blev dette gjort meget enkelt, da vi skulle summere endeligt nummer enkelt gang. Men hvad hvis den øvre grænse for summering er uendelig? For eksempel, hvis vi skal finde summen af følgende række:
I analogi med det foregående eksempel kan vi skrive dette beløb således:
Men hvad skal man så gøre?! På dette stadium er det nødvendigt at introducere konceptet delbeløb række. Så, delsummen af serien(betegnet S n) er summen af de første n led i rækken. De der. i vores tilfælde:
Så kan summen af den oprindelige serie beregnes som grænsen for delsummen:
Således for beregne summen af en serie, er det nødvendigt på en eller anden måde at finde et udtryk for delsummen af rækken (S n ). I vores konkret sag serien er en aftagende geometrisk progression med en nævner på 1/3. Som vi ved, summen af de første n elementer geometrisk progression beregnet med formlen:
her er b 1 det første element i den geometriske progression (i vores tilfælde er det 1) og q er nævneren for progressionen (i vores tilfælde 1/3). Derfor er delsummen S n for vores serie lig med:
Så er summen af vores serie (S) ifølge definitionen givet ovenfor lig med:
Eksemplerne diskuteret ovenfor er ret enkle. Normalt er det meget vanskeligere at beregne summen af en serie, og den største vanskelighed ligger i at finde delsummen af serien. Fremhævet nedenfor online lommeregner, baseret på Wolfram Alpha-systemet, giver dig mulighed for at beregne summen af ret komplekse serier. Desuden, hvis lommeregneren ikke kunne finde summen af serien, er det sandsynligt, at denne serie er divergerende (i dette tilfælde viser lommeregneren en meddelelse som "sum divergerer"), dvs. Denne lommeregner hjælper også indirekte med at få en idé om konvergensen af serier.
For at finde summen af din serie skal du angive seriens variable, de nedre og øvre grænser for summeringen samt udtrykket for det n. led i serien (dvs. det faktiske udtryk for selve serien) .
Nogle problemer i fysik og matematik kan løses ved hjælp af egenskaberne nummerserie. De to enkleste talsekvenser, der undervises i i skoler, er algebraiske og geometriske. I denne artikel vil vi se nærmere på spørgsmålet om, hvordan man finder summen endeløs progression geometrisk aftagende.
Progression geometrisk
Disse ord betyder følgende række reelle tal, hvis elementer a i opfylder udtrykket:
Her er i tallet på elementet i rækken, r er konstant tal, som kaldes nævneren.
Denne definition viser, at ved at kende ethvert medlem af progressionen og dens nævner, kan du gendanne hele rækken af tal. For eksempel, hvis det 10. element er kendt, så vil det at dividere det med r få det 9. element, hvis det derefter divideres igen, vil det få det 8. og så videre. Disse simpelt ræsonnement tillad os at skrive et udtryk, der er gyldigt for rækken af tal, der overvejes:
Et eksempel på en progression med en nævner på 2 ville være følgende serie:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Hvis nævneren er lig med -2, opnås en helt anden serie:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geometrisk progression er meget hurtigere end algebraisk progression, det vil sige, dens termer stiger hurtigt og falder hurtigt.
Summen af i udtryk for progression
For løsninger praktiske problemer ofte er du nødt til at beregne summen af flere elementer af den betragtede talrække. For dette tilfælde er det sandt følgende formel:
Si = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Det kan ses, at for at beregne summen af i-led skal du kun kende to tal: a 1 og r, hvilket er logisk, da de entydigt bestemmer hele sekvensen.
Aftagende rækkefølge og summen af dens led
Lad os nu overveje særlig situation. Vi vil antage, at modulus af nævneren r ikke overstiger én, altså -1 En aftagende geometrisk progression er interessant at overveje, fordi den uendelige sum af dens vilkår har tendens til et endeligt reelt tal. Lad os få formlen for summen.Dette er let at gøre, hvis du skriver udtrykket for S i givet i det foregående afsnit. Vi har: Si = a 1 *(r i -1)/(r-1) Lad os overveje tilfældet, når i->∞. Da nævnerens modul er mindre end 1, vil det give nul ved at hæve det til en uendelig potens. Dette kan kontrolleres ved at bruge eksemplet med r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Som et resultat vil summen af vilkårene for en uendelig aftagende geometrisk progression have formen: Denne formel bruges ofte i praksis, for eksempel til at beregne arealer af figurer. Det bruges også til at løse paradokset Zeno af Elea med skildpadden og Achilleus. Det er indlysende, at betragtning af summen af en uendelig geometrisk stigende progression (r>1) vil føre til resultatet S ∞ = +∞. Lad os vise, hvordan man anvender ovenstående formler ved hjælp af et eksempel på løsning af et problem. Det er kendt, at summen af en uendelig geometrisk progression er 11. Desuden er dens 7. led 6 gange mindre end det tredje led. Hvad er det første element for denne talrække? Lad os først skrive to udtryk for at bestemme det 7. og 3. element. Vi får: Ved at dividere det første udtryk med det andet og udtrykke nævneren, har vi: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Da forholdet mellem det syvende og tredje led er angivet i problemformuleringen, kan du erstatte det og finde r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Vi beregnede r til fem decimaler. Da den resulterende værdi er mindre end én, er progressionen faldende, hvilket retfærdiggør brugen af formlen for dens uendelige sum. Lad os skrive udtrykket for det første led gennem summen S ∞: Vi erstatter kendte værdier i denne formel og får svaret: a1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zeno af Elea er en berømt græsk filosof, der levede i det 5. århundrede f.Kr. e. En række af dens højdepunkter eller paradokser er nået til nutiden, hvor problemet med det uendeligt store og det uendeligt små i matematikken er formuleret. Et af Zenos berømte paradokser er konkurrencen mellem Achilleus og skildpadden. Zeno mente, at hvis Achilles gav skildpadden en vis fordel i afstand, ville han aldrig være i stand til at indhente den. Lad for eksempel Achilleus løbe 10 gange hurtigere end et dyr, der kravler, som for eksempel er 100 meter foran ham. Når krigeren løber 100 meter, kravler skildpadden væk 10 meter. Efter at have løbet 10 meter igen, ser Achilles, at skildpadden kravler yderligere 1 meter. Du kan argumentere på denne måde i det uendelige, afstanden mellem konkurrenterne vil faktisk falde, men skildpadden vil altid være foran. Ledte Zeno til den konklusion, at bevægelse ikke eksisterer, og alle omgivende bevægelser af objekter er en illusion. Selvfølgelig tog den antikke græske filosof fejl. Løsningen på paradokset ligger i, at en uendelig sum af konstant faldende segmenter har tendens til et endeligt tal. I ovenstående tilfælde, for den distance, som Achilleus løb, får vi: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Ved at anvende formlen for summen af en uendelig geometrisk progression får vi: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111.111 meter Dette resultat viser, at Achilleus vil indhente skildpadden, når den kun kravler 11.111 meter. De gamle grækere vidste ikke, hvordan de skulle arbejde med uendelige mængder i matematik. Dette paradoks kan dog løses, hvis vi ikke er opmærksomme på det uendelige antal huller, som Achilleus skal overvinde, men på det begrænsede antal skridt, løberen skal bruge for at nå sit mål. Definitioner og egenskaber af infinitesimale og uendeligt store funktioner i et punkt. Beviser for egenskaber og teoremer. Forholdet mellem uendeligt store og uendeligt store funktioner. Lad x 0
er et endeligt eller uendeligt punkt: ∞, -∞ eller +∞. Definition af en infinitesimal funktion Definition af en uendelig stor funktion Egenskab for summen, forskellen og produktet af infinitesimale funktioner Sum, forskel og produkt endeligt antal infinitesimale funktioner som x → x 0
er en infinitesimal funktion som x → x 0
.
Denne egenskab er en direkte konsekvens af de aritmetiske egenskaber for en funktions grænser. Sætning om produktet af en afgrænset funktion og en infinitesimal Produkt af en funktion afgrænset på et eller andet punkteret kvarter til punkt x 0
, til infinitesimal, som x → x 0
, er en infinitesimal funktion som x → x 0
.
Egenskaben til at repræsentere en funktion som summen af en konstant og en infinitesimal funktion For at funktionen f (x) havde en begrænset grænse, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at Sætning om summen af en afgrænset funktion og en uendelig stor Summen eller forskellen af en afgrænset funktion i et eller andet punkteret område af punktet x 0
, og en uendelig stor funktion, som x → x 0
, er en uendelig stor funktion som x → x 0
.
Sætning om division af en begrænset funktion med en uendelig stor Hvis funktion f (x) er uendeligt stor som x → x 0
, og funktionen g (x)- er afgrænset til et eller andet punkteret kvarter til punkt x 0
, At Sætning om divisionen af en funktion, der er afgrænset nedenfor af en infinitesimal Hvis funktionen , i et eller andet punkteret område af punktet , er afgrænset nedefra af et positivt tal i absolut værdi: Egenskab for uligheder af uendeligt store funktioner Hvis funktionen er uendelig stor ved: Denne ejendom har to særlige tilfælde. Lad, på nogle punkteret naboskab af punktet, funktionerne og tilfredsstille uligheden: Af de to foregående egenskaber følger sammenhængen mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner. Hvis en funktion er uendelig stor ved , så er funktionen uendelig lille ved . Hvis en funktion er uendelig stor for , og , så er funktionen uendelig stor for . Forholdet mellem en infinitesimal og en uendelig stor funktion kan udtrykkes symbolsk: Hvis en infinitesimal funktion har et bestemt fortegn ved , det vil sige, at den er positiv (eller negativ) på et punkteret område af punktet, så kan vi skrive det sådan her: Så kan den symbolske sammenhæng mellem uendeligt små og uendeligt store funktioner suppleres med følgende relationer: Yderligere formler vedrørende uendelighedssymboler kan findes på siden Lad funktionen være uendelig stor for: Lad os tage en vilkårlig sekvens, der konvergerer til . Startende fra et eller andet nummer N, vil elementerne i sekvensen tilhøre dette kvarter: Ifølge definitionen af grænsen for en funktion ifølge Heine, Ejendommen er bevist. Referencer: Lad os nu overveje spørgsmålet om at summere en uendelig geometrisk progression. Lad os kalde partialsummen af en given uendelig progression summen af dens første led. Lad os betegne delsummen med symbolet For hver uendelig progression man kan sammensætte en (også uendelig) sekvens af dens delsummer Lad en sekvens med ubegrænset stigning have en grænse I dette tilfælde kaldes tallet S, dvs. grænsen for delsummer af en progression, summen af en uendelig progression. Vi vil bevise, at en uendelig aftagende geometrisk progression altid har en sum, og vi vil udlede en formel for denne sum (vi kan også vise, at hvis en uendelig progression ikke har nogen sum, eksisterer den ikke). Lad os skrive udtrykket for delsummen som summen af led af progressionen ved hjælp af formlen (91.1) og betragte grænsen for delsummen ved Fra sætning 89 vides det, at for en aftagende progression; derfor finder vi ved at anvende forskelsgrænsesætningen (her bruges også reglen: konstantfaktoren tages ud over grænsetegnet). Eksistensen er bevist, og samtidig opnås formlen for summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression: Ligestilling (92,1) kan også skrives i skemaet Her kan det virke paradoksalt, at summen af et uendeligt antal led tildeles en meget bestemt endelig værdi. En klar illustration kan gives for at forklare denne situation. Betragt en firkant med en side lig med én (fig. 72). Del denne firkant med en vandret linje i to lige store dele og fastgør den øverste del til den nederste, så der dannes et rektangel med siderne 2 og . Herefter vil vi igen dele højre halvdel af dette rektangel i to med en vandret linje og fastgøre den øverste del til den nederste (som vist i fig. 72). Ved at fortsætte denne proces omdanner vi hele tiden den originale firkant med areal lig med 1 til lige store figurer (i form af en trappe med udtyndingstrin). Med den uendelige fortsættelse af denne proces dekomponeres hele kvadratets areal i et uendeligt antal led - områderne af rektangler med baser lig med 1 og højder. Områderne af rektangler danner præcist en uendelig faldende progression, dens sum dvs., som man ville forvente, lig med arealet af pladsen. Eksempel. Find summen af følgende uendelige progressioner: Løsning, a) Vi bemærker, at denne progression Derfor finder vi ved hjælp af formel (92.2). b) Her betyder det, at vi bruger den samme formel (92.2). c) Vi finder, at denne progression derfor ikke har nogen sum. I afsnit 5 blev anvendelsen af formlen for summen af led af en uendeligt faldende progression til konvertering af en periodisk decimalbrøk til en almindelig brøk vist. 1. Summen af en uendeligt aftagende geometrisk progression er 3/5, og summen af dens første fire led er 13/27. Find det første led og nævneren for progressionen. 2. Find fire tal, der danner en vekslende geometrisk progression, hvor det andet led er mindre end det første med 35, og det tredje er 560 større end det fjerde. 3. Vis, at hvis rækkefølgen danner en uendeligt aftagende geometrisk progression, derefter sekvensen for enhver, danner den en uendeligt aftagende geometrisk progression. Vil dette udsagn holde stik hvornår Udled en formel for produktet af vilkårene for en geometrisk progression. Første niveau Så lad os sætte os ned og begynde at skrive nogle tal. For eksempel: Du kan skrive alle tal, og der kan være lige så mange af dem, som du vil (i vores tilfælde er der dem). Uanset hvor mange tal vi skriver, kan vi altid sige, hvilket der er først, hvilket der er andet, og så videre indtil det sidste, det vil sige, vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en talrække: Nummerrækkefølge er et sæt numre, som hver kan tildeles et unikt nummer. For eksempel for vores sekvens: Det tildelte nummer er specifikt for kun ét nummer i sekvensen. Med andre ord er der ingen tre sekunders tal i sekvensen. Det andet tal (som det th tal) er altid det samme. Tallet med tallet kaldes det n'te medlem af sekvensen. Vi kalder normalt hele sekvensen med et bogstav (f.eks.), og hvert medlem af denne sekvens er det samme bogstav med et indeks svarende til tallet på dette medlem: . I vores tilfælde: De mest almindelige typer progression er aritmetiske og geometriske. I dette emne vil vi tale om den anden type - geometrisk progression. Selv i oldtiden tog den italienske matematikermunk Leonardo af Pisa (bedre kendt som Fibonacci) sig af handelens praktiske behov. Munken stod over for opgaven med at bestemme, hvad er det mindste antal vægte, der kan bruges til at veje et produkt? I sine værker beviser Fibonacci, at et sådant vægtsystem er optimalt: Dette er en af de første situationer, hvor folk skulle forholde sig til en geometrisk progression, som du sikkert allerede har hørt om og i det mindste har en generel forståelse af. Når du fuldt ud forstår emnet, så tænk på, hvorfor et sådant system er optimalt? I øjeblikket, i livspraksis, manifesterer geometrisk progression sig, når man investerer penge i en bank, når rentebeløbet påløber det beløb, der er akkumuleret på kontoen for den foregående periode. Med andre ord, hvis du sætter penge på et tidsindskud i en sparekasse, så vil indskuddet efter et år stige med det oprindelige beløb, dvs. det nye beløb vil svare til bidraget ganget med. Om endnu et år vil dette beløb stige med, dvs. det beløb, der opnås på det tidspunkt, vil igen blive ganget med og så videre. En lignende situation er beskrevet i problemer med at beregne den såkaldte renters rente- procentsatsen tages hver gang fra det beløb, der står på kontoen under hensyntagen til tidligere renter. Vi vil tale om disse opgaver lidt senere. Der er mange flere simple tilfælde, hvor geometrisk progression anvendes. For eksempel spredning af influenza: en person inficerede en anden person, de inficerede til gengæld en anden person, og dermed er den anden bølge af infektion en person, og de inficerede til gengæld en anden... og så videre.. . Forresten er en finansiel pyramide, den samme MMM, en simpel og tør beregning baseret på egenskaberne ved en geometrisk progression. Interessant? Lad os finde ud af det. Lad os sige, at vi har en talrække: Du vil straks svare, at dette er nemt, og navnet på en sådan sekvens er en aritmetisk progression med forskellen på dens udtryk. Hvad med dette: Hvis du trækker det forrige tal fra det næste tal, vil du se, at du hver gang får en ny forskel (og så videre), men rækkefølgen eksisterer bestemt og er let at bemærke - hvert efterfølgende tal er gange større end det forrige! Denne type talrække kaldes geometrisk progression og er udpeget. Geometrisk progression () er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression. Begrænsningerne om, at det første led ( ) ikke er ens og ikke er tilfældige. Lad os antage, at der ikke er nogen, og det første led stadig er lig, og q er lig med, hmm.. lad det være, så viser det sig: Enig i at dette ikke længere er en progression. Som du forstår, vil vi få de samme resultater, hvis der er et andet tal end nul, a. I disse tilfælde vil der simpelthen ikke være nogen progression, da hele talrækken enten vil være alle nuller, eller ét tal, og resten vil være nuller. Lad os nu tale mere detaljeret om nævneren for den geometriske progression, det vil sige o. Lad os gentage: - dette er tallet hvor mange gange ændres hvert efterfølgende led? geometrisk progression. Hvad tror du, det kunne være? Det er rigtigt, positivt og negativt, men ikke nul (vi talte om dette lidt højere). Lad os antage, at vores er positiv. Lad i vores tilfælde, a. Hvad er værdien af det andet led og? Det kan du nemt svare på: Det er rigtigt. Derfor, hvis, så har alle efterfølgende vilkår for progressionen det samme tegn - de er positive. Hvad hvis det er negativt? For eksempel en. Hvad er værdien af det andet led og? Det er en helt anden historie Prøv at tælle vilkårene for denne progression. Hvor meget fik du? Jeg har. Således, hvis, så veksler tegnene på vilkårene for den geometriske progression. Det vil sige, hvis du ser en progression med skiftende fortegn for dens medlemmer, så er dens nævner negativ. Denne viden kan hjælpe dig med at teste dig selv, når du løser problemer om dette emne. Lad os nu øve os lidt: prøv at bestemme, hvilke talsekvenser der er en geometrisk progression, og hvilke der er en aritmetisk progression: Forstået? Lad os sammenligne vores svar: Lad os vende tilbage til vores sidste progression og prøve at finde dens medlem, ligesom i den aritmetiske. Som du måske har gættet, er der to måder at finde det på. Vi gange successivt hvert led med. Så det th led af den beskrevne geometriske progression er lig med. Som du allerede har gættet, vil du nu selv udlede en formel, der vil hjælpe dig med at finde ethvert medlem af den geometriske progression. Eller har du allerede udviklet det for dig selv, og beskriver hvordan du finder det th medlem trin for trin? Hvis ja, så tjek rigtigheden af din begrundelse. Lad os illustrere dette med eksemplet på at finde det te led i denne progression: Med andre ord: Find selv værdien af leddet for den givne geometriske progression. sket? Lad os sammenligne vores svar: Bemærk venligst, at du fik nøjagtig det samme tal som i den foregående metode, når vi sekventielt multiplicerede med hvert tidligere led i den geometriske progression. Den afledte formel er sand for alle værdier - både positive og negative. Tjek selv dette ved at beregne vilkårene for den geometriske progression med følgende betingelser: , a. Har du talt? Lad os sammenligne resultaterne: Enig at det ville være muligt at finde et led af en progression på samme måde som et led, dog er der mulighed for at regne forkert. Og hvis vi allerede har fundet det tredje led i den geometriske progression, hvad kunne så være enklere end at bruge den "trunkerede" del af formlen. For nylig talte vi om, at det enten kan være større eller mindre end nul, men der er specielle værdier, for hvilke den geometriske progression kaldes uendeligt aftagende. Hvorfor tror du, at dette navn er givet? Vi ser, at hvert efterfølgende led er mindre end det foregående med en faktor, men vil der være et tal? Du vil straks svare - "nej". Derfor er det uendeligt faldende – det falder og falder, men bliver aldrig nul. For klart at forstå, hvordan dette ser ud visuelt, lad os prøve at tegne en graf over vores progression. Så for vores tilfælde har formlen følgende form: På grafer er vi vant til at plotte afhængighed af, derfor: Essensen af udtrykket har ikke ændret sig: i den første post viste vi afhængigheden af værdien af et medlem af en geometrisk progression af dets ordenstal, og i den anden post tog vi simpelthen værdien af et medlem af en geometrisk progression som , og betegnede ordenstallet ikke som, men som. Det eneste, der skal gøres, er at bygge en graf. Ser du? Funktionen falder, har en tendens til nul, men krydser den aldrig, så den er uendeligt faldende. Lad os markere vores punkter på grafen, og samtidig hvad koordinaten og betyder: Prøv skematisk at afbilde en graf af en geometrisk progression, hvis dens første led også er ens. Analyser, hvad er forskellen med vores tidligere graf? Klarede du dig? Her er grafen jeg kom frem til: Nu hvor du fuldt ud har forstået det grundlæggende i emnet geometrisk progression: du ved hvad det er, du ved hvordan du finder dets udtryk, og du ved også hvad en uendeligt faldende geometrisk progression er, lad os gå videre til dens hovedegenskab. Kan du huske egenskaben for vilkårene for en aritmetisk progression? Ja, ja, hvordan finder man værdien af et bestemt antal af en progression, når der er tidligere og efterfølgende værdier af vilkårene for denne progression. Kan du huske? Det her: Nu står vi over for præcis det samme spørgsmål for vilkårene for en geometrisk progression. For at udlede en sådan formel, lad os begynde at tegne og ræsonnere. Du vil se, det er meget nemt, og hvis du glemmer det, kan du selv få det ud. Lad os tage en anden simpel geometrisk progression, hvor vi kender og. Hvordan finder man? Med aritmetisk progression er det nemt og enkelt, men hvad med her? Faktisk er der heller ikke noget kompliceret i geometrisk - du skal bare skrive ned hver værdi givet til os i henhold til formlen. Du kan spørge, hvad skal vi gøre ved det nu? Ja, meget simpelt. Lad os først afbilde disse formler i et billede og prøve at udføre forskellige manipulationer med dem for at nå frem til værdien. Lad os abstrahere fra de tal, der er givet til os, lad os kun fokusere på deres udtryk gennem formlen. Vi skal finde den værdi, der er fremhævet med orange, ved at kende de termer, der støder op til den. Lad os prøve at udføre forskellige handlinger med dem, som et resultat af hvilket vi kan få. Tilføjelse. Fra dette udtryk, som du kan se, kan vi ikke udtrykke det på nogen måde, derfor vil vi prøve en anden mulighed - subtraktion. Subtraktion. Som du kan se, kan vi heller ikke udtrykke dette, så lad os prøve at multiplicere disse udtryk med hinanden. Multiplikation. Se nu omhyggeligt på, hvad vi har ved at gange vilkårene for den geometriske progression givet os i sammenligning med det, der skal findes: Gæt hvad jeg taler om? Korrekt, for at finde, skal vi tage kvadratroden af de geometriske progressionstal ved siden af det ønskede ganget med hinanden: Vær så god. Du har selv udledt egenskaben ved geometrisk progression. Prøv at skrive denne formel i generel form. sket? Glemt betingelsen for? Tænk over, hvorfor det er vigtigt, prøv for eksempel selv at regne det ud. Hvad vil der ske i dette tilfælde? Det er rigtigt, komplet nonsens, fordi formlen ser sådan ud: Glem derfor ikke denne begrænsning. Lad os nu beregne, hvad det er lig Rigtigt svar - ! Hvis du ikke har glemt den anden mulige værdi under beregningen, så er du fantastisk og kan straks gå videre til træning, og hvis du har glemt det, så læs hvad der diskuteres nedenfor og vær opmærksom på, hvorfor det er nødvendigt at skrive begge rødder ned i svaret. Lad os tegne begge vores geometriske progressioner - den ene med en værdi og den anden med en værdi og tjekke, om de begge har ret til at eksistere: For at kontrollere, om en sådan geometrisk progression eksisterer eller ej, er det nødvendigt at se, om alle dens givne udtryk er ens? Beregn q for det første og andet tilfælde. Se hvorfor vi skal skrive to svar? Fordi det tegn på det udtryk, du leder efter, afhænger af, om det er positivt eller negativt! Og da vi ikke ved, hvad det er, skal vi skrive begge svar med et plus og et minus. Nu hvor du har mestret hovedpunkterne og udledt formlen for egenskaben for geometrisk progression, find, kend og Sammenlign dine svar med de rigtige: Hvad synes du, hvad hvis vi ikke fik værdierne af vilkårene for den geometriske progression ved siden af det ønskede tal, men lige langt fra det. For eksempel skal vi finde, og givet og. Kan vi bruge den formel, vi udledte i dette tilfælde? Prøv at bekræfte eller afkræfte denne mulighed på samme måde ved at beskrive, hvad hver værdi består af, som du gjorde, da du oprindeligt udledte formlen, kl. Se nu grundigt igen. Ud fra dette kan vi konkludere, at formlen virker ikke kun med naboer med de ønskede vilkår for den geometriske progression, men også med lige langt fra det medlemmerne søger. Vores indledende formel har således formen: Det vil sige, at hvis vi i det første tilfælde sagde det, så siger vi nu, at det kan være lig med ethvert naturligt tal, der er mindre. Det vigtigste er, at det er ens for begge givne tal. Øv dig med specifikke eksempler, bare vær ekstremt forsigtig! Besluttede? Jeg håber, du var yderst opmærksom og bemærkede en lille fangst. Lad os sammenligne resultaterne. I de første to tilfælde anvender vi roligt ovenstående formel og får følgende værdier: I det tredje tilfælde, ved omhyggelig undersøgelse af serienumrene på de numre, vi har fået, forstår vi, at de ikke er lige langt fra det nummer, vi leder efter: det er det forrige nummer, men fjernes ved en position, så det er ikke muligt at anvende formlen. Hvordan løses det? Det er faktisk ikke så svært, som det ser ud til! Lad os skrive ned, hvad hvert nummer givet til os og det tal, vi leder efter, består af. Så vi har og. Lad os se, hvad vi kan gøre med dem? Jeg foreslår at dividere med. Vi får: Vi erstatter vores data med formlen: Det næste trin, vi kan finde, er - til dette skal vi tage terningroden af det resulterende tal. Lad os nu se igen på, hvad vi har. Vi har det, men vi skal finde det, og det er til gengæld lig med: Vi fandt alle de nødvendige data til beregningen. Erstat i formlen: Vores svar: . Prøv selv at løse et andet lignende problem: Hvor meget fik du? Jeg har - . Som du kan se, har du i det væsentlige brug for husk kun én formel- . Du kan til enhver tid selv trække alt det resterende uden besvær. For at gøre dette skal du blot skrive den enkleste geometriske progression på et stykke papir og skrive ned, hvad hvert af dets tal er lig med, ifølge formlen beskrevet ovenfor. Lad os nu se på formler, der giver os mulighed for hurtigt at beregne summen af led af en geometrisk progression i et givet interval: For at udlede formlen for summen af led af en endelig geometrisk progression skal du gange alle dele af ovenstående ligning med. Vi får: Se godt efter: hvad har de to sidste formler til fælles? Det er rigtigt, f.eks. almindelige medlemmer og så videre, bortset fra første og sidste medlem. Lad os prøve at trække 1. fra 2. ligning. Hvad fik du? Udtryk nu udtrykket for den geometriske progression gennem formlen og erstat det resulterende udtryk med vores sidste formel: Gruppér udtrykket. Du bør få: Det eneste, der skal gøres, er at udtrykke: Følgelig i dette tilfælde. Hvad hvis? Hvilken formel virker så? Forestil dig en geometrisk progression kl. Hvordan er hun? En række identiske tal er korrekte, så formlen vil se sådan ud: Der er mange legender om både aritmetisk og geometrisk progression. En af dem er legenden om Set, skaberen af skak. Mange mennesker ved, at skakspillet blev opfundet i Indien. Da den hinduistiske konge mødte hende, var han henrykt over hendes vid og de mange forskellige positioner, der var mulige i hende. Efter at have erfaret, at det var opfundet af en af hans undersåtter, besluttede kongen at belønne ham personligt. Han tilkaldte opfinderen til sig selv og beordrede ham til at bede ham om alt, hvad han ønskede, og lovede at opfylde selv det mest dygtige ønske. Seta bad om betænkningstid, og da Seta næste dag dukkede op for kongen, overraskede han kongen med den hidtil usete beskedenhed i hans anmodning. Han bad om at give et hvedekorn til det første felt på skakbrættet, et hvedekorn til det andet, et hvedekorn til det tredje, et fjerde osv. Kongen blev vred og drev Seth bort, idet han sagde, at tjenerens anmodning var uværdig til kongens generøsitet, men lovede, at tjeneren ville modtage sine korn til alle brættets firkanter. Og nu spørgsmålet: ved hjælp af formlen for summen af vilkårene for en geometrisk progression, beregne hvor mange korn Seth skal modtage? Lad os begynde at ræsonnere. Da Seth ifølge betingelsen bad om et hvedekorn til det første felt på skakbrættet, til det andet, til det tredje, til det fjerde osv., så ser vi, at problemet handler om en geometrisk progression. Hvad er det lig i dette tilfælde? Samlede kvadrater af skakbrættet. Henholdsvis, . Vi har alle dataene, det eneste der er tilbage er at sætte det ind i formlen og beregne. For at forestille os i det mindste tilnærmelsesvis "skalaen" af et givet tal, transformerer vi ved hjælp af egenskaberne for grad: Selvfølgelig, hvis du vil, kan du tage en lommeregner og beregne, hvilket tal du ender med, og hvis ikke, må du tage mit ord for det: den endelige værdi af udtrykket bliver. quintillion quadrillion billioner milliarder millioner tusinde. Puha) Hvis du vil forestille dig, hvor stor dette tal er, så estimer, hvor stor en stald ville være nødvendig for at rumme hele mængden af korn. Hvis kongen var stærk i matematik, kunne han have inviteret videnskabsmanden selv til at tælle kornene, for for at tælle en million korn ville han have brug for mindst en dags utrættelig optælling, og givet at det er nødvendigt at tælle kvintillioner, kornene skulle tælles hele hans liv. Lad os nu løse et simpelt problem, der involverer summen af led i en geometrisk progression. Så det første udtryk for den geometriske progression er Vasya, det vil sige en person. Det tredje led i den geometriske progression er de to mennesker, han inficerede på den første dag efter sin ankomst. Den samlede sum af progressionsterminerne er lig med antallet af 5A-elever. Derfor taler vi om en progression, hvor: Lad os erstatte vores data med formlen for summen af vilkårene for en geometrisk progression: Hele klassen bliver syg inden for få dage. Tror du ikke på formler og tal? Prøv selv at skildre elevernes "infektion". sket? Se hvordan det ser ud for mig: Beregn selv, hvor mange dage det ville tage for eleverne at blive syge af influenza, hvis hver enkelt smittede en person, og der kun var én person i klassen. Hvilken værdi fik du? Det viste sig, at alle begyndte at blive syge efter en dag. Som du kan se, ligner en sådan opgave og tegningen til den en pyramide, hvor hver efterfølgende "bringer" nye mennesker. Men før eller siden kommer der et øjeblik, hvor sidstnævnte ikke kan tiltrække nogen. I vores tilfælde, hvis vi forestiller os, at klassen er isoleret, lukker personen fra kæden (). Således, hvis en person var involveret i en finansiel pyramide, hvori der blev givet penge, hvis du tog to andre deltagere med, så ville personen (eller generelt) ikke bringe nogen, og derfor ville miste alt, hvad de investerede i denne finansielle fidus. Alt, hvad der blev sagt ovenfor, refererer til en aftagende eller stigende geometrisk progression, men som du husker, har vi en speciel type - en uendeligt aftagende geometrisk progression. Hvordan beregner man summen af sine medlemmer? Og hvorfor har denne type progression visse karakteristika? Lad os finde ud af det sammen. Så lad os først se igen på denne tegning af en uendeligt aftagende geometrisk progression fra vores eksempel: Lad os nu se på formlen for summen af en geometrisk progression, afledt lidt tidligere: Hvad stræber vi efter? Det er rigtigt, grafen viser, at den har en tendens til nul. Det vil sige, at, vil være næsten lige, henholdsvis, når vi beregner det udtryk, vi får næsten. I denne henseende mener vi, at når man beregner summen af en uendeligt faldende geometrisk progression, kan denne parentes negligeres, da den vil være ens. - formel er summen af vilkårene for en uendeligt aftagende geometrisk progression. VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af led af en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at vi skal finde summen uendelig antal medlemmer. Hvis et bestemt tal n er angivet, så bruger vi formlen for summen af n led, også hvis eller. Lad os nu øve os. Jeg håber, du var yderst forsigtig. Lad os sammenligne vores svar: Nu ved du alt om geometrisk progression, og det er tid til at gå fra teori til praksis. De mest almindelige geometriske progressionsproblemer, man støder på ved eksamen, er problemer med at beregne renters rente. Det er dem, vi vil tale om. Du har sikkert hørt om den såkaldte rentesammensatte formel. Forstår du, hvad det betyder? Hvis ikke, så lad os finde ud af det, for når du først forstår selve processen, vil du straks forstå, hvad geometrisk progression har med det at gøre. Vi går alle til banken og ved, at der er forskellige betingelser for indskud: Dette inkluderer en løbetid, yderligere tjenester og renter med to forskellige måder at beregne det på - enkelt og komplekst. MED simpel rente alt er mere eller mindre klart: Der påløber renter én gang ved slutningen af indbetalingsperioden. Det vil sige, hvis vi siger, at vi indbetaler 100 rubler i et år, krediteres de først i slutningen af året. Derfor vil vi modtage rubler ved udgangen af depositum. Renters rente- dette er en mulighed, hvor det forekommer rentekapitalisering, dvs. deres tilføjelse til indskudsbeløbet og efterfølgende beregning af indkomst ikke fra det oprindelige, men fra det akkumulerede indskudsbeløb. Store bogstaver forekommer ikke konstant, men med en vis hyppighed. Som regel er sådanne perioder lige store, og oftest bruger banker en måned, et kvartal eller et år. Lad os antage, at vi indbetaler de samme rubler årligt, men med månedlig kapitalisering af indskuddet. Hvad laver vi? Forstår du alt her? Hvis ikke, så lad os finde ud af det trin for trin. Vi bragte rubler til banken. Ved udgangen af måneden skulle vi have et beløb på vores konto bestående af vores rubler plus renter på dem, det vil sige: Enig? Vi kan tage det ud af parentes og så får vi: Enig, denne formel ligner allerede mere det, vi skrev i begyndelsen. Det eneste der er tilbage er at finde ud af procenterne I problemformuleringen får vi at vide om årssatser. Som du ved, multiplicerer vi ikke med - vi konverterer procenter til decimalbrøker, det vil sige: Højre? Nu kan du spørge, hvor kom tallet fra? Meget simpelt! indså det? Prøv nu at skrive, hvordan denne del af formlen ville se ud, hvis jeg sagde, at renten beregnes dagligt. Godt klaret! Lad os vende tilbage til vores opgave: skriv, hvor meget der vil blive krediteret vores konto i den anden måned, idet der tages højde for, at der påløber renter på det akkumulerede indskudsbeløb. Eller med andre ord: Jeg tror, at du allerede har bemærket et mønster og set en geometrisk progression i alt dette. Skriv, hvad dets medlem vil være lig med, eller med andre ord, hvilket beløb vi vil modtage i slutningen af måneden. Som du kan se, hvis du sætter penge i en bank i et år til en simpel rente, vil du modtage rubler, og hvis til en sammensat rente, vil du modtage rubler. Fordelen er lille, men dette sker kun i løbet af det år, men i en længere periode er kapitalisering meget mere rentabel: Lad os se på en anden type problem, der involverer renters rente. Efter hvad du har fundet ud af, vil det være elementært for dig. Så opgaven: Zvezda-virksomheden begyndte at investere i industrien i 2000 med kapital i dollars. Hvert år siden 2001 har den fået et overskud, der svarer til det foregående års kapital. Hvor meget overskud vil Zvezda-virksomheden modtage ved udgangen af 2003, hvis overskuddet ikke blev trukket ud af omløb? Zvezdas hovedstad i 2000. Eller vi kan skrive kort: For vores tilfælde: 2000, 2001, 2002 og 2003. Svar: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Geometrisk progression ( ) er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående, ganget med det samme tal. Dette tal kaldes nævneren for en geometrisk progression. 2) Ligningen for vilkårene for den geometriske progression er . 3) kan tage alle værdier undtagen og. 4) , med - egenskab for geometrisk progression (tilstødende led) eller Når du finder det, så glem det ikke der burde være to svar. For eksempel, 5) Summen af vilkårene for den geometriske progression beregnes ved formlen: Hvis progressionen er uendeligt faldende, så: VIGTIG! Vi bruger kun formlen for summen af led af en uendeligt aftagende geometrisk progression, hvis betingelsen udtrykkeligt siger, at vi skal finde summen af et uendeligt antal led. 6) Problemer med renters rente beregnes også ved hjælp af formlen for det th led af en geometrisk progression, forudsat at midler ikke er blevet trukket ud af cirkulation: Geometrisk progression( ) er en numerisk sekvens, hvis første led er forskelligt fra nul, og hvert led, startende fra det andet, er lig med det foregående ganget med det samme tal. Dette nummer kaldes nævner for en geometrisk progression. Nævner for geometrisk progression kan tage enhver værdi undtagen og. Ligning af termer for geometrisk progression - . Summen af led i en geometrisk progression beregnet med formlen:
Opgaven med at finde det første led i en progression
Zenos berømte paradoks med den hurtige Achilleus og den langsomme skildpadde
Definitioner af infinitesimal og infinitesimal funktioner
Funktion α (x) hedder uendelig lille som x har en tendens til x 0
0
, og det er lig med nul:
.
Funktion f (x) hedder uendelig stor som x har en tendens til x 0
, hvis funktionen har en grænse som x → x 0
, og det er lig med uendelig:
.
Egenskaber for infinitesimale funktioner
,
hvor er en infinitesimal funktion som x → x 0
.
Egenskaber for uendeligt store funktioner
.
,
og funktionen er infinitesimal som x → x 0
:
,
og der er et punkteret naboskab af det punkt, hvorpå
.
,
og funktionerne og , på nogle punkteret naboskab af punktet opfylder uligheden:
,
så er funktionen også uendelig stor ved:
.
.
Så hvis , så og .
Hvis , så og .Forholdet mellem uendeligt store og uendeligt små funktioner
,
.
.
På samme måde, hvis en uendelig stor funktion har et bestemt fortegn ved , så skriver de:
, eller .
,
,
,
.
"Peger på uendelighed og deres egenskaber."Bevis for egenskaber og sætninger
Bevis for sætningen om produktet af en afgrænset funktion og en infinitesimal
.
Og lad der være et punkteret naboskab af det punkt, hvorpå
kl.
kl.
Derefter
kl.
.
Så ved egenskaben af uligheder i uendeligt store sekvenser,
.
Da sekvensen er vilkårlig, konvergerer den til , så ved definitionen af grænsen for en funktion ifølge Heine,
.
L.D. Kudryavtsev. Kursus i matematisk analyse. Bind 1. Moskva, 2003.
Øvelser
Geometrisk progression. Omfattende guide med eksempler (2019)
Nummerrækkefølge
Hvorfor er geometrisk progression nødvendig og dens historie?
Geometrisk progression.
Lad os prøve at "depersonalisere" denne formel - lad os sætte den i generel form og få:Uendeligt faldende geometrisk progression.
Lad os først nedskrive en geometrisk progression bestående af led.
Lad os sige, så:
Lad os se, hvad du har. Her er grafen jeg kom frem til:
Egenskab for geometrisk progression.
Lad os prøve at tilføje to udtryk, og vi får:
Hvad fik du?
og tilsvarende:
Givet:,
Find:Summen af vilkårene for en geometrisk progression.
Højre.
Det er:
Hvis stalden er m høj og m bred, skulle dens længde strække sig over km, dvs. dobbelt så langt som fra Jorden til Solen.
En elev fra klasse 5A Vasya blev syg af influenza, men fortsætter med at gå i skole. Hver dag inficerer Vasya to mennesker, som til gengæld inficerer yderligere to mennesker, og så videre. Der er kun mennesker i klassen. Hvor mange dage vil hele klassen være syg med influenza?
eller
Problemer med at beregne renters rente.
Jeg gentager: problemformuleringen siger om ÅRLIGT renter, der påløber MÅNEDLIGE. Som du ved, vil banken derfor i løbet af et år af måneder opkræve os en del af den årlige rente pr. måned:
Klarede du dig? Lad os sammenligne resultaterne:
Her er hvad jeg fik:
gjorde? Lad os tjekke!
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2001.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2002.
- kapital i Zvezda-virksomheden i 2003.
Henholdsvis:
rubler
Vær opmærksom på, at vi i denne opgave ikke har en division hverken efter eller efter, da procenten opgives ÅRLIGT, og den udregnes ÅRLIGT. Det vil sige, når du læser et problem om renters rente, skal du være opmærksom på, hvilken procentdel der gives, og i hvilken periode den beregnes, og først derefter gå videre til beregninger.
Nu ved du alt om geometrisk progression.Uddannelse.
MDM Capital Company:
- stiger med 100%, det vil sige 2 gange.
Henholdsvis:
rubler
MSK Cash Flows selskab:
- stiger med, det vil sige med gange.
Henholdsvis:
rubler
rublerLad os opsummere.
, på (lige afstande)
eller
ellerGEOMETRISK PROGRESSION. KORT OM DE VIGTIGSTE TING
eller