الاعتماد الخطيو الاستقلال الخطيثلاثة أبعاد.
أساس المتجهات. نظام الإحداثيات الأفينية

توجد عربة بها شوكولاتة في القاعة، وسيحصل كل زائر اليوم على زوجين جميلين - الهندسة التحليلية مع الجبر الخطي. ستغطي هذه المقالة قسمين في وقت واحد. الرياضيات العليا، وسنرى كيف ينسجمون في غلاف واحد. خذ قسطا من الراحة، وتناول تويكس! ...اللعنة، يا لها من حفنة من الهراء. على الرغم من أنني لن أسجل، في النهاية، يجب أن يكون لديك موقف إيجابي تجاه الدراسة.

الاعتماد الخطي للمتجهات, استقلال المتجهات الخطية, أساس المتجهاتوالمصطلحات الأخرى ليس لها تفسير هندسي فحسب، بل لها، قبل كل شيء، معنى جبري. مفهوم "المتجه" من وجهة نظر الجبر الخطي- هذا ليس دائمًا المتجه "العادي" الذي يمكننا تصويره على مستوى أو في الفضاء. لا تحتاج إلى البحث بعيدًا عن الدليل، حاول رسم متجه للفضاء خماسي الأبعاد . أو ناقل الطقس الذي ذهبت إليه للتو إلى Gismeteo من أجل: – درجة الحرارة و الضغط الجويعلى التوالى. المثال بالطبع غير صحيح من وجهة نظر الخصائص مساحة المتجهاتولكن، مع ذلك، لا أحد يمنع إضفاء الطابع الرسمي على هذه المعلمات كمتجه. نسمة خريف...

لا، لن أزعجك بالنظرية، فالمساحات المتجهة الخطية هي المهمة يفهمالتعاريف والنظريات. تنطبق المصطلحات الجديدة (الاعتماد الخطي، الاستقلال، التركيب الخطي، الأساس، وما إلى ذلك) على جميع المتجهات من وجهة نظر جبرية، ولكن سيتم تقديم أمثلة هندسية. وهكذا، كل شيء بسيط، ويمكن الوصول إليه وواضح. ما وراء المهام الهندسة التحليليةسوف ننظر في بعض المهام النموذجيةالجبر لإتقان المادة، يُنصح بالتعرف على الدروس ناقلات للدمىو كيفية حساب المحدد؟

الاعتماد الخطي واستقلال ناقلات الطائرة.
أساس الطائرة ونظام الإحداثيات

النظر في الطائرة الخاصة بك مكتب الكمبيوتر(مجرد طاولة، طاولة بجانب السرير، أرضية، سقف، كل ما تريد). ستتألف المهمة من الإجراءات التالية:

1) حدد أساس الطائرة. بشكل تقريبي، سطح الطاولة له طول وعرض، لذا فمن البديهي أن تكون هناك حاجة إلى متجهين لبناء الأساس. من الواضح أن ناقلًا واحدًا لا يكفي، وثلاثة ناقلات أكثر من اللازم.

2) بناء على الأساس المختار تعيين نظام الإحداثيات(شبكة الإحداثيات) لتعيين الإحداثيات لجميع الكائنات الموجودة في الجدول.

لا تتفاجأ، في البداية ستكون التفسيرات على الأصابع. وعلاوة على ذلك، على لك. يرجى المكان السبابة اليسرىعلى حافة الطاولة حتى ينظر إلى الشاشة. سيكون هذا ناقلًا. مكان الآن الاصبع الصغير اليد اليمنى على حافة الطاولة بنفس الطريقة - بحيث يتم توجيهها نحو شاشة المراقبة. سيكون هذا ناقلًا. ابتسم، أنت تبدو رائعا! ماذا يمكننا أن نقول عن المتجهات؟ نواقل البيانات على استطرادمما يعني خطييتم التعبير عنها من خلال بعضها البعض:
، حسنًا، أو العكس: حيث يختلف الرقم عن الصفر.

يمكنك رؤية صورة لهذا الإجراء في الفصل. ناقلات للدمىحيث شرحت قاعدة ضرب المتجه برقم.

هل ستضع أصابعك الأساس على سطح مكتب الكمبيوتر؟ من الواضح أنه لا. تنتقل المتجهات الخطية ذهابًا وإيابًا وحيدالاتجاه، والمستوى له طول وعرض.

تسمى هذه النواقل تعتمد خطيا.

مرجع: تشير الكلمات "خطي" و"خطي" إلى حقيقة أنه في المعادلات الرياضية، لا تحتوي التعبيرات على مربعات أو مكعبات أو قوى أخرى أو لوغاريتمات أو جيوب وما إلى ذلك. لا يوجد سوى تعبيرات وتبعيات خطية (الدرجة الأولى).

اثنين من ناقلات الطائرة تعتمد خطياإذا وفقط إذا كانت على خط واحد.

اشبك أصابعك على الطاولة بحيث تكون هناك أي زاوية بينهما غير 0 أو 180 درجة. اثنين من ناقلات الطائرةخطي لاتعتمد إذا وفقط إذا لم تكن على خط مستقيم. لذلك يتم الحصول على الأساس. لا داعي للشعور بالحرج من أن الأساس قد تبين أنه "منحرف" بمتجهات غير متعامدة ذات أطوال مختلفة. قريبًا جدًا سنرى أن الزاوية التي قياسها 90 درجة ليست فقط مناسبة لبناءها، وليس فقط ناقلات الوحدات ذات الطول المتساوي

أيناقلات الطائرة الطريقة الوحيدةيتم توسيعها على أساس:
، أين الأعداد الحقيقية. يتم استدعاء الأرقام إحداثيات المتجهاتعلى هذا الأساس.

ويقال ذلك أيضا المتجهقدمت كما تركيبة خطيةناقلات الأساس. أي أن التعبير يسمى تحلل ناقلاتعلى أساسأو تركيبة خطيةناقلات الأساس

على سبيل المثال، يمكننا القول إن المتجه متحلل على أساس متعامد للمستوى، أو يمكننا القول إنه ممثل كمجموعة خطية من المتجهات.

دعونا صياغة تعريف الأساسرسميا: أساس الطائرةيسمى زوج من المتجهات المستقلة خطياً (غير الخطية)، ، حيث أيالمتجه المستوي هو مزيج خطي من المتجهات الأساسية.

النقطة الأساسية في التعريف هي حقيقة أن المتجهات مأخوذة الخامس بترتيب معين . قواعد - هاتان قاعدتان مختلفتان تمامًا! كما يقولون، لا يمكنك استبدال إصبع يدك اليسرى بدلاً من إصبع يدك اليمنى.

لقد اكتشفنا الأساس، ولكن لا يكفي تعيين شبكة إحداثيات وتعيين إحداثيات لكل عنصر على مكتب الكمبيوتر الخاص بك. لماذا لا يكفي؟ النواقل حرة وتتجول في جميع أنحاء الطائرة بأكملها. إذًا كيف يمكنك تعيين إحداثيات لتلك البقع الصغيرة القذرة على الطاولة المتبقية من عطلة نهاية الأسبوع الجامحة؟ هناك حاجة إلى نقطة انطلاق. ومثل هذا المعلم هو نقطة مألوفة لدى الجميع - أصل الإحداثيات. دعونا نفهم نظام الإحداثيات:

سأبدأ بنظام "المدرسة". بالفعل في الدرس التمهيدي ناقلات للدمىلقد أبرزت بعض الاختلافات بين نظام الإحداثيات المستطيل والأساس المتعامد. وهذه هي الصورة القياسية:

عندما يتحدثون عن نظام الإحداثيات المستطيلة، فغالبًا ما يقصدون أصل الإحداثيات، محاور الإحداثياتومقياس على طول المحاور. حاول كتابة "نظام الإحداثيات المستطيل" في محرك البحث، وسترى أن العديد من المصادر ستخبرك عن محاور الإحداثيات المألوفة من الصف الخامس إلى السادس وكيفية رسم النقاط على المستوى.

ومن ناحية أخرى، يبدو أن نظام مستطيليمكن تحديد الإحداثيات بشكل كامل من خلال أساس متعامد. وهذا صحيح تقريبا. تبدو الصياغة بالطريقة الآتية:

أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات المستطيلة الديكارتية . أي نظام الإحداثيات المستطيل قطعاًيتم تعريفه بنقطة واحدة ومتجهين متعامدين للوحدة. ولهذا السبب ترى الرسم الذي قدمته أعلاه مشاكل هندسيةفي كثير من الأحيان (ولكن ليس دائمًا) يتم رسم المتجهات ومحاور الإحداثيات.

أعتقد أن الجميع يفهم ذلك باستخدام نقطة (الأصل) وأساس متعامد أي نقطة على الطائرة وأي ناقل على متن الطائرةيمكن تعيين الإحداثيات. بالمعنى المجازي، "كل شيء على متن الطائرة يمكن ترقيمه."

هل هم ملزمون تنسيق المتجهاتتكون معزولة؟ لا، يمكن أن يكون لها طول تعسفي غير الصفر. النظر في النقطة واثنين ناقلات متعامدةالطول التعسفي غير الصفري:

يسمى هذا الأساس متعامد. يتم تحديد أصل الإحداثيات مع المتجهات بواسطة شبكة إحداثيات، وأي نقطة على المستوى، وأي متجه له إحداثياته ​​على أساس معين. على سبيل المثال، أو. الإزعاج الواضح هو أن المتجهات الإحداثية الخامس الحالة العامة لها أطوال مختلفة غير الوحدة. إذا كانت الأطوال تساوي الوحدة، فسيتم الحصول على الأساس المتعامد المعتاد.

! ملحوظة : في الأساس المتعامد، وكذلك أدناه في القواعد المتقاربة للمستوى والفضاء، يتم اعتبار الوحدات على طول المحاور الشرط. على سبيل المثال، وحدة واحدة على طول المحور السيني تحتوي على 4 سم، ووحدة واحدة على طول المحور الإحداثي تحتوي على 2 سم، وهذه المعلومات كافية، إذا لزم الأمر، لتحويل الإحداثيات "غير القياسية" إلى "السنتيمترات المعتادة".

والسؤال الثاني، الذي تمت الإجابة عليه بالفعل، هو ما إذا كان قياس الزاوية بين متجهات الأساس يساوي 90 درجة؟ لا! وكما ينص التعريف، يجب أن تكون المتجهات الأساسية فقط غير خطية. وفقا لذلك، يمكن أن تكون الزاوية أي شيء ما عدا 0 و 180 درجة.

نقطة على الطائرة تسمى أصل، و غير خطيةثلاثة أبعاد، ، تعيين نظام إحداثيات الطائرة :

في بعض الأحيان يتم استدعاء نظام الإحداثيات هذا منحرف - مائلنظام. كأمثلة، يوضح الرسم النقاط والمتجهات:

كما تفهم، فإن نظام الإحداثيات التقاربي أقل ملاءمة؛ فصيغ أطوال المتجهات والقطاعات، التي ناقشناها في الجزء الثاني من الدرس، لا تعمل فيه ناقلات للدمى، العديد من الصيغ اللذيذة المتعلقة المنتج العددي للمتجهات. لكن قواعد إضافة المتجهات وضرب المتجه برقم، وصيغ تقسيم القطعة في هذه العلاقة، بالإضافة إلى بعض أنواع المشكلات الأخرى التي سننظر فيها قريبًا، هي قواعد صالحة.

والاستنتاج هو أن الحالة الخاصة الأكثر ملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة هي النظام الديكارتي المستطيل. لهذا السبب عليك في أغلب الأحيان رؤيتها يا عزيزتي. ...ومع ذلك، كل شيء في هذه الحياة نسبي - هناك العديد من المواقف التي تكون فيها الزاوية المائلة (أو زاوية أخرى، على سبيل المثال) القطبية) نظام الإحداثيات. وقد يحب البشر مثل هذه الأنظمة =)

دعنا ننتقل إلى الجزء العملي. جميع المسائل في هذا الدرس صالحة لكل من نظام الإحداثيات المستطيل والحالة العامة. لا يوجد شيء معقد هنا، فكل المواد متاحة حتى لتلميذ المدرسة.

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من ناقلات الطائرة؟

شيء نموذجي. من أجل اثنين من ناقلات الطائرة إذا كانت على خط واحد، فمن الضروري والكافي أن تكون إحداثياتها المقابلة متناسبةفي الأساس، هذا عبارة عن تفصيل تنسيقي تلو الآخر للعلاقة الواضحة.

مثال 1

أ) تحقق مما إذا كانت المتجهات على خط واحد .
ب) هل تشكل المتجهات أساسًا؟ ?

حل:
أ) دعونا نعرف ما إذا كان هناك نواقل معامل التناسب، بحيث يتم استيفاء المساواة:

سأخبرك بالتأكيد عن النسخة "المرنة" من تطبيق هذه القاعدة، والتي تعمل بشكل جيد في الممارسة العملية. الفكرة هي تكوين النسبة على الفور ومعرفة ما إذا كانت صحيحة:

لنقم بعمل نسبة من نسب الإحداثيات المقابلة للمتجهات:

دعونا نختصر:
وبالتالي فإن الإحداثيات المقابلة متناسبة، وبالتالي،

ويمكن إجراء العلاقة بالعكس، وهذا خيار مكافئ:

للاختبار الذاتي، يمكنك استخدام حقيقة أن المتجهات الخطية المتداخلة يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. في في هذه الحالةهناك مساواة . يمكن التحقق من صحتها بسهولة من خلال العمليات الأولية باستخدام المتجهات:

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). نحن نفحص المتجهات من أجل العلاقة الخطية المتداخلة . لنقم بإنشاء نظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك، ومن المعادلة الثانية يتبع ذلك، مما يعني النظام غير متناسق(لا توجد حلول). وبالتالي، فإن الإحداثيات المقابلة للمتجهات ليست متناسبة.

خاتمة: المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

تبدو النسخة المبسطة من الحل كما يلي:

لنقم بعمل نسبة من الإحداثيات المقابلة للمتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

عادة لا يتم رفض هذا الخيار من قبل المراجعين، ولكن تنشأ مشكلة في الحالات التي تكون فيها بعض الإحداثيات تساوي الصفر. مثله: . او مثل هذا: . او مثل هذا: . كيفية العمل من خلال التناسب هنا؟ (في الواقع، لا يمكنك القسمة على صفر). ولهذا السبب أطلقت على الحل المبسط اسم "foppish".

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

صغير مثال إبداعيل قرار مستقل:

مثال 2

عند أي قيمة للمعلمة توجد المتجهات هل سيكونون على خط واحد؟

في حل العينة، تم العثور على المعلمة من خلال النسبة.

هناك طريقة جبرية أنيقة للتحقق من العلاقة الخطية بين المتجهات، فلننظم معرفتنا ونضيفها كنقطة خامسة:

بالنسبة لمتجهين مستويين، تكون العبارات التالية متكافئة:

2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست على خط مستقيم؛

+ 5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات غير صفر.

على التوالى، العبارات المعاكسة التالية متكافئة:
1) المتجهات تعتمد خطيا؛
2) المتجهات لا تشكل الأساس؛
3) المتجهات على خط واحد.
4) يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
+ 5) محدد يتكون من إحداثيات هذه المتجهات، يساوي الصفر .

أنا حقا آمل ذلك هذه اللحظةأنت تفهم بالفعل جميع الشروط والبيانات التي تصادفك.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على النقطة الخامسة الجديدة: اثنين من ناقلات الطائرة تكون على خطية واحدة فقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر:. لتطبيق هذه الميزة، بالطبع، يجب أن تكون قادرًا على ذلك العثور على المحددات.

دعونا نقررمثال 1 بالطريقة الثانية:

أ) دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد.

ب) يشكل متجهان مستويان أساسًا إذا لم يكونا على خط واحد (مستقلين خطيًا). دعونا نحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات :
مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساسًا.

إجابة:أ) ، ب) النموذج.

يبدو أكثر إحكاما وأجمل من الحل ذو النسب.

وبمساعدة المادة التي تم دراستها، من الممكن ليس فقط إثبات العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات، ولكن أيضًا إثبات توازي المقاطع والخطوط المستقيمة. دعونا نفكر في بعض المشاكل المتعلقة بأشكال هندسية محددة.

مثال 3

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو متوازي أضلاع.

دليل: ليست هناك حاجة لإنشاء رسم في المشكلة، حيث أن الحل سيكون تحليليًا بحتًا. دعونا نتذكر تعريف متوازي الأضلاع:
متوازي الاضلاع يسمى الشكل الرباعي الذي تكون أضالعه المتقابلة متوازية في أزواج .

ولذلك لا بد من إثبات:
1) التوازي بين الجانبين المتقابلين و؛
2) التوازي بين الجانبين المتقابلين و.

نثبت:

1) ابحث عن المتجهات:

2) ابحث عن المتجهات:

والنتيجة هي نفس المتجه ("نمط المدرسة" - ناقلات متساوية). العلاقة الخطية المتداخلة واضحة تمامًا، ولكن من الأفضل إضفاء الطابع الرسمي على القرار بشكل واضح، مع الترتيب. لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:
، وهو ما يعني أن هذه المتجهات على خط واحد، و.

خاتمة: الأطراف المقابلةالأشكال الرباعية متوازية في أزواج، مما يعني أنها متوازي أضلاع بحكم التعريف. Q.E.D.

المزيد من الأرقامجيدة ومختلفة:

مثال 4

يتم إعطاء رؤوس الشكل الرباعي. أثبت أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف.

للحصول على صياغة أكثر صرامة للدليل، من الأفضل، بالطبع، الحصول على تعريف شبه منحرف، ولكن يكفي أن نتذكر ببساطة كيف يبدو.

هذه مهمة عليك حلها بنفسك. الحل الكاملفي نهاية الدرس.

والآن حان الوقت للانتقال ببطء من الطائرة إلى الفضاء:

كيفية تحديد العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات الفضائية؟

القاعدة مشابهة جدا. لكي يكون متجهان فضائيان على خط واحد، من الضروري والكافي أن تكون إحداثياتهما المقابلة متناسبة.

مثال 5

اكتشف ما إذا كانت المتجهات الفضائية التالية على خط واحد:

أ) ؛
ب)
الخامس)

حل:
أ) دعونا نتحقق مما إذا كان هناك معامل تناسب للإحداثيات المقابلة للمتجهات:

ليس لدى النظام حل، مما يعني أن المتجهات ليست على خط واحد.

يتم إضفاء الطابع الرسمي على "المبسطة" عن طريق التحقق من النسبة. في هذه الحالة:
- الإحداثيات المتناظرة غير متناسبة، مما يعني أن المتجهات ليست على خط مستقيم.

إجابة:المتجهات ليست على خط واحد.

ب-ج) هذه نقاط للقرار المستقل. جربه بطريقتين.

توجد طريقة لفحص المتجهات المكانية للعلاقة الخطية المتداخلة من خلال محدد من الدرجة الثالثة، هذه الطريقةالمشمولة في المادة منتج متجه من المتجهات.

وكما هو الحال في الحالة المستوية، يمكن استخدام الأدوات المدروسة لدراسة توازي الأجزاء المكانية والخطوط المستقيمة.

مرحبا بكم في القسم الثاني:

الاعتماد الخطي واستقلال المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
الأساس المكاني ونظام الإحداثيات التقاربي

العديد من الأنماط التي درسناها على المستوى ستكون صالحة للفضاء. حاولت التقليل من الملاحظات النظرية لأن حصة الأسدلقد تم بالفعل مضغ المعلومات. لكن أنصحك بقراءة الجزء التمهيدي بعناية، حيث ستظهر مصطلحات ومفاهيم جديدة.

الآن، بدلًا من سطح مكتب الكمبيوتر، نستكشف الفضاء ثلاثي الأبعاد. أولا، دعونا ننشئ أساسها. شخص ما الآن في الداخل، وآخر في الخارج، ولكن على أي حال، لا يمكننا الهروب من ثلاثة أبعاد: العرض والطول والارتفاع. لذلك، لبناء الأساس سوف يستغرق ثلاثة المتجهات المكانية. واحد أو اثنين من المتجهات لا يكفي، والرابع غير ضروري.

ومرة أخرى نقوم بالإحماء على أصابعنا. من فضلك ارفع يدك وانشرها جوانب مختلفة الإبهام والسبابة و الاصبع الوسطى . ستكون هذه نواقل، وستنظر في اتجاهات مختلفة أطوال مختلفةو لدي زوايا مختلفةبين أنفسهم. تهانينا، أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد جاهز! بالمناسبة، ليست هناك حاجة لإثبات ذلك للمعلمين، مهما لويت أصابعك بقوة، لكن لا مفر من التعريفات =)

التالي، دعونا نسأل امر هام, هل تشكل أي ثلاثة نواقل أساسًا؟ مساحة ثلاثية الأبعاد ؟ يرجى الضغط بثلاثة أصابع بقوة على الجزء العلوي من مكتب الكمبيوتر. ماذا حدث؟ توجد ثلاثة نواقل في نفس المستوى، وبشكل تقريبي، فقدنا أحد الأبعاد - الارتفاع. هذه النواقل هي متحد المستوىومن الواضح تمامًا أنه لم يتم إنشاء أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تجدر الإشارة إلى أنه ليس من الضروري أن تقع المتجهات المستوية في نفس المستوى، بل يمكن أن تكون فيه طائرات متوازية(فقط لا تفعل ذلك بأصابعك، فقط سلفادور دالي هو الذي قام بهذه الطريقة =)).

تعريف: تسمى المتجهات متحد المستوى، إذا كان هناك مستوى موازٍ له. ومن المنطقي أن نضيف هنا أنه إذا لم يكن هناك مثل هذا المستوى، فلن تكون المتجهات متحدة المستوى.

ثلاثة ناقلات متحدة المستوىدائما تعتمد خطياأي أنه يتم التعبير عنها خطيًا من خلال بعضها البعض. للتبسيط، دعونا نتخيل مرة أخرى أنهما يقعان في نفس المستوى. أولاً، المتجهات ليست متحدة المستوى فحسب، بل يمكن أيضًا أن تكون على خط واحد، ومن ثم يمكن التعبير عن أي متجه من خلال أي متجه. في الحالة الثانية، على سبيل المثال، إذا لم تكن المتجهات على خط واحد، فسيتم التعبير عن المتجه الثالث من خلالها بطريقة فريدة: (ولماذا يسهل تخمينه من المواد الموجودة في القسم السابق).

والعكس صحيح أيضا: ثلاثة نواقل غير متحدة المستوى تكون دائمًا مستقلة خطيًاأي أنه لا يتم التعبير عنهما بأي شكل من الأشكال من خلال بعضهما البعض. ومن الواضح أن هذه المتجهات فقط هي التي يمكنها تشكيل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

تعريف: أساس الفضاء ثلاثي الأبعادتسمى ثلاثية من المتجهات المستقلة خطياً (غير متحدة المستوى)، اتخذت في ترتيب معينوأي متجه للفضاء الطريقة الوحيدةمتحللة على أساس معين، أين هي إحداثيات المتجه في هذا الأساس

دعني أذكرك أنه يمكننا أيضًا القول إن المتجه ممثل في الصورة تركيبة خطيةناقلات الأساس

تم تقديم مفهوم النظام الإحداثي بنفس الطريقة تمامًا كما هو الحال في حالة المستوى؛ نقطة واحدة وأي ثلاثة خطية ناقلات مستقلة:

أصل، و غير متحد المستوىثلاثة أبعاد، اتخذت في ترتيب معين، تعيين نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء ثلاثي الأبعاد :

بالتأكيد، شبكة الإحداثيات"مائل" وغير مريح، ولكن، مع ذلك، يسمح لنا نظام الإحداثيات المبني قطعاًتحديد إحداثيات أي متجه وإحداثيات أي نقطة في الفضاء. كما هو الحال مع المستوى، فإن بعض الصيغ التي ذكرتها بالفعل لن تعمل في نظام الإحداثيات المتقارب للفضاء.

الحالة الخاصة الأكثر شيوعًا وملاءمة لنظام الإحداثيات المتقاربة، كما يخمن الجميع، هي نظام إحداثيات الفضاء المستطيل:

نقطة في الفضاء تسمى أصل، و متعامدتم تعيين الأساس نظام الإحداثيات الفضائية المستطيلة الديكارتية . صورة مألوفة:

قبل الانتقال إلى المهام العملية، دعونا ننظم المعلومات مرة أخرى:

ل ثلاثة ناقلاتمساحة العبارات التالية متكافئة:
1) المتجهات مستقلة خطياً؛
2) تشكل المتجهات الأساس؛
3) المتجهات ليست مستوية؛
4) لا يمكن التعبير عن المتجهات خطيًا من خلال بعضها البعض؛
5) المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يختلف عن الصفر.

أعتقد أن التصريحات المعاكسة مفهومة.

يتم التحقق تقليديًا من الاعتماد الخطي/استقلال المتجهات الفضائية باستخدام المحدد (النقطة 5). متبقي المهام العمليةسيكون لها طابع جبري واضح. لقد حان الوقت لتعليق عصا الهندسة وممارسة مضرب البيسبول للجبر الخطي:

ثلاثة ناقلات للفضاءتكون مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات المتجهات المعطاة يساوي الصفر: .

أود أن ألفت انتباهكم إلى فارق بسيط تقني: يمكن كتابة إحداثيات المتجهات ليس فقط في الأعمدة، ولكن أيضًا في الصفوف (لن تتغير قيمة المحدد بسبب هذا - راجع خصائص المحددات). لكنه أفضل بكثير في الأعمدة، لأنه أكثر فائدة في حل بعض المشاكل العملية.

بالنسبة لأولئك القراء الذين نسوا قليلاً طرق حساب المحددات، أو ربما ليس لديهم فهم يذكر لها على الإطلاق، أوصي بأحد أقدم دروسي: كيفية حساب المحدد؟

مثال 6

تحقق مما إذا كانت المتجهات التالية تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد:

حل: في الواقع، الحل بأكمله يكمن في حساب المحدد.

أ) لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات (يتم الكشف عن المحدد في السطر الأول):

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا (وليست متحدة المستوى) وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

إجابة: هذه المتجهات تشكل الأساس

ب) هذه نقطة للقرار المستقل. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

قابل و المهام الإبداعية:

مثال 7

عند أي قيمة للمعلمة ستكون المتجهات مستوية؟

حل: تكون المتجهات مستوية إذا وفقط إذا كان المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات يساوي الصفر:

في الأساس، تحتاج إلى حل معادلة ذات محدد. نحن ننقض على الأصفار مثل الطائرات الورقية على الجربوع - من الأفضل فتح المحدد في السطر الثاني والتخلص فورًا من السلبيات:

ونقوم بمزيد من التبسيط ونختصر الأمر إلى أبسط معادلة خطية:

إجابة: في

من السهل التحقق هنا؛ للقيام بذلك، تحتاج إلى التعويض بالقيمة الناتجة في المحدد الأصلي والتأكد من ذلك ، فتحه مرة أخرى.

في الختام، دعونا ننظر إلى واحد آخر مهمة نموذجية، وهو أكثر جبرية بطبيعته ويتم تضمينه تقليديًا في سياق الجبر الخطي. إنه أمر شائع جدًا لدرجة أنه يستحق موضوعًا خاصًا به:

أثبت أن 3 نواقل تشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد
وأوجد إحداثيات المتجه الرابع على هذا الأساس

مثال 8

يتم إعطاء المتجهات. وضح أن المتجهات تشكل أساسًا في فضاء ثلاثي الأبعاد وأوجد إحداثيات المتجه في هذا الأساس.

حل: أولا، دعونا نتعامل مع هذه الحالة. حسب الشرط، يتم إعطاء أربعة متجهات، وكما ترون، لديهم بالفعل إحداثيات في بعض الأساس. ما هو هذا الأساس لا يهمنا. هل انت مهتم؟ الشيء التالي: ثلاثة نواقل قد تشكل أساسًا جديدًا. وتتوافق المرحلة الأولى تمامًا مع حل المثال 6؛ ومن الضروري التحقق مما إذا كانت المتجهات مستقلة خطيًا حقًا:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات المتجهات:

مما يعني أن المتجهات مستقلة خطيًا وتشكل أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

! مهم : إحداثيات المتجهات بالضرورةاكتب إلى أعمدةالمحدد، وليس في السلاسل. خلاف ذلك، سيكون هناك ارتباك في خوارزمية الحل الإضافية.

أساس(اليونانية القديمة βασις، الأساس) - مجموعة من المتجهات في الفضاء المتجه بحيث يمكن تمثيل أي متجه في هذا الفضاء بشكل فريد كمجموعة خطية من المتجهات من هذه المجموعة - ناقلات الأساس

أساس في الفضاء Rn هو أي نظام من ن- ناقلات مستقلة خطيا. يمكن تمثيل كل متجه من R n غير مدرج في الأساس كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية، أي. موزعة على الأساس.
اسمحوا ان يكون أساس الفضاء R n و . ثم هناك أرقام 1، 2، …، 5 ن هكذا .
تُسمى معاملات التمدد 1، 2، ...، 5 n بإحداثيات المتجهات في الأساس B. إذا تم إعطاء الأساس، فسيتم تحديد معاملات المتجهات بشكل فريد.

تعليق. في كل نمساحة متجهة ذات أبعاد، يمكنك اختيار عدد لا نهائي من القواعد المختلفة. في قواعد مختلفة، نفس المتجه لديه إحداثيات مختلفة، ولكن الوحيدين في الأساس المختار. مثال.قم بتوسيع المتجه إلى قاعدته.
حل. . لنستبدل إحداثيات جميع المتجهات وننفذ الإجراءات عليها:

معادلة الإحداثيات نحصل على نظام المعادلات:

دعونا حلها: .
وهكذا نحصل على التحلل: .
في الأساس، المتجه له إحداثيات.

نهاية العمل -

هذا الموضوع ينتمي إلى القسم:

مفهوم المتجهات. العمليات الخطية على المتجهات

المتجه هو قطعة موجهة لها طول معين، أي قطعة ذات طول معين لها إحدى نقاط حدها، ويسمى طول المتجه بمعامله ويشار إليه بالرمز معامل المتجه. يسمى صفراً؛ يتم تعيينه إذا تزامنت بدايته ونهايته؛ فالمتجه الصفري ليس له متجه محدد.

اذا احتجت مواد اضافيةحول هذا الموضوع، أو لم تجد ما كنت تبحث عنه، ننصحك باستخدام البحث في قاعدة بيانات الأعمال لدينا:

ماذا سنفعل بالمواد المستلمة:

إذا كانت هذه المادة مفيدة لك، فيمكنك حفظها على صفحتك في في الشبكات الاجتماعية:

أساس الفضاءيسمون هذا النظام من المتجهات حيث يمكن تمثيل جميع المتجهات الأخرى في الفضاء كمجموعة خطية من المتجهات المضمنة في الأساس.
في الممارسة العملية، يتم تنفيذ كل هذا بكل بساطة. يتم فحص الأساس، كقاعدة عامة، على المستوى أو في الفضاء، ولهذا تحتاج إلى العثور على محدد مصفوفة من الدرجة الثانية والثالثة تتكون من إحداثيات المتجهات. أدناه مكتوبة بشكل تخطيطي الظروف التي بموجبها تشكل المتجهات الأساس

ل قم بتوسيع المتجه b إلى المتجهات الأساسية
e,e...,e[n] من الضروري إيجاد المعاملات x, ..., x[n] التي يكون فيها الجمع الخطي للمتجهات e,e...,e[n] يساوي المتجه ب:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
لهذا معادلة المتجهاتينبغي تحويلها إلى النظام المعادلات الخطيةوإيجاد الحلول. وهذا أيضًا سهل التنفيذ.
يتم استدعاء المعاملات الموجودة x، ...، x[n] إحداثيات المتجه ب في الأساسه،ه...،ه[ن].
دعنا ننتقل إلى الجانب العملي للموضوع.

تحليل المتجه إلى ناقلات الأساس

مهمة 1. تحقق مما إذا كانت المتجهات a1، a2 تشكل أساسًا على المستوى

1) أ1 (3؛ 5)، أ2 (4؛ 2)
الحل: نؤلف محددًا من إحداثيات المتجهات ونحسبه

المحدد ليس صفراً، لذلك المتجهات مستقلة خطيًا، مما يعني أنها تشكل أساسًا.

2) أ1 (2؛-3)، أ2 (5؛-1)
الحل: نحسب المحدد المكون من المتجهات

المحدد يساوي 13 (لا يساوي الصفر) - ويترتب على ذلك أن المتجهات a1، a2 هي الأساس على المستوى.

---=================---

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة النموذجية من برنامج MAUP في تخصص "الرياضيات العليا".

المهمة 2. أظهر أن المتجهات a1، a2، a3 تشكل أساسًا لمساحة متجهة ثلاثية الأبعاد، وقم بتوسيع المتجه b وفقًا لهذا الأساس (عند حل نظام من المعادلات الخطية المعادلات الجبريةاستخدم طريقة كريمر).
1) a1 (3; 1; 5)، a2 (3; 2; 8)، a3 (0; 1; 2)، ب (−3; 1; 2).
الحل: أولاً، فكر في نظام المتجهات a1، a2، a3 وتحقق من محدد المصفوفة A

مبنية على ناقلات غير صفرية. تحتوي المصفوفة على عنصر صفر واحد، لذلك من الأفضل حساب المحدد كجدول في العمود الأول أو الصف الثالث.

ونتيجة للحسابات، وجدنا أن المحدد يختلف عن الصفر، وبالتالي المتجهات a1، a2، a3 مستقلة خطيًا.
بحكم التعريف، تشكل المتجهات أساسًا في R3. دعنا نكتب الجدول الزمني للمتجه b بناءً على

تكون المتجهات متساوية عندما تكون الإحداثيات المقابلة لها متساوية.
ولذلك، من المعادلة المتجهة نحصل على نظام المعادلات الخطية

دعونا نحل SLAE طريقة كريمر. للقيام بذلك، نكتب نظام المعادلات في النموذج

المحدد الرئيسي SLAE يساوي دائمًا المحدد المكون من المتجهات الأساسية

لذلك، في الممارسة العملية لا يتم احتسابها مرتين. لإيجاد المحددات المساعدة، نضع عمودًا من الحدود الحرة مكان كل عمود من المحددات الرئيسية. يتم حساب المحددات باستخدام قاعدة المثلث



دعونا نعوض بالمحددات الموجودة في صيغة كريمر



لذا، فإن مفكوك المتجه b بالنسبة للأساس له الصيغة b=-4a1+3a2-a3. إحداثيات المتجه b في الأساس a1، a2، a3 ستكون (-4،3، 1).

2)أ1 (1؛ -5؛ 2)، أ2 (2؛ 3؛ 0)، أ3 (1؛ -1؛ 1)، ب (3؛ 5؛ 1).
الحل: نتحقق من المتجهات على أساس - نؤلف محددًا من إحداثيات المتجهات ونحسبه

وبالتالي فإن المحدد لا يساوي الصفر تشكل المتجهات أساسًا في الفضاء. يبقى العثور على جدول المتجه b من خلال هذا الأساس. للقيام بذلك، نكتب المعادلة المتجهة

وتحويلها إلى نظام المعادلات الخطية

دعونا نكتبها معادلة المصفوفة

بعد ذلك، بالنسبة لصيغ كرامر، نجد محددات مساعدة



نحن نطبق صيغ كريمر



لذا فإن المتجه المعطى b له جدول زمني من خلال متجهين أساسيين b=-2a1+5a3، وإحداثياته ​​في الأساس تساوي b(-2,0, 5).

في حساب التفاضل والتكامل المتجهات وتطبيقاته أهمية عظيمةلديه مهمة تحلل تتمثل في تمثيل متجه معين كمجموع عدة نواقل تسمى مكونات معين

المتجه. هذه المشكلة، التي لها بشكل عام عدد لا نهائي من الحلول، تصبح محددة تمامًا إذا قمنا بتحديد بعض عناصر المتجهات المكونة.

2. أمثلة على التحلل.

دعونا نفكر في العديد من حالات التحلل الشائعة جدًا.

1. قم بتحليل متجه معين c إلى متجهين مكونين أحدهما، على سبيل المثال a، معطى من حيث الحجم والاتجاه.

تكمن المشكلة في تحديد الفرق بين ناقلين. في الواقع، إذا كانت المتجهات مكونات للمتجه c، فيجب تحقيق المساواة

ومن هنا يتم تحديد ناقل المكون الثاني

2. قم بتحليل المتجه c المحدد إلى مكونين، يجب أن يقع أحدهما طائرة معينةوالثاني يجب أن يقع على خط مستقيم معين أ.

لتحديد المتجهات المكونة، نقوم بتحريك المتجه c بحيث تتزامن بدايته مع نقطة تقاطع الخط المستقيم المحدد مع المستوى (النقطة O - انظر الشكل 18). من نهاية المتجه c (النقطة C) نرسم خطًا مستقيمًا إلى

التقاطع مع المستوى (B هي نقطة التقاطع)، ثم من النقطة C نرسم خطًا مستقيمًا موازيًا

المتجهات وستكون هي المطلوبة، أي بطبيعة الحال، يكون التمدد المشار إليه ممكنًا إذا كان الخط المستقيم a والمستوى غير متوازيين.

3. بالنظر إلى ثلاثة متجهات متحدة المستوى a وb وc، والمتجهات ليست على خط واحد. مطلوب تحليل المتجه c إلى ناقلات

دعونا نجلب المتجهات الثلاثة المعطاة إلى نقطة واحدة O. بعد ذلك، نظرًا لاستواءها المشترك، فإنها ستكون موجودة في نفس المستوى. على ناقلات معينةمع كيفية بناء متوازي الأضلاع على القطر، حيث تكون جوانبه متوازية مع خطوط عمل المتجهات (الشكل 19). هذا البناء ممكن دائمًا (ما لم تكن المتجهات على خط واحد) وفريدًا من نوعه. من الشكل. 19 ومن الواضح أن