أعتقد أنك تستحق أكثر من هذا. هذا هو مفتاحي في علم المثلثات:

• ارسم القبة والجدار والسقف
• الدوال المثلثية ليست سوى نسب مئوية من هذه الأشكال الثلاثة.

استعارة للجيب وجيب التمام: القبة

بدلًا من مجرد النظر إلى المثلثات نفسها، تخيلها وهي تعمل من خلال إيجاد بعضها مثال خاصمن الحياة.

تخيل أنك في منتصف قبة وتريد تعليق شاشة جهاز عرض الأفلام. تشير بإصبعك إلى القبة بزاوية معينة "x"، ويجب أن تكون الشاشة معلقة من هذه النقطة.

الزاوية التي تشير إليها تحدد:

• جيب (x) = خطيئة (x) = ارتفاع الشاشة (من الأرض إلى نقطة تركيب القبة)
• جيب التمام (س) = جتا (س) = المسافة منك إلى الشاشة (حسب الطابق)
• الوتر، المسافة منك إلى أعلى الشاشة، هي نفسها دائمًا، تساوي نصف قطر القبة

هل تريد أن تكون الشاشة كبيرة قدر الإمكان؟ علقها فوقك مباشرة.

هل تريد أن تكون الشاشة معلقة بعيدًا عنك قدر الإمكان؟ علقها بشكل مستقيم وعمودي. سيكون ارتفاع الشاشة صفرًا في هذا الوضع وستتدلى بعيدًا، كما طلبت.

يتناسب الارتفاع والمسافة من الشاشة عكسيًا: كلما اقتربت الشاشة من التعليق، زاد ارتفاعها.

جيب التمام وجيب التمام هي النسب المئوية

للأسف، لم يشرح لي أحد خلال سنوات دراستي أن الدوال المثلثية جيب التمام وجيب التمام ليست أكثر من مجرد نسب مئوية. وتتراوح قيمها من +100% إلى 0 إلى -100%، أو من الحد الأقصى الموجب إلى الصفر إلى الحد الأقصى السلبي.

لنفترض أنني دفعت ضريبة قدرها 14 روبل. أنت لا تعرف كم هو. ولكن إذا قلت إنني دفعت ضريبة بنسبة 95%، فسوف تفهم أنني كنت مختلساً بكل بساطة.

الارتفاع المطلق لا يعني أي شيء. ولكن إذا كانت قيمة الجيب هي 0.95، فأنا أفهم أن التلفزيون معلق تقريبًا أعلى قبة منزلك. قريبا جدا سوف يصل أقصى ارتفاعفي وسط القبة، ثم يبدأ في الانخفاض مرة أخرى.

فكيف يمكننا حساب هذه النسبة؟ الأمر بسيط جدًا: قم بتقسيم ارتفاع الشاشة الحالي على الحد الأقصى الممكن (نصف قطر القبة، والذي يُسمى أيضًا الوتر).

لهذاقيل لنا أن "جيب التمام = الضلع المقابل / الوتر". الأمر كله يتعلق بالحصول على الفائدة! من الأفضل تعريف الجيب على أنه "النسبة المئوية للارتفاع الحالي من الحد الأقصى الممكن". (يصبح جيب التمام سالبًا إذا كانت زاويتك تشير إلى "تحت الأرض". ويصبح جيب التمام سالبًا إذا كانت الزاوية تشير إلى نقطة القبة خلفك.)

دعونا نبسط الحسابات بافتراض أننا في المركز دائرة الوحدة(نصف القطر = 1). يمكننا تخطي عملية القسمة ونأخذ جيب الجيب مساويًا للارتفاع.

كل دائرة هي في الأساس وحدة واحدة، يتم تكبيرها أو تقليل حجمها الحجم الصحيح. لذا حدد اتصالات دائرة الوحدة وقم بتطبيق النتائج على حجم دائرتك المحددة.

التجربة: خذ أي زاوية وانظر ماذا نسبة مئويةالارتفاع إلى العرض يعرض:

الرسم البياني لنمو قيمة الجيب ليس مجرد خط مستقيم. تغطي الـ 45 درجة الأولى 70% من الارتفاع، لكن الدرجات العشر الأخيرة (من 80 درجة إلى 90 درجة) تغطي 2% فقط.

وهذا سيجعل الأمر أكثر وضوحًا بالنسبة لك: إذا مشيت في دائرة، فإنك ترتفع عموديًا تقريبًا عند درجة 0، ولكن مع اقترابك من قمة القبة، يتغير الارتفاع بشكل أقل فأقل.

الظل والقاطع. حائط

في أحد الأيام قام أحد الجيران ببناء جدار بجوار بعضها البعضإلى القبة الخاصة بك. بكيت وجهة نظرك من النافذة وسعر جيد لإعادة البيع!

ولكن هل من الممكن الفوز بطريقة أو بأخرى في هذه الحالة؟

بكل تأكيد نعم. ماذا لو علقنا شاشة فيلم على حائط جارنا؟ استهدفت الزاوية (x) واحصل على:

• tan(x) = tan(x) = ارتفاع الشاشة على الحائط
• المسافة منك إلى الحائط: 1 (هذا هو نصف قطر القبة، والجدار لا يتحرك في أي مكان منك، أليس كذلك؟)
• secant(x) = sec(x) = "طول السلم" منك وأنت واقف في وسط القبة إلى أعلى الشاشة المعلقة

دعونا نوضح بعض النقاط المتعلقة بارتفاع الشاشة أو المماس.

• يبدأ عند 0، ويمكن أن يرتفع إلى ما لا نهاية. يمكنك تمديد الشاشة لأعلى وأعلى على الحائط لإنشاء لوحة لا نهاية لها لمشاهدة فيلمك المفضل! (لمثل هذا المبلغ الضخم، بالطبع، سيتعين عليك إنفاق الكثير من المال).
• الظل هو مجرد نسخة أكبر من الجيب! وبينما تتباطأ الزيادة في الجيب كلما تحركت نحو قمة القبة، يستمر الظل في النمو!

لدى Sekansu أيضًا ما يتباهى به:

• القاطع يبدأ عند 1 (السلم على الأرض، منك إلى الحائط) ويبدأ في الارتفاع من هناك
• القاطع دائمًا أطول من الظل. يجب أن يكون السلم المائل الذي تستخدمه لتعليق شاشتك أطول من الشاشة نفسها، أليس كذلك؟ (مع الأحجام غير الواقعية، عندما تكون الشاشة طويلة جدًا ويجب وضع السلم بشكل عمودي تقريبًا، تكون أحجامها هي نفسها تقريبًا. ولكن حتى في هذه الحالة سيكون القاطع أطول قليلاً).

تذكر أن القيم هي نسبه مئويه. إذا قررت تعليق الشاشة بزاوية 50 درجة، فإن tan(50)=1.19. شاشتك أكبر بنسبة 19% من المسافة إلى الحائط (نصف قطر القبة).

(أدخل x=0 وتحقق من حدسك - tan(0) = 0 و sec(0) = 1.)

ظل التمام وقاطع التمام. سقف

بشكل لا يصدق، قرر جارك الآن بناء سقف فوق قبتك. (ما خطبه؟ يبدو أنه لا يريد أن تتجسس عليه وهو يتجول في الفناء عارياً...)

حسنًا، حان الوقت لبناء مخرج إلى السطح والتحدث مع جارك. اخترت زاوية الميل والبدء في البناء:

• المسافة الرأسية بين مخرج السقف والأرضية تكون دائمًا 1 (نصف قطر القبة)
• ظل التمام (x) = المهد (x) = المسافة بين قمة القبة ونقطة الخروج
• قاطع التمام (x) = csc(x) = طول المسار إلى السطح

يصف المماس والقاطع الجدار، بينما يصف المماس والقاطع السقف.

استنتاجاتنا البديهية هذه المرة تشبه الاستنتاجات السابقة:

• إذا أخذت الزاوية التي تساوي 0 درجة، فإن خروجك إلى السطح سيستمر إلى الأبد، لأنه لن يصل إلى السقف أبدًا. مشكلة.
• سيتم الحصول على أقصر "سلم" إلى السطح إذا قمت ببنائه بزاوية 90 درجة على الأرض. سيكون ظل التمام مساويًا لـ 0 (نحن لا نتحرك على طول السقف على الإطلاق، بل نخرج بشكل متعامد تمامًا)، وسيكون قاطع التمام مساويًا لـ 1 ("طول السلم" سيكون في حده الأدنى).

تصور الاتصالات

إذا تم رسم الحالات الثلاث في مزيج من السقف والجدار والقبة، فستكون النتيجة كما يلي:

حسنًا، لا يزال المثلث هو نفسه، وقد زاد حجمه ليصل إلى الحائط والسقف. لدينا جوانب رأسية (الجيب، الظل)، وجوانب أفقية (جيب التمام، ظل التمام) و"الوتر" (القاطع، قاطع التمام). (من خلال الأسهم يمكنك رؤية أين يصل كل عنصر. قاطع التمام هو المسافة الإجمالية بينك وبين السقف).

القليل من السحر. جميع المثلثات تشترك في نفس المساواة:

من نظرية فيثاغورس (أ 2 + ب 2 = ج 2) نرى كيف ترتبط أضلاع كل مثلث. بالإضافة إلى ذلك، يجب أن تكون نسب "الارتفاع إلى العرض" هي نفسها لجميع المثلثات. (فقط تراجع عن الأمر مثلث كبيرلتقلل. نعم، لقد تغير الحجم، ولكن نسب العرض إلى الارتفاع ستبقى كما هي).

بمعرفة أي جانب في كل مثلث يساوي 1 (نصف قطر القبة)، يمكننا بسهولة حساب أن "sin/cos = tan/1".

لقد حاولت دائمًا أن أتذكر هذه الحقائق من خلال التصور البسيط. في الصورة ترى بوضوح هذه التبعيات وتفهم من أين أتت. هذه التقنية كثيرة أفضل من الحفظالصيغ الجافة.

لا تنسى الزوايا الأخرى

بسست... لا تتعثر في رسم بياني واحد، معتقدًا أن الظل دائمًا أقل من 1. إذا قمت بزيادة الزاوية، يمكنك الوصول إلى السقف دون الوصول إلى الحائط:

اتصالات فيثاغورس تعمل دائما، ولكن الأحجام النسبيةقد تكون مختلفة.

(ربما لاحظت أن نسب الجيب وجيب التمام تكون دائمًا الأصغر لأنها موجودة داخل القبة).

لتلخيص: ماذا نحتاج أن نتذكر؟

بالنسبة لمعظمنا، أود أن أقول أن هذا سيكون كافيا:

• يشرح علم المثلثات تشريح الكائنات الرياضية مثل الدوائر والفواصل الزمنية المتكررة
• يوضح تشبيه القبة/الجدار/السقف العلاقة بين الدوال المثلثية المختلفة
• نتيجة الدوال المثلثيةهي النسب التي نطبقها على البرنامج النصي لدينا.

لا تحتاج إلى حفظ صيغ مثل 1 2 + cot 2 = csc 2 . فهي مناسبة فقط ل اختبارات غبية، حيث يتم تمرير معرفة الحقيقة على أنها فهم لها. خذ دقيقة من وقتك لترسم نصف دائرة على شكل قبة وجدار وسقف، وقم بتسمية العناصر، وستأتي إليك جميع الصيغ على الورق.

التطبيق: وظائف عكسية

أي دالة مثلثية تأخذ زاوية كمعلمة إدخال وترجع النتيجة كنسبة مئوية. الخطيئة (30) = 0.5. وهذا يعني أن الزاوية التي قياسها 30 درجة تشغل 50% من أقصى ارتفاع.

تتم كتابة الدالة المثلثية العكسية كـ sin -1 أو arcsin. وغالبًا ما يتم كتابته أيضًا في لغات مختلفةبرمجة.

إذا كان ارتفاعنا 25% من ارتفاع القبة، فما قياس الزاوية؟

في جدول النسب الخاص بنا، يمكنك العثور على نسبة يتم فيها قسمة القاطع على 1. على سبيل المثال، القاطع على 1 (الوتر إلى الأفقي) سيكون مساويًا لـ 1 مقسومًا على جيب التمام:

لنفترض أن القاطع لدينا هو 3.5، أي 350% من نصف قطر دائرة الوحدة. ما زاوية الميل على الحائط التي تتوافق معها هذه القيمة؟

ملحق: بعض الأمثلة

مثال: أوجد جيب الزاوية x.

مهمة مملة. دعونا نجعل الأمر المبتذل "العثور على الجيب" هو "ما هو الارتفاع كنسبة مئوية من الحد الأقصى (الوتر)؟"

أولاً، لاحظ أن المثلث قد تم تدويره. ثيريس حرج في ذلك. للمثلث أيضًا ارتفاع، وهو موضح باللون الأخضر في الشكل.

ما هو الوتر يساوي؟ ومن خلال نظرية فيثاغورس نعلم أن:

3 2 + 4 2 = الوتر 2 25 = الوتر 2 5 = الوتر

بخير! الجيب هو النسبة المئوية لارتفاع الضلع الأطول للمثلث، أو الوتر. في مثالنا، الجيب هو 3/5 أو 0.60.

وبطبيعة الحال، يمكننا أن نذهب بعدة طرق. الآن بعد أن علمنا أن جيب الجيب يساوي 0.60، يمكننا ببساطة إيجاد قوس جيب الجيب:

آسين (0.6) = 36.9

وهنا نهج آخر. لاحظ أن المثلث "يواجه الحائط"، لذا يمكننا استخدام الظل بدلًا من الجيب. الارتفاع هو 3، والمسافة إلى الجدار هي 4، وبالتالي فإن الظل هو ¾ أو 75٪. يمكننا استخدام ظل قوسي للانتقال من قيمة النسبة المئوية إلى الزاوية:

تان = 3/4 = 0.75 طن(0.75) = 36.9 مثال: هل ستسبح إلى الشاطئ؟

أنت في قارب ولديك ما يكفي من الوقود لقطع مسافة كيلومترين. أنت الآن على بعد 0.25 كم من الساحل. ما هي الزاوية القصوى للشاطئ التي يمكنك السباحة إليها حتى يكون لديك ما يكفي من الوقود؟ إضافة إلى بيان المشكلة: لدينا فقط جدول لقيم جيب التمام.

ما لدينا؟ الساحليمكن تمثيله على أنه "جدار" في مثلثنا الشهير، و"طول السلم" المتصل بالجدار هو أقصى مسافة ممكنة يقطعها القارب إلى الشاطئ (2 كم). يظهر قاطع.

أولا، عليك أن تذهب إلى النسب المئوية. لدينا 2 / 0.25 = 8، أي أننا نستطيع السباحة مسافة تساوي 8 أضعاف المسافة المستقيمة إلى الشاطئ (أو إلى الحائط).

السؤال الذي يطرح نفسه: "ما هو القاطع للرقم 8؟" لكن لا يمكننا الإجابة عليه، حيث أنه ليس لدينا سوى جيب التمام القوسي.

نحن نستخدم تبعياتنا المشتقة مسبقًا لربط القاطع بجيب التمام: "sec/1 = 1/cos"

سكان 8 يساوي جيب التمام⅛. الزاوية التي جيب تمامها ⅛ تساوي acos(1/8) = 82.8. وهذه هي أكبر زاوية يمكننا تحملها على متن قارب بكمية محددة من الوقود.

ليس سيئا، أليس كذلك؟ لولا تشبيه القبة بالجدار والسقف، كنت سأضيع في مجموعة من الصيغ والحسابات. إن تصور المشكلة يبسط إلى حد كبير البحث عن حل، ومن المثير للاهتمام أيضًا معرفة أي دالة مثلثية ستساعد في النهاية.

فكر عند حل كل مشكلة بالطريقة الآتية: هل أنا مهتم بالقبة (sin/cos)، أو الجدار (tan/sec) أو السقف (مهد/csc)؟

وسوف يصبح علم المثلثات أكثر متعة. حسابات سهلة بالنسبة لك!

درس حول موضوع "جيب التمام وجيب التمام والظل زاوية حادةمثلث قائم"

أهداف الدرس:

تعليمي - تقديم مفهوم الجيب وجيب التمام وظل الزاوية الحادة في المثلث القائم، واستكشاف التبعيات والعلاقات بين هذه الكميات؛

تطوير - تشكيل مفهوم الجيب وجيب التمام والظل كوظائف للزاوية، ومجال تعريف الدوال المثلثية، والتطوير التفكير المنطقيتطوير الكلام الرياضي الصحيح.

التعليمية - تنمية مهارات العمل المستقل وثقافة السلوك والدقة في حفظ السجلات.

تقدم الدرس:

1. تنظيم الوقت

"التعليم ليس عدد الدروس المستفادة، بل عدد ما يتم فهمه. لذا، إذا كنت تريد المضي قدمًا، فسارع ببطء وكن حذرًا".

2. دوافع الدرس.

قال أحد الحكماء: " الظهور الاعلىالروح هي العقل. أعلى مظهر من مظاهر العقل هو الهندسة. الخلية الهندسية عبارة عن مثلث. إنه لا ينضب مثل الكون. الدائرة هي روح الهندسة. "اعرف الدائرة، ولن تعرف روح الهندسة فحسب، بل ستسمو بروحك."

سنحاول إجراء القليل من البحث معك. دعنا نشاركك أفكارك التي تخطر على بالك، ولا تخف من ارتكاب الأخطاء، فأي فكرة يمكن أن تعطينا اتجاهًا جديدًا للبحث. قد لا تبدو إنجازاتنا عظيمة لشخص ما، لكنها ستكون إنجازاتنا بأنفسنا!

3. تحديث المعرفة الأساسية.

ما الزوايا التي يمكن أن تكون هناك؟

ما هي المثلثات؟

ما هي العناصر الرئيسية التي تحدد المثلث؟

ما هي أنواع المثلثات الموجودة حسب الجوانب؟

ما هي أنواع المثلثات الموجودة حسب الزوايا؟

ما هي الساق؟

ما هو الوتر؟

ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟

ما هي العلاقات بين أضلاع وزوايا هذا المثلث التي تعرفها؟

لماذا تحتاج إلى معرفة العلاقات بين الجوانب والزوايا؟

ما هي المهام في الحياة التي قد تؤدي إلى الحاجة إلى الحساب أطراف غير معروفةفي مثلث؟

مصطلح "الوتر" يأتي من كلمة اليونانية"hypoinouse" تعني "التمدد على شيء ما" أو "التعاقد". الكلمة مشتقة من صورة القيثارات اليونانية القديمة، حيث يتم شد الأوتار عند طرفي قائمتين متعامدتين بشكل متبادل. مصطلح "cathetus" يأتي من الكلمة اليونانية "kathetos"، والتي تعني بداية "خط راسيا"، "عمودي".

وقال إقليدس: "الساقان هما الضلعان المحيطان بالزاوية القائمة".

في اليونان القديمةكانت طريقة بناء مثلث قائم الزاوية على الأرض معروفة بالفعل. للقيام بذلك، استخدموا حبلًا تم ربطه بـ 13 عقدة، على نفس المسافة من بعضها البعض. أثناء بناء الأهرامات في مصر، تم صنع المثلثات القائمة بهذه الطريقة. ربما هذا هو السبب مثلث قائممع الجانبين 3،4،5 ودعا المثلث المصري.

4. دراسة مواد جديدة.

في العصور القديمة، كان الناس يراقبون النجوم، وبناءً على هذه الملاحظات، يحتفظون بتقويم، ويحسبون مواعيد البذر، ووقت فيضانات الأنهار؛ أبحرت السفن في البحر والقوافل على الأرض في رحلتها عبر النجوم. كل هذا أدى إلى ضرورة تعلم كيفية حساب أضلاع المثلث الذي تقع رؤوسه على الأرض، والثالث يمثل بنقطة في السماء المرصعة بالنجوم. وبناء على هذه الحاجة نشأ علم المثلثات - وهو العلم الذي يدرس الروابط بين أضلاع المثلث.

هل تعتقد أن العلاقات التي نعرفها بالفعل كافية لحل مثل هذه المشاكل؟

الغرض من درس اليوم هو استكشاف روابط وتبعيات جديدة، واستخلاص العلاقات، والتي ستتمكن من حل مثل هذه المشكلات باستخدامها في دروس الهندسة التالية.

دعونا نشعر وكأننا في هذا الدور العاملين العلميينواتباع عباقرة العصور القديمة طاليس وإقليدس وفيثاغورس دعونا نسير على الطريقالبحث عن الحقيقة.

لهذا نحتاج اساس نظرى.

قم بتمييز الزاوية A والساق BC باللون الأحمر.

تسليط الضوء أخضر AC الساق.

دعونا نحسب الجزء الذي يمثل الساق المقابلة للزاوية الحادة A إلى الوتر، ولهذا نقوم بإنشاء النسبة الجانب المعاكسإلى الوتر:

هذه العلاقة لها اسم خاص - بحيث يفهم ذلك كل شخص في كل نقطة من الكوكب نحن نتحدث عنحول رقم يمثل نسبة الضلع المقابل للزاوية الحادة إلى الوتر. هذه الكلمة جيب. اكتبه. وبما أن كلمة جيب بدون اسم الزاوية تفقد كل معناها، فإن التدوين الرياضي يكون كما يلي:

الآن قم بتكوين نسبة الساق المجاورة إلى الوتر للزاوية الحادة A:

هذه النسبة تسمى جيب التمام. تدوينها الرياضي:

لنفكر في علاقة أخرى للزاوية الحادة A: نسبة الضلع المقابل لها الساق المجاورة:

وتسمى هذه النسبة الظل. تدوينها الرياضي:

5. توحيد المواد الجديدة.

دعونا نعزز اكتشافاتنا الوسيطة.

سين هو...

جيب التمام هو...

الظل هو ...

الخطيئة أ =	خطيئة عن =	الخطيئة أ 1 =
كوس أ =	كوس عن =	كوس أ 1 =
تان أ =	tg عن =	تان أ 1 =

حل الأرقام 88، ​​889، 892 شفوياً (العمل في أزواج).

استخدام المعرفة المكتسبة لحلها مشكلة عملية:

"من برج المنارة الذي يبلغ ارتفاعه 70 مترًا، يمكن رؤية سفينة بزاوية 3 درجات مع الأفق. كيف تبدو

المسافة من المنارة إلى السفينة؟

يتم حل المشكلة أمامي. أثناء المناقشة، نقوم بالرسم والملاحظات اللازمة على السبورة وفي الدفاتر.

عند حل المشكلة، يتم استخدام جداول Bradis.

وانظر حل المشكلة ص175.

حل رقم 902(1).

6. تمرين للعيون.

دون أن تدير رأسك، انظر حول جدار الفصل الدراسي حول المحيط في اتجاه عقارب الساعة، والسبورة حول المحيط عكس اتجاه عقارب الساعة، والمثلث المرسوم على الحامل في اتجاه عقارب الساعة والمثلث المتساوي عكس اتجاه عقارب الساعة. أدر رأسك إلى اليسار وانظر إلى خط الأفق، والآن إلى طرف أنفك. أغمض عينيك، عد إلى 5، افتح عينيك و...

سنضع أيدينا على أعيننا،
دعونا ننشر أرجلنا القوية.
تحول إلى اليمين
دعونا ننظر حولنا بشكل مهيب.
وتحتاج إلى الذهاب إلى اليسار أيضًا
أنظر من تحت راحتي يديك.
و- إلى اليمين! وأكثر من ذلك
فوق كتفك الأيسر!
الآن دعونا نواصل العمل.

7. عمل مستقلطلاب.

حل لا.

8. ملخص الدرس. انعكاس. د / ض.

ما هي الأشياء الجديدة التي تعلمتها؟ في الدرس:

هل فكرت...

قمت بتحليل...

استلمت …

لقد خلصت...

لقد تجدد معجمالمصطلحات التالية...

بدأ علم العالم بالهندسة. لا يمكن لأي شخص أن يتطور ثقافيًا وروحيًا حقًا إذا لم يدرس الهندسة في المدرسة. نشأت الهندسة ليس فقط من الناحية العملية، ولكن أيضًا من الاحتياجات الروحية للإنسان.

هكذا أوضحت بطريقة شعرية حبها للهندسة

أنا أحب الهندسة...

أقوم بتدريس الهندسة لأنني أحبها

نحن بحاجة إلى الهندسة، وبدونها لا يمكننا الوصول إلى أي مكان.

جيب التمام، وجيب التمام، والمحيط - كل شيء مهم هنا،

كل شيء مطلوب هنا

كل ما عليك فعله هو أن تتعلم وتفهم كل شيء بوضوح شديد،

إكمال الواجبات والاختبارات في الوقت المحدد.

دعونا نعطي بعض نظام الإحداثيات المستطيلة والخط المستقيم . يترك و - طائرتان مختلفتان متقاطعتان في خط مستقيم وتعطى وفقا لذلك بواسطة المعادلات. تحدد هاتان المعادلتان معًا الخط المستقيم إذا وفقط إذا لم تكن متوازية ولا تتطابق مع بعضها البعض، أي المتجهات العادية
و
هذه الطائرات ليست على خط واحد.

تعريف.إذا كانت معاملات المعادلات

غير متناسبة، تسمى هذه المعادلات معادلات عامة الخط المستقيم، ويعرف بأنه خط تقاطع المستويات.

تعريف.يسمى أي متجه غير صفري موازي للخط ناقل الدليلهذا الخط المستقيم.

دعونا نستنتج معادلة الخط المستقيم المرور بنقطة معينة
الفضاء ولها ناقل اتجاه معين
.

دع هذه النقطة
- نقطة تعسفية على خط مستقيم . تقع هذه النقطة على الخط إذا وفقط إذا كان المتجه
، وجود الإحداثيات
، على خط مستقيم مع متجه الاتجاه
مستقيم. وبحسب (2.28) شرط العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات
و يشبه

. (3.18)

يتم استدعاء المعادلات (3.18). المعادلات الكنسيةخط مستقيم يمر عبر نقطة
ولها ناقل الاتجاه
.

إذا كان مستقيما يتم إعطاؤه بالمعادلات العامة (3.17)، ثم متجه الاتجاه هذا الخط متعامد مع المتجهات العادية
و
المستويات المحددة بواسطة المعادلات. المتجه
وفقًا لخاصية المنتج المتجه، فهو متعامد مع كل من المتجهات و . وفقا للتعريف، كمتجه الاتجاه مستقيم يمكنك أن تأخذ ناقلات
، أي.
.

للعثور على نقطة
النظر في نظام المعادلات
. بما أن المستويات التي تحددها المعادلات ليست متوازية وغير متطابقة، فإن إحدى المتساويات على الأقل لا تكون صحيحة
. وهذا يؤدي إلى حقيقة وجود واحد على الأقل من المحددات ,
,
مختلفة عن الصفر . من أجل اليقين، سنفترض ذلك
. ثم، أخذ قيمة تعسفية نحصل على نظام المعادلات للمجهول و :

.

وفقا لنظرية كرامر، فإن هذا النظام لديه حل فريد تحدده الصيغ

,
. (3.19)

إذا كنت تأخذ
فإن الخط المستقيم المعطى بالمعادلتين (3.17) يمر بالنقطة
.

وهكذا، بالنسبة للحالة عندما
, المعادلات الكنسيةالخطوط المستقيمة (3.17) لها الشكل

.

تتم كتابة المعادلات القانونية للخط المستقيم (3.17) بشكل مشابه للحالة التي يكون فيها المحدد غير صفر
أو
.

إذا مر خط من نقطتين مختلفتين
و
، فإن معادلاتها القانونية لها الشكل

. (3.20)

ويأتي هذا من حقيقة أن الخط المستقيم يمر عبر هذه النقطة
ولها ناقل الاتجاه.

دعونا ننظر في المعادلات القانونية (3.18) للخط المستقيم. دعونا نأخذ كل من العلاقات كمعلمة ، أي.
. أحد مقامات هذه الكسور ليس صفرًا، ويمكن للبسط المقابل أن يأخذ أي قيمة، وبالتالي فإن المعلمة يمكن أن تأخذ على أي القيم الحقيقية. مع الأخذ في الاعتبار أن كلاً من النسب متساوية ، نحن نحصل المعادلات البارامترية مستقيم:

,
,
. (3.21)

دع الطائرة يتم إعطاؤه بواسطة معادلة عامة، والخط المستقيم - المعادلات البارامترية
,
,
. نقطة
تقاطع خط مستقيم والطائرات يجب أن تنتمي في نفس الوقت إلى مستوى وخط. وهذا ممكن فقط إذا كانت المعلمة يرضي المعادلة، أي.
. وبالتالي، فإن نقطة تقاطع الخط المستقيم والمستوى لها إحداثيات

,

,

.

مثال 32. اكتب معادلات بارامترية للخط الذي يمر بالنقاط
و
.

حل.بالنسبة للمتجه الموجه للخط المستقيم، نأخذ المتجه

. يمر خط مستقيم عبر نقطة لذلك، وفقًا للصيغة (3.21)، فإن معادلات الخط المستقيم المطلوبة لها الشكل
,
,
.

مثال 33. رؤوس المثلث
لها إحداثيات
,
و
على التوالى. أنشئ معادلات بارامترية للوسيط المرسوم من الرأس .

حل.يترك
- منتصف الجانب
، ثم
,
,
. باعتباره المتجه الدليلي للوسيط، فإننا نأخذ المتجه
. ثم المعادلات البارامترية للوسيط لها الشكل
,
,
.

مثال 34. قم بتكوين المعادلات الأساسية للخط الذي يمر عبر نقطة
بالتوازي مع الخط
.

حل.يتم تعريف الخط المستقيم على أنه خط تقاطع المستويات مع المتجهات العادية
و
. كمتجه دليل خذ ناقل هذا الخط
، أي.
. ووفقاً لـ (3.18) فإن المعادلة المطلوبة لها الشكل
أو
.

3.8. الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة في الفضاء. الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم والمستوى

دع خطين مستقيمين و في الفضاء يتم تقديمها من خلال معادلاتها الأساسية
و
. ثم أحد الزوايا بين هذه السطور يساوي الزاويةبين متجهات الاتجاه الخاصة بهم
و
. باستخدام الصيغة (2.22) لتحديد الزاوية نحصل على الصيغة

. (3.22)

الزاوية الثانية بين هذه السطور متساوية
و
.

حالة الخطوط المتوازية و يعادل حالة العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات
و
وتكمن في تناسب إحداثياتها، أي أن شرط الخطوط المتوازية له الشكل

. (3.23)

إذا كان مستقيما و متعامدين، فإن متجهات اتجاههما تكون متعامدة، أي. يتم تحديد حالة العمودية من خلال المساواة

. (3.24)

فكر في طائرة ، تعطى بالمعادلة العامة، والخط المستقيم ، نظرا للمعادلات الكنسية
.

ركن بين الخط المستقيم والطائرة مكمل للزاوية بين المتجه الموجه للخط المستقيم والمتجه العمودي للمستوى، أي.
و
، أو

. (3.24)

شرط توازي الخط والطائرات يكافئ الشرط الذي يكون فيه متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للمستوى متعامدين، أي أن المنتج القياسي لهذه المتجهات يجب أن يساوي الصفر:

إذا كان الخط عموديًا على المستوى، فيجب أن يكون متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للمستوى على خط واحد. في هذه الحالة، تكون إحداثيات المتجهات متناسبة، أي.

. (3.26)

مثال 35. يجد زاوية منفرجةبين الخطوط المستقيمة
,
,
و
,
,
.

حل.ناقلات الاتجاه لهذه الخطوط لها إحداثيات
و
. لذلك زاوية واحدة بين الخطوط المستقيمة يتم تحديدها بواسطة النسبة، أي.
. ولذلك فإن شرط المسألة يتحقق بالزاوية الثانية بين السطور التي تساوي
.

3.9. المسافة من نقطة إلى خط في الفضاء

يترك
- نقطة في الفضاء مع الإحداثيات
,- الخط المستقيم المعطى بواسطة المعادلات القانونية
. دعونا نجد المسافة من النقطة
إلى خط مستقيم .

دعونا نطبق ناقل الدليل
الى حد، الى درجة
. مسافة من النقطة
إلى خط مستقيم هو ارتفاع متوازي الأضلاع المبني على المتجهات و
. دعونا نجد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المنتج الاتجاهي:

على الجانب الآخر، . ومن تساوي الأطراف اليمنى في العلاقتين الأخيرتين يتبع ذلك

. (3.27)

3.10. بيضاوي

تعريف. بيضاويهو سطح من الدرجة الثانية، والذي يتم تعريفه في بعض أنظمة الإحداثيات بواسطة المعادلة

. (3.28)

تسمى المعادلة (3.28) بالمعادلة القانونية للمجسم الإهليلجي.

ويترتب على المعادلة (3.28) أن مستويات الإحداثيات هي مستويات تناظر الشكل الإهليلجي، وأصل الإحداثيات هو مركز التماثل. أعداد
تسمى أنصاف محاور الشكل الإهليلجي وتمثل أطوال المقاطع من الأصل إلى تقاطع الشكل الإهليلجي مع محاور الإحداثيات. الشكل الإهليلجي هو سطح محاط بمتوازي سطوح
,
,
.

دعونا نحدد الشكل الهندسي للإهليلجي. وللقيام بذلك، دعونا نتعرف على شكل خطوط تقاطع مستوياتها الموازية لمحاور الإحداثيات.

على وجه التحديد، ضع في اعتبارك خطوط تقاطع الشكل الإهليلجي مع المستويات
، بالتوازي مع الطائرة
. معادلة إسقاط خط التقاطع على المستوى
يتم الحصول عليه من (3.28) إذا وضعنا فيه
. معادلة هذا الإسقاط هي

. (3.29)

لو
إذن (3.29) هي معادلة القطع الناقص الوهمي ونقاط تقاطع الشكل الناقص مع المستوى
لا. إنه يتبع هذا
. لو
، ثم يتحول الخط (3.29) إلى نقاط، أي مستويات
المس الشكل الناقص عند النقاط
و
. لو
، الذي - التي
ويمكنك تقديم التدوين

,
. (3.30)

ثم تأخذ المعادلة (3.29) الشكل

, (3.31)

أي الإسقاط على الطائرة
خطوط تقاطع الشكل الإهليلجي والمستوى
هو قطع ناقص مع أنصاف المحاور، والتي يتم تحديدها من خلال المساواة (3.30). بما أن خط تقاطع السطح مع المستويات الموازية للمستويات الإحداثية هو إسقاط "مرفوع" إلى الارتفاع ، فإن خط التقاطع نفسه عبارة عن قطع ناقص.

عند انخفاض القيمة مهاوي المحور و زيادة والوصول إلى أكبر قيمة لها في
، أي في قسم الشكل الناقص بواسطة المستوى الإحداثي
يتم الحصول على أكبر قطع ناقص مع أنصاف المحاور
و
.

يمكن الحصول على فكرة الشكل الإهليلجي بطريقة أخرى. فكر على متن الطائرة
عائلة القطع الناقص (3.31) ذات أنصاف المحاور و ، محددة بالعلاقات (3.30) واعتمادًا على . كل شكل بيضاوي من هذا القبيل هو خط مستوى، أي خط عند كل نقطة تكون قيمته نفس الشيء. "رفع" كل شكل بيضاوي من هذا القبيل إلى الارتفاع ، نحصل على رؤية مكانية للمجسم الإهليلجي.

يتم الحصول على صورة مماثلة عندما يتقاطع سطح معين مع مستويات موازية لمستويات الإحداثيات
و
.

وبالتالي، فإن الشكل الإهليلجي هو سطح إهليلجي مغلق. متى
الشكل الإهليلجي عبارة عن كرة.

خط تقاطع الشكل الإهليلجي مع أي مستوى هو قطع ناقص، لأن هذا الخط هو خط محدود من الدرجة الثانية، والخط المحدود الوحيد من الدرجة الثانية هو قطع ناقص.

تتضمن دورة الفيديو "Get a A" جميع المواضيع التي تحتاج إليها اكتمال موفقامتحان الدولة الموحد في الرياضيات من 60 إلى 65 نقطة. تماما جميع المشاكل 1-13 امتحان الدولة الموحدة للملف الشخصيالرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!

دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.

الجميع النظرية الضرورية. طرق سريعةحلول ومزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.

الدورة تحتوي على 5 مواضيع كبيرة، 2.5 ساعة لكل منهما. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.

المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. مشاكل الكلماتونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. نظرية، المواد المرجعية، تحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تطوير الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلا من الحشر. شرح مرئي مفاهيم معقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس الحل المهام المعقدة 2 أجزاء من امتحان الدولة الموحدة.