طرق التربيع السريع . تربيع رقم في Microsoft Excel

* المربعات تصل إلى المئات

لكي لا تقوم بتربيع جميع الأرقام دون قصد باستخدام الصيغة، تحتاج إلى تبسيط مهمتك قدر الإمكان باستخدام القواعد التالية.

القاعدة 1 (قطع 10 أرقام)

للأرقام التي تنتهي بالرقم 0.
إذا كان الرقم ينتهي بالرقم 0، فإن ضربه ليس أكثر صعوبة من رقم مكون من رقم واحد. تحتاج فقط إلى إضافة بضعة أصفار.
70 * 70 = 4900.
تم وضع علامة باللون الأحمر في الجدول.

القاعدة 2 (قطع 10 أرقام)

للأرقام التي تنتهي بـ 5.
لتربيع رقم مكون من رقمين ينتهي بالرقم 5، عليك ضرب الرقم الأول (x) في (x+1) وإضافة "25" إلى النتيجة.
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
تم وضع علامة باللون الأخضر في الجدول.

القاعدة 3 (قطع 8 أرقام)

للأعداد من 40 إلى 50
XX * XX = 1500 + 100 * الرقم الثاني + (10 - الرقم الثاني) ^2
من الصعب بما فيه الكفاية، أليس كذلك؟ لنلقي نظرة على مثال:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
تم تمييزها باللون البرتقالي الفاتح في الجدول.

القاعدة 4 (قطع 8 أرقام)

للأعداد من 50 إلى 60
XX * XX = 2500 + 100 * الرقم الثاني + (الرقم الثاني) ^2
كما أنه من الصعب جدًا فهمه. لنلقي نظرة على مثال:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
تم تمييزها باللون البرتقالي الداكن في الجدول.

القاعدة 5 (قطع 8 أرقام)

للأعداد من 90 إلى 100.
XX * XX = 8000+ 200 * الرقم الثاني + (10 - الرقم الثاني) ^2
مشابهة للقاعدة 3، ولكن بمعاملات مختلفة. لنلقي نظرة على مثال:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
تم تمييزها في الجدول باللون البرتقالي الداكن.

القاعدة رقم 6 (قطع 32 رقمًا)

تحتاج إلى حفظ مربعات الأعداد حتى 40. قد يبدو الأمر جنونيًا وصعبًا، لكن في الواقع يعرف معظم الناس المربعات حتى 20. 25، 30، 35 و 40 قابلة للصيغ. ويتبقى 16 زوجًا فقط من الأرقام. يمكن تذكرها بالفعل باستخدام أساليب تقوية الذاكرة (والتي أريد أيضًا التحدث عنها لاحقًا) أو بأي وسيلة أخرى. مثل جدول الضرب :)
تم وضع علامة باللون الأزرق في الجدول.

يمكنك أن تتذكر جميع القواعد، أو يمكنك أن تتذكر بشكل انتقائي، على أي حال، جميع الأرقام من 1 إلى 100 تخضع لصيغتين. ستساعد القواعد، دون استخدام هذه الصيغ، في حساب أكثر من 70٪ من الخيارات بسرعة. وهنا الصيغتين:

الصيغ (24 يومًا متبقية)

للأعداد من 25 إلى 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
على سبيل المثال:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

للأعداد من 50 إلى 100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
على سبيل المثال:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

بالطبع، لا تنسى الصيغة المعتادة لتوسيع مربع المجموع (حالة خاصة من ذات الحدين لنيوتن):
(أ+ب)^2 = أ^2 + 2أب + ب^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

تحديث
يمكن أيضًا حساب منتجات الأعداد القريبة من 100، وخاصة مربعاتها، باستخدام مبدأ "عيوب 100":

بالكلمات: من الرقم الأول نطرح "عيوب" الثاني إلى مائة ونخصص منتجًا مكونًا من رقمين لـ "عيوب".

بالنسبة للمربعات، على التوالي، الأمر أبسط.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(من سيلوفر)

قد لا يكون التربيع هو الشيء الأكثر فائدة في المزرعة. لن تتذكر على الفور الحالة التي قد تحتاج فيها إلى تربيع رقم. لكن القدرة على التعامل بسرعة مع الأرقام وتطبيق القواعد المناسبة لكل رقم تعمل على تطوير الذاكرة و"القدرات الحسابية" لعقلك بشكل مثالي.

بالمناسبة، أعتقد أن جميع قراء هبرة يعرفون أن 64^2 = 4096، و32^2 = 1024.
يتم حفظ العديد من مربعات الأرقام على المستوى النقابي. على سبيل المثال، تذكرت بسهولة 88^2 = 7744 بسبب نفس الأرقام. من المحتمل أن يكون لكل واحد خصائصه الخاصة.

لقد وجدت لأول مرة صيغتين فريدتين في كتاب "13 خطوة نحو العقلية"، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. الحقيقة هي أنه في السابق (وربما حتى الآن) كانت قدرات الحوسبة الفريدة أحد الأرقام في سحر المسرح: كان الساحر يروي قصة حول كيفية حصوله على قوى خارقة، وكدليل على ذلك، يقوم على الفور بتربيع الأرقام حتى مائة. ويبين الكتاب أيضًا طرق البناء المكعب وطرق طرح الجذور والجذور التكعيبية.

إذا كان موضوع العد السريع مثيرا للاهتمام، سأكتب المزيد.
يرجى كتابة التعليقات حول الأخطاء والتصحيحات في PM، وشكرا مقدما.

يعد تربيع الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام إنجازًا رائعًا للسحر العقلي. مثلما يتضمن تربيع عدد مكون من رقمين تقريبه لأعلى أو لأسفل للحصول على مضاعف 10، فإن تربيع عدد مكون من ثلاثة أرقام يتطلب تقريبه لأعلى أو لأسفل للحصول على مضاعف 100. فلنقم بتربيع الرقم 193.

من خلال تقريب 193 إلى 200 (أصبح العامل الثاني 186)، أصبحت مسألة 3 في 3 أبسط 3 في 1، نظرًا لأن 200 × 186 يساوي 2 × 186 = 372 مع صفرين في النهاية. يكاد ينتهي! الآن كل ما عليك فعله هو إضافة 7 2 = 49 والحصول على الإجابة - 37,249.

دعونا نحاول تربيع 706.

عند تقريب الرقم من 706 إلى 700، يجب عليك أيضًا تغيير نفس الرقم بمقدار 6 للحصول على 712.

بما أن 712 × 7 = 4984 (مسألة بسيطة 3 × 1)، 712 × 700 = 498,400، فإن إضافة 6 2 = 36 يعطي 498,436.

الأمثلة الأخيرة ليست مخيفة إلى هذا الحد لأنها لا تتضمن إضافة في حد ذاتها. بالإضافة إلى ذلك، أنت تعرف عن ظهر قلب ما يساوي 6 2 و 7 2. من الصعب جدًا تربيع عدد يبعد أكثر من 10 وحدات عن مضاعف 100. جرب يدك في 314 2.

في هذا المثال، تم تقليل 314 بمقدار 14 لتقريبه إلى 300 وزيادة بمقدار 14 إلى 328. اضرب 328 × 3 = 984 وأضف صفرين في النهاية لتحصل على 98400، ثم أضف مربع 14. إذا تبادر إلى ذهنك هذا على الفور (بفضل الذاكرة أو الحسابات السريعة) أن 14 2 = 196، فأنت في حالة جيدة. بعد ذلك، ما عليك سوى إضافة 98,400 + 196 للحصول على الإجابة النهائية وهي 98,596.

إذا كنت بحاجة إلى وقت للعد 14 2، كرر "98400" عدة مرات قبل المتابعة. بخلاف ذلك، يمكنك حساب 14 2 = 196 ونسيان الرقم الذي تريد إضافة المنتج إليه.

إذا كان لديك جمهور ترغب في إثارة إعجابه، فيمكنك أن تقول "279000" بصوت عالٍ قبل أن تجد 292. لكن هذا لن ينجح مع كل مشكلة تحلها.

على سبيل المثال، حاول تربيع 636.

الآن عقلك يعمل حقاً، أليس كذلك؟

تذكر أن تكرر "403,200" لنفسك عدة مرات عندما تقوم بتربيع 36 بالطريقة المعتادة لتحصل على 1296. الجزء الأصعب هو جمع 1296 + 403,200، قم بذلك رقمًا واحدًا في كل مرة، من اليسار إلى اليمين، وستحصل على الإجابة 404,496 أعدك أنه بمجرد أن تصبح أكثر دراية بتربيع الأعداد المكونة من رقمين، ستصبح المسائل المتعلقة بالأعداد المكونة من ثلاثة أرقام أسهل بكثير.

إليك مثال أكثر تعقيدًا: 863 2 .

المشكلة الأولى هي تحديد الأرقام التي سيتم ضربها. ولا شك أن أحدهما سيكون 900 والآخر أكثر من 800. ولكن أيهما؟ ويمكن حساب ذلك بطريقتين.

1. الطريقة الصعبة: الفرق بين 863 و900 هو 37 (مكمل 63)، اطرح 37 من 863 واحصل على 826.

2. الطريقة السهلة: مضاعفة الرقم 63، نحصل على 126، والآن نضيف آخر رقمين من هذا الرقم إلى الرقم 800، الذي يعطينا في النهاية 826.

وإليك كيف تعمل الطريقة السهلة. بما أن كلا الرقمين لهما نفس الفرق مع الرقم 863، فإن مجموعهما يجب أن يساوي ضعف الرقم 863، أي 1726. أحد الرقمين هو 900، مما يعني أن الآخر يساوي 826.

ثم نقوم بإجراء الحسابات التالية.

إذا كنت تواجه مشكلة في تذكر الرقم 743,400 بعد تربيع الرقم 37، فلا تقلق. في الفصول التالية سوف تتعلم نظام ذاكري وتتعلم كيفية تذكر هذه الأرقام.

جرب أصعب مهمة حتى الآن - تربيع الرقم 359.

للحصول على 318، إما أن تطرح 41 (مكمل 59) من 359، أو تضرب 2 × 59 = 118 وتستخدم آخر رقمين. بعد ذلك، اضرب 400 × 318 = 127,200. وبإضافة 412 = 1681، يصبح المجموع 128,881. إذا فعلت كل شيء بشكل صحيح في المرة الأولى، فأنت عظيم!

لننهي هذا القسم بمهمة كبيرة وسهلة: حساب 987 2 .

يمارس: تربيع الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

ماذا يوجد خلف الباب رقم 1؟

من العبارات الرياضية المبتذلة التي حيرت الجميع في عام 1991 مقالة كتبتها مارلين سافانت - المرأة التي تتمتع بأعلى معدل ذكاء في العالم (كما هو مسجل في كتاب غينيس للأرقام القياسية) - في مجلة باريد. وقد أصبحت هذه المفارقة تعرف باسم مشكلة مونتي هول، وهي كالتالي:

أنت في برنامج مونتي هول لنعقد صفقة. يمنحك المضيف الفرصة لاختيار أحد الأبواب الثلاثة، خلف أحدها جائزة كبيرة، وخلف البابين الآخرين ماعز. لنفترض أنك اخترت الباب رقم 2. ولكن قبل إظهار ما هو مخفي خلف هذا الباب، يفتح مونتي الباب رقم 3. هناك عنزة. والآن، وبطريقته المثيرة، يسألك مونتي: هل تريد فتح الباب رقم 2 أم المخاطرة برؤية ما يوجد خلف الباب رقم 1؟ ماذا عليك ان تفعل؟ على افتراض أن مونتي سيخبرك بالمكان الذي لا توجد فيه الجائزة الرئيسية، فإنه سيفتح دائمًا أحد أبواب "العزاء". هذا يترك لك خيارًا: باب به جائزة كبيرة، والآخر بجائزة ترضية. الآن فرصك هي 50/50، أليس كذلك؟

لكن لا! فرصة اختيارك بشكل صحيح في المرة الأولى لا تزال 1 من 3. وتزيد فرصة بقاء الجائزة الكبرى خلف الباب الآخر إلى 2/3، لأن مجموع الاحتمالات يجب أن يصل إلى 1.

وهكذا، بتغيير اختيارك، سوف تضاعف فرصك في الفوز! (تفترض المشكلة أن مونتي سيعطي اللاعب دائمًا خيارًا جديدًا من خلال إظهار الباب "غير الفائز"، وعندما يكون اختيارك الأول صحيحًا، سيفتح الباب "غير الفائز" بشكل عشوائي.) فكر في لعبة ما. بعشرة أبواب. بعد اختيارك الأول، دع المضيف يفتح ثمانية أبواب "غير رابحة". هذا هو المكان الذي من المرجح أن تغير فيه غرائزك الباب. عادة ما يخطئ الناس في الاعتقاد بأنه إذا كان مونتي هول لا يعرف مكان الجائزة الرئيسية وفتح الباب رقم 3، والذي يتبين أنه ماعز (على الرغم من احتمال وجود جائزة)، فإن الباب رقم 1 به 50 فرصة في المئة ليكون الشخص الصحيح. مثل هذا المنطق يتحدى الفطرة السليمة، ومع ذلك تلقت مارلين سافانت أكوامًا من الرسائل (العديد منها من علماء، وحتى علماء رياضيات) تخبرها بأنها لا ينبغي لها أن تكتب عن الرياضيات. وبطبيعة الحال، كل هؤلاء الناس كانوا مخطئين.

دعونا الآن نفكر في تربيع ذات الحدين، وبتطبيق وجهة نظر حسابية، سنتحدث عن مربع المجموع، أي (a + b)²، ومربع الفرق بين رقمين، أي (a -) ب)².

بما أن (أ + ب)² = (أ + ب) ∙ (أ + ب)،

فنجد: (أ + ب) ∙ (أ + ب) = أ² + أب + أب + ب² = أ² + 2آب + ب²، أي.

(أ + ب)² = أ² + 2أ + ب²

ومن المفيد أن نتذكر هذه النتيجة سواء في شكل المساواة المذكورة أعلاه أو في الكلمات: مربع مجموع رقمين يساوي مربع الرقم الأول بالإضافة إلى حاصل ضرب اثنين بالرقم الأول والثاني الرقم بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

وبمعرفة هذه النتيجة يمكننا أن نكتب على الفور، على سبيل المثال:

(س + ص)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² ب² + 6ab + 1

(س ن + 4س)² = س 2ن + 8س ن+1 + 16س 2

دعونا ننظر إلى الثاني من هذه الأمثلة. نحتاج إلى تربيع مجموع رقمين: الرقم الأول هو 3ab، والثاني 1. ويجب أن تكون النتيجة: 1) مربع الرقم الأول، أي (3ab)²، وهو ما يساوي 9a²b²؛ 2) حاصل ضرب اثنين بالرقم الأول والثاني، أي 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab؛ 3) مربع العدد الثاني، أي 1² = 1 - يجب جمع هذه الحدود الثلاثة معًا.

كما حصلنا على صيغة لتربيع الفرق بين رقمين، أي من أجل (أ – ب)²:

(أ – ب)² = (أ – ب) (أ – ب) = أ² – أب – أب + ب² = أ² – 2آب + ب².

(أ – ب)² = أ² – 2أ ب + ب²,

أي أن مربع الفرق بين رقمين يساوي مربع الرقم الأول ناقص حاصل ضرب اثنين في الرقم الأول والثاني، بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

بمعرفة هذه النتيجة، يمكننا على الفور إجراء تربيع ذوات الحدين، والتي تمثل، من وجهة نظر حسابية، الفرق بين رقمين.

(م – ن)² = م² – 2مليون + ن²
(5أ 3 - 3 أ 2 ب) 2 = 25 أ 2 ب 6 - 30 أ 3 ب 4 + 9 أ 4 ب 2

(أ ن-1 – أ) 2 = أ 2ن-2 – 2أ ن + أ 2، إلخ.

دعونا نشرح المثال الثاني. لدينا هنا بين قوسين الفرق بين رقمين: الرقم الأول هو 5ab 3 والرقم الثاني هو 3a 2 b. يجب أن تكون النتيجة: 1) مربع الرقم الأول، أي (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6، 2) حاصل ضرب اثنين في الرقم الأول والثاني، أي 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30أ 3 ب 4 و 3) مربع الرقم الثاني، أي (3أ 2 ب) 2 = 9أ 4 ب 2 ; يجب أن يؤخذ الحدان الأول والثالث بعلامة زائد، والثاني بعلامة ناقص، فنحصل على 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. لشرح المثال الرابع، نلاحظ فقط أن 1) (a n-1)2 = a 2n-2... يجب ضرب الأس في 2 و2) حاصل ضرب اثنين في الرقم الأول وفي الثاني = 2 ∙ أ n-1 ∙ أ = 2أ ن .

إذا أخذنا وجهة نظر الجبر، فإن كلا المتساويتين: 1) (أ + ب)² = a² + 2ab + b² و 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² يعبران عن نفس الشيء، وهو: مربع ذات الحدين يساوي مربع الحد الأول، زائد حاصل ضرب الرقم (+2) في الحد الأول والثاني، زائد مربع الحد الثاني. وهذا واضح لأن المساواة لدينا يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

1) (أ + ب)² = (+أ)² + (+2) ∙ (+أ) (+ب) + (+ب)²
2) (أ – ب)² = (+أ)² + (+2) ∙ (+أ) (–ب) + (–ب)²

في بعض الحالات، يكون من المناسب تفسير المساواة الناتجة بهذه الطريقة:

(–4أ – 3ب)² = (–4أ)² + (+2) (–4أ) (–3ب) + (–3ب)²

هنا نقوم بتربيع ذات الحدين حدها الأول = –4a والثاني = –3b. بعد ذلك نحصل على (–4a)² = 16a²، (+2) (–4a) (–3b) = +24ab، (–3b)² = 9b² وأخيرًا:

(–4أ – 3ب)² = 6أ² + 24أب + 9ب²

سيكون من الممكن أيضًا الحصول على صيغة تربيع ثلاثية الحدود أو رباعية الحدود أو أي كثيرة الحدود بشكل عام وتذكرها. ومع ذلك، فإننا لن نفعل ذلك، لأننا نادرا ما نحتاج إلى استخدام هذه الصيغ، وإذا كنا بحاجة إلى تربيع أي كثيرة الحدود (باستثناء ذات الحدين)، فإننا سوف نحول الأمر إلى الضرب. على سبيل المثال:

31. دعونا نطبق المساواة الثلاثة التي حصلنا عليها، وهي:

(أ + ب) (أ – ب) = أ² – ب²
(أ + ب)² = أ² + 2أ + ب²
(أ – ب)² = أ² – 2أ ب + ب²

إلى الحساب.

فليكن 41 ∙ 39. ومن ثم يمكننا تمثيل ذلك بالصورة (40 + 1) (40 – 1) وإرجاع الأمر إلى المساواة الأولى – نحصل على 40² – 1 أو 1600 – 1 = 1599. وبفضل هذا، من السهل إجراء عمليات الضرب مثل 21 ∙ 19؛ 22 ∙ 18; 31 ∙ 29؛ 32 ∙ 28; 71 ∙ 69، إلخ.

فليكن 41 ∙ 41؛ وهو نفس 41² أو (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. وأيضًا 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. إذا كنت بحاجة إلى 37 ∙ 37، فهذا يساوي (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. مثل هذه الضربات (أو تربيع الأعداد المكونة من رقمين) من السهل القيام بها، مع بعض المهارة، في رأسك.

* المربعات تصل إلى المئات

القاعدة 1 (قطع 10 أرقام)

القاعدة 2 (قطع 10 أرقام)

القاعدة 3 (قطع 8 أرقام)

القاعدة 4 (قطع 8 أرقام)

القاعدة 5 (قطع 8 أرقام)

القاعدة رقم 6 (قطع 32 رقمًا)

الصيغ (يتبقى 24 رقمًا)

للأعداد من 25 إلى 50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
على سبيل المثال:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

للأعداد من 50 إلى 100

XX * XX = 200(XX - 25) + (100 - XX)^2

على سبيل المثال:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

بالطبع، لا تنسى الصيغة المعتادة لتوسيع مربع المجموع (حالة خاصة من ذات الحدين لنيوتن):
(أ+ب)^2 = أ^2 + 2أب + ب^2.
56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

لقد وجدت لأول مرة صيغتين فريدتين في كتاب "13 خطوة نحو العقلية"، والتي لا علاقة لها بالرياضيات. الحقيقة هي أنه في السابق (وربما حتى الآن) كانت قدرات الحوسبة الفريدة أحد الأرقام في سحر المسرح: كان الساحر يروي قصة عن كيفية حصوله على قوى خارقة، وكدليل على ذلك، يقوم على الفور بتربيع الأرقام حتى مائة. ويبين الكتاب أيضًا طرق البناء المكعب وطرق طرح الجذور والجذور التكعيبية.

اليوم سوف نتعلم كيفية تربيع التعبيرات الكبيرة بسرعة بدون آلة حاسبة. بشكل عام، أعني الأعداد التي تتراوح من عشرة إلى مائة. التعبيرات الكبيرة نادرة للغاية في المسائل الحقيقية، وأنت تعرف بالفعل كيفية حساب القيم الأقل من عشرة، لأن هذا جدول ضرب عادي. ستكون المواد الموجودة في درس اليوم مفيدة للطلاب ذوي الخبرة إلى حد ما، لأن الطلاب المبتدئين ببساطة لن يقدروا سرعة وفعالية هذه التقنية.

أولاً، دعونا نتعرف على ما نتحدث عنه بشكل عام. على سبيل المثال، أقترح بناء تعبير رقمي عشوائي، كما نفعل عادة. لنفترض 34. نرفعه بضربه في نفسه بعمود:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 هو المربع 34

ويمكن وصف مشكلة هذه الطريقة في نقطتين:

1) يتطلب وثائق مكتوبة؛

2) من السهل جدًا ارتكاب خطأ أثناء عملية الحساب.

سنتعلم اليوم كيفية الضرب بسرعة بدون آلة حاسبة، شفويًا وبدون أخطاء تقريبًا.

اذا هيا بنا نبدأ. للعمل، نحتاج إلى صيغة مربع المجموع والفرق. دعنا نكتبهم:

\[(((أ+ب))^(2))=((أ)^(2))+2ab+((ب)^(2))\]

\[(((أ-ب))^(2))=((أ)^(2))-2ab+((ب)^(2))\]

ماذا يعطينا هذا؟ النقطة المهمة هي أن أي قيمة بين 10 و100 يمكن تمثيلها بالرقم $a$، الذي يقبل القسمة على 10، والرقم $b$، وهو باقي القسمة على 10.

على سبيل المثال، يمكن تمثيل 28 على النحو التالي:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

ونعرض باقي الأمثلة بنفس الطريقة:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]

ماذا تخبرنا هذه الفكرة؟ والحقيقة هي أنه مع مجموع أو فرق، يمكننا تطبيق الحسابات الموضحة أعلاه. بالطبع، لتقصير الحسابات، لكل عنصر من العناصر، يجب عليك اختيار التعبير الذي يحتوي على الحد الثاني الأصغر. على سبيل المثال، من بين الخيارات $20+8$ و$30-2$، يجب عليك اختيار الخيار $30-2$.

نختار بالمثل خيارات للأمثلة المتبقية:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

لماذا يجب أن نسعى جاهدين لتبسيط الحد الثاني عند الضرب بسرعة؟ الأمر كله يتعلق بالحسابات الأولية لمربع المجموع والفرق. الحقيقة هي أن المصطلح $2ab$ مع علامة زائد أو ناقص هو الأكثر صعوبة في الحساب عند حل المشكلات الحقيقية. وإذا كان العامل $a$، وهو مضاعف 10، يتم ضربه بسهولة دائمًا، فمع العامل $b$، وهو رقم يتراوح من واحد إلى عشرة، يواجه العديد من الطلاب صعوبات بانتظام.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

إذن، في ثلاث دقائق، قمنا بضرب ثمانية أمثلة. وهذا أقل من 25 ثانية لكل تعبير. في الواقع، بعد القليل من التدريب، سوف تقوم بالعد بشكل أسرع. لن يستغرق الأمر أكثر من خمس إلى ست ثوانٍ لحساب أي تعبير مكون من رقمين.

ولكن هذا ليس كل شيء. بالنسبة لأولئك الذين لا تبدو لهم التقنية الموضحة بالسرعة الكافية والرائعة بدرجة كافية، أقترح طريقة أسرع للضرب، والتي، مع ذلك، لا تصلح لجميع المهام، ولكن فقط لتلك التي تختلف بواحد عن مضاعفات العدد 10. درسنا هناك أربع قيم من هذا القبيل: 51 و21 و81 و39.

قد يبدو الأمر أسرع بكثير؛ لقد قمنا بالفعل بعدهم في سطرين. لكن في الحقيقة من الممكن التسريع، ويتم ذلك على النحو التالي. نكتب القيمة التي هي من مضاعفات العدد عشرة، وهي الأقرب لما نحتاج إليه. على سبيل المثال، لنأخذ 51. لذلك، دعونا نبني في البداية خمسين:

\[{{50}^{2}}=2500\]

من الأسهل تربيع مضاعفات العشرة. والآن نضيف ببساطة 51 و51 إلى التعبير الأصلي وستكون الإجابة هي نفسها:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

وهكذا مع كل الأعداد التي تختلف بواحد.

إذا كانت القيمة التي نبحث عنها أكبر من تلك التي نعدها، فإننا نضيف أرقامًا إلى المربع الناتج. إذا كان الرقم المطلوب أصغر، كما هو الحال في 39، فعند تنفيذ الإجراء، تحتاج إلى طرح القيمة من المربع. دعونا نتدرب دون استخدام الآلة الحاسبة:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

كما ترون، في جميع الحالات الإجابات هي نفسها. علاوة على ذلك، فإن هذه التقنية قابلة للتطبيق على أي قيم مجاورة. على سبيل المثال:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

في هذه الحالة، لا نحتاج إلى تذكر حسابات مربعات المجموع والفرق واستخدام الآلة الحاسبة. سرعة العمل تفوق الثناء. لذلك، تذكر وتدرب واستخدمها في الممارسة العملية.

النقاط الرئيسية

باستخدام هذه التقنية، يمكنك بسهولة ضرب أي أعداد طبيعية تتراوح من 10 إلى 100. علاوة على ذلك، يتم إجراء جميع العمليات الحسابية شفهيًا، بدون آلة حاسبة وحتى بدون ورق!

أولاً، تذكر مربعات القيم التي هي مضاعفات 10:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\النهاية(محاذاة)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\النهاية(محاذاة)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\النهاية(محاذاة)\]

كيف نحسب بشكل أسرع

ولكن هذا ليس كل شيء! باستخدام هذه التعبيرات، يمكنك على الفور تربيع الأرقام "المجاورة" للأرقام المرجعية. على سبيل المثال، نحن نعرف 152 (القيمة المرجعية)، ولكننا بحاجة إلى إيجاد 142 (رقم مجاور أقل من القيمة المرجعية بواحد). دعنا نكتبها:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\النهاية(محاذاة)\]

يرجى ملاحظة: لا التصوف! يتم الحصول على مربعات الأرقام التي تختلف بمقدار 1 عن طريق ضرب الأرقام المرجعية في حد ذاتها عن طريق طرح أو إضافة قيمتين:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\النهاية(محاذاة)\]

لماذا يحدث هذا؟ لنكتب صيغة مربع المجموع (والفرق). دع $n$ تكون القيمة المرجعية لدينا. ثم يتم حسابها على النحو التالي:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- هذه هي الصيغة.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- صيغة مماثلة للأرقام الأكبر من 1.

آمل أن توفر لك هذه التقنية الوقت في جميع اختبارات وامتحانات الرياضيات المهمة. وهذا كل شيء بالنسبة لي. أرك لاحقًا!