فركتلات شرح بسيط. الخلفية التاريخية، أو كيف بدأ كل شيء

مجموعات متشابهة ذات خصائص غير عادية في الرياضيات

منذ نهاية القرن التاسع عشر، ظهرت في الرياضيات أمثلة على كائنات متشابهة ذات خصائص مرضية من وجهة نظر التحليل الكلاسيكي. وتشمل هذه ما يلي:

مجموعة كانتور هي مجموعة مثالية كثيفة لا تعد ولا تحصى. عن طريق تعديل الإجراء، يمكن للمرء أيضًا الحصول على مجموعة كثيفة من الطول الإيجابي؛
يعتبر مثلث Sierpinski ("مفرش المائدة") وسجادة Sierpinski نظائرها من مجموعة Cantor على الطائرة؛
إسفنجة منجر هي نظير لإسفنجة كانتور الموجودة في مساحة ثلاثية الأبعاد؛
أمثلة من Weierstrass وvan der Waerden على دالة مستمرة لا يمكن تفاضلها في أي مكان؛
منحنى كوخ هو منحنى مستمر غير متقاطع ذاتيًا وطوله لا نهائي ولا يوجد له مماس عند أي نقطة؛
منحنى البيانو - منحنى مستمر يمر عبر جميع نقاط المربع؛
مسار الجسيم البراوني لا يمكن تمييزه أيضًا بالاحتمال 1. البعد هاوسدورف هو اثنان [ ] .

الإجراء العودي للحصول على منحنيات كسورية

الفركتلات كنقاط ثابتة لتعيينات الضغط

يمكن التعبير عن خاصية التشابه الذاتي رياضيا بدقة على النحو التالي. اسمحوا أن تكون خرائط تقلصية للطائرة. خذ بعين الاعتبار التعيين التالي على مجموعة جميع المجموعات الفرعية المدمجة (المغلقة والمحدودة) للمستوى: Ψ : K ↦ ∪ i = 1 n ψ i (K) (\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _(i=1)^(n)\psi _(i)(K))

ويمكن أن يظهر أن رسم الخرائط Ψ (\displaystyle \Psi )عبارة عن خريطة انكماشية على مجموعة كومباكتا بمقياس هاوسدورف. لذلك، وفقًا لنظرية باناخ، فإن هذا التعيين له نقطة ثابتة فريدة. هذه النقطة الثابتة ستكون فراكتلنا.

يعد الإجراء العودي للحصول على منحنيات كسورية الموصوفة أعلاه حالة خاصة لهذا البناء. أنه يحتوي على جميع شاشات العرض ψ i , i = 1 , … , n (\displaystyle \psi _(i),\,i=1,\dots ,n)- يعرض التشابه، و ن (\displaystyle n)- عدد وصلات المولد .

من الشائع إنشاء صور رسومية جميلة تعتمد على ديناميكيات معقدة عن طريق تلوين نقاط المستوى اعتمادًا على سلوك الأنظمة الديناميكية المقابلة. على سبيل المثال، لإكمال مجموعة ماندلبروت، يمكنك تلوين النقاط اعتمادًا على سرعة الشفط ض ن (\displaystyle z_(n))إلى ما لا نهاية (يتم تعريفه، على سبيل المثال، على أنه أصغر رقم ن (\displaystyle n)، الذي | ض ن | (\displaystyle |z_(n)|)سوف تتجاوز قيمة كبيرة ثابتة أ (\displaystyle A)).

البيومورفات هي فركتلات مبنية على أساس ديناميكيات معقدة وتذكرنا بالكائنات الحية.

فركتلات العشوائية

الكائنات الطبيعية غالبا ما يكون لها شكل كسورية. يمكن استخدام الفركتلات العشوائية (العشوائية) لصياغتها. أمثلة على فركتلات العشوائية:

مسار الحركة البراونية على المستوى وفي الفضاء؛
حدود مسار الحركة البراونية على المستوى. وفي عام 2001، أثبت لولر وشرام وفيرنر فرضية ماندلبروت بأن بعده هو 4/3.
تطورات شرام-لونر هي منحنيات فركتلية ثابتة ومتوافقة تنشأ في نماذج ثنائية الأبعاد هامة للميكانيكا الإحصائية، مثل نموذج إيسينج والترشيح.
أنواع مختلفة من الفركتلات العشوائية، أي الفركتلات التي يتم الحصول عليها باستخدام إجراء متكرر يتم فيه إدخال معلمة عشوائية في كل خطوة. تعد البلازما مثالاً على استخدام مثل هذا الفراكتل في رسومات الكمبيوتر.

كائنات طبيعية ذات خصائص كسورية

الأشياء الطبيعية ( أشباه الفركتلات) تختلف عن الفركتلات المجردة المثالية في عدم اكتمال وعدم دقة تكرار الهيكل. معظم الهياكل الشبيهة بالفركتلات الموجودة في الطبيعة (حدود السحاب، والشواطئ، والأشجار، وأوراق النباتات، والشعاب المرجانية، ...) هي شبه فركتلات، حيث تختفي البنية الفركتلية عند نطاق صغير. لا يمكن للبنى الطبيعية أن تكون فركتلات مثالية بسبب القيود التي يفرضها حجم الخلية الحية، وفي النهاية حجم الجزيئات.

في الحياة البرية:
- نجم البحر والقنافذ
- الزهور والنباتات (القرنبيط والملفوف)
- تيجان الأشجار وأوراق النباتات
- الفاكهة (الأناناس)
- الدورة الدموية والشعب الهوائية للإنسان والحيوان
في الطبيعة غير الحية:
- حدود الأجسام الجغرافية (الدول والمناطق والمدن)
- أنماط فاترة على زجاج النوافذ
- الهوابط والصواعد والهليكتيت.

طلب

علوم طبيعية

في الفيزياء، تنشأ الفركتلات بشكل طبيعي عند نمذجة العمليات غير الخطية، مثل تدفق السوائل المضطرب، وعمليات الانتشار والامتزاز المعقدة، واللهب، والسحب، وما شابه ذلك. تُستخدم الفركتلات في نمذجة المواد المسامية، على سبيل المثال، في البتروكيماويات. في علم الأحياء، يتم استخدامها لنمذجة السكان ووصف أجهزة الأعضاء الداخلية (نظام الأوعية الدموية). بعد إنشاء منحنى كوخ، تم اقتراح استخدامه عند حساب طول الخط الساحلي.

هندسة الراديو

هوائيات كسورية

استخدام الهندسة الفراكتلية في التصميم

لقد عرفت الفركتلات منذ ما يقرب من قرن من الزمان، وقد تمت دراستها جيدًا ولها العديد من التطبيقات في الحياة. تعتمد هذه الظاهرة على فكرة بسيطة للغاية: يمكن الحصول على عدد لا نهائي من الأشكال في الجمال والتنوع من تصميمات بسيطة نسبيًا باستخدام عمليتين فقط - النسخ والقياس

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك، فإن كلمة "فركتل" ليست مصطلحًا رياضيًا. هذا هو عادة الاسم الذي يطلق على الشكل الهندسي الذي يحقق واحدة أو أكثر من الخصائص التالية:

لديه بنية معقدة في أي تكبير؛
هو (تقريبا) مماثل ذاتيا؛
له بُعد هاوسدورف (فركتلي) كسري، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي؛
يمكن بناؤها عن طريق إجراءات العودية.

في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين، كانت دراسة الفركتلات عرضية أكثر منها منهجية، لأن علماء الرياضيات في السابق كانوا يدرسون بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي يمكن دراستها باستخدام أساليب ونظريات عامة. في عام 1872، قام عالم الرياضيات الألماني كارل فايرستراس ببناء مثال لدالة متصلة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك، كان بنائه مجردًا تمامًا ويصعب فهمه. لذلك، في عام 1904، توصل السويدي هيلج فون كوخ إلى منحنى مستمر ليس له مماس في أي مكان، ومن السهل رسمه. اتضح أنه يحتوي على خصائص كسورية. أحد أشكال هذا المنحنى يسمى "ندفة الثلج كوخ".

تم التقاط أفكار التشابه الذاتي للشخصيات من قبل الفرنسي بول بيير ليفي، معلم بينوا ماندلبرو المستقبلي. في عام 1938، تم نشر مقالته "المنحنيات المستوية والمكانية والأسطح التي تتكون من أجزاء مشابهة للكل"، والتي وصفت كسورية أخرى - منحنى ليفي C. يمكن تصنيف كل هذه الفركتلات المذكورة أعلاه بشكل مشروط كفئة واحدة من الفركتلات البناءة (الهندسية).

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية)، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. يعود البحث الأول في هذا الاتجاه إلى بداية القرن العشرين ويرتبط بأسماء علماء الرياضيات الفرنسيين غاستون جوليا وبيير فاتو. في عام 1918، نشرت جوليا عملًا يتكون من مائتي صفحة تقريبًا عن تكرارات الدوال العقلانية المعقدة، والذي وصف مجموعات جوليا - وهي عائلة كاملة من الفركتلات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة من الأكاديمية الفرنسية، لكنه لم يحتوي على رسم توضيحي واحد، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المفتوحة. على الرغم من أن هذا العمل جعل جوليا مشهورة بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت، إلا أنه تم نسيانه بسرعة.

عاد الاهتمام مرة أخرى إلى أعمال جوليا وفاتو بعد نصف قرن فقط، مع ظهور أجهزة الكمبيوتر: فهي التي جعلت ثراء وجمال عالم الفركتلات مرئيًا. ففي نهاية المطاف، لم تتمكن فاتو أبدًا من النظر إلى الصور التي نعرفها الآن كصور لمجموعة ماندلبروت، لأن العدد المطلوب من الحسابات لا يمكن إجراؤه يدويًا. أول شخص استخدم الكمبيوتر لهذا كان بينوا ماندلبروت.

في عام 1982، نُشر كتاب ماندلبروت “الهندسة الكسورية للطبيعة”، حيث قام المؤلف بجمع وتنظيم جميع المعلومات تقريبًا عن الفركتلات المتوفرة في ذلك الوقت وعرضها بطريقة سهلة ويمكن الوصول إليها. لم يركز ماندلبروت بشكل أساسي في عرضه التقديمي على الصيغ الثقيلة والإنشاءات الرياضية، بل على الحدس الهندسي للقراء. بفضل الرسوم التوضيحية التي تم الحصول عليها باستخدام الكمبيوتر والقصص التاريخية، والتي قام المؤلف بتخفيف المكون العلمي للدراسة بمهارة، أصبح الكتاب من أكثر الكتب مبيعا، وأصبحت الفركتلات معروفة لعامة الناس. يرجع نجاحهم بين غير علماء الرياضيات إلى حد كبير إلى حقيقة أنه بمساعدة الإنشاءات والصيغ البسيطة جدًا التي يمكن حتى لطالب المدرسة الثانوية فهمها، يتم الحصول على صور ذات تعقيد مذهل وجمال. عندما أصبحت أجهزة الكمبيوتر الشخصية قوية بما فيه الكفاية، ظهر حتى اتجاه كامل في الفن - الرسم الكسري، ويمكن لأي مالك كمبيوتر تقريبًا القيام بذلك. يمكنك الآن العثور بسهولة على العديد من المواقع المخصصة لهذا الموضوع على الإنترنت.

ما هو الشيء المشترك بين الشجرة، أو شاطئ البحر، أو السحابة، أو الأوعية الدموية في أيدينا؟ للوهلة الأولى، قد يبدو أن كل هذه الأشياء ليس لديها أي شيء مشترك. ومع ذلك، في الواقع، هناك خاصية واحدة للبنية متأصلة في جميع الكائنات المدرجة: فهي متشابهة ذاتيًا. من فرع، كما هو الحال من جذع الشجرة، تمتد براعم أصغر، منها حتى أصغر، وما إلى ذلك، أي فرع يشبه الشجرة بأكملها. يتم تنظيم نظام الدورة الدموية بطريقة مماثلة: تغادر الشرايين من الشرايين، ومنها أصغر الشعيرات الدموية التي يدخل من خلالها الأكسجين إلى الأعضاء والأنسجة. دعونا نلقي نظرة على صور الأقمار الصناعية لساحل البحر: سنرى الخلجان وشبه الجزيرة؛ دعونا ننظر إليها، ولكن من منظور عين الطير: سنرى الخلجان والرؤوس؛ تخيل الآن أننا نقف على الشاطئ وننظر إلى أقدامنا: سيكون هناك دائمًا حصى تبرز في الماء أكثر من البقية. أي أن الخط الساحلي عند تكبيره يظل مشابهًا لنفسه. أطلق عالم الرياضيات الأمريكي (على الرغم من نشأته في فرنسا) بينوا ماندلبروت على خاصية الكائنات كسورية، ومثل هذه الأشياء نفسها - فركتلات (من اللاتينية fractus - مكسورة).

هذا المفهوم ليس له تعريف صارم. لذلك، فإن كلمة "فركتل" ليست مصطلحًا رياضيًا. عادة، الفراكتل هو شكل هندسي يحقق واحدة أو أكثر من الخصائص التالية: له بنية معقدة عند أي زيادة في الحجم (على عكس، على سبيل المثال، الخط المستقيم، الذي يكون أي جزء منه هو أبسط شكل هندسي - قطعة ). هو (تقريبا) مماثل ذاتيا. وله بعد هوسدورف (فركتلي) كسري، وهو أكبر من البعد الطوبولوجي. يمكن بناؤها باستخدام إجراءات العودية.

الهندسة والجبر

كانت دراسة الفركتلات في مطلع القرنين التاسع عشر والعشرين أكثر عرضية منها منهجية، لأن علماء الرياضيات في السابق كانوا يدرسون بشكل أساسي الأشياء "الجيدة" التي يمكن دراستها باستخدام الأساليب والنظريات العامة. في عام 1872، قام عالم الرياضيات الألماني كارل فايرستراس ببناء مثال لدالة متصلة لا يمكن اشتقاقها في أي مكان. ومع ذلك، كان بنائه مجردًا تمامًا ويصعب فهمه. لذلك، في عام 1904، توصل السويدي هيلج فون كوخ إلى منحنى مستمر ليس له مماس في أي مكان، ومن السهل رسمه. اتضح أنه يحتوي على خصائص كسورية. أحد أشكال هذا المنحنى يسمى "ندفة الثلج كوخ".

فئة أخرى هي الفركتلات الديناميكية (الجبرية)، والتي تشمل مجموعة ماندلبروت. بدأ البحث الأول في هذا الاتجاه في بداية القرن العشرين ويرتبط بأسماء علماء الرياضيات الفرنسيين غاستون جوليا وبيير فاتو. في عام 1918، نشرت جوليا مذكرات مكونة من مائتي صفحة تقريبًا حول تكرارات الوظائف العقلانية المعقدة، والتي وصفت مجموعات جوليا، وهي عائلة كاملة من الفركتلات المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمجموعة ماندلبروت. حصل هذا العمل على جائزة من الأكاديمية الفرنسية، لكنه لم يحتوي على رسم توضيحي واحد، لذلك كان من المستحيل تقدير جمال الأشياء المفتوحة. على الرغم من أن هذا العمل جعل جوليا مشهورة بين علماء الرياضيات في ذلك الوقت، إلا أنه تم نسيانه بسرعة. تحول الاهتمام إليها مرة أخرى بعد نصف قرن فقط مع ظهور أجهزة الكمبيوتر: فهي التي جعلت ثراء وجمال عالم الفركتلات مرئيًا.

الأبعاد الفراكتلية

كما تعلم، البعد (عدد الأبعاد) للشكل الهندسي هو عدد الإحداثيات اللازمة لتحديد موضع النقطة الواقعة على هذا الشكل.
على سبيل المثال، يتم تحديد موضع نقطة على منحنى بإحداثيات واحدة، وعلى سطح (ليس بالضرورة مستوى) بإحداثيتين، وفي الفضاء ثلاثي الأبعاد بثلاثة إحداثيات.
من وجهة نظر رياضية أكثر عمومية، يمكن تحديد البعد بهذه الطريقة: الزيادة في الأبعاد الخطية، على سبيل المثال، بعامل اثنين، للأجسام أحادية البعد (من وجهة نظر طوبولوجية) (القطعة) تؤدي إلى زيادة الحجم (الطول) بعامل اثنين، بالنسبة للأبعاد ثنائية الأبعاد (مربع) تؤدي نفس الزيادة في الأبعاد الخطية إلى زيادة الحجم (المساحة) بمقدار 4 مرات، بالنسبة للأبعاد الثلاثية (المكعب) - بمقدار 8 مرات. أي أنه يمكن حساب البعد "الحقيقي" (ما يسمى هاوسدورف) على أنه نسبة لوغاريتم الزيادة في "حجم" الكائن إلى لوغاريتم الزيادة في حجمه الخطي. أي أنه بالنسبة للمقطع D=log (2)/log (2)=1، بالنسبة للمستوى D=log (4)/log (2)=2، بالنسبة للحجم D=log (8)/log (2) )=3.
دعونا الآن نحسب بعد منحنى كوخ، الذي يتم من خلاله تقسيم قطعة الوحدة إلى ثلاثة أجزاء متساوية ويتم استبدال الفاصل الأوسط بمثلث متساوي الأضلاع بدون هذه القطعة. عندما تزيد الأبعاد الخطية للقطعة الدنيا ثلاث مرات، يزداد طول منحنى كوخ بمقدار log (4)/log (3) ~ 1.26. أي أن بُعد منحنى كوخ كسري!

العلم والفن

مخطط للحصول على منحنى كوخ

الحرب و السلام

كما ذكرنا أعلاه، فإن أحد الأشياء الطبيعية التي لها خصائص كسورية هو الساحل. وترتبط بها قصة مثيرة للاهتمام، أو بتعبير أدق، بمحاولة قياس طولها، والتي شكلت أساس مقال ماندلبروت العلمي، ويرد وصفها أيضًا في كتابه “الهندسة الكسورية للطبيعة”. نحن نتحدث عن تجربة أجراها لويس ريتشاردسون، وهو عالم رياضيات وفيزيائي وأرصاد جوية موهوب للغاية وغريب الأطوار. كان أحد اتجاهات بحثه هو محاولة العثور على وصف رياضي لأسباب واحتمال نشوب صراع مسلح بين البلدين. ومن بين المعايير التي أخذها في الاعتبار طول الحدود المشتركة بين البلدين المتحاربين. وعندما جمع بيانات للتجارب العددية، اكتشف أن البيانات المتعلقة بالحدود المشتركة بين إسبانيا والبرتغال تختلف اختلافًا كبيرًا عن المصادر المختلفة. وقد قاده هذا إلى الاكتشاف التالي: طول حدود الدولة يعتمد على المسطرة التي نقيسها بها. كلما كان المقياس أصغر، كانت الحدود أطول. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه مع زيادة التكبير يصبح من الممكن مراعاة المزيد والمزيد من الانحناءات الجديدة للساحل، والتي تم تجاهلها سابقًا بسبب خشونة القياسات. وإذا تم الكشف، مع كل زيادة في الحجم، عن انحناءات الخطوط غير المحسوبة سابقًا، فسيتبين أن طول الحدود لا نهائي! صحيح أن هذا لا يحدث في الواقع - فدقة قياساتنا لها حدود محدودة. وتسمى هذه المفارقة بتأثير ريتشاردسون.

فركتلات بنائية (هندسية).

خوارزمية إنشاء كسورية بناءة في الحالة العامة هي كما يلي. أولًا، نحتاج إلى شكلين هندسيين مناسبين، لنسميهما القاعدة والجزء. في المرحلة الأولى، يتم تصوير أساس الفراكتل المستقبلي. ثم يتم استبدال بعض أجزائه بجزء مأخوذ بمقياس مناسب - وهذا هو التكرار الأول للبناء. ثم يغير الشكل الناتج بعض الأجزاء مرة أخرى إلى أشكال مشابهة للجزء، وما إلى ذلك. إذا واصلنا هذه العملية إلى ما لا نهاية، فسنحصل على كسورية في الحد الأقصى.

دعونا نلقي نظرة على هذه العملية باستخدام منحنى كوخ كمثال (انظر الشريط الجانبي في الصفحة السابقة). يمكن اتخاذ أي منحنى كأساس لمنحنى كوخ (بالنسبة لـ "ندفة ثلج كوخ" فهو مثلث). لكننا سنقتصر على أبسط حالة - شريحة. القطعة عبارة عن خط مكسور، كما هو موضح في الجزء العلوي من الشكل. بعد التكرار الأول للخوارزمية، في هذه الحالة، سيتزامن الجزء الأصلي مع الجزء، ثم سيتم استبدال كل جزء من الأجزاء المكونة له بخط متقطع مشابه للجزء، وما إلى ذلك. يوضح الشكل الخطوات الأربع الأولى من هذا عملية.

في لغة الرياضيات: الفركتلات الديناميكية (الجبرية).

ينشأ هذا النوع من الفركتلات عند دراسة الأنظمة الديناميكية غير الخطية (ومن هنا جاءت تسميتها). يمكن وصف سلوك مثل هذا النظام من خلال دالة غير خطية معقدة (متعددة الحدود) f (z). لنأخذ بعض النقطة الأولية z0 على المستوى المعقد (انظر الشريط الجانبي). الآن فكر في مثل هذا التسلسل اللانهائي من الأرقام على المستوى المركب، حيث يتم الحصول على كل رقم تالٍ من الرقم السابق: z0، z1=f (z0)، z2=f (z1)، ... zn+1=f (zn) ). اعتمادًا على النقطة الأولية z0، يمكن أن يتصرف هذا التسلسل بشكل مختلف: يميل إلى ما لا نهاية كـ n -> ∞؛ تتلاقى إلى نقطة النهاية. تأخذ دوريا سلسلة من القيم الثابتة؛ من الممكن أيضًا استخدام خيارات أكثر تعقيدًا.

ارقام مركبة

الرقم المركب هو رقم يتكون من جزأين - حقيقي وتخيلي، أي المجموع الرسمي x + iy (x و y هنا أرقام حقيقية). أنا هو ما يسمى الوحدة التخيلية، أي الرقم الذي يحقق المعادلة أنا ^ 2 = -1. يتم تعريف العمليات الرياضية الأساسية على الأعداد المركبة: الجمع والضرب والقسمة والطرح (لم يتم تعريف سوى عملية المقارنة). لعرض الأعداد المركبة، غالبًا ما يتم استخدام التمثيل الهندسي - على المستوى (يسمى معقدًا)، يتم رسم الجزء الحقيقي على طول محور الإحداثي، ويتم رسم الجزء التخيلي على طول المحور الإحداثي، وسيتوافق الرقم المركب مع نقطة ذات الإحداثيات الديكارتية x و y.

وبالتالي، فإن أي نقطة z من المستوى المركب لها سلوكها الخاص أثناء تكرارات الدالة f (z)، ويتم تقسيم المستوى بأكمله إلى أجزاء. علاوة على ذلك، فإن النقاط الموجودة على حدود هذه الأجزاء لها الخاصية التالية: مع إزاحة صغيرة تعسفية، تتغير طبيعة سلوكها بشكل حاد (تسمى هذه النقاط نقاط التشعب). لذلك، اتضح أن مجموعات النقاط التي لها نوع واحد محدد من السلوك، بالإضافة إلى مجموعات نقاط التشعب، غالبًا ما يكون لها خصائص كسورية. هذه هي مجموعات جوليا للدالة f (z).

عائلة التنين

من خلال تغيير القاعدة والجزء، يمكنك الحصول على مجموعة مذهلة من الفركتلات البناءة.
علاوة على ذلك، يمكن إجراء عمليات مماثلة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ومن أمثلة الفركتلات الحجمية "إسفنجة مينجر" و"هرم سيربينسكي" وغيرها.
تعتبر عائلة التنين أيضًا كسورية بناءة. في بعض الأحيان يطلق عليهم اسم مكتشفيهم "تنانين هيفي هارتر" (في شكلها يشبهون التنانين الصينية). هناك عدة طرق لبناء هذا المنحنى. أبسطها وأكثرها وضوحًا هو: عليك أن تأخذ شريطًا طويلًا إلى حد ما من الورق (كلما كانت الورقة أرق، كلما كان ذلك أفضل)، وثنيها إلى النصف. ثم قم بثنيها إلى النصف مرة أخرى في نفس اتجاه المرة الأولى. بعد عدة تكرارات (عادة بعد خمس أو ست طيات، يصبح الشريط سميكًا جدًا بحيث لا يمكن ثنيه بلطف أكثر)، تحتاج إلى ثني الشريط للخلف، ومحاولة إنشاء زوايا 90 درجة عند الطيات. ثم في الملف الشخصي سوف تحصل على منحنى التنين. وبطبيعة الحال، سيكون هذا مجرد تقدير تقريبي، مثل كل محاولاتنا لتصوير الأجسام الكسرية. يسمح الكمبيوتر بتصوير العديد من خطوات هذه العملية، والنتيجة هي شكل جميل جدًا.

تم إنشاء مجموعة ماندلبروت بشكل مختلف إلى حد ما. خذ بعين الاعتبار الدالة fc (z) = z 2 +c، حيث c عدد مركب. لنقم ببناء تسلسل لهذه الدالة باستخدام z0=0؛ اعتمادًا على المعلمة c، يمكن أن تتباعد إلى ما لا نهاية أو تظل محدودة. علاوة على ذلك، فإن جميع قيم c التي يقتصر عليها هذا التسلسل تشكل مجموعة ماندلبروت. وقد تمت دراستها بالتفصيل من قبل ماندلبروت نفسه وغيره من علماء الرياضيات، الذين اكتشفوا العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام لهذه المجموعة.

يمكن ملاحظة أن تعريفات مجموعتي جوليا وماندلبروت متشابهة مع بعضها البعض. في الواقع، هاتان المجموعتان مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. وهي مجموعة ماندلبروت هي جميع قيم المعلمة المعقدة c التي تتصل بها مجموعة جوليا fc (z) (تسمى المجموعة متصلة إذا لم يكن من الممكن تقسيمها إلى جزأين منفصلين، مع بعض الشروط الإضافية).

فركتلات والحياة

في الوقت الحاضر، يتم استخدام نظرية الفركتلات على نطاق واسع في مختلف مجالات النشاط البشري. بالإضافة إلى كائن علمي بحت للبحث واللوحة الكسورية المذكورة بالفعل، يتم استخدام الفركتلات في نظرية المعلومات لضغط البيانات الرسومية (يتم استخدام خاصية التشابه الذاتي للفركتلات بشكل أساسي هنا - بعد كل شيء، لتذكر جزء صغير من الصورة والتحويلات التي يمكنك من خلالها الحصول على الأجزاء المتبقية، تتطلب ذاكرة أقل بكثير من تخزين الملف بأكمله). من خلال إضافة اضطرابات عشوائية إلى الصيغ التي تحدد الفركتل، يمكنك الحصول على فركتلات عشوائية تنقل بشكل معقول بعض الأشياء الحقيقية - عناصر الإغاثة، وسطح الخزانات، وبعض النباتات، والتي يتم استخدامها بنجاح في الفيزياء والجغرافيا ورسومات الكمبيوتر لتحقيق قدر أكبر تشابه الأشياء المحاكاة مع الأشياء الحقيقية. في الإلكترونيات الراديوية، في العقد الماضي، بدأ إنتاج هوائيات ذات شكل كسورية. فهي تشغل مساحة صغيرة، وتوفر استقبال إشارة عالي الجودة. يستخدم الاقتصاديون الفركتلات لوصف منحنيات تقلبات العملة (اكتشف ماندلبروت هذه الخاصية منذ أكثر من 30 عامًا). وبهذا تنتهي هذه الرحلة القصيرة إلى عالم الفركتلات الجميل والمتنوع بشكل مذهل.

أصبحت مفاهيم الهندسة الكسورية والكسورية، التي ظهرت في أواخر السبعينيات، راسخة بين علماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينات. كلمة فركتال مشتقة من الكلمة اللاتينية fractus وتعني تتكون من أجزاء. تم اقتراحه من قبل بينوا ماندلبروت في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكن المشابهة ذاتيًا التي كان مهتمًا بها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الكسورية بنشر كتاب ماندلبرو “الهندسة الكسورية للطبيعة” عام 1977. وقد استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوينكاريه، فاتو، جوليا، كانتور، هاوسدورف ولكن في عصرنا فقط كان من الممكن دمج عملهم في نظام واحد.
دور الفركتلات في رسومات الكمبيوتر اليوم كبير جدًا. إنهم يأتون للإنقاذ، على سبيل المثال، عندما يكون من الضروري، باستخدام عدة معاملات، تحديد الخطوط والأسطح ذات الأشكال المعقدة للغاية. من وجهة نظر رسومات الحاسوب، لا غنى عن الهندسة الكسورية عند إنشاء السحب الاصطناعية والجبال والأسطح البحرية. في الواقع، تم العثور على طريقة لتمثيل الأجسام غير الإقليدية المعقدة بسهولة، والتي تشبه صورها إلى حد كبير الصور الطبيعية.
واحدة من الخصائص الرئيسية للفركتلات هي التشابه الذاتي. في أبسط الحالات، جزء صغير من الفراكتل يحتوي على معلومات حول الفراكتل بأكمله. تعريف ماندلبروت للكسورية هو: "الكسورية هي بنية تتكون من أجزاء تشبه إلى حد ما الكل."

هناك عدد كبير من الكائنات الرياضية التي تسمى الفركتلات (مثلث سيربينسكي، ندفة ثلج كوخ، منحنى بيانو، مجموعة ماندلبروت وجاذبات لورنتز). تصف الفركتلات بدقة كبيرة العديد من الظواهر الفيزيائية وتشكيلات العالم الحقيقي: الجبال، والسحب، والتدفقات المضطربة (الدوامة)، والجذور والفروع وأوراق الأشجار، والأوعية الدموية، وهي بعيدة عن أن تتوافق مع الأشكال الهندسية البسيطة. لأول مرة، تحدث بينوا ماندلبروت عن الطبيعة الكسورية لعالمنا في عمله الأساسي "الهندسة الكسورية للطبيعة".
تم تقديم مصطلح الفركتل بواسطة بينوا ماندلبروت في عام 1977 في عمله الأساسي الفركتلات والشكل والفوضى والبعد. وفقا لماندلبروت، فإن كلمة كسورية تأتي من الكلمات اللاتينية fractus - كسري وfrangere - لكسر، وهو ما يعكس جوهر الكسورية باعتبارها مجموعة "مكسورة وغير منتظمة".

تصنيف الفركتلات.

من أجل تقديم مجموعة كاملة من الفركتلات، من المناسب اللجوء إلى تصنيفها المقبول عمومًا. هناك ثلاث فئات من الفركتلات.

1. فركتلات هندسية.

فركتلات هذه الفئة هي الأكثر وضوحًا. وفي الحالة ثنائية الأبعاد، يتم الحصول عليها باستخدام خط متقطع (أو سطح في الحالة ثلاثية الأبعاد)، يسمى المولد. في خطوة واحدة من الخوارزمية، يتم استبدال كل جزء من الأجزاء التي تشكل الخطوط المتعددة بمولد متعدد الخطوط على المقياس المناسب. ونتيجة للتكرار الذي لا نهاية له لهذا الإجراء، يتم الحصول على كسورية هندسية.

دعونا نفكر في مثال لأحد هذه الأجسام الفركتلية - منحنى كوخ الثلاثي.

بناء منحنى كوخ الثلاثي.

لنأخذ قطعة مستقيمة بطول 1. لنسميها بذرة. دعونا نقسم البذرة إلى ثلاثة أجزاء متساوية بطول 1/3، ونتخلص من الجزء الأوسط ونستبدله بخط متقطع من وصلتين بطول 1/3.

سنحصل على خط متقطع يتكون من 4 روابط بطول إجمالي 4/3 - ما يسمى الجيل الاول.

من أجل الانتقال إلى الجيل التالي من منحنى كوخ، من الضروري التخلص من الجزء الأوسط من كل رابط واستبداله. وعليه فإن طول الجيل الثاني سيكون 16/9 والثالث - 64/27. إذا واصلنا هذه العملية إلى ما لا نهاية، فإن النتيجة هي منحنى كوخ الثلاثي.

دعونا الآن نفكر في خصائص منحنى كوخ الثلاثي ونكتشف سبب تسمية الفركتلات بـ "الوحوش".

أولا، هذا المنحنى ليس له طول - كما رأينا، مع عدد الأجيال فإن طوله يميل إلى ما لا نهاية.

ثانيًا، من المستحيل إنشاء مماس لهذا المنحنى - كل نقطة من نقاطه هي نقطة انعطاف لا يوجد عندها المشتق - هذا المنحنى ليس سلسًا.

يعد الطول والنعومة من الخصائص الأساسية للمنحنيات، والتي تمت دراستها من خلال الهندسة الإقليدية وهندسة لوباتشيفسكي وريمان. تبين أن الأساليب التقليدية للتحليل الهندسي غير قابلة للتطبيق على منحنى كوخ الثلاثي، لذلك تبين أن منحنى كوخ وحش - "وحش" بين السكان السلسين للهندسة التقليدية.

بناء "التنين" هارتر-هايثواي.

للحصول على كائن كسورية آخر، تحتاج إلى تغيير قواعد البناء. دع عنصر التشكيل عبارة عن جزأين متساويين متصلين بزوايا قائمة. في الجيل الصفري نستبدل قطعة الوحدة بعنصر التوليد هذا بحيث تكون الزاوية في الأعلى. يمكننا القول أنه مع مثل هذا الاستبدال هناك إزاحة لمنتصف الرابط. عند بناء الأجيال اللاحقة، يتم اتباع القاعدة: يتم استبدال الرابط الأول على اليسار بعنصر تشكيل بحيث يتم إزاحة منتصف الرابط إلى يسار اتجاه الحركة، وعند استبدال الروابط اللاحقة، اتجاهات يجب أن يتناوب إزاحة منتصف الأجزاء. يوضح الشكل الأجيال القليلة الأولى والجيل الحادي عشر من المنحنى المبني وفقًا للمبدأ الموضح أعلاه. يسمى المنحنى الذي يميل n إلى ما لا نهاية بتنين هارتر-هايثواي.
في رسومات الحاسوب، يعد استخدام الفركتلات الهندسية ضروريًا عند الحصول على صور للأشجار والشجيرات. تُستخدم فركتلات هندسية ثنائية الأبعاد لإنشاء أنسجة ثلاثية الأبعاد (أنماط على سطح كائن ما).

2.فركتلات جبرية

هذه هي أكبر مجموعة من الفركتلات. يتم الحصول عليها باستخدام العمليات غير الخطية في الفضاءات ذات الأبعاد n. العمليات ثنائية الأبعاد هي الأكثر دراسة. عند تفسير عملية تكرارية غير خطية كنظام ديناميكي منفصل، يمكن للمرء استخدام مصطلحات نظرية هذه الأنظمة: صورة الطور، عملية الحالة المستقرة، الجاذب، إلخ.
من المعروف أن الأنظمة الديناميكية غير الخطية لها عدة حالات مستقرة. الحالة التي يجد فيها النظام الديناميكي نفسه بعد عدد معين من التكرارات تعتمد على حالته الأولية. لذلك، فإن كل حالة مستقرة (أو كما يقولون، جاذبة) لديها منطقة معينة من الحالات الأولية، والتي سيقع النظام منها بالضرورة في الحالات النهائية قيد النظر. وبالتالي، يتم تقسيم مساحة الطور للنظام إلى مناطق جذب الجاذبين. إذا كان فضاء الطور هو فضاء ثنائي الأبعاد، فمن خلال تلوين مناطق الجذب بألوان مختلفة، يمكن الحصول على صورة طورية ملونة لهذا النظام (عملية تكرارية). من خلال تغيير خوارزمية اختيار اللون، يمكنك الحصول على أنماط فركتالية معقدة مع أنماط غريبة متعددة الألوان. كانت المفاجأة لعلماء الرياضيات هي القدرة على إنشاء هياكل معقدة للغاية وغير تافهة باستخدام خوارزميات بدائية.

مجموعة ماندلبروت.

على سبيل المثال، النظر في مجموعة ماندلبروت. خوارزمية بنائها بسيطة للغاية وتعتمد على تعبير تكراري بسيط: Z = Z[i] * Z[i] + C، أين زيو ج- المتغيرات المعقدة. يتم تنفيذ التكرارات لكل نقطة بداية من منطقة مستطيلة أو مربعة - مجموعة فرعية من المستوى المعقد. وتستمر العملية التكرارية حتى ض [أنا]لن يتجاوز دائرة نصف القطر 2، التي يقع مركزها عند النقطة (0،0)، (وهذا يعني أن جاذب النظام الديناميكي موجود عند اللانهاية)، أو بعد عدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات (على سبيل المثال ، 200-500) ض [أنا]سوف تتقارب إلى نقطة ما على الدائرة. اعتمادا على عدد التكرارات التي خلالها ض [أنا]بقي داخل الدائرة، يمكنك ضبط لون النقطة ج(لو ض [أنا]يبقى داخل الدائرة لعدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات، وتتوقف عملية التكرار ويتم طلاء هذه النقطة النقطية باللون الأسود).

3. فركتلات العشوائية

فئة أخرى معروفة من الفركتلات هي الفركتلات العشوائية، والتي يتم الحصول عليها إذا تم تغيير بعض معلماتها بشكل عشوائي في عملية متكررة. في هذه الحالة، تكون الكائنات الناتجة مشابهة جدًا للأشياء الطبيعية - الأشجار غير المتكافئة، والسواحل الوعرة، وما إلى ذلك. تُستخدم الفركتلات العشوائية ثنائية الأبعاد في نمذجة التضاريس والأسطح البحرية.
هناك تصنيفات أخرى للفركتلات، على سبيل المثال، تقسيم الفركتلات إلى حتمية (جبرية وهندسية) وغير حتمية (عشوائية).

حول استخدام الفركتلات

بادئ ذي بدء، تعتبر الفركتلات مجالًا للفن الرياضي المذهل، حيث يتم الحصول على صور ذات جمال وتعقيد استثنائيين بمساعدة أبسط الصيغ والخوارزميات! غالبًا ما تظهر الأوراق والأشجار والزهور في محيط الصور المبنية.

تكمن بعض أقوى تطبيقات الفركتلات في رسومات الكمبيوتر. أولا، هذا هو ضغط كسورية للصور، وثانيا، بناء المناظر الطبيعية والأشجار والنباتات وتوليد القوام كسورية. بدأت الفيزياء والميكانيكا الحديثة للتو في دراسة سلوك الأجسام الفركتلية. وبطبيعة الحال، يتم استخدام الفركتلات مباشرة في الرياضيات نفسها.
تتمثل مزايا خوارزميات ضغط الصور النمطية الكسورية في الحجم الصغير جدًا للملف المعبأ وقصر وقت استعادة الصورة. يمكن تحجيم الصور المعبأة كسورية دون التسبب في البيكسل. لكن عملية الضغط تستغرق وقتا طويلا وأحيانا تستمر لساعات. تتيح لك خوارزمية التغليف الفراكتلية المفقودة ضبط مستوى الضغط، على غرار تنسيق jpeg. تعتمد الخوارزمية على البحث عن القطع الكبيرة من الصورة التي تشبه بعض القطع الصغيرة. والقطعة المشابهة فقط هي التي يتم كتابتها في ملف الإخراج. عند الضغط، عادة ما يتم استخدام شبكة مربعة (القطع عبارة عن مربعات)، مما يؤدي إلى زاوية طفيفة عند استعادة الصورة؛ لا تحتوي الشبكة السداسية على هذا العيب.
قامت شركة Iterated بتطوير تنسيق صورة جديد، "Sting"، والذي يجمع بين الضغط الكسري و"الموجي" (مثل jpeg) بدون فقدان البيانات. يتيح لك التنسيق الجديد إنشاء صور مع إمكانية التحجيم اللاحق عالي الجودة، ويبلغ حجم ملفات الرسوم 15-20٪ من حجم الصور غير المضغوطة.
يتم استغلال ميل الفركتلات إلى التشابه مع الجبال والزهور والأشجار من قبل بعض محرري الرسوم، على سبيل المثال، السحب الفركتلية من 3D studio MAX، والجبال الفركتلية في World Builder. يتم تعريف الأشجار الكسورية والجبال والمناظر الطبيعية بأكملها من خلال صيغ بسيطة، وهي سهلة البرمجة ولا تنقسم إلى مثلثات ومكعبات منفصلة عند الاقتراب منها.
لا يمكن للمرء أن يتجاهل استخدام الفركتلات في الرياضيات نفسها. في نظرية المجموعات، تثبت مجموعة كانتور وجود مجموعات كثيفة لا تشوبها شائبة؛
في الميكانيكا والفيزياء، يتم استخدام الفركتلات نظرًا لخاصيتها الفريدة المتمثلة في تكرار الخطوط العريضة للعديد من الأشياء الطبيعية. تتيح لك الفركتلات تقريب الأشجار والأسطح الجبلية والشقوق بدقة أعلى من التقريبات باستخدام مجموعات من المقاطع أو المضلعات (بنفس كمية البيانات المخزنة). النماذج الكسورية، مثل الأجسام الطبيعية، لها "خشونة"، ويتم الحفاظ على هذه الخاصية مهما كان حجم تكبير النموذج. يسمح وجود مقياس موحد للفركتلات بتطبيق التكامل والنظرية المحتملة واستخدامها بدلاً من الكائنات القياسية في المعادلات التي تمت دراستها بالفعل.
مع النهج الكسري، تتوقف الفوضى عن كونها اضطرابًا أزرقًا وتكتسب بنية دقيقة. لا يزال علم الفراكتلات صغيرًا جدًا وأمامه مستقبل عظيم. إن جمال الفركتلات أبعد ما يكون عن الاستنفاد وسيظل يقدم لنا العديد من الروائع - تلك التي تسعد العين، وتلك التي تجلب المتعة الحقيقية للعقل.

حول بناء فركتلات

طريقة التقريب المتعاقبة

بالنظر إلى هذه الصورة، ليس من الصعب أن نفهم كيف يمكنك بناء كسورية مماثلة ذاتيًا (في هذه الحالة، هرم سيربينسكي). نحتاج أن نأخذ هرمًا منتظمًا (رباعي السطوح)، ثم نقطع وسطه (المجسم الثماني)، فينتج عن ذلك أربعة أهرامات صغيرة. مع كل واحد منهم نقوم بنفس العملية، الخ. وهذا تفسير ساذج إلى حد ما ولكنه واضح.

دعونا نفكر في جوهر الطريقة بشكل أكثر صرامة. يجب أن يكون هناك نظام IFS، أي. نظام رسم الخرائط الضغط س=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (على سبيل المثال، بالنسبة لهرمنا، تكون التعيينات بالشكل S i (x)=1/2*x+o i ، حيث o i رؤوس رباعي الاسطح، i=1،..،4). ثم نختار مجموعة مدمجة A 1 في R n (في حالتنا نختار رباعي السطوح). ونحدد بالاستقراء تسلسل المجموعات A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). ومن المعروف أن مجموعات A k مع زيادة k تقارب الجاذب المطلوب للنظام بشكل أفضل وأفضل س.

لاحظ أن كل من هذه التكرارات تعتبر عامل جذب النظام المتكرر للوظائف المتكررة(مصطلح إنجليزي ديغراف IFS, ريفسو أيضا IFS الموجه بالرسم البياني) وبالتالي من السهل بنائها باستخدام برنامجنا.

طريقة نقطة بنقطة أو الطريقة الاحتمالية

هذه هي أسهل طريقة للتنفيذ على جهاز الكمبيوتر. من أجل التبسيط، فإننا نعتبر حالة المجموعة المسطحة ذاتية التقارب. لذا دع (س

) - بعض أنظمة الانقباضات العاطفية. عرض س

يمكن تمثيله بـ: S

حجم المصفوفة الثابتة 2x2 و o

عمود متجه ثنائي الأبعاد.

لنأخذ النقطة الثابتة للرسم الأول S 1 كنقطة بداية:
س:= o1;
هنا نستفيد من حقيقة أن جميع نقاط الضغط الثابتة S 1 ,..,S m تنتمي إلى الفراكتل. يمكنك تحديد نقطة عشوائية كنقطة البداية وسيتم رسم تسلسل النقاط الناتجة عنها إلى كسورية، ولكن بعد ذلك ستظهر عدة نقاط إضافية على الشاشة.
لنضع علامة على النقطة الحالية x=(x 1 ,x 2) على الشاشة:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
لنختار عشوائيًا رقمًا j من 1 إلى m ونعيد حساب إحداثيات النقطة x:
ي:=عشوائي(م)+1;
س:=S ي (خ)؛
ننتقل إلى الخطوة 2، أو إذا قمنا بعدد كبير بما فيه الكفاية من التكرارات، نتوقف.

ملحوظة.إذا كانت نسب ضغط التعيينات S i مختلفة، فسيتم ملء الفركتل بالنقاط بشكل غير متساو. إذا كانت التعيينات S i متشابهة، فيمكن تجنب ذلك عن طريق تعقيد الخوارزمية قليلاً. للقيام بذلك، في الخطوة الثالثة من الخوارزمية، يجب اختيار الرقم j من 1 إلى m مع الاحتمالات p 1 =r 1 s,..,p m =r m s، حيث r i تشير إلى معاملات الضغط للتعيينات Si، و الرقم s (يسمى بعد التشابه) تم إيجاده من المعادلة r 1 s +...+r m s =1. ويمكن إيجاد حل هذه المعادلة، على سبيل المثال، بطريقة نيوتن.

حول الفركتلات وخوارزمياتها

كلمة كسورية تأتي من الصفة اللاتينية "fractus"، وفي الترجمة تعني تتكون من أجزاء، والفعل اللاتيني المقابل "frangere" يعني كسر، أي إنشاء أجزاء غير منتظمة. أصبحت مفاهيم الهندسة الكسورية والكسورية، التي ظهرت في أواخر السبعينيات، راسخة بين علماء الرياضيات والمبرمجين منذ منتصف الثمانينات. تمت صياغة هذا المصطلح من قبل بينوا ماندلبروت في عام 1975 للإشارة إلى الهياكل غير المنتظمة ولكن المشابهة ذاتيًا التي كان مهتمًا بها. عادة ما ترتبط ولادة الهندسة الكسورية بنشر كتاب ماندلبروت “الهندسة الكسورية للطبيعة” في عام 1977. استخدمت أعماله النتائج العلمية لعلماء آخرين عملوا في الفترة 1875-1925 في نفس المجال (بوينكاريه، فاتو، جوليا، كانتور، هاوسدورف).

التعديلات

اسمحوا لي أن أقوم ببعض التعديلات على الخوارزميات المقترحة في كتاب H.-O. Peitgen و P.H. Richter "جمال الفركتلات" M. 1993 فقط للقضاء على الأخطاء المطبعية وتسهيل فهم العمليات لأنه بعد دراستها ظل الكثير لغزا بالنسبة لي. ولسوء الحظ، فإن هذه الخوارزميات "المفهومة" و"البسيطة" تقود أسلوب حياة متأرجح.

يعتمد بناء الفركتلات على دالة غير خطية معينة لعملية معقدة ذات ردود فعل z => z 2 +c بما أن z وc أرقام مركبة، إذن z = x + iy, c = p + iq فمن الضروري تحليلها إلى x وy للانتقال إلى مستوى أكثر واقعية بالنسبة للرجل العادي:

س(ك+1)=س(ك) 2 -ص(ك) 2 + ص,
ذ(ك+1)=2*س(ك)*ص(ك) + ف.

يمكن اعتبار المستوى الذي يتكون من جميع الأزواج (x,y) كما لو كان لقيم ثابتة ص و فومع تلك الديناميكية. في الحالة الأولى وذلك بالمرور على جميع النقاط (x,y) للمستوى حسب القانون وتلوينها حسب عدد تكرارات الدالة اللازمة للخروج من العملية التكرارية أو عدم تلوينها (اللون الأسود) عندما تم تجاوز الحد الأقصى المسموح به من التكرارات، وسنحصل على عرض لمجموعة جوليا. على العكس من ذلك، إذا حددنا زوج القيم الأولي (x،y) وتتبعنا مصيره اللوني بقيم متغيرة ديناميكيًا للمعلمات p و q، فإننا نحصل على صور تسمى مجموعات ماندلبروت.

فيما يتعلق بمسألة خوارزميات تلوين الفركتلات.

عادةً ما يتم تمثيل جسم المجموعة كحقل أسود، على الرغم من أنه من الواضح أنه يمكن استبدال اللون الأسود بأي لون آخر، إلا أن هذه أيضًا نتيجة مثيرة للاهتمام بعض الشيء. يعد الحصول على صورة لمجموعة ملونة بجميع الألوان مهمة لا يمكن حلها باستخدام العمليات الدورية بسبب عدد تكرارات المجموعات التي تشكل الجسم يساوي الحد الأقصى الممكن وهو نفسه دائمًا. من الممكن تلوين مجموعة بألوان مختلفة باستخدام نتيجة التحقق من حالة خروج الحلقة (z_magnitude) أو ما شابه ذلك، ولكن مع عمليات رياضية أخرى، كرقم اللون.

تطبيق "المجهر الكسري"

لإثبات الظواهر الحدودية.

الجاذبون هم مراكز تقود الصراع من أجل الهيمنة على متن الطائرة. تظهر حدود بين الجاذبات، تمثل نمطًا مزهرًا. ومن خلال زيادة حجم النظر ضمن حدود المجموعة، يمكن الحصول على أنماط غير تافهة تعكس حالة الفوضى الحتمية - وهي ظاهرة شائعة في العالم الطبيعي.

تشكل الكائنات التي يدرسها الجغرافيون نظامًا ذا حدود منظمة للغاية، وبالتالي فإن تحديدها لا يصبح مهمة عملية بسيطة. تحتوي المجمعات الطبيعية على نوى نموذجية تعمل كجاذبات تفقد تأثيرها على المنطقة أثناء ابتعادها.

باستخدام المجهر الكسري لمجموعتي ماندلبروت وجوليا، يمكن للمرء تكوين فكرة عن العمليات والظواهر الحدودية التي تتسم بنفس القدر من التعقيد بغض النظر عن حجم الاعتبار وبالتالي إعداد تصور المتخصص لمواجهة جسم طبيعي ديناميكي وفوضوي على ما يبدو في المكان والزمان، لفهم طبيعة الهندسة الكسورية. من المؤكد أن الألوان المتعددة الألوان والموسيقى الكسورية ستترك بصمة عميقة في أذهان الطلاب.

تم تخصيص آلاف المنشورات وموارد الإنترنت الهائلة للفركتلات، ولكن بالنسبة للعديد من المتخصصين البعيدين عن علوم الكمبيوتر، يبدو هذا المصطلح جديدًا تمامًا. الفركتلات، باعتبارها أشياء تهم المتخصصين في مختلف مجالات المعرفة، يجب أن تحصل على مكان مناسب في دورات علوم الكمبيوتر.

أمثلة

شبكة سيبينسكي

هذه إحدى الفركتلات التي جربها ماندلبروت عند تطوير مفاهيم الأبعاد والتكرارات الفركتلية. يتم قطع المثلثات التي يتم تشكيلها من خلال ربط نقاط المنتصف لمثلث أكبر من المثلث الرئيسي، لتشكل مثلثًا به المزيد من الثقوب. البادئ في هذه الحالة هو المثلث الكبير والقالب هو عملية قطع المثلثات المشابهة للأكبر. يمكنك أيضًا الحصول على نسخة ثلاثية الأبعاد للمثلث باستخدام رباعي السطوح العادي واستبعاد رباعيات السطوح الصغيرة. البعد لهذا الفراكتل هو ln3/ln2 = 1.584962501.

ليحصل سجادة سيربينسكيخذ مربعًا وقسمه إلى تسعة مربعات واقطع المربع الأوسط. سنفعل الشيء نفسه مع المربعات الصغيرة المتبقية. في النهاية، يتم تشكيل شبكة فركتالية مسطحة، ليس لها مساحة ولكن مع اتصالات لا نهائية. في شكلها المكاني، تتحول إسفنجة سيربينسكي إلى نظام من الأشكال الشاملة، حيث يتم استبدال كل عنصر من البداية إلى النهاية بنوعه الخاص باستمرار. هذا الهيكل مشابه جدًا لقسم من الأنسجة العظمية. يومًا ما ستصبح هذه الهياكل المتكررة عنصرًا في هياكل البناء. ويعتقد ماندلبروت أن إحصائياتها وديناميكياتها تستحق دراسة وثيقة.

منحنى كوخ

يعد منحنى كوخ واحدًا من أكثر الفركتلات الحتمية شيوعًا. تم اختراعه في القرن التاسع عشر على يد عالم رياضيات ألماني يُدعى هيلج فون كوخ، والذي صادف، أثناء دراسته لأعمال جورج كونتور وكارل فايرستراس، أوصافًا لبعض المنحنيات الغريبة ذات السلوك غير المعتاد. البادئ هو خط مستقيم. المولد عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع، تساوي أضلاعه ثلث طول القطعة الأكبر. تتم إضافة هذه المثلثات إلى منتصف كل قطعة مرارًا وتكرارًا. في بحثه، أجرى ماندلبروت تجارب مكثفة على منحنيات كوخ، وأنتج أشكالًا مثل جزر كوخ، وصلبان كوخ، ورقاقات ثلج كوخ، وحتى تمثيلات ثلاثية الأبعاد لمنحنى كوخ باستخدام رباعي السطوح وإضافة رباعيات أصغر إلى كل وجه من وجوهه. منحنى كوخ له البعد ln4/ln3 = 1.261859507.

ماندلبروت كسورية

هذه ليست مجموعة ماندلبروت، التي تراها كثيرًا. تعتمد مجموعة ماندلبروت على معادلات غير خطية وهي كسورية معقدة. وهذا أيضًا أحد أشكال منحنى كوخ، على الرغم من أن هذا الكائن ليس مشابهًا له. يختلف البادئ والمولد أيضًا عن تلك المستخدمة لإنشاء الفركتلات بناءً على مبدأ منحنى كوخ، لكن الفكرة تظل كما هي. بدلاً من ضم المثلثات متساوية الأضلاع إلى قطعة منحنى، يتم ربط المربعات بمربع. ونظرًا لحقيقة أن هذا الفراكتل يشغل نصف المساحة المخصصة بالضبط في كل تكرار، فإنه يحتوي على بُعد فركتلي بسيط قدره 3/2 = 1.5.

دارير بينتاغون

يشبه الفركتل مجموعة من الأشكال الخماسية المضغوطة معًا. في الواقع، يتم تشكيلها باستخدام البنتاغون كبادئ ومثلثات متساوية الساقين تكون فيها نسبة الضلع الأكبر إلى الضلع الأصغر تساوي تمامًا ما يسمى النسبة الذهبية (1.618033989 أو 1/(2cos72)) كمولد. . يتم قطع هذه المثلثات من منتصف كل خماسي، مما ينتج عنه شكل يشبه 5 خماسيات صغيرة ملتصقة بمخماس واحد كبير.

يمكن الحصول على شكل مختلف من هذا الفركتل باستخدام شكل مسدس كبادئ. يُطلق على هذا الفركتل اسم نجمة داود وهو مشابه تمامًا للنسخة السداسية من Koch Snowflake. البعد الكسري لخماسي دارير هو ln6/ln(1+g)، حيث g هي نسبة طول الضلع الأكبر للمثلث إلى طول الضلع الأصغر. في هذه الحالة، g هي النسبة الذهبية، وبالتالي فإن البعد الكسري هو 1.86171596 تقريبًا. البعد الكسري لنجمة داود ln6/ln3 أو 1.630929754.

فركتلات معقدة

في الواقع، إذا قمت بتكبير مساحة صغيرة من أي كسورية معقدة ثم فعلت الشيء نفسه مع مساحة صغيرة من تلك المنطقة، فإن التكبيرين سيكونان مختلفين بشكل كبير عن بعضهما البعض. ستكون الصورتان متشابهتين جدًا في التفاصيل، لكنهما لن تكونا متطابقتين تمامًا.

الشكل 1. مجموعة ماندلبروت التقريبية

قارن، على سبيل المثال، صور مجموعة ماندلبروت المعروضة هنا، والتي تم الحصول على إحداها عن طريق تكبير مساحة معينة من الأخرى. كما ترون، فهي غير متطابقة تماما، على الرغم من أننا نرى دائرة سوداء، والتي تمتد منها مخالب المشتعلة في اتجاهات مختلفة. تتكرر هذه العناصر إلى أجل غير مسمى في مجموعة ماندلبروت بنسب متناقصة.

الفركتلات الحتمية خطية، في حين أن الفركتلات المعقدة ليست كذلك. ولكونها غير خطية، يتم إنشاء هذه الفركتلات بواسطة ما أسماه ماندلبروت المعادلات الجبرية غير الخطية. وخير مثال على ذلك هو عملية Zn+1=ZnI + C، وهي المعادلة المستخدمة لبناء مجموعة ماندلبروت وجوليا من الدرجة الثانية. يتضمن حل هذه المعادلات الرياضية أرقامًا معقدة وتخيلية. عندما يتم تفسير المعادلة بيانيا في المستوى المعقد، تكون النتيجة شكلا غريبا تصبح فيه الخطوط المستقيمة منحنيات وتظهر تأثيرات التشابه الذاتي، وإن لم تكن خالية من التشوهات، على مستويات مختلفة. وفي الوقت نفسه، فإن الصورة بأكملها غير متوقعة وفوضوية للغاية.

كما ترون من خلال النظر إلى الصور، فإن الفركتلات المعقدة هي بالفعل معقدة للغاية ولا يمكن إنشاؤها دون مساعدة الكمبيوتر. للحصول على نتائج ملونة، يجب أن يحتوي هذا الكمبيوتر على معالج رياضي قوي وشاشة عالية الدقة. على عكس الفركتلات الحتمية، لا يتم حساب الفركتلات المعقدة في 5-10 تكرارات. تقريبًا كل نقطة على شاشة الكمبيوتر تشبه كسورية منفصلة. أثناء المعالجة الرياضية، يتم التعامل مع كل نقطة على أنها رسم منفصل. كل نقطة يتوافق مع قيمة محددة. يتم إنشاء المعادلة لكل نقطة ويتم تنفيذها، على سبيل المثال، 1000 تكرار. للحصول على صورة غير مشوهة نسبياً خلال فترة زمنية مقبولة لأجهزة الكمبيوتر المنزلية، من الممكن إجراء 250 تكراراً لنقطة واحدة.

معظم الفركتلات التي نراها اليوم ملونة بشكل جميل. ربما تكتسب الصور الكسورية أهمية جمالية كبيرة على وجه التحديد بسبب أنظمة الألوان الخاصة بها. وبعد حساب المعادلة، يقوم الكمبيوتر بتحليل النتائج. إذا ظلت النتائج مستقرة، أو تتقلب حول قيمة معينة، فعادةً ما تتحول النقطة إلى اللون الأسود. إذا كانت القيمة في خطوة أو أخرى تتجه إلى اللانهاية، يتم رسم النقطة بلون مختلف، ربما باللون الأزرق أو الأحمر. خلال هذه العملية، يقوم الكمبيوتر بتعيين الألوان لجميع سرعات الحركة.

عادةً ما يتم تلوين النقاط السريعة الحركة باللون الأحمر، بينما يتم تلوين النقاط الأبطأ باللون الأصفر، وهكذا. ربما تكون البقع الداكنة هي الأكثر استقرارًا.

تختلف الفركتلات المعقدة عن الفركتلات الحتمية بمعنى أنها معقدة بشكل لا نهائي، ولكن لا يزال من الممكن إنشاؤها بواسطة صيغة بسيطة للغاية. لا تتطلب الفركتلات الحتمية صيغًا أو معادلات. ما عليك سوى أخذ بعض ورق الرسم ويمكنك إنشاء منخل Sierpinski لما يصل إلى 3 أو 4 تكرارات دون أي صعوبة. جرب هذا مع الكثير من جوليا! من الأسهل قياس طول ساحل إنجلترا!

مجموعة ماندلبروت

الشكل 2. مجموعة ماندلبروت

ربما تكون مجموعتا ماندلبروت وجوليا هما الأكثر شيوعًا بين الفركتلات المعقدة. يمكن العثور عليها في العديد من المجلات العلمية وأغلفة الكتب والبطاقات البريدية وشاشات توقف الكمبيوتر. من المحتمل أن تكون مجموعة ماندلبروت، التي أنشأها بينوا ماندلبروت، أول ارتباط يكون لدى الناس عندما يسمعون كلمة كسورية. يتم إنشاء هذا الفراكتل، الذي يشبه آلة تمشيط ذات مناطق دائرية تشبه الأشجار المشتعلة، بواسطة الصيغة البسيطة Zn+1=Zna+C، حيث Z وC أرقام معقدة وa هو رقم موجب.

مجموعة ماندلبروت، والتي يمكن رؤيتها في أغلب الأحيان، هي مجموعة ماندلبروت من الدرجة الثانية، أي أ = 2. حقيقة أن مجموعة ماندلبروت ليست فقط Zn+1=ZnІ+C، بل هي فراكتل، يمكن أن يكون المؤشر في صيغته أي رقم موجب، قد ضللت الكثيرين. في هذه الصفحة ترى مثالاً لمجموعة ماندلبروت لقيم مختلفة للأس a.
الشكل 3. ظهور الفقاعات عند a=3.5

العملية Z=Z*tg(Z+C) شائعة أيضًا. ومن خلال تضمين دالة الظل، تكون النتيجة مجموعة ماندلبروت محاطة بمنطقة تشبه التفاحة. عند استخدام وظيفة جيب التمام، يتم الحصول على تأثيرات فقاعة الهواء. باختصار، هناك عدد لا حصر له من الطرق لتكوين مجموعة ماندلبروت لإنتاج صور جميلة مختلفة.

الكثير من جوليا

والمثير للدهشة أن مجموعات جوليا يتم تشكيلها وفقًا لنفس صيغة مجموعة ماندلبروت. تم اختراع مجموعة جوليا من قبل عالم الرياضيات الفرنسي غاستون جوليا، والذي سُميت المجموعة باسمه. السؤال الأول الذي يطرح نفسه بعد التعرف بصريًا على مجموعتي ماندلبروت وجوليا هو "إذا تم إنشاء كلا الفركتلتين وفقًا لنفس الصيغة، فلماذا هما مختلفان إلى هذا الحد؟" أول نظرة على صور مجموعة جوليا. ومن الغريب أن هناك أنواعًا مختلفة من مجموعات جوليا. عند رسم فركتال باستخدام نقاط بداية مختلفة (لبدء عملية التكرار)، يتم إنشاء صور مختلفة. وهذا ينطبق فقط على مجموعة جوليا.

الشكل 4. مجموعة جوليا

على الرغم من أنه لا يمكن رؤيته في الصورة، إلا أن فراكتل ماندلبروت هو في الواقع العديد من فراكتلات جوليا المرتبطة ببعضها البعض. كل نقطة (أو إحداثية) من مجموعة ماندلبروت تتوافق مع كسورية جوليا. يمكن إنشاء مجموعات جوليا باستخدام هذه النقاط كقيم أولية في المعادلة Z=ZI+C. لكن هذا لا يعني أنه إذا قمت بتحديد نقطة على فركتال ماندلبروت وقمت بتكبيرها، فيمكنك الحصول على فراكتل جوليا. هاتان النقطتان متطابقتان، ولكن بالمعنى الرياضي فقط. إذا أخذت هذه النقطة وقمت بحسابها باستخدام هذه الصيغة، فيمكنك الحصول على كسورية جوليا المقابلة لنقطة معينة من كسورية ماندلبروت.

يمكن للاكتشافات الأكثر إبداعًا في العلوم أن تغير حياة الإنسان بشكل جذري. فاللقاح المخترع يمكن أن ينقذ الملايين من الناس؛ بل على العكس من ذلك، يودي بحياة هؤلاء الأشخاص. في الآونة الأخيرة (على نطاق التطور البشري) تعلمنا "ترويض" الكهرباء - والآن لا يمكننا تخيل الحياة بدون كل هذه الأجهزة المريحة التي تستخدم الكهرباء. ولكن هناك أيضًا اكتشافات لا يوليها سوى عدد قليل من الأشخاص أهمية، على الرغم من أنها تؤثر أيضًا بشكل كبير على حياتنا.

أحد هذه الاكتشافات "غير الواضحة" هو الفركتلات. ربما تكون قد سمعت هذه الكلمة الجذابة من قبل، ولكن هل تعرف ماذا تعني وكم المعلومات المثيرة للاهتمام المخفية في هذا المصطلح؟

كل شخص لديه فضول طبيعي، والرغبة في فهم العالم من حوله. وفي هذا المسعى يحاول الإنسان أن يلتزم بالمنطق في أحكامه. من خلال تحليل العمليات التي تجري من حوله، يحاول العثور على منطق ما يحدث واستخلاص نمط ما. أعظم العقول على هذا الكوكب مشغولة بهذه المهمة. وبشكل تقريبي، يبحث العلماء عن نمط لا ينبغي أن يوجد فيه. ومع ذلك، حتى في حالة الفوضى، من الممكن إيجاد روابط بين الأحداث. وهذا الاتصال هو كسورية.

ابنتنا الصغيرة، البالغة من العمر أربع سنوات ونصف، أصبحت الآن في ذلك العمر الرائع حيث تكثر الأسئلة "لماذا؟" يتجاوز عدة مرات عدد الإجابات التي يتمكن البالغون من تقديمها. منذ وقت ليس ببعيد، بينما كانت ابنتي تتفحص غصنًا مرتفعًا عن الأرض، لاحظت فجأة أن هذا الغصن بأغصانه وأغصانه يشبه الشجرة. وبطبيعة الحال، ما تلا ذلك كان السؤال المعتاد "لماذا؟"، والذي كان على الآباء أن يبحثوا عنه عن تفسير بسيط يمكن للطفل أن يفهمه.

إن تشابه فرع واحد مع شجرة كاملة اكتشفها الطفل هو ملاحظة دقيقة للغاية، والتي تشهد مرة أخرى على مبدأ التشابه الذاتي العودي في الطبيعة. تتشكل العديد من الأشكال العضوية وغير العضوية في الطبيعة بطريقة مماثلة. الغيوم، والأصداف البحرية، و"بيت الحلزون"، ولحاء الأشجار وتاجها، والجهاز الدوري، وما إلى ذلك - يمكن وصف الأشكال العشوائية لكل هذه الكائنات باستخدام خوارزمية كسورية.

⇡ بينوا ماندلبروت: أبو الهندسة الكسورية

ظهرت كلمة "فركتل" نفسها بفضل العالم اللامع بينوا ب. ماندلبروت.

لقد صاغ هو نفسه هذا المصطلح في السبعينيات، مستعيرًا كلمة fractus من اللاتينية، حيث تعني حرفيًا "مكسور" أو "مسحق". ما هذا؟ اليوم، تعني كلمة "فركتل" في أغلب الأحيان تمثيلًا رسوميًا لهيكل يشبه نفسه على نطاق أوسع.

تم وضع الأساس الرياضي لظهور نظرية الفركتلات قبل سنوات عديدة من ولادة بينوا ماندلبروت، لكنها لا يمكن أن تتطور إلا مع ظهور أجهزة الحوسبة. في بداية حياته العلمية، عمل بينوا في مركز أبحاث IBM. وفي ذلك الوقت، كان موظفو المركز يعملون على نقل البيانات عبر مسافة. أثناء البحث، واجه العلماء مشكلة الخسائر الكبيرة الناجمة عن تداخل الضوضاء. كان لدى بينوا مهمة صعبة ومهمة للغاية - لفهم كيفية التنبؤ بحدوث تداخل الضوضاء في الدوائر الإلكترونية عندما يتبين أن الطريقة الإحصائية غير فعالة.

من خلال النظر في نتائج قياسات الضوضاء، لاحظ ماندلبروت نمطًا غريبًا واحدًا، وهو أن الرسوم البيانية للضوضاء عند مقاييس مختلفة تبدو متشابهة. وقد لوحظ وجود نمط مماثل بغض النظر عما إذا كان رسمًا بيانيًا للضوضاء ليوم واحد أو أسبوع أو ساعة. وكان من الضروري تغيير حجم الرسم البياني، وتكررت الصورة في كل مرة.

خلال حياته، قال بينوا ماندلبرو مرارا وتكرارا إنه لم يدرس الصيغ، ولكن ببساطة لعب بالصور. لقد فكر هذا الرجل بشكل مجازي للغاية، وقام بترجمة أي مشكلة جبرية إلى مجال الهندسة، حيث، حسب قوله، تكون الإجابة الصحيحة واضحة دائمًا.

ليس من المستغرب أن يكون رجلاً يتمتع بمثل هذا الخيال المكاني الغني هو الذي أصبح والد الهندسة الكسورية. بعد كل شيء، يأتي الوعي بجوهر الفركتلات على وجه التحديد عندما تبدأ في دراسة الرسومات والتفكير في معنى الأنماط الدوامية الغريبة.

لا يحتوي النمط الكسري على عناصر متطابقة، ولكنه متشابه على أي مقياس. وكان من المستحيل في السابق إنشاء مثل هذه الصورة بدرجة عالية من التفاصيل يدويًا؛ وكان ذلك يتطلب قدرًا هائلاً من الحسابات. على سبيل المثال، وصف عالم الرياضيات الفرنسي بيير جوزيف لويس فاتو هذه المجموعة قبل أكثر من سبعين عاما من اكتشاف بينوا ماندلبرو. إذا تحدثنا عن مبادئ التشابه الذاتي، فقد تم ذكرها في أعمال لايبنتز وجورج كانتور.

كانت إحدى الرسومات الكسورية الأولى عبارة عن تفسير رسومي لمجموعة ماندلبروت، والتي ولدت بفضل بحث جاستون موريس جوليا.

جاستون جوليا (يرتدي قناعًا دائمًا - إصابة من الحرب العالمية الأولى)

تساءل عالم الرياضيات الفرنسي هذا عن الشكل الذي ستبدو عليه المجموعة إذا تم بناؤها من صيغة بسيطة يتم تكرارها من خلال حلقة التغذية الراجعة. إذا شرحناها "على أصابعنا"، فهذا يعني أنه بالنسبة لعدد معين نجد قيمة جديدة باستخدام الصيغة، وبعد ذلك نستبدلها مرة أخرى في الصيغة ونحصل على قيمة أخرى. والنتيجة هي تسلسل كبير من الأرقام.

للحصول على صورة كاملة لمثل هذه المجموعة، تحتاج إلى إجراء عدد كبير من الحسابات - مئات وآلاف وملايين. كان من المستحيل ببساطة القيام بذلك يدويًا. ولكن عندما أصبحت أجهزة الحوسبة القوية متاحة لعلماء الرياضيات، أصبحوا قادرين على إلقاء نظرة جديدة على الصيغ والتعابير التي كانت محل اهتمام منذ فترة طويلة. كان ماندلبروت أول من استخدم الكمبيوتر لحساب الفراكتل الكلاسيكي. بعد معالجة تسلسل يتكون من عدد كبير من القيم، رسم بينوا النتائج على الرسم البياني. هذا ما حصل عليه.

وبعد ذلك، تم تلوين هذه الصورة (على سبيل المثال، إحدى طرق التلوين هي بعدد التكرارات) وأصبحت واحدة من أكثر الصور شعبية التي ابتكرها الإنسان على الإطلاق.

وكما يقول المثل القديم المنسوب إلى هيراقليطس الأفسسي: "لا يمكنك أن تنزل في نفس النهر مرتين". إنها مناسبة تمامًا لتفسير هندسة الفركتلات. بغض النظر عن مدى تفصيلنا للصورة الكسورية، سنرى دائمًا نمطًا مشابهًا.

أولئك الذين يرغبون في رؤية الشكل الذي ستبدو عليه صورة مساحة ماندلبروت عند تكبيرها عدة مرات، يمكنهم القيام بذلك عن طريق تنزيل صورة GIF المتحركة.

⇡ لورين كاربنتر: فن خلقته الطبيعة

وسرعان ما وجدت نظرية الفركتلات تطبيقًا عمليًا. وبما أن الأمر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتصور الصور المشابهة ذاتيًا، فليس من المستغرب أن يكون الفنانون أول من اعتمد الخوارزميات والمبادئ لبناء أشكال غير عادية.

بدأ المؤسس المشارك المستقبلي لاستوديو Pixar الأسطوري، Loren C. Carpenter، العمل في عام 1967 في شركة Boeing Computer Services، التي كانت إحدى أقسام الشركة الشهيرة التي تعمل على تطوير طائرات جديدة.

في عام 1977، قام بإنشاء عروض تقديمية باستخدام نماذج أولية للطيران. وشملت مسؤوليات لورين تطوير صور للطائرة التي يجري تصميمها. كان عليه إنشاء صور لنماذج جديدة تظهر الطائرات المستقبلية من زوايا مختلفة. في مرحلة ما، توصل المؤسس المستقبلي لاستوديوهات Pixar Animation إلى فكرة إبداعية تتمثل في استخدام صورة الجبال كخلفية. اليوم، يمكن لأي تلميذ أن يحل مثل هذه المشكلة، ولكن في أواخر السبعينيات من القرن الماضي، لم تتمكن أجهزة الكمبيوتر من التعامل مع مثل هذه الحسابات المعقدة - لم يكن هناك محررين رسوميين، ناهيك عن تطبيقات الرسومات ثلاثية الأبعاد. في عام 1978، شاهدت لورين بالصدفة كتاب بينوا ماندلبروت الفركتلات: الشكل والفرصة والبعد في أحد المتاجر. ما لفت انتباهه في هذا الكتاب هو أن بينوا قدم الكثير من الأمثلة على الأشكال الكسورية في الحياة الواقعية وجادل بإمكانية وصفها بتعبير رياضي.

لم يتم اختيار هذا التشبيه من قبل عالم الرياضيات بالصدفة. الحقيقة هي أنه بمجرد نشر بحثه، كان عليه أن يواجه وابلًا من الانتقادات. الشيء الرئيسي الذي وبخه زملاؤه عليه هو عدم جدوى النظرية قيد التطوير. قالوا: نعم، هذه صور جميلة، لكن ليس أكثر. إن نظرية الفركتلات ليس لها أي قيمة عملية. كان هناك أيضًا أولئك الذين يعتقدون بشكل عام أن الأنماط الكسورية كانت مجرد منتج ثانوي لعمل "الآلات الشيطانية"، والتي بدت للكثيرين في أواخر السبعينيات أنها شيء معقد للغاية وغير مستكشف بحيث لا يمكن الوثوق به تمامًا. حاول ماندلبروت العثور على تطبيقات واضحة للنظرية الكسورية، لكنه لم يكن بحاجة إلى ذلك في المخطط الكبير للأشياء. على مدى السنوات الخمس والعشرين التالية، أثبت أتباع بينوا ماندلبرو الفوائد الهائلة لمثل هذا "الفضول الرياضي"، وكانت لورين كاربنتر واحدة من أوائل من جربوا الطريقة الكسيرية في الممارسة العملية.

بعد دراسة الكتاب، درس رسام الرسوم المتحركة المستقبلي بشكل جدي مبادئ الهندسة الكسورية وبدأ في البحث عن طريقة لتنفيذها في رسومات الكمبيوتر. وفي ثلاثة أيام فقط من العمل، تمكن لورين من تقديم صورة واقعية للنظام الجبلي على جهاز الكمبيوتر الخاص به. بمعنى آخر، استخدم صيغًا لرسم منظر طبيعي جبلي يمكن التعرف عليه بالكامل.

كان المبدأ الذي استخدمته لورين لتحقيق هدفها بسيطًا للغاية. وكان يتألف من تقسيم شكل هندسي أكبر إلى عناصر صغيرة، وهذه بدورها تم تقسيمها إلى أشكال مماثلة ذات حجم أصغر.

باستخدام مثلثات أكبر، قام كاربنتر بتقسيمها إلى أربعة مثلثات أصغر ثم كرر هذه العملية مرارًا وتكرارًا حتى حصل على منظر طبيعي جبلي واقعي. وهكذا، تمكن من أن يصبح أول فنان يستخدم خوارزمية كسورية لبناء الصور في رسومات الكمبيوتر. بمجرد أن أصبح العمل معروفًا، تبنى المتحمسون حول العالم الفكرة وبدأوا في استخدام الخوارزمية الكسورية لتقليد الأشكال الطبيعية الواقعية.

واحدة من أولى التصورات ثلاثية الأبعاد باستخدام خوارزمية كسورية

وبعد بضع سنوات فقط، تمكنت لورين كاربنتر من تطبيق تطوراته في مشروع أكبر بكثير. أنشأ رسام الرسوم المتحركة منهم عرضًا توضيحيًا مدته دقيقتين لـ Vol Libre، والذي تم عرضه على Siggraph في عام 1980. وصدم هذا الفيديو كل من شاهده، وتلقت لورين دعوة من شركة Lucasfilm.

تم عرض الرسوم المتحركة على جهاز كمبيوتر VAX-11/780 من شركة Digital Equipment Corporation بسرعة ساعة تبلغ خمسة ميغا هرتز، واستغرق عرض كل إطار حوالي نصف ساعة.

من خلال العمل لدى Lucasfilm Limited، أنشأ رسام الرسوم المتحركة مناظر طبيعية ثلاثية الأبعاد باستخدام نفس المخطط للفيلم الكامل الثاني في ملحمة Star Trek. في غضب خان، كان كاربنتر قادرًا على إنشاء كوكب بأكمله باستخدام نفس مبدأ نمذجة السطح الكسري.

حاليًا، تستخدم جميع التطبيقات الشائعة لإنشاء مناظر طبيعية ثلاثية الأبعاد مبدأً مشابهًا لإنشاء الكائنات الطبيعية. يعتمد Terragen وBryce وVue وغيرهم من برامج التحرير ثلاثية الأبعاد على خوارزمية كسورية لنمذجة الأسطح والأنسجة.

⇡ هوائيات كسورية: الأقل هو الأكثر

على مدى نصف القرن الماضي، بدأت الحياة تتغير بسرعة. معظمنا يعتبر التقدم التكنولوجي الحديث أمرا مفروغا منه. تعتاد على كل ما يجعل الحياة أكثر راحة بسرعة كبيرة. نادرًا ما يطرح أحد الأسئلة "من أين أتى هذا؟" وكيف يعمل؟" يقوم الميكروويف بتسخين وجبة الإفطار - رائع، الهاتف الذكي يمنحك الفرصة للتحدث مع شخص آخر - رائع. وهذا يبدو وكأنه احتمال واضح بالنسبة لنا.

لكن الحياة كان من الممكن أن تكون مختلفة تمامًا لو لم يبحث الإنسان عن تفسير للأحداث التي تجري. خذ الهواتف المحمولة، على سبيل المثال. هل تتذكر الهوائيات القابلة للسحب في النماذج الأولى؟ لقد تدخلوا وزادوا حجم الجهاز وفي النهاية تعطلوا في كثير من الأحيان. نعتقد أنها غرقت في غياهب النسيان إلى الأبد، وجزء من السبب في ذلك هو... الفركتلات.

الأنماط الكسورية تبهر بأنماطها. إنها بالتأكيد تشبه صور الأجسام الكونية - السدم ومجموعات المجرات وما إلى ذلك. ولذلك فمن الطبيعي تمامًا أنه عندما عبر ماندلبرو عن نظريته حول الفركتلات، أثار بحثه اهتمامًا متزايدًا بين أولئك الذين درسوا علم الفلك. أحد هؤلاء الهواة يدعى ناثان كوهين، بعد حضوره محاضرة لبينوا ماندلبروت في بودابست، استلهم فكرة التطبيق العملي للمعرفة المكتسبة. صحيح أنه فعل ذلك بشكل حدسي، ولعبت الصدفة دورًا مهمًا في اكتشافه. بصفته أحد هواة الراديو، سعى ناثان إلى إنشاء هوائي بأعلى حساسية ممكنة.

وكانت الطريقة الوحيدة لتحسين معلمات الهوائي المعروفة في ذلك الوقت هي زيادة أبعاده الهندسية. ومع ذلك، فإن مالك العقار في وسط مدينة بوسطن الذي استأجره ناثان كان ضد بشكل قاطع تركيب أجهزة كبيرة على السطح. ثم بدأ ناثان في تجربة أشكال مختلفة للهوائيات، محاولًا الحصول على أقصى نتيجة بأقل حجم. مستوحى من فكرة الأشكال الكسورية، قام كوهين، كما يقولون، بشكل عشوائي بصنع واحدة من أشهر الفركتلات من الأسلاك - "ندفة ثلج كوخ". جاء عالم الرياضيات السويدي هيلج فون كوخ بهذا المنحنى في عام 1904. ويتم الحصول عليها عن طريق تقسيم القطعة إلى ثلاثة أجزاء واستبدال القطعة الوسطى بمثلث متساوي الأضلاع دون أن يتطابق ضلعه مع هذه القطعة. من الصعب بعض الشيء فهم التعريف، ولكن في الشكل كل شيء واضح وبسيط.

هناك أيضًا اختلافات أخرى لمنحنى كوخ، لكن الشكل التقريبي للمنحنى يظل مشابهًا

عندما قام ناثان بتوصيل الهوائي بجهاز استقبال الراديو، كان متفاجئًا جدًا - زادت الحساسية بشكل كبير. بعد سلسلة من التجارب، أدرك الأستاذ المستقبلي في جامعة بوسطن أن الهوائي المصنوع وفقًا لنمط كسورية يتمتع بكفاءة عالية ويغطي نطاق تردد أوسع بكثير مقارنة بالحلول الكلاسيكية. بالإضافة إلى ذلك، فإن شكل الهوائي على شكل منحنى كسورية يجعل من الممكن تقليل الأبعاد الهندسية بشكل كبير. حتى أن ناثان كوهين توصل إلى نظرية تثبت أنه لإنشاء هوائي عريض النطاق، يكفي إعطاؤه شكل منحنى فركتلي مشابه ذاتيًا.

حصل المؤلف على براءة اختراع لاكتشافه وأسس شركة لتطوير وتصميم الهوائيات الكسورية Fractal Antenna Systems، معتقدًا بحق أنه في المستقبل، بفضل اكتشافه، ستتمكن الهواتف المحمولة من التخلص من الهوائيات الضخمة وتصبح أكثر إحكاما.

من حيث المبدأ، هذا ما حدث. صحيح أن ناثان ما زال حتى يومنا هذا يخوض معركة قانونية مع الشركات الكبرى التي تستخدم اكتشافه بشكل غير قانوني لإنتاج أجهزة اتصالات مدمجة. بعض الشركات المصنعة للأجهزة المحمولة المعروفة، مثل موتورولا، توصلت بالفعل إلى اتفاق ودي مع مخترع الهوائي الكسري.

⇡ الأبعاد الكسورية: لا يمكنك فهمها بعقلك

استعار بينوا هذا السؤال من العالم الأمريكي الشهير إدوارد كاسنر.

هذا الأخير، مثل العديد من علماء الرياضيات المشهورين الآخرين، أحب التواصل مع الأطفال، وطرح الأسئلة عليهم وتلقي إجابات غير متوقعة. في بعض الأحيان أدى هذا إلى عواقب مفاجئة. على سبيل المثال، توصل ابن أخ إدوارد كاسنر البالغ من العمر تسع سنوات إلى الكلمة المشهورة الآن "googol"، والتي تعني واحدًا متبوعًا بمائة صفر. ولكن دعونا نعود إلى فركتلات. أحب عالم الرياضيات الأمريكي أن يطرح السؤال: ما هو طول الساحل الأمريكي؟ وبعد الاستماع إلى رأي محاوره، قال إدوارد نفسه الإجابة الصحيحة. إذا قمت بقياس الطول على الخريطة باستخدام أجزاء متقطعة، فستكون النتيجة غير دقيقة، لأن الخط الساحلي به عدد كبير من المخالفات. ماذا يحدث إذا قمنا بالقياس بأكبر قدر ممكن من الدقة؟ سيتعين عليك أن تأخذ في الاعتبار طول كل تفاوت - ستحتاج إلى قياس كل رأس، وكل خليج، وصخرة، وطول حافة صخرية، وحجر عليها، وحبة رمل، وذرة، وما إلى ذلك. وبما أن عدد المخالفات يميل إلى ما لا نهاية، فإن الطول المقاس للخط الساحلي سيزيد إلى ما لا نهاية عند قياس كل مخالفة جديدة.

كلما كان القياس أصغر عند القياس، كان الطول المقاس أطول

ومن المثير للاهتمام، أنه بعد توجيهات إدوارد، كان الأطفال أسرع بكثير من البالغين في قول الحل الصحيح، بينما واجه الأخير صعوبة في قبول مثل هذه الإجابة المذهلة.

باستخدام هذه المشكلة كمثال، اقترح ماندلبروت استخدام نهج جديد للقياسات. نظرًا لأن الخط الساحلي قريب من منحنى كسورية، فهذا يعني أنه يمكن تطبيق معلمة مميزة عليه - ما يسمى بالبعد الكسري.

ما هو البعد العادي واضح لأي شخص. إذا كان البعد يساوي واحدًا، نحصل على خط مستقيم، إذا كان اثنان - شكل مسطح، ثلاثة - حجم. ومع ذلك، فإن هذا الفهم للبعد في الرياضيات لا يعمل مع المنحنيات الكسورية، حيث يكون لهذه المعلمة قيمة كسرية. يمكن اعتبار البعد الكسري في الرياضيات بشكل تقليدي بمثابة "خشونة". كلما زادت خشونة المنحنى، زاد البعد الكسري له. المنحنى الذي، وفقًا لماندلبروت، له بعد كسري أعلى من بعده الطوبولوجي، له طول تقريبي لا يعتمد على عدد الأبعاد.

حاليًا، يجد العلماء المزيد والمزيد من المجالات لتطبيق نظرية الفركتلات. باستخدام الفركتلات، يمكنك تحليل التقلبات في أسعار البورصة، أو دراسة جميع أنواع العمليات الطبيعية، مثل التقلبات في عدد الأنواع، أو محاكاة ديناميكيات التدفقات. يمكن استخدام الخوارزميات الكسورية لضغط البيانات، مثل ضغط الصور. وبالمناسبة، للحصول على كسورية جميلة على شاشة جهاز الكمبيوتر الخاص بك، ليس من الضروري أن تكون حاصلاً على درجة الدكتوراه.

⇡ كسورية في المتصفح

ربما تكون إحدى أسهل الطرق للحصول على نمط فركتلي هي استخدام محرر متجه عبر الإنترنت من المبرمج الشاب الموهوب توبي شاشمان. تعتمد أدوات محرر الرسوم البسيط هذا على نفس مبدأ التشابه الذاتي.

لا يوجد سوى شكلين بسيطين تحت تصرفك - رباعي الزوايا ودائرة. يمكنك إضافتها إلى اللوحة القماشية، وقياسها (لقياس أحد المحاور، اضغط باستمرار على مفتاح Shift) وتدويرها. وبالتداخل وفقًا لمبدأ عمليات الجمع المنطقية، تشكل هذه العناصر الأبسط أشكالًا جديدة أقل تافهة. يمكن بعد ذلك إضافة هذه الأشكال الجديدة إلى المشروع، وسيكرر البرنامج إنشاء هذه الصور إلى ما لا نهاية. في أي مرحلة من العمل على الفراكتل، يمكنك العودة إلى أي مكون من شكل معقد وتعديل موضعه وشكله الهندسي. نشاط ممتع، خاصة عندما تعلم أن الأداة الوحيدة التي تحتاج إلى إنشائها هي المتصفح. إذا كنت لا تفهم مبدأ العمل مع محرر المتجهات العودي هذا، فننصحك بمشاهدة الفيديو على الموقع الرسمي للمشروع، والذي يوضح بالتفصيل العملية الكاملة لإنشاء كسورية.

⇡ XaoS: فركتلات لكل الأذواق

يحتوي العديد من محرري الرسوم على أدوات مدمجة لإنشاء أنماط كسورية. ومع ذلك، عادة ما تكون هذه الأدوات ثانوية ولا تسمح بالضبط الدقيق للنمط الكسري الذي تم إنشاؤه. في الحالات التي يكون فيها من الضروري إنشاء فراكتل دقيق رياضيًا، سيأتي محرر XaoS عبر الأنظمة الأساسية للإنقاذ. هذا البرنامج يجعل من الممكن ليس فقط بناء صورة متشابهة، ولكن أيضًا إجراء عمليات معالجة مختلفة بها. على سبيل المثال، في الوقت الفعلي، يمكنك "المشي" على طول الفراكتل عن طريق تغيير مقياسه. يمكن حفظ الحركة المتحركة على طول الفراكتل كملف XAF ثم إعادة إنتاجها في البرنامج نفسه.

يمكن لـ XaoS تحميل مجموعة عشوائية من المعلمات، وكذلك استخدام العديد من مرشحات ما بعد المعالجة للصور - إضافة تأثير حركة غير واضح، وتنعيم التحولات الحادة بين النقاط الكسورية، ومحاكاة صورة ثلاثية الأبعاد، وما إلى ذلك.

⇡ تكبير كسورية: مولد كسورية مدمج

بالمقارنة مع مولدات الصور الكسورية الأخرى، فهي تتمتع بالعديد من المزايا. أولاً، حجمه صغير جداً ولا يحتاج إلى تثبيت. ثانيا، ينفذ القدرة على تحديد لوحة الألوان للصورة. يمكنك اختيار الظلال في نماذج الألوان RGB وCMYK وHVS وHSL.

من الملائم أيضًا استخدام خيار التحديد العشوائي لظلال الألوان ووظيفة عكس جميع الألوان في الصورة. لضبط اللون، هناك وظيفة الاختيار الدوري للظلال - عند تشغيل الوضع المقابل، يقوم البرنامج بتحريك الصورة، وتغيير الألوان عليها بشكل دوري.

يمكن لـ Fractal Zoomer تصور 85 وظيفة فركتالية مختلفة، وتظهر الصيغ بوضوح في قائمة البرنامج. توجد مرشحات للمعالجة اللاحقة للصور في البرنامج، وإن كانت بكميات صغيرة. يمكن إلغاء كل مرشح معين في أي وقت.

⇡ Mandelbulb3D: محرر كسورية ثلاثي الأبعاد

عند استخدام مصطلح "فركتل"، فإنه يشير في أغلب الأحيان إلى صورة مسطحة ثنائية الأبعاد. ومع ذلك، فإن الهندسة الكسورية تتجاوز البعد ثنائي الأبعاد. في الطبيعة، يمكنك العثور على أمثلة للأشكال الكسورية المسطحة، على سبيل المثال، هندسة البرق، والأشكال الحجمية ثلاثية الأبعاد. يمكن أن تكون الأسطح الفركتلية ثلاثية الأبعاد، وأحد الأمثلة الواضحة جدًا للفركتلات ثلاثية الأبعاد في الحياة اليومية هو رأس الملفوف. ولعل أفضل طريقة لرؤية الفركتلات هي في مجموعة رومانسكو، وهي مزيج من القرنبيط والقرنبيط.

يمكنك أيضًا تناول هذا الفراكتل

يستطيع برنامج Mandelbulb3D إنشاء كائنات ثلاثية الأبعاد ذات شكل مماثل. للحصول على سطح ثلاثي الأبعاد باستخدام خوارزمية كسورية، قام مؤلفو هذا التطبيق، دانييل وايت وبول نيلاندر، بتحويل مجموعة ماندلبروت إلى إحداثيات كروية. برنامج Mandelbulb3D الذي قاموا بإنشائه هو محرر حقيقي ثلاثي الأبعاد يقوم بتصميم الأسطح الكسورية ذات الأشكال المختلفة. نظرًا لأننا غالبًا ما نلاحظ أنماطًا كسورية في الطبيعة، فإن الكائن الكسري ثلاثي الأبعاد الذي تم إنشاؤه بشكل مصطنع يبدو واقعيًا بشكل لا يصدق وحتى "حيًا".

وقد يشبه نباتاً، وقد يشبه حيواناً غريباً، أو كوكباً، أو شيئاً آخر. يتم تعزيز هذا التأثير من خلال خوارزمية عرض متقدمة، مما يجعل من الممكن الحصول على انعكاسات واقعية وحساب الشفافية والظلال ومحاكاة تأثير عمق المجال وما إلى ذلك. يحتوي Mandelbulb3D على عدد كبير من الإعدادات وخيارات العرض. يمكنك التحكم في ظلال مصادر الضوء، وتحديد الخلفية ومستوى تفاصيل الكائن الذي تمت محاكاته.

يدعم محرر Incendia fractal تجانس الصور المزدوج، ويحتوي على مكتبة مكونة من خمسين فركتلًا مختلفًا ثلاثي الأبعاد، ويحتوي على وحدة منفصلة لتحرير الأشكال الأساسية.

يستخدم التطبيق البرمجة النمطية النمطية النمطية، والتي يمكنك من خلالها وصف أنواع جديدة من التصميمات النمطية النمطية بشكل مستقل. يحتوي Incendia على محرري الملمس والمواد، ويتيح لك محرك العرض استخدام تأثيرات الضباب الحجمي والتظليلات المختلفة. ينفذ البرنامج خيار حفظ مخزن مؤقت أثناء العرض طويل المدى، ويدعم إنشاء الرسوم المتحركة.

يتيح لك Incendia تصدير نموذج فركتالي إلى تنسيقات الرسومات ثلاثية الأبعاد الشائعة - OBJ وSTL. تتضمن Incendia أداة مساعدة صغيرة تسمى Geometrica، وهي أداة خاصة لإعداد تصدير السطح الكسري إلى نموذج ثلاثي الأبعاد. باستخدام هذه الأداة المساعدة، يمكنك تحديد دقة السطح ثلاثي الأبعاد وتحديد عدد التكرارات النمطية الكسورية. يمكن استخدام النماذج المصدرة في المشاريع ثلاثية الأبعاد عند العمل مع برامج تحرير ثلاثية الأبعاد مثل Blender و3ds max وغيرها.

في الآونة الأخيرة، تباطأ العمل في مشروع "Incendia" إلى حد ما. يبحث المؤلف حاليًا عن رعاة لمساعدته في تطوير البرنامج.

إذا لم يكن لديك ما يكفي من الخيال لرسم كسورية جميلة ثلاثية الأبعاد في هذا البرنامج، فلا يهم. استخدم مكتبة المعلمات الموجودة في المجلد INCENDIA_EX\parameters. باستخدام ملفات PAR، يمكنك العثور بسرعة على الأشكال الكسورية غير العادية، بما في ذلك الأشكال المتحركة.

⇡ سمعي: كيف تغني الفركتلات

نحن عادة لا نتحدث عن المشاريع التي يتم العمل عليها للتو، ولكن في هذه الحالة علينا أن نقوم باستثناء، لأن هذا تطبيق غير عادي للغاية. تم اختراع المشروع المسمى Aural من قبل نفس الشخص الذي أنشأ Incendia. صحيح أن البرنامج هذه المرة لا يتصور المجموعة الكسورية، ولكنه يصدرها ويحولها إلى موسيقى إلكترونية. الفكرة مثيرة للاهتمام للغاية، خاصة بالنظر إلى الخصائص غير العادية للفركتلات. Aural هو محرر صوتي يقوم بإنشاء ألحان باستخدام خوارزميات كسورية، وهذا هو، في جوهره، مركب صوتي - تسلسل.

تسلسل الأصوات التي ينتجها هذا البرنامج غير عادي و...جميل. قد يكون مفيدًا لكتابة الإيقاعات الحديثة، ويبدو لنا أنه مناسب بشكل خاص لإنشاء مقاطع صوتية لحافظات شاشة البرامج التلفزيونية والإذاعية، بالإضافة إلى "حلقات" من الموسيقى الخلفية لألعاب الكمبيوتر. لم يقدم راميرو عرضًا تجريبيًا لبرنامجه بعد، لكنه يعد بأنه عندما يفعل ذلك، من أجل العمل مع Aural، فلن تحتاج إلى دراسة النظرية الكسورية - ستحتاج فقط إلى اللعب بمعلمات الخوارزمية لإنشاء تسلسل من الملاحظات. استمع إلى صوت الفركتلات، و.

فركتلات: استراحة موسيقية

في الواقع، يمكن أن تساعدك الفركتلات على كتابة الموسيقى حتى بدون برامج. ولكن هذا لا يمكن أن يتم إلا من قبل شخص مشبع حقًا بفكرة الانسجام الطبيعي وفي نفس الوقت لم يتحول إلى "الطالب الذي يذاكر كثيرا" مؤسف. من المنطقي أن نأخذ مثالاً من موسيقي يُدعى جوناثان كولتون، الذي يكتب، من بين أمور أخرى، مقطوعات موسيقية لمجلة Popular Science. وعلى عكس فناني الأداء الآخرين، ينشر كولتون جميع أعماله بموجب ترخيص المشاع الإبداعي الإسناد غير التجاري، والذي (عند استخدامه لأغراض غير تجارية) ينص على نسخ العمل وتوزيعه ونقله إلى الآخرين مجانًا، بالإضافة إلى تعديله ( إنشاء أعمال مشتقة) بحيث تتكيف مع مهامك.

جوناثان كولتون، بالطبع، لديه أغنية عن الفركتلات.

⇡ الاستنتاج

في كل ما يحيط بنا، غالبًا ما نرى الفوضى، لكن في الواقع هذا ليس صدفة، بل هو شكل مثالي، تساعدنا الفركتلات على تمييزه. الطبيعة هي أفضل مهندس معماري وباني ومهندس مثالي. إنه منظم بشكل منطقي للغاية، وإذا لم نر نمطًا ما في مكان ما، فهذا يعني أننا بحاجة إلى البحث عنه على نطاق مختلف. يفهم الناس هذا بشكل أفضل وأفضل، ويحاولون تقليد الأشكال الطبيعية بعدة طرق. يقوم المهندسون بتصميم أنظمة مكبرات الصوت على شكل صدفة، وإنشاء هوائيات على شكل ندفة الثلج، وما إلى ذلك. نحن على يقين من أن الفركتلات لا تزال تحتوي على العديد من الأسرار، والكثير منها لم يكتشفه البشر بعد.