معرفة ما إذا كانت المتجهات تعتمد خطيا. المتجهات المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا

المتجهات وخصائصها والأفعال معها

المتجهات، الإجراءات مع المتجهات، مساحة المتجهات الخطية.

المتجهات هي مجموعة مرتبة من عدد محدود من الأعداد الحقيقية.

أجراءات: 1. ضرب المتجه برقم: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)

2. إضافة المتجهات (تنتمي إلى نفس مساحة المتجه) المتجه x + المتجه y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. المتجه 0=(0,0…0)---n E n – n-الأبعاد (الفضاء الخطي) المتجه x + المتجه 0 = المتجه x

نظرية. لكي يكون نظام من المتجهات n، الفضاء الخطي ذو الأبعاد n، معتمدًا خطيًا، من الضروري والكافي أن يكون أحد المتجهات عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى.

نظرية. أي مجموعة من المتجهات n+ الأولى للفضاء الخطي ذو الأبعاد n للظواهر. تعتمد خطيا.

جمع المتجهات، ضرب المتجهات بالأرقام. طرح المتجهات.

مجموع متجهين هو متجه موجه من بداية المتجه إلى نهايته، بشرط أن تتطابق البداية مع نهاية المتجه. إذا تم إعطاء المتجهات من خلال توسعاتها في ناقلات الوحدة الأساسية، فعند إضافة المتجهات، تتم إضافة إحداثياتها المقابلة.

دعونا نفكر في ذلك باستخدام مثال نظام الإحداثيات الديكارتية. يترك

دعونا نظهر ذلك

ومن الشكل 3 يتضح ذلك

يمكن العثور على مجموع أي عدد محدود من المتجهات باستخدام قاعدة المضلع (الشكل 4): لبناء مجموع عدد محدود من المتجهات، يكفي الجمع بين بداية كل متجه لاحق ونهاية المتجه السابق وقم ببناء متجه يربط بداية المتجه الأول بنهاية المتجه الأخير.

خصائص عملية إضافة المتجهات:

في هذه التعبيرات m، n عبارة عن أرقام.

ويسمى الفرق بين المتجهات بالمتجه والحد الثاني هو المتجه المقابل للمتجه في الاتجاه ولكنه يساويه في الطول.

وبالتالي، يتم استبدال عملية طرح المتجهات بعملية الجمع

يسمى المتجه الذي تبدأ بدايته عند نقطة الأصل وينتهي عند النقطة A (x1, y1, z1) بمتجه نصف القطر للنقطة A ويشار إليه ببساطة. وبما أن إحداثياتها تتزامن مع إحداثيات النقطة A، فإن توسعها في متجهات الوحدة له الشكل

يمكن كتابة المتجه الذي يبدأ عند النقطة A(x1, y1, z1) وينتهي عند النقطة B(x2, y2, z2) بالشكل

حيث r 2 هو متجه نصف القطر للنقطة B؛ ص 1 - متجه نصف القطر للنقطة أ.

ولذلك، فإن توسيع المتجه في ناقلات الوحدة له الشكل

طوله يساوي المسافة بين النقطتين A و B

عمليه الضرب

لذلك في حالة مسألة المستوى، يتم العثور على حاصل ضرب المتجه بـ a = (ax; ay) بالرقم b بواسطة الصيغة

أ ب = (الفأس ب؛ آي ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1؛ 2) في 3.

3 أ = (3 1; 3 2) = (3; 6)

لذلك، في حالة وجود مشكلة مكانية، يتم العثور على حاصل ضرب المتجه a = (ax; ay; az) بالرقم b بواسطة الصيغة

أ ب = (الفأس ب؛ آي ب؛ أ ب)

مثال 1. أوجد حاصل ضرب المتجه أ = (1؛ 2؛ -5) في 2.

2 أ = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

المنتج النقطي للمتجهات و أين هي الزاوية بين المتجهات و ; إذا كان أي منهما، ثم

من تعريف المنتج العددي يتبع ذلك

حيث، على سبيل المثال، هو مقدار إسقاط المتجه على اتجاه المتجه.

ناقلات التربيعية العددية:

خصائص المنتج النقطي:

نقطة المنتج في الإحداثيات

لو الذي - التي

الزاوية بين المتجهات

الزاوية بين المتجهات - الزاوية بين اتجاهات هذه المتجهات (أصغر زاوية).

المنتج المتقاطع (المنتج المتقاطع لمتجهين.) -هذا هو متجه كاذب متعامد على مستوى مكون من عاملين، وهو نتيجة العملية الثنائية "ضرب المتجهات" على المتجهات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. المنتج ليس تبادليًا ولا ترابطيًا (إنه مضاد للتبادل) ويختلف عن المنتج النقطي للمتجهات. في العديد من المسائل الهندسية والفيزيائية، يجب أن تكون قادرًا على إنشاء متجه متعامد مع متجهين موجودين - حيث يوفر منتج المتجه هذه الفرصة. يعتبر الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودي المتجهات - طول المنتج الاتجاهي لمتجهين يساوي منتج أطوالهما إذا كانا متعامدين، وينخفض ​​إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو غير متوازية.

يتم تعريف المنتج المتقاطع فقط في المساحات ثلاثية الأبعاد وسبعة الأبعاد. تعتمد نتيجة الضرب المتجه، مثل المنتج العددي، على قياس الفضاء الإقليدي.

على عكس صيغة حساب متجهات المنتج العددية من الإحداثيات في نظام إحداثيات مستطيل ثلاثي الأبعاد، تعتمد صيغة المنتج الاتجاهي على اتجاه نظام الإحداثيات المستطيل أو، بمعنى آخر، "لا تناظره"

العلاقة الخطية المتداخلة من المتجهات.

يُطلق على المتجهات غير الصفرية (لا تساوي 0) اسم خطي واحد إذا كانت تقع على خطوط متوازية أو على نفس الخط. المرادف المقبول، ولكن غير الموصى به، هو المتجهات "المتوازية". يمكن أن تكون المتجهات الخطية المتماثلة موجهة بشكل مماثل ("متماثلة الاتجاه") أو موجهة بشكل معاكس (في الحالة الأخيرة يطلق عليها أحيانًا "مضاد الخطية" أو "مضادة التوازي").

منتج مختلط من المتجهات ( أ، ب، ج)- المنتج العددي للمتجه a والمنتج المتجه للمتجهين b و c:

(أ،ب،ج)=أ ⋅(ب ×ج)

يطلق عليه أحيانًا منتج النقط الثلاثي للمتجهات، على ما يبدو لأن النتيجة هي عددية (بتعبير أدق، سلمية زائفة).

المعنى الهندسي: معامل المنتج المختلط يساوي عدديًا حجم متوازي السطوح الذي تشكله المتجهات (أ، ب، ج) .

ملكيات

المنتج المختلط يكون منحرفًا ومتماثلًا فيما يتعلق بجميع وسائطه: على سبيل المثال. هـ - إعادة ترتيب أي عاملين يغير علامة المنتج. ويترتب على ذلك أن المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الصحيح (على أساس متعامد) يساوي محدد مصفوفة مكونة من ناقلات و:

المنتج المختلط في نظام الإحداثيات الديكارتية الأيسر (على أساس متعامد) يساوي محدد المصفوفة المكونة من ناقلات، ويتم أخذه بعلامة الطرح:

بخاصة،

إذا كان هناك متجهان متوازيان، فإنهما مع أي متجه ثالث يشكلان منتجًا مختلطًا يساوي صفرًا.

إذا كانت هناك ثلاثة نواقل تعتمد خطيًا (أي متحدة المستوى، وتقع في نفس المستوى)، فإن منتجها المختلط يساوي الصفر.

المعنى الهندسي - المنتج المختلط يساوي القيمة المطلقة لحجم متوازي السطوح (انظر الشكل) الذي تشكله المتجهات و؛ تعتمد الإشارة على ما إذا كان هذا الثلاثي من المتجهات أيمن أم أعسر.

مستوية المتجهات.

تسمى ثلاثة نواقل (أو أكثر) متحدة المستوى إذا تم اختزالها إلى أصل مشترك وتقع في نفس المستوى

خصائص المستوى المشترك

إذا كان أحد المتجهات الثلاثة على الأقل يساوي صفرًا، فإن المتجهات الثلاثة تعتبر أيضًا مستوية.

ثلاثية المتجهات التي تحتوي على زوج من المتجهات الخطية تكون متحدة المستوى.

منتج مختلط من ناقلات متحدة المستوى. وهذا معيار للمستوى المشترك لثلاثة نواقل.

ناقلات متحدة المستوى تعتمد خطيا. وهذا أيضًا معيار للمستوى المشترك.

في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تشكل 3 نواقل غير مستوية الأساس

المتجهات المعتمدة خطيًا والمستقلة خطيًا.

أنظمة ناقلات تعتمد خطيا ومستقلة.تعريف. يسمى نظام المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك على الأقل مجموعة خطية واحدة غير تافهة من هذه المتجهات تساوي المتجه الصفري. خلاف ذلك، أي. إذا كانت مجموعة خطية تافهة من المتجهات المعطاة تساوي المتجه الفارغ، فسيتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

نظرية (معيار الاعتماد الخطي). لكي يعتمد نظام من المتجهات في الفضاء الخطي خطيًا، من الضروري والكافي أن يكون أحد هذه المتجهات على الأقل عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الأخرى.

1) إذا كان من بين المتجهات ناقل صفري واحد على الأقل، فإن نظام المتجهات بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع، إذا، على سبيل المثال، بافتراض أن لدينا مجموعة خطية غير تافهة.▲

2) إذا كان من بين المتجهات نظام يعتمد خطيًا، فإن النظام بأكمله يعتمد خطيًا.

في الواقع، دع المتجهات تعتمد خطيًا. وهذا يعني أن هناك مجموعة خطية غير تافهة تساوي المتجه الصفري. ولكن بعد ذلك، على افتراض ، نحصل أيضًا على مجموعة خطية غير بديهية تساوي المتجه الصفري.

2. الأساس والبعد. تعريف. نظام المتجهات المستقلة خطيا يسمى الفضاء المتجه أساسمن هذه المساحة إذا كان من الممكن تمثيل أي متجه كمجموعة خطية من ناقلات هذا النظام، أي. لكل متجه هناك أرقام حقيقية بحيث تحمل هذه المساواة تحلل ناقلاتحسب الأسس والأرقام وتسمى إحداثيات المتجه بالنسبة للأساس(أو في الأساس) .

نظرية (حول تفرد التوسع فيما يتعلق بالأساس). يمكن توسيع كل متجه في الفضاء إلى أساس بالطريقة الوحيدة، أي. إحداثيات كل متجه في الأساس يتم تحديدها بشكل لا لبس فيه.

المقدمة من قبلنا العمليات الخطية على المتجهاتتجعل من الممكن إنشاء تعبيرات مختلفة ل كميات ناقلاتوتحويلها باستخدام الخصائص المحددة لهذه العمليات.

استنادًا إلى مجموعة معينة من المتجهات a 1، ...، a n، يمكنك إنشاء تعبير عن النموذج

حيث 1 و... وn هي أرقام حقيقية عشوائية. ويسمى هذا التعبير مزيج خطي من المتجهاتأ 1، ...، ن. تمثل الأرقام α i، i = 1، n معاملات الجمع الخطية. وتسمى أيضًا مجموعة من المتجهات نظام المتجهات.

فيما يتعلق بالمفهوم المقدم حول مجموعة خطية من المتجهات، تنشأ مشكلة وصف مجموعة من المتجهات التي يمكن كتابتها كمجموعة خطية لنظام معين من المتجهات a 1، ...، a n. بالإضافة إلى ذلك، هناك أسئلة طبيعية حول الشروط التي يتم بموجبها تمثيل المتجه في شكل مجموعة خطية، وحول تفرد هذا التمثيل.

التعريف 2.1.يتم استدعاء المتجهات a 1 و... وn تعتمد خطيا، إذا كان هناك مجموعة من المعاملات α 1 , ... , α n هكذا

α 1 أ 1 + ... + α ن а ن = 0 (2.2)

وواحد على الأقل من هذه المعاملات ليس صفرًا. إذا كانت مجموعة المعاملات المحددة غير موجودة، فسيتم استدعاء المتجهات مستقل خطيا.

إذا كانت α 1 = ... = α n = 0، فمن الواضح أن α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. ومع أخذ ذلك في الاعتبار، يمكننا أن نقول هذا: المتجهات a 1، ...، و n مستقلة خطيًا إذا كان من المساواة (2.2) أن جميع المعاملات α 1 , ... , α n تساوي الصفر.

تشرح النظرية التالية سبب تسمية المفهوم الجديد بمصطلح "الاعتماد" (أو "الاستقلال")، وتوفر معيارًا بسيطًا للاعتماد الخطي.

نظرية 2.1.لكي تكون المتجهات a 1، ...، و n، n > 1، معتمدة خطيًا، فمن الضروري والكافي أن يكون أحدهما عبارة عن مزيج خطي من الآخرين.

◄ الضرورة. لنفترض أن المتجهات a 1 و... وn تعتمد خطيًا. وفقًا للتعريف 2.1 للاعتماد الخطي، في المساواة (2.2) على اليسار يوجد معامل واحد غير صفري على الأقل، على سبيل المثال α 1. مع ترك الحد الأول على الجانب الأيسر من المساواة، ننقل الباقي إلى الجانب الأيمن، مع تغيير علاماتهم، كالعادة. بقسمة المساواة الناتجة على α 1، نحصل على

أ 1 =-α 2 /α 1 ⋅ أ 2 - ... - α n /α 1 ⋅ أ n

أولئك. تمثيل المتجه a 1 كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية a 2، ...، a n.

قدرة. لنفترض، على سبيل المثال، أن المتجه الأول a 1 يمكن تمثيله كمجموعة خطية من المتجهات المتبقية: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. بنقل جميع الحدود من الجانب الأيمن إلى اليسار نحصل على 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0، أي. مجموعة خطية من المتجهات a 1، ...، n مع المعاملات α 1 = 1، α 2 = - β 2، ...، α n = - β n، يساوي ناقل صفر.في هذه المجموعة الخطية، ليست كل المعاملات صفرًا. وفقا للتعريف 2.1، فإن المتجهات a 1 و... وn تعتمد خطيا.

تمت صياغة تعريف ومعيار الاعتماد الخطي على نحو يتضمن وجود ناقلين أو أكثر. ومع ذلك، يمكننا أيضًا التحدث عن الاعتماد الخطي لمتجه واحد. لتحقيق هذا الاحتمال، بدلًا من عبارة "المتجهات تعتمد خطيًا"، عليك أن تقول "نظام المتجهات يعتمد خطيًا". من السهل أن نرى أن عبارة "نظام ذو متجه واحد يعتمد خطيًا" تعني أن هذا المتجه الفردي يساوي صفرًا (في المجموعة الخطية يوجد معامل واحد فقط، ولا ينبغي أن يكون مساويًا للصفر).

مفهوم الاعتماد الخطي له تفسير هندسي بسيط. والبيانات الثلاثة التالية توضح هذا التفسير.

نظرية 2.2.يكون المتجهان معتمدين خطيًا إذا وفقط إذا كانا على استطراد.

◄ إذا كان المتجهان a وb يعتمدان خطيًا، فسيتم التعبير عن أحدهما، على سبيل المثال، من خلال الآخر، أي. a = b لبعض الأعداد الحقيقية . وفقا للتعريف 1.7 يعملالمتجهات لكل رقم، المتجهات a و b على خط واحد.

دع الآن المتجهين a و b يكونان على خط واحد. إذا كان كلاهما صفرًا، فمن الواضح أنهما يعتمدان خطيًا، لأن أي مجموعة خطية منهما تساوي المتجه الصفري. دع أحد هذه المتجهات لا يساوي 0، على سبيل المثال المتجه b. دعونا نشير بـ lect إلى نسبة أطوال المتجهات: lect = |a|/|b|. يمكن أن تكون المتجهات الخطية أحادي الاتجاهأو موجهة بشكل معاكس. وفي الحالة الأخيرة، نغير إشارة α. بعد ذلك، وبالتحقق من التعريف 1.7، أصبحنا مقتنعين بأن a = lectb. وفقاً للنظرية 2.1، فإن المتجهين a وb يعتمدان خطياً.

ملاحظة 2.1.في حالة وجود متجهين، مع الأخذ في الاعتبار معيار الاعتماد الخطي، يمكن إعادة صياغة النظرية المثبتة على النحو التالي: يكون المتجهان على خط واحد فقط إذا تم تمثيل أحدهما على أنه حاصل ضرب الآخر برقم. وهذا معيار مناسب للعلاقة الخطية المتداخلة بين متجهين.

نظرية 2.3.ثلاثة ناقلات تعتمد خطيا إذا وفقط إذا كانت متحد المستوى.

◄ إذا كانت هناك ثلاثة نواقل a وb وc تعتمد خطيًا، فوفقًا للنظرية 2.1، يكون أحدها، على سبيل المثال a، عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الأخرى: a = βb + γc. دعونا نجمع أصول المتجهين b وc عند النقطة A. ثم سيكون للمتجهين βb وγс أصل مشترك عند النقطة A وعلى طول وفقا لقاعدة متوازي الأضلاع، مجموعهم هوأولئك. المتجه a سيكون متجهًا ذو الأصل A و النهاية، وهو قمة متوازي الأضلاع المبني على ناقلات المكونات. وبالتالي، فإن جميع المتجهات تقع في نفس المستوى، أي متحدة المستوى.

دع المتجهات a، b، c تكون مستوية. إذا كان أحد هذه المتجهات يساوي صفرًا، فمن الواضح أنه سيكون مزيجًا خطيًا من المتجهات الأخرى. يكفي أن تأخذ جميع معاملات المجموعة الخطية التي تساوي الصفر. ومن ثم، يمكننا أن نفترض أن المتجهات الثلاثة جميعها ليست صفرًا. متناسق بدأتمن هذه المتجهات عند نقطة مشتركة O. دع نهاياتها تكون النقاط A، B، C، على التوالي (الشكل 2.1). من خلال النقطة C نرسم خطوطًا موازية للخطوط التي تمر عبر أزواج من النقاط O وA وO وB. وبتحديد نقاط التقاطع كـ A" وB"، نحصل على متوازي الأضلاع OA"CB"، وبالتالي، OC" = OA" + OB". Vector OA" والمتجه غير الصفري a = OA هما على خط واحد، وبالتالي يمكن الحصول على أولهما عن طريق ضرب الثاني برقم حقيقي α:OA" = αOA. وبالمثل، OB" = βOB، β ∈ R. ونتيجة لذلك، حصلنا على أن OC" = α OA. + βOB، أي أن المتجه c عبارة عن مزيج خطي من المتجهات a وb. وفقًا للنظرية 2.1، فإن المتجهات a وb وc تعتمد خطيًا.

نظرية 2.4.أي أربعة ناقلات تعتمد خطيا.

◄ نقوم بإجراء البرهان بنفس المخطط كما في النظرية 2.3. النظر في أربعة ناقلات تعسفية أ، ب، ج، د. إذا كان أحد المتجهات الأربعة صفرًا، أو كان بينهم متجهان على خط واحد، أو كانت ثلاثة من المتجهات الأربعة متحدة المستوى، فإن هذه المتجهات الأربعة تعتمد خطيًا. على سبيل المثال، إذا كان المتجهان a وb على خط واحد، فيمكننا أن نجعل تركيبتهما الخطية αa + βb = 0 بمعاملات غير صفرية، ثم نضيف المتجهين المتبقيين إلى هذه المجموعة، مع أخذ الأصفار كمعاملات. نحصل على مجموعة خطية من أربعة ناقلات تساوي 0، حيث توجد معاملات غير الصفر.

وبالتالي، يمكننا أن نفترض أنه من بين المتجهات الأربعة المختارة، لا توجد متجهات تساوي صفرًا، ولا يوجد متجهان على خط واحد، ولا يوجد ثلاثة متجهات متحدة المستوى. دعونا نختار النقطة O كبداية مشتركة بينهما، ثم نهايات المتجهات a، b، c، d ستكون بعض النقاط A، B، C، D (الشكل 2.2). من خلال النقطة D نرسم ثلاث مستويات موازية للمستويات OBC، OCA، OAB، ولتكن A، B، C هي نقاط تقاطع هذه المستويات مع الخطوط المستقيمة OA، OB، OS، على التوالي. OA" C "B" C" B"DA"، والمتجهات a، b، c تقع على حوافها الخارجة من الرأس O. بما أن الشكل الرباعي OC"DC" هو متوازي أضلاع، فإن OD = OC" + OC" بدوره، فإن القطعة OC" عبارة عن قطري. متوازي الأضلاع OA"C"B"، لذلك OC" = OA" + OB" و OD = OA" + OB" + OC" .

يبقى أن نلاحظ أن أزواج المتجهات OA ≠ 0 و OA" , OB ≠ 0 و OB" , OC ≠ 0 و OC" هي على خط واحد، وبالتالي، من الممكن تحديد المعاملات α، β، γ بحيث OA" = αOA، OB" = βOB وOC" = γOC. أخيرًا نحصل على OD = αOA + βOB + γOC. وبالتالي، يتم التعبير عن متجه OD من خلال المتجهات الثلاثة الأخرى، وجميع المتجهات الأربعة، وفقًا للنظرية 2.1، تعتمد خطيًا.

يترك لهو الفضاء الخطي التعسفي، أ أنا Î لام،- عناصره (المتجهات).

التعريف 3.3.1.تعبير ، أين ، - أرقام حقيقية عشوائية، تسمى مجموعة خطية ثلاثة أبعادأ1، أ2،…، أ ن.

إذا كان ناقلات ر = ، ثم يقولون ذلك ر متحللة إلى ناقلاتأ1، أ2،…، أ ن.

التعريف 3.3.2.تسمى مجموعة خطية من المتجهات غير تافهة، إذا كان من بين الأرقام ما لا يقل عن رقم واحد غير صفر. خلاف ذلك، يتم استدعاء المجموعة الخطية تافه.

التعريف 3.3.3 . المتجهات أ 1، أ 2،…، أ نتسمى تابعة خطيًا إذا كان هناك مجموعة خطية غير تافهة منها على هذا النحو

= 0 .

التعريف 3.3.4. المتجهات أ 1 ، أ 2 ،…، أ نتسمى مستقلة خطيا إذا كانت المساواة = 0 ممكن فقط في حالة وجود جميع الأرقام ل 1, ل 2,…, ل نتساوي الصفر في نفس الوقت.

لاحظ أن أي عنصر غير الصفر a 1 يمكن اعتباره نظاما مستقلا خطيا، منذ المساواة لأ 1 = 0 ممكن فقط إذا ل= 0.

نظرية 3.3.1.شرط ضروري وكاف للاعتماد الخطي a 1 , a 2 ,…, a نهي إمكانية تحلل واحد على الأقل من هذه العناصر إلى الباقي.

دليل. ضروري. دع العناصر أ 1، أ 2،…، أ نتعتمد خطيا. هذا يعني انه = 0 وواحد على الأقل من الأرقام ل 1, ل 2,…, ل نمختلفة عن الصفر . دع اليقين ل 1 ¹ 0. ثم

أي أن العنصر أ 1 ينقسم إلى عناصر أ 2، أ 3، …، أ ن.

قدرة. دع العنصر أ 1 يتحلل إلى عناصر أ 2، أ 3، …، أ ن، أي 1 = . ثم = 0 لذلك، هناك مجموعة خطية غير تافهة من المتجهات a 1 , a 2 ,..., a ن، متساوي 0 ، لذلك فهي تعتمد خطيا .

نظرية 3.3.2. إذا كان واحد على الأقل من العناصر أ 1، أ 2، ...، أ نصفر، فإن هذه المتجهات تعتمد خطيًا.

دليل . يترك أ ن= 0 ، ثم = 0 مما يعني الاعتماد الخطي لهذه العناصر.

نظرية 3.3.3. إذا كان من بين المتجهات n أي p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

دليل. لنفترض، للتحديد، العناصر أ 1، أ 2،…، أ صتعتمد خطيا. وهذا يعني أن هناك مجموعة خطية غير تافهة من هذا القبيل = 0 . سيتم الحفاظ على المساواة المحددة إذا أضفنا العنصر إلى كلا الجزأين. ثم + = 0 وواحد على الأقل من الأرقام ل 1, ل 2,…, lpمختلفة عن الصفر . لذلك، المتجهات أ 1، أ 2،…، أ نتعتمد خطيا.

النتيجة الطبيعية 3.3.1.إذا كانت العناصر n مستقلة خطيًا، فإن أي منها k تكون مستقلة خطيًا (k< n).

نظرية 3.3.4. إذا كانت ناقلاتأ1، أ2،…، أ ن- 1 مستقلة خطيا، والعناصرأ1، أ2،…، أ ن- 1، أ n تعتمد خطيا، ثم المتجهأ يمكن توسيع n إلى ناقلاتأ1، أ2،…، أ ن- 1 .

دليل.منذ بالشرط أ 1 , أ 2 ،…، أ ن- 1، أ ن تعتمد خطيا، ثم هناك مجموعة خطية غير تافهة منها = 0 و (وإلا فإن المتجهات a 1 , a 2 ,..., a ستصبح مستقلة خطيا ن- 1). ولكن بعد ذلك المتجه

,

Q.E.D.

أ 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, أ 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, أ 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

حل.نحن نبحث عن حل عام لنظام المعادلات

أ 1 س 1 + أ 2 س 2 + أ 3 س 3 = Θ

طريقة غاوس. للقيام بذلك، نكتب هذا النظام المتجانس في الإحداثيات:

مصفوفة النظام

النظام المسموح به هو الشكل: (ص أ = 2, ن= 3). النظام متعاون وغير مؤكد. الحل العام ( س 2 – المتغير الحر ): س 3 = 13س 2 ; 3س 1 – 2س 2 – 13س 2 = 0 => س 1 = 5س 2 => Xس = . فوجود حل معين غير الصفر، على سبيل المثال، يشير إلى أن المتجهات أ 1 , أ 2 , أ 3 تعتمد خطيا.

مثال 2.

اكتشف ما إذا كان نظام معين من المتجهات يعتمد خطيًا أم مستقلاً خطيًا:

1. أ 1 = { -20, -15, - 4 }, أ 2 = { –7, -2, -4 }, أ 3 = { 3, –1, –2 }.

حل.النظر في نظام متجانس من المعادلات أ 1 س 1 + أ 2 س 2 + أ 3 س 3 = Θ

أو في شكل موسع (عن طريق الإحداثيات)

النظام متجانس. إذا كانت غير متحللة، فلها حل فريد. في حالة النظام المتجانس، هناك حل صفر (تافه). وهذا يعني أنه في هذه الحالة يكون نظام المتجهات مستقلاً. إذا كان النظام منحطًا، فإن حلوله غير صفرية، وبالتالي فهو معتمد.

نحن نتحقق من نظام الانحطاط:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

النظام غير منحط، وبالتالي، ناقلات أ 1 , أ 2 , أ 3 مستقل خطيا.

مهام.اكتشف ما إذا كان نظام معين من المتجهات يعتمد خطيًا أم مستقلاً خطيًا:

1. أ 1 = { -4, 2, 8 }, أ 2 = { 14, -7, -28 }.

2. أ 1 = { 2, -1, 3, 5 }, أ 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. أ 1 = { -7, 5, 19 }, أ 2 = { -5, 7 , -7 }, أ 3 = { -8, 7, 14 }.

4. أ 1 = { 1, 2, -2 }, أ 2 = { 0, -1, 4 }, أ 3 = { 2, -3, 3 }.

5. أ 1 = { 1, 8 , -1 }, أ 2 = { -2, 3, 3 }, أ 3 = { 4, -11, 9 }.

6. أ 1 = { 1, 2 , 3 }, أ 2 = { 2, -1 , 1 }, أ 3 = { 1, 3, 4 }.

7. أ 1 = {0, 1, 1 , 0}, أ 2 = {1, 1 , 3, 1}, أ 3 = {1, 3, 5, 1}, أ 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. أ 1 = {-1, 7, 1 , -2}, أ 2 = {2, 3 , 2, 1}, أ 3 = {4, 4, 4, -3}, أ 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. أثبت أن نظام المتجهات سيكون معتمداً خطياً إذا كان يحتوي على:

أ) متجهان متساويان؛

ب) متجهان متناسبان.

يسمى نظام المتجهات تعتمد خطيا، إذا كان هناك أرقام يختلف واحد منها على الأقل عن الصفر، بحيث تكون المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= ">.

إذا تم استيفاء هذه المساواة فقط في حالة الكل، فسيتم استدعاء نظام المتجهات مستقل خطيا.

نظرية.سوف يقوم نظام المتجهات تعتمد خطياإذا وفقط إذا كان أحد متجهاته على الأقل عبارة عن مزيج خطي من المتجهات الأخرى.

مثال 1.متعدد الحدود عبارة عن مزيج خطي من كثيرات الحدود https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. تشكل كثيرات الحدود نظامًا مستقلاً خطيًا، نظرًا لأن https متعدد الحدود: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

مثال 2.نظام المصفوفة، https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> مستقل خطيًا، نظرًا لأن المجموعة الخطية تساوي مصفوفة صفرية فقط في حالة https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> يعتمد خطياً.

حل.

لنقم بعمل مزيج خطي من هذه المتجهات https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" الارتفاع = "22">.

وبمساواة نفس الإحداثيات للمتجهات المتساوية، نحصل على https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

أخيرا وصلنا

و

يحتوي النظام على حل تافه فريد من نوعه، لذا فإن المجموعة الخطية من هذه المتجهات تساوي الصفر فقط في الحالة التي تكون فيها جميع المعاملات مساوية للصفر. لذلك، فإن نظام المتجهات هذا مستقل خطيًا.

مثال 4.المتجهات مستقلة خطياً. كيف ستكون أنظمة المتجهات؟

أ).;

ب).?

حل.

أ).لنقم بعمل تركيبة خطية ونساويها بالصفر

باستخدام خصائص العمليات مع المتجهات في الفضاء الخطي، نعيد كتابة المساواة الأخيرة في النموذج

نظرًا لأن المتجهات مستقلة خطيًا، فإن المعاملات عند يجب أن تكون مساوية للصفر، على سبيل المثال..gif" width="12" height="23 src=">

نظام المعادلات الناتج لديه حل تافه فريد من نوعه .

منذ المساواة (*) يتم تنفيذه فقط عندما https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> - مستقل خطياً؛

ب).دعونا نجعل المساواة https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

وبتطبيق المنطق نفسه نحصل على

حل نظام المعادلات بطريقة غاوس نحصل عليه

أو

النظام الأخير لديه عدد لا حصر له من الحلول https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. وبالتالي، لا يوجد مجموعة صفر من المعاملات التي تحمل المساواة (**) . وبالتالي فإن نظام المتجهات - تعتمد خطيا.

مثال 5نظام المتجهات مستقل خطيًا، ونظام المتجهات مستقل خطيًا..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

عدم المساواة (***) . في الواقع، عند ، سيكون النظام معتمدًا خطيًا.

من العلاقة (***) نحن نحصل أو دعونا نشير .

نحن نحصل

مشاكل للحل المستقل (في الفصول الدراسية)

1. النظام الذي يحتوي على ناقل صفري يعتمد خطيًا.

2. نظام يتكون من ناقل واحد أ، يعتمد خطيًا إذا وفقط إذا، أ = 0.

3. يعتمد النظام الذي يتكون من متجهين خطيًا فقط إذا كانت المتجهات متناسبة (أي يتم الحصول على أحدهما من الآخر عن طريق الضرب برقم).

4. إذا قمت بإضافة متجه إلى نظام يعتمد خطيا، فستحصل على نظام يعتمد خطيا.

5. إذا تمت إزالة متجه من نظام مستقل خطيا، فإن نظام المتجهات الناتج يكون مستقلا خطيا.

6. إذا كان النظام سمستقلة خطيًا، ولكنها تصبح معتمدة خطيًا عند إضافة متجه ب، ثم المتجه بيتم التعبير عنها خطيًا من خلال ناقلات النظام س.

ج).نظام المصفوفات في فضاء المصفوفات من الدرجة الثانية.

10. دع نظام المتجهات أ،ب،جالفضاء المتجه مستقل خطيا. إثبات الاستقلال الخطي لأنظمة المتجهات التالية:

أ).أ+ب، ب، ج.

ب).أ+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–عدد التعسفي

ج).أ+ب، أ+ج، ب+ج.

11. يترك أ،ب،ج– ثلاثة نواقل على المستوى يمكن أن يتكون منها المثلث . هل ستكون هذه المتجهات معتمدة خطيًا؟

12. يتم إعطاء ناقلين أ1=(1، 2، 3، 4)،أ2=(0، 0، 0، 1). أوجد متجهين آخرين رباعيي الأبعاد a3 وa4حتى يتمكن النظام أ1,أ2,a3,a4كانت مستقلة خطيا .