النظرية 1.حد المجموع الجبري لاثنين وثلاثة وبشكل عام عدد معينوظائف متساوية مجموع جبريحدود هذه الوظائف، أي.

دليل. دعونا نجري البرهان على حدين، لأنه يمكن إجراؤه بنفس الطريقة لأي عدد من الحدود. دع.ثم و(س)=ب+ب(خ)و ز(خ)=ج+в(خ)، أين بو V- وظائف متناهية الصغر. لذلك،

و(x) + ز(x)=(ب + ج) + (ب(x) + ج(x)).

لأن ب+جهنالك ثابت، أ ب(خ) + ج(خ)- الدالة متناهية الصغر إذن

النظرية 2.حد منتج اثنين وثلاثة وبشكل عام عدد محدودوظائف يساوي المنتجحدود هذه الوظائف:

دليل. فليكن. لذلك، و(س)=ب+ب(خ)و ز(خ)=ج+в(خ)و

و ج = (ب + ب)(ج + ج) = قبل الميلاد + (قبل الميلاد + CB + قبل الميلاد).

عمل قبل الميلادهناك قيمة ثابتة. وظيفة بв + ج ب + بفاستنادا إلى خصائص الدوال متناهية الصغر، هناك كمية متناهية الصغر. لهذا السبب.

النتيجة الطبيعية 1. مضاعف ثابتيمكن أن تؤخذ خارج علامة الحد:

النتيجة الطبيعية 2.حد الدرجة يساوي القوةحد:

مثال..

النظرية 3.نهاية خارج قسمة دالتين يساوي خارج قسمة حدود هاتين الدوال إذا كانت نهاية المقام مختلفة عن الصفر، أي.

دليل. فليكن. لذلك، و(س)=ب+ب(خ)و ز(خ)=ج+в(خ)، أين ب، ج- صغير بلا حدود. دعونا نفكر في الحاصل

الكسر هو دالة متناهية الصغر لأن البسط لا نهاية له وظيفة صغيرة، والمقام له حد ج 2 ?0.

3. دعونا نفكر. في س>1يميل بسط الكسر إلى 1، والمقام يميل إلى 0. ولكن منذ ذلك الحين، أي. هي وظيفة متناهية الصغر في س> 1، ثم.

النظرية 4.دعونا نعطي ثلاث وظائف و (خ)، ش (خ)و الخامس (خ)، تلبية عدم المساواة ش (خ)؟و(خ)؟ الخامس (خ). إذا كانت الوظائف ش(خ)و الخامس (خ)لها نفس الحد في س>أ(أو س>؟)، ثم الدالة و (خ)يميل إلى نفس الحد، أي. لو

معنى هذه النظرية واضح من الشكل.

يمكن العثور على إثبات النظرية 4، على سبيل المثال، في الكتاب المدرسي: Piskunov N. S. Differential and حساب التفاضل والتكامل، المجلد 1 - م: ناوكا، 1985.

النظرية 5.إذا كان في س>أ(أو س>؟) وظيفة ص = و (س)يقبل القيم غير السالبة ص؟0وفي نفس الوقت يميل إلى الحد ب، فإن هذا الحد لا يمكن أن يكون سالبًا: ب؟0.

دليل. سننفذ الدليل بالتناقض. لنفترض ذلك ب<0 ، ثم |y - ب|?|b|وبالتالي فإن معامل الفرق لا يميل إلى الصفر متى س>أ. ولكن بعد ذلك ذلا يصل إلى الحد الأقصى بفي س>أمما يتعارض مع شروط النظرية.

النظرية 6.إذا وظيفتين و (خ)و ز (خ)لجميع قيم الوسيطة ستلبية عدم المساواة و (خ)؟ ز (خ)ولها حدود، ثم هناك عدم المساواة قبل الميلاد.

دليل.وفقا لشروط النظرية و(خ)-ز(خ) ?0، لذلك، من خلال النظرية 5، أو.

النظريات الأساسية حول الحدود.

1. نهاية المجموع الجبري لاثنين، ثلاثة، وبشكل عام عدد معين من المتغيرات يساوي المجموع الجبري لحدود هذه المتغيرات، أي.

ليم (ش 1 + ش 2 + … + ش ن) = ليم ش 1 + ليم ش 2 + … + ليم ش ن

2. نهاية حاصل ضرب عدد معين من المتغيرات تساوي حاصل ضرب حدود هذه المتغيرات، أي.

ليم (ش 1 × ش 2 × … × ش ن) = ليم ش 1 × ليم ش 2 × … × ليم ش ن

3. نهاية خارج قسمة متغيرين تساوي خارج قسمة حدود هذه المتغيرات إذا كانت نهاية المقام مختلفة عن الصفر، أي. لو ليم ف ¹ 0 .

3. إذا كانت لقيم الوظيفة المقابلة u = u(x)، z = z(x)، v = v(x)يتم استيفاء عدم المساواة ش جنيه ض جنيه استرليني وفي نفس الوقت ش(خ)و الخامس (خ)في X ® أ (أو X ® ¥ ) تميل إلى نفس الحد ب، الذي - التي ض = ض(س)في X ® أ (أو X ® ¥) يميل إلى نفس الحد.

تسمح لنا النظرية 4 بإثبات صحة علاقة مهمة تسمى أولاً حد ملحوظ . (2.1)

من (2.1) يتبع معادلة متناهية الصغر Xو الخطيئة x: الخطيئة x ~x.

ذ

ص = الخطيئة س

س

ص = س

أرز. 2.3

من الملائم شرح ذلك بيانياً. في الشكل. 2.3 يظهر الرسوم البيانية للوظائف ص = سو ص = سينكس. فمن السهل أن نرى أن أقل Xيختلف عن الصفر، كلما كان الفرق بين الإحداثيات (قيم الدالة) للرسوم البيانية المقابلة أصغر، ومتى س = 0أنها تتطابق. (وهذا يسمح لك دقة عاليةفي صغيرة جدا Xتحديد القيمة التقريبية الخطيئة س).

هناك علاقة مهمة أخرى لنظرية الحدود تسمى الحد الثاني الملحوظ هومنظر:
(2.2)

رقم ه- غير عقلاني (وكذلك العدد ص) ويمكن كتابتها على شكل عدد عشري لا نهائي جزء غير دوري ه = 2.71828…; مسرحيات دور مهم V الرياضيات الحاسوبية، على وجه الخصوص، كأساس اللوغاريتم الطبيعي، يشار ln x = سجل e x. وظيفة ص = ه سمُسَمًّى الأسيوظيفة (أحيانًا تُكتب كـ إكسب س). يمكن أن تكون المساواة التالية مفيدة في حل مشاكل نظرية الحدود: . يمكنك أيضًا استبدال الكميات المتناهية الصغر بما يعادلها:

استمرارية الوظائف.وظيفة ص = و(س) ألو:

1. يتم تعريف هذه الوظيفة في حي معين من النقطة أوفي هذه النقطة بالذات؛

2. هناك حد للوظيفة وهي تساوي قيمة الدالة عند هذه النقطة، أي. . ويمكن اقتراح تعريف آخر. دع الحجة × 0سوف تحصل على زيادة دي إكسوسوف تأخذ القيمة س = س 0 + دكس. في حالة عامةستتلقى الوظيفة أيضًا بعض الزيادة Dу = f(x 0 + Dx) – f(x 0).

وظيفة و (خ)تسمى مستمرة عند نقطة ما × 0، إذا تم تعريفها عند هذه النقطة وفي بعض المناطق المجاورة لها وإذا كانت الزيادة المتناهية الصغر في الوسيطة تتوافق مع زيادة متناهية الصغر في الوظيفة، أي.

(2.3) أو (2.3`)

هنا صياغة النظرية: كل دالة أولية تكون مستمرة عند كل نقطة يتم تعريفها فيهاونحصل على نتيجة طبيعية مهمة لحل المشكلات في نظرية النهايات. دعونا نكتب شرط الاستمرارية في النموذج
أو ما هو نفسه، . لكن وبالتالي (2.4)، أي. لأي وظيفة مستمرةفي جميع نقاط مجال تعريفها، العلاقة (2.4) صالحة - حد الوظيفة يساوي الوظيفةحد(يمكن تبديل الرموز (والعمليات المقابلة) للحد والوظيفة): .

مثال:

في بعض الحالات يكون من المناسب استخدام العلاقة التالية:

يقولون أنه إذا كانت وظيفة و (خ)مستمر عند كل نقطة من فترة ما (أ، ب)، أين أ< b ، فإن الدالة مستمرة في هذه الفترة. تسمى النقطة الموجودة داخل أو على حدود مجال التعريف التي يتم عندها انتهاك شرط الاستمرارية نقطة الانهيار.إذا كانت هناك حدود محدودة و ، وليس جميع الأرقام الثلاثة ب 1, ب 2و و (أ)متساوية مع بعضها البعض، الفترة أمُسَمًّى نقطة انقطاع من النوع الأول. وتنقسم هذه النقاط إلى نقاط القفز، متى ب 1 ¹ ب 2(القفزة هي ب 2 - ب 1) والنقاط فجوة قابلة للإصلاح،متى ب 1 = ب 2. تسمى نقاط التوقف التي ليست نقاط انقطاع من النوع الأول بالنقاط تمزق من النوع الثاني. عند هذه النقاط لا يوجد على الأقل أحد الحدود أحادية الجانب (مثال - الفجوة "اللانهائية": ).

دعونا نفكر في بعض خصائص الدوال المستمرة (يمكن العثور على أدلة النظريات في الأدبيات الموصى بها).

1. إذا كانت الوظيفة و (خ)المستمر على بعض الجزء ، فهناك نقطة واحدة على الأقل في هذا الجزء س = س 1بحيث تكون قيمة الدالة عند هذه النقطة تلبي العلاقة و (× 1) ³و(س) ، أين X- أي نقطة أخرى على القطعة، وتكون هناك نقطة واحدة على الأقل × 2بحيث تكون قيمة الدالة عند هذه النقطة تلبي العلاقةو(س 2) ≥ و(خ).

ذ 1

ذ 2

ذ 3

س

أ

م

م

V

أرز. 2.4

و (خ)على هذا الجزء. دعونا نشرح بمساعدة الشكل. 2.4، والذي يوضح الرسوم البيانية لثلاثة مستمرة وظائف ص 1، ص 2و في 3. ومن السهل أن نرى ذلك على الفاصل الزمني وظيفة في 1يصل إلى الأعظم مرة واحدة موالأقل مقيم. وظيفة في 2في جميع النقاط له نفس القيمة - فهو الأكبر والأصغر. وظيفة في 3على يأخذ الأعظم مرتين موأقلها مالمعاني. لكن مرة واحدة على الأقلكل واحد منهم يأخذ القيم الأكبر والأصغر!

(لاحظ أنه في الفاصل الزمني (أ، ب)قد لا تكون النظرية صحيحة. مثال: ص = س- الدالة لا تملك على الفاصل الزمني (أ، ب)أعظم و أدنى القيم، لأن لا يصل إلى القيم أو ب!)

في

في 2

أ

V

X

في 1

أرز. 2.5

X

2. إذا كانت الوظيفة و (خ)المستمر على الجزء ويأخذ قيم الإشارات المختلفة في نهايات هذا المقطع ثم بين النقاط أو بهناك نقطة واحدة على الأقل س = ج، حيث تختفي الوظيفة.(وهذا يعني أن الرسم البياني للدالة سوف يتقاطع مع المحور مرة واحدة على الأقل أوهضمن هذا الجزء؛ س = ج- مجرد هذه النقطة). في الشكل. 2.5: الرسوم البيانية للوظائف في 1و في 2هي تلك التي في نهايات الفاصل الزمني إحداثياتها (قيم الوظيفة) مختلفة. وفي الوقت نفسه، الجدول الزمني في 1يعبر المحور أوهمرة واحدة والجدول الزمني في 2- ثلاث مرات، ولكن مرة واحدة على الأقل - لكل منهما.

3. إذا كانت الوظيفة و (خ)محددة ومستمرة على الجزء وفي نهايات هذا الجزء يأخذ قيمًا غير متساوية و(أ) = أو و(ب) = بمهما كان الرقمم ، محصور بين الأرقام أو في، هناك مثل هذه النقطة س = ج، خلص بين أو ب، ماذا و(ج) = م (من السهل أن نرى أن النظرية 2 هي حالة خاصة للنظرية 3).

الوظائف والحدود تاسعا

§ 212. النظريات الأساسية حول حدود الوظائف

أولا وقبل كل شيء، لاحظ أنه ليس لكل وظيفة في = و (X ) هناك حد و (X ). لذلك، على سبيل المثال، متى س -> π / 2 قيم وظيفية في = تيراغرام X (الشكل 303) أو تنمو بشكل غير محدود (مع X < π / 2) أو النقصان بلا حدود (مع X > π / 2).

ولذلك، لا يمكن تحديد أي رقم ب ، والتي تميل إليها قيم هذه الوظيفة.

مثال آخر. يترك

يظهر الرسم البياني لهذه الوظيفة في الشكل 304.

عندما تكون قيمة الحجة X تقترب من 0، وتبقى سلبية، وتميل قيم الدالة المقابلة إلى 1. عندما تكون قيم الوسيطة X تقترب من 0، وتبقى إيجابية، وتميل قيم الدالة المقابلة إلى -2. في نفس النقطة X = 0 تتحول الدالة إلى 0. من الواضح أنه يشير إلى رقم واحد تميل إليه جميع القيم في عند الاقتراب X إلى 0، لا. لهذا السبب هذه الوظيفةليس له حد في X -> 0.

عند الحديث عن نهاية الدالة في المستقبل، سنفترض دائمًا أن هذه النهاية موجودة.

افتراض وجود الحد و (X ) لا يعني أن هذا الحد يتزامن مع قيمة الدالة و (X ) عند النقطة س = أ . على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الوظيفة التي يظهر رسمها البياني في الشكل 305.

من الواضح أن الحد و (X ) موجود ويساوي 1. ولكن عند النقطة نفسها X = 0 تأخذ الدالة قيمة تساوي 2. لذلك، في في هذه الحالة

و (X ) =/= و (0).

إذا كانت الوظيفة ص = و (X ) يفي بالشرط

و (X ) = و (أ ),

ثم يطلق عليه مستمرعند هذه النقطة س = أ . إذا لم يتم استيفاء الشرط المحدد، ثم الوظيفة و (X ) يسمى متفجرعند هذه النقطة س = أ ."

الجميع وظائف أولية(على سبيل المثال، ص = س ن , في = خطيئة X , في = تيراغرام X , في = تان 2 X + تيراغرام X إلخ) مستمرة في كل نقطة يتم تعريفها عندها.

وظيفة في = و (X ) يسمى المستمر في الفاصل الزمني [أ، ب ] إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من هذه الفترة. على سبيل المثال، الدالة في = تيراغرام س مستمر في الفترة[- π / 4 , π / 4 ]، وظائف في = خطيئة س و ذ =cos س مستمر في أي فترة، الخ.

نقدم بدون دليل النظريات الرئيسية حول حدود الدوال. تشبه هذه النظريات تمامًا تلك التي تناولناها سابقًا (أيضًا بدون دليل) عند دراسة حدود التسلسلات الرقمية.

1. نهاية الثابت تساوي هذا الثابت نفسه:

ج = ج .

2. يمكن أخذ العامل الثابت خارج علامة الحد:

[ ك و (X )] = ك و (X ).

3. الحد من مجموع (الفرق) من الوظائف يساوي المبلغ(الاختلافات) بين حدود هذه الوظائف:

[ و (X ) ± ز (X )] = و (X ) ± ز (س ).

4. نهاية منتج الدوال يساوي منتج حدود هذه الوظائف:

[ و (X ) ز (X )] = و (X ) ز (س ).

5. حد النسبة بين وظيفتين يساوي النسبةحدود هذه الدوال ما لم يكن حد المقسوم عليه يساوي الصفر:

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة نموذجية لإيجاد حدود الدوال.

مثال 1.يجد

في X -> 3 يميل بسط ومقام هذا الكسر إلى الصفر. ولذلك، فإن التطبيق المباشر للنظرية على نهاية خارج القسمة مستحيل هنا. لكن جزء معينيمكن اختصارها:

(يرجى ملاحظة ما يلي ميزة مهمة، سمة المثال المعتبر. عندما نتحدث عن الحد و (X )، فإننا عادة نفترض أن الوظيفة و (X ) يتم تعريفه في جميع النقاط القريبة بدرجة كافية من النقطة س = أ . ومع ذلك، يتم تعريف الوظيفة فقط ل القيم الإيجابية X . ولذلك، عند النظر في نهاية هذه الدالة، فإننا نفترض ذلك بالفعل X -> 0، تبقى إيجابية طوال الوقت. في مثل هذه الحالات، لا يتحدثون فقط عن الحد الأقصى، ولكن عنه من جانب واحدحد. سنواجه أمثلة مماثلة لاحقًا في تمارين هذا القسم.)

يتم إعطاء صياغة النظريات الرئيسية وخصائص نهاية الوظيفة. تعريفات محدودة و حدود لا حصر لهاعند نقاط محدودة وعند ما لا نهاية (ثنائية الجانب وأحادية الجانب) وفقًا لكوشي وهاينه. يتم أخذ الخصائص الحسابية بعين الاعتبار؛ النظريات المتعلقة بعدم المساواة؛ معيار التقارب كوشي. حد وظيفة معقدة; خصائص صغيرة بلا حدود، كبيرة بلا حدود و وظائف رتيبة. يتم إعطاء تعريف الوظيفة.

تعريف الوظيفة

وظيفةص = و (خ)هو قانون (قاعدة) بموجبه يرتبط كل عنصر x من المجموعة X بعنصر واحد فقط y من المجموعة Y.

العنصر س ∈ سمُسَمًّى حجة الوظيفةأو متغير مستقل.
العنصر ذ ∈ صمُسَمًّى قيمة الوظيفةأو المتغير التابع.

تسمى المجموعة X مجال الوظيفة.
مجموعة من العناصر ذ ∈ ص، التي تحتوي على صور أولية في المجموعة X، تسمى منطقة أو مجموعة من قيم الوظيفة.

يتم استدعاء الوظيفة الفعلية محدود من الأعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك رقم M بحيث ينطبق عدم المساواة على الجميع:
.
وظيفة رقميةمُسَمًّى محدود، إذا كان هناك رقم M بحيث يكون للجميع:
.

الحافة العلويةأو الحد الأعلى الدقيق وظيفة حقيقيةهو أصغر رقم يحد نطاق قيمه من الأعلى. وهذا يعني أن هذا رقم s، بالنسبة للجميع ولأي شخص، هناك وسيطة تتجاوز قيمة دالتها s′: .
الحافة العلويةيمكن الإشارة إلى الوظائف على النحو التالي:
.

على التوالى الحافة السفليةأو دقيق الحد الأدنى تسمى الوظيفة الحقيقية بالرقم الأكبر الذي يحد نطاق قيمه من الأسفل. وهذا يعني أن هذا هو الرقم i الذي يوجد له وسيطة لكل شخص ولأي شخص تكون قيمة دالته أقل من i': .
يمكن الإشارة إلى الحد الأدنى للدالة على النحو التالي:
.

تحديد نهاية الوظيفة

تحديد نهاية الدالة حسب كوشي

الحدود المحدودة للوظيفة عند نقاط النهاية

دع الوظيفة يتم تعريفها في بعض الأحياء نقطة النهايةباستثناء ربما النقطة نفسها.
.
عند نقطة ما، إذا كان هناك شيء من هذا القبيل، اعتمادًا على، فإنه بالنسبة لجميع x، فإن عدم المساواة يحمل
.
يُشار إلى حد الدالة على النحو التالي:

أو عند .
.

باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية، يمكن كتابة تعريف نهاية الدالة على النحو التالي:
حدود من جانب واحد.
.
الحد الأيسر عند نقطة ما (الحد الأيسر):
.
الحد الأيمن عند نقطة ما (الحد الأيمن):
; .

غالبًا ما يُشار إلى الحدود اليسرى واليمنى على النحو التالي:

الحدود المحدودة للدالة عند نقاط اللانهاية
.
.
.
يتم تحديد الحدود عند نقاط اللانهاية بطريقة مماثلة.
; ; .

وغالبا ما يشار إليهم على النحو التالي:

استخدام مفهوم حي النقطة
.
إذا قدمنا ​​مفهوم الحي المثقوب لنقطة ما، فيمكننا إعطاء تعريف موحد للحد المحدود للدالة عند نقاط محدودة وبعيدة بشكل لا نهائي:
; ;
.
هنا لنقاط النهاية
; ; .

يتم ثقب أي حي من النقاط عند اللانهاية:

حدود الوظيفة اللانهائية
تعريف دع الوظيفة يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة لنقطة ما (محدودة أو لا نهاية لها). (خ)و 0 مثل س → سيساوي اللانهاية ، إذا كان لأي شخص، بشكل تعسفيعدد كبير > 0 م > 0 ، هناك رقم δ M
.
، اعتمادًا على M، أنه بالنسبة لجميع x التي تنتمي إلى الحي المثقوب δ M - للنقطة: فإن عدم المساواة التالي يحمل: شيطانالحد النهائي
.
يُشار إلى حد الدالة على النحو التالي:

يشار إليها على النحو التالي:
.

يمكنك أيضًا تقديم تعريفات للحدود اللانهائية لعلامات معينة تساوي و :
.
.

التعريف العالمي لحد الوظيفة

باستخدام مفهوم مجاورة نقطة ما، يمكننا أن نعطي تعريف عالميالحد المحدود وغير المحدود للدالة، ينطبق على كل من النقاط المحدودة (ثنائية الجانب وأحادية الجانب) وعلى النقاط عند اللانهاية:
.

تحديد نهاية الدالة حسب هاينه

دع الوظيفة يتم تعريفها على بعض المجموعة X:.
الرقم a يسمى حد الدالةعند النقطة:
,
إذا كان لأي تسلسل يتقارب إلى x 0 :
,
التي تنتمي عناصرها إلى المجموعة X : ,
.

ولنكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية:
.

إذا أخذنا الحي الأيسر للنقطة x كمجموعة X 0 ، ثم نحصل على تعريف الحد الأيسر. وإذا كانت أيمنًا، فسنحصل على تعريف النهاية اليمنى. إذا أخذنا جوار نقطة ما عند اللانهاية كمجموعة X، فسنحصل على تعريف نهاية الدالة عند اللانهاية.

نظرية
تعريفات كوشي وهاين لحد الدالة متكافئة.
دليل

خصائص ونظريات نهاية الوظيفة

علاوة على ذلك، نفترض أن الدوال قيد النظر محددة في الجوار المقابل للنقطة، وهو عدد منتهٍ أو أحد الرموز: .

ويمكن أيضًا أن تكون نقطة حد أحادية الجانب، أي أن يكون لها النموذج أو .

والمجاورة ذات طرفين لحد من جانبين، وجانب واحد لحد من جانب واحد. (خ)الخصائص الأساسية إذا كانت قيم الدالة fتغيير (أو جعل غير محدد) عدد محدود من النقاط x 1، × 2، × 3، ... × نفإن هذا التغيير لن يؤثر على وجود وقيمة نهاية الدالة بأي شكل من الأشكال 0 .

نقطة تعسفية 0 س (خ)إذا كان هناك نهاية منتهية، فهناك حي مثقوب للنقطة x
.

، حيث تكون الدالة f 0 محدود:
.
دع الدالة تكون عند النقطة x 0 الحد المحدود غير الصفري:
ثم، بالنسبة لأي رقم c من الفاصل الزمني، يوجد حي مثقوب للنقطة x
، لماذا ،

، لو ؛

، لو . 0
,
إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.

إذا كانت هناك حدود محدودة وعلى بعض الأحياء المثقوبة للنقطة x
,
إذا كان ثابتًا في بعض المناطق المثقوبة للنقطة.
الذي - التي .
,
إذا , وعلى بعض أحياء هذه النقطة
على وجه الخصوص، إذا كان في بعض المناطق المجاورة لنقطة ما

ثم إذا، ثم و؛ 0 :
,
إذا ، ثم و . إذا كان على بعض الحي المثقوب للنقطة x:
وهناك محدودة (أو لا نهاية لها من علامة معينة)
.

حدود متساوية
، الذي - التي

يتم تقديم أدلة على الخصائص الرئيسية على الصفحة

دع الوظائف يتم تعريفها في بعض المناطق المثقوبة من النقطة.
وليكن هناك حدود محدودة:
و . ولتكن C ثابتة، أيرقم معين
;
;
;
، لماذا ،

. ثم

إذا، ثم.
يتم تقديم البراهين على الخصائص الحسابية على الصفحة

“الخصائص الحسابية لحدود الدالة”.

نظرية
معيار كوشي لوجود نهاية الدالة 0 من أجل تحديد دالة على بعض الأحياء المثقوبة لنقطة محدودة أو عند نقطة اللانهاية x > 0 ، كان لها حد محدود في هذه المرحلة، فمن الضروري والكافي لأي ε 0 كان هناك مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x
.

، أنه بالنسبة لأي نقطة ومن هذا الحي، فإن التباين التالي يحمل:

حدود وظيفة معقدة
نظرية نهاية دالة معقدة
دع الدالة لها حد وقم بتعيين حي مثقوب لنقطة ما على حي مثقوب لنقطة ما.
ولتكن الدالة محددة على هذا الحي ولها حد لها.
.

وهنا النقاط النهائية أو البعيدة بلا حدود: .
.

يمكن للأحياء والحدود المقابلة لها أن تكون ذات جانبين أو من جانب واحد.
.
إذن هناك نهاية لدالة معقدة وهي تساوي:

يتم تطبيق نظرية النهاية لدالة معقدة عندما لا تكون الدالة معرفة عند نقطة ما أو تكون لها قيمة مختلفة عن النهاية.
لتطبيق هذه النظرية يجب أن يكون هناك حي مثقوب للنقطة التي لا تحتوي فيها مجموعة قيم الدالة على النقطة: إذا كانت الدالة متصلة عند النقطة، فيمكن تطبيق علامة النهاية على وسيطة الدالة المستمرة:وفيما يلي نظرية المقابلة لهذه الحالة. 0 نظرية نهاية الدالة المستمرة للدالة 0 :
.
يجب أن يكون هناك حد للدالة g 0 (ر)
كما ر → ر (خ)، وهو يساوي x 0 .
هنا النقطة ر يمكن أن تكون محدودة أو بعيدة بلا حدود: .ودع الدالة f مستمر عند النقطة x:
.

ثم هناك حد للوظيفة المعقدة f
(ز (ر))

، وهو يساوي f

(×0)

حدود الوظيفة اللانهائية
يتم تقديم البراهين على النظريات على الصفحة
.

“الحد واستمرارية وظيفة معقدة”.وظائف متناهية الصغر وكبيرة بلا حدود

وظائف متناهية الصغريقال أن الدالة متناهية الصغر إذا

المجموع والفرق والمنتج
,
من عدد محدود من الوظائف متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في .

منتج دالة محدودة

على بعض الحي المثقوب للنقطة، إلى متناهية الصغر في هي وظيفة متناهية الصغر في.

حدود الوظيفة اللانهائية
لكي يكون للدالة نهاية منتهية، من الضروري والكافي أن يكون ذلك
.

المجموع أو الفرق وظيفة محدودة، في بعض المناطق المثقوبة للنقطة، ووظيفة كبيرة بلا حدود عند هي لا نهائية وظيفة عظيمةفي .

إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي وكانت الدالة محصورة في منطقة مثقوبة من النقطة، إذن
.

إذا كانت الدالة، في بعض المناطق المثقوبة من النقطة، ترضي عدم المساواة:
,
والدالة متناهية الصغر في:
، و (على بعض الحي المثقوب من النقطة)، إذن
.

يتم عرض الأدلة على الخصائص في القسم
“خصائص الوظائف الكبيرة بلا حدود”.

العلاقة بين الوظائف الكبيرة والمتناهية الصغر

من الخاصيتين السابقتين يتبع العلاقة بين الدوال الكبيرة والمتناهية الصغر.

إذا كانت الدالة كبيرة بشكل لا نهائي عند , فإن الدالة تكون متناهية الصغر عند .

إذا كانت الدالة متناهية الصغر بالنسبة لـ و، فإن الدالة تكون كبيرة بلا حدود بالنسبة لـ .

يمكن التعبير عن العلاقة بين الدالة المتناهية الصغر والدالة الكبيرة بشكل رمزي:
, .

إذا كانت دالة متناهية الصغر لها إشارة معينة عند، أي أنها موجبة (أو سالبة) على بعض المناطق المثقوبة للنقطة، فيمكن التعبير عن هذه الحقيقة على النحو التالي:
.
وبنفس الطريقة، إذا كانت دالة كبيرة بشكل لا نهائي لها إشارة معينة عند، فإنهم يكتبون:
.

ثم العلاقة الرمزية بين متناهية الصغر واللانهائي ميزات رائعةيمكن استكماله بالعلاقات التالية:
, ,
, .

صيغ إضافية، يمكن العثور على ربط رموز اللانهاية في الصفحة
"النقاط إلى اللانهاية وخصائصها."

حدود الوظائف الرتيبة

حدود الوظيفة اللانهائية
الوظيفة المحددة في بعض المجموعات أرقام حقيقيةيسمى X زيادة صارمة، إذا كان للجميع أن عدم المساواة التالية تحمل:
.
وفقا لذلك، ل يتناقص بشدةوظيفة تحمل عدم المساواة التالية:
.
ل غير متناقصة:
.
ل غير متزايدة:
.

ويترتب على ذلك أن الدالة المتزايدة بشكل صارم هي أيضًا غير متناقصة. الدالة المتناقصة بشكل صارم هي أيضًا غير متزايدة.

يتم استدعاء الدالة رتيبإذا كانت غير متناقصة أو غير متزايدة.

نظرية
دع الدالة لا تنقص على الفاصل الزمني، حيث .
وإذا كان محدداً من الأعلى بالرقم M: فإن هناك حداً منتهياً.
إذا لم يقتصر على ما سبق، ثم.

وإذا كان محدوداً من الأسفل بالرقم م: فهناك حد منتهٍ.
إذا لم يقتصر من الأسفل، ثم .

دع الدالة لا تنقص على الفاصل الزمني، حيث .
;
.

ثم هناك حدود أحادية الجانب عند النقطتين أ و ب:

نظرية مماثلة لوظيفة غير متزايدة.
;
.

دع الدالة لا تزيد على الفاصل الزمني حيث .
ثم هناك حدود من جانب واحد:

يتم تقديم إثبات النظرية على الصفحة
“حدود الوظائف الرتيبة”. الأدب المستخدم:إل دي. كودريافتسيف. حسنًا
التحليل الرياضي