نظرية وجود الحد الأعلى الأصغر. وجود حد أعلى محدد للمجموعة المحددة أعلاه

OPR1.

OPR2. الحد الأعلى الدقيقويتم تعيينه سوب أ.

OPR2'.

يو تي في. OPR2. OPR2.

=> تم تحقيق OPR2، أي M = sub A – الأصغر بين جميع الحدود العليا => M – الحد الأعلى للمجموعة A => (أي 1) تم الانتهاء من OPR2).

د م 2) بالتناقض، أي. الحد الأعلى للمجموعة A، وM ليس الحد الأعلى الأصغر - وهو تناقض، لأن M هو الحد الأعلى => الخاصية 2) OPR2' مستوفية.

<= выполнено ОПР2’, т.е.

لأن م" في الأعلى. وجه المجموعة A، sl-but، M – الحد الأعلى الأصغر للمجموعة A => OPR2 قد تم تحقيقه.

التذكرة رقم 2 صفحة 2

OPR3.

OPR4. الحافة السفلية بالضبطويتم تعيينه الوقود النووي المشع أ.

OPR4'.

يو تي في. OPR4. OPR4’

والدليل مماثل مع يو تي في. OPR2. OPR2.

نظرية!!!

دوك-فو!!!

تعليق:إذا لم تكن المجموعة A محددة بالأعلى => فلن يكون لها حدود عليا =>

التذكرة رقم 1 "إعدادات محدودة وغير محدودة. أمثلة".

OPR1:رقم اسم. يحدها فوق، لو . في هذه الحالة، M هو الأعلى. حافة mn-va A.

مثال: وهي محدودة من فوق. م = 3 – الحد الأعلى. أي رقم أكبر من 3 هو الحد الأعلى.

OPR2:رقم اسم. يحدها أدناه، لو . في هذه الحالة، m هو الجزء السفلي. حافة mn-va A.

مثال:

ن – يحدها من الأسفل. م = 1 - الحد الأدنى. أي رقم أقل من 1 سيكون الحد الأدنى.

OPR3:رقم اسم. محدود، إذا كان يحدها من أعلى ومن أسفل، أي. .

OPR3':رقم اسم. محدود، لو

نحن نثبت أن OPR3 ó OPR3’

=> ن.د. OPR3 => OPR3'

لدينا: دع

أولئك. منتهي OPR3'

<= Н.Д. ОПР3’ =>OPR3

لدينا:، أي. منتهي OPR3.

OPR4.من - في A يسمى غير محدود، لو

التذكرة رقم 3 "التسلسلات الرقمية".

OPR.إذا وضعنا لكل عدد طبيعي رقمًا وفقًا لقانون ما، فإن الرقم هو مجموعة الأرقام ، ويسمى التسلسل العددي. دعنا نشير إلى رقم الأخير. ; أعداد - عناصر التسلسل

مثال:

OPR.الرقم a يسمى الحد الأخير. ، إذا (لأي رقم موجب)

محدد بواسطة:

مثال:

التعيين: حي t.a.

التذكرة رقم 4 “بي.إم. "الآخرون وقديسيهم (نظريتان)".

OPR.الأخير يسمى متناهية الصغر (متناهية الصغر) إذا

مثال: ب.م.الاخير

سف-فا:

النظرية_1!!!فليكن - ب.م. بعد الولادة، ثم:

1) ما بعد الولادة ب.م.الاخير

2) ما بعد الولادة ب.م.الاخير

دوك-فو!!!

1) معطى: ب.م، أي.

دم، ما ب.م. بعد الولادة، أي.

دعونا نختارها ونسميها.

لأن بي ام. => للرقم ,

بي ام. => للرقم

لأن ضع الرقم =>

2) أم ماذا ب.م.الاخير

دعونا نختارها ونعينها.

بي ام. => للرقم،

بي ام. => للرقم

تذكرة رقم. 4 الصفحة 2

لأن يتم تنفيذ وضع الرقم => def. بي ام. ل، أي. بي ام.

النظرية_2!!!

دع b.m.last، محدود. الولادة الإيجابية إذن b.m.تسلسل إيجابي

OPR.بعد الولادة. محدود لو

دوك-فو!!!

نحن نصلحه.

حد. =>

بي ام لاست => ل

عاقبة:

دع ب.م.الأخير. ثم ل آخر ب.م.

في الواقع، النظر بعد الولادة.

غول بعد الولادة. ب.م، ر.ك ب.م.

مثال:

الذي - التي. وفقًا لـ THEOREM_2!!!

تعليق:

من THEOREM_1!!! يتبع ذلك

1) مجموع أي عدد محدود من b.m. بعد الولادة. هناك b.m.last.

2) حاصل ضرب أي عدد محدود من b.m. بعد الولادة. هناك ب.م. بعد الولادة.

التذكرة رقم 5 "تسلسلات BB وعلاقتها بتسلسلات BM."

OPR.فليطلق عليه b.b.last، إذا

دعونا نشير

نظرية!!!دع b.b.last، ثم b.m.last.

دوك-فو!!!

مُثَبَّت بعد الولادة

الذي - التي.
بي ام. بعد الولادة.

اتصال BB مع تسلسلات BM.

ب. بعد الولادة. بي ام. بعد الولادة. علاقة عكسية.

التذكرة 18 خصائص حدود الوظائف (أ) تفرد الحد. ب) وظائف محدودة لها حد.)

تفرد الحد

نظرية!!!إذا كان f-i له حد عند K®0، فهو فريد

دوك-فو!!!(من الجانب المقابل)

يترك و

رسم Xغير متاح " ن

لأن Þ لتسلسل معين (X n).

Þ لتسلسل معين (X n).

الذي - التي. ( f(x)-ch.p-t)معاكس لأنه لا يمكن أن يكون

ب¹ج 2 حدود مختلفة Þ في = ج

.مع

عواقب

السؤال رقم 22 الحد الثاني الرائع

عواقب

(an-no a x =lna)

بيل22ستر4
تذكرة 23 خصائص وظائف bm

تذكرة 24 وظائف bb وارتباطها بـ bb

التذكرة 26.التكافؤ bm f-ii.(الجدول، ر.)

التذكرة 26 صفحة 2

التذكرة 25. مقارنة bm f-y.

التذكرة 28. Nepr-t f-ii عند النقطة.

فوز.28

التذكرة 30. تصنيف نقاط انقطاع الوظيفة (التعريف والأمثلة)

دع f(x) def. في بعض U(a) (m.b. باستثناء t.a. نفسه). ر. مُسَمًّى نقطة الاستراحة الدالات f(x)، إذا لم تكن f ثابتة في t.a. دع تا تكون نقطة انقطاع الدالة f(x).

مواطنه. 1) t.a.-نقطة الاستراحة النوع الأول، إذا (أي الأسماء محدودة من جانب واحد)

2) إذا، بالإضافة إلى ذلك، ثم t.a- نقطة انقطاع قابلة للإزالة.

3) تا - نقطة الاستراحة النوع الثاني إذا لم يكن تمزقًا من النوع الأول.

أمثلة. 1)ص=sgn(x). x=0-t.r من النوع الأول، لأن

2)ص=، س=0 –ر. الجهاز مرة واحدة، لأن

3) y=x=0 – t.r من النوع الثاني، لأن

نقطة الانقطاع من النوع الثاني.

3).

x=0 هي نقطة انقطاع من النوع الثاني.

4).

لا توجد نقطة x=0 - نقطة انقطاع من النوع الثاني.

, . النقطة x=0 هي نقطة انقطاع من النوع الثاني.

التذكرة رقم 2 "الحدود العلوية والسفلية للمجموعة الرقمية. نظرية حول وجود الحدود الدنيا والعليا لمجموعة ما.

OPR1. M – الحد الأعلى للمجموعة A ó if .

OPR2.الأصغر بين جميع الوجوه العلوية للمجموعة A، يسمى الحد الأعلى الدقيقويتم تعيينه سوب أ.

OPR2'.يُطلق على الرقم M الحافة العلوية الدقيقة للرقم A if

يو تي في. OPR2. OPR2.

=> تم تحقيق OPR2، أي M = sub A – الأصغر بين جميع الحدود العليا => M – الحد الأعلى للمجموعة A => (أي 1) تم الانتهاء من OPR2).

<= выполнено ОПР2’, т.е.

ومن الواضح أن M هو الحد الأعلى الأدنى.

Dm بالتناقض ، أي. دع M يكون الوجه العلوي غير الأصغر. تعيين (حسب القديس 2) لهذا التناقض.

لأن م" في الأعلى. وجه المجموعة A، sl-but، M – الحد الأعلى الأصغر للمجموعة A => OPR2 قد تم تحقيقه.

التذكرة رقم 2 صفحة 2

OPR3.م – الحد الأدنى للمجموعة A ó إذا .

OPR4.الأكبر من بين جميع الوجوه السفلية للمجموعة A، يسمى الحافة السفلية بالضبطويتم تعيينه الوقود النووي المشع أ.

OPR4'.الرقم m يسمى الحد الأدنى للمجموعة A if

يو تي في. OPR4. OPR4’

والدليل مماثل مع يو تي في. OPR2. OPR2.

نظرية!!!كل مجموعة غير فارغة محدودة بالأعلى (أدناه) لها حد علوي (سفلي) محدد.

دوك-فو!!!المجموعة غير الفارغة أ - محدودة. من الأعلى، فإن المجموعة A لها حد أعلى واحد على الأقل. لتكن Y هي مجموعة كل الوجوه العلوية للمجموعة A، أي. ، والمجموعة Y ليست فارغة، لأن المجموعة A لها حد أعلى واحد على الأقل.

الذي - التي. تسلسلات غير فارغة A وY ومستمرة حسب الأصل. صالح أرقام أي الحد الأعلى لـ mn-va A. M = sub A.

تعليق:إذا لم تكن المجموعة A محددة بالأعلى => فليس لها حدود عليا => فلا يوجد حد أعلى محدد. في هذه الحالة يعتقد في بعض الأحيان أن . وبالمثل، إذا كانت المجموعة A غير محدودة. من الأسفل، يُعتقد أحيانًا ذلك

إن وجود أي مجموعة محددة من أعلى (أدناه) بحد أعلى (أدنى تمامًا) ليس أمرًا واضحًا ويتطلب إثباتًا. دعونا نثبت النظرية الرئيسية التالية.

النظرية الرئيسية 2.1. إذا كانت مجموعة الأرقام التي يمكن تمثيلها ككسور عشرية لا نهائية محددة من الأعلى (على التوالي، من الأسفل) وتحتوي على عنصر واحد على الأقل، فإن هذه المجموعة لها حد علوي محدد (أقل على التوالي).

دليل. وسوف نركز فقط على إثبات وجود حد أعلى دقيق لأي مجموعة يحدها من الأعلى، حيث أن وجود حد أدنى دقيق لأي مجموعة يحدها من الأسفل يتم إثباته بطريقة مشابهة تمامًا.

إذن، لتكن المجموعة محدودة من الأعلى، أي أن هناك رقم M بحيث يكون كل عنصر x من المجموعة يحقق المتراجحة

هناك حالتان قد تطرحان نفسيهما:

1°. من بين عناصر المجموعة يوجد رقم واحد غير سالب على الأقل. 2°. جميع عناصر المجموعة هي أرقام سالبة. سننظر في هذه الحالات بشكل منفصل.

1°. لننظر فقط إلى الأعداد غير السالبة التي تشكل جزءًا من المجموعة، ولنمثل كلًا من هذه الأعداد ككسر عشري لا نهائي ونفكر في الأجزاء الصحيحة من هذه الكسور العشرية. وبسبب المتراجحة فإن جميع الأجزاء الصحيحة لا تتجاوز الرقم M، وبالتالي يوجد أكبر الأجزاء الصحيحة، والذي نرمز إليه بـ فلنحتفظ من بين الأعداد غير السالبة للمجموعة تلك التي يكون جزءها الصحيح متساويا ونتجاهلها جميع الأرقام الأخرى. بالنسبة للأرقام المخزنة، ضع في اعتبارك المنازل العشرية الأولى بعد العلامة العشرية. نشير إلى أكبر هذه العلامات من خلال دعونا نحتفظ من بين الأعداد غير السالبة للمجموعة تلك التي يكون الجزء الصحيح منها متساويًا والمنزلة العشرية الأولى متساوية ونتجاهل جميع الأرقام الأخرى. بالنسبة للأرقام المخزنة، ضع في اعتبارك المنازل العشرية الثانية بعد العلامة العشرية. ونشير إلى أكبر هذه العلامات من خلال الاستمرار في التفكير المماثل، وسنحدد المنازل العشرية لعدد معين تباعًا

لنثبت أن هذا العدد x هو الحد الأعلى الدقيق للمجموعة، وللقيام بذلك يكفي إثبات عبارتين: 1) كل عنصر x في المجموعة يحقق المتراجحة 2) مهما كان الرقم x أقل من x، يوجد عنصر واحد على الأقل x من المجموعة يحقق المتراجحة

دعونا أولا نثبت العبارة 1). بما أن x، من حيث البناء، هو رقم غير سالب، فإن أي عنصر سالب x في المجموعة يحقق بالتأكيد المتراجحة

لذلك، يكفي أن نثبت أن أي عنصر غير سالب x في المجموعة يحقق المتراجحة

لنفترض أن بعض العناصر غير السالبة لا تحقق المتراجحة، إذًا، وفقًا لقاعدة الترتيب، يوجد عدد من هذا القبيل لكن العلاقات الأخيرة تتعارض

تتعارض مع حقيقة أن أكبر المنازل العشرية لتلك العناصر التي يكون الجزء الصحيح منها والمنازل العشرية الأولى متساوية على التوالي يتم أخذها على أنها

والتناقض الناتج يثبت العبارة 1).

دعونا الآن نثبت العبارة 2). ليكن x أي رقم يحقق الشرط، ومن المطلوب إثبات أن هناك عنصر واحد على الأقل x من المجموعة يحقق المتراجحة

إذا كان الرقم x سالبًا، فمن المؤكد أن عدم المساواة يتم تحقيقه بواسطة عنصر غير سالب x من المجموعة (بافتراض وجود عنصر واحد على الأقل من هذا القبيل).

يبقى النظر في الحالة التي يكون فيها الرقم x الذي يستوفي الشرط غير سلبي. ليتبع من الشرط وقاعدة الترتيب أن هناك عددا هكذا

من ناحية أخرى، من بناء الرقم (2.9) يترتب على ذلك أنه لأي رقم يوجد عنصر غير سالب في المجموعة بحيث يكون الجزء الصحيح وجميع المنازل العشرية الأولى هي نفس تلك الموجودة في الرقم x . بمعنى آخر، بالنسبة للرقم يوجد عنصر x بحيث يكون

مجموعة محدودة. حواف دقيقة

صيغة موافر

تم العثور عليه بواسطة A. Moivre عام 1707؛ تم اقتراح تدوينها الحديث بواسطة L. Euler في عام 1748.

ض ن = ص ن ه فيي = ص ن(كوس ني +أناخطيئة ني). (3)

تم إثبات الصيغة (3) عن طريق الحث ن.

ضرب الأعداد المركبة

من الواضح أنها على حق. لنفترض أن هذا صحيح بالنسبة للبعض ن، دعونا نثبت ذلك ل ن+1. لدينا:

بالنسبة لواحد معين، سنجد واحدًا يحقق المعادلة، وبعبارة أخرى، سنوجد الجذر ن-القوة رقم مركب. لدينا ص ن ه فيي = ص ه طذ ني=ص+2ص ك، كز ، ص=من أين نحصل على الصيغ

والتي تستخدم لحساب الجذر ن-القوة رقم مركب. عملية العثور على الجذر ن-القوة رقم مركب ضيمكن وصفها على النحو التالي. إذا كان هذا الرقم لا يساوي 0، فسيكون هناك مثل هذه الجذور بالضبط ن. وكلها ستكون قمم الحق ن- مربع منقوش في دائرة نصف قطرها . أحد رؤوس هذا المضلع له وسيطة تساوي.

مثال. احسب. في هذه الحالة، فإنه يأخذ ثلاث قيم:

أرز. 1.7

تعليق: علامات المقارنة أقل من، أكبر من (<, >) لم يتم تعريفها في ج .

1.3. الحدود العليا والسفلى لمجموعة الأعداد الحقيقية

حدود وحدود التعدد.

المجموعة E يحدها أعلاه:$ب"سÎ السابق£ ب.

ب - الحد العلوي للمجموعة:"xÎE:x£ ب.

مجموعة محدودة:$أ"سÎ ه: س³ أ.

أ - الحد الأدنى من المجموعة:"xÎE: س ³ أ.

أعلى المجموعة: ب =رشفة E هو الرقم الذي يحقق خاصيتين:

1)(ب - الحافة العلوية)"سÎ السابق£ ب.

2) (لا اقل) "e>0 $ سÎ ه: س > ب-ه.

يتم تحديد الحد الأدنى الدقيق بالمثل أ =الوقود النووي المشع ه.مجموعة محدودةE:$ب"سÎ ه: .

تعليق:لو ب =رشفة ه، الذي - التي -ب=الوقود النووي المشع ه ™، أين ه ™- مرآة ل همجموعة من، ه ™ ={xÎR:(-x)أي} .

نظرية 1. المجموعة غير الفارغة المحددة بالأعلى لها قيمة أعلى.

دليل:يترك بالحد العلوي للمجموعة هو أÎ ه.دعونا نشير بـ [ أ 1 ,ب 1 ] المقطع إذا كان يحتوي على نقاط من ه.وإلا عبر [ أ 1 ,ب 1 ] تشير إلى المقطع

أرز. 1.8

دعونا نلاحظ خصائص هذا الجزء المبني:

1) "xÎE: x£ ب 1 .

2) هÇ[ أ 1 ,ب 1 ] ¹ Æ .

نكرر هذا الإجراء لـ [ أ 1 ,ب 1 ]، وما إلى ذلك. ونتيجة لذلك، نحصل على سلسلة من الأجزاء المتداخلة [ أ ك، ب ك]، وتلبية الخصائص التالية:

1)"xÎE: x £ ب ك .

2) هÇ[ أك، بك ] ¹ Æ .

يتم إثبات ذلك عن طريق الاستقراء. لنفترض أن المقطع [ أ ك، ب ك] بالخصائص المحددة. اقسمها إلى نصفين بنقطة. خلال [ ك + 1 ،ب ك + 1 ] يدل على أحد الأجزاء , التي لها تقاطع غير فارغ مع ه. إذا كان كلاهما يحتوي على

أرز. 1.9

نقاط من ه،الذي - التي [ ك + 1 ،ب ك + 1 ] فليكن هناك قطعة صحيحة. الجزء الناتج له خصائص 1)، 2). أطوال هذه القطاعات ب ك - أ ك =(ب-أ)/ 2كيميل إلى 0، لذلك هناك رقم واحد جمشتركة بين كل هذه القطاعات. هذا الرقم هو الحد الأعلى الدقيق لهذه المجموعة. حقًا:

1) "سÎ هـ: س جنيه استرليني ج.

افترض العكس: $ سÎ ه:س>جلنأخذ، لأنه موجود إذن، ومن أين يأتي ب ن< x ، وهو ما يخالف الشرط سÎ[ أ ن ، ب ن].

أرز. 1.10

2)"ه> 0$ xÎE: س > ج -ه.

لأي ه هناك ن: ب ن - ن< ه . دعونا نختار أي سÎ[ أ ن ، ب ن] . بسبب الخاصية 1) سيكون صحيحا س< c, بجانب

ج-x £ ب ن - أ ن< e . وهكذا المطلوب س.

أرز. 1.11

وبالمثل، يمكن إثبات ذلك من مجموعة غير فارغة يحدها أدناه هناك ما لا نهاية.

نظرية 2. والأعلى الدقيق (إذا كان موجودًا) فريد من نوعه.

دليل: يجب أن يكون هناك وجهان بالضبط ب 2 ، ب 1 , ب 1 2 . خذ ه = ب 2 - ب 1 > 0. من خلال تحديد الحد الأعلى الدقيق (لـ ب 2)$سÎ ه: س > ب 2 - ه = ب 1، وهو ما يناقض ما ب 1 الحافة العلوية.

أرز. 1.12

تعليق.وقد ثبت بطريقة مماثلة أن الجزء الأخير فريد من نوعه.

إذا لم يكن E محددًا بالأعلى، فاكتبرشفة E = +¥، وبالمثل، إذا لم يكن E محددًا أدناه، فاكتبالوقود النووي المشع ه= -¥ .

دعونا نثبت نظرية أخرى، والتي تقوم على خاصية استمرارية الأعداد الحقيقية.

موضوع عن وجود وجه علوي (سفلي).أولا، دعونا نقدم بعض التعريفات.

تعريف. مجموعة رقمية Xويسمى يحدها أعلاه إذا كان هناك رقم M من هذا القبيل س ≥ ملأي عنصر سمن العديد X .

تعريف. مجموعة رقمية Xيسمى يحدها أدناه إذا كان هناك رقم ممثل ذلك س ≥ ملأي عنصر سمن العديد X .

تعريف. مجموعة رقمية Xويسمى محدودا إذا كان محدودا من الأعلى والأسفل.

في التدوين الرمزي، تبدو هذه التعريفات كما يلي:

مجموعة من Xيحدها أعلاه إذا ∃M ∀x ∈ X: x ≥ M ,

يحدها أدناه إذا ∃ م ∀ س ∈ س: س ≥ مو

محدودة إذا ∃m، M ∀x ∈ X: m ≥ x ≥ M .

تعريف.لأي رقم أ ر رقم غير سالب

تسمى قيمه مطلقهأو وحدة. بالنسبة للقيم المطلقة للأرقام، فإن عدم المساواة التالية يحمل: |أ+ب| < |أ|، والذي يتبع من تعريف معامل الرقم ومن بديهيات الجمع والنظام.

نظرية 4.3.1. مجموعة رقمية Xيكون محدودًا إذا وفقط إذا كان هناك رقم C بحيث يتم تعيين عدم المساواة لجميع العناصر x من هذا ≥ ج.

دليل. دع المجموعة Xمحدود. هيا نضع ج = الحد الأقصى (م، م)- أكبر الأعداد m وM. ثم، باستخدام خصائص وحدة الأعداد الحقيقية، نحصل على المتباينات x ≥M≤M ≥C وx≥m≥ −m≥ −C، مما يعني أن ≥ C .

على العكس من ذلك، إذا كانت المتباينة ≥ C ثابتة، فإن −C ≥ x ≥ C . وهذا هو المطلوب إذا وضعنا M = C و m = −C .◄

رقم م، الحد من المجموعة Xفي الأعلى، دعا الحد العلوي للمجموعة. لو م- الحد الأعلى للمجموعة X، ثم أي رقم م'، وهو أعظم م، سيكون أيضًا الحد الأعلى لهذه المجموعة. وهكذا يمكننا أن نتحدث عن مجموعة الحدود العليا للمجموعة X. دعونا نشير إلى مجموعة الحدود العليا بواسطة . ثم، ∀x ∈ X و ∀M ∈سيتم تلبية عدم المساواة × ≥Mلذلك، من خلال بديهية الاستمرارية هناك عدد من هذا القبيل س ≥ ≥ م. هذا العدد يسمى الحد الأعلى الدقيق لمجموعة الأرقام X أو الحد الأعلى لهذه المجموعةأو أعلى المجموعة Xويتم تعيينه = سوب X. وهكذا أثبتنا أن كل مجموعة أرقام غير فارغة ومحدودة أعلاه لها دائمًا حد أعلى.

ومن الواضح أن المساواة = سوب Xيعادل شرطين:

1) ∀س ∈ سعدم المساواة x ≥ يحمل، أي. - الحد الأعلى للمجموعة X ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xبحيث يستمر عدم المساواة xε > −ε، أي. لا يمكن تحسين هذا الحد (تقليله).

وبالمثل، يمكن إثبات أنه إذا كانت المجموعة محدودة من الأسفل، فإن لها حدًا أدنى يُطلق عليه أيضًا اسم infimum للمجموعة X ويُشار إليه بـ inf X. المساواة =inf X تعادل الشروط:

1) ∀س ∈ سعدم المساواة يحمل س ≥ ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ Xبحيث يستمر عدم المساواة xε< + ε .

إذا كانت المجموعة X تحتوي على أكبر عنصر، فسوف نسميها

الحد الأقصى لعنصر المجموعة X ويرمز إلى = max X . ثم

سوبكس =. وبالمثل، إذا كان هناك أصغر عنصر في المجموعة، فسنسميه الحد الأدنى، ونشير إلى minX وسيكون الحد الأدنى للمجموعة X .

دعونا نصوغ عدة خصائص للوجهين العلوي والسفلي:

الخاصية 1. يترك X- بعض المجموعات العددية. دعونا نشير بواسطة -Xمجموعة من (− س| س ∈ X ). ثم سوب (− X) = − inf Xو الوقود النووي المشع (- X) = − سوب X .

الملكية 2.يترك X- مجموعة أرقام معينة π – عدد حقيقي. دعونا نشير بواسطة ×مجموعة من (×× | × ∈ ×). ثم إذا كانت ≥ ≥ 0، إذن سوب(X) =  سوبX , inf( X)= infXو إذا λ < 0, то sup(λ X)=λ infX , inf(λ X)=λ supX .

الملكية 3. يترك X1 وX2- المجموعات العددية. دعونا نشير بواسطة X1+X2مجموعة من ( x1+ x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2 )ومن خلال X1 - X2مجموعة من (x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X2). ثم سوب(X1 + X2)=supX1+supX2, inf(X1+X2)=infX1 +inf X2 , سوب(X1 − X2) = سوب X1 − inf X2و الوقود النووي المشع (X1 − X2) = الوقود النووي المشع X1 − سوب X2 .

الخاصية 4. لنفترض أن X1 وX2 عبارة عن مجموعات أرقام تكون جميع عناصرها غير سالبة. ثم سوب (X1*X2) = سوب X1 *sup X2 , inf (X1*X2) = inf X1* inf X2 .

دعونا نثبت، على سبيل المثال، المساواة الأولى في الخاصية 3. دعونا x1 ∈ X1، x2 ∈ X2 و x=x1+x2.ثم x1 ≥ سوب X1، x2 ≥ سوب X2و س ≥ سوب X1 + سوب X2، أين سوب (X1 + X2) ≥ سوب X1 + سوب X2 .

لإثبات المتباينة المعاكسة، خذ الرقم ذ . ومن ثم يمكننا العثور على العناصر ∈X1و∈ X2 هكذا ^{ذ . وهذا يعني أن هناك عنصرا =
+
∈ X1+X2، وهو أكبر من الرقم y و سوب X1 + سوب X2 = سوب (X1 + X2). تم إثبات العلاقات المتبقية بالمثل.}

ويمكن افتراض مبدأ أرخميدس ووجود الحدود العليا والسفلى كمسلمة بدلا من بديهية الاستمرارية، ثم ستتبع بديهية الاستمرارية من هذه البديهية الجديدة. (حاول أن تثبت ذلك بنفسك).

التحليل الرياضي
الجزء الأول
نظرية الحد. حد التسلسل وحد الوظيفة. نظرية الوجود للأعلى الدقيق.

دع المتغير س نيأخذ سلسلة لا نهائية من القيم
س 1 ، س 2 ، ...، خ ن , ..., (1)
وقانون تغير المتغير معروف س ن، أي. لكل عدد طبيعي نيمكنك تحديد القيمة المناسبة س ن. ولذلك يفترض أن المتغير س نهي وظيفة ن:
س ن = و(ن)
دعونا نحدد أحد أهم مفاهيم التحليل الرياضي - نهاية المتتابعة، أو ما شابه ذلك، نهاية المتغير س ن، يعمل من خلال التسلسل س 1 ، س 2 ، ...، خ ن , ... . .
تعريف.رقم ثابت أمُسَمًّى حد التسلسل س 1 ، س 2 ، ...، خ ن , ... . أو حد المتغير س ن، إذا كان هناك رقم موجب صغير بشكل تعسفي e يوجد مثل هذا الرقم الطبيعي ن(أي رقم ن) أن جميع قيم المتغير س ن، بدءًا من س ن، تختلف عن أبالقيمة المطلقة أقل من e. وهذا التعريف مكتوب بإيجاز على النحو التالي:
| س ن -أ |< (2)
أمام الجميع ن  نأو ما هو نفسه،
تحديد حد كوشي. يُطلق على الرقم A حد الدالة f (x) عند نقطة a إذا تم تعريف هذه الوظيفة في بعض المناطق المجاورة للنقطة a، مع استثناء محتمل للنقطة a نفسها، ولكل ε > 0 يوجد δ > 0 بحيث يكون لجميع الشروط x مرضية |x – a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.
تحديد حد هاين. يُطلق على الرقم A حد الدالة f (x) عند نقطة a إذا تم تعريف هذه الوظيفة في بعض المناطق المجاورة للنقطة a، مع استثناء محتمل للنقطة a نفسها، ولأي تسلسل مثل ذلك تتقارب إلى الرقم أ، ويتقارب التسلسل المقابل لقيم الوظيفة مع الرقم أ.
إذا كانت الدالة f (x) لها نهاية عند النقطة a، فإن هذا الحد يكون فريدًا.
يُطلق على الرقم A 1 نهاية الدالة f (x) على اليسار عند النقطة a إذا كان لكل ε > 0 δ >
يُطلق على الرقم A 2 نهاية الدالة f (x) على اليمين عند النقطة a إذا كان لكل ε > 0 يوجد δ > 0 بحيث يستمر عدم المساواة للجميع
يُشار إلى الحد الموجود على اليسار بالحد الموجود على اليمين - وتميز هذه الحدود سلوك الوظيفة على يسار ويمين النقطة أ. وتسمى هذه غالبًا بالحدود أحادية الاتجاه. في تعيين الحدود أحادية الجانب لـ x → 0، عادةً ما يتم حذف الصفر الأول: و. لذلك، بالنسبة للوظيفة
إذا كان لكل ε > 0 حي δ لنقطة بحيث يكون لكل x استيفاء الشرط |x - a|< δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| >εثم يقولون أن الدالة f (x) لها نهاية لا نهائية عند النقطة a:

وبالتالي، فإن الدالة لها نهاية لا نهائية عند النقطة x = 0. وغالبًا ما يتم التمييز بين الحدود المساوية لـ +∞ و-∞. لذا،
إذا كان لكل ε > 0 هناك δ > 0 بحيث يكون لكل x > δ عدم المساواة |f (x) – A|< ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

نظرية الوجود للأعلى الدقيق
تعريف:АR mR، m هو الوجه العلوي (السفلي) لـ А، إذا كان аА аm (аm).
تعريف:يتم تحديد المجموعة A من الأعلى (من الأسفل)، إذا كان هناك m بحيث تكون aA، am (am) ثابتة.
تعريف: SupA=m، إذا كان 1) m هو أعلى A
2) م': م' "م" ليس أعلى من "أ".
InfA = n، إذا كان 1) n هو الحد الأدنى لـ A
2) n': n'>n => n' ليس الحد الأدنى لـ A
تعريف: SupA=m هو رقم مثل: 1)  aA am
2) >0 a  A، بحيث  a-
InfA = n هو رقم كالتالي: 1) 1)  aA an
2) >0 a  A، بحيث يكون E a+
نظرية:أي مجموعة غير فارغة AR محدودة من الأعلى لها قمة محددة وواحدة فريدة.
دليل:
دعونا نبني العدد m على خط الأعداد ونثبت أن هذا هو العدد الأعلى لـ A.
[m]=max([a]:aA) [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - الحد الأعلى لـ A
المقطع [[m],[m]+1] - مقسم إلى 10 أجزاء
م 1 = الحد الأقصى:أأ)]
م 2 = الحد الأقصى، م 1:أأ)]
م ك = الحد الأقصى، م 1 ... م ك-1:أA)]
[[م],م 1 ...م ك , [م],م 1 ...م ك + 1 /10 ك ]A=>[م],م 1 ...م ك + 1/ 10 ك - الحافة العلوية أ
لنثبت أن m=[m],m 1 ...m K هو الأعلى وأنه فريد:
ك: إذن هناك نقطة تصل عندها الدالة إلى الحد الأقصى، وهناك نقطة تصل عندها الدالة إلى الحد الأدنى.
دليل:
دع الدالة f(x) تكون مستمرة على ، ثم بواسطة النظرية 1 تكون محدودة في هذه الفترة. وبالتالي، فإن مجموعة قيم الوظائف محدودة. ومن ثم، وبموجب المبدأ الأعلى، فإن هذه المجموعة لها حد أعلى محدد وحد أدنى محدد.
نشير إلى: ونبين أن هذه ستكون أكبر قيمة للدالة f(x) على القطعة: .
ولنفترض العكس، أي.
منذ، ثم f(x)< .
دعونا نقدم الوظيفة . الدالة متصلة على ، منذ -f(x) 0. إذن، بموجب نظرية Weierstrass الأولى، تكون الدالة محدودة على .
، حيث >0
وبما أن عدم المساواة هذا صحيح، فإن الرقم ليس الحد الأعلى الدقيق لمجموعة قيم الدالة. وصلنا إلى تناقض، مما يعني أن افتراضنا غير صحيح. وبالمثل، يمكن إثبات أن الدالة المستمرة تصل إلى أدنى قيمة لها على القطعة. لقد تم إثبات النظرية.
وظائف مختلفة نظريات رول ولاغرانج. الصيغة Tإيلور مع الحد المتبقي في شكل لاغرانج.

نظرية رول. إذا كانت الدالة f(x) متصلة على الفترة المغلقة [a, b]، فلها مشتقة داخل الفترة وif
و(أ) = و(ب)
ثم داخل الفترة [a، b] توجد قيمة واحدة على الأقل x 0 (أ< x 0 < b), что
و "(خ 0 ) = 0.
دليل. دعونا ننظر في حالتين.
1. الوظيفة و (خ)ثابت على الفترة [ أ، ب]; ثم و" (س) = 0لأي احد س(أ< x < b) ، أي. يتم تنفيذ بيان نظرية رول تلقائيا.
2. الوظيفة و (خ)ليست ثابتة (الشكل 1)؛ ثم تصل إلى أكبرها أو أصغرها أو كلتيهما عند النقطة الداخلية للفاصل الزمني، لأن و(ب) = و(أ)، و إذا و (أ)- أصغر قيمة، ثم دالة القيمة الأكبر و (خ)سوف يستغرق داخل الفاصل الزمني.

دعونا على سبيل المثال و(س 0 ) - القيمة الأكبر للدالة و (خ)في الفاصل [ أ، ب] و س 0 - النقطة الداخلية لهذا الفاصل الزمني. ثم و(س 0 ) هو الحد الأقصى للوظيفة: و(س 0 )  و (خ)للجميع سمن حي صغير إلى حد ما س 0 [لأن هذا الحي يمكن للمرء أن يأخذ الفاصل الزمني ( أ، ب)].
وبما أنه بشرط، و (خ)لديه عند هذه النقطة س 0 مشتق، ثم من خلال نظرية المعيار الضروري للحد الأقصى،
و "(خ 0 ) = 0 ,
وثبت نظرية رول.
نظرية رول لها تفسير هندسي بسيط: إذا تم إعطاء قوس AB لمنحنى y = f(x)، عند كل نقطة يوجد مماس، والنهايات A و B على نفس المسافة من محور الثور، ففي هذا القوس يوجد على الأقل نقطة واحدة يكون فيها المماس t للمنحنى موازيًا للوتر الذي يتقلص القوس، وبالتالي لمحور الثور(انظر الشكل 1).
إذا قمنا بتدوير محاور الإحداثيات بزاوية أ، فإن النهايات أو بأقواس أ.بلن يكون على نفس المسافة من المحور ثور"، ولكن الظل رسيظل موازيا للوتر أ.ب(انظر الشكل 1). ولذلك فمن الطبيعي أن نتوقع أن النظرية تحمل: إذا تم إعطاء قوس AB لمنحنى y = f(x) مع مماس متغير باستمرار، فهناك على هذا القوس نقطة واحدة على الأقل يكون المماس فيها موازيًا للوتر AB الذي يقابله(الشكل 2).

هذه النظرية هي إعادة صياغة هندسية للنظرية التالية، والمعروفة باسم نظريات لاغرانج.
نظرية لاغرانج. إذا كانت الدالة f(x) متصلة على فترة مغلقة[أ، ب] وداخله مشتق f "(x)، ثم هناك قيمة واحدة على الأقل x 0 (أ< x 0 < b), что
و(ب) - و(أ) = (ب - أ)و "(خ).
دليل. النظر في وظيفة المساعد
و(س) = و(س) - ك(س - أ),
أين - المعامل الزاوي للوتر أ.ب(انظر الشكل 2).
هذه الدالة تحقق جميع شروط نظرية رول.
في الحقيقة متى س = ألدينا F(أ) = و(أ) - ك(أ - أ) = و(أ)، في س = بلدينا
علاوة على ذلك، منذ الوظيفة و (خ)و ك(س - أ)مستمر على [ أ، ب] وقابلة للتمييز في ( أ، ب)، ثم الدالة و(س) = و(س) - ك(س - أ)مستمر على [ أ، ب] وقابلة للتمييز في ( أ، ب).
ولذلك، وفقا لنظرية رول، في الفترة ( أ، ب) هناك مثل هذه النقطة س 0 ، ماذا
ف"(خ 0 ) = 0 ,
و "(خ 0 ) - ك = 0
من هنا لدينا
و(ب) - و(أ) = (ب - أ)و " (x 0 ) ,
Q.E.D.
لأن أ + (ب - أ) = ب، ثم القيمة أ+(ب - أ)، حيث Q جزء موجب مناسب (0 <  < 1) ، يساوي بعض الأرقام في الفترة ( أ، ب)، وبالتالي يمكن كتابة صيغة لاغرانج في النموذج
و(ب) - و(أ) = (ب - أ)و "
إذا وضعت أ = س، ب = س +س، أين ب - أ =س، ثم سيتم كتابة صيغة لاغرانج في النموذج
ص = و(س +س) - و(س) =xf"(x+س).
لقد ثبت سابقاً أنه إذا كانت الدالة تساوي ثابتاً جبأي قيمة سفي الفاصل الزمني (أ، ب)فإن مشتقتها تساوي صفرًا.
دعونا الآن نثبت النظرية العكسية، وهي نتيجة لنظرية لاغرانج:
إذا اختفى المشتق f "(x) لأي قيم x في الفترة (a، b)، ففي هذه الفترة f(x) = C.
في الواقع، إذا س 1 و س 2 - أي قيمتين في الفترة (أ، ب)، إذن وفقًا لنظرية لاغرانج، لدينا
و(س 2 ) - و(س 1 ) = (س 2 - س 1 )و"(x 0 ),
أين، س 1 < x 0 < x 2 . لكن منذ و"(x 0 ) = 0 ، الذي - التي
و(س 2 ) - و(س 1 ) = 0,
مما يثبت نظريتنا.
نظرية مهمة تتبع مباشرة من هذا:
إذا وظيفتين و 1 (خ) و و 2 (x) لهما نفس المشتقة في الفترة (a، b)، ثم يختلفان عن بعضهما البعض بقيمة ثابتة في هذه الفترة.
في الواقع، النظر في الوظيفة
(خ) = و 2 (خ)-و 1 (خ).
ثم لأي قيمة سمن الفاصل (أ، ب)
"(س) = و 2 "(خ)-و 1 "(س) = 0.
ولكن هذا يعني أن  (خ) = جوبالتالي
F 2 (خ)-و 1 (خ) = ج.
صيغة تايلور. دعونا على الفاصل الزمنيالدالة f(x) قابلة للتمييز n مرات وتحمل المساواة التالية:
و(أ) = و(ب) = و "(أ) = و ""(أ)= ... = و (ن-1) (أ)=0
ثم داخل الفاصل الزمنيهناك قيمة واحدة على الأقل مع,الذي
F (ن) (ج) = 0
دليل. بواسطة نظرية روللدينا
و "(خ 0 ) = 0 ,
أين أ< x 0 < b . ثم و "(خ)على الفاصل الزمني يرضي نظرية رول، لأنه، حسب الشرط، و "(أ) = 0و و "(خ 0 ) = 0 ، وبالتالي
و ""(x 1 ) = 0 ,
أين أ< x 1 < x 0 .
تطبيق نظرية رول على التوالي على الدوال و ""(x)، و """(x)، ...، f (ن-1) (خ)، نجد أخيرًا:
F (ن) (ج) = 0,
أين أ< c < x ن-1 < b . لقد تم إثبات النظرية.
دعونا الآن نستنتج صيغة تايلور مع الحد المتبقي في شكل لاغرانج.
دع الوظيفة و (خ)قابل للتفاضل نمرات على الفاصل الزمني.
النظر في وظيفة المساعد
(خ) = و(خ) - ف(خ),
دعونا نفرق نضرب الدالة  (خ). ثم سيكون لدينا
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 (ن-1) (خ) = و (ن-1) (خ)-أ ن-1 - أ ن (س - أ),
 (ن) (خ) = و (ن) (خ)-أ ن
نشترط أن تكون الدالة  (خ)محققة شروط نظرية رول المعممة. ثم سيكون لدينا
(1) .
منذ الدالة  (خ)يفي بشروط نظرية رول المعممة، فهناك مثل هذه القيمة مع< c < b) ، ماذا
 (ن) (ج) = و (ن) (ج) - أ ن = 0 (2)