هنا سوف ننظر في تعريف الحد المحدود للتسلسل. تمت مناقشة حالة المتوالية المتقاربة إلى اللانهاية في صفحة "تعريف المتوالية الكبيرة اللانهائية".
تعريف .
(×ن)، إذا كان لأي رقم موجب ε > 0
هناك عدد طبيعي N ε اعتمادًا على ε بحيث يكون لجميع الأعداد الطبيعية n > N ε عدم المساواة
| س ن - أ|< ε
.
يشار إلى حد التسلسل على النحو التالي:
.
او عند .
دعونا نحول عدم المساواة:
;
;
.
تسمى الفترة المفتوحة (a - ε، a + ε). ε - حي النقطة أ.
يسمى التسلسل الذي له حد تسلسل متقارب. ويقال أيضا أن التسلسل يتقاربإلى أ. يسمى التسلسل الذي ليس له حد متشعب.
يترتب على التعريف أنه إذا كان للتسلسل حد a، بغض النظر عن محيط النقطة a الذي نختاره، خارجه يمكن أن يكون هناك عدد محدود فقط من عناصر التسلسل، أو لا شيء على الإطلاق (المجموعة الفارغة) . وأي حي ε يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. في الواقع، بعد أن أعطينا عددًا معينًا ε، أصبح لدينا الرقم . لذا فإن جميع عناصر التسلسل مع الأرقام، حسب التعريف، تقع في الحي ε للنقطة a. يمكن تحديد موقع العناصر الأولى في أي مكان. أي أنه خارج الحي ε لا يمكن أن يكون هناك أكثر من عناصر، أي عدد منتهٍ.
ونلاحظ أيضًا أن الفرق ليس من الضروري أن يميل بشكل رتيب إلى الصفر، أي أن يتناقص طوال الوقت. يمكن أن يميل إلى الصفر بشكل غير رتيب: يمكن أن يزيد أو ينقص، مع وجود حد أقصى محلي. ومع ذلك، فإن هذه الحدود القصوى، مع زيادة n، يجب أن تميل إلى الصفر (ربما ليس بشكل رتيب أيضًا).
وباستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية يمكن كتابة تعريف النهاية على النحو التالي:
(1)
.
تحديد أن a ليس حدًا
الآن فكر في العبارة العكسية بأن الرقم a ليس نهاية التسلسل.
رقم أ ليس الحد من التسلسل، إذا كان هناك مثل هذا العدد الطبيعي n يوجد مثل هذا الطبيعي m > ن، ماذا
.
لنكتب هذه العبارة باستخدام الرموز المنطقية.
(2)
.
بيان ذلك الرقم أ ليس نهاية التسلسل، يعني أن
يمكنك اختيار منطقة ε - بجوار النقطة a، والتي سيكون خارجها عدد لا حصر له من عناصر التسلسل.
لنلقي نظرة على مثال. دع يتم إعطاء تسلسل مع عنصر مشترك
(3)
أي جوار لنقطة ما يحتوي على عدد لا نهائي من العناصر. ومع ذلك، فإن هذه النقطة ليست نهاية التسلسل، حيث أن أي جوار للنقطة يحتوي أيضًا على عدد لا نهائي من العناصر. لنأخذ ε - جوار نقطة مع ε = 1
. سيكون هذا هو الفاصل الزمني (-1, +1)
. جميع العناصر، باستثناء العنصر الأول الذي يحتوي على n، تنتمي إلى هذا الفاصل الزمني. لكن جميع العناصر ذات n الفردية تقع خارج هذه الفترة، لأنها تحقق المتراجحة x n > 2
. وبما أن عدد العناصر الفردية لا نهائي، فسيكون هناك عدد لا نهائي من العناصر خارج الحي المختار. ولذلك، فإن النقطة ليست نهاية التسلسل.
والآن سنبين ذلك مع الالتزام بالبيان (٢). النقطة ليست نهاية للمتتابعة (3)، نظرًا لوجود بحيث أنه بالنسبة لأي n طبيعي، هناك حد فردي تنطبق عليه المتباينة
.
ويمكن أيضًا إثبات أن أي نقطة a لا يمكن أن تكون نهاية لهذا التسلسل. يمكننا دائمًا اختيار حي ε للنقطة a التي لا تحتوي على النقطة 0 أو النقطة 2. وبعد ذلك سيكون هناك عدد لا حصر له من عناصر التسلسل خارج الحي المختار.
تعريف مكافئ
يمكننا إعطاء تعريف مكافئ لحد التسلسل إذا قمنا بتوسيع مفهوم الحي ε. سوف نحصل على تعريف مكافئ إذا كان، بدلاً من حي ε، يحتوي على أي حي للنقطة أ.
تحديد محيط نقطة ما
جوار النقطة أيتم استدعاء أي فترة مفتوحة تحتوي على هذه النقطة. رياضياً، يتم تعريف الحي على النحو التالي: ، حيث ε 1
و ε 2
- أرقام إيجابية تعسفية.
ثم يكون تعريف الحد على النحو التالي.
تعريف مكافئ لحد التسلسل
الرقم a يسمى حد التسلسل، إذا كان لأي حي منه رقم طبيعي N بحيث تنتمي جميع عناصر التسلسل مع الأرقام إلى هذا الحي.
ويمكن أيضًا تقديم هذا التعريف بشكل موسع.
الرقم a يسمى حد التسلسل، إذا كان هناك أي أعداد موجبة ويوجد عدد طبيعي N اعتمادًا على ذلك، فإن المتباينات تنطبق على جميع الأعداد الطبيعية
.
إثبات تكافؤ التعريفات
دعونا نثبت أن التعريفين لحدود التسلسل الموضح أعلاه متساويان.
وليكن الرقم a هو حد المتتابعة حسب التعريف الأول. هذا يعني أن هناك دالة، بحيث يتم استيفاء المتباينات التالية لأي رقم موجب ε:
(4)
في .
دعونا نبين أن الرقم a هو نهاية التسلسل بالتعريف الثاني. وهذا يعني أننا بحاجة إلى إظهار أن هناك مثل هذه الوظيفة بحيث تكون لأي أرقام موجبة ε 1
و ε 2
يتم استيفاء عدم المساواة التالية:
(5)
في .
دعونا نحصل على رقمين موجبين: ε 1
و ε 2
. وليكن ε أصغرهم : . ثم ؛ ; . لنستخدم هذا في (5):
.
ولكن عدم المساواة راضية عن . ثم يتم أيضًا استيفاء المتباينات (5) لـ .
أي أننا وجدنا دالة تكون فيها المتباينات (5) محققة لأي أرقام موجبة ε 1
و ε 2
.
وقد ثبت الجزء الأول.
والآن ليكن الرقم a هو نهاية المتتابعة حسب التعريف الثاني. هذا يعني أن هناك دالة لأي أرقام موجبة ε 1
و ε 2
يتم استيفاء عدم المساواة التالية:
(5)
في .
دعونا نبين أن الرقم a هو نهاية التسلسل بالتعريف الأول. للقيام بذلك تحتاج إلى وضع . ثم عندما تعقد عدم المساواة التالية:
.
وهذا يتوافق مع التعريف الأول مع .
وقد ثبت تكافؤ التعريفين.
أمثلة
سننظر هنا إلى العديد من الأمثلة التي نحتاج فيها إلى إثبات أن رقمًا معينًا a هو نهاية التسلسل. في هذه الحالة، تحتاج إلى تحديد رقم موجب تعسفي ε وتحديد دالة N لـ ε بحيث تكون عدم المساواة .
مثال 1
اثبت ذلك .
(1)
.
في حالتنا هذه ؛
.
.
دعونا نستخدم خصائص عدم المساواة. ثم إذا و، ثم
.
.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل المعطى:
.
مثال 2
باستخدام تعريف نهاية المتتابعة، أثبت ذلك
.
دعونا نكتب تعريف نهاية التسلسل:
(1)
.
في حالتنا هذه ، ؛
.
أدخل أرقامًا موجبة و:
.
دعونا نستخدم خصائص عدم المساواة. ثم إذا و، ثم
.
أي أنه لأي عدد موجب، يمكننا أخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
.
مثال 3
.
نقدم التدوين ، .
دعونا نحول الفرق:
.
للطبيعي ن = 1, 2, 3, ...
لدينا:
.
دعونا نكتب تعريف نهاية التسلسل:
(1)
.
أدخل أرقامًا موجبة و:
.
ثم إذا و، ثم
.
أي أنه لأي عدد موجب، يمكننا أخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
حيث
في .
هذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل:
.
مثال 4
باستخدام تعريف نهاية المتتابعة، أثبت ذلك
.
دعونا نكتب تعريف نهاية التسلسل:
(1)
.
في حالتنا هذه ، ؛
.
أدخل أرقامًا موجبة و:
.
ثم إذا و، ثم
.
أي أنه لأي عدد موجب، يمكننا أخذ أي عدد طبيعي أكبر من أو يساوي:
.
ثم
في .
هذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل:
.
مراجع:
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.
سم. نيكولسكي. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 1983.
حد الوظيفة- رقم أسيكون حدًا لبعض الكمية المتغيرة إذا اقتربت هذه الكمية المتغيرة إلى أجل غير مسمى أثناء عملية تغييرها أ.
أو بمعنى آخر العدد أهو الحد من الوظيفة ص = و(س)عند هذه النقطة × 0، إذا كان لأي تسلسل من النقاط من مجال تعريف الدالة، لا يساوي × 0، والذي يتقارب إلى هذه النقطة × 0 (ليم × ن = ×0)، فإن تسلسل قيم الوظائف المقابلة يتقارب مع الرقم أ.
الرسم البياني للدالة التي يكون حدها يساوي ل:
معنى أيكون الحد (القيمة الحدية) للوظيفة و (خ)عند هذه النقطة × 0في حالة وجود أي تسلسل من النقاط 
، الذي يتقارب × 0ولكن الذي لا يحتوي × 0كأحد عناصرها (أي في الجوار المثقوب × 0)، تسلسل قيم الوظائف 
يتقارب ل أ.
نهاية الدالة حسب كوشي
معنى أسوف يكون حد الوظيفة و (خ)عند هذه النقطة × 0إذا كان لأي رقم غير سالب تم أخذه مسبقًا ε سيتم العثور على الرقم المقابل غير السالب δ = δ(ε) بحيث لكل حجة س، استيفاء الشرط 0 < | x - x0 | < δ ، سيتم تلبية عدم المساواة | و(خ)أ |< ε .
سيكون الأمر بسيطًا جدًا إذا فهمت جوهر الحد والقواعد الأساسية للعثور عليه. ما هو الحد من الدالة F (س)في سنسعى جاهدين لإجل أيساوي أ، مكتوب هكذا:
علاوة على ذلك القيمة التي يميل إليها المتغير س، لا يمكن أن يكون رقمًا فحسب، بل قد يكون أيضًا ما لا نهاية (∞)، وأحيانًا +∞ أو -∞، أو قد لا يكون هناك حد على الإطلاق.
لفهم كيف العثور على حدود وظيفةفمن الأفضل أن ننظر إلى أمثلة الحلول.
من الضروري العثور على حدود الوظيفة F (س) = 1/سفي:
س→ 2, س→ 0, س→ ∞.
دعونا نجد حل للحد الأول. للقيام بذلك، يمكنك ببساطة استبدال سالعدد الذي يميل إليه، أي. 2 نحصل على:
دعونا نجد الحد الثاني للدالة. هنا استبدل النقي 0 بدلاً من ذلك سفمن المستحيل، لأنه لا يمكنك القسمة على 0. ولكن يمكننا أن نأخذ القيم القريبة من الصفر، على سبيل المثال 0.01؛ 0.001; 0.0001; 0.00001 وهكذا، وقيمة الدالة F (س)سيزيد: 100؛ 1000؛ 10000؛ 100.000 وهكذا. وهكذا يمكن أن نفهم أنه متى س→ 0 قيمة الدالة الموجودة تحت علامة الحد ستزداد بلا حدود، أي. نسعى نحو اللانهاية. وهو ما يعني:
فيما يتعلق بالحد الثالث. نفس الوضع كما في الحالة السابقة، فمن المستحيل أن يحل محل ∞ في أنقى صوره. نحن بحاجة إلى النظر في حالة الزيادة غير المحدودة س. نعوض بـ 1000 واحدًا تلو الآخر؛ 10000؛ 100000 وهكذا، لدينا قيمة الدالة F (س) = 1/سسوف تنخفض: 0.001؛ 0.0001; 0.00001; وهكذا، تميل إلى الصفر. لهذا السبب:
من الضروري حساب حد الوظيفة 
وبالبدء في حل المثال الثاني، نرى عدم اليقين. من هنا نجد أعلى درجة للبسط والمقام - هذه هي × 3، نخرجها من الأقواس في البسط والمقام ثم نختصرها بالآتي:
إجابة 
الخطوة الأولى في العثور على هذا الحد، استبدل القيمة 1 بدلاً من ذلك س، مما أدى إلى عدم اليقين. لحلها، دعونا نحلل البسط ونقوم بذلك باستخدام طريقة إيجاد جذور المعادلة التربيعية × 2 + 2س - 3:
د = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ د =√16 = 4
× 1.2 = (-2±4)/2→ س 1 = -3؛× 2= 1.
لذلك سيكون البسط:
إجابة 
وهذا هو تعريف قيمته المحددة أو منطقة معينة تقع فيها الدالة، وهي محدودة بالحد.
لحل الحدود، اتبع القواعد:
بعد أن فهمت الجوهر والرئيسي قواعد حل الحد، سوف تحصل على فهم أساسي لكيفية حلها.
الرياضيات هي العلم الذي يبني العالم. كل من العالم والرجل العادي - لا يستطيع أحد الاستغناء عنه. أولاً، يتم تعليم الأطفال الصغار العد، ثم الجمع والطرح والضرب والقسمة؛ وبحلول المدرسة الإعدادية، تلعب رموز الحروف دورًا، ولم يعد من الممكن تجنبها في المدرسة الثانوية.
لكن اليوم سنتحدث عما تقوم عليه جميع الرياضيات المعروفة. حول مجتمع من الأرقام يسمى "حدود التسلسل".
ما هي المتواليات وأين حدودها؟
ليس من الصعب تفسير معنى كلمة "تسلسل". هذا ترتيب للأشياء حيث يوجد شخص ما أو شيء ما في ترتيب أو قائمة انتظار معينة. على سبيل المثال، قائمة الانتظار للحصول على تذاكر حديقة الحيوان هي تسلسل. ويمكن أن يكون هناك واحد فقط! على سبيل المثال، إذا نظرت إلى قائمة الانتظار في المتجر، فهذا تسلسل واحد. وإذا غادر شخص واحد فجأة من قائمة الانتظار هذه، فهذه قائمة انتظار مختلفة، وترتيب مختلف.
يمكن أيضًا تفسير كلمة "الحد" بسهولة - فهي نهاية شيء ما. ومع ذلك، في الرياضيات، حدود المتتابعات هي تلك القيم الموجودة على خط الأعداد التي تميل إليها تسلسل الأرقام. لماذا يجتهد ولا ينتهي؟ الأمر بسيط، خط الأعداد ليس له نهاية، ومعظم المتتاليات، مثل الأشعة، لها بداية فقط وتبدو كما يلي:
× 1، × 2، × 3،...x ن...
ومن ثم فإن تعريف التسلسل هو وظيفة الحجة الطبيعية. وبعبارة أبسط، هذه سلسلة من أعضاء مجموعة معينة.
كيف يتم بناء التسلسل الرقمي؟
قد يبدو المثال البسيط للتسلسل الرقمي كما يلي: 1، 2، 3، 4، ...ن...
في معظم الحالات، ولأغراض عملية، يتم إنشاء التسلسلات من الأرقام، وكل عضو تالي في السلسلة، دعنا نشير إليه X، له اسمه الخاص. على سبيل المثال:
x 1 هو العضو الأول في التسلسل؛
x 2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛
x 3 هو الحد الثالث؛
x n هو الحد n.
في الطرق العملية، يتم إعطاء التسلسل بصيغة عامة يوجد فيها متغير معين. على سبيل المثال:
X n =3n، فإن سلسلة الأرقام نفسها ستبدو كما يلي:
تجدر الإشارة إلى أنه عند كتابة التسلسلات بشكل عام، يمكنك استخدام أي أحرف لاتينية، وليس X فقط. على سبيل المثال: y، z، k، إلخ.
التقدم الحسابي كجزء من المتواليات
قبل البحث عن حدود التسلسلات، من المستحسن التعمق في مفهوم سلسلة الأرقام هذه، والتي واجهها الجميع عندما كانوا في المدرسة المتوسطة. التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام يكون فيها الفرق بين الحدود المتجاورة ثابتًا.
المشكلة: "دع 1 = 15، وخطوة التقدم لسلسلة الأرقام d = 4. قم ببناء الحدود الأربعة الأولى من هذه السلسلة "
الحل: أ 1 = 15 (حسب الشرط) هو الحد الأول للتقدم (سلسلة الأرقام).
و2 = 15+4=19 هو الحد الثاني من التقدم.
و3 =19+4=23 هو الحد الثالث.
و4 =23+4=27 هو الحد الرابع.
ومع ذلك، باستخدام هذه الطريقة يصعب الوصول إلى قيم كبيرة، على سبيل المثال حتى 125. . وخاصة بالنسبة لمثل هذه الحالات، تم استخلاص صيغة مناسبة للممارسة: a n =a 1 +d(n-1). في هذه الحالة، 125 =15+4(125-1)=511.
أنواع التسلسلات
معظم التسلسلات لا نهاية لها، ومن الجدير أن تتذكرها لبقية حياتك. هناك نوعان مثيران للاهتمام من سلاسل الأرقام. يتم إعطاء الأول بالصيغة a n =(-1) n. غالبًا ما يطلق علماء الرياضيات على هذا التسلسل اسم المتعري. لماذا؟ دعونا نتحقق من سلسلة أرقامها.
1، 1، -1، 1، -1، 1، إلخ. بمثال كهذا، يصبح من الواضح أن الأرقام في التسلسل يمكن تكرارها بسهولة.
التسلسل العاملي. من السهل التخمين - تحتوي الصيغة التي تحدد التسلسل على عامل. على سبيل المثال: أ ن = (ن+1)!
ثم سيبدو التسلسل كما يلي:
أ 2 = 1x2x3 = 6؛
و3 = 1x2x3x4 = 24، إلخ.
يُطلق على التسلسل المحدد بواسطة متوالية حسابية اسم "متناقص بلا حدود" إذا لوحظت المتراجحة -1 لجميع حدودها و3 = - 1/8، إلخ. حتى أن هناك تسلسلًا يتكون من نفس الرقم. إذن، n=6 يتكون من عدد لا نهائي من الستات. حدود التسلسل موجودة منذ فترة طويلة في الرياضيات. وبطبيعة الحال، فإنهم يستحقون تصميمهم المختص. لذا، حان الوقت لتعلم تعريف حدود التسلسل. أولاً، دعونا نلقي نظرة على نهاية الدالة الخطية بالتفصيل: من السهل أن نفهم أن تعريف حد التسلسل يمكن صياغته على النحو التالي: هذا رقم معين يقترب منه جميع أعضاء التسلسل بلا حدود. مثال بسيط: أ س = 4س+1. ثم سيبدو التسلسل نفسه هكذا. 5، 9، 13، 17، 21...س... وبالتالي، فإن هذا التسلسل سيزداد إلى أجل غير مسمى، مما يعني أن حده يساوي ما لا نهاية مثل x→∞، ويجب كتابته على النحو التالي: إذا أخذنا تسلسلًا مشابهًا، لكن x يميل إلى 1، فسنحصل على: وستكون سلسلة الأرقام على النحو التالي: 1.4، 1.8، 4.6، 4.944، إلخ. في كل مرة تحتاج إلى استبدال الرقم الأقرب إلى الواحد (0.1، 0.2، 0.9، 0.986). ويتضح من هذه السلسلة أن نهاية الدالة هي خمسة. من هذا الجزء يجدر بنا أن نتذكر ما هي نهاية التسلسل الرقمي، وتعريف وطريقة حل المشكلات البسيطة. بعد فحص حدود التسلسل الرقمي وتعريفه وأمثلته، يمكنك الانتقال إلى موضوع أكثر تعقيدًا. بالتأكيد يمكن صياغة جميع حدود المتتاليات بصيغة واحدة، والتي يتم تحليلها عادة في الفصل الدراسي الأول. إذًا، ماذا تعني هذه المجموعة من الحروف والوحدات وعلامات عدم المساواة؟ ∀ هو محدد كمي عالمي، يحل محل العبارات "للجميع"، "لكل شيء"، وما إلى ذلك. ∃ هو محدد كمي وجودي، في هذه الحالة يعني أن هناك بعض القيمة N تنتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية. العصا الرأسية الطويلة التي تتبع N تعني أن المجموعة المعطاة N هي "هكذا". ومن الناحية العملية، يمكن أن تعني "مثل ذلك"، "مثل ذلك"، وما إلى ذلك. لتعزيز المادة، اقرأ الصيغة بصوت عال. إن طريقة العثور على حد التسلسلات، التي تمت مناقشتها أعلاه، على الرغم من سهولة استخدامها، إلا أنها ليست عقلانية في الممارسة العملية. حاول العثور على الحد الأقصى لهذه الوظيفة: إذا قمنا باستبدال قيم مختلفة لـ "x" (زيادة في كل مرة: 10، 100، 1000، وما إلى ذلك)، فسنحصل على ∞ في البسط، ولكن أيضًا ∞ في المقام. وينتج عن هذا جزء غريب إلى حد ما: ولكن هل هذا حقا؟ يبدو حساب حد التسلسل الرقمي في هذه الحالة أمرًا سهلاً للغاية. سيكون من الممكن ترك كل شيء كما هو، لأن الإجابة جاهزة، وقد تم استلامها بشروط معقولة، ولكن هناك طريقة أخرى مخصصة لمثل هذه الحالات. أولًا، دعونا نوجد أعلى درجة في بسط الكسر، وهي 1، حيث يمكن تمثيل x على هيئة x 1. الآن دعونا نجد أعلى درجة في المقام. أيضا 1. دعونا نقسم كلاً من البسط والمقام على المتغير إلى أعلى درجة. في هذه الحالة، قم بتقسيم الكسر على × 1. بعد ذلك، سنجد القيمة التي يميل إليها كل حد يحتوي على متغير. في هذه الحالة، يتم النظر في الكسور. مثل x→∞، تميل قيمة كل كسر إلى الصفر. عند تقديم عملك كتابيًا، يجب عليك كتابة الحواشي التالية: وينتج عن هذا التعبير التالي: وبطبيعة الحال، فإن الكسور التي تحتوي على x لم تصبح أصفار! لكن قيمتها صغيرة جدًا بحيث يجوز تمامًا عدم أخذها بعين الاعتبار في الحسابات. في الواقع، x لن تساوي 0 أبدًا في هذه الحالة، لأنه لا يمكنك القسمة على صفر. لنفترض أن الأستاذ لديه تسلسل معقد، يُعطى بوضوح من خلال صيغة معقدة بنفس القدر. لقد وجد الأستاذ الإجابة، لكن هل هي صحيحة؟ بعد كل شيء، كل الناس يخطئون. لقد توصل أوغست كوشي ذات مرة إلى طريقة ممتازة لإثبات حدود التسلسلات. كانت طريقته تسمى التلاعب بالحي. لنفترض أن هناك نقطة معينة أ، جوارها في كلا الاتجاهين على خط الأعداد يساوي ε ("إبسيلون"). وبما أن المتغير الأخير هو المسافة، فإن قيمته تكون موجبة دائمًا. الآن دعونا نحدد بعض التسلسل x n ونفترض أن الحد العاشر من التسلسل (x 10) متضمن في جوار a. كيف يمكننا أن نكتب هذه الحقيقة باللغة الرياضية؟ لنفترض أن x 10 يقع على يمين النقطة a، ثم المسافة x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. حان الوقت الآن لشرح الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه عمليًا. من العدل أن نطلق على رقم معين نقطة نهاية التسلسل إذا تم استيفاء عدم المساواة ε>0 لأي من حدوده، وكان الحي بأكمله له رقمه الطبيعي N، بحيث يكون جميع أعضاء التسلسل ذوي الأرقام الأعلى سيكون داخل التسلسل |x n - a|< ε. مع هذه المعرفة، من السهل حل حدود التسلسل، وإثبات أو دحض الإجابة الجاهزة. تعتبر النظريات المتعلقة بحدود المتتابعات عنصرًا مهمًا في النظرية، والتي بدونها تكون الممارسة مستحيلة. هناك أربع نظريات رئيسية فقط، وتذكر أي منها يمكن أن يجعل الحل أو الإثبات أسهل بكثير: في بعض الأحيان تحتاج إلى حل مسألة عكسية، لإثبات حد معين للتسلسل العددي. لنلقي نظرة على مثال. أثبت أن نهاية التسلسل المعطاة بالصيغة هي صفر. وفقا للقاعدة التي تمت مناقشتها أعلاه، لأي تسلسل فإن المتباينة |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: فلنعبر عن n من خلال "epsilon" لبيان وجود عدد معين وإثبات وجود حد للمتتابعة. في هذه المرحلة، من المهم أن نتذكر أن "epsilon" و"en" هما رقمان موجبان ولا يساويان الصفر. أصبح من الممكن الآن مواصلة المزيد من التحولات باستخدام المعرفة حول عدم المساواة المكتسبة في المدرسة الثانوية. كيف يتبين أن n > -3 + 1/ε. وبما أنه من الجدير أن نتذكر أننا نتحدث عن الأعداد الطبيعية، فيمكن تقريب النتيجة بوضعها بين قوسين معقوفين. وهكذا، ثبت أنه لأي قيمة لمجاورة "إبسيلون" للنقطة a = 0، تم العثور على قيمة بحيث يتم استيفاء المتباينة الأولية. من هنا يمكننا أن نقول بأمان أن الرقم a هو نهاية تسلسل معين. Q.E.D. يمكن استخدام هذه الطريقة المريحة لإثبات نهاية التسلسل الرقمي، بغض النظر عن مدى تعقيده للوهلة الأولى. الشيء الرئيسي هو عدم الذعر عندما ترى المهمة. إن وجود حد للاتساق ليس ضروريًا في الممارسة العملية. يمكنك بسهولة العثور على سلسلة من الأرقام التي ليس لها نهاية حقًا. على سبيل المثال، نفس "الضوء الوامض" x n = (-1) n. فمن الواضح أن التسلسل الذي يتكون من رقمين فقط، ويتكرر دوريًا، لا يمكن أن يكون له حد. تتكرر نفس القصة مع تسلسلات تتكون من رقم واحد، أرقام كسرية، مع عدم اليقين بشأن أي ترتيب أثناء العمليات الحسابية (0/0، ∞/∞، ∞/0، إلخ). ومع ذلك، يجب أن نتذكر أنه تحدث أيضًا حسابات غير صحيحة. في بعض الأحيان، سيساعدك التحقق مرة أخرى من الحل الخاص بك في العثور على حد التسلسل. تمت مناقشة العديد من الأمثلة على المتتاليات وطرق حلها أعلاه، والآن دعونا نحاول أن نأخذ حالة أكثر تحديدًا ونطلق عليها "التسلسل الرتيب". التعريف: يمكن أن يسمى أي تسلسل بحق زيادة رتيبة إذا كانت المتباينة الصارمة x n تنطبق عليه< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >س ن +1. وإلى جانب هذين الشرطين، هناك أيضًا تفاوتات غير صارمة مماثلة. وبناء على ذلك، x n ≥ x n +1 (تسلسل غير متناقص) و x n ≥ x n +1 (تسلسل غير متزايد). لكن من الأسهل فهم ذلك بالأمثلة. التسلسل المعطى بواسطة الصيغة x n = 2+n يشكل سلسلة الأرقام التالية: 4، 5، 6، إلخ. وهذا تسلسل متزايد بشكل رتيب. وإذا أخذنا x n = 1/n، فسنحصل على المتسلسلة: 1/3، ¼، 1/5، إلخ. هذه متتالية متناقصة بشكل رتيب. التسلسل المحدود هو تسلسل له نهاية. التسلسل المتقارب هو سلسلة من الأرقام التي لها حد متناه في الصغر. وبالتالي، فإن نهاية المتتابعة المحدودة هي أي عدد حقيقي أو مركب. تذكر أنه لا يمكن أن يكون هناك سوى حد واحد. نهاية التسلسل المتقارب هي كمية متناهية الصغر (حقيقية أو معقدة). إذا قمت برسم مخطط تسلسلي، فعند نقطة معينة، يبدو أنه يتقارب، يميل إلى التحول إلى قيمة معينة. ومن هنا الاسم - تسلسل متقارب. قد يكون أو لا يكون هناك حد لمثل هذا التسلسل. أولاً، من المفيد أن نفهم متى تكون موجودة؛ ومن هنا يمكنك البدء عند إثبات عدم وجود نهاية. من بين التسلسلات الرتيبة، يتم التمييز بين المتقاربة والمتباعدة. المتقاربة هي تسلسل يتكون من المجموعة x وله نهاية حقيقية أو معقدة في هذه المجموعة. Divergent هو تسلسل ليس له حد في مجموعته (ليس حقيقيًا ولا معقدًا). علاوة على ذلك، فإن المتتابعة تتقارب إذا تقارب حدها العلوي والسفلي في تمثيل هندسي. يمكن أن تكون نهاية التسلسل المتقارب صفرًا في كثير من الحالات، نظرًا لأن أي تسلسل متناهٍ في الصغر له نهاية معروفة (صفر). مهما كانت المتتالية المتقاربة التي تأخذها، فهي جميعها مترابطة، لكن ليست كل المتواليات المتقاربة متقاربة. المجموع والفرق وحاصل ضرب متتابعتين متقاربتين هو أيضًا متتابعة متقاربة. ومع ذلك، يمكن أيضًا أن يكون حاصل القسمة متقاربًا إذا تم تعريفه! حدود التسلسل مهمة (في معظم الحالات) مثل الأرقام والأرقام: 1، 2، 15، 24، 362، إلخ. وتبين أنه يمكن تنفيذ بعض العمليات بحدود. أولاً، مثل الأرقام والأرقام، يمكن جمع حدود أي تسلسل وطرحها. وبناء على النظرية الثالثة حول حدود المتتابعات، فإن المساواة التالية تتحقق: نهاية مجموع المتتابعات تساوي مجموع حدودها. ثانياً، استناداً إلى النظرية الرابعة حول حدود المتتابعات، فإن المساواة التالية صحيحة: نهاية حاصل ضرب العدد النوني من المتواليات يساوي حاصل ضرب حدودها. وينطبق الشيء نفسه على القسمة: نهاية خارج قسمة متتابعتين تساوي خارج قسمة حدودهما، بشرط ألا تكون النهاية صفرًا. ففي النهاية، إذا كانت نهاية المتتابعات تساوي صفرًا، فستنتج القسمة على صفر، وهو أمر مستحيل. يبدو أن حد التسلسل الرقمي قد تمت مناقشته بالفعل بشيء من التفصيل، لكن عبارات مثل الأعداد "صغيرة بلا حدود" و"كبيرة بلا حدود" مذكورة أكثر من مرة. من الواضح، إذا كان هناك تسلسل 1/x، حيث x→∞، فإن هذا الكسر يكون متناهيًا في الصغر، وإذا كان نفس التسلسل، ولكن الحد يميل إلى الصفر (x→0)، يصبح الكسر قيمة كبيرة بلا حدود. وهذه الكميات لها خصائصها الخاصة. خصائص حد التسلسل الذي يحتوي على أي قيم صغيرة أو كبيرة هي كما يلي: في الواقع، حساب حد التسلسل ليس مهمة صعبة إذا كنت تعرف خوارزمية بسيطة. لكن حدود الاتساق موضوع يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والمثابرة. بالطبع، يكفي أن نفهم ببساطة جوهر الحل لمثل هذه التعبيرات. عندما تبدأ صغيرًا، يمكنك تحقيق ارتفاعات كبيرة بمرور الوقت. الحدود تسبب الكثير من المتاعب لجميع طلاب الرياضيات. لحل حد ما، يتعين عليك أحيانًا استخدام الكثير من الحيل والاختيار من بين مجموعة متنوعة من طرق الحل، وهو ما يناسب مثالًا معينًا. في هذا المقال لن نساعدك على فهم حدود قدراتك أو فهم حدود التحكم، ولكننا سنحاول الإجابة على السؤال: كيف نفهم الحدود في الرياضيات العليا؟ الفهم يأتي مع الخبرة، لذلك سنقدم في نفس الوقت عدة أمثلة تفصيلية لحل النهايات مع الشرح. السؤال الأول هو: ما هذا الحد وحدود ماذا؟ يمكننا التحدث عن حدود التسلسلات والوظائف العددية. نحن مهتمون بمفهوم نهاية الدالة، لأن هذا هو ما يواجهه الطلاب في أغلب الأحيان. لكن أولاً، التعريف الأكثر عمومية للحد: لنفترض أن هناك بعض القيمة المتغيرة. إذا كانت هذه القيمة في عملية التغيير تقترب بشكل غير محدود من رقم معين أ
، الذي - التي أ
– حد هذه القيمة. لوظيفة محددة في فترة زمنية معينة و(س)=ص
ويسمى هذا الرقم الحد أ
، والتي تميل إليها الوظيفة متى X
، تميل إلى نقطة معينة أ
. نقطة أ
ينتمي إلى الفاصل الزمني الذي تم تعريف الوظيفة عليه. يبدو الأمر مرهقًا، لكنه مكتوب بكل بساطة: ليم- من الانجليزية حد- حد. هناك أيضًا تفسير هندسي لتحديد الحد، لكننا هنا لن نخوض في النظرية، لأننا نهتم بالجانب العملي أكثر من الجانب النظري للمسألة. عندما نقول ذلك X
يميل إلى قيمة ما، وهذا يعني أن المتغير لا يأخذ قيمة رقم، بل يقترب منه إلى ما لا نهاية. دعونا نعطي مثالا محددا. المهمة هي العثور على الحد. لحل هذا المثال، نعوض بالقيمة س = 3
في وظيفة. نحن نحصل: بالمناسبة، إذا كنت مهتما، اقرأ مقالا منفصلا حول هذا الموضوع. في الأمثلة X
يمكن أن تميل إلى أي قيمة. يمكن أن يكون أي رقم أو ما لا نهاية. هنا مثال عندما X
يميل إلى اللانهاية: بشكل بديهي، كلما زاد الرقم الموجود في المقام، كلما كانت القيمة التي ستأخذها الدالة أصغر. لذلك، مع نمو غير محدود X
معنى 1/س
سوف تنخفض وتقترب من الصفر. كما ترون، لحل النهاية، تحتاج فقط إلى استبدال القيمة التي تسعى للحصول عليها في الدالة X
. ومع ذلك، هذه هي أبسط حالة. في كثير من الأحيان العثور على الحد ليس واضحا جدا. داخل الحدود هناك شكوك من هذا النوع 0/0
أو اللانهاية/اللانهاية
. ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ اللجوء إلى الحيل! وليكن هناك حد: إذا حاولنا التعويض بما لا نهاية في الدالة، فسنحصل على ما لا نهاية في كل من البسط والمقام. بشكل عام، تجدر الإشارة إلى أن هناك عنصرًا فنيًا معينًا في حل مثل هذه الشكوك: عليك أن تلاحظ كيف يمكنك تحويل الوظيفة بطريقة تختفي حالة عدم اليقين. في حالتنا، نقسم البسط والمقام على X
في الدرجة العليا. ماذا سيحدث؟ من المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، نعلم أن الحدود التي تحتوي على x في المقام ستميل إلى الصفر. ثم الحل للحد هو: لحل الشكوك النوعية اللانهاية/اللانهايةقسمة البسط والمقام على Xإلى أعلى درجة. بالمناسبة! لقرائنا هناك الآن خصم 10٪ على كما هو الحال دائمًا، استبدال القيم في الدالة س=-1
يعطي 0
في البسط والمقام. انظر عن كثب وستلاحظ أن لدينا معادلة تربيعية في البسط. دعونا نجد الجذور ونكتب: دعونا نقلل ونحصل على: لذلك، إذا كنت تواجه عدم اليقين النوع 0/0
- عامل البسط والمقام. ولتسهيل عليك حل الأمثلة، نقدم جدولا بحدود بعض الدوال: طريقة أخرى قوية للقضاء على كلا النوعين من عدم اليقين. ما هو جوهر الطريقة؟ إذا كان هناك عدم يقين في النهاية، خذ مشتقة البسط والمقام حتى يختفي عدم اليقين. تبدو قاعدة L'Hopital كما يلي: نقطة مهمة
: النهاية التي يجب أن تكون فيها مشتقات البسط والمقام بدلا من البسط والمقام موجودة. والآن - مثال حقيقي: هناك حالة من عدم اليقين النموذجي 0/0
. لنأخذ مشتقات البسط والمقام: Voila، يتم حل حالة عدم اليقين بسرعة وبشكل أنيق. نأمل أن تتمكن من تطبيق هذه المعلومات بشكل مفيد في الممارسة العملية والعثور على إجابة السؤال "كيفية حل الحدود في الرياضيات العليا". إذا كنت بحاجة إلى حساب حد التسلسل أو حد الدالة عند نقطة ما، ولكن لا يوجد وقت على الإطلاق لهذا العمل، فاتصل بخدمة الطلاب المحترفين للحصول على حل سريع ومفصل. (خ)عند النقطة x 0
: هنا س 0
ويمكن أن تكون إما أعدادًا محدودة أو نقاطًا عند اللانهاية. يمكن أن يكون الحي إما من جانبين أو من جانب واحد. الرقم a يسمى نهاية الدالة f (خ)عند النقطة x 0
: النقاط × 0
ويمكن أن تكون إما أعدادًا محدودة أو نقاطًا عند اللانهاية. يمكن أن يكون الحي أيضًا من جانبين أو من جانب واحد. ولنكتب هذا التعريف باستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية: يستخدم هذا التعريف أحياء ذات نهايات متساوية البعد. يمكن إعطاء تعريف مكافئ باستخدام الأحياء العشوائية للنقاط. التعريف باستخدام الأحياء التعسفية وباستخدام الرموز المنطقية للوجود والعالمية يمكن كتابة هذا التعريف على النحو التالي: التعريفات المذكورة أعلاه عالمية بمعنى أنه يمكن استخدامها لأي نوع من الأحياء. إذا استخدمنا الحي المثقوب من الجانب الأيسر لنقطة النهاية، فسنحصل على تعريف النهاية من الجانب الأيسر. إذا استخدمنا جوار نقطة عند اللانهاية كحي، فسنحصل على تعريف النهاية عند اللانهاية. لتحديد حد هاين، يعود ذلك إلى حقيقة أنه يتم فرض قيد إضافي على تسلسل اعتباطي متقارب: يجب أن تنتمي عناصره إلى الحي المثقوب المقابل للنقطة. لتحديد نهاية كوشي، من الضروري في كل حالة تحويل التعبيرات إلى متباينات، باستخدام التعريفات المناسبة لجوار نقطة ما. غالبًا ما يصبح من الضروري استخدام الشرط الذي يشير إلى أن النقطة a ليست نهاية الدالة عند . دعونا نبني نفي التعاريف المذكورة أعلاه. فيها نفترض أن الدالة f (خ)يتم تعريفه على بعض الأحياء المثقوبة للنقطة x 0
. النقاط أ وx 0
يمكن أن تكون إما أعدادًا محدودة أو بعيدة بلا حدود. كل ما هو مذكور أدناه ينطبق على الحدود الثنائية والأحادية. بحسب هاين. وفقا لكوشي. بالطبع، إذا كانت النقطة a ليست نهاية الدالة عند ، فهذا لا يعني أنه لا يمكن أن يكون لها حد. قد يكون هناك حد، لكنه لا يساوي أ. ومن الممكن أيضًا أن يتم تعريف الدالة في منطقة مثقوبة من النقطة، ولكن ليس لها حد عند . وظيفة و(خ) = الخطيئة(1/س)ليس له حد مثل x → 0. على سبيل المثال، يتم تعريف الدالة عند ، ولكن لا يوجد حد. لإثبات ذلك، دعونا نأخذ التسلسل. إنها تتقارب إلى نقطة ما 0
: . لأنه عندها . نظرية دليل في الدليل، نفترض أن الدالة محددة في بعض المناطق المثقوبة لنقطة ما (متناهية أو عند اللانهاية). يمكن أيضًا أن تكون النقطة a محدودة أو لا نهاية لها. لتكن الدالة لها حد a عند نقطة حسب التعريف الأول (حسب هاينه). أي لأي تسلسل ينتمي إلى جوار نقطة ما وله نهاية دعونا نبين أن الدالة لها نهاية كوشي عند نقطة ما. وهذا هو، للجميع هناك شيء للجميع. ولنفترض العكس. دع الشرطين (1) و (2) يتحققان، لكن الدالة ليس لها نهاية كوشي. وهذا هو، هناك شيء موجود لأي شخص، لذلك لنأخذ حيث n عدد طبيعي. ثم هناك موجود و وقد ثبت الجزء الأول. لتكن للدالة نهاية a عند نقطة حسب التعريف الثاني (حسب كوشي). وهذا هو، لأي شخص هناك ذلك دعونا نبين أن الدالة لها نهاية عند نقطة وفقا لهاين. لنأخذ تسلسلاً اعتباطيًا ينتمي إلى الحي المثقوب ويتقارب إلى . من خلال تعريف التسلسل المتقارب، يوجد ذلك لقد تم إثبات النظرية. مراجع: تحديد حد التسلسل
التسمية العامة للحد من التسلسلات
عدم اليقين واليقين بالحد
ما هو الحي؟
نظريات
إثبات التسلسل
أو ربما لم يكن هناك؟
تسلسل رتيب
نهاية المتتابعة المتقاربة والمحدودة
حد التسلسل الرتيب
إجراءات مختلفة مع حدود
خصائص الكميات المتتابعة
مفهوم الحد في الرياضيات
عدم اليقين في الداخل
عدم اليقين من شكل اللانهاية / اللانهاية
نوع آخر من عدم اليقين: 0/0
حكم L'Hopital في الداخل
,
لو
1) يوجد مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0
2) لأي تسلسل (×ن)، تتقارب إلى x 0
:
والتي تنتمي عناصرها إلى الحي،
التبعية (F شن))يتقارب إلى:
.
.
التعريف الثاني لنهاية الدالة (حسب كوشي)
,
لو
1) يوجد مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0
، والتي يتم تعريف الوظيفة عليها؛
2) لأي رقم موجب ε > 0
هناك مثل هذا الرقم δ ε > 0
، اعتمادًا على ε، أنه بالنسبة لجميع x التي تنتمي إلى الحي المثقوب δ ε - النقطة x 0
:
,
قيم الدالة و (خ)تنتمي إلى حي ε للنقطة a:
.
.
الرقم a يسمى نهاية الدالة f (خ)عند النقطة x 0
:
,
لو
1) يوجد مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0
، والتي يتم تعريف الوظيفة عليها؛
2) لأي حي U (أ)من النقطة أ يوجد مثل هذا الحي المثقوب للنقطة x 0
أنه بالنسبة لجميع x التي تنتمي إلى الحي المثقوب للنقطة x 0
:
,
قيم الدالة و (خ)تنتمي إلى حي U (أ)النقاط أ:
.
.
حدود من جانب واحد وحدود من جانبين
انظر "جوار نقطة".تحديد تلك النقطة a ليس نهاية الدالة
رقم أ ليسحد الدالة f (خ)عند النقطة x 0
:
,
إذا كان هناك مثل هذا التسلسل (×ن)، تتقارب إلى x 0
:
,
التي تنتمي عناصرها إلى الحي،
ما هو التسلسل (F شن))لا تتقارب إلى :
.
.
رقم أ ليسحد الدالة f (خ)عند النقطة x 0
:
,
إذا كان هناك مثل هذا الرقم الموجب ε > 0
، لذلك لأي رقم موجب δ > 0
، يوجد x ينتمي إلى الحي المثقوب للنقطة x 0
:
,
أن قيمة الدالة f (خ)لا ينتمي إلى حي ε للنقطة a:
.
.
لنأخذ التسلسل. كما أنها تتقارب إلى هذه النقطة 0
: . ولكن منذ ذلك الحين.
إذن النهاية لا يمكن أن تساوي أي رقم أ. في الواقع، هناك تسلسل به. ولذلك فإن أي رقم غير الصفر لا يعد حدًا. ولكنه أيضًا ليس حدًا، نظرًا لوجود تسلسل يمكن من خلاله .تكافؤ تعريفات هاين وكوشي للحد
تعريفات هاين وكوشي لنهاية الدالة متكافئة.برهان هاين ⇒ برهان كوشي
(1)
,
حد التسلسل هو :
(2)
.
.
.
وهكذا قمنا ببناء متوالية متقاربة، لكن نهاية المتتابعة لا تساوي أ. وهذا يتعارض مع شروط النظرية.برهان كوشي ⇒ برهان هاين
(3)
للجميع.
لنأخذ رقمًا تعسفيًا. ووفقاً لتعريف كوشي، فإن العدد موجود، لذلك يبقى (3).
في .
ثم من (٣) يتبع ذلك
في .
لأن هذا ينطبق على أي شخص، ثم
.
إل دي. كودريافتسيف. دورة التحليل الرياضي. المجلد الأول. موسكو، 2003.