مشتق من دالة لمتغير واحد.

مقدمة.

هذه التطورات المنهجية مخصصة لطلاب كلية الهندسة الصناعية والمدنية. تم تجميعها فيما يتعلق ببرنامج دورة الرياضيات في قسم "حساب التفاضل والتكامل لوظائف متغير واحد".

وتمثل التطورات دليلاً منهجياً واحداً، يتضمن: معلومات نظرية مختصرة؛ المسائل والتمارين "القياسية" مع الحلول التفصيلية والشروحات لهذه الحلول؛ خيارات الاختبار.

هناك تمارين إضافية في نهاية كل فقرة. هيكل التطوير هذا يجعلها مناسبة لإتقان القسم بشكل مستقل بأقل قدر من المساعدة من المعلم.

§1. تعريف المشتقة.

المعنى الميكانيكي والهندسي

المشتق.

يعد مفهوم المشتق أحد أهم مفاهيم التحليل الرياضي، وقد نشأ في القرن السابع عشر. يرتبط تشكيل مفهوم المشتقة تاريخيًا بمشكلتين: مشكلة سرعة الحركة المتناوبة ومشكلة مماس المنحنى.

هذه المسائل، على الرغم من اختلاف محتوياتها، تؤدي إلى نفس العملية الرياضية التي يجب إجراؤها على دالة. وقد حصلت هذه العملية على اسم خاص في الرياضيات. وتسمى عملية تمايز الوظيفة. نتيجة عملية التمايز تسمى المشتقة.

لذا، فإن مشتق الدالة y=f(x) عند النقطة x0 هو الحد (إن وجد) لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة
في
.

عادة ما يتم الإشارة إلى المشتق على النحو التالي:
.

وهكذا بحكم التعريف

تُستخدم الرموز أيضًا للإشارة إلى المشتقات
.

المعنى الميكانيكي للمشتقات.

إذا كان s=s(t) هو قانون الحركة المستقيمة لنقطة مادية، إذن
هي سرعة هذه النقطة عند الزمن t .

المعنى الهندسي للمشتق.

إذا كانت الدالة y=f(x) لها مشتق عند هذه النقطة ، ثم المعامل الزاوي للمماس للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة
يساوي
.

مثال.

العثور على مشتق من وظيفة
عند هذه النقطة =2:

1) دعونا نعطيها نقطة = 2 زيادة
. لاحظ أن.

2) أوجد زيادة الدالة عند النقطة =2:

3) لنقم بإنشاء نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة:

دعونا نجد نهاية النسبة عند
:

.

هكذا،
.

§ 2. مشتقات البعض

أبسط الوظائف.

يحتاج الطالب إلى تعلم كيفية حساب مشتقات دوال محددة: y=x,y= وبشكل عام= .

لنجد مشتقة الدالة y=x.

أولئك. (س)′=1.

دعونا نجد مشتقة الدالة

المشتق

يترك
ثم

من السهل ملاحظة وجود نمط في تعبيرات مشتقات دالة القوة
مع ن = 1،2،3.

لذلك،

. (1)

هذه الصيغة صالحة لأي n حقيقي.

وعلى وجه الخصوص، باستخدام الصيغة (1)، لدينا:

;

.

مثال.

العثور على مشتق من وظيفة

.

.

هذه الوظيفة هي حالة خاصة لوظيفة النموذج

في
.

وباستخدام الصيغة (1)، لدينا

.

مشتقات الدوال y=sin x و y=cos x.

دع y=sinx.

نقسم على ∆x نحصل على

بالمرور إلى الحد الأقصى عند ∆x→0، لدينا

دع y=cosx.

بالمرور إلى الحد عند ∆x→0، نحصل على

;
. (2)

§3. القواعد الأساسية للتمايز.

دعونا ننظر في قواعد التمايز.

نظرية1 . إذا كانت الدالتان u=u(x) وv=v(x) قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة x، فإن مجموعهما يكون قابلاً للاشتقاق عند هذه النقطة، ومشتقة المجموع تساوي مجموع مشتقات الحدود : (u+v)"=u"+v".(3 )

الدليل: النظر في الدالة y=f(x)=u(x)+v(x).

الزيادة ∆x للوسيطة x تتوافق مع الزيادات ∆u=u(x+∆x)-u(x)، ∆v=v(x+∆x)-v(x) للوظائف u و v. ثم ستزداد الدالة y

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

لذلك،

لذا، (u+v)"=u"+v".

نظرية2. إذا كانت الدالتان u=u(x) وv=v(x) قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة x، فإن حاصل ضربهما يكون قابلاً للاشتقاق عند نفس النقطة. في هذه الحالة، يتم العثور على مشتق المنتج بالصيغة التالية: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

الدليل: افترض أن y=uv، حيث u وv هما دوال قابلة للتمييز لـ x. لنعطي x زيادة قدرها ∆x؛ ثم ستحصل u على زيادة قدرها ∆u، وستتلقى v زيادة قدرها ∆v، وستتلقى y زيادة قدرها ∆y.

لدينا y+∆y=(u+∆u)(v+∆v)، أو

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

ولذلك، ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

من هنا

بالمرور إلى الحد عند ∆x→0 ومع الأخذ في الاعتبار أن u وv لا يعتمدان على ∆x، سيكون لدينا

النظرية 3. مشتقة حاصل دالتين يساوي كسرًا مقامه يساوي مربع المقسوم عليه، والبسط هو الفرق بين حاصل ضرب مشتقة المقسوم على المقسوم عليه وحاصل ضرب المقسوم عليه توزيعات الأرباح بواسطة مشتق المقسوم عليه، أي

لو
الذي - التي
(5)

النظرية 4.مشتقة الثابت تساوي الصفر، أي. إذا كانت y=C، حيث C=const، فإن y"=0.

النظرية 5.يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة، أي. إذا y=Cu(x)، حيث C=const، ثم y"=Cu"(x).

مثال 1.

العثور على مشتق من وظيفة

.

هذه الوظيفة لديها النموذج
، حيث u=x,v=cosx. وبتطبيق قاعدة التفاضل (4) نجد

.

مثال 2.

العثور على مشتق من وظيفة

.

دعونا نطبق الصيغة (5).

هنا
;
.

مهام.

أوجد مشتقات الدوال التالية:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

إنشاء نسبة وحساب الحد.

من أين أتى؟ جدول المشتقات وقواعد التفاضل؟ بفضل الحد الوحيد. يبدو الأمر وكأنه سحر، لكنه في الواقع خفة يد وليس احتيالًا. في الدرس ما هو المشتق؟بدأت في النظر إلى أمثلة محددة، حيث وجدت، باستخدام التعريف، مشتقات دالة خطية وتربيعية. لغرض الاحماء المعرفي، سوف نستمر في الإزعاج جدول المشتقاتوصقل الخوارزمية والحلول التقنية:

مثال 1

بشكل أساسي، تحتاج إلى إثبات حالة خاصة لمشتق دالة القدرة، والتي تظهر عادةً في الجدول: .

حلتمت صياغته تقنيًا بطريقتين. لنبدأ بالنهج الأول المألوف بالفعل: يبدأ السلم بلوح خشبي، وتبدأ الدالة المشتقة بالمشتق عند نقطة ما.

دعونا نفكر بعض(محددة) نقطة تنتمي إلى مجال التعريفالدالة التي يوجد فيها مشتق. دعونا نحدد الزيادة في هذه المرحلة (طبعا ضمن النطاقس / س -أنا)ويؤلف الزيادة المقابلة للوظيفة:

دعونا نحسب الحد:

يتم التخلص من عدم اليقين 0:0 باستخدام تقنية قياسية تعود إلى القرن الأول قبل الميلاد. اضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق :

تمت مناقشة تقنية حل هذا الحد بالتفصيل في الدرس التمهيدي. حول حدود الوظائف.

نظرًا لأنه يمكنك اختيار أي نقطة من الفاصل الزمني كجودة، فبعد إجراء الاستبدال، نحصل على:

إجابة

مرة أخرى دعونا نبتهج باللوغاريتمات:

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة باستخدام تعريف المشتقة

حل: دعونا نفكر في نهج مختلف للترويج لنفس المهمة. إنه نفس الشيء تمامًا، ولكنه أكثر عقلانية من حيث التصميم. الفكرة هي التخلص من الحرف المنخفض في بداية الحل واستخدام الحرف بدلاً من الحرف.

دعونا نفكر اِعتِباطِيّنقطة تابعة ل مجال التعريفوظيفة (الفاصل الزمني) وتعيين الزيادة فيه. ولكن هنا، بالمناسبة، كما هو الحال في معظم الحالات، يمكنك الاستغناء عن أي تحفظات، لأن الدالة اللوغاريتمية قابلة للاشتقاق في أي نقطة في مجال التعريف.

ثم الزيادة المقابلة للوظيفة هي:

دعونا نجد المشتقة:

تتم موازنة بساطة التصميم من خلال الارتباك الذي قد يحدث للمبتدئين (وليس فقط). بعد كل شيء، نحن معتادون على حقيقة أن الحرف "X" يتغير في الحد! ولكن هنا كل شيء مختلف: - تمثال عتيق، و - زائر حي، يمشي بخفة على طول ممر المتحف. أي أن "x" هي "مثل الثابت".

سأعلق على إزالة عدم اليقين خطوة بخطوة:

(1) نستخدم خاصية اللوغاريتم .

(2) بين قوسين، اقسم البسط على المقام حدًا حدًا.

(3) في المقام نقوم بالضرب والقسمة بشكل مصطنع على "x" للاستفادة منها حد ملحوظ ، بينما متناهي الصغريقف خارجا .

إجابة: حسب تعريف المشتق:

أو باختصار:

أقترح إنشاء صيغتين إضافيتين للجدول بنفسك:

مثال 3

في هذه الحالة، من المناسب تقليل الزيادة المترجمة على الفور إلى قاسم مشترك. نموذج تقريبي لواجب نهاية الدرس (الطريقة الأولى).

مثال 3:حل : النظر في بعض النقطة ، تنتمي إلى مجال تعريف الوظيفة . دعونا نحدد الزيادة في هذه المرحلة ويؤلف الزيادة المقابلة للوظيفة:

دعونا نجد المشتقة عند هذه النقطة :


منذ أ يمكنك تحديد أي نقطة مجال الوظيفة ، الذي - التي و
إجابة : حسب تعريف المشتقة

مثال 4

البحث عن مشتق حسب التعريف

وهنا يجب اختزال كل شيء إلى حد رائع. يتم إضفاء الطابع الرسمي على الحل بالطريقة الثانية.

عدد آخر المشتقات الجدولية. يمكن العثور على القائمة الكاملة في الكتاب المدرسي، أو على سبيل المثال، المجلد الأول من Fichtenholtz. لا أرى فائدة كبيرة في نسخ أدلة قواعد التمايز من الكتب - فهي يتم إنشاؤها أيضًا بواسطة الصيغة.

مثال 4:حل ينتمي إلى ، وضبط الزيادة فيه

دعونا نجد المشتقة:

باستخدام حد رائع

إجابة : أ-بريوري

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة باستخدام تعريف المشتق

حل: نستخدم أسلوب التصميم الأول. دعونا نفكر في نقطة ما تنتمي إلى، ونحدد زيادة الوسيطة فيها. ثم الزيادة المقابلة للوظيفة هي:

ربما لم يفهم بعض القراء بشكل كامل بعد المبدأ الذي يجب من خلاله إجراء الزيادات. خذ نقطة (رقم) وأوجد قيمة الدالة فيها: ، أي في الوظيفة بدلاً منيجب استبدال "X". الآن نأخذ أيضًا رقمًا محددًا للغاية ونعوض به أيضًا في الدالة بدلاً من"إيكسا": . نكتب الفرق، وأنه من الضروري وضعت تماما بين قوسين.

زيادة الوظيفة المترجمة قد يكون من المفيد التبسيط على الفور. لماذا؟ تيسير الحل واختصاره إلى حد آخر.

نستخدم الصيغ ونفتح الأقواس ونختصر كل ما يمكن اختصاره:

الديك الرومي منزوع الأحشاء، لا مشكلة في الشواء:

مؤخراً:

وبما أنه يمكننا اختيار أي عدد حقيقي كقيمة، فإننا نقوم بالاستبدال ونحصل عليه .

إجابة: أ-بريوري.

لأغراض التحقق، دعونا نوجد المشتقة باستخدام قواعد وجداول التفاضل:

من المفيد والممتع دائمًا معرفة الإجابة الصحيحة مسبقًا، لذا من الأفضل التمييز بين الوظيفة المقترحة بطريقة "سريعة"، إما ذهنيًا أو في مسودة، في بداية الحل.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة حسب تعريف المشتقة

هذا مثال عليك حله بنفسك. والنتيجة واضحة:

مثال 6:حل : النظر في بعض النقطة ينتمي إلى ، وتعيين زيادة الوسيطة فيه . ثم الزيادة المقابلة للوظيفة هي:


دعونا نحسب المشتق:


هكذا:
لأنه كما يمكنك اختيار أي رقم حقيقي، ثم و
إجابة : أ-بريوري.

لنعد إلى النمط رقم 2:

مثال 7

دعونا نعرف على الفور ما يجب أن يحدث. بواسطة قاعدة التمايز بين الوظائف المعقدة:

حل: ضع في اعتبارك نقطة عشوائية تنتمي إلى ، وقم بتعيين زيادة الوسيطة فيها وقم بتكوين زيادة الوظيفة:

دعونا نجد المشتقة:


(1) الاستخدام الصيغة المثلثية .

(2) تحت جيب التمام نفتح الأقواس، وتحت جيب التمام نقدم مصطلحات مماثلة.

(3) تحت جيب التمام نقوم بتبسيط الحدود، وتحت جيب التمام نقسم البسط على المقام حدًا تلو الآخر.

(4) بسبب غرابة الجيب نخرج السالب. تحت جيب التمام نشير إلى أن المصطلح .

(5) نقوم بإجراء الضرب الاصطناعي في المقام من أجل الاستخدام أول حد رائع. وهكذا يتم التخلص من عدم اليقين، دعونا نرتب النتيجة.

إجابة: أ-بريوري

كما ترون، تكمن الصعوبة الرئيسية للمشكلة قيد النظر في مدى تعقيد الحد نفسه + التفرد البسيط للعبوة. من الناحية العملية، يتم استخدام كلا الطريقتين في التصميم، لذلك أصف كلا النهجين بأكبر قدر ممكن من التفاصيل. إنهما متكافئان، ولكن لا يزال، في انطباعي الشخصي، من الأفضل أن يلتزم الدمى بالخيار 1 مع "X-zero".

مثال 8

باستخدام التعريف، أوجد مشتقة الدالة

مثال 8:حل : النظر في نقطة تعسفية ينتمي إلى فلنضبط الزيادة فيه ويؤلف زيادة الوظيفة:

دعونا نجد المشتقة:

نحن نستخدم الصيغة المثلثية والحد الأول الملحوظ:

إجابة : أ-بريوري

دعونا نلقي نظرة على نسخة نادرة من المشكلة:

مثال 9

أوجد مشتقة الدالة عند النقطة باستخدام تعريف المشتقة.

أولا، ما ينبغي أن يكون النتيجة النهائية؟ رقم

لنحسب الإجابة بالطريقة القياسية:

حل: من وجهة نظر الوضوح، هذه المهمة أبسط بكثير، لأن الصيغة تأخذ في الاعتبار قيمة محددة بدلاً من ذلك.

لنقم بتعيين الزيادة عند هذه النقطة ونؤلف الزيادة المقابلة للدالة:

دعونا نحسب المشتق عند النقطة:

نحن نستخدم صيغة فرق الظل النادرة جدًا ومرة أخرى نقوم بتقليل الحل إلى أول حد رائع:

إجابة: حسب تعريف المشتق عند نقطة ما.

ليس من الصعب حل المشكلة "بشكل عام" - يكفي استبدالها بطريقة التصميم أو الاعتماد عليها ببساطة. في هذه الحالة، من الواضح أن النتيجة لن تكون رقمًا، بل دالة مشتقة.

مثال 10

باستخدام التعريف، أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما (قد يتبين أن إحداها لا نهائية)، والتي سبق أن وصفتها بعبارات عامة درس نظري حول المشتقات.

بعض الوظائف المحددة متعددة التعريف يمكن أيضًا تمييزها عند نقاط "الوصلات" في الرسم البياني، على سبيل المثال، catdog له مشتق مشترك وظل مشترك (المحور السيني) عند هذه النقطة. منحنى، ولكن يمكن تمييزه بواسطة ! يمكن للمهتمين التحقق من ذلك بأنفسهم باستخدام المثال الذي تم حله للتو.

©2015-2019 الموقع
جميع الحقوق تنتمي إلى مؤلفيها. لا يدعي هذا الموقع حقوق التأليف، ولكنه يوفر الاستخدام المجاني.
تاريخ إنشاء الصفحة: 2017-06-11

وزارة التربية والتعليم في الاتحاد الروسي

“ماتي" - الدولة الروسية

الجامعة التكنولوجية التي سميت باسمها. كي إي تسيولكوفسكي

قسم "الرياضيات العليا"

خيارات تعيين الدورة

المبادئ التوجيهية لتعيين الدورة

"حدود الوظائف. المشتقات"

كولاكوفا ر.د.

تيتارينكو ف.

موسكو 1999

حاشية. ملاحظة

تهدف المبادئ التوجيهية المقترحة إلى مساعدة طلاب السنة الأولى على إتقان المواد النظرية والعملية حول موضوع "التحليل الرياضي".

في كل قسم، بعد الجزء النظري، يتم تحليل المشاكل النموذجية.

تغطي المبادئ التوجيهية المواضيع التالية: حدود الدوال، والتمايز بين الدوال المعطاة بأشكال مختلفة، والمشتقات والتفاضلات ذات الرتب العليا، وقاعدة لوبيتال، وتطبيق المشتق على مشاكل الهندسة والميكانيكا.

لتوحيد المواد، يُطلب من الطلاب إكمال الدورات الدراسية حول المواضيع المذكورة أعلاه.

ويمكن الاستفادة من هذه الإرشادات في كافة الكليات والتخصصات.

1. حدود الوظائف

يتم استخدام بعض التقنيات المعروفة لتحديد حدود التسلسلات والوظائف:

إذا كنت بحاجة إلى العثور على الحد

يمكن اختزالها بشكل مبدئي إلى قاسم مشترك

وبالقسمة على الحد الذي له أكبر درجة، نحصل على قيمة ثابتة في البسط، وجميع الحدود التي تميل إلى 0 في المقام، أي

.

ثم نعوض x=a نحصل على:
;

4.
، عند استبدال x=0 نحصل على
.

5. ومع ذلك، إذا كان من الضروري العثور على نهاية وظيفة عقلانية

، ثم عند القسمة على الحد ذو الدرجة الدنيا نحصل على

; وبتوجيه x إلى 0 نحصل على:

إذا كانت النهايات تحتوي على تعبيرات غير نسبية، فمن الضروري إدخال متغيرات جديدة للحصول على تعبير كسري، أو نقل غير نسبية من المقام إلى البسط والعكس.

6.
; دعونا نجعل تغييرا متغيرا. سوف نستبدل
، في
، نحن نحصل
.

7.
. إذا ضرب البسط والمقام في نفس العدد، فإن النهاية لا تتغير. اضرب البسط ب
ونقسم على نفس التعبير حتى لا تتغير النهاية، ونضرب المقام في
والقسمة على نفس التعبير. ثم نحصل على:

غالبًا ما تُستخدم الحدود الملحوظة التالية لتحديد الحدود:

; (1)

. (2)

8.
.

ولحساب هذا الحد، نخفضه إلى الحد الملحوظ الأول (1). للقيام بذلك، اضرب البسط واقسمه
، والمقام هو
، ثم.

9.
ولحساب هذه النهاية نخفضها إلى الحد الملحوظ الثاني. ولهذا الغرض، نختار الجزء الكامل من التعبير الكسرى بين القوسين ونعرضه على شكل كسر مناسب. ويتم ذلك في الحالات التي
، أين
، أ
، أين
;

، أ
، و أخيرا
. هنا تم استخدام استمرارية تكوين الوظائف المستمرة.

2. المشتقة

مشتق من وظيفة
يُسمى الحد النهائي لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيط، عندما يميل الأخير إلى الصفر:

، أو
.

هندسيًا، المشتق هو ميل المماس للرسم البياني للدالة
عند النقطة x، أي
.

المشتق هو معدل تغير الدالة عند النقطة x.

يسمى العثور على المشتق اشتقاق الدالة.

صيغ للتمييز بين الوظائف الأساسية:

3. القواعد الأساسية للتمايز

دع إذن:

7) إذا كان ذلك
، أين
و
لديها المشتقات، ثم
(قاعدة للتمييز بين وظيفة معقدة).

4. التمايز اللوغاريتمي

إذا كنت بحاجة إلى العثور عليها من مكافئ.
، إذا تستطيع:

أ) اللوغاريتم لطرفي المعادلة

ب) يفرق بين طرفي المساواة الناتجة حيث
هناك دالة معقدة لـ x،

.

ج) استبدال التعبير عنها من حيث x

.

مثال:

5. التمايز بين الوظائف الضمنية

دع المعادلة
يحدد كدالة ضمنية لـ x.

أ) نفرق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x
، نحصل على معادلة من الدرجة الأولى فيما يتعلق ب ;

ب) من المعادلة الناتجة التي نعبر عنها .

مثال:
.

6. التمايز بين الوظائف المعطاة

حدوديا

دع الدالة تُعطى بواسطة المعادلات البارامترية
,

ثم
، أو

مثال:

7. تطبيق المشتق على المشاكل

الهندسة والميكانيكا

يترك
و
، أين - الزاوية المتكونة مع الاتجاه الموجب لمحور OX بواسطة مماس المنحنى عند النقطة مع الإحداثي السيني .

معادلة المماس للمنحنى
عند هذه النقطة
لديه النموذج:

، أين -المشتق في
.

العمودي على المنحنى هو خط عمودي على المماس ويمر عبر نقطة التماس.

المعادلة العادية لها الشكل

.

الزاوية بين منحنيين
و
عند نقطة تقاطعهما
هي الزاوية المحصورة بين مماسات هذه المنحنيات عند نقطة ما
. تم العثور على هذه الزاوية بالصيغة

.

8. مشتقات الترتيب العالي

لو هي مشتقة الدالة
، ثم مشتق من ويسمى المشتق الثاني، أو مشتق من الدرجة الثانية ويشار إليه ، أو
، أو .

يتم تعريف المشتقات من أي أمر بالمثل: مشتق من الدرجة الثالثة
; مشتقة الترتيب n:

.

بالنسبة لمنتج دالتين، يمكنك الحصول على مشتق من أي ترتيب نوني باستخدام صيغة لايبنيز:

9. المشتق الثاني للدالة الضمنية

-تحدد المعادلة ، كدالة ضمنية لـ x.

أ) تحديد
;

ب) التمييز فيما يتعلق بـ x الجانبين الأيمن والأيسر من المساواة
,

علاوة على ذلك، التمييز بين الوظيفة
بواسطة المتغير x، تذكر ذلك هناك وظيفة x:

;

ج) استبدال خلال
، نحن نحصل:
إلخ.

10. مشتقات الوظائف المحددة حدوديا

يجد
لو
.

11. فروق الرتب الأولى والعليا

التفاضل من الدرجة الأولى للوظيفة
يسمى الجزء الرئيسي، الخطي بالنسبة للوسيطة. تفاضل الوسيطة هو زيادة الوسيطة:
.

تفاضل الدالة يساوي حاصل ضرب مشتقتها وتفاضل الوسيطة:

.

الخصائص الأساسية للتفاضلية:

أين
.

إذا كانت الزيادة
الحجة صغيرة في القيمة المطلقة، إذن
و.

وبالتالي، يمكن استخدام تفاضل الدالة لإجراء العمليات الحسابية التقريبية.

التفاضل من الدرجة الثانية للوظيفة
ويسمى التفاضل من الدرجة الأولى التفاضلية:
.

على نفس المنوال:
.

.

لو
و هو متغير مستقل، ثم يتم حساب فروق الطلبات العليا باستخدام الصيغ

أوجد التفاضلات من الدرجة الأولى والثانية للدالة

12. حساب النهايات باستخدام قاعدة لوبيتال

جميع الحدود المذكورة أعلاه لم تستخدم جهاز التفاضل والتكامل. ومع ذلك، إذا كنت بحاجة إلى العثور عليها

وفي
فكلتا هاتين الدالتين متناهية الصغر أو كلاهما كبيرتان بلا حدود، ومن ثم لم يتم تحديد نسبتهما عند هذه النقطة
وبالتالي يمثل نوع عدم اليقين أو على التوالى. لأن هذه علاقة عند نقطة ما
قد يكون له حد، منتهٍ أو لا نهائي، فإن العثور على هذا الحد يسمى الكشف عن عدم اليقين (قاعدة لوبيتال برنولي)،

وتحقق المساواة التالية:

، لو
و
.

=
.

هناك قاعدة مماثلة تحمل إذا
و
، أي.
.

=

=
.

تتيح قاعدة L'Hopital أيضًا حل حالات عدم اليقين من هذا النوع
و
. لكي يحسب
، أين
- متناهية الصغر، و
- كبيرة بشكل لا نهائي في
(نوع الكشف عن عدم اليقين
) يجب تحويل المنتج إلى النموذج

(عدم اليقين من النوع) أو إلى الأنواع (نوع عدم اليقين ) ثم استخدم قاعدة لابيتال.

لكي يحسب
، أين
و
- كبيرة بشكل لا نهائي في
(نوع الكشف عن عدم اليقين
) يجب تحويل الفرق إلى النموذج
، ثم كشف عدم اليقين يكتب . لو
، الذي - التي
.

لو
، ثم نحصل على عدم اليقين من النوع (
) ، والذي تم الكشف عنه بشكل مشابه للمثال 12).

لأن
، ثم ينتهي بنا الأمر إلى عدم اليقين من النوع
ثم لدينا

.

يمكن أيضًا استخدام قاعدة L'Hopital لحل حالات عدم اليقين من هذا النوع
. في هذه الحالات، نعني حساب نهاية التعبير
، أين
متى
هو متناهية الصغر، في هذه الحالة
- كبيرة بلا حدود، وفي هذه الحالة
- دالة حدها يساوي الوحدة.

وظيفة
فهي في الحالتين الأوليين دالة صغيرة بلا حدود، وفي الحالة الأخيرة تكون دالة كبيرة بلا حدود.

وقبل البحث عن حد هذه التعبيرات، يتم أخذها لوغاريتميا، أي. لو
، الذي - التي
، ثم أوجد الحد
، ثم ابحث عن الحد . في جميع الحالات المذكورة أعلاه
هو نوع من عدم اليقين
، والذي يتم فتحه بشكل مشابه للمثال 12).

5.

(استخدم قاعدة لوبيتال)=

=
.

في حاصل ضرب النهايات هذا، العامل الأول يساوي 1، والعامل الثاني هو الحد الملحوظ الأول وهو أيضًا يساوي 1، والعامل الأخير يميل إلى 0، وبالتالي:

وثم
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

يتضمن عمل الدورة 21 مهمة.

رقم 1-4 – حساب حدود الوظائف؛

رقم 5-10 – إيجاد مشتقات الدوال؛

رقم 11 – أوجد المشتقة الأولى؛

#12 – احسب الوظيفة المحددة في شكل حدودي؛

#13 - ابحث د 2 ذ;

#14 - ابحث ذ ( ن ) ;

رقم 15 – أنشئ معادلة للخط العمودي والمماس للمنحنى عند نقطة ما س 0 ;

رقم 16 – حساب قيمة الدالة تقريبيا باستخدام التفاضل؛

#17 - ابحث
;

#18 - ابحث ;

#19 - ابحث ;

رقم 20-21 – احسب النهاية باستخدام قاعدة لوبيتال.

الخيار 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

حساب المشتقة

№5.
.

ما هو المشتق؟
تعريف ومعنى وظيفة مشتقة

سوف يفاجأ الكثيرون بالموضع غير المتوقع لهذه المقالة في دورة مؤلفي حول مشتق دالة لمتغير واحد وتطبيقاتها. بعد كل شيء، كما كان الحال منذ المدرسة: يقدم الكتاب المدرسي القياسي في المقام الأول تعريفًا للمشتق ومعناه الهندسي والميكانيكي. بعد ذلك، يجد الطلاب مشتقات الوظائف حسب التعريف، وفي الواقع، عندها فقط يتقنون تقنية التمايز باستخدام الجداول المشتقة.

ولكن من وجهة نظري، فإن النهج التالي أكثر واقعية: أولا وقبل كل شيء، من المستحسن أن نفهم جيدا حد الوظيفة، وعلى وجه الخصوص، كميات متناهية الصغر. الحقيقة انه يعتمد تعريف المشتق على مفهوم الحد، وهو أمر لا يُنظر إليه بشكل جيد في الدورة المدرسية. هذا هو السبب في أن جزءًا كبيرًا من المستهلكين الشباب للمعرفة الجرانيتية لا يفهمون جوهر المشتق. وبالتالي، إذا كان لديك القليل من الفهم لحساب التفاضل والتكامل أو إذا كان العقل الحكيم قد نجح في التخلص من هذه العبء على مدار سنوات عديدة، فيرجى البدء بـ حدود الوظيفة. وفي الوقت نفسه، أتقن/تذكر حلهم.

نفس المعنى العملي يملي أنه مفيد أولاً تعلم كيفية العثور على المشتقات، مشتمل مشتقات الوظائف المعقدة. النظرية هي نظرية، ولكن، كما يقولون، تريد دائمًا التفريق. في هذا الصدد، من الأفضل العمل من خلال الدروس الأساسية المذكورة، وربما سيد التمايزدون أن يدركوا حتى جوهر أفعالهم.

أوصي بالبدء بالمواد الموجودة في هذه الصفحة بعد قراءة المقال. أبسط المشاكل مع المشتقات، حيث، على وجه الخصوص، يتم النظر في مشكلة الظل للرسم البياني للدالة. ولكن يمكنك الانتظار. والحقيقة هي أن العديد من تطبيقات المشتقة لا تتطلب فهمها، وليس من المستغرب أن الدرس النظري ظهر متأخرا جدا - عندما كنت بحاجة إلى شرح العثور على فترات متزايدة / متناقصة والنقاط القصوىالمهام. علاوة على ذلك، كان على هذا الموضوع لفترة طويلة. الوظائف والرسوم البيانية"، حتى قررت أخيرًا أن أضعه مسبقًا.

لذلك، عزيزي أباريق الشاي، لا تتسرع في امتصاص جوهر المشتق مثل الحيوانات الجائعة، لأن التشبع سيكون لا طعم له وغير مكتمل.

مفهوم الزيادة والنقصان والحد الأقصى والحد الأدنى للدالة

تقدم العديد من الكتب المدرسية مفهوم المشتقات بمساعدة بعض المسائل العملية، كما توصلت إلى مثال مثير للاهتمام. تخيل أننا على وشك السفر إلى مدينة يمكن الوصول إليها بطرق مختلفة. دعونا نتجاهل على الفور المسارات المتعرجة المنحنية ونفكر فقط في الطرق السريعة المستقيمة. ومع ذلك، فإن اتجاهات الخط المستقيم مختلفة أيضًا: يمكنك الوصول إلى المدينة عبر طريق سريع سلس. أو على طول الطريق السريع الجبلي - لأعلى ولأسفل، لأعلى ولأسفل. هناك طريق آخر يتجه صعودًا فقط، وطريقًا آخر ينحدر طوال الوقت. سيختار المتحمسون المتطرفون طريقًا عبر مضيق به منحدر شديد الانحدار وتسلق شديد الانحدار.

ولكن مهما كانت تفضيلاتك، فمن المستحسن معرفة المنطقة أو على الأقل الحصول على خريطة طبوغرافية لها. ماذا لو كانت هذه المعلومات مفقودة؟ بعد كل شيء، يمكنك اختيار، على سبيل المثال، طريقا سلسا، ولكن نتيجة لذلك تتعثر على منحدر التزلج مع الفنلنديين المبتهجين. ليست حقيقة أن الملاح أو حتى صورة القمر الصناعي ستوفر بيانات موثوقة. لذلك، سيكون من الجيد إضفاء الطابع الرسمي على إغاثة المسار باستخدام الرياضيات.

دعونا نلقي نظرة على بعض الطرق (منظر جانبي):

فقط في حالة، أذكرك بحقيقة أولية: السفر يحدث من اليسار الى اليمين. للتبسيط، نفترض أن الوظيفة مستمرفي المنطقة قيد النظر.

ما هي مميزات هذا الرسم البياني؟

على فترات وظيفة يزيد، أي كل قيمة تالية له أكثرالسابق. بشكل تقريبي، الجدول الزمني قيد التشغيل أسفل حتى(نتسلق التل). وعلى الفاصل الدالة يتناقص- كل القيمة التالية أقلالسابق، وجدولنا الزمني قيد التشغيل من أعلى إلى أسفل(ننزل على المنحدر).

دعونا ننتبه أيضًا إلى النقاط الخاصة. عند النقطة التي وصلنا إليها أقصى، إنه موجودهذا القسم من المسار حيث ستكون القيمة هي الأكبر (الأعلى). وفي نفس النقطة يتم تحقيق ذلك الحد الأدنى، و موجودالحي الذي تكون فيه القيمة الأصغر (الأدنى).

سننظر في مصطلحات وتعريفات أكثر صرامة في الفصل. حول الحد الأقصى للوظيفةولكن الآن دعونا ندرس ميزة أخرى مهمة: على فترات تزيد الدالة ولكنها تزيد بسرعات مختلفة. وأول ما يلفت انتباهك هو أن الرسم البياني يرتفع خلال هذه الفترة أكثر روعة، مما كان عليه في الفاصل الزمني. هل من الممكن قياس انحدار الطريق باستخدام الأدوات الرياضية؟

معدل تغير الوظيفة

الفكرة هي كما يلي: دعونا نأخذ بعض القيمة (اقرأ "دلتا x")، والذي سنتصل به زيادة الحجة، ولنبدأ "بتجربته" في نقاط مختلفة على طريقنا:

1) دعونا ننظر إلى أقصى نقطة في اليسار: بعد مرور المسافة، نتسلق المنحدر إلى الارتفاع (الخط الأخضر). الكمية تسمى زيادة الوظيفة، وفي هذه الحالة تكون هذه الزيادة موجبة (الفرق في القيم على طول المحور أكبر من الصفر). لنقم بإنشاء نسبة من شأنها أن تكون مقياسًا لانحدار طريقنا. من الواضح أن هذا رقم محدد جدًا، وبما أن كلا الزيادتين موجبتين، إذن.

انتباه! التسميات هي واحدالرمز، أي أنه لا يمكنك "إزالة" "دلتا" من "X" والنظر في هذه الأحرف بشكل منفصل. بالطبع، يتعلق التعليق أيضًا برمز زيادة الوظيفة.

دعونا نستكشف طبيعة الكسر الناتج بشكل أكثر وضوحًا. لنكن في البداية على ارتفاع 20 مترًا (عند النقطة السوداء اليسرى). وبعد أن قطعنا مسافة الأمتار (الخط الأحمر الأيسر)، سنجد أنفسنا على ارتفاع 60 مترًا. ثم ستكون زيادة الوظيفة متر (الخط الأخضر) و: . هكذا، على كل مترهذا القسم من الطريق يزيد الارتفاع متوسطبمقدار 4 أمتار...هل نسيت معدات التسلق الخاصة بك؟ =) بمعنى آخر، تميز العلاقة المبنية متوسط ​​معدل التغيير (في هذه الحالة، النمو) للدالة.

ملحوظة : القيم العددية للمثال المعني تتوافق تقريبًا مع نسب الرسم.

2) الآن دعنا نقطع نفس المسافة من النقطة السوداء في أقصى اليمين. وهنا يكون الارتفاع تدريجيًا أكثر، لذا تكون الزيادة (الخط القرمزي) صغيرة نسبيًا، وستكون النسبة مقارنة بالحالة السابقة متواضعة جدًا. نسبيا، متر و معدل نمو الوظيفةيكون . وهذا هو، هنا لكل متر من المسار هناك متوسطنصف متر من الارتفاع.

3) مغامرة صغيرة على سفح الجبل. دعونا نلقي نظرة على النقطة السوداء العلوية الموجودة على المحور الإحداثي. لنفترض أن هذه هي علامة الـ 50 مترًا. نتغلب على المسافة مرة أخرى، ونتيجة لذلك نجد أنفسنا أقل - على مستوى 30 مترا. منذ أن تم تنفيذ الحركة من أعلى إلى أسفل(في الاتجاه "المضاد" للمحور)، ثم النهائي زيادة الدالة (الارتفاع) ستكون سالبة: متر (الجزء البني في الرسم). وفي هذه الحالة نحن نتحدث بالفعل عنها معدل الانخفاضسمات: أي أنه لكل متر من مسار هذا القسم ينخفض ​​الارتفاع متوسطبمقدار 2 متر. اعتني بملابسك عند النقطة الخامسة.

الآن دعونا نسأل أنفسنا السؤال: ما هي قيمة "معيار القياس" الأفضل للاستخدام؟ إنه أمر مفهوم تمامًا، 10 أمتار صعبة للغاية. يمكن أن تناسبها بسهولة عشرات من الروابي. بغض النظر عن المطبات، قد يكون هناك ممر عميق بالأسفل، وبعد بضعة أمتار يوجد جانبه الآخر مع ارتفاع حاد آخر. وبالتالي، مع عشرة أمتار، لن نحصل على وصف واضح لهذه المقاطع من المسار من خلال النسبة .

ومن المناقشة السابقة نستنتج ما يلي: كلما انخفضت القيمة، كلما وصفنا تضاريس الطريق بدقة أكبر. علاوة على ذلك، فإن الحقائق التالية صحيحة:

– لأي احدنقاط الرفع يمكنك تحديد قيمة (حتى لو كانت صغيرة جدًا) تتناسب مع حدود ارتفاع معين. وهذا يعني أنه سيتم ضمان أن تكون زيادة الارتفاع المقابلة إيجابية، وسوف تشير عدم المساواة بشكل صحيح إلى نمو الدالة عند كل نقطة من هذه الفواصل الزمنية.

- على نفس المنوال، لأينقطة المنحدر هناك قيمة تتناسب تمامًا مع هذا المنحدر. وبالتالي، فإن الزيادة المقابلة في الارتفاع تكون سالبة بشكل واضح، وستظهر المتباينة بشكل صحيح انخفاض الدالة عند كل نقطة من الفترة المحددة.

- هناك حالة مثيرة للاهتمام بشكل خاص عندما يكون معدل تغير الدالة صفرًا: . أولاً، زيادة الارتفاع الصفرية () هي علامة على وجود مسار سلس. وثانيا، هناك مواقف أخرى مثيرة للاهتمام، والأمثلة التي تراها في الشكل. تخيل أن القدر قد أوصلنا إلى أعلى تلة تعلوها نسور مرتفعة، أو إلى قاع وادٍ تعج بالضفادع النعيقة. إذا خطوت خطوة صغيرة في أي اتجاه، فسيكون التغير في الارتفاع ضئيلًا، ويمكننا القول إن معدل تغير الدالة هو في الواقع صفر. هذه هي بالضبط الصورة التي لوحظت في النقاط.

وهكذا، فقد وصلنا إلى فرصة مذهلة لتوصيف معدل تغير الدالة بدقة تامة. بعد كل شيء، التحليل الرياضي يجعل من الممكن توجيه زيادة الوسيطة إلى الصفر: أي جعلها متناهي الصغر.

ونتيجة لذلك يطرح سؤال منطقي آخر: هل من الممكن العثور على الطريق وجدوله الزمني وظيفة أخرى، أيّ من شأنه أن يتيح لنا أن نعرفعن جميع المقاطع المسطحة والصعود والهبوط والقمم والوديان، بالإضافة إلى معدل النمو/النقصان عند كل نقطة على طول الطريق؟

ما هو المشتق؟ تعريف المشتقة.
المعنى الهندسي للمشتقة والتفاضلية

يرجى القراءة بعناية وليس بسرعة كبيرة - المادة بسيطة وفي متناول الجميع! لا بأس إذا كان هناك شيء لا يبدو واضحًا جدًا في بعض الأماكن، يمكنك دائمًا العودة إلى المقالة لاحقًا. سأقول المزيد، من المفيد دراسة النظرية عدة مرات من أجل فهم جميع النقاط بدقة (النصيحة ذات صلة بشكل خاص بالطلاب "الفنيين"، الذين تلعب الرياضيات العليا دورًا مهمًا في العملية التعليمية).

وبطبيعة الحال، في تعريف المشتق عند نقطة ما، نستبدله بما يلي:

ما وصلنا إليه؟ وتوصلنا إلى أن الوظيفة وفق القانون يتم وضعها وفقا وظيفة أخرى، من اتصل وظيفة مشتقة(أو ببساطة المشتق).

يتميز المشتق معدل التغييرالمهام كيف؟ تعمل الفكرة كخيط أحمر منذ بداية المقال. دعونا نفكر في نقطة ما مجال التعريفالمهام دع الدالة تكون قابلة للاشتقاق عند نقطة معينة. ثم:

1) إذا كانت الدالة تزداد عند النقطة . ومن الواضح أن هناك فاصلة(حتى لو كانت صغيرة جدًا)، تحتوي على نقطة تنمو عندها الدالة، وينتقل الرسم البياني الخاص بها "من الأسفل إلى الأعلى".

2) إذا كانت الدالة تتناقص عند النقطة . وهناك فاصل زمني يحتوي على نقطة تتناقص عندها الدالة (ينتقل الرسم البياني من "أعلى إلى أسفل").

3) إذاً قريب بلا حدودبالقرب من نقطة تحافظ الدالة على سرعتها ثابتة. يحدث هذا، كما لوحظ، مع وظيفة ثابتة و في النقاط الحرجة للوظيفة، بخاصة عند الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط.

قليلا من الدلالات. ماذا يعني الفعل "يفرق" بالمعنى الواسع؟ للتمييز يعني تسليط الضوء على الميزة. من خلال اشتقاق دالة، نقوم "بعزل" معدل تغيرها في شكل مشتق للدالة. بالمناسبة، ما المقصود بكلمة "مشتق"؟ وظيفة حدثمن الوظيفة.

يتم تفسير المصطلحات بنجاح كبير من خلال المعنى الميكانيكي للمشتق :
دعونا نتأمل قانون تغير إحداثيات الجسم حسب الزمن، ودالة سرعة حركة جسم معين. تحدد الدالة معدل تغير إحداثيات الجسم، ولذلك فهي المشتق الأول للدالة بالنسبة للزمن: . لو لم يكن مفهوم "حركة الجسم" موجودا في الطبيعة، لما كان موجودا المشتقمفهوم "سرعة الجسم".

تسارع الجسم هو معدل التغير في سرعته ولذلك: . فلو لم يكن المفهومان الأوليان لحركة الجسم وسرعة الجسم موجودين في الطبيعة، لما كان هناك وجود المشتقمفهوم "تسارع الجسم".

في المستوى الإحداثي xOyالنظر في الرسم البياني للوظيفة ص = و (س). دعونا نصلح هذه النقطة م(× 0؛ و (× 0)). دعونا نضيف الإحداثي × 0زيادة راتب Δh. سوف نحصل على الإحداثي الجديد س 0 +Δس. وهذا هو محور هذه النقطة ن، وسيكون الإحداثي متساويًا و (س 0 +Δx). التغيير في الإحداثي يستلزم تغييرا في الإحداثي. يسمى هذا التغيير بزيادة الوظيفة ويشار إليه Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0).من خلال النقاط مو ندعونا نرسم القاطع مينيسوتا، والتي تشكل زاوية φ مع اتجاه المحور الإيجابي أوه. دعونا نحدد ظل الزاوية φ من المثلث الأيمن MPN.

يترك Δhيميل إلى الصفر. ثم القاطع مينيسوتاسوف تميل إلى اتخاذ موقف الظل طن متري، والزاوية φ سوف تصبح زاوية α . إذن، ظل الزاوية α هي القيمة الحدية لمماس الزاوية φ :

يُطلق على حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، عندما تميل الأخيرة إلى الصفر، مشتق الدالة عند نقطة معينة:

المعنى الهندسي للمشتق يكمن في حقيقة أن المشتقة العددية للدالة عند نقطة معينة تساوي ظل الزاوية التي يشكلها المماس المرسوم عبر هذه النقطة للمنحنى المعطى والاتجاه الموجب للمحور أوه:

أمثلة.

1. أوجد زيادة الوسيطة وزيادة الدالة y= × 2، إذا كانت القيمة الأولية للوسيطة تساوي 4 ، و الجديد - 4,01 .

حل.

قيمة وسيطة جديدة س=س 0 +Δx. دعونا نستبدل البيانات: 4.01=4+Δ×، وبالتالي زيادة الوسيطة Δh=4.01-4=0.01. زيادة الدالة بحكم التعريف تساوي الفرق بين القيم الجديدة والسابقة للدالة، أي. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). وبما أن لدينا وظيفة ص=x2، الذي - التي Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δس+(Δس) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

إجابة: زيادة الحجة Δh=0.01; زيادة الوظيفة Δу=0,0801.

يمكن العثور على زيادة الوظيفة بشكل مختلف: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. أوجد زاوية ميل المماس للرسم البياني للدالة ص = و (س)عند هذه النقطة × 0، لو و "(س 0) = 1.

حل.

قيمة المشتق عند نقطة التماس × 0وهي قيمة ظل الزاوية المماسية (المعنى الهندسي للمشتق). لدينا: و "(س 0) = تانα = 1 → α = 45°،لأن tg45°=1.

إجابة: يشكل ظل الرسم البياني لهذه الدالة زاوية ذات اتجاه إيجابي لمحور الثور يساوي 45 درجة.

3. اشتق صيغة مشتقة الدالة ص=سن.

التفاضلهو عمل إيجاد مشتقة دالة.

عند إيجاد المشتقات، استخدم الصيغ التي تم اشتقاقها بناءً على تعريف المشتقة، بنفس الطريقة التي اشتقنا بها صيغة درجة المشتقة: (x n)" = nx n-1.

هذه هي الصيغ.

جدول المشتقاتسيكون من الأسهل الحفظ عن طريق نطق الصيغ اللفظية:

1. مشتقة الكمية الثابتة هي صفر.

2. X الأولية تساوي واحدًا.

3. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة.

4. مشتقة الدرجة تساوي حاصل ضرب أس هذه الدرجة بدرجة لها نفس الأساس، لكن الأس أقل منه بدرجة واحدة.

5. مشتقة الجذر تساوي واحدًا مقسومًا على جذرين متساويين.

6. مشتق واحد على x يساوي سالب واحد على x تربيع.

7. مشتق الجيب يساوي جيب التمام.

8. مشتق جيب التمام يساوي ناقص جيب التمام.

9. مشتقة الظل تساوي واحدًا مقسومًا على مربع جيب التمام.

10. مشتقة ظل التمام تساوي سالب واحد مقسومًا على مربع الجيب.

نحن نعلم قواعد التمايز.

1. مشتق المجموع الجبري يساوي المجموع الجبري لمشتقات الحدود.

2. مشتقة المنتج تساوي منتج مشتقة العامل الأول والثاني بالإضافة إلى منتج العامل الأول ومشتقة الثاني.

3. مشتق "y" مقسومًا على "ve" يساوي كسرًا يكون بسطه "y prime مضروبًا في"ve" ناقص "y مضروبًا في ve prime"، والمقام هو "ve تربيع".

4. حالة خاصة من الصيغة 3.

دعونا نتعلم معا!

الصفحة 1 من 1 1