يتمتع قسم اللوغاريتمات بأهمية كبيرة في الدورة المدرسية "التحليل الرياضي". تعتمد مسائل الدوال اللوغاريتمية على مبادئ مختلفة عن مسائل المتباينات والمعادلات. إن معرفة التعاريف والخصائص الأساسية لمفاهيم اللوغاريتم والوظيفة اللوغاريتمية ستضمن الحل الناجح لمشاكل الاستخدام النموذجية.
قبل أن نبدأ في شرح ماهية الدالة اللوغاريتمية، من المفيد أن ننظر إلى تعريف اللوغاريتم.
دعونا نلقي نظرة على مثال محدد: السجل a x = x، حيث a › 0، a ≠ 1.
يمكن سرد الخصائص الرئيسية للوغاريتمات في عدة نقاط:
اللوغاريتم
اللوغاريتمية هي عملية رياضية تسمح، باستخدام خصائص المفهوم، بالعثور على لوغاريتم رقم أو تعبير.
أمثلة:
دالة اللوغاريتم وخصائصها
الدالة اللوغاريتمية لها الشكل
دعونا نلاحظ على الفور أن الرسم البياني للدالة يمكن أن يتزايد عندما يكون a › 1 ويتناقص عندما يكون 0 ‹ a ‹ 1. اعتمادًا على هذا، سيكون لمنحنى الدالة شكل أو آخر.
فيما يلي خصائص وطريقة رسم اللوغاريتمات:
- مجال f(x) هو مجموعة جميع الأرقام الموجبة، أي. x يمكن أن تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني (0; + ∞);
- الدالة ODZ هي مجموعة الأعداد الحقيقية، أي y يمكن أن تساوي أي رقم من الفاصل الزمني (— ∞; +∞);
- إذا كان أساس اللوغاريتم a › 1، فإن f(x) يزيد على نطاق التعريف بأكمله؛
- إذا كان أساس اللوغاريتم هو 0 ‹ a ‹ 1، فإن F آخذ في التناقص؛
- الدالة اللوغاريتمية ليست زوجية ولا فردية؛
- يمر منحنى الرسم البياني دائمًا عبر النقطة ذات الإحداثيات (1;0).
من السهل جدًا إنشاء كلا النوعين من الرسوم البيانية؛ فلنلقِ نظرة على العملية باستخدام مثال
عليك أولاً أن تتذكر خصائص اللوغاريتم البسيط ووظائفه. بمساعدتهم، تحتاج إلى إنشاء جدول لقيم محددة لـ x وy. ثم يجب عليك تحديد النقاط الناتجة على محور الإحداثيات وربطها بخط ناعم. سيكون هذا المنحنى هو الرسم البياني المطلوب.
الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية المعطاة بواسطة y=a x. للتحقق من ذلك، يكفي رسم كلا المنحنيين على نفس محور الإحداثيات.
ومن الواضح أن كلا الخطين هما صورتان متطابقتان لبعضهما البعض. من خلال بناء الخط المستقيم y = x، يمكنك رؤية محور التماثل.
من أجل العثور بسرعة على إجابة المشكلة، تحتاج إلى حساب قيم النقاط لـ y = log 2 x، ثم قم ببساطة بتحريك أصل نقطة الإحداثيات ثلاثة أقسام لأسفل على طول محور OY وقسمين إلى اليسار على طول محور OX.
كدليل، دعونا نبني جدول حسابي لنقاط الرسم البياني y = log 2 (x+2)-3 ونقارن القيم التي تم الحصول عليها بالشكل.
كما ترون، فإن الإحداثيات من الجدول والنقاط الموجودة على الرسم البياني تتطابق، لذلك تم النقل على طول المحاور بشكل صحيح.
أمثلة على حل مشاكل امتحان الدولة الموحدة النموذجية
يمكن تقسيم معظم مسائل الاختبار إلى قسمين: البحث عن مجال التعريف، وتحديد نوع الدالة بناءً على الرسم البياني، وتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد/تتناقص.
للإجابة بسرعة على المهام، من الضروري أن نفهم بوضوح أن f(x) يزيد إذا كان أس اللوغاريتم a › 1، وينخفض إذا كان 0 ‹ a ‹ 1. ومع ذلك، ليس فقط القاعدة، ولكن أيضًا الوسيطة يمكن أن تؤثر بشكل كبير على الشكل من منحنى الوظيفة.
F(x) المميزة بعلامة اختيار هي الإجابات الصحيحة. يتم إثارة الشكوك في هذه الحالة من خلال المثالين 2 و3. حيث تتغير علامة "-" الموجودة أمام السجل من الزيادة إلى التناقص والعكس صحيح.
لذلك، فإن الرسم البياني y=-log 3 x يتناقص على نطاق التعريف بأكمله، ويزداد y= -log (1/3) x، على الرغم من حقيقة أن الأساس 0 ‹ a ‹ 1.
إجابة: 3,4,5.
إجابة: 4.
تعتبر هذه الأنواع من المهام سهلة ويتم تسجيلها من 1 إلى 2 نقطة.
المهمة 3.
حدد ما إذا كانت الدالة تناقصية أم متزايدة وحدد مجال تعريفها.
Y = سجل 0.7 (0.1x-5)
بما أن قاعدة اللوغاريتم أقل من واحد ولكنها أكبر من الصفر، فإن دالة x تتناقص. وفقًا لخصائص اللوغاريتم، يجب أن تكون الوسيطة أيضًا أكبر من الصفر. دعونا نحل عدم المساواة:
إجابة: مجال التعريف D(x) – الفاصل الزمني (50; + ∞).
إجابة: 3، 1، محور الثور، يمينًا.
يتم تصنيف هذه المهام على أنها متوسطة ويتم تسجيلها من 3 إلى 4 نقاط.
المهمة 5. ابحث عن نطاق القيم للدالة:
ومن المعروف من خصائص اللوغاريتم أن الوسيطة لا يمكن أن تكون إلا موجبة. لذلك، سوف نقوم بحساب نطاق القيم المقبولة للدالة. للقيام بذلك، سوف تحتاج إلى حل نظام من متباينتين.
اللوغاريتم الحقيقي
لوغاريتم سجل الأعداد الحقيقية أ بيبدو الأمر منطقيًا مع src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
أكثر أنواع اللوغاريتمات استخدامًا هي:
إذا اعتبرنا الرقم اللوغاريتمي كمتغير، نحصل عليه وظيفة لوغاريتمية، على سبيل المثال: . يتم تعريف هذه الوظيفة على الجانب الأيمن من خط الأعداد: س> 0، تكون مستمرة وقابلة للاشتقاق هناك (انظر الشكل 1).
ملكيات
اللوغاريتمات الطبيعية
عندما تكون المساواة صحيحة
| (1) |
بخاصة،
تتقارب هذه المتسلسلة بشكل أسرع، وبالإضافة إلى ذلك، يمكن للجانب الأيسر من الصيغة الآن التعبير عن لوغاريتم أي رقم موجب.
العلاقة مع اللوغاريتم العشري: .
اللوغاريتمات العشرية
أرز. 2. المقياس اللوغاريتمي
اللوغاريتمات للأساس 10 (الرمز: lg أ) قبل اختراع الآلات الحاسبة كانت تستخدم على نطاق واسع لإجراء العمليات الحسابية. عادةً ما يتم وضع علامة على المقياس غير المتكافئ للوغاريتمات العشرية على قواعد الشرائح أيضًا. ويستخدم مقياس مماثل على نطاق واسع في مختلف مجالات العلوم، على سبيل المثال:
- الكيمياء - نشاط أيونات الهيدروجين ().
- نظرية الموسيقى - مقياس النوتات الموسيقية، فيما يتعلق بترددات النوتات الموسيقية.
يستخدم المقياس اللوغاريتمي أيضًا على نطاق واسع لتحديد الأس في علاقات القوة والمعامل في الأس. في هذه الحالة، الرسم البياني المبني على مقياس لوغاريتمي على طول محور واحد أو محورين يأخذ شكل خط مستقيم، وهو أمر أسهل في الدراسة.
اللوغاريتم المركب
دالة متعددة القيم
سطح ريمان
الدالة اللوغاريتمية المعقدة هي مثال لسطح ريمان؛ يتكون الجزء التخيلي (الشكل 3) من عدد لا حصر له من الفروع الملتوية مثل اللولب. هذا السطح متصل ببساطة؛ يتم الحصول على الصفر الوحيد (من الدرجة الأولى) عند ض= 1، النقاط المفردة: ض= 0 و (نقاط فرعية ذات ترتيب لا نهائي).
سطح ريمان للوغاريتم هو الغطاء الشامل للمستوى المركب بدون النقطة 0.
رسم تاريخي
اللوغاريتم الحقيقي
تزايدت الحاجة إلى الحسابات المعقدة بسرعة في القرن السادس عشر، وكان الكثير من الصعوبة يتعلق بضرب وقسمة الأعداد متعددة الأرقام. في نهاية القرن، توصل العديد من علماء الرياضيات، في وقت واحد تقريبًا، إلى فكرة: استبدال الضرب الذي يتطلب جهدًا كبيرًا بعملية جمع بسيطة، وذلك باستخدام جداول خاصة لمقارنة التقدم الهندسي والحسابي، على أن يكون التقدم الهندسي هو الأصل. ثم يتم استبدال القسمة تلقائيًا بعملية طرح أبسط وأكثر موثوقية بما لا يقاس. وهو أول من نشر هذه الفكرة في كتابه " الحساب التكاملي"مايكل ستيفل، الذي، مع ذلك، لم يبذل جهودا جدية لتنفيذ فكرته.
في عشرينيات القرن السابع عشر، اخترع إدموند وينجيت وويليام أوغتريد أول قاعدة انزلاقية، قبل ظهور آلات حاسبة الجيب، وهي أداة مهندس لا غنى عنها.
ظهر الفهم القريب من الفهم الحديث للوغاريثمة - باعتبارها العملية العكسية للرفع إلى قوة - لأول مرة مع واليس ويوهان برنولي، وتم إضفاء الشرعية عليه أخيرًا بواسطة أويلر في القرن الثامن عشر. في كتابه "مقدمة لتحليل اللانهائي" ()، قدم أويلر تعريفات حديثة لكل من الدوال الأسية واللوغاريتمية، ووسعها إلى متسلسلة قوى، وأشار بشكل خاص إلى دور اللوغاريتم الطبيعي.
يُنسب إلى أويلر أيضًا توسيع الدالة اللوغاريتمية إلى المجال المعقد.
اللوغاريتم المركب
جرت المحاولات الأولى لتوسيع اللوغاريتمات لتشمل الأعداد المركبة في مطلع القرنين السابع عشر والثامن عشر على يد لايبنتز ويوهان برنولي، لكنهم فشلوا في إنشاء نظرية شاملة، ويرجع ذلك في المقام الأول إلى أن مفهوم اللوغاريتم نفسه لم يكن محددًا بوضوح بعد. تمت مناقشة هذه المسألة أولاً بين لايبنيز وبرنولي، وفي منتصف القرن الثامن عشر - بين دالمبيرت وأويلر. يعتقد برنولي ودالمبيرت أنه ينبغي تحديد ذلك سجل (-x) = سجل (خ). تم نشر النظرية الكاملة للوغاريتمات الأعداد السالبة والمعقدة من قبل أويلر في 1747-1751 ولا تختلف بشكل أساسي عن النظرية الحديثة.
على الرغم من استمرار النزاع (دافع دالمبرت عن وجهة نظره وناقشها بالتفصيل في مقال في موسوعته وفي أعمال أخرى)، إلا أن وجهة نظر أويلر سرعان ما اكتسبت اعترافًا عالميًا.
الجداول اللوغاريتمية
الجداول اللوغاريتمية
يترتب على خصائص اللوغاريتم أنه بدلاً من الضرب المكثف للأرقام متعددة الأرقام، يكفي البحث (من الجداول) وإضافة اللوغاريتمات الخاصة بهم، ثم باستخدام نفس الجداول، قم بإجراء التقوية، أي العثور على قيمة النتيجة من اللوغاريتم الخاص بها. يختلف إجراء القسمة فقط في أنه يتم طرح اللوغاريتمات. وقال لابلاس إن اختراع اللوغاريتمات "أطال عمر علماء الفلك" من خلال تسريع عملية الحسابات بشكل كبير.
عند تحريك العلامة العشرية في رقم إلى نأرقام، تتغير قيمة اللوغاريتم العشري لهذا الرقم إلى ن. على سبيل المثال، log8314.63 = log8.31463 + 3. ويترتب على ذلك أنه يكفي تجميع جدول اللوغاريتمات العشرية للأرقام في النطاق من 1 إلى 10.
تم نشر الجداول الأولى للوغاريتمات بواسطة جون نابير ()، وكانت تحتوي فقط على لوغاريتمات الدوال المثلثية، وبها أخطاء. وبشكل مستقل عنه، نشر جوست بورغي، صديق كيبلر ()، جداوله. في عام 1617، نشر أستاذ الرياضيات في جامعة أكسفورد، هنري بريجز، جداول تضمنت بالفعل اللوغاريتمات العشرية للأرقام نفسها، من 1 إلى 1000، مع 8 أرقام (لاحقًا 14). ولكن كانت هناك أيضًا أخطاء في جداول بريجز. ظهرت أول طبعة خالية من الأخطاء تعتمد على جداول فيجا () فقط في عام 1857 في برلين (جداول بريمير).
في روسيا، تم نشر الجداول الأولى للوغاريتمات في عام 1703 بمشاركة L. F. Magnitsky. تم نشر عدة مجموعات من جداول اللوغاريتمات في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية.
- براديس V. M.جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام. الطبعة 44، م، 1973.
الصفحة 1
تقوم الدالة اللوغاريتمية (80) بتنفيذ التعيين العكسي للمستوى w بأكمله مع قطعه إلى شريط - i / /: i، سطح ريمان ذو الألواح اللانهائية على المستوى z الكامل.
الدالة اللوغاريتمية: y logax، حيث أساس اللوغاريتمات a هو رقم موجب لا يساوي واحدًا.
تلعب الدالة اللوغاريتمية دورًا خاصًا في تصميم الخوارزميات وتحليلها، لذا يجدر النظر فيها بمزيد من التفصيل. نظرًا لأننا غالبًا ما نتعامل مع النتائج التحليلية التي يتم فيها حذف العامل الثابت، فإننا نستخدم تدوين log TV، مع حذف الأساس. يؤدي تغيير قاعدة اللوغاريتم إلى تغيير قيمة اللوغاريتم بعامل ثابت فقط، ومع ذلك، تنشأ معاني خاصة لقاعدة اللوغاريتم في سياقات معينة.
الدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية. يتم الحصول على الرسم البياني الخاص بها (الشكل 247) من الرسم البياني للدالة الأسية (بنفس القاعدة) عن طريق ثني الرسم على طول منصف زاوية الإحداثيات الأولى. يتم أيضًا الحصول على الرسم البياني لأي دالة عكسية.
ثم يتم تقديم الدالة اللوغاريتمية باعتبارها معكوس الدالة الأسية. يمكن بسهولة استخلاص خصائص كلتا الوظيفتين من هذه التعريفات. كان هذا التعريف هو الذي حصل على موافقة غاوس، الذي أعرب في الوقت نفسه عن عدم موافقته على التقييم المقدم له في مراجعة أخبار غوتنغن العلمية. وفي الوقت نفسه، تناول غاوس القضية من وجهة نظر أوسع من وجهة نظر دا كونها. اقتصر الأخير على النظر في الدوال الأسية واللوغاريتمية في المنطقة الحقيقية، في حين وسع غاوس تعريفها ليشمل المتغيرات المعقدة.
الدالة اللوغاريتمية y logax رتيبة في جميع أنحاء مجال تعريفها بالكامل.
الدالة اللوغاريتمية مستمرة وقابلة للتفاضل في كامل نطاق تعريفها.
تزيد الدالة اللوغاريتمية بشكل رتيب إذا كان I. بالنسبة إلى 0 a 1، فإن الدالة اللوغاريتمية ذات الأساس a تتناقص بشكل رتيب.
يتم تعريف الدالة اللوغاريتمية فقط للقيم الموجبة لـ x ويعرض واحد لواحد الفاصل الزمني (0؛ 4 - os.
الدالة اللوغاريتمية y loga x هي الدالة العكسية للدالة الأسية yax.
الدالة اللوغاريتمية: y ogax، حيث أساس اللوغاريتمات a هو عدد موجب لا يساوي واحدًا.
تتحد الدوال اللوغاريتمية جيدًا مع المفاهيم الفيزيائية لطبيعة زحف البولي إيثيلين في الظروف التي يكون فيها معدل الانفعال منخفضًا. وفي هذا الصدد، فإنها تتوافق مع معادلة أندرايد، لذلك يتم استخدامها أحيانًا لتقريب البيانات التجريبية.
يتم تحديد الدالة اللوغاريتمية، أو اللوغاريتم الطبيعي، وIn z، عن طريق حل المعادلة المتعالية g ei فيما يتعلق بـ u. في منطقة القيم الحقيقية x و y، تحت الشرط x 0، تسمح هذه المعادلة بحل فريد.
درس الجبر في الصف العاشر
الموضوع: "الدالة اللوغاريتمية وخصائصها ورسمها البياني"
الأهداف:
التعليمية: التعريف بمفهوم الدالة اللوغاريتمية باستخدام الخبرة السابقة، وإعطاء تعريف لها. دراسة الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية. تطوير القدرة على بناء رسم بياني للدالة اللوغاريتمية.
التنموية:تطوير القدرة على إبراز الشيء الرئيسي والمقارنة والتعميم. تكوين ثقافة رسومية لدى الطلاب .
التعليمية:إظهار العلاقة بين الرياضيات والواقع المحيط. تطوير مهارات الاتصال والحوار والقدرة على العمل ضمن فريق.
نوع الدرس:مجموع
طرق التدريس:بحث جزئي وتفاعلي.
تقدم الدرس.
1. تحديث الخبرات السابقة:
يتم تقديم تمارين شفهية للطلاب باستخدام تعريف اللوغاريتم وخصائصه وصيغ الانتقال إلى قاعدة جديدة وحل أبسط المعادلات اللوغاريتمية والأسية وأمثلة لإيجاد نطاق القيم المقبولة للتعبيرات اللوغاريتمية
تمارين عن طريق الفمالعمل الشفهي.
1) احسب باستخدام تعريف اللوغاريتم: سجل 2 8; سجل 4 16;.
2) احسب باستخدام الهوية اللوغاريتمية الأساسية:
3) حل المعادلة باستخدام التعريف:
4) اكتشف ما هي قيم x التي يكون التعبير منطقيًا فيها:
5) أوجد قيمة التعبير باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
2. دراسة الموضوع.يُطلب من الطلاب حل المعادلات الأسية: 2 x =y; () س = ص. بالتعبير عن المتغير x بدلالة المتغير y . ونتيجة لهذا العمل، تم الحصول على الصيغ التي تحدد وظائف غير مألوفة للطلاب. ،. سؤال : "ماذا تسمي هذه الوظيفة؟" يقول الطلاب أنها لوغاريتمية، حيث أن المتغير يقع تحت علامة اللوغاريتم: .
سؤال . تحديد وظيفة. التعريف: دالة تعطى بالصيغة y=log أ يسمى x لوغاريتميًا ذو الأساس a (a>0, a 1)
ثالثا. دراسة الوظيفة y=log أ س
في الآونة الأخيرة، قدمنا مفهوم لوغاريتم الرقم الموجب إلى أساس موجب وغير 1 أ. لأي رقم موجب، يمكنك العثور على اللوغاريتم لقاعدة معينة. ولكن بعد ذلك يجب أن تفكر في دالة النموذج y=logالفأس، وعن رسوماته وخصائصه.الدالة المعطاة بالصيغة y=log أ يسمى x لوغاريتميًا ذو الأساس a (a>0, a 1)
الخصائص الأساسية للدالة اللوغاريتمية:
1. سيكون مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية هو المجموعة الكاملة من الأعداد الحقيقية الموجبة. وللاختصار يطلق عليه أيضاص+. خاصية واضحة، لأن كل رقم موجب له لوغاريتم أساسه a.د(و)=ص+
2. سيكون نطاق الدالة اللوغاريتمية هو المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية.ه(و)= (-∞; +∞)
3 . يمر الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية دائمًا عبر النقطة (1;0).
4 . لالدالة اللوغاريتمية للعمرلا في أ> 1، و يتناقصعند 0<х<1.
5 . الدالة ليست زوجية أو فردية. دالة لوغاريتمية - دالة عامةأ.
6 . لا تحتوي الدالة على الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط، مستمر في مجال التعريف.
يوضح الشكل التالي رسمًا بيانيًا للدالة اللوغاريتمية المتناقصة - (0
إذا قمت بإنشاء دوال أسية ولوغاريتمية بنفس القواعد في نفس محور الإحداثيات، فإن الرسوم البيانية لهذه الوظائف ستكون متناظرة بالنسبة للخط المستقيم y = x. يظهر هذا البيان في الشكل التالي.
العبارة أعلاه ستكون صحيحة لكل من الدوال اللوغاريتمية والأسية المتزايدة والمتناقصة.
خذ بعين الاعتبار مثالا: ابحث عن مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية f(x) = log 8 (4 - 5x).
استنادًا إلى خصائص الدالة اللوغاريتمية، فإن مجال التعريف هو المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية الموجبة R+. ثم سيتم تعريف الوظيفة المعطاة لمثل هذه x والتي تكون 4 - 5x>0. نحل هذه المتباينة ونحصل على x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) سيكون الفاصل الزمني (-∞;0.8)
الرسوم البيانية للدوال اللوغاريتمية في GeoGebra
الرسوم البيانية للوظائف اللوغاريتمية
1) اللوغاريتم الطبيعي ص = قانون الجنسية (س)
2) اللوغاريتم العشري y = log(x)
3) لوغاريتم الأساس 2 ص = ld (x)
خامسا: تعزيز الموضوع
باستخدام الخصائص التي تم الحصول عليها للدالة اللوغاريتمية، سنحل المسائل التالية:
1. ابحث عن مجال تعريف الدالة: y=log 8 (4-5x);y=log 0.5 (2x+8);.
3. قم بإنشاء رسوم بيانية للوظائف: y=log 2 (س+2) -3 ص= سجل 2 (س) +2
مفهوم الدالة اللوغاريتمية
أولا، دعونا نتذكر ما هو اللوغاريتم في الواقع.
التعريف 1
لوغاريتم الرقم $b\in R$ إلى الأساس $a$ ($a>0,\ a\ne 1$) هو الرقم $c$ الذي يجب رفع الرقم $a$ إليه للحصول على الرقم $ب$.
خذ بعين الاعتبار الدالة الأسية $f\left(x\right)=a^x$، حيث $a >1$. هذه الدالة تزايدية ومستمرة وتقوم بتعيين المحور الحقيقي للفاصل الزمني $(0,+\infty)$. ثم، وفقًا لنظرية وجود دالة مستمرة عكسية، في المجموعة $Y=(0,+\infty)$ هناك دالة عكسية $x=f^(-1)(y)$، وهي أيضًا مستمر ومتزايد في $Y $ ويعين الفاصل الزمني $(0,+\infty)$ إلى المحور الحقيقي بأكمله. تسمى هذه الدالة العكسية بالدالة اللوغاريتمية للأساس $a\ (a >1)$ ويشار إليها بـ $y=((log)_a x\ )$.
الآن فكر في الدالة الأسية $f\left(x\right)=a^x$، حيث $0
وهكذا، قمنا بتعريف دالة لوغاريتمية لجميع القيم الممكنة للأساس $a$. دعونا ننظر في هاتين الحالتين بشكل منفصل.
1%24"> الدالة $y=((log)_a x\ ),\ a >1$
دعونا نفكر ملكياتهذه الوظيفة.
لا توجد تقاطعات مع محور $Oy$.
تكون الدالة موجبة بالنسبة إلى $x\in (1,+\infty)$ وسالبة بالنسبة إلى $x\in (0,1)$
$y"=\frac(1)(xlna)$;
الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط:
تزيد الدالة على نطاق التعريف بأكمله؛
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
\[-\frac(1)(x^2lna)الدالة محدبة في مجال التعريف بأكمله؛
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=-\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=+\infty ,\ $;
الرسم البياني للوظيفة (الشكل 1).
الشكل 1. رسم بياني للدالة $y=((log)_a x\ ),\ a >1$
الدالة $y=((log)_a x\ ), \ 0
دعونا نلقي نظرة على خصائص هذه الوظيفة.
المجال - الفاصل الزمني $(0,+\infty)$;
المدى: جميع الأعداد الحقيقية؛
الدالة ليست زوجية ولا فردية.
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:
لا توجد تقاطعات مع محور $Oy$.
بالنسبة إلى $y=0$، $((log)_a x\ )=0,\ x=1.$ التقاطع مع محور $Ox$: (1,0).
تكون الدالة موجبة لـ $x\in (0,1)$ وسالبة لـ $x\in (1,+\infty)$
$y"=\frac(1)(xlna)$;
الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط:
\[\frac(1)(xlna)=0-جذور\ no\]
لا يوجد الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.
$y^("")=-\frac(1)(x^2lna)$;
الفترات المحدبة والمقعرة:
\[-\frac(1)(x^2lna)>0\]
الرسم البياني للوظيفة (الشكل 2).
أمثلة على البحث وبناء الدوال اللوغاريتمية
مثال 1
استكشاف ورسم الدالة $y=2-((log)_2 x\ )$
المجال - الفاصل الزمني $(0,+\infty)$;
المدى: جميع الأعداد الحقيقية؛
الدالة ليست زوجية ولا فردية.
نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات:
لا توجد تقاطعات مع محور $Oy$.
عندما $y=0$, $2-((log)_2 x\ )=0,\ x=4.$ التقاطع مع محور $Ox$: (4,0).
تكون الدالة موجبة بالنسبة إلى $x\in (0,4)$ وسالبة بالنسبة إلى $x\in (4,+\infty)$
$y"=-\frac(1)(xln2)$;
الحد الأدنى والحد الأقصى للنقاط:
\[-\frac(1)(xln2)=0-جذور\ no\]
لا يوجد الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.
تتناقص الدالة على نطاق التعريف بأكمله؛
$y^("")=\frac(1)(x^2ln2)$;
الفترات المحدبة والمقعرة:
\[\frac(1)(x^2ln2) >0\]
الدالة مقعرة في كامل نطاق تعريفها؛
$(\mathop(lim)_(x\to 0) y\ )=+\infty ,\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) y\ )=-\infty ,\ $;
الشكل 3.