في أي الحالات يكون مشتق الدالة يساوي 0. مشتق الدالة

مشتقة الدالة هي واحدة من مواضيع صعبةالخامس المنهج المدرسي. لن يجيب كل خريج على سؤال ما هو المشتق.

تشرح هذه المقالة بطريقة بسيطة وواضحة ما هو المشتق ولماذا هو مطلوب.. لن نسعى الآن إلى الدقة الرياضية في العرض التقديمي. الشيء الأكثر أهمية هو فهم المعنى.

لنتذكر التعريف:

المشتق هو معدل تغير الدالة.

يوضح الشكل الرسوم البيانية لثلاث وظائف. أي واحد تعتقد أنه ينمو بشكل أسرع؟

الجواب واضح - الثالث. لديها أعلى معدل للتغيير، أي أكبر مشتق.

وهنا مثال آخر.

حصلت كوستيا وجريشا وماتفي على وظائف في نفس الوقت. دعونا نرى كيف تغير دخلهم خلال العام:

الرسم البياني يظهر كل شيء دفعة واحدة، أليس كذلك؟ تضاعف دخل كوستيا في ستة أشهر. كما زاد دخل جريشا أيضًا، ولكن قليلاً. وانخفض دخل ماتفي إلى الصفر. شروط البداية هي نفسها، ولكن معدل تغيير الوظيفة، أي المشتق، - مختلف. أما بالنسبة لماتفي، فإن مشتق دخله سلبي بشكل عام.

وبشكل بديهي، يمكننا بسهولة تقدير معدل تغير الدالة. ولكن كيف نفعل ذلك؟

ما ننظر إليه حقًا هو مدى انحدار الرسم البياني للدالة لأعلى (أو لأسفل). بمعنى آخر، ما مدى سرعة تغير y مع تغير x؟ ومن الواضح أن نفس الوظيفة في نقاط مختلفةقد يملك معنى مختلفمشتق - أي أنه يمكن أن يتغير بشكل أسرع أو أبطأ.

يتم الإشارة إلى مشتق الدالة .

سنوضح لك كيفية العثور عليه باستخدام الرسم البياني.

تم رسم رسم بياني لبعض الوظائف. دعونا نأخذ نقطة مع الإحداثي الإحداثي على ذلك. دعونا نرسم مماسًا للرسم البياني للدالة عند هذه النقطة. نريد تقدير مدى انحدار الرسم البياني للدالة. قيمة مناسبة لهذا ظل الزاوية المماسه.

مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل زاوية الظل المرسومة على الرسم البياني للدالة عند هذه النقطة.

يرجى ملاحظة أنه كزاوية ميل المماس نأخذ الزاوية بين المماس والاتجاه الموجب للمحور.

في بعض الأحيان يسأل الطلاب ما هو ظل الرسم البياني للدالة. وهذا خط مستقيم له واحد فقط نقطة مشتركةمع الرسم البياني، وكما هو مبين في الشكل لدينا. يبدو وكأنه مماس للدائرة.

دعونا نجد ذلك. ونتذكر أن ظل الزاوية الحادة في مثلث قائم يساوي النسبة الجانب المعاكسإلى المجاورة. من المثلث:

لقد وجدنا المشتقة باستخدام الرسم البياني دون معرفة صيغة الدالة. غالبًا ما توجد مثل هذه المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات تحت الرقم.

هناك علاقة أخرى مهمة. تذكر أن الخط المستقيم يُعطى بالمعادلة

تسمى الكمية في هذه المعادلة منحدر الخط المستقيم. وهو يساوي ظل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور.

لقد حصلنا على ذلك

دعونا نتذكر هذه الصيغة. يعبر عن المعنى الهندسي للمشتق.

مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي ميلالمماس المرسوم على الرسم البياني للوظيفة عند هذه النقطة.

بمعنى آخر، المشتقة تساوي ظل الزاوية المماسية.

لقد قلنا من قبل أن الدالة نفسها يمكن أن يكون لها مشتقات مختلفة عند نقاط مختلفة. دعونا نرى كيف يرتبط المشتق بسلوك الوظيفة.

لنرسم رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف. لتزداد هذه الوظيفة في بعض المجالات، وتنقص في مناطق أخرى، ومع بسرعات مختلفة. ودع هذه الوظيفة تحتوي على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط.

عند نقطة ما تزداد الوظيفة. المماس للرسم البياني المرسوم عند أشكال النقطة زاوية حادة; مع اتجاه المحور الإيجابي. وهذا يعني أن المشتقة عند هذه النقطة موجبة.

عند هذه النقطة تنخفض وظيفتنا. يشكل المماس عند هذه النقطة زاوية منفرجة؛ مع اتجاه المحور الإيجابي. منذ الظل زاوية منفرجةسالبة، عند النقطة التي يكون فيها المشتق سالبًا.

إليك ما يحدث:

إذا كانت الدالة متزايدة، فإن مشتقتها تكون موجبة.

فإذا نقصت تكون مشتقتها سالبة.

ماذا سيحدث عند الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط؟ نلاحظ أنه عند نقطتي (النقطة القصوى) و(النقطة الدنيا) يكون المماس أفقيًا. وبالتالي فإن ظل الزاوية المماس عند هذه النقاط يساوي الصفر، والمشتقة أيضًا صفر.

النقطة - النقطة القصوى. عند هذه النقطة، يتم استبدال الزيادة في الدالة بالنقصان. وبالتالي تتغير إشارة المشتقة عند النقطة من "موجب" إلى "سالب".

عند النقطة - النقطة الدنيا - يكون المشتق أيضًا صفرًا، لكن علامته تتغير من "ناقص" إلى "زائد".

الخلاصة: باستخدام المشتقة يمكننا معرفة كل ما يهمنا حول سلوك الوظيفة.

إذا كانت المشتقة موجبة، تزيد الدالة.

إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تنخفض.

عند النقطة القصوى، يكون المشتق صفرًا وتتغير الإشارة من "زائد" إلى "سالب".

عند النقطة الدنيا، يكون المشتق أيضًا صفرًا وتتغير الإشارة من "ناقص" إلى "زائد".

لنكتب هذه الاستنتاجات في شكل جدول:

	يزيد	النقطة القصوى	يتناقص	نقطة الحد الأدنى	يزيد
+	0	-	0	+

دعونا نقدم توضيحين صغيرين. سوف تحتاج واحد منهم عند حل المشكلة. آخر - في السنة الأولى، مع دراسة أكثر جدية للوظائف والمشتقات.

من الممكن أن تكون مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي صفرًا، لكن الدالة ليس لها قيمة عظمى أو قيمة صغرى عند هذه النقطة. هذا هو ما يسمى :

عند نقطة ما، يكون مماس الرسم البياني أفقيًا وتكون المشتقة صفرًا. ومع ذلك، قبل النقطة زادت الدالة - وبعد النقطة استمرت في الزيادة. إشارة المشتقة لا تتغير، بل تبقى موجبة كما كانت.

ويحدث أيضًا أنه عند نقطة الحد الأقصى أو الأدنى لا يكون المشتق موجودًا. على الرسم البياني، يتوافق هذا مع كسر حاد، عندما يكون من المستحيل رسم مماس عند نقطة معينة.

كيف يمكن العثور على المشتق إذا كانت الدالة لا تُعطى من خلال رسم بياني، بل من خلال صيغة؟ في هذه الحالة ينطبق

توفر المشكلة B9 رسمًا بيانيًا للدالة أو المشتقة التي تحتاج إلى تحديد إحدى الكميات التالية منها:

قيمة المشتق عند نقطة ما × 0،
الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط (النقاط القصوى)،
فترات الزيادة والنقصان في الوظائف (فترات الرتابة).

الدوال والمشتقات المقدمة في هذه المشكلة تكون دائمًا متصلة، مما يجعل الحل أسهل بكثير. على الرغم من أن المهمة تخص القسم التحليل الرياضيإنها قادرة تمامًا حتى على أكثر الأشياء الطلاب الضعفاءلأنه لا يوجد عميق معرفة نظريةغير مطلوب هنا.

للعثور على قيمة المشتقة والنقاط القصوى وفترات الرتابة، هناك خوارزميات بسيطة وعالمية - سيتم مناقشة كل منهم أدناه.

اقرأ شروط المشكلة B9 بعناية لتجنب ارتكاب أخطاء غبية: في بعض الأحيان تصادف نصوصًا طويلة جدًا، ولكن شروط مهمةوالتي تؤثر على مسار القرار، هناك عدد قليل منها.

حساب قيمة المشتقة. طريقة نقطتين

إذا تم إعطاء المشكلة رسمًا بيانيًا للدالة f(x)، مماس لهذا الرسم البياني عند نقطة ما x 0، وكان مطلوبًا العثور على قيمة المشتق عند هذه النقطة، فسيتم تطبيق الخوارزمية التالية:

ابحث عن نقطتين "مناسبتين" على الرسم البياني المماس: يجب أن تكون إحداثياتهما عددًا صحيحًا. دعنا نشير إلى هذه النقاط بـ A (x 1 ; y 1) و B (x 2 ; y 2). اكتب الإحداثيات بشكل صحيح - هذا هو لحظة رئيسيةالحلول، وأي خطأ هنا يؤدي إلى إجابة غير صحيحة.
بمعرفة الإحداثيات، من السهل حساب زيادة الوسيط Δx = x 2 − x 1 وزيادة الدالة Δy = y 2 − y 1 .
وأخيرًا، نجد قيمة المشتقة D = Δy/Δx. بمعنى آخر، تحتاج إلى قسمة زيادة الدالة على زيادة الوسيطة - وهذا سيكون الجواب.

نلاحظ مرة أخرى: يجب البحث عن النقطتين A وB بدقة على المماس، وليس على الرسم البياني للدالة f(x)، كما يحدث غالبًا. سيحتوي خط المماس بالضرورة على نقطتين على الأقل - وإلا فلن تتم صياغة المشكلة بشكل صحيح.

خذ بعين الاعتبار النقطتين A (−3; 2) وB (−1; 6) وأوجد الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

لنجد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماسًا لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري x 0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x 0 .

خذ بعين الاعتبار النقطتين A (0; 3) و B (3; 0)، وابحث عن الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

الآن نجد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y = f(x) ومماسًا لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري x 0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x 0 .

خذ بعين الاعتبار النقطتين أ (0؛ 2) وب (5؛ 2) وأوجد الزيادات:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

يبقى إيجاد قيمة المشتقة: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

من المثال الأخيريمكننا صياغة قاعدة: إذا كان المماس موازيًا لمحور OX، فإن مشتقة الدالة عند نقطة التماس تكون صفرًا. في هذه الحالة، لا تحتاج حتى إلى حساب أي شيء - فقط انظر إلى الرسم البياني.

حساب الحد الأقصى والحد الأدنى للنقاط

في بعض الأحيان، بدلًا من الرسم البياني للدالة، تعطي المشكلة B9 رسمًا بيانيًا للمشتقة وتتطلب إيجاد النقطة القصوى أو الدنيا للدالة. في هذه الحالة، تكون طريقة النقطتين عديمة الفائدة، ولكن هناك خوارزمية أخرى أبسط. أولا، دعونا نحدد المصطلحات:

تسمى النقطة x 0 بالنقطة القصوى للدالة f(x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض أحياء هذه النقطة: f(x 0) ≥ f(x).
تُسمى النقطة x 0 بالنقطة الدنيا للدالة f(x) إذا كانت المتباينة التالية موجودة في بعض أحياء هذه النقطة: f(x 0) ≥ f(x).

من أجل العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط من الرسم البياني المشتق، ما عليك سوى اتباع الخطوات التالية:

إعادة رسم الرسم البياني المشتق، وإزالة كافة المعلومات غير الضرورية. كما تظهر الممارسة، فإن البيانات غير الضرورية تتداخل فقط مع القرار. لذلك نلاحظ على محور الإحداثياتأصفار المشتقة - هذا كل شيء.
تعرف على علامات المشتقة على الفترات بين الأصفار. إذا كان من المعروف بالنسبة لنقطة ما x 0 أن f'(x 0) ≠ 0، فمن الممكن وجود خيارين فقط: f'(x 0) ≥ 0 أو f'(x 0) ≥ 0. علامة المشتق هي من السهل تحديده من الرسم الأصلي: إذا كان الرسم البياني المشتق يقع فوق محور OX، فإن f'(x) ≥ 0. والعكس صحيح، إذا كان الرسم البياني المشتق يقع أسفل محور OX، فإن f'(x) ≥ 0.
نتحقق من الأصفار وعلامات المشتق مرة أخرى. حيث تتغير العلامة من ناقص إلى زائد هي النقطة الدنيا. وعلى العكس من ذلك، إذا تغيرت إشارة المشتقة من موجب إلى ناقص، فهذه هي النقطة القصوى. يتم العد دائمًا من اليسار إلى اليمين.

يعمل هذا المخطط فقط للوظائف المستمرة - ولا يوجد مخططات أخرى في المشكلة B9.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−5; 5]. أوجد النقطة الصغرى للدالة f(x) على هذا المقطع.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية ونترك فقط الحدود [−5; 5] وأصفار المشتقة x = −3 و x = 2.5. ونلاحظ أيضًا العلامات:

من الواضح أنه عند النقطة x = −3 تتغير إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد. هذه هي النقطة الدنيا.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−3; 7]. أوجد النقطة القصوى للدالة f(x) على هذا المقطع.

دعونا نعيد رسم الرسم البياني، مع ترك الحدود فقط [−3; 7] وأصفار المشتق x = −1.7 و x = 5. دعونا نلاحظ علامات المشتق على الرسم البياني الناتج. لدينا:

من الواضح أنه عند النقطة x = 5 تتغير إشارة المشتقة من الموجب إلى الناقص - وهذه هي النقطة القصوى.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−6; 4]. أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f(x) التي تنتمي إلى المقطع [−4; 3].

يترتب على شروط المشكلة أنه يكفي النظر فقط في جزء الرسم البياني المحدود بالمقطع [−4؛ 3]. لذلك، قمنا ببناء رسم بياني جديد نضع عليه الحدود فقط [−4; 3] وأصفار المشتق بداخله. وهي النقاط x = −3.5 و x = 2. نحصل على:

يوجد في هذا الرسم البياني نقطة عظمى واحدة فقط x = 2. وعند هذه النقطة تتغير إشارة المشتق من زائد إلى ناقص.

ملاحظة صغيرة حول النقاط ذات الإحداثيات غير الصحيحة. على سبيل المثال، في المسألة الأخيرة تم أخذ النقطة x = −3.5 في الاعتبار، ولكن بنفس النجاح يمكننا أن نأخذ x = −3.4. إذا كانت المشكلة مكتوبة بشكل صحيح، فإن مثل هذه التغييرات يجب ألا تؤثر على الإجابة، لأن النقاط "بدون". مكان محددالإقامة" لا تشارك بشكل مباشر في حل المشكلة. بالطبع، هذه الخدعة لن تنجح مع النقاط الصحيحة.

إيجاد فترات الدوال المتزايدة والتناقصية

في مثل هذه المشكلة، مثل الحد الأقصى والحد الأدنى من النقاط، يُقترح استخدام الرسم البياني المشتق للعثور على المناطق التي تزيد فيها الوظيفة نفسها أو تنقص. أولاً دعونا نحدد ما هي الزيادة والتناقص:

يقال إن الدالة f(x) تتزايد على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≥ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . بمعنى آخر، كلما زادت قيمة الوسيطة، زادت قيمة الدالة.
يقال إن الدالة f(x) تتناقص على مقطع إذا كانت العبارة التالية صحيحة لأي نقطتين x 1 و x 2 من هذا المقطع: x 1 ≥ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . أولئك. تتوافق قيمة الوسيطة الأكبر مع قيمة دالة أصغر.

دعونا صياغة ظروف كافيةتصاعدي وتنازلي:

بغرض وظيفة مستمرةتزداد f(x) على القطعة فيكفي أن تكون مشتقتها داخل القطعة موجبة أي و '(خ) ≥ 0.
لكي تتناقص الدالة المستمرة f(x) على القطعة، يكفي أن تكون مشتقتها داخل القطعة سالبة، أي. و '(خ) ≥ 0.

فلنقبل هذه الاقوال بدون دليل. وبالتالي، نحصل على مخطط للعثور على فترات الزيادة والنقصان، والذي يشبه في كثير من النواحي خوارزمية حساب النقاط القصوى:

قم بإزالة كافة المعلومات غير الضرورية. في الرسم البياني الأصلي للمشتقة، نحن مهتمون في المقام الأول بأصفار الدالة، لذلك سنتركها فقط.
قم بتمييز علامات المشتق عند الفواصل بين الأصفار. حيث f’(x) ≥ 0، تزداد الدالة، وحيثما f’(x) ≥ 0، فإنها تنخفض. إذا كانت المشكلة تضع قيودًا على المتغير x، فإننا نقوم أيضًا بوضع علامة عليها على رسم بياني جديد.
الآن بعد أن عرفنا سلوك الدالة والقيود، يبقى حساب الكمية المطلوبة في المشكلة.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x) المحددة في الفاصل الزمني [−3; 7.5]. أوجد فترات تناقص الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى مجموع الأعداد الصحيحة المضمنة في هذه الفترات.

كالعادة، دعونا نعيد رسم الرسم البياني ونحدد الحدود [−3; 7.5]، وكذلك أصفار المشتق x = −1.5 و x = 5.3. ثم نلاحظ علامات المشتقة. لدينا:

بما أن المشتقة سالبة على الفترة (− 1.5)، فهذه هي فترة الدالة المتناقصة. يبقى جمع كل الأعداد الصحيحة الموجودة داخل هذا الفاصل الزمني:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

مهمة. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقة الدالة f(x)، المحددة في الفاصل الزمني [−10; 4]. أوجد فترات زيادة الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى طول أكبرها.

دعونا نتخلص من المعلومات غير الضرورية. دعونا نترك فقط الحدود [−10؛ 4] وأصفار المشتقة، والتي كان هناك أربعة منها هذه المرة: x = −8، x = −6، x = −3 و x = 2. لنضع علامات على المشتق ونحصل على الصورة التالية:

نحن مهتمون بفترات زيادة الوظيفة، أي. مثل حيث f'(x) ≥ 0. هناك فترتان من هذا القبيل على الرسم البياني: (−8; −6) و (−3; 2). دعونا نحسب أطوالهم:
ل 1 = − 6 − (−8) = 2;
ل 2 = 2 − (−3) = 5.

وبما أننا نحتاج إلى إيجاد طول أكبر الفترات، فإننا نكتب القيمة l 2 = 5 كإجابة.

عملية إيجاد المشتق تسمى التمايز.

نتيجة لحل مشاكل إيجاد مشتقات أبسط الدوال (وغير البسيطة) من خلال تعريف المشتق بأنه حد نسبة الزيادة إلى زيادة الوسيطة، ظهر جدول المشتقات وبالضبط قواعد معينةالتفاضل. أول من عمل في مجال إيجاد المشتقات هما إسحاق نيوتن (1643-1727) وجوتفريد فيلهلم لايبنتز (1646-1716).

لذلك، في عصرنا هذا، للعثور على مشتقة أي دالة، لا تحتاج إلى حساب الحد المذكور أعلاه لنسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، ولكن ما عليك سوى استخدام جدول المشتقات وقواعد التفاضل. الخوارزمية التالية مناسبة للعثور على المشتق.

للعثور على المشتقة، أنت بحاجة إلى تعبير تحت العلامة الأولية تقسيم الوظائف البسيطة إلى مكوناتوتحديد ما هي الإجراءات (المنتج، المجموع، الحاصل)ترتبط هذه الوظائف. مزيد من المشتقات وظائف أوليةنجدها في جدول المشتقات، وصيغ مشتقات حاصل الضرب والمجموع والحاصل موجودة في قواعد التفاضل. يتم إعطاء الجدول المشتق وقواعد التمايز بعد المثالين الأولين.

مثال 1.أوجد مشتقة الدالة

حل. ومن قواعد التفاضل نجد أن مشتقة مجموع الدوال هي مجموع مشتقات الدوال، أي.

من جدول المشتقات نجد أن مشتقة "x" تساوي واحدًا، ومشتقة الجيب تساوي جيب التمام. نعوض بهذه القيم في مجموع المشتقات ونجد المشتقة التي يتطلبها شرط المشكلة:

مثال 2.أوجد مشتقة الدالة

حل. نشتق كمشتقة مجموع فيها الحد الثاني عامل ثابت ويمكن إخراجه من إشارة المشتقة:

إذا استمرت الأسئلة حول مصدر شيء ما، فعادةً ما يتم حلها بعد التعرف على جدول المشتقات وأبسط قواعد التفاضل. نحن ننتقل إليهم الآن.

جدول مشتقات الدوال البسيطة

1. مشتق من ثابت (رقم). أي رقم (1، 2، 5، 200...) موجود في تعبير الدالة. دائما يساوي الصفر. من المهم جدًا أن تتذكر ذلك، لأنه مطلوب في كثير من الأحيان
2. مشتق المتغير المستقل. في أغلب الأحيان "X". يساوي دائما واحدا. من المهم أيضًا أن نتذكر ذلك لفترة طويلة
3. مشتق الدرجة. عند حل المسائل، عليك تحويل الجذور غير التربيعية إلى قوى.
4. مشتق من متغير للقوة -1
5. المشتقة الجذر التربيعي
6. مشتق من الجيب
7. مشتق من جيب التمام
8. مشتق الظل
9. مشتق ظل التمام
10. مشتق من أركسين
11. مشتق من الأركوسين
12. مشتق من قوس الظل
13. مشتق ظل التمام القوسي
14. مشتق من اللوغاريتم الطبيعي
15. مشتق من دالة لوغاريتمية
16. مشتق الأس
17. مشتقة الدالة الأسية

قواعد التمايز

1. مشتق المجموع أو الفرق
2. مشتق من المنتج
2 أ. مشتق من التعبير مضروبا في عامل ثابت
3. مشتق الحاصل
4. مشتق من وظيفة معقدة

المادة 1.إذا كانت الوظائف

تكون قابلة للاشتقاق في مرحلة ما، وبالتالي تكون الوظائف قابلة للاشتقاق في نفس النقطة

أولئك. مشتقة المجموع الجبري للوظائف يساوي مجموع جبريمشتقات هذه الوظائف.

عاقبة. إذا اختلف دالتان قابلتان للتفاضل في حد ثابت، فإن مشتقاتهما متساوية، أي.

القاعدة 2.إذا كانت الوظائف

قابلة للاشتقاق في مرحلة ما، فإن منتجها يكون قابلاً للاشتقاق في نفس النقطة

أولئك. مشتقة منتج دالتين يساوي مجموع منتجات كل من هذه الوظائف ومشتقة الأخرى.

النتيجة الطبيعية 1. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المشتقة:

النتيجة الطبيعية 2. مشتق منتج عدة وظائف قابلة للتفاضل يساوي مجموع منتجات مشتق كل عامل وجميع العوامل الأخرى.

على سبيل المثال، لثلاثة مضاعفات:

القاعدة 3.إذا كانت الوظائف

قابلة للتمييز في مرحلة ما و , ثم في هذه المرحلة يكون حاصلهم قابلاً للتمييز أيضًاش / ت، و

أولئك. مشتقة خارج قسمة دالتين يساوي كسرًا، بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتقة البسط ومشتقة البسط ومشتقة المقام، والمقام هو مربع البسط السابق.

أين تبحث عن الأشياء على الصفحات الأخرى

عند العثور على مشتق المنتج والحاصل فيه مشاكل حقيقيةلذلك، من الضروري دائمًا تطبيق عدة قواعد للتمايز في وقت واحد مزيد من الأمثلةلهذه المشتقات - في المقال"مشتق المنتج وحاصل الوظائف".

تعليق.يجب ألا تخلط بين الثابت (أي الرقم) كمصطلح في المجموع وكعامل ثابت! وفي حالة المصطلح فإن مشتقته تساوي صفرًا، وفي الحالة عامل ثابتيتم إخراجه من علامة المشتقة. هذا خطأ نموذجي، والذي يحدث على المرحلة الأوليةدراسة المشتقات، ولكن عندما تحل العديد من الأمثلة المكونة من جزأين وجزأين، فإن الطالب العادي لم يعد يرتكب هذا الخطأ.

وإذا كان لديك مصطلح عند التفريق بين منتج أو حاصل قسمة ما ش"الخامس، بحيث ش- رقم مثلا 2 أو 5 أي ثابت، فإن مشتقة هذا الرقم ستكون تساوي صفر، وبالتالي فإن الحد بأكمله سيكون يساوي صفر (هذه الحالة تمت مناقشتها في المثال 10).

آخر خطأ عام - الحل الميكانيكيمشتق من وظيفة معقدة كمشتق من وظيفة بسيطة. لهذا مشتق من وظيفة معقدةتم تخصيص مقالة منفصلة. ولكن أولا سوف نتعلم كيفية العثور على المشتقات وظائف بسيطة.

على طول الطريق، لا يمكنك الاستغناء عن تحويل التعبيرات. للقيام بذلك، قد تحتاج إلى فتح الدليل في نوافذ جديدة. الأفعال ذات القوى والجذورو العمليات مع الكسور .

إذا كنت تبحث عن حلول لمشتقات الكسور ذات القوى والجذور، أي عندما تبدو الدالة ثم اتبع الدرس "اشتقاق مجموع الكسور ذات القوى والجذور".

إذا كان لديك مهمة مثل ثم ستأخذ درس "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة".

أمثلة خطوة بخطوة - كيفية العثور على المشتق

مثال 3.أوجد مشتقة الدالة

حل. نحدد أجزاء تعبير الدالة: التعبير بأكمله يمثل منتجًا، وعوامله عبارة عن مجاميع، في الثاني منها يحتوي أحد الحدود على عامل ثابت. نطبق قاعدة تمايز المنتجات: مشتق منتج دالتين يساوي مجموع منتجات كل من هذه الوظائف بمشتقة الأخرى:

بعد ذلك، نطبق قاعدة اشتقاق المجموع: مشتق المجموع الجبري للدوال يساوي المجموع الجبري لمشتقات هذه الدوال. في حالتنا، في كل مجموع، يحتوي الحد الثاني على علامة ناقص. في كل مجموع نرى متغيرًا مستقلًا، مشتقته تساوي واحدًا، وثابتًا (رقمًا)، مشتقته تساوي صفرًا. إذن، "X" يتحول إلى واحد، وسالب 5 يتحول إلى صفر. في التعبير الثاني، يتم ضرب "x" في 2، لذلك نضرب اثنين في نفس وحدة مشتقة "x". نحصل على القيم المشتقة التالية:

نعوض بالمشتقات الموجودة في مجموع المنتجات ونحصل على مشتقة الدالة بأكملها التي تتطلبها حالة المشكلة:

مثال 4.أوجد مشتقة الدالة

حل. مطلوب منا إيجاد مشتقة حاصل القسمة. نطبق صيغة اشتقاق حاصل القسمة: مشتقة حاصل قسمة دالتين يساوي كسرًا بسطه هو الفرق بين حاصل ضرب المقام ومشتقة البسط والبسط ومشتقة المقام المقام، والمقام هو مربع البسط السابق. نحن نحصل:

لقد وجدنا بالفعل مشتقة العوامل في البسط في المثال 2. ولا ننسى أيضًا أن حاصل الضرب، وهو العامل الثاني في البسط في المثال الحالي، يؤخذ بعلامة الطرح:

إذا كنت تبحث عن حلول للمسائل التي تحتاج فيها إلى إيجاد مشتقة دالة، حيث يوجد كومة متواصلة من الجذور والقوى، مثل، على سبيل المثال، ، ثم مرحبًا بك في الفصل "مشتقة مجموع الكسور ذات القوى والجذور" .

إذا كنت بحاجة لمعرفة المزيد عن مشتقات الجيب وجيب التمام والظلال وغيرها الدوال المثلثية، أي عندما تبدو الوظيفة ، ثم درسا لك "مشتقات الدوال المثلثية البسيطة" .

مثال 5.أوجد مشتقة الدالة

حل. في هذه الدالة نرى حاصل الضرب، أحد عوامله هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل، مشتقته التي تعرفنا عليها في جدول المشتقات. باستخدام قاعدة اشتقاق المنتج والقيمة الجدولية لمشتق الجذر التربيعي، نحصل على:

مثال 6.أوجد مشتقة الدالة

حل. في هذه الدالة نرى حاصل القسمة الذي يكون مقسومه هو الجذر التربيعي للمتغير المستقل. باستخدام قاعدة اشتقاق خارج القسمة التي كررناها وطبقناها في المثال 4، والقيمة الجدولية لمشتقة الجذر التربيعي، نحصل على:

للتخلص من الكسر في البسط، اضرب البسط والمقام ب .

الاستمرارية والتفاضلية للوظيفة.

نظرية داربوكس . فترات من الرتابة.

نقاط حرجة . أقصى (الحد الأدنى، أقصى).

تصميم دراسة الوظيفة

العلاقة بين الاستمرارية والتمايز للوظيفة. إذا كانت الدالة f(س)قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، ثم تكون مستمرة عند تلك النقطة. والعكس ليس صحيحا: قد لا يكون للدالة المستمرة مشتقة.

توضيح. إذا كانت الوظيفة متقطعة في مرحلة ما، ثم ليس له مشتق في هذه المرحلة.

علامات كافية على رتابة الوظيفة.

إذا و’(س) > 0 في كل نقطة من الفاصل الزمني (أ، ب), ثم الدالة f (س)يزيد خلال هذه الفترة.

إذا و’(س) < 0 في كل نقطة من الفاصل الزمني (أ، ب) ، ثم الدالة f(س)يتناقص في هذه الفترة.

نظرية داربوكس. النقاط التي يكون فيها مشتق الدالة 0أو غير موجودة، فإنها تقسم مجال تعريف الدالة إلى فترات يحتفظ خلالها المشتق بإشارته.

وباستخدام هذه الفواصل يمكننا إيجاد فترات من الرتابةوظائف، وهو أمر مهم جدا عند دراستها.

وبالتالي، تزداد الدالة على مدى الفترات (- ، 0) و (1، + ) ويتناقص على الفاصل الزمني ( 0، 1). نقطة س= 0 لا يتم تضمينه في مجال تعريف الدالة، ولكن مع اقترابناسمصطلح ك0 س - 2 تزداد إلى ما لا نهاية، وبالتالي تزيد الدالة أيضًا إلى ما لا نهاية. عند هذه النقطةس= 1 قيمة الدالة هي 3. وفقا لهذا التحليل يمكننا النشررسم بياني للوظيفة (الشكل 4 ب ) .

نقاط حرجة. النقاط الداخلية للمجال الوظيفي،بحيث المشتق يساويفارغة أو غير موجودة، وتسمى شديد الأهمية النقاطهذه الوظيفة. هذه النقاط مهمة جدًا عند تحليل الدالة ورسم الرسم البياني الخاص بها، لأنه فقط في هذه النقاط يمكن أن تكون الدالة أقصى (الحد الأدنى أو أقصى , الشكل 5 أ,ب).

في نقاط س 1 , س 2 (الشكل 5 أ) و س 3 (الشكل 5 ب) المشتق هو 0؛ في النقاط س 1 , س 2 (الشكل 5 ب) مشتق غير موجود. لكنها كلها نقاط متطرفة.

شرط ضروري للأقصى. لو س 0 - النقطة القصوى للوظيفة F(س) والمشتقة f' موجودة عند هذه النقطة، ثم f'(س 0)= 0.

هذه النظرية ضروريالحالة القصوى. إذا كانت مشتقة الدالة عند نقطة ما تساوي 0،هذا لا يعني ذلك الدالة لها حد أقصى في هذه المرحلة. على سبيل المثال، مشتقة الدالةF (س) = س 3 يساوي 0 في س= 0، لكن هذه الدالة ليس لها حد أقصى عند هذه النقطة (الشكل 6).

ومن ناحية أخرى، الوظيفةذ = | س| ، الموضح في الشكل 3، له حد أدنى عند هذه النقطةس= 0، ولكن في هذه المرحلة المشتقة غير موجودة.

الظروف الكافية للأقصى.

إذا كان المشتق عند المرور بالنقطة x 0 يغير علامته من زائد إلى ناقص، ثمس 0 - النقطة القصوى.

إذا كان المشتق عند المرور بالنقطة x 0 يغير إشارته من ناقص إلى زائد، ثم x 0 - النقطة الدنيا.

تصميم دراسة الوظيفة لرسم دالة تحتاج إلى:

1) العثور على مجال التعريف ونطاق قيم الوظيفة،

2) تحديد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية

3) تحديد ما إذا كانت الوظيفة دورية أم لا،

4) ابحث عن أصفار الدالة وقيمها عندس = 0,

5) العثور على فترات من إشارة ثابتة،

6) العثور على فترات الرتابة،

7) العثور على النقاط القصوى وقيم الدالة في هذه النقاط،

8) تحليل سلوك الوظيفة بالقرب من النقاط "المفردة".

وعندما قيم كبيرةوحدةس .

مثال استكشف الميزةF(س) = س 3 + 2 س 2 - س- 2 ورسم الرسم البياني.

الحل دعونا ندرس الوظيفة حسب الرسم البياني أعلاه.

1) اِختِصاصسر (س- أي حقيقيرقم)؛

مدى من القيمذر ، لأن F (س) - كثير الحدود الغريب

درجات؛

2) الوظيفة F (س) ليست زوجية ولا فردية

(وضح من فضلك)؛

3) F (س) هي دالة غير دورية (أثبت ذلك بنفسك)؛

4) الرسم البياني للدالة يتقاطع مع المحوريعند النقطة (0، – 2)،

لأن F (0) = - 2 ; للعثور على أصفار الدالة التي تحتاجها

حل المعادلة:س 3 + 2 س 2 - س - 2 = 0، أحد الجذور

أيّ ( س= 1) واضح. الجذور الأخرى هي

(إذا كانوا! ) من حل المعادلة التربيعية:

س 2 + 3 س+ 2 = 0، والذي يتم الحصول عليه عن طريق قسمة كثيرة الحدود

س 3 + 2 س 2 - س- 2 لكل ذات الحدين ( س- 1). من السهل التحقق

ما الجذران الآخران:س 2 = - 2 و س 3 = - 1. وهكذا،

أصفار الدالة هي: - 2، - 1 و 1.

5) وهذا يعني أن محور العدد مقسوم على هذه الجذور

أربع فترات من ثبات الإشارة، من خلالها

تحتفظ الدالة بعلامتها:

ويمكن الحصول على هذه النتيجة عن طريق التوسع

كثير الحدود إلى عوامل:

س 3 + 2 س 2 - س - 2 = (س + 2) (س + 1 (س – 1)

وتقييم علامة العمل .

6) مشتق F' (س) = 3 س 2 + 4 س- 1 لا يوجد لديه النقاط التي

إنه غير موجود، لذا فإن مجال تعريفه هور (الجميع

الأعداد الحقيقية)؛ أصفارF' (س) هي جذور المعادلة:

3 س 2 + 4 س- 1 = 0 .

تم تلخيص النتائج التي تم الحصول عليها في الجدول:

عندما تقرر المهام المختلفةأصبحت الهندسة والميكانيكا والفيزياء وغيرها من فروع المعرفة ضرورية باستخدام نفس العملية التحليلية من هذه الوظيفة ص = و (س)يستلم ميزة جديدةمن اتصل وظيفة مشتقة(أو ببساطة مشتق) لدالة معينة f(x)ويتم تحديده بالرمز

العملية التي من خلالها من وظيفة معينة و (خ)الحصول على ميزة جديدة و" (خ)، مُسَمًّى التفاضلويتكون من الخطوات الثلاث التالية: 1) تقديم الحجة سزيادة راتب  سوتحديد الزيادة المقابلة للوظيفة  ص = و(س+ س) -و(خ); 2) تكوين علاقة

3) العد سثابت و  س0 نجد
، والتي نشير إليها و" (خ)، كما لو كان التأكيد على أن الوظيفة الناتجة تعتمد فقط على القيمة س، حيث نذهب إلى الحد الأقصى. تعريف: مشتق ص "=f" (خ) دالة معينة y=f(x) لx معينيسمى حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، بشرط أن تميل زيادة الوسيطة إلى الصفر، إذا كان هذا الحد موجودًا بالطبع، أي. محدود.
هكذا،

، أو سلاحظ أنه إذا كان لبعض القيمة ، على سبيل المثال متىس=أ
، سلوك  سفي 0 لا يميل إلىحد محدود و (خ)، ففي هذه الحالة يقولون أن الوظيفة ، على سبيل المثال متىفي ، على سبيل المثال متى(أو عند النقطة ، على سبيل المثال متى.

) ليس له مشتق أو غير قابل للاشتقاق عند هذه النقطة

2. المعنى الهندسي للمشتق.

و (خ)

خذ بعين الاعتبار الرسم البياني للدالة y = f (x)، القابلة للتمييز بالقرب من النقطة x 0

لنفكر في خط مستقيم عشوائي يمر عبر نقطة على الرسم البياني للدالة - النقطة A(x 0, f (x 0)) ويتقاطع مع الرسم البياني عند نقطة ما B(x;f(x)). ويسمى هذا الخط (AB) بالقاطع. من ∆ABC: AC = ∆x; قبل الميلاد =∆у; tgβ=∆y/∆x.

الآن سوف نقوم بتقليل ∆x، أي. ∆×→ 0. في هذه الحالة، ستقترب النقطة B من النقطة A وفقًا للرسم البياني، وسيدور القاطع AB. سيكون الموضع المحدد للقاطع AB عند ∆x→ 0 عبارة عن خط مستقيم (a)، يسمى ظل الرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة A.

إذا ذهبنا إلى النهاية كـ ∆x → 0 في المساواة tgβ = ∆y/∆x، نحصل على
ortg =f "(x 0)، منذ ذلك الحين
-زاوية ميل المماس للاتجاه الموجب لمحور الثور
، حسب تعريف المشتق. لكن tg = k هو المعامل الزاوي للظل، وهو ما يعني k = tg = f "(x 0).

لذا فإن المعنى الهندسي للمشتق هو كما يلي:

مشتقة الدالة عند النقطة x 0 يساوي ميل المماس للرسم البياني للدالة المرسومة عند النقطة مع الإحداثي السيني x 0 .

3. المعنى المادي للمشتق.

النظر في حركة نقطة على طول خط مستقيم. دع إحداثيات النقطة في أي وقت x(t) تعطى. ومن المعروف (من مقرر الفيزياء) أن متوسط السرعة خلال فترة زمنية تساوي نسبة المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة الزمنية إلى الزمن، أي.

فاف = ∆x/∆t. دعنا نذهب إلى النهاية في المساواة الأخيرة مثل ∆t → 0.

ليم فاف (ر) = (ر 0) - سرعة لحظيةفي الوقت t 0، ∆t → 0.

و lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (حسب تعريف المشتق).

إذن، (t) =x"(t).

المعنى المادي للمشتق هو كما يلي: مشتق الوظيفةذ = F(س) عند نقطةس 0 هو معدل تغير الدالةF(خ) عند النقطةس 0

يتم استخدام المشتق في الفيزياء للعثور على السرعة من دالة معروفة للإحداثيات مقابل الوقت، والتسارع من دالة معروفة للسرعة مقابل الزمن.

(t) = x"(t) - السرعة،

أ(و) = "(ر) - التسارع، أو

إذا كان قانون حركة نقطة مادية في دائرة معروفًا، فيمكن إيجاد السرعة الزاوية و التسارع الزاويأثناء الحركة الدورانية:

φ = φ(t) - التغير في الزاوية مع مرور الوقت،

ω = φ"(ر) - السرعة الزاوية,

ε = φ"(t) - التسارع الزاوي، أو ε = φ"(t).

إذا كان قانون توزيع الكتلة للقضيب غير المتجانس معروفًا، فيمكن إيجاد الكثافة الخطية للقضيب غير المتجانس:

م = م(س) - الكتلة،

x  , l - طول القضيب،

ع = م"(س) - الكثافة الخطية.

باستخدام المشتقة، يتم حل المسائل من نظرية المرونة والاهتزازات التوافقية. لذلك، وفقا لقانون هوك

F = -kx، x - الإحداثيات المتغيرة، k - معامل مرونة الزنبرك. وبوضع ω 2 =k/m، نحصل على المعادلة التفاضلية للبندول الزنبركي x"(t) + ω 2 x(t) = 0،

حيث ω = √k/√m تردد التذبذب (l/c)، k - صلابة الزنبرك (H/m).

معادلة من الشكل y" + ω 2 y = 0 تسمى معادلة التذبذبات التوافقية (الميكانيكية، الكهربائية، الكهرومغناطيسية). حل هذه المعادلات هو الدالة

y = Asin(ωt + φ 0) أو y = Acos(ωt + φ 0)، حيث

أ - سعة التذبذبات، ω - التردد الدوري،

φ 0 - المرحلة الأولية.