Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét chi tiết cách phân số giảm. Đầu tiên, hãy thảo luận về cái được gọi là rút gọn một phân số. Sau đó, chúng ta hãy nói về việc khử một phân số có thể rút gọn thành dạng tối giản. Tiếp theo, chúng ta sẽ thu được quy tắc rút gọn phân số và cuối cùng, xem xét các ví dụ về việc áp dụng quy tắc này.
Điều hướng trang.
Việc giảm một phần có nghĩa là gì?
Chúng ta biết rằng các phân số thông thường được chia thành các phân số tối giản và tối giản. Từ tên bạn có thể đoán rằng các phân số tối giản có thể rút gọn được, nhưng phân số tối giản thì không.
Việc giảm một phần có nghĩa là gì? Giảm một phần- điều này có nghĩa là chia tử số và mẫu số của nó cho số dương và khác với đơn vị của chúng. Rõ ràng là do giảm phân số chúng ta nhận được phân số mới với tử số và mẫu số nhỏ hơn, và do tính chất cơ bản của phân số nên phân số thu được bằng phân số ban đầu.
Ví dụ: hãy rút gọn phân số chung 8/24 bằng cách chia tử số và mẫu số của nó cho 2. Nói cách khác, hãy giảm phân số 8/24 xuống 2. Vì 8:2=4 và 24:2=12 nên sự rút gọn này dẫn đến phân số 4/12, bằng phân số ban đầu 8/24 (xem phân số bằng nhau và không bằng nhau). Kết quả là chúng ta có .
Rút gọn các phân số thông thường về dạng tối giản
Thường xuyên mục tiêu cuối cùng Rút gọn một phân số là thu được một phân số tối giản bằng với phân số tối giản ban đầu. Mục tiêu này có thể đạt được bằng cách giảm phân số tối giản ban đầu bằng tử số và mẫu số của nó. Kết quả của việc giảm như vậy luôn thu được một phần không thể giảm được. Thật vậy, một phần 
là không thể rút gọn được, vì đã biết rằng 
Và 
- . Ở đây chúng ta sẽ nói rằng ước số chung lớn nhất của tử số và mẫu số của một phân số là số lớn nhất mà phân số này có thể rút gọn được.
Vì thế, rút gọn một phân số chung về dạng tối giản bao gồm việc chia tử số và mẫu số của phân số tối giản ban đầu cho gcd của chúng.
Hãy xem một ví dụ, trong đó chúng ta quay lại phân số 8/24 và rút gọn nó bằng ước số chung lớn nhất của các số 8 và 24, bằng 8. Vì 8:8=1 và 24:8=3 nên chúng ta có phân số tối giản 1/3. Vì thế, .
Lưu ý rằng cụm từ “rút gọn một phân số” thường có nghĩa là rút gọn phân số ban đầu về dạng tối giản của nó. Nói cách khác, việc rút gọn một phân số thường có nghĩa là chia tử số và mẫu số cho ước chung lớn nhất của chúng (chứ không phải chia cho ước chung nào).
Làm thế nào để giảm một phần? Quy tắc và ví dụ về việc giảm phân số
Tất cả những gì còn lại là xem xét quy tắc rút gọn phân số, giải thích cách rút gọn phân số đã cho.
Quy tắc rút gọn phân số gồm có hai bước:
- đầu tiên tìm gcd của tử số và mẫu số của phân số;
- thứ hai, tử số và mẫu số của phân số được chia cho gcd của chúng, được kết quả phân số không thể rút gọn, bằng với bản gốc.
Hãy sắp xếp nó ra ví dụ về giảm một phần theo đúng quy định đã nêu.
Ví dụ.
Giảm phân số 182/195.
Giải pháp.
Chúng ta hãy thực hiện cả hai bước theo quy tắc rút gọn một phân số.
Đầu tiên chúng ta tìm GCD(182, 195) . Thuận tiện nhất là sử dụng thuật toán Euclide (xem): 195=182·1+13, 182=13·14, tức là GCD(182, 195)=13.
Bây giờ chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số 182/195 cho 13 và chúng ta thu được phân số tối giản 14/15, bằng với phân số ban đầu. Điều này hoàn thành việc giảm phân số.
Tóm lại, lời giải có thể được viết như sau: .
Trả lời:
Đây là nơi chúng ta có thể hoàn thành việc giảm phân số. Nhưng để hoàn thiện bức tranh, chúng ta hãy xem xét thêm hai cách rút gọn phân số, thường được sử dụng trong những trường hợp dễ.
Đôi khi việc tử số và mẫu số của phân số bị rút gọn không hề khó khăn. Việc rút gọn một phân số trong trường hợp này rất đơn giản: bạn chỉ cần loại bỏ tất cả các thừa số chung khỏi tử số và mẫu số.
Điều đáng chú ý là phương pháp này tuân theo trực tiếp quy tắc rút gọn phân số, vì tích của tất cả các thừa số nguyên tố chung của tử số và mẫu số bằng ước số chung lớn nhất của chúng.
Hãy xem giải pháp cho ví dụ.
Ví dụ.
Giảm phân số 360/2 940.
Giải pháp.
Hãy mở rộng tử số và mẫu số thành thừa số nguyên tố: 360=2·2·2·3·3·5 và 2 940=2·2·3·5·7·7. Như vậy, 
.
Bây giờ chúng ta loại bỏ các thừa số chung trong tử số và mẫu số; để thuận tiện, chúng ta chỉ cần gạch bỏ chúng: 
.
Cuối cùng, chúng ta nhân các thừa số còn lại: , và quá trình khử phân số đã hoàn thành.
Dưới đây là một bản tóm tắt ngắn gọn về giải pháp: 
.
Trả lời:
Hãy xem xét một cách khác để rút gọn một phân số, bao gồm phép rút gọn tuần tự. Ở đây, ở mỗi bước, phân số được rút gọn bởi một ước chung nào đó của tử số và mẫu số, điều này hiển nhiên hoặc dễ dàng xác định bằng cách sử dụng
Nó dựa trên tính chất chính của chúng: nếu tử số và mẫu số của một phân số được chia cho cùng một đa thức khác 0 thì sẽ thu được một phân số bằng nhau.
Bạn chỉ có thể giảm số nhân!
Các thành viên của đa thức không thể viết tắt được!
Để rút ngắn phân số đại số, các đa thức ở tử số và mẫu số trước tiên phải được phân tích thành nhân tử.
Hãy xem xét các ví dụ về việc giảm phân số.
Tử số và mẫu số của phân số đều chứa các đơn thức. Họ đại diện công việc(số, biến và lũy thừa của chúng), phép nhân chúng ta có thể giảm bớt.
Chúng ta rút gọn các số bằng ước số chung lớn nhất của chúng, nghĩa là bằng số lớn nhất, theo đó mỗi số này được chia. Đối với 24 và 36, đây là 12. Sau khi giảm, 2 vẫn là 24 và 3 là 36.
Chúng tôi giảm độ theo mức độ có chỉ số thấp nhất. Rút gọn một phân số có nghĩa là chia tử số và mẫu số cho cùng một ước số rồi trừ các số mũ.
a² và a⁷ được giảm xuống a². Trong trường hợp này, một vẫn ở tử số của a² (ta chỉ viết 1 trong trường hợp sau khi rút gọn không còn thừa số nào khác. Từ 24 còn lại 2 nên ta không viết a2 còn 1). Từ a⁷ sau khi giảm còn lại a⁵.
b và b được giảm đi b; đơn vị thu được không được viết.
c³º và c⁵ được rút ngắn thành c⁵. Từ c³º những gì còn lại là c²⁵, từ c⁵ là một (chúng tôi không viết nó). Như vậy,
Tử số và mẫu số của phân số đại số này là đa thức. Bạn không thể hủy bỏ các số hạng của đa thức! (bạn không thể giảm, ví dụ: 8x² và 2x!). Để giảm phần này, bạn cần . Tử số có số nhân chung 4x. Hãy lấy nó ra khỏi ngoặc:
Cả tử số và mẫu số đều có cùng thừa số (2x-3). Chúng tôi giảm phân số theo hệ số này. Ở tử số ta có 4x, ở mẫu số - 1. Theo 1 tính chất của phân số đại số, phân số này bằng 4x.
Bạn chỉ có thể giảm các thừa số (bạn không thể giảm phân số này xuống 25x²!). Vì vậy, các đa thức ở tử số và mẫu số của phân số phải được phân tích thành nhân tử.
Trong tử số - hình vuông hoàn hảo tổng, mẫu số là hiệu của các bình phương. Sau khi phân tách bằng các công thức nhân rút gọn, chúng ta thu được:
Chúng ta giảm phân số xuống (5x+1) (để làm điều này, gạch bỏ hai số trong tử số dưới dạng số mũ, để lại (5x+1)² (5x+1)):
Tử số có ước chung là 2, hãy bỏ nó ra khỏi ngoặc. Mẫu số là công thức tính hiệu của các lập phương:
Do việc khai triển, tử số và mẫu số nhận được cùng một thừa số (9+3a+a2). Chúng tôi giảm phân số bằng nó:
Đa thức ở tử số gồm 4 số hạng. số hạng đầu tiên với số hạng thứ hai, số hạng thứ ba với số hạng thứ tư và loại bỏ hệ số chung x2 khỏi dấu ngoặc đơn đầu tiên. Chúng ta phân tách mẫu số bằng công thức tổng lập phương:
Trong tử số, hãy lấy hệ số chung (x+2) ra khỏi ngoặc:
Giảm phân số bằng (x+2):
Phân số và sự rút gọn của chúng là một chủ đề khác bắt đầu ở lớp 5. Ở đây cơ sở của hành động này được hình thành và sau đó những kỹ năng này được kéo thành một sợi chỉ. toán cao hơn. Nếu học sinh không hiểu thì có thể học sinh đó có vấn đề về đại số. Vì vậy, tốt hơn hết bạn nên hiểu một số quy tắc một lần và mãi mãi. Và cũng hãy nhớ một điều cấm và không bao giờ vi phạm nó.
Phân số và sự rút gọn của nó
Mọi học sinh đều biết nó là gì. Hai chữ số bất kỳ nằm giữa đường ngang ngay lập tức được coi là một phân số. Tuy nhiên, không phải ai cũng hiểu rằng con số nào cũng có thể trở thành như vậy. Nếu nó là một số nguyên thì nó luôn có thể chia cho một và khi đó bạn sẽ nhận được một phân số không chính xác. Nhưng nhiều hơn về điều đó sau.
Sự khởi đầu luôn đơn giản. Đầu tiên bạn cần tìm ra cách rút ngắn phân số đúng. Đó là, một trong đó tử số nhỏ hơn mẫu số. Để làm được điều này, bạn cần nhớ tính chất cơ bản của phân số. Nó nói rằng khi nhân (cũng như chia) tử số và mẫu số của nó cùng một lúc cùng một số hóa ra nó là một phân số tương đương với phân số ban đầu.
Các hành động phân chia được thực hiện trên thuộc tính này và dẫn đến giảm bớt. Đó là, để đơn giản hóa nó càng nhiều càng tốt. Một phân số có thể rút gọn miễn là có các thừa số chung ở trên và dưới đường thẳng. Khi chúng không còn ở đó nữa thì việc giảm bớt là không thể. Và họ nói rằng phân số này là tối giản.
Hai cách
1.Giảm dần từng bước. Nó sử dụng một phương pháp ước tính trong đó cả hai số được chia cho hệ số chung tối thiểu mà học sinh nhận thấy. Nếu sau lần co đầu tiên thấy rõ đây chưa phải là kết thúc thì sự phân chia vẫn tiếp tục. Cho đến khi phân số trở nên tối giản.
2. Tìm số lớn nhất ước số chungở tử số và mẫu số.Đây là nhiều nhất cách hợp lý cách giảm phân số. Nó liên quan đến việc phân tích tử số và mẫu số thành thừa số nguyên tố. Trong số đó, sau đó bạn cần phải chọn tất cả những cái giống nhau. Tích của họ sẽ cho ước số chung lớn nhất để rút gọn phân số.
Cả hai phương pháp này đều tương đương. Học sinh được khuyến khích thành thạo chúng và sử dụng thứ mình thích nhất.
Nếu có các chữ cái và các phép tính cộng trừ thì sao?
Phần đầu tiên của câu hỏi ít nhiều rõ ràng. Các chữ cái có thể được viết tắt giống như các con số. Điều chính là họ hoạt động như số nhân. Nhưng nhiều người gặp vấn đề với cái thứ hai.
Điều quan trọng cần nhớ! Bạn chỉ có thể giảm những con số là thừa số. Nếu đó là những lời triệu tập thì điều đó là không thể.
Để hiểu cách rút gọn phân số của dạng biểu thức đại số, bạn cần phải học quy tắc. Đầu tiên, biểu diễn tử số và mẫu số dưới dạng tích. Sau đó bạn có thể giảm bớt nếu xuất hiện các yếu tố chung. Để biểu diễn nó dưới dạng số nhân, các kỹ thuật sau đây rất hữu ích:
- phân nhóm;
- dấu ngoặc đơn;
- ứng dụng của phép nhân rút gọn.
Hơn thế nữa phương pháp cuối cùng cho phép thu được ngay các số hạng dưới dạng số nhân. Do đó, nó phải luôn được sử dụng nếu có thể nhìn thấy một mẫu đã biết.
Nhưng điều này vẫn chưa đáng sợ, khi đó những nhiệm vụ có trình độ và gốc gác sẽ xuất hiện. Đó là lúc bạn cần lấy hết can đảm và học một vài quy tắc mới.
Biểu hiện với mức độ
Phân số. Tử số và mẫu số là tích. Có chữ và số. Và chúng cũng được nâng lên thành một quyền lực, cũng bao gồm các điều khoản hoặc yếu tố. Có điều gì đó đáng sợ.
Để hiểu cách rút gọn phân số bằng lũy thừa, bạn cần học hai điều:
- nếu số mũ chứa một tổng thì nó có thể được phân tách thành các thừa số, lũy thừa của nó sẽ là số hạng ban đầu;
- nếu chênh lệch thì số bị chia và số chia, số thứ nhất có số mũ bị trừ, số thứ hai có số bị trừ.
Sau khi hoàn thành các bước này, tổng số nhân sẽ hiển thị. Trong những ví dụ như vậy không cần phải tính toán tất cả các lũy thừa. Chỉ cần giảm độ với cùng số mũ và cơ số là đủ.
Để cuối cùng thành thạo cách rút gọn phân số bằng lũy thừa, bạn cần thực hành rất nhiều. Sau một số ví dụ tương tự, các hành động sẽ được thực hiện tự động.
Điều gì xảy ra nếu biểu thức có chứa gốc?
Nó cũng có thể được rút ngắn. Chỉ một lần nữa, tuân theo các quy tắc. Hơn nữa, tất cả những điều được mô tả ở trên là đúng sự thật. Nói chung, nếu câu hỏi là làm thế nào để rút gọn một phân số có căn, thì bạn cần phải chia.
TRÊN biểu thức vô lý cũng có thể được chia. Nghĩa là, nếu tử số và mẫu số chứa các thừa số giống hệt nhau, được đặt dưới dấu căn thì chúng có thể được rút gọn một cách an toàn. Điều này sẽ đơn giản hóa biểu thức và hoàn thành nhiệm vụ.
Nếu sau khi rút gọn, số vô tỷ vẫn nằm dưới dòng phân số thì bạn cần loại bỏ nó. Nói cách khác, nhân tử số và mẫu số với nó. Nếu các yếu tố chung xuất hiện sau thao tác này, chúng sẽ cần phải được giảm bớt.
Đó có lẽ là tất cả về cách giảm phân số. Có rất ít quy tắc, nhưng chỉ có một điều cấm. Không bao giờ rút ngắn thời hạn!
Không biết cách rút gọn phân số và có kỹ năng giải nhất quán ví dụ tương tự Việc học đại số ở trường rất khó khăn. Càng đi xa thì càng nhiều kiến thức cơ bản về việc giảm phân số thông thường được áp đặt thông tin mới. Đầu tiên, lũy thừa xuất hiện, sau đó là thừa số, sau này trở thành đa thức.
Làm thế nào bạn có thể tránh bị nhầm lẫn ở đây? Củng cố kỹ lưỡng các kỹ năng trong các chủ đề trước và dần dần chuẩn bị kiến thức về cách rút gọn một phân số, việc này ngày càng trở nên phức tạp hơn theo từng năm.
Kiến thức cơ bản
Nếu không có chúng, bạn sẽ không thể hoàn thành nhiệm vụ ở mọi cấp độ. Để hiểu, bạn cần hiểu hai điều khoảnh khắc đơn giản. Đầu tiên: bạn chỉ có thể giảm các yếu tố. Sắc thái này hóa ra rất quan trọng khi đa thức xuất hiện ở tử số hoặc mẫu số. Khi đó bạn cần phân biệt rõ đâu là số nhân và đâu là phần cộng.
Điểm thứ hai nói rằng bất kỳ số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng thừa số. Hơn nữa, kết quả của phép rút gọn là một phân số mà tử số và mẫu số không thể rút gọn được nữa.
Quy tắc rút gọn phân số chung
Trước tiên, bạn nên kiểm tra xem tử số có chia hết cho mẫu số hay ngược lại. Vậy thì chính xác con số này cần phải giảm đi. Đây là lựa chọn đơn giản nhất.
Thứ hai là phân tích vẻ bề ngoài những con số. Nếu cả hai đều kết thúc bằng một hoặc nhiều số 0, chúng có thể được rút ngắn đi 10, 100 hoặc một nghìn. Ở đây bạn có thể nhận thấy các số có chẵn hay không. Nếu có, bạn có thể cắt nó làm đôi một cách an toàn.
Nguyên tắc thứ ba để rút gọn một phân số là phân tích tử số và mẫu số thành thừa số nguyên tố. Lúc này, bạn cần tích cực vận dụng mọi kiến thức về dấu chia hết của số. Sau quá trình phân tách này, tất cả những gì còn lại là tìm tất cả những cái lặp lại, nhân chúng và giảm chúng với số kết quả.
Điều gì sẽ xảy ra nếu có một biểu thức đại số trong một phân số?
Đây là nơi mà những khó khăn đầu tiên xuất hiện. Bởi vì đây là nơi xuất hiện các thuật ngữ có thể giống với các yếu tố. Tôi thực sự muốn giảm chúng, nhưng tôi không thể. Trước khi bạn có thể rút gọn một phân số đại số, nó phải được chuyển đổi để có thừa số.
Để làm điều này, bạn sẽ cần phải thực hiện một số bước. Bạn có thể cần phải xem qua tất cả chúng hoặc có thể cái đầu tiên sẽ cung cấp tùy chọn phù hợp.
Kiểm tra xem tử số và mẫu số hoặc bất kỳ biểu thức nào trong chúng có khác nhau về dấu hay không. Trong trường hợp này, bạn chỉ cần bỏ dấu trừ một trong dấu ngoặc. Điều này tạo ra các yếu tố bằng nhau có thể được giảm bớt.
Xem liệu có thể loại bỏ hệ số chung khỏi đa thức ra khỏi dấu ngoặc hay không. Có lẽ điều này sẽ dẫn đến dấu ngoặc đơn, cũng có thể được rút ngắn hoặc nó sẽ là một đơn thức bị loại bỏ.
Cố gắng nhóm các đơn thức để sau đó thêm một yếu tố chung cho chúng. Sau đó, có thể sẽ có những yếu tố có thể được giảm bớt hoặc một lần nữa việc đóng khung các yếu tố chung sẽ được lặp lại.
Cố gắng xem xét các công thức nhân viết tắt bằng văn bản. Với sự giúp đỡ của họ, bạn có thể dễ dàng chuyển đổi đa thức thành thừa số.
Trình tự thực hiện các phép tính với phân số có lũy thừa
Để dễ dàng hiểu được câu hỏi làm thế nào để rút gọn một phân số có lũy thừa, bạn cần nhớ chắc các thao tác cơ bản với chúng. Việc đầu tiên trong số này có liên quan đến sự nhân lên của sức mạnh. Trong trường hợp này, nếu cơ sở giống nhau thì phải bổ sung thêm các chỉ số.
Thứ hai là sự phân chia. Một lần nữa, đối với những người có cùng lý do, các chỉ số sẽ cần phải được trừ đi. Hơn nữa, bạn cần phải trừ đi số có trong cổ tức chứ không phải ngược lại.
Thứ ba là lũy thừa. Trong tình huống này, các chỉ số được nhân lên.
Việc giảm thành công cũng sẽ đòi hỏi khả năng chuyển đổi độ thành trên cùng một cơ sở. Nghĩa là, để thấy rằng bốn là hai bình phương. Hoặc 27 - khối ba. Bởi vì việc giảm 9 bình phương và 3 lập phương là điều khó khăn. Nhưng nếu chúng ta chuyển đổi biểu thức đầu tiên thành (3 2) 2 thì quá trình rút gọn sẽ thành công.
Nếu cần chia 497 cho 4 thì khi chia chúng ta sẽ thấy 497 không chia hết cho 4, tức là phần còn lại của phép chia còn lại. Trong những trường hợp như vậy người ta nói rằng nó đã hoàn thành phép chia có số dư, và lời giải được viết như sau:
497: 4 = 124 (1 dư).
Các thành phần của phép chia ở vế trái của đẳng thức được gọi giống như phép chia không có phần dư: 497 - cổ tức, 4 - dải phân cách. Kết quả của phép chia khi chia cho số dư được gọi là riêng tư không đầy đủ. Trong trường hợp của chúng tôi, đây là số 124. Và cuối cùng, thành phần cuối cùng không có trong phép chia thông thường, - phần còn lại. Trường hợp không có số dư thì số này chia cho số khác không có dấu vết hoặc hoàn toàn. Người ta tin rằng với sự phân chia như vậy phần còn lại bằng 0. Trong trường hợp của chúng tôi, phần còn lại là 1.
Phần còn lại luôn là nhỏ hơn số chia.
Phép chia có thể được kiểm tra bằng phép nhân. Ví dụ: nếu có đẳng thức 64: 32 = 2 thì việc kiểm tra có thể được thực hiện như sau: 64 = 32 * 2.
Thông thường trong trường hợp thực hiện phép chia có số dư, việc sử dụng đẳng thức sẽ thuận tiện hơn
a = b * n + r,
trong đó a là số bị chia, b là số chia, n là thương không đầy đủ, r là số dư.
Thương của các số tự nhiên có thể viết được dưới dạng phân số.
Tử số của một phân số là số bị chia, mẫu số là ước số.
Vì tử số của một phân số là số bị chia, mẫu số là ước số nên tin rằng dòng của một phân số có nghĩa là hành động chia. Đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi viết phép chia dưới dạng phân số mà không cần sử dụng dấu ://.
Thương số của phép chia số tự nhiên m và n có thể được viết dưới dạng phân số \(\frac(m)(n) \), trong đó tử số m là số bị chia và mẫu số n là ước số:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Các quy tắc sau đây là đúng:
Để có được phân số \(\frac(m)(n)\), bạn cần chia một cho n phần bằng nhau(chia sẻ) và lấy m phần như vậy.
Để có được phân số \(\frac(m)(n)\), bạn cần chia số m cho số n.
Để tìm một phần của tổng thể, bạn cần chia số tương ứng với tổng thể cho mẫu số và nhân kết quả với tử số của phân số biểu thị phần này.
Để tìm tổng thể từ phần của nó, bạn cần chia số tương ứng với phần này cho tử số và nhân kết quả với mẫu số của phân số biểu thị phần này.
Nếu nhân cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số (trừ 0) thì giá trị của phân số đó không thay đổi:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số được chia cho cùng một số (trừ 0) thì giá trị của phân số đó không thay đổi:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Thuộc tính này được gọi là tính chất cơ bản của phân số.
Hai chuyển đổi mới nhất gọi điện giảm một phần.
Nếu các phân số cần được biểu diễn dưới dạng phân số có cùng mẫu số thì hành động này được gọi giảm phân số thành mẫu số chung .
Phân số đúng và không đúng. Hỗn số
Bạn đã biết rằng có thể thu được một phân số bằng cách chia tổng thể thành các phần bằng nhau và lấy một số phần như vậy. Ví dụ: phân số \(\frac(3)(4)\) có nghĩa là 3/4 của một. Trong nhiều bài toán ở đoạn trước, phân số được dùng để biểu diễn các phần của tổng thể. Ý thức chung gợi ý rằng phần này phải luôn nhỏ hơn phần toàn bộ, nhưng còn các phân số chẳng hạn như \(\frac(5)(5)\) hoặc \(\frac(8)(5)\) thì sao? Rõ ràng đây không còn là một phần của đơn vị nữa. Đây có lẽ là lý do tại sao các phân số có tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số được gọi là phân số không đúng. Các phân số khác, tức là các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số, gọi điện phân số đúng.
Như bạn đã biết, bất kỳ phân số chung, cả đúng và sai, đều có thể được coi là kết quả của việc chia tử số cho mẫu số. Vì vậy, trong toán học, không giống như ngôn ngữ thông thường, thuật ngữ “phân số không chính xác” không có nghĩa là chúng ta đã làm sai điều gì đó mà chỉ là tử số của phân số này lớn hơn hoặc bằng mẫu số.
Nếu một số gồm một phần nguyên và một phân số thì các phân số được gọi là hỗn hợp.
Ví dụ:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 là phần nguyên và \(\frac(2)(3) \) là phần phân số.
Nếu tử số của phân số \(\frac(a)(b) \) chia hết cho số tự nhiên n, thì để chia phân số này cho n, tử số của nó phải chia cho số này:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Nếu tử số của phân số \(\frac(a)(b)\) không chia hết cho số tự nhiên n, thì để chia phân số này cho n, bạn cần nhân mẫu số của nó với số này:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Lưu ý rằng quy tắc thứ hai cũng đúng khi tử số chia hết cho n. Do đó, chúng ta có thể sử dụng nó khi thoạt nhìn khó xác định tử số của một phân số có chia hết cho n hay không.
Các hành động với phân số. Cộng các phân số.
Với các số phân số, cũng như với số tự nhiên, bạn có thể làm các phép tính số học. Trước tiên hãy xem xét việc thêm phân số. Dễ dàng thêm phân số với cùng mẫu số. Ví dụ: chúng ta hãy tìm tổng của \(\frac(2)(7)\) và \(\frac(3)(7)\). Dễ hiểu rằng \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần cộng các tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.
Sử dụng các chữ cái, quy tắc cộng các phân số cùng mẫu số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Nếu bạn cần thêm phân số với mẫu số khác nhau, thì trước tiên chúng phải được đưa về mẫu số chung. Ví dụ:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Đối với phân số, cũng như đối với số tự nhiên, giao hoán và tính chất kết hợp phép cộng.
Cộng các phân số hỗn hợp
Các ký hiệu như \(2\frac(2)(3)\) được gọi phân số hỗn hợp. Trong trường hợp này, số 2 được gọi là toàn bộ phần phân số hỗn hợp và số \(\frac(2)(3)\) chính là phân số đó phần phân số. Mục \(2\frac(2)(3)\) được đọc như sau: “hai và hai phần ba”.
Khi chia số 8 cho số 3, bạn có thể nhận được hai câu trả lời: \(\frac(8)(3)\) và \(2\frac(2)(3)\). Chúng biểu thị cùng một số phân số, tức là \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Do đó, phân số không đúng \(\frac(8)(3)\) được biểu diễn dưới dạng hỗn số \(2\frac(2)(3)\). Trong những trường hợp như vậy người ta nói rằng phân số không chính xác nhấn mạnh toàn bộ phần.
Phép trừ phân số (phân số)
Phép trừ số phân số, giống như các số tự nhiên, được xác định dựa trên hành động của phép cộng: trừ một số khác khỏi một số có nghĩa là tìm một số mà khi cộng với số thứ hai sẽ cho kết quả là số đầu tiên. Ví dụ:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) vì \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Quy tắc trừ các phân số cùng mẫu số cũng tương tự như quy tắc cộng các phân số đó:
Để tìm sự khác biệt giữa các phân số có cùng mẫu số, bạn cần lấy tử số của phân số thứ nhất trừ tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số.
Sử dụng các chữ cái, quy tắc này được viết như thế này:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Nhân phân số
Để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng rồi viết tích đầu tiên làm tử số và tích thứ hai làm mẫu số.
Sử dụng các chữ cái, quy tắc nhân phân số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Sử dụng quy tắc đã xây dựng, bạn có thể nhân một phân số với một số tự nhiên, với một hỗn số và cũng có thể nhân các phân số hỗn hợp. Để làm điều này, bạn cần viết số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1, hỗn số - dưới dạng phân số không chính xác.
Kết quả của phép nhân phải được đơn giản hóa (nếu có thể) bằng cách rút gọn phân số và cô lập toàn bộ phần của phân số không đúng.
Đối với các phân số, cũng như đối với các số tự nhiên, các tính chất giao hoán và tổ hợp của phép nhân, cũng như tính chất phân phối của phép nhân so với phép cộng, đều có giá trị.
Chia phân số
Hãy lấy phân số \(\frac(2)(3)\) và “lật” nó, hoán đổi tử số và mẫu số. Chúng ta nhận được phân số \(\frac(3)(2)\). Phân số này được gọi là đảo ngược phân số \(\frac(2)(3)\).
Nếu bây giờ chúng ta “đảo ngược” phân số \(\frac(3)(2)\), chúng ta sẽ nhận được phân số ban đầu \(\frac(2)(3)\). Do đó, các phân số như \(\frac(2)(3)\) và \(\frac(3)(2)\) được gọi là nghịch đảo lẫn nhau.
Ví dụ: các phân số \(\frac(6)(5) \) và \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) và \(\frac (18 )(7)\).
Sử dụng các chữ cái lẫn nhau phân số nghịch đảo có thể được viết như sau: \(\frac(a)(b) \) và \(\frac(b)(a) \)
Rõ ràng là tích của các phân số nghịch đảo bằng 1. Ví dụ: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Sử dụng phân số nghịch đảo, bạn có thể giảm phép chia phân số thành phép nhân.
Quy tắc chia một phân số cho một phân số là:
Để chia một phân số cho một phân số khác, bạn cần nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.
Sử dụng các chữ cái, quy tắc chia phân số có thể được viết như sau:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Nếu số bị chia hoặc số bị chia là số tự nhiên hoặc phần hỗn hợp, thì để sử dụng quy tắc chia phân số, trước tiên nó phải được biểu diễn dưới dạng phân số không thực sự.