Bài học này là bài học đầu tiên trong loạt video về tích hợp. Trong đó, chúng ta sẽ phân tích thế nào là nguyên hàm của một hàm số, đồng thời nghiên cứu các phương pháp cơ bản để tính các nguyên hàm này.
Trên thực tế, không có gì phức tạp ở đây: về cơ bản, tất cả đều bắt nguồn từ khái niệm đạo hàm mà bạn hẳn đã quen thuộc.
Tôi sẽ lưu ý ngay rằng vì đây là bài học đầu tiên trong chủ đề mới, hôm nay sẽ không có đâu tính toán phức tạp và các công thức, nhưng những gì chúng ta học hôm nay sẽ tạo cơ sở cho các phép tính và cách xây dựng phức tạp hơn nhiều khi tính toán tích phân phức tạp và hình vuông.
Ngoài ra, khi bắt đầu nghiên cứu tích phân và tích phân nói riêng, chúng tôi ngầm cho rằng học sinh ít nhất đã quen thuộc với các khái niệm đạo hàm và ít nhất có các kỹ năng cơ bản trong việc tính toán chúng. Nếu không hiểu rõ điều này thì hoàn toàn không thể làm được gì trong hội nhập.
Tuy nhiên, đây là một trong những vấn đề phổ biến và nguy hiểm nhất. Thực tế là, khi bắt đầu tính nguyên hàm lần đầu tiên, nhiều học sinh nhầm lẫn chúng với đạo hàm. Kết quả là trong các kỳ thi và làm việc độc lập những sai lầm ngu ngốc và xúc phạm được thực hiện.
Vì vậy, bây giờ tôi sẽ không đưa ra một định nghĩa rõ ràng về nguyên hàm. Đổi lại, tôi khuyên bạn nên xem cách tính nó bằng một ví dụ cụ thể đơn giản.
Nguyên hàm là gì và nó được tính như thế nào?
Chúng tôi biết công thức này:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Đạo hàm này được tính đơn giản:
\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]
Chúng ta hãy xem xét cẩn thận biểu thức kết quả và thể hiện $((x)^(2))$:
\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]
Nhưng chúng ta có thể viết nó theo cách này, theo định nghĩa của đạo hàm:
\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]
Và bây giờ chú ý: những gì chúng ta vừa viết ra là định nghĩa của nguyên hàm. Nhưng để viết chính xác, bạn cần viết như sau:
Chúng ta hãy viết biểu thức sau theo cách tương tự:
Nếu chúng ta khái quát quy tắc này, chúng ta có thể rút ra công thức sau:
\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]
Bây giờ chúng ta có thể đưa ra một định nghĩa rõ ràng.
Nguyên hàm của một hàm số là hàm số có đạo hàm bằng hàm số ban đầu.
Câu hỏi về hàm phản đạo hàm
Nó có vẻ là một định nghĩa khá đơn giản và dễ hiểu. Tuy nhiên, khi nghe nó, người học sinh chăm chú sẽ ngay lập tức có một số câu hỏi:
- Hãy nói rằng, được rồi, công thức này đúng. Tuy nhiên, trong trường hợp này, với $n=1$, chúng ta gặp vấn đề: “zero” xuất hiện ở mẫu số và chúng ta không thể chia cho “zero”.
- Công thức chỉ giới hạn ở mức độ. Cách tính nguyên hàm, ví dụ, của sin, cos và bất kỳ lượng giác nào khác, cũng như các hằng số.
- Câu hỏi hiện sinh: có phải luôn luôn tìm được nguyên hàm? Nếu có, vậy còn nguyên hàm của tổng, hiệu, tích, v.v. thì sao?
TRÊN câu hỏi cuối cùng Tôi sẽ trả lời ngay. Thật không may, nguyên hàm, không giống như đạo hàm, không phải lúc nào cũng được xem xét. Không có chuyện đó công thức phổ quát, nhờ đó từ bất kỳ cách xây dựng ban đầu nào, chúng ta sẽ thu được một hàm bằng với cách xây dựng tương tự này. Về lũy thừa và hằng số, chúng ta sẽ nói về điều đó ngay bây giờ.
Giải quyết vấn đề với chức năng năng lượng
\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]
Như chúng ta thấy, công thức này vì $((x)^(-1))$ không hoạt động. Câu hỏi đặt ra: thế thì điều gì có tác dụng? Chúng ta không thể đếm $((x)^(-1))$ sao? Tất nhiên là chúng tôi có thể. Đầu tiên chúng ta hãy nhớ điều này:
\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]
Bây giờ chúng ta hãy nghĩ: đạo hàm của hàm số nào bằng $\frac(1)(x)$. Rõ ràng, bất kỳ học sinh nào đã nghiên cứu chủ đề này ít nhất một chút sẽ nhớ rằng biểu thức này bằng đạo hàm của logarit tự nhiên:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]
Vì vậy, chúng ta có thể tự tin viết như sau:
\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]
Bạn cần biết công thức này, giống như đạo hàm của hàm lũy thừa.
Vì vậy, những gì chúng ta biết cho đến nay:
- Đối với hàm lũy thừa - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
- Đối với một hằng số - $=const\to \cdot x$
- Trường hợp đặc biệt của hàm lũy thừa là $\frac(1)(x)\to \ln x$
Và nếu chúng ta bắt đầu nhân và chia các hàm số đơn giản nhất thì làm thế nào chúng ta có thể tính được nguyên hàm của tích hoặc thương. Thật không may, sự tương tự với đạo hàm của tích hoặc thương không có tác dụng ở đây. Bất kì công thức chuẩn không tồn tại. Đối với một số trường hợp, có những công thức đặc biệt phức tạp - chúng ta sẽ làm quen với chúng trong các bài học video sau.
Tuy nhiên, hãy nhớ: công thức tổng quát, một công thức tương tự để tính đạo hàm của thương và tích không tồn tại.
Giải quyết các vấn đề thực tế
Nhiệm vụ số 1
Mỗi người hãy chức năng điện Hãy tính riêng:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Quay trở lại biểu thức của chúng tôi, chúng tôi viết cách xây dựng chung:
Vấn đề số 2
Như tôi đã nói, nguyên mẫu của tác phẩm và quyền riêng tư “thông qua” không được xem xét. Tuy nhiên, ở đây bạn có thể làm như sau:
Chúng ta chia phân số thành tổng của hai phân số.
Hãy làm phép tính:
Tin vui là khi biết các công thức tính nguyên hàm, bạn đã có thể tính được nhiều hơn. thiết kế phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta hãy đi xa hơn và mở rộng kiến thức của chúng ta thêm một chút. Thực tế là nhiều cấu trúc và biểu thức, thoạt nhìn, không liên quan gì đến $((x)^(n))$, có thể được biểu diễn dưới dạng lũy thừa với chỉ số hợp lý, cụ thể là:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]
\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]
\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]
Tất cả những kỹ thuật này có thể và nên được kết hợp. biểu thức sức mạnh Có thể
- nhân (cộng độ);
- chia (độ được trừ);
- nhân với một hằng số;
- vân vân.
Giải biểu thức lũy thừa bằng số mũ hữu tỉ
Ví dụ số 1
Hãy tính toán từng gốc riêng biệt:
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]
Tổng cộng, toàn bộ công trình của chúng ta có thể được viết như sau:
Ví dụ số 2
\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]
Vì vậy chúng tôi nhận được:
\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]
Tổng cộng, thu thập mọi thứ vào một biểu thức, chúng ta có thể viết:
Ví dụ số 3
Để bắt đầu, chúng tôi lưu ý rằng chúng tôi đã tính toán $\sqrt(x)$:
\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]
\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]
Hãy viết lại:
Tôi hy vọng sẽ không làm ai ngạc nhiên nếu tôi nói rằng những gì chúng ta vừa học chỉ là những phép tính đơn giản những cấu trúc nguyên thủy, cơ bản nhất. Bây giờ chúng ta hãy nhìn thêm một chút ví dụ phức tạp, trong đó, ngoài các nguyên hàm dạng bảng, bạn cũng cần nhớ chương trình giảng dạy ở trường, cụ thể là các công thức nhân viết tắt.
Giải các ví dụ phức tạp hơn
Nhiệm vụ số 1
Chúng ta hãy nhớ lại công thức tính hiệu bình phương:
\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]
Hãy viết lại chức năng của chúng tôi:
Bây giờ chúng ta phải tìm nguyên mẫu của hàm như vậy:
\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]
\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]
Hãy đặt mọi thứ lại với nhau thành một thiết kế chung:
Vấn đề số 2
Trong trường hợp này, chúng ta cần mở rộng khối sai phân. Chúng ta hãy nhớ:
\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]
Khi tính đến thực tế này, chúng ta có thể viết nó như thế này:
Hãy biến đổi hàm của chúng ta một chút:
Chúng tôi tính như mọi khi - cho từng học kỳ riêng biệt:
\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]
\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]
\[((x)^(-1))\to \ln x\]
Hãy để chúng tôi viết kết quả xây dựng:
Vấn đề số 3
Ở trên cùng chúng ta có bình phương của tổng, hãy mở rộng nó:
\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]
\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]
\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]
Hãy viết giải pháp cuối cùng:
Bây giờ hãy chú ý! Rất điều quan trọng, mà nó được kết nối chia sẻ của sư tử những sai sót và hiểu lầm. Thực tế là cho đến nay, khi tính nguyên hàm bằng cách sử dụng đạo hàm và đưa ra các phép biến đổi, chúng ta vẫn chưa nghĩ đến đạo hàm của một hằng số bằng bao nhiêu. Nhưng đạo hàm của một hằng số thì bằng “không”. Điều này có nghĩa là bạn có thể viết các tùy chọn sau:
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
- $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$
Điều này rất quan trọng cần hiểu: nếu đạo hàm của một hàm luôn bằng nhau thì hàm đó có vô số nguyên hàm. Chúng ta có thể chỉ cần thêm bất kỳ số không đổi nào vào nguyên hàm của mình và nhận được số mới.
Không phải ngẫu nhiên mà trong phần giải thích các bài toán mà chúng ta vừa giải quyết lại có dòng chữ “Viết ra cái nhìn tổng quát nguyên thủy." Những thứ kia. Người ta đã giả định trước rằng không phải một ai trong số họ mà là cả vô số. Nhưng trên thực tế, chúng chỉ khác nhau ở hằng số $C$ ở cuối. Vì vậy, trong nhiệm vụ của mình, chúng tôi sẽ sửa chữa những gì chúng tôi chưa hoàn thành.
Một lần nữa chúng ta viết lại công trình của mình:
Trong những trường hợp như vậy, bạn nên thêm $C$ là một hằng số - $C=const$.
Trong hàm thứ hai, chúng ta có được cấu trúc sau:
Và cái cuối cùng:
Và bây giờ chúng tôi thực sự đã có được những gì chúng tôi yêu cầu trong tình trạng ban đầu của vấn đề.
Giải bài toán tìm nguyên hàm với một điểm cho trước
Bây giờ chúng ta đã biết về các hằng số và đặc thù của việc viết nguyên hàm, điều khá logic là loại tiếp theo vấn đề khi, từ tập hợp tất cả các nguyên hàm, cần phải tìm một cái duy nhất đi qua điểm nhất định. Nhiệm vụ này là gì?
Thực tế là tất cả các nguyên hàm của một hàm nhất định chỉ khác nhau ở chỗ chúng dịch chuyển theo chiều dọc một số nhất định. Và điều này có nghĩa là dù ở điểm nào mặt phẳng tọa độ chúng tôi đã không lấy nó, một nguyên hàm chắc chắn sẽ vượt qua, và hơn nữa, chỉ có một.
Vì vậy, các vấn đề mà chúng ta sẽ giải quyết bây giờ được phát biểu như sau: không chỉ tìm nguyên hàm, biết công thức của hàm ban đầu mà còn chọn chính xác điểm đi qua điểm đã cho, tọa độ của nó sẽ được cho trong bài toán tuyên bố.
Ví dụ số 1
Đầu tiên, chúng ta hãy đếm từng số hạng:
\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]
\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]
Bây giờ chúng tôi thay thế các biểu thức này vào công trình của mình:
Hàm này phải đi qua điểm $M\left(-1;4 \right)$. Việc nó đi qua một điểm có nghĩa là gì? Điều này có nghĩa là nếu thay vì $x$ chúng ta đặt $-1$ ở mọi nơi và thay vì $F\left(x \right)$ chúng ta đặt $-4$, thì chúng ta sẽ nhận được kết quả đúng sự bình đẳng về số lượng. Hãy làm điều này:
Chúng ta thấy rằng chúng ta có một phương trình cho $C$, vì vậy hãy thử giải nó:
Hãy viết ra giải pháp mà chúng tôi đang tìm kiếm:
Ví dụ số 2
Trước hết, cần bộc lộ bình phương của hiệu bằng công thức nhân rút gọn:
\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]
Cấu trúc ban đầu sẽ được viết như sau:
Bây giờ hãy tìm $C$: thay tọa độ của điểm $M$:
\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]
Chúng tôi thể hiện $C$:
Nó vẫn còn để hiển thị biểu thức cuối cùng:
Giải các bài toán lượng giác
BẰNG hợp âm cuối cùng Ngoài những gì chúng ta vừa thảo luận, tôi đề nghị xem xét thêm hai điều nữa. nhiệm vụ phức tạp, chứa lượng giác. Trong đó, theo cách tương tự, bạn sẽ cần tìm nguyên hàm cho tất cả các hàm, sau đó chọn từ bộ này hàm duy nhất đi qua điểm $M$ trên mặt phẳng tọa độ.
Trong tương lai, tôi muốn lưu ý rằng kỹ thuật mà bây giờ chúng ta sẽ sử dụng để tìm nguyên hàm của hàm lượng giác trên thực tế, đây là một kỹ thuật phổ biến để tự kiểm tra.
Nhiệm vụ số 1
Chúng ta hãy nhớ công thức sau:
\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]
Dựa trên điều này, chúng ta có thể viết:
Hãy thay tọa độ của điểm $M$ vào biểu thức của chúng ta:
\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]
Hãy viết lại biểu thức có tính đến thực tế này:
Vấn đề số 2
Điều này sẽ khó khăn hơn một chút. Bây giờ bạn sẽ thấy tại sao.
Chúng ta hãy nhớ công thức này:
\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Để thoát khỏi điểm trừ, bạn cần làm như sau:
\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]
Đây là thiết kế của chúng tôi
Hãy thay tọa độ của điểm $M$:
Tổng cộng, chúng tôi viết ra công trình cuối cùng:
Đó là tất cả những gì tôi muốn nói với bạn về ngày hôm nay. Chúng tôi đã nghiên cứu thuật ngữ nguyên hàm, cách tính chúng từ các hàm cơ bản, cũng như cách tìm nguyên hàm đi qua một điểm cụ thể trên mặt phẳng tọa độ.
Tôi hy vọng bài học này sẽ giúp bạn hiểu được điều này ít nhất một chút. chủ đề phức tạp. Trong mọi trường hợp, trên nguyên hàm, các tích phân không xác định và không xác định được xây dựng nên việc tính toán chúng là hoàn toàn cần thiết. Đó là tất cả đối với tôi. Hẹn gặp lại!
Sự xuất hiện của khái niệm tích phân là do nhu cầu tìm nguyên hàm của một hàm từ đạo hàm của nó, cũng như để xác định khối lượng công việc, diện tích số liệu phức tạp, quãng đường di chuyển, với các tham số được phác thảo bằng các đường cong được mô tả bằng các công thức phi tuyến.
và công đó bằng tích của lực và khoảng cách. Nếu mọi chuyển động xảy ra với tốc độ không đổi hoặc khoảng cách được khắc phục bằng cách sử dụng cùng một lực, khi đó mọi thứ đều rõ ràng, bạn chỉ cần nhân chúng lên. Tích phân của một hằng số là gì? có dạng y=kx+c.
Nhưng sức mạnh có thể thay đổi trong suốt quá trình làm việc và ở một mức độ phụ thuộc tự nhiên nào đó. Tình huống tương tự xảy ra khi tính quãng đường đi được nếu tốc độ không đổi.
Vì vậy, rõ ràng tại sao cần tích phân. Việc xác định nó là tổng các giá trị của một hàm với mức tăng vô cùng nhỏ của đối số mô tả hoàn toàn ý nghĩa chính khái niệm này là diện tích của một hình, được giới hạn ở trên cùng bởi đường của hàm và ở các cạnh bởi ranh giới của định nghĩa.
Jean Gaston Darboux, một nhà toán học người Pháp, vào nửa sau thế kỷ 19, đã giải thích rất rõ ràng tích phân là gì. Ông đã nói rõ đến mức nhìn chung sẽ không khó để ngay cả một học sinh cũng có thể hiểu được vấn đề này. lớp học cơ sở trường trung học.
Giả sử có một chức năng của bất kỳ hình dạng phức tạp. Trục tọa độ mà các giá trị của đối số được vẽ trên đó được chia thành các khoảng nhỏ, lý tưởng nhất là chúng vô cùng nhỏ, nhưng vì khái niệm vô cực khá trừu tượng nên chỉ cần tưởng tượng là đủ phân đoạn nhỏ, giá trị của nó thường được ký hiệu chữ cái Hy LạpΔ (tam giác).
Chức năng hóa ra là "chặt" thành những viên gạch nhỏ.
Mỗi giá trị đối số tương ứng với một điểm trên trục tọa độ, trên đó vẽ các giá trị hàm tương ứng. Nhưng vì vùng được chọn có hai ranh giới nên cũng sẽ có hai giá trị hàm lớn hơn và nhỏ hơn.
Tổng các tích có giá trị lớn hơn theo gia số Δ được gọi là một khoản tiền lớn Darboux, và được ký hiệu là S. Theo đó, các giá trị nhỏ hơn trong một khu vực giới hạn, nhân với Δ, tất cả cùng nhau tạo thành một tổng Darboux nhỏ s. Bản thân trang web này trông giống như hình thang chữ nhật, vì độ cong của đường hàm với mức tăng vô cùng nhỏ có thể bị bỏ qua. Cách dễ nhất để tìm khu vực là như thế này hình hình học- đây là cộng các tích của các giá trị hàm lớn hơn và nhỏ hơn theo mức tăng Δ và chia cho hai, nghĩa là xác định nó là trung bình số học.
Đây là tích phân Darboux:
s=Σf(x) Δ - lượng nhỏ;
S= Σf(x+Δ)Δ là một số lượng lớn.
Vậy tích phân là gì? Diện tích được giới hạn bởi đường của hàm và ranh giới của định nghĩa sẽ bằng:
∫f(x)dx = ((S+s)/2) +c
Nghĩa là, trung bình số học của các tổng Darboux lớn và nhỏ là một giá trị không đổi được đặt lại trong quá trình lấy vi phân.
Dựa trên biểu thức hình học của khái niệm này, nó trở nên rõ ràng ý nghĩa vật lý tích phân. được phác thảo bởi hàm tốc độ và bị giới hạn bởi khoảng thời gian dọc theo trục x, sẽ là độ dài quãng đường đã đi.
L = ∫f(x)dx trên khoảng từ t1 đến t2,
f(x) là một hàm của tốc độ, tức là công thức mà nó thay đổi theo thời gian;
L - độ dài đường dẫn;
t1 - thời gian bắt đầu hành trình;
t2 là thời điểm kết thúc cuộc hành trình.
Nguyên tắc tương tự được sử dụng để xác định khối lượng công, chỉ khoảng cách sẽ được vẽ dọc theo hoành độ và lượng lực tác dụng tại mỗi điểm cụ thể sẽ được vẽ dọc theo trục hoành.
Xét chuyển động của một điểm dọc theo một đường thẳng. Hãy để nó mất thời gian t kể từ khi bắt đầu chuyển động, điểm đã đi được một quãng đường s(t). Sau đó tốc độ tức thời v(t) bằng đạo hàm của hàm s(t),đó là v(t) = s"(t).
Trong thực tế nó xảy ra vấn đề nghịch đảo: tại một tốc độ di chuyển điểm nhất định v(t) tìm ra con đường cô ấy đã đi s(t), tức là tìm một hàm như vậy s(t),đạo hàm của nó bằng v(t). Chức năng s(t), như vậy s"(t) = v(t), được gọi là nguyên hàm của hàm v(t).
Ví dụ, nếu v(t) = tại, Ở đâu MỘT– số đã cho, thì hàm
s(t) = (а lúc 2) / 2v(t), bởi vì
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).
Chức năng F(x) gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trong một khoảng thời gian nào đó, nếu với tất cả X từ khoảng cách này F"(x) = f(x).
Ví dụ, chức năng F(x) = sin x là nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x, bởi vì (sin x)" = cos x; chức năng F(x) = x 4/4 là nguyên hàm của hàm số f(x) = x 3, bởi vì (x 4/4)" = x 3.
Hãy xem xét vấn đề.
Nhiệm vụ.
Chứng minh rằng các hàm số x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = x 2.
Giải pháp.
1) Ta ký hiệu F 1 (x) = x 3 /3, thì F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f(x).
2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).
3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).
Nói chung, bất kỳ hàm x 3 /3 + C nào, trong đó C là hằng số, đều là nguyên hàm của hàm x 2. Điều này xuất phát từ thực tế là đạo hàm của hằng số bằng 0. Ví dụ này cho thấy rằng đối với hàm đã cho nguyên hàm của nó được xác định một cách mơ hồ.
Cho F 1 (x) và F 2 (x) là hai nguyên hàm của cùng một hàm f(x).
Khi đó F 1 "(x) = f(x) và F" 2 (x) = f(x).
Đạo hàm của hiệu g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) bằng 0, vì g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f(x) = 0.
Nếu g"(x) = 0 trên một khoảng nhất định thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = g(x) tại mỗi điểm của khoảng này song song với trục Ox. Do đó, đồ thị của hàm số y = g(x) là một đường thẳng song song với trục Ox, tức là g(x) = C, trong đó C là một hằng số nào đó từ các đẳng thức g(x) = C, g(x) = F 1 (x) – F 2(x) suy ra F 1(x) = F 2(x) + S.
Vì vậy, nếu hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x) trên một khoảng nhất định thì tất cả các hàm nguyên hàm f(x) đều được viết dưới dạng F(x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý .
Hãy xem xét đồ thị của tất cả các nguyên hàm của một hàm f(x) đã cho. Nếu F(x) là một trong các nguyên hàm của hàm f(x), thì bất kỳ nguyên hàm nào của hàm này đều thu được bằng cách thêm vào F(x) một hằng số nào đó: F(x) + C. Đồ thị của hàm số y = F( x) + C thu được từ đồ thị y = F(x) bằng cách dịch chuyển dọc theo trục Oy. Bằng cách chọn C, bạn có thể đảm bảo rằng đồ thị nguyên hàm đi qua một điểm cho trước.
Chúng ta hãy chú ý đến các quy tắc tìm nguyên hàm.
Hãy nhớ lại rằng phép toán tìm đạo hàm của một hàm số cho trước được gọi là sự khác biệt. Phép toán nghịch đảo tìm nguyên hàm của một hàm số cho trước được gọi là hội nhập(từ từ Latinh "khôi phục").
Bảng phản dẫn xuấtđối với một số hàm, nó có thể được biên dịch bằng bảng đạo hàm. Ví dụ như biết rằng (cos x)" = -sin x, chúng tôi nhận được (-cos x)" = sin x, từ đó suy ra rằng mọi hàm nguyên hàm tội lỗi xđược viết dưới dạng -cos x + C, Ở đâu VỚI- không thay đổi.
Chúng ta hãy xem xét một số ý nghĩa của phản đạo hàm.
1) Chức năng: x p, p ≠ -1. Phản đạo hàm: (x p+1) / (p+1) + C.
2) Chức năng: 1/x, x > 0. Phản đạo hàm: ln x + C.
3) Chức năng: x p, p ≠ -1. Phản đạo hàm: (x p+1) / (p+1) + C.
4) Chức năng: bán tại. Phản đạo hàm: e x + C.
5) Chức năng: tội lỗi x. Phản đạo hàm: -cos x + C.
6) Chức năng: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Phản đạo hàm: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.
7) Chức năng: 1/(kx + b), k ≠ 0. Phản đạo hàm: (1/k) ln (kx + b)+ C.
8) Chức năng: e kx + b, k ≠ 0. Phản đạo hàm: (1/k) e kx + b + C.
9) Chức năng: tội lỗi (kx + b), k ≠ 0. Phản đạo hàm: (-1/k) cos (kx + b).
10)
Chức năng: cos(kx + b), k ≠ 0. Phản đạo hàm: (1/k) sin (kx + b). 
Quy tắc tích hợp có thể thu được bằng cách sử dụng quy tắc phân biệt. Hãy xem xét một số quy tắc.
Cho phép F(x) Và G(x)– nguyên hàm của hàm số tương ứng f(x) Và g(x)ở một khoảng nào đó. Sau đó:
1) chức năng F(x) ± G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) ± g(x);
2) chức năng аF(x) là nguyên hàm của hàm số af(x).
website, khi sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu đều phải có liên kết tới nguồn gốc.
Việc tính diện tích là cơ sở của lý thuyết diện tích. Câu hỏi đặt ra về vị trí của nó khi hình có hình dạng bất thường hoặc phải dùng đến cách tính nó thông qua tích phân.
Bài viết này nói về cách tính diện tích hình thang cong theo nghĩa hình học. Điều này giúp có thể xác định mối quan hệ giữa tích phân và diện tích của hình thang cong. Nếu cho hàm số f(x) và nó liên tục trên khoảng [ a ; b ] , dấu ở phía trước biểu thức không thay đổi.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Định nghĩa 1
Một hình được ký hiệu là G, được giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = f(x), y = 0, x = a và x = b, được gọi là hình thang cong. Nó có ký hiệu là S(G).
Chúng ta hãy nhìn vào hình dưới đây.
Để tính hình thang cong, bạn cần chia đoạn [a; b ] cho số n phần x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n với các điểm xác định tại a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b , причем дать обозначение λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n x i - x i - 1 с точками x i , i = 1 , 2 , . . . , n - 1 . Необходимо выбрать так, чтобы λ → 0 при n → + ∞ , тогда фигуры, которые соответствуют нижней и phần trên Darboux được coi là P đến và Q đi hình đa giác cho G Hãy xem xét hình dưới đây.
Từ đây ta có P ⊂ G ⊂ Q, và với việc tăng số điểm phân vùng n, ta thu được bất đẳng thức có dạng S - s< ε , где ε является малым số dương, s và S là tổng Dabroux trên và dưới từ khoảng [a; b] . Ngược lại nó sẽ được viết là lim λ → 0 S - s = 0 . Điều này có nghĩa là khi đề cập đến khái niệm tích phân xác định Darboux, chúng ta thu được lim λ → 0 S = lim λ → 0 s = S G = ∫ a b f (x) d x .
Từ đẳng thức cuối cùng, chúng ta thu được tích phân xác định có dạng ∫ a b f (x) d x là diện tích của một hình thang cong cho một hàm liên tục có dạng y = f(x) . Đây là nó ý nghĩa hình học tích phân xác định.
Khi tính ∫ a b f (x) d x, ta thu được diện tích của hình mong muốn, bị giới hạn bởi các đường thẳng y = f(x), y = 0, x = a và x = b.
Bình luận: Khi hàm số y = f(x) không dương trong khoảng [ a ; b], khi đó ta thấy diện tích hình thang cong được tính dựa trên công thức S(G) = - ∫ a b f(x) d x.
Ví dụ 1
Tính diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = 2 · e x 3, y = 0, x = - 2, x = 3.
Giải pháp
Để giải, trước tiên cần dựng hình trên mặt phẳng có đường thẳng y = 0 trùng với O x, với các đường thẳng có dạng x = - 2 và x = 3, song song với trục o y, trong đó đường cong y = 2 e x 3 được xây dựng bằng cách sử dụng các phép biến đổi hình họcđồ thị của hàm số y = e x. Hãy xây dựng một biểu đồ.
Điều này chứng tỏ cần phải tìm diện tích hình thang cong. Nhắc lại ý nghĩa hình học của tích phân, chúng ta thấy rằng diện tích mong muốn sẽ được biểu thị bằng một tích phân nhất định, tích phân này phải được giải. Điều này có nghĩa là cần áp dụng công thức S(G) = ∫ - 2 3 2 · e x 3 d x . Tích phân bất định này được tính dựa trên công thức Newton-Leibniz
S(G) = ∫ - 2 3 2 e x 3 d x = 6 e x 3 - 2 3 = 6 e 3 3 - 6 e - 2 3 = 6 e - e - 2 3
Đáp án: S(G) = 6 e - e - 2 3
Bình luận: Để tìm diện tích của một hình thang cong, không phải lúc nào cũng có thể dựng được một hình. Sau đó, giải pháp được thực hiện như sau. Cho hàm số f(x) đã biết không âm hoặc không dương trên khoảng [ a ; b ] , một công thức có dạng S G = ∫ a b f (x) d x hoặc S G = - ∫ a b f (x) d x được sử dụng.
Ví dụ 2
Tính diện tích giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), y = 0, x = - 2, x = 4.
Giải pháp
Để xây dựng hình này, chúng ta thấy y = 0 trùng với O x và x = - 2 và x = 4 song song với O y. Đồ thị của hàm số y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 1 3 (x + 1) 2 - 3 là một parabol có tọa độ điểm (- 1 ; 3) là đỉnh có các nhánh hướng vào trở lên. Để tìm giao điểm của parabol với O x, bạn cần tính:
1 3 (x 2 + 2 x - 8) = 0 ⇔ x 2 + 2 x - 8 = 0 D = 2 2 - 4 1 (- 8) = 36 x 1 = - 2 + 36 2 = 2 , x 2 = - 2 - 36 2 = - 4
Điều này có nghĩa là parabol cắt nhau tại các điểm (4; 0) và (2; 0). Từ đó, chúng ta nhận được rằng hình được chỉ định là G sẽ có dạng như trong hình bên dưới.
Hình này không phải là một hình thang cong, vì hàm số có dạng y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8) đổi dấu trên đoạn [ - 2 ; 4]. Hình G có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của hai hình thang cong G = G 1 ∪ G 2, dựa vào tính chất cộng diện tích, ta có S(G) = S(G 1) + S (G 2). Hãy xem xét biểu đồ dưới đây.
Đoạn [ - 2 ; 4 ] được coi là diện tích không âm của parabol, từ đó ta thu được diện tích này sẽ có dạng S G 2 = ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Đoạn [ - 2 ; 2 ] không dương đối với hàm số có dạng y = 1 3 (x 2 + 2 x - 8), nghĩa là, dựa trên ý nghĩa hình học của tích phân xác định, ta thu được S (G 1) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x . Cần phải thực hiện các phép tính bằng công thức Newton-Leibniz. Khi đó tích phân xác định sẽ có dạng:
S(G) = S(G 1) + S(G 2) = - ∫ - 2 2 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x + ∫ 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = = - 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 2 + 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x 2 4 = = - 1 3 2 3 3 + 2 2 - 8 2 - - 2 3 3 + (- 2) 2 - 8 · (- 2) + + 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 · 4 - 2 3 3 + 2 2 - 8 · 2 = = - 1 3 8 3 - 12 + 8 3 - 20 + 1 3 64 3 - 16 - 8 3 + 12 = 124 9
Điều đáng chú ý là việc tìm diện tích không đúng theo nguyên tắc S(G) = ∫ - 2 4 1 3 (x 2 + 2 x - 8) d x = 1 3 x 3 3 + x 2 - 8 x - 2 4 = = 1 3 4 3 3 + 4 3 - 8 4 - - 2 3 3 + - 2 2 - 8 - 2 = 1 3 64 3 - 16 + 8 3 - 20 = - 4
Vì số kết quả là âm và biểu thị hiệu S (G 2) - S (G 1).
Đáp án: S(G) = S(G 1) + S(G 2) = 124 9
Nếu các hình bị giới hạn bởi các đường thẳng có dạng y = c, y = d, x = 0 và x = g (y) và hàm số bằng x = g (y) và liên tục và có dấu không đổi trên khoảng [ c; d ], thì chúng được gọi là tarpezium có đường cong. Hãy xem xét trong hình bên dưới.
∫ c d g(y)d y là giá trị của nó là diện tích của hình thang cong cho hàm số liên tục và không âm có dạng x = g(y) nằm trên khoảng [ c ; d] .
Ví dụ 3
Tính hình bị giới hạn bởi trục tọa độ và các đường thẳng x = 4 ln y y + 3, y = 1, y = 4.
Giải pháp
Vẽ đồ thị x = 4 ln y y + 3 không phải là điều dễ dàng. Vì vậy cần phải giải mà không cần vẽ hình. Hãy nhớ lại rằng hàm được xác định cho tất cả giá trị tích cực y. Hãy xem xét các giá trị hàm có sẵn trên khoảng [ 1 ; 4]. Từ tính chất của hàm cơ bản ta biết rằng hàm logarit tăng trong toàn bộ miền định nghĩa. Thì không phải đoạn [ 1 ; 4 ] là không âm. Điều này có nghĩa là ln y ≥ 0. Biểu thức hiện có ln y y , được xác định trên cùng một phân đoạn, là không âm. Chúng ta có thể kết luận rằng hàm x = 4 ln y y + 3 dương trên khoảng bằng [ 1 ; 4]. Chúng tôi thấy rằng con số trên khoảng này là dương. Khi đó diện tích của nó phải được tính theo công thức S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y .
Cần phải thực hiện một tính toán tích phân không xác định. Để làm được điều này bạn cần tìm nguyên hàm của hàm số x = 4 ln y y + 3 và áp dụng công thức Newton-Leibniz. Chúng tôi hiểu điều đó
∫ 4 ln y y + 3 d y = 4 ∫ ln y y d y + 3 ∫ d y = 4 ∫ ln y d (ln y) + 3 y = = 4 ln 2 y 2 + 3 y + C = 2 ln 2 y + 3 y + C ⇒ S (G) = ∫ 1 4 4 ln y y + 3 d y = 2 ln 2 + y + 3 y 1 4 = = 2 ln 2 4 + 3 4 - (2 ln 2 1 + 3 1) = 8 ln 2 2 + 9
Hãy xem xét bản vẽ dưới đây.
Đáp án: S(G) = 8 ln 2 2 + 9
Kết quả
Trong bài viết này, chúng tôi đã xác định ý nghĩa hình học của một tích phân xác định và nghiên cứu mối quan hệ với diện tích của một hình thang cong. Theo đó, chúng ta có cơ hội tính diện tích của các hình phức bằng cách tính tích phân cho hình thang cong. Trong phần tìm diện tích và số liệu đường giới hạn y = f (x), x = g (y), những ví dụ này sẽ được thảo luận chi tiết.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter