Ví dụ về phân số hợp lý là gì Phân số hữu tỷ

Trước hết, để học cách làm việc với phân số hữu tỷ không mắc lỗi, bạn cần học các công thức nhân rút gọn. Và nó không dễ học - chúng cần được nhận biết ngay cả khi vai trò của các thuật ngữ là sin, logarit và căn.

Tuy nhiên, công cụ chính vẫn là phân tích tử số và mẫu số của một phân số hữu tỉ. Điều này có thể đạt được trong ba theo nhiều cách khác nhau:

Trên thực tế, theo công thức nhân viết tắt: chúng cho phép bạn thu gọn một đa thức thành một hoặc nhiều thừa số;
Sử dụng phân tích nhân tử của tam thức bậc hai thông qua phân biệt. Phương pháp tương tự giúp có thể xác minh rằng bất kỳ tam thức nào cũng không thể được phân tích thành thừa số;
Phương pháp nhóm là công cụ phức tạp nhất, nhưng nó cách duy nhất, hoạt động nếu hai phần trước không hoạt động.

Như bạn có thể đoán được từ tiêu đề của video này, chúng ta sẽ lại nói về phân số hữu tỉ. Chỉ vài phút trước, tôi đã kết thúc bài học với một học sinh lớp 10 và ở đó chúng tôi đã phân tích chính xác những biểu thức này. Vì vậy, bài học này sẽ dành riêng cho học sinh trung học.

Chắc hẳn bây giờ nhiều người có thắc mắc: “Tại sao học sinh lớp 10-11 phải học những môn đơn giản như phân số hữu tỉ, vì môn này đã được dạy ở lớp 8?” Nhưng vấn đề là hầu hết mọi người đều “đi qua” chủ đề này. Đến lớp 10-11, các em không còn nhớ cách làm phép nhân, chia, trừ, cộng các phân số hữu tỉ từ lớp 8, thế nhưng những điều này kiến thức đơn giản hơn nữa, nhiều hơn nữa đang được xây dựng thiết kế phức tạp, như một giải pháp cho logarit, phương trình lượng giác và nhiều biểu thức phức tạp khác, vì vậy ở trường trung học thực tế không có gì phải làm nếu không có phân số hữu tỉ.

Các công thức giải quyết vấn đề

Hãy bắt tay vào công việc. Trước hết, chúng ta cần hai sự kiện - hai bộ công thức. Trước hết, bạn cần biết các công thức nhân rút gọn:

$((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — hiệu của các hình vuông;
$((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ là bình phương của tổng hoặc hiệu ;
$((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ là tổng các lập phương;
$((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ là hiệu của các hình khối.

TRONG dạng tinh khiết chúng không được tìm thấy trong bất kỳ ví dụ nào hoặc trong các cách diễn đạt thực sự nghiêm túc. Do đó, nhiệm vụ của chúng ta là học cách xem các cấu trúc phức tạp hơn nhiều dưới các chữ cái $a$ và $b$, ví dụ: logarit, căn, sin, v.v. Bạn có thể học cách nhìn thấy điều này chỉ với sự trợ giúp thực hành liên tục. Đây là lý do tại sao việc giải các phân số hữu tỉ là hoàn toàn cần thiết.

Công thức thứ hai, hoàn toàn rõ ràng là sự phân rã tam thức bậc hai bằng số nhân:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ là gốc.

VỚI phần lý thuyết chúng tôi đã tìm ra nó. Nhưng làm thế nào để giải các phân số hữu tỉ thực được dạy ở lớp 8? Bây giờ chúng ta sẽ thực hành.

Nhiệm vụ số 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Hãy thử áp dụng các công thức trên để giải phân số hữu tỉ. Trước hết, tôi muốn giải thích tại sao cần phải phân tích nhân tử. Thực tế là thoạt nhìn vào phần đầu tiên của nhiệm vụ, bạn muốn rút gọn khối lập phương bằng hình vuông, nhưng điều này bị nghiêm cấm, vì chúng là các số hạng trong tử số và mẫu số, nhưng không có trường hợp nào là thừa số.

Dù sao thì viết tắt là gì? Rút gọn là việc sử dụng một quy tắc cơ bản để làm việc với các biểu thức như vậy. Thuộc tính chính của một phân số là chúng ta có thể nhân tử số và mẫu số với cùng một số khác số “0”. TRONG trong trường hợp này, khi rút gọn thì ngược lại, chúng ta chia cho cùng một số, khác “không”. Tuy nhiên, chúng ta phải chia tất cả các số hạng ở mẫu số cho cùng một số. Bạn không thể làm điều đó. Và chúng ta chỉ có quyền quy giản tử số về mẫu số khi cả hai đều được phân tích thành nhân tử. Hãy làm điều này.

Bây giờ bạn cần xem có bao nhiêu thuật ngữ trong một phần tử cụ thể và từ đó tìm ra công thức nào sẽ sử dụng.

Hãy chuyển đổi từng biểu thức thành một khối chính xác:

Hãy viết lại tử số:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Chúng ta hãy nhìn vào mẫu số. Hãy mở rộng nó bằng cách sử dụng công thức hiệu bình phương:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ Phải)\]

Bây giờ hãy xem phần thứ hai của biểu thức:

Tử số:

Vẫn còn phải tìm ra mẫu số:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Hãy viết lại toàn bộ cấu trúc có tính đến các sự kiện trên:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Các sắc thái của phép nhân các phân số hữu tỷ

Kết luận chính từ các công trình này là như sau:

Không phải mọi đa thức đều có thể phân tích thành nhân tử.
Ngay cả khi nó bị phân hủy, bạn cần xem kỹ chính xác công thức nhân viết tắt là gì.

Để làm điều này, trước tiên, chúng ta cần ước tính có bao nhiêu số hạng (nếu có hai số hạng thì tất cả những gì chúng ta có thể làm là khai triển chúng bằng tổng hiệu của các bình phương hoặc bằng tổng hoặc hiệu của các lập phương; và nếu có ba, thì cái này, duy nhất, bình phương của tổng hoặc bình phương của hiệu). Điều thường xảy ra là tử số hoặc mẫu số hoàn toàn không yêu cầu phân tích nhân tử; nó có thể là tuyến tính hoặc phân biệt đối xử của nó sẽ âm.

Vấn đề số 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Nhìn chung, sơ đồ giải quyết vấn đề này không khác gì so với trước - đơn giản là sẽ có nhiều hành động hơn và chúng sẽ trở nên đa dạng hơn.

Hãy bắt đầu với phân số đầu tiên: nhìn vào tử số của nó và thực hiện các phép biến đổi có thể có:

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào mẫu số:

Với phân số thứ hai: không thể thực hiện được gì ở tử số, bởi vì nó biểu thức tuyến tính và không thể loại bỏ bất kỳ yếu tố nào khỏi nó. Chúng ta hãy nhìn vào mẫu số:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

Hãy chuyển sang phân số thứ ba. Tử số:

Hãy xét mẫu số của phân số cuối cùng:

Hãy viết lại biểu thức có tính đến các sự kiện trên:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \right))\]

Sắc thái của giải pháp

Như bạn có thể thấy, không phải tất cả mọi thứ và không phải lúc nào cũng phụ thuộc vào các công thức nhân viết tắt - đôi khi chỉ cần đặt một hằng số hoặc một biến ra khỏi dấu ngoặc là đủ. Tuy nhiên, nó cũng xảy ra tình huống ngược lại, khi có quá nhiều số hạng hoặc chúng được xây dựng theo cách mà các công thức nhân viết tắt cho chúng nói chung là không thể thực hiện được. Trong trường hợp này, một công cụ phổ quát sẽ hỗ trợ chúng ta, đó là phương pháp nhóm. Đây chính xác là những gì chúng ta sẽ áp dụng trong bài toán tiếp theo.

Vấn đề số 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Chúng ta hãy nhìn vào phần đầu tiên:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right )\phải)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

Hãy viết lại biểu thức ban đầu:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Bây giờ hãy nhìn vào khung thứ hai:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \Phải)\]

Vì hai phần tử không thể được nhóm lại nên chúng tôi đã nhóm ba phần tử lại. Tất cả những gì còn lại là tìm ra mẫu số của phân số cuối cùng:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

Bây giờ hãy viết lại toàn bộ công trình của chúng ta:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

Vấn đề đã được giải quyết và không thể đơn giản hóa thêm điều gì nữa ở đây.

Sắc thái của giải pháp

Chúng tôi đã sắp xếp nhóm và có một nhóm khác rất công cụ mạnh mẽ, mở rộng khả năng phân tích nhân tử. Nhưng vấn đề là ở chỗ cuộc sống thực Sẽ không ai cho chúng ta những ví dụ tinh tế như vậy, trong đó có một số phân số mà bạn chỉ cần phân tích tử số và mẫu số, sau đó, nếu có thể, hãy giảm chúng xuống. Biểu thức thực tế sẽ phức tạp hơn nhiều.

Rất có thể, ngoài phép nhân và chia, sẽ có phép trừ và phép cộng, các loại dấu ngoặc đơn - nói chung, bạn sẽ phải tính đến thứ tự các hành động. Nhưng điều tệ nhất là khi trừ và cộng các phân số bằng mẫu số khác nhau chúng sẽ phải được thu gọn lại thành một thứ chung. Để làm điều này, mỗi phân số sẽ cần phải được phân tích thành nhân tử, sau đó biến đổi các phân số này: đưa ra những phân số tương tự và hơn thế nữa. Làm thế nào để làm điều này một cách chính xác, nhanh chóng và đồng thời có được câu trả lời chính xác rõ ràng? Đây chính xác là những gì chúng ta sẽ nói đến bây giờ bằng cách sử dụng cấu trúc sau đây làm ví dụ.

Vấn đề số 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \right)\]

Hãy viết phân số đầu tiên và cố gắng tìm ra nó một cách riêng biệt:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Hãy chuyển sang thứ hai. Hãy tính ngay phân biệt của mẫu số:

Nó không thể được nhân tử hóa, vì vậy chúng tôi viết như sau:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Chúng ta sẽ viết riêng tử số:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Do đó, đa thức này không thể phân tích thành nhân tử.

Chúng tôi đã làm hết mức có thể và phân hủy.

Vì vậy, chúng tôi viết lại cấu trúc ban đầu của mình và nhận được:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Thế là xong, vấn đề đã được giải quyết.

Thành thật mà nói, nó không tuyệt vời đến thế nhiệm vụ khó khăn: mọi thứ đều dễ dàng được tính vào đó và nhanh chóng được giảm bớt điều khoản tương tự, và mọi thứ đều co lại một cách đẹp mắt. Vì vậy bây giờ chúng ta hãy cố gắng giải quyết một vấn đề nghiêm trọng hơn.

Vấn đề số 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Đầu tiên hãy giải quyết khung đầu tiên. Ngay từ đầu, chúng ta hãy phân tích mẫu số của phân số thứ hai một cách riêng biệt:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \right)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ left(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Bây giờ hãy làm việc với phân số thứ hai:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ left(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Chúng tôi quay lại thiết kế ban đầu của mình và viết:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Những điểm chính

Lại sự thật quan trọng Video bài học hôm nay:

Bạn cần phải thuộc lòng các công thức nhân viết tắt - và không chỉ biết mà còn có thể nhìn thấy những biểu thức mà bạn sẽ gặp trong vấn đề thực sự. Một quy tắc tuyệt vời có thể giúp chúng ta điều này: nếu có hai số hạng, thì đó là hiệu của các bình phương, hoặc hiệu hoặc tổng của các lập phương; nếu ba, nó chỉ có thể là bình phương của tổng hoặc hiệu.
Nếu bất kỳ công thức xây dựng nào không thể được mở rộng bằng cách sử dụng các công thức nhân rút gọn, thì công thức chuẩn phân tích nhân tử của tam thức hoặc phương pháp nhóm.
Nếu có điều gì đó không ổn, hãy xem xét cẩn thận biểu thức nguồn để xem liệu có cần phải thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào với nó hay không. Có lẽ chỉ cần đặt hệ số ra khỏi ngoặc là đủ và điều này thường chỉ là một hằng số.
TRONG biểu thức phức tạp, nơi bạn cần thực hiện một số hành động liên tiếp, đừng quên dẫn đến mẫu số chung, và chỉ sau đó, khi tất cả các phân số đã được rút gọn về nó, hãy nhớ đưa phân số tương tự vào tử số mới, rồi nhân tử số mới lại thành nhân tử - có lẽ điều gì đó sẽ bị giảm đi.

Đó là tất cả những gì tôi muốn nói với bạn hôm nay về phân số hữu tỉ. Nếu có điều gì chưa rõ ràng, vẫn có rất nhiều video hướng dẫn trên trang web cũng như rất nhiều nhiệm vụ dành cho bạn. quyết định độc lập. Vì vậy hãy theo dõi!

Sự định nghĩa.Tổng các lũy thừa không âm của một ẩn số X, được lấy với các hệ số nhất định, được gọi là đa thức.

Đây: - số thực.

N- bậc của đa thức.

Các phép toán trên đa thức.

1). Khi cộng (trừ) hai đa thức thì các hệ số được cộng (trừ) độ bằng nhau chưa biết x.

2). Hai đa thức bằng nhau nếu chúng có cùng bậc và hệ số bằng nhau ở cùng lũy thừa của X.

3). Bậc của một đa thức thu được khi nhân hai đa thức bằng tổng các bậc của các đa thức được nhân.

4). Các phép toán tuyến tính trên đa thức có tính chất kết hợp, giao hoán và phân phối.

5) Việc chia một đa thức cho một đa thức có thể được thực hiện bằng cách sử dụng quy tắc “chia cho một góc”.

Sự định nghĩa. Số x=a được gọi là nghiệm của một đa thức nếu sự thay thế của nó thành đa thức biến nó thành 0, tức là.

Định lý Bezout. Phần dư đa thức
bởi nhị thức (x-a) bằng giá trị của đa thức tại x=a, tức là.

Bằng chứng.

Để ở đâu

Thay x=a vào đẳng thức, ta được

1). Khi chia một đa thức cho một nhị thức (x-a), phần dư luôn là một số.

2). Nếu a là nghiệm của một đa thức thì đa thức đó chia hết cho nhị thức (x-a) không có số dư.

3) Khi chia một đa thức bậc n cho một nhị thức (x-a), ta thu được đa thức bậc (n-1).

Định lý cơ bản của đại số.Bất kỳ đa thức bậc nàoN (N>1) có ít nhất một gốc(trình bày không có bằng chứng).

Kết quả.Bất kỳ đa thức bậc nào N có chính xác N nghiệm và trên trường số phức được phân tích thành tích N các yếu tố tuyến tính, tức là Trong số các nghiệm của đa thức có thể có số lặp lại (nhiều gốc). Đối với đa thức có hệ số thực, nghiệm phức chỉ có thể xuất hiện theo cặp liên hợp. Hãy để chúng tôi chứng minh tuyên bố cuối cùng.

Cho phép
- gốc phức tạpđa thức thì dựa vào tài sản chung do đó có thể phát biểu số phức
- cũng là một gốc.

Mỗi cặp nghiệm phức liên hợp của một đa thức tương ứng với một tam thức vuông có hệ số thực.

Đây P, q- số thực (xem ví dụ).

Phần kết luận.Chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ đa thức nào dưới dạng tích của thừa số tuyến tính và tam thức bình phương với hệ số thực.

Phân số hợp lý.

Phân số hữu tỷ là tỉ số của hai đa thức.

Nếu như
, thì phân số hữu tỉ được gọi là đúng. TRONG nếu không thì phân số không đúng. Bất kỳ phân số không chính xác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của đa thức (thương) và một phân số hữu tỷ thực sự bằng cách chia đa thức ở tử số cho đa thức ở mẫu số.

- phân số hợp lý không đúng.

Phân số hữu tỷ không đúng này bây giờ có thể được biểu diễn dưới dạng sau.

Có tính đến những gì đã được trình bày, trong tương lai chúng ta sẽ chỉ xem xét các phân số hữu tỉ thích hợp.

Có cái gọi là phân số hữu tỷ đơn giản - đây là những phân số không thể đơn giản hóa bằng bất kỳ cách nào. Những phân số đơn giản nhất này trông giống như:

Một phân số hữu tỷ thực sự của một dạng phức tạp hơn luôn có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số hữu tỷ đơn giản. Tập hợp các phân số được xác định bởi tập nghiệm của đa thức xuất hiện ở mẫu số của một phân số hữu tỉ tối giản thích hợp. Quy tắc phân tích một phân số thành phân số đơn giản nhất như sau.

Cho phân số hữu tỉ được biểu diễn dưới dạng sau.

Ở đây, tử số của các phân số đơn giản nhất chứa các hệ số chưa biết, hệ số này luôn có thể được xác định bằng phương pháp hệ số chưa xác định. Bản chất của phương pháp là đánh đồng các hệ số có cùng lũy thừa của X đối với đa thức ở tử số của phân số ban đầu và đa thức ở tử số của phân số thu được sau khi rút gọn các phân số đơn giản nhất thành mẫu số chung.

Chúng ta hãy đánh đồng các hệ số của cùng lũy thừa của X.

Giải hệ phương trình tìm hệ số chưa biết, ta thu được.

Vì vậy, phân số này có thể được biểu diễn bằng một tập hợp các phân số đơn giản sau.

Bằng cách đưa nó về mẫu số chung, chúng tôi tin chắc về tính đúng đắn của giải pháp cho vấn đề.

Cô ấy trông giống như

trong đó P(x) và Q(x) là một số đa thức.

Phân biệt phân số hữu tỉ đúng và không đúng, bằng cách tương tự với phân số thông thường phân số. Một phân số hữu tỉ được gọi là phân số đúng nếu thứ tự của mẫu số là nhiều đơn hàng hơn tử số và sai nếu ngược lại.

Bất kỳ phân số hữu tỷ không chính xác nào cũng có thể được chuyển đổi thành tổng của một số đa thức và một phân số hữu tỷ thực sự

Bất kỳ phân số hữu tỉ nào của đa thức có hệ số thực đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của các phân số hữu tỉ có mẫu số là biểu thức (x − Một) k (a là nghiệm thực của Q(x)) hoặc (x 2 + Px + q) k (Ở đâu x 2 + Px + q không có rễ thật) và bậc k không lớn hơn bội số rễ tương ứng trong đa thức Q(x). Dựa trên tuyên bố này, định lý về khả năng tích hợp của các phân số hữu tỷ được dựa trên. Theo đó, bất kỳ phân số hữu tỷ nào cũng có thể tích hợp được vào hàm cơ bản, điều này làm cho lớp phân số hữu tỉ trở nên rất quan trọng trong giải tích toán học.

Xem thêm

Quỹ Wikimedia.

2010.

Xem “Phân số hữu tỉ” là gì trong các từ điển khác:

Hàm hữu tỉ là một phân số có tử số và mẫu số là đa thức. Nó có dạng ở đâu, đa thức với số lượng biến bất kỳ. Một trường hợp đặc biệt là hàm hữu tỉ một biến: , trong đó... ... Wikipedia

Wiktionary có một mục dành cho “phân số” Tên của ký hiệu “⁄” (một ký hiệu khác, phổ biến chủ yếu ở Tiếng Anh, tên của ký hiệu Solidus (tiếng Anh) hoặc dấu gạch chéo), ví dụ như trong số nhà. Vậy số nhà “17/5” đọc là “năm... ... Wikipedia

1) R.f. hàm w=R(z), trong đó R(z) biểu hiện hợp lý của z, tức là một biểu thức thu được từ biến độc lập z và một số tập hợp số hữu hạn (thực hoặc phức) bởi số hữu hạn số học hành động. R. f.... ... Bách khoa toàn thư toán học

Khu số hữu tỉ(tỷ lệ vĩ độ, phép chia, phân số) số được biểu thị phân số thông thường, trong đó m là số nguyên và n số tự nhiên. Trong trường hợp này, số m được gọi là tử số và số n được gọi là mẫu số của phân số. Taku ... Wikipedia

Phần tư Một số hữu tỷ (tỷ lệ trễ, phép chia, phân số) là một số được biểu thị bằng một phân số thông thường, trong đó m là số nguyên và n là số tự nhiên. Trong trường hợp này, số m được gọi là tử số và số n được gọi là mẫu số của phân số. Taku ... Wikipedia

Thuật ngữ này có ý nghĩa khác, xem Phân số. Phân số đơn giản nhấtồ bằng cấp được gọi là hàm hợp lý kiểu như anh ấy sẽ đi đâu giá trị tự nhiên và các điểm là cực của hàm không nhất thiết phải khác biệt về mặt hình học... ... Wikipedia

Một số được biểu diễn dưới dạng phân số hữu tỉ. Lý thuyết hình thức Số thực được xây dựng bằng cách sử dụng các cặp số nguyên. Phân số hữu tỉ được gọi. cặp thứ tự (a, b) gồm các số nguyên a và b, cắt b#0. Hai phân số hữu tỉ và được gọi là. e k v i v a l e n... Bách khoa toàn thư toán học

Viết chủ đề bài học vào vở

"phân số hữu tỷ".

Nó là gì vậy?
Đây là các biểu thức đại số chứa phép chia cho một biểu thức có biến.

Ví dụ:
- biểu thức phân số.

Một số nguyên, bởi vì nó bằng , tức là toàn bộ biểu thức có hệ số hữu tỷ.

Toàn bộ và biểu thức phân sốđược gọi là các biểu thức hợp lý.

Đây là những người chúng ta sẽ phải làm việc cùng trong tương lai!

Toàn bộ biểu thức có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào của biến, nhưng biểu thức phân số... không thể chia cho 0!

Ví dụ:
được xác định cho tất cả các giá trị của biến a và cho tất cả các giá trị của b, ngoại trừ b=3.

Với giá trị nào của biến thì biểu thức
?

Nhớ:
Với mọi giá trị của a, b và c, trong đó và , đẳng thức đúng

Nếu chúng ta nhân một phân số với một số (tức là nhân tử số và mẫu số của phân số đó với cùng một số), chúng ta nhận được phân số bằng nhau, nhưng có mẫu số khác.

Nếu chúng ta chia tử số và mẫu số cho cùng một số thì phân số đó sẽ được rút gọn.
Ví dụ:
1) Hãy rút gọn phân số đó thành phân số có mẫu số là 35у3.
Trước tiên hãy chia mẫu số mới 35y3 thành 7y cũ và chúng ta nhận được hệ số nhân bổ sung là 5y2.
Và sau đó nhân tử số và mẫu số với hệ số bổ sung này:
.

2) Hãy giảm phân số.
Giải pháp:

Nhớ:
Để rút gọn một phân số, bạn cần phân tích tử số và mẫu số rồi chia chúng cho một thừa số bằng nhau, tức là giảm bớt.

Có một số phương pháp để phân tích một biểu thức.
Chúng tôi đã quen thuộc với hai trong số họ cho đến nay:
1 phương pháp
Dấu ngoặc số nhân chung.
Phương pháp 2
Ứng dụng công thức nhân rút gọn.

Cách đầu tiên và đơn giản nhất để phân tích thành nhân tử là
bỏ thừa số chung ra khỏi ngoặc.

Ac + bc = (a + b)c

Ví dụ 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

Luật lệ:

Nếu tất cả các phần tử của đa thức có một thừa số chung (hoặc một số thừa số chung), thì thừa số này (các thừa số này) có thể được loại bỏ khỏi ngoặc,
trong trường hợp này, chúng ta chia mỗi số hạng cho một biểu thức mà chúng ta đặt ngoài ngoặc: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 và cuối cùng là 15a3bc2: 5abc = 3a2c (xem các dấu!!!)

Và chúng ta phải nhớ rằng mức độ có chỉ số thấp hơn được lấy ra khỏi ngoặc.

Riêng mình:
Lấy thừa số chung ra khỏi ngoặc

Kiểm tra:

Đôi khi tất cả các thành viên biểu thức đại số Tôi không có một yếu tố chung, nhưng trong các nhóm thuật ngữ riêng biệt có một yếu tố, ví dụ:

à + ay + bx + bởi.

Đa thức này có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách kết hợp các số hạng của nó thành nhóm riêng biệt

(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).

Ví dụ:

Sử dụng phương pháp nhóm các số hạng, phân tích biểu thức
3x + xy2 - x2y - 3y

Giải pháp:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).

Hãy luyện tập thêm một chút:
1) a3 - ab - a2b + a2,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x .

Giải pháp:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).

Và bây giờ là về phương pháp thứ 2.
Nếu các số hạng của biểu thức đại số không có thừa số lặp lại thì bạn có thể thử áp dụng các công thức nhân rút gọn...

Ví dụ
a) Hiệu các bình phương:
0,49x4 - 121y2 = (0,7x2)2 - (11y)2 = (0,7x2 - 11y)(0,7x2 + 11y),

B) Sự khác biệt của hình khối:
1 - 27s3 = 13 - (3s)3 = (1 - 3s)(1 + 3s + 9s2),

B) Bình phương chênh lệch:
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 hoặc (2a - 3b)(2a - 3b),

D) Khối sai phân:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 hoặc (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. ba số nhân bằng nhau!

Thuật toán:
- đầu tiên chúng ta “điều chỉnh” vẻ bề ngoài biểu thức" theo một công thức có thể...
- nếu nó hoạt động, chúng tôi sẽ tiến hành thêm vì nó (công thức) yêu cầu...
- nếu không được thì chúng ta bắt đầu “thử” công thức khác...
- v.v. cho đến khi bạn có thể phân tích biểu thức thành tích của các thừa số!